unidad 1: Interacción gravitatoria

u1 FIS_QUI_2_BACHI_UD01.qxp 2/3/09 17:57 Página 6 Interacción unidad 1 gravitatoria contenidos 1. El modelo geocén

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Interacción unidad 1 gravitatoria

contenidos

1. El modelo geocéntrico del Universo

2. El modelo heliocéntrico de Copérnico 3. Leyes de Kepler 4. Ley de Gravitación Universal 5. Momento de una fuerza respecto de un punto 6. Momento angular 7. Ley de conservación del momento angular: fuerzas centrales 8. La ley de Gravitación y las leyes de Kepler 9. Satélites geoestacionarios 10. El fenómeno de las mareas

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El empeño de la Humanidad por conocer y explicar los fenómenos celestes se pierde en la noche de los tiempos. Primero, fue un interés de tipo religioso o mitológico. Luego, la preocupación por encontrar relaciones entre fenómenos tales como las fases de la Luna o la posición de algunas estrellas en el firmamento con los ciclos de cultivos en la agricultura. El siguiente paso fue la búsqueda de un modelo que explicase el orden del Universo. Los primeros modelos intentaban explicar el movimiento de los astros, vistos desde una Tierra inmóvil. El modelo geocéntrico del Universo fue establecido por Aristóteles en siglo

IV

a.C. y asentado en el siglo

II

por Tolomeo al dotarlo del aparato matemático que permitía predecir las posiciones de los astros. A mediados del siglo

XVI

Nicolás Copérnico propone su modelo helio-

céntrico, que no se impone hasta que Johannes Kepler publica, a principios del siglo

XVII,

sus tres leyes que explican el movimiento de los

astros del Sistema Solar. A finales del siglo XVII, Isaac Newton publicó la expresión de la ley de Gravitación Universal, que le permitió demostrar que el peso de los objetos en la superficie de la Tierra y la fuerza que mantiene a la Luna en su órbita alrededor de la Tierra son manifestaciones del mismo fenómeno. El desarrollo de las ideas de Newton condujo a la Mecánica Analítica, cuyo logro culminante fue la predicción, a mediados del siglo

XIX,

por

Urbain Leverrier, de la posición de un nuevo planeta y el inmediato descubrimiento del planeta Neptuno.

cuestiones iniciales 1. ¿De qué formas se ha explicado la posición de la Tierra en el Universo a lo largo del tiempo? 2. Representa en un esquema todas las fuerzas que actúan sobre el sistema formado por la Tierra y por la Luna. 3. El Sol está situado a una distancia media de 150 millones de km. ¿Cuál es la velocidad y aceleración media de la Tierra en torno al Sol? Representa los vectores anteriores sobre la trayectoria de la Tierra alrededor del Sol.

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1. El modelo geocéntrico del Universo S ESTREL E LA LA S AD DE SA ER SFERA DE TURN FIJ F JUPIT O AS A E FE R ES E S A DE MAR R E R E F T ES FERA DEL SO E L ES

Durante la antigüedad y hasta el siglo XVI el modelo predominante que explicaba la posición de la Tierra en el Universo fue el modelo geocéntrico. Este modelo fue desarrollado, en el siglo IV a.C., por Aristóteles.

ES E ESF FE E

S RIOA U UN

A DE VE N ER M SF A DE ERC U R A DE LA L R

Según el modelo geocéntrico del Universo, la Tierra tiene la forma de una esfera, está inmóvil y ocupa el centro del Universo. Los astros se mueven en torno a la Tierra, siendo transportados por esferas transparentes que giran con movimiento circular uniforme.

a Sistema astronómico de la antigüedad.

A distancias crecientes se encuentran las esferas que transportan a la Luna, Mercurio, Venus, el Sol, Marte, Júpiter y Saturno. Englobando a todas ellas y más alejada está la esfera de las estrellas. El modelo geocéntrico no explica la trayectoria aparente que siguen los planetas, que no describen trayectorias circulares en torno a la Tierra. En ocasiones retroceden, sobre el fondo de las estrellas, para luego seguir con su camino, es lo que se denomina el movimiento retrógrado.

 Movimiento de Marte Al desplazarse la Tierra sobre su trayectoria más rápidamente que Marte sobre la suya, se produce un efecto visual sobre el fondo de las estrellas, que, a veces, parece que éste retrocede.

6

Ujfssb

Nbsuf

6 Tpm

4

4

2 2

Este movimiento retrógrado de los planetas fue justificado, en el siglo II d.C., por el astrónomo griego Claudio Tolomeo, al aplicar las construcciones geométricas de epiciclo y deferente al movimiento de los planetas y dotarlas del aparato matemático necesario para predecir las posiciones astronómicas.

Efgfsfouf

Según Tolomeo, cada planeta se mueve siguiendo una circunferencia, que llamó epiciclo. El centro del epiciclo se mueve, a su vez, en torno a la Tierra, describiendo otra trayectoria circular llamada deferente. De esta forma el movimiento de los astros es el resultado de la suma de movimientos circulares uniformes.

Ujfssb

Fqjdjdmp

Nbsuf

Modelo del movimiento retrógrado de un planeta según Tolomeo.

a

El éxito de Tolomeo radicó en que explicaba el movimiento retrógrado de los planetas y podía predecir con bastante exactitud sus posiciones en cualquier momento, con la consiguiente ayuda para los navegantes. También explicaba la diferencia observada en el brillo de los planetas, al relacionarlo con que unas veces se encuentran más cerca de la Tierra, y otras, más lejos.

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2. El modelo heliocéntrico de Copérnico En el siglo XVI, el astrónomo polaco Nicolás Copérnico basándose en el mayor tamaño aparente del Sol y en que ilumina al resto de planetas, concibe la idea de que el Sol, y no la Tierra, es el centro del universo. Este modelo, centrado en el Sol, se apoya en los siguientes supuestos: - El Sol está inmóvil en el centro del Universo.

 Otros modelos En el siglo III a. C., Aristarco de Samos propuso un modelo heliocéntrico de Universo que no prosperó. Situó al Sol en el centro, con la Tierra girando a su alrededor.

- Los planetas, junto a las esferas que los transportan, giran alrededor del Sol según el siguiente orden: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno. - La Tierra está afectada por dos movimientos importantes: uno de rotación alrededor de su propio eje y otro de traslación en torno al Sol. - La Luna gira alrededor de la Tierra. - La esfera de las estrellas está inmóvil y muy alejada. Con este modelo se explican los fenómenos de la alternancia de los días y de las noches, las estaciones, las fases de la Luna y el movimiento retrógrado de los planetas. Los planetas parece que se mueven hacia atrás porque la Tierra, al describir una órbita de menor radio y girar más rápido alrededor del Sol, los alcanza y se produce un efecto visual sobre el fondo de las estrellas. La obra de Copérnico se publicó en una época de grandes tensiones políticas y religiosas en una Europa enfrentada por la Reforma protestante. La teoría heliocéntrica de Copérnico supondrá una revolución no sólo en el campo de la astronomía y de la física sino en la propia mentalidad de las personas y en la visión del mundo a partir de entonces.

Eje de rotación 23,5

Perpendicular al plano de la órbita Rayos solares

Sol

Tierra La rotación de la Tierra da lugar a la alternancia del día y la noche.

a

Las aportaciones de Galileo El científico italiano Galileo Galilei, además de contribuir al desarrollo de la cinemática y de la dinámica del movimiento, realizó grandes aportaciones como astrónomo, gracias a la construcción de los primeros telescopios. Los primeros días del año 1610 descubrió cuatro astros que giraban alrededor de Júpiter. Esto implicaba que la Tierra no era el centro de rotación de todos los cuerpos celestes, hecho que consideró prueba suficiente para rechazar el modelo geocéntrico de universo. Más tarde descubrió que Venus presenta fases como las de la Luna, lo que demuestra que gira alrededor del Sol y que no brilla con luz propia. La defensa que hace Galileo del sistema copernicano, la exposición de su principio de la inercia y comprobación experimental de que la caída libre es independiente de su masa suponen la ruptura con la tradición aristotélica.

a Galileo también descubrió los cráteres de la Luna y las manchas solares, por lo que los cuerpos celestes no son esferas cristalinas como se pensaba hasta entonces.

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3. Leyes de Kepler A principios de siglo XVII, el astrónomo alemán Johannes Kepler entusiasmado por las ideas de Copérnico y utilizando los precisos datos astronómicos que sobre el planeta Marte había recogido Tycho Brahe, llego a la conclusión de que las observaciones no se adaptaban a una trayectoria circular. Dedujo que los datos encajaban para una elipse con el Sol situado en uno de sus focos, estableciendo la que se conoce como primera ley de Kepler:  Primera ley de Kepler: Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, encontrándose éste en uno de sus focos.

a

Johannes Kepler (1571-1630).

Kepler utilizó las observaciones realizadas, a finales del siglo XVI, por el danés Tycho Brahe en una época en la que no se había inventado el telescopio.

Esta ley rompe con la ciencia antigua, según la cual el movimiento perfecto es el circular uniforme y por ello el de los planetas. No obstante la diferencia de distancias entre los semiejes de la elipse es pequeña, por lo que las órbitas de los planetas se consideran circulares. Al plano que contiene a la órbita de la Tierra se le denomina eclíptica. A su vez, el eje de rotación de la Tierra forma un ángulo de 23,5º con la perpendicular a la eclíptica, hecho que permite explicar las estaciones del año. Kepler, después de realizar laboriosos cálculos sobre la órbita de Marte, enunció la segunda ley.

rA

A

 Segunda ley de Kepler o ley de las áreas: La línea que une el Sol con un planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales.

rB

Así se explica el que el movimiento de los planetas no sea uniforme, éstos van más rápidos en la parte de la órbita que está más próxima al Sol que en la parte más alejada del mismo.

B

Una elipse es el lugar geométrico de los puntos que cumplen que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante:

a

De esta forma se rompe con la creencia de la uniformidad del movimiento de los planetas.

rA + rB = constante Solsticio de verano, 21 de junio

Sol A

PRIMAVERA

Equinoccio de primavera, 21 de marzo

VERANO

Solsticio de invierno, 22 de diciembre

e Ó r bita ter rest r

A' Planeta

INVIERNO

Ecuador

Equinoccio de otoño, 23 de septiembre

OTOÑO

Círculo Polar Ártico La segunda ley de Kepler justifica el que el movimiento de un planeta no sea uniforme. a

La inclinación del eje de rotación de la Tierra respecto de su órbita y el propio movimiento en torno al Sol da lugar a la sucesión de las estaciones.

a

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 Tercera ley de Kepler: Los cuadrados de los períodos del movimiento de los planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de sus distancias medias al Sol.

b Foco

a r1

r2

T 2Tierra T 2Venus T 2Marte = 3 = 3 = .......= C ⇒ T 2 = C · r 3 ; donde C = constante 3 r Tierra r Venus r Marte Semieje mayor a; semieje menor b; distancia más alejada al foco r1; distancia más cercana al foco r2. a

Esta ley permite conocer las distancias relativas entre los planetas, ya que el tiempo que tarda un planeta en recorrer su órbita se conoce desde la antigüedad. También justifica el que los planetas más alejados del Sol tardan más tiempo en recorrer su órbita que los que están más cerca del mismo.

De la figura se deduce que la distancia media, r, de un punto de la elipse a foco coincide con el valor del semieje mayor, a, de la elipse.

Las leyes de Kepler se pueden aplicar a cualquier astro y su conjunto de satélites, como por ejemplo al grupo formado por la Tierra, la Luna y los satélites artificiales.

r1+ r2 = 2 ·a ⇒ a = r =

r1+ r2 2

Las tres leyes de Kepler se refieren a la cinemática de los astros, es decir, a sus movimientos, sin plantear nada sobre las causas que los originan.

ACTIVIDADES RESUELTAS Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El planeta 1 describe una órbita circular de radio R1 = 1 · 108 km con un período de rotación T1 = 2 años, mientras que el planeta 2 describe una órbita elíptica cuya distancia más próxima es R1 = 1 · 108 km y la más alejada es R2 = 1,8 · 108 km tal y como muestra la figura adjunta. ¿Cuál es el período de rotación del planeta 2? De la figura adjunta se deduce que la distancia media del planeta 2 a la estrella es: 8

r=

1

8

r1 + r2 1 · 10 km + 1, 8 · 10 km = = 1, 4 · 10 8 km 2 2

r2

A

Aplicando la tercera ley de Kepler:

T 12 T 22 (2 años) 2 T 22 = 3; 3= 3 8 r 1 r (1· 10 km) (1, 4 ·108 km)3

r1

P

2

Despejando el período de rotación del planeta 2 es: T2 = 3,3 años Si la luz solar tarda en promedio 8,33 minutos en llegar a la Tierra, 12,7 minutos a Marte y 6,1 minutos en alcanzar el planeta Venus, calcular el período de rotación, en torno al Sol, de Marte y de Venus. Aplicando la tercera ley de Kepler a los planetas se obtiene que:

T T2 T 2M T V2 = 3 = 3 rV r 3T r M

Las distancias desde los planetas al Sol se pueden expresar en función del tiempo que tarda en llegarles la luz del Sol: r = c · t, con c la velocidad de luz, por lo que: T T2 T2 T2 T2 T2 T2 = 3 M3 = 3 V 3 ⇒ 3T = 3M = 3V 3 · · · c tT c tM c tV tT tM tV 3

Como el período de rotación de la Tierra, en torno al Sol, es de un año resulta que:

TMarte = TT

t 3M = 1 año tT3

(12,7 min ) 3 3

(8,33 min)

= 1, 88 años ; T Venus = T T

(6,1 min ) 3 tV3 = 1 año = 0,627años 3 tT (8,33 min)3

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4. Ley de Gravitación Universal En la segunda mitad del siglo XVII, numerosos científicos se preguntaban sobre el tipo de fuerza con la que debe actuar el Sol para que los planetas se muevan según las leyes de Kepler. El problema lo resolvió Isaac Newton. En primer lugar utilizó la ley de la inercia de Galileo para explicar que un objeto que se lanza horizontalmente describe una curva, ya que la acción de la fuerza de la gravedad lo desvía de su trayectoria rectilínea. Si la velocidad de lanzamiento es mayor llegará más lejos, pudiéndose lograr que no cayese al suelo y que diese vueltas alrededor de la Tierra si la velocidad inicial es la adecuada. Galileo descubrió las leyes del movimiento parabólico y describió la trayectoria que siguen los proyectiles.

a

Newton extendió esta idea al caso de la Luna y formuló la hipótesis de que la fuerza que obliga a la Luna a girar alrededor de la Tierra tiene el mismo origen que la fuerza por la que los objetos situados cerca de la Tierra caen sobre su superficie. A continuación, aplicó la dinámica del movimiento circular. Según la cual, para que un objeto recorra un movimiento circular uniforme se precisa del concurso de una fuerza dirigida hacia el centro de la trayectoria. Si se supone que la órbita de la Luna es circular y considerando a la Tierra y a la Luna como objetos puntuales, un observador inercial describe el movimiento de la Luna mediante la fuerza centrípeta, de módulo: F Luna = m Luna · a n Luna = m Luna ·

2 v Luna

r Tierra − Luna

Sustituyendo el valor de la velocidad en función del período y radio orbital: v= a Dibujo de Newton referente al movimiento de un proyectil con diferentes velocidades iniciales.

Multiplicando y dividiendo por r2, teniendo en cuenta la tercera ley de Kepler, T2 = C · r3 , y englobando las constante en una, se tiene que: F Luna =

v FL

Luna r

Tierra

La única fuerza que actúa sobre la Luna es la fuerza centrípeta. a

4 · π 2 · r Tierra−Luna 2·π ·r ⇒ F Luna = m Luna · 2 T T Luna

3 m m 4 · π 2 · m Luna r Tierra 4·π2 − Luna · = · 2 Luna = k Luna · 2 Luna 2 2 T Luna C Luna r Tierra − Luna r Tierra − Luna r Tierra − Luna

La fuerza que actúa sobre la Luna es proporcional a su masa e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia a la Tierra. Un observador inercial situado en la Luna observaría que la Tierra describe una trayectoria circular, por lo que sobre ésta actúa una fuerza cuyo módulo debe ser proporcional a su masa y a una constante kTierra. F Tierra = k Tierra ·

mTierra 2 r Tierra − Luna

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Aplicando la ley de acción y reacción, se tiene que los módulos de las dos fuerzas son iguales, por lo que: m Luna 2 r Tierra − Luna

F Luna = FTierra ; k Luna ·

= k Tierra ·

mTierra 2 r Tierra − Luna



k Luna k = Tierra mTierra m Luna

Igualando las relaciones anteriores a una nueva constante G, se tiene: k Luna k = Tierra = G ⇒ k Luna = G · m Tierra mTierra m Luna Y sustituyendo: a

F Luna = F Tierra = k Luna ·

m Luna 2 r Tierra − Luna

Isaac Newton (1642-1727).

m · mTierra = G · Lu2na r Tierra − Luna

Que es la expresión matemática de la ley de Gravitación Universal y que publicó, en 1687, en su libro: Philosophiae Nauralis Principia Matematica. Para comprobar la validez de la ley, Newton comparó la aceleración centrípeta a la que está sometida la Luna en su órbita con la aceleración con la que caen los objetos sobre la superficie de la Tierra. a Luna = g=

F Luna m = G · 2 Tierra m Luna r Tierra − Luna

F Objeto mobjeto

=G ·

mTierra 2 R Tierra

Dividiendo las expresiones anteriores y como la Luna se encuentra a una distancia de, aproximadamente, 60 veces el radio de la Tierra, dedujo que la aceleración de los objetos en las proximidades de la superficie de la Tierra debía ser 602 = 3 600 veces superior a la aceleración centrípeta de la Luna. g a Luna

=

2 2 r Tierra -Luna (60 · Rtierra ) = = 3600 2 2 RTierra RTierra

Suposición que pudo comprobar que era correcta cuando en la década de 1680 se determinó que el radio de la Tierra es 6 370 km. Como el período de la Luna es 27,3 días = 2,36 · 106 s, se tiene que la aceleración centrípeta a la que está sometida la Luna es: 3

a Luna =

v2 4 ·π · r 4 · π 2 · 60 · 6 370 · 10 m = = = 2, 72 · 10−3 m / s2 2 ( 2,36 · 10 6 s) 2 r T

Por tanto la relación entre las citadas aceleraciones es: 9,8 m/ s 2 g = 3602 ≈ 60 2 = -3 2 2,72 · 10 m / s aL

 Leyes de Newton Isaac Newton publicó conjuntamente la ley de la Gravitación Universal con las tres leyes de la dinámica, también denominadas leyes de Newton de la dinámica. a) Primera ley o ley de la inercia. b) Segunda ley o ecuación fundamental de la dinámica. c) Tercera ley o ley de acción y reacción.

Que concuerda con las predicciones de la ley de Gravitación.

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4.1. La constante de gravitación, G La constante de gravitación universal G la determinó el físico inglés Henry Cavendish, en 1798, utilizando una balanza de torsión.

O

Fibra de torsión Espejo 2θ q

m' m

C

r

Lámpara r m'

Dos esferas de masa m están colocadas en los extremos de una varilla horizontal, muy ligera, la cual está suspendida por su punto medio por un hilo de fibra de cuarzo. El hilo lleva adosado un espejo sobre el que incide un rayo de luz que, después de reflejarse, se recoge en una escala graduada.

Escala

A ambos lados de la barra, y en el mismo plano horizontal, se colocan otras dos esferas fijas de mayor masa, m’. Debido a la atracción gravitatoria se genera un par de fuerzas sobre la varilla que tiende a hacerla girar, en torno al hilo.

m

Esquema de la balanza de Cavendich.

a

El hilo de cuarzo tiene un momento de torsión que se opone al par de fuerzas gravitatorio. Alcanzado el equilibrio, se mide el ángulo de giro, que es proporcional al momento de torsión y del que se deduce el valor de la constante de gravitación universal G.  Este valor es: G = 6,67 · 10-11 N · m2/kg2, y es independiente de las características de los objetos y del medio en el que se sitúen.

 Par de fuerzas Un par de fuerzas son dos fuerzas del mismo módulo y sentidos opuestos que actúan sobre el mismo objeto. La fuerza resultante es igual a cero y siempre produce un giro del objeto.

De la ley de gravitación universal, se deduce que la constante G representa el módulo de la fuerza con la que interaccionan dos objetos de 1 kg de masa situados a la distancia de 1 m. Conocido este valor se puede calcular la masa de la Tierra y la de cualquier otro astro, con tal de lograr medir el período de traslación de algún planeta o satélite que gire a su alrededor.

ACTIVIDADES RESUELTAS Calcula la masa del Sol, considerando que la Tierra describe una órbita circular de 150 millones km. La interacción gravitatoria entre el Sol y la Tierra proporciona la fuerza centrípeta que es la causa de la aceleración normal que permite que la Tierra describa su órbita circular. Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento de traslación de la Tierra, se cumple que: 2 → v Tierra m · m Tierra mSol 2 ⇒ G· = v Tierra F = m Tierra · → = m Tierra · a n Tierra ; G · Sol2 rTierra − Sol rTierra − Sol rTierra − Sol Sustituyendo la velocidad de la Tierra por su relación con el período de traslación: v = G·

mSol rTierra − Sol

=

2 4 · π 2 · r Tierra − Sol 2 TTierra



mSol =

3 4 · π 2 · rTierra − Sol 2 G · TTierra

El período de la Tierra es: T = 365,25 días · 24 h/día · 3 600 s/h = 3,156 · 107 s Sustituyendo: mSol =

(150 · 109 m) 3 4 · π2 · = 2,01 · 10 30 kg 2 kg 2 (3,156 · 107 s) 2 6,67 · 10 N · m / -11

2· π · r , se tiene que: T

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4.2. El peso de los objetos En la ley de Gravitación Universal, la masa gravitatoria es la propiedad de los objetos responsable de la interacción. Esta masa indica la cantidad de materia de los objetos y se mide con una balanza. →



Según la segunda ley de Newton, F = m · a , la masa inercial es la propiedad que indica la tendencia que tiene un objeto a conservar su estado de movimiento. La masa inercial es igual al factor de proporcionalidad entre la fuerza que actúa sobre un objeto y la aceleración que le proporciona.  La masa inercial y la masa gravitatoria tienen las mismas propiedades y son equivalentes a la cantidad de materia y en el SI se miden en kg. El peso de un objeto es la fuerza gravitatoria resultante que actúa sobre él, debida a todos los demás objetos del Universo. En la superficie de la Tierra o cerca de ella la fuerza de atracción terrestre es tan grande que el peso de un objeto sólo depende de ella, y lo mismo ocurre en la superficie de la Luna o de otro planeta.

a Experiencia para medir la masa gravitatoria.

El peso de un objeto, de masa m, es el mismo tanto si se determina aplicando la ley de gravitación universal como aplicando la segunda ley de Newton. Denominado g0 a la aceleración con la que caen los objetos en la superficie de la Tierra, se tiene que:

t a F

F= G

m Tierra · mobjeto

2 RTierra P = mobjeto · g 0

}

F = P ⇒ g0 = G ·

m Tierra 2 RTierra

Esta expresión permitió a Cavendish calcular la masa de Tierra después de determinar el valor de la constante de gravitación G.

a d

a Experiencia para medir la masa inercial.

Despejando, la masa de la Tierra en la ecuación anterior, resulta que: m Tierra =

2 g 0 · RTierra 9, 8m / s 2 · ( 6, 37 · 106 m) 2 = 5,96 · 10 24 kg = G 6,67 · 10 −11 N · m2 / kg 2

ACTIVIDADES RESUELTAS La masa de la Luna es 1/81 de la masa de la Tierra y su radio es 1/4 del radio de la Tierra. Con esos datos calcula lo que pesará en la superficie de la Luna una persona que tiene una masa de 70 kg. Aplicando la ley de gravitación universal en la superficie de la Luna, se tiene que:

P Luna = G

mLuna · mpersona R 2Luna

Sustituyendo:PLuna =

m Tierra mpersona 16 G · m 16 Tierra g = mpersona = · mpersona = G 81 2 2 81 R Tierra 81 0,Tierra R Tierra 4

(

)

16 · 9,8 m/s2 · 70 kg = 135,5 N 81

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4.3. Expresión vectorial de la ley de Gravitación Y → j = uy → i = ux

O

X Z

→ k = uz

a Vectores unitarios en las direcciones de los ejes cartesianos de un sistema de referencia.

Inicialmente, Newton consideró a los objetos celestes como simples partículas con su masa concentrada en su centro geométrico. Posteriormente, demostró matemáticamente que la fuerza gravitatoria que actúa sobre, o con la que actúa, una esfera homogénea es la misma que si toda su masa estuviera situada en su centro. Esta propiedad es la que permite considerar a los objetos como simples partículas con su masa concentrada en un punto, su centro de masas. La ley de Gravitación Universal resume en una única ecuación la interacción de entre dos masas cualesquiera, sean estrellas, planetas o cualquier otro objeto. De esta forma, Newton rompe con la teoría aristotélica que distinguía entre una Física terrestre y otra celeste.  El módulo de la fuerza de atracción entre dos objetos es directamente proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros. →



F= -G

M·m → → = r u r ; donde u r 2 | →r | r

donde F es el módulo de la fuerza de interacción, M y m las masas, r la distancia entre sus centros y el vector es un vector unitario de dirección de la recta que une a las masas y de sentido hacia la masa considerada. El signo negativo se debe a que el vector fuerza y el vector unitario tienen sentidos contrarios, es decir, las fuerzas gravitatorias son siempre atractivas. m2

m2 r2

r1 F1,2

ur2 m1

ur1

F2,1 m1

Fuerza con la que actúa la partícula 1 sobre a Fuerza con la que actúa la partícula 2 sobre la partícula 2. la partícula 1.

a

n!!4



G2



G3

n!!2



Gsftvmubouf n!!3

a La fuerza resultante que actúa sobre una masa es igual a la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre ella.

Las fuerzas gravitatorias son fuerzas a distancia y su módulo no depende del medio en el que se sitúen los objetos. Como el valor de G es muy pequeño, los efectos gravitatorios sólo son observables cuando, al menos, la masa de uno de los objetos es muy grande.  Las fuerzas gravitatorias que actúan sobre cada uno de los objetos forman un par de fuerzas de acción y reacción y, por tanto, tienen el mismo módulo, son de sentidos contarios y su dirección coincide con la recta que une los centros. En una distribución de masas, la fuerza resultante que actúa sobre cada partícula es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre ella.

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ACTIVIDADES RESUELTAS Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 m y 4 m respectivamente. En el vértice del ángulo recto se coloca un objeto de 2 kg de masa y en el extremo del cateto menor otro objeto de 4 kg de masa. Calcula la fuerza resultante que actúa sobre otro objeto de 5 kg de masa colocado en el otro vértice. Z

Sean los objetos mA = 2 kg, mB = 4 kg y mC = 5 kg. Se elige un sistema de referencia con el origen de coordenadas en el vértice del ángulo recto del triángulo y el cateto menor situado a lo largo del eje X de coordenadas. El otro cateto se sitúa en el eje Y. Las fuerzas que actúan sobre la masa mC tienen la dirección de la recta que une la citada masa con las otras dos y por sentido hacia mA y mB. →

FA=

→ G · mA · m C → N · m 2 2 kg · 5 kg → (- j) = 6 ,67 · 10 −11 ( − j ) = − 4, 17 · 10 −11 · j N 2 2 2 kg ( 4 m) r AC

4 kg · 5 kg

(

(3 m) 2 + (4 m) 2

)

2

= 5, 34 · 10

n

ϕ ϕ G Cz

GC

GB Y nB

−11

G Cy

D

1!)1-1*

El módulo de la fuerza con la que actúa la masa mB = 4 kg es: G · mB · m C N · m2 = 6,67 · 10-11 FB = 2 kg 2 r BC

D!)1-5*

C!)4-1* nC

N

De la figura se deduce que cos ϕ = 4/5 y sen ϕ = 3/5, por lo que las componentes de la fuerza con la que actúa la masa mB son: →







-11 F Bx = F B · sen ϕ · i = 5, 34 · 10 N ·

→ 3 → · i = 3,20 · 10-11 · i N 5

-11 F By = F B · cos ϕ · (- j ) = 5, 34 · 10 N ·

→ 4 → (- j ) = − 4 , 27 · 10-11 · j N 5

La fuerza resultante que actúa sobre la partícula de masa m tiene de componentes: →





-11 F x = F Bx = 3, 20 · 10 · i N

→ →









F y = F A + F By = − 4,17 · 10-11 · j N − 4,27 · 10-11 · j N = − 8, 44 · 10 -11 · j N →

Su módulo es: | F | =

−11 2 2 F 2x + F 2y = (3,20 · 10-11 N ) + (8, 44 · 10-11 N ) = 9, 03 · 10 N

¿A qué distancia de la Tierra pesa 1 N un objeto que tiene una masa de 1 kg? Aplicando la ley de gravitación universal: P = F = G

Aplicando la relación: g0 = G

2 r = g0 · R Tierra

m Tierra 2 R Tierra

m Tierra · m r2

⇒ r=

G · m Tierra · m P

2 , se tiene que la distancia pedida, medida desde el centro de la Tierra, es: ⇒ G · m Tierra= g0 · R Tierra

m 9,8 m/ s 2 · 1 kg = 3,13 · R Tierra = R Tierra 1N P

Por lo tanto, el objeto estará a una distancia 2,13 · RTierra de la superficie de la Tierra.

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5. Momento de una fuerza respecto de un punto La magnitud característica del movimiento de traslación de una partícula, respecto del origen de un sistema de referencia, es su cantidad de movimiento o momento lineal: → p = m· → v . Su variación respecto del tiempo constituye la segunda ley de Newton, que permite calcular la fuerza resultante que actúa sobre una partícula de masa constante.

Y

v p r



F=

X

O Z

a El vector momento lineal tiene la misma dirección y sentido que el vector velocidad.

d→ v v) d→ p d (m · → → = m·a = m· = dt dt dt

Las fuerzas pueden deformar a los objetos y/o modificar su estado de reposo o de movimiento y además, en algunos casos, pueden hacer que giren, tal es el caso de abrir y cerrar una puerta. El efecto de giro que provocan las fuerzas sobre los objetos es tanto más acusado cuanto mayor sea el módulo de la fuerza aplicada y mayor sea la distancia desde un punto fijo hasta la recta directriz de la fuerza aplicada. Para caracterizar el efecto giratorio de las fuerzas sobre los objetos se define → la magnitud vectorial momento de una fuerza respecto de un punto M O .

→ →

axb





b



 Momento M O de una fuerza F respecto de un punto O es igual al → → → producto vectorial: M O = r x F .

ϕ →

a

El producto vectorial de dos vecto→ → res a x b es un vector de módulo a · b · sen ϕ, de dirección perpendicular al plano que delimitan los vectores y sentido el que coincide con el del avance de un sacacorchos que gira → desde el primer vector a hasta el se→ gundo b siguiendo el camino más corto.

a

El vector → r es un vector de posición que tiene por origen el punto O y por → extremo el origen del vector fuerza F . El momento de una fuerza respecto de un punto es un vector perpendicular → al plano que determinan el vector de posición → r y el vector fuerza, F , y cuyo sentido coincide con el del avance de un sacacorchos que gira desde → → el primer vector, r , sobre el segundo vector, F , siguiendo el camino más corto. Su módulo es: →



→ | = |→ |M r | · | F | · sen ϕ = d · | F |= d · F o →

Donde d es la distancia desde el punto O a la recta directriz del vector F . F

Mo

ϕ r

ϕ

O d

El momento de una fuerza respecto de un punto es un vector.

a

Su unidad en el SI es: m · N. El vector momento de una fuerza respecto de un punto es independiente de → la posición en la que se encuentre el vector fuerza F en su recta directriz, siempre y cuando no se cambie su sentido. Si sobre un objeto actúan un conjunto de fuerzas, entonces el momento de la fuerza resultante respecto de un punto es igual a la suma de los momentos de cada una de las fuerzas respecto del mismo punto.

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6. Momento angular Para describir, con mayor detalle, el movimiento curvilíneo de una partícu→ la se define una nueva magnitud denominada momento angular, L , llamada también momento cinético o momento de la cantidad de movimiento.

Lo

→ Sea una partícula de masa m, que lleva una velocidad v y con un vector de posición → r respecto del origen O de un sistema de referencia.

p=m·v O r

 Se define momento angular L O de una partícula de masa m respecto de un punto O al momento de la cantidad de movimiento, → p , de la partícula respecto del mismo punto. →



→ →

ϕ m



El vector momento angular es perpendicular al plano que delimita el vector de posición y el vector velocidad.

a



L O = r x p= r x m · v

El momento angular es un vector perpendicular al plano que determinan el → → vector de posición r y vector velocidad v y cuyo sentido es el indicado por la regla de Maxwell, que coincide con el avance de un sacacorchos al → → voltear el vector r sobre el vector v por camino más corto. Su unidad en el SI es kg · m2/s. El módulo del momento angular es: →

L 0 = | L 0 |= r · m · v · sen ϕ → → Con ν el ángulo delimitado por los vectores r y v .

Si la trayectoria de la partícula está contenida en un plano y el origen del sistema de referencia O está contenido en ese plano, entonces el vector mo→ mento angular L O es siempre perpendicular a dicho plano. El momento angular depende del punto respecto del que se determina. Esta magnitud desempeña en rotación el mismo papel que la cantidad de movimiento en el movimiento de traslación.

ACTIVIDADES RESUELTAS

Calcula el momento angular de la Tierra respecto al centro del Sol, considerando a la órbita de la Tierra como circular. Datos: MTierra = 6 · 1024 kg; rórbita = 1,5 · 108 km. La velocidad de traslación de la Tierra alrededor del Sol es: v=

2· π · r 2 · π · 1, 5 · 108 km m km = 04 = 30 = 3·10 T 365 días · 24 h / día · 3 600 s / h s s

Considerando a la Tierra y al Sol como objetos puntuales y suponiendo que la órbita de la Tierra es circular, entonces el vector posición y el vector velocidad de la Tierra respecto del Sol son siempre perpendiculares. Por tanto, el momento angular de la Tierra respecto del Sol es un vector perpendicular al plano de la órbita del planeta, cuyo módulo es: → → | L | = |→ r x m · v | = r · m · v · sen 90º = 1,5 · 1011 m · 6 · 1024 kg · 3 · 104 m / s = 2,7 · 1040 kg · m2 / s

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7. Ley de conservación del momento angular: fuerzas centrales El vector momento angular de una partícula respecto de un punto se puede modificar si cambia el vector de posición, si se altera el vector momento lineal, o si se produce una variación de la orientación entre ambos.

Mo

→ → → d→ d→ p L O = d ( r x p )= d r x → p+→ r x dt dt dt dt

F

O r

a El vector momento de una fuerza es perpendicular al plano que definen los vectores de posición y fuerza.

r / dt = → v es paralelo al El primer sumando es igual a cero, ya que vector d → → → vector cantidad de movimiento p = m · v . El segundo sumando es igual → al vector momento M O de la fuerza que actúa sobre la partícula respecto del origen del sistema de referencia O. → d→ → → L O = r x d p = r→ x m · → a = →r x F = M O dt dt

Movimiento de una partícula Traslación

Rotación

F=m·a



→ →

Mo = r x F





→ →



→ →

 La variación del momento angular de una partícula con respecto a un punto, en el transcurso del tiempo, es igual al momento de la fuerza resultante, que actúa sobre ella, respecto del mismo punto.

Lo = r x p

p=m·v →

Expresión denominada ecuación fundamental de la dinámica de rotación para una partícula y es semejante a la segunda ley de Newton en traslación.



dp → =F dt

dLo → = Mo dt →



Σ Mo = 0 ⇒ ΣF = 0 ⇒ → → ⇒ p = constante ⇒ Lo = constante

De la ecuación fundamental de la dinámica de rotación se deduce que el momento angular de la partícula respecto de un punto O permanece constante si la fuerza resultante que actúa sobre la partícula es igual a cero, si el vector de posición es nulo, o cuando la fuerza resultante tiene la misma dirección que el vector de posición de la partícula. →

→ → → dL r x F = M O = O = 0 ⇒ L O = r x p = constante dt Un caso especial de conservación del momento angular es en el movimiento de una partícula por la acción de una fuerza central. → →

 Una fuerza es central cuando la dirección del vector fuerza pasa por un punto fijo, denominado centro de fuerzas, y su módulo es función solamente de la distancia desde el centro de fuerzas a la partícula considerada.

Lo = constante

O ur

F

v

r

a El momento angular de una partícula respecto de un punto permanece constante si el vector de posición y el vector fuerza son paralelos.



F = F(r) ·→ ur

u r es un vector unitario en la dirección radial a partir del centro El vector → de fuerzas. La interacción gravitatoria es una fuerza central. Si una partícula se mueve por la acción de una fuerza central, su momento angular con respecto del centro de fuerzas permanece constante, ya que el vector fuerza y el vector de posición de la partícula respecto de dicho punto son paralelos.

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8. La ley de Gravitación y las leyes de Kepler Newton dedujo su ley de gravitación aplicando las leyes de Kepler. Es lógico pensar que lo mismo se pueda realizar a la inversa. Para ello, se aplican las propiedades de las fuerzas centrales y la dinámica del movimiento circular.

Lsol = constante

r

F

- Primera ley de Kepler

Sol

r

La fuerza con la que actúa el Sol sobre los planetas es una fuerza central, ya que tiene la misma dirección que el vector de posición del planeta respecto del Sol. Por tanto, el vector momento angular de un planeta respecto del Sol permanece constante a lo largo de toda la trayectoria.

Planeta F F

r

a Durante el movimiento de un planeta su momento angular respecto del Sol permanece constante.

→ → → → L Sol = r x p= r x m· v = constante



 Si la dirección y el sentido del momento angular son constantes, entonces los vectores → r y→ v están siempre contenidos en el mismo plano y la trayectoria descrita por el planeta es una curva plana, que se recorre siguiendo siempre el mismo sentido.

- Segunda ley de Kepler Sea una partícula, un planeta, que en un instante t está en la posición P, siendo el vector de posición → r y en un instante posterior, t + dt, se encuentra en otra posición P’, definida por el vector de posición → r + d→ r.

P’ Lo

dr

El módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que delimitan. Por tanto, el área del triángulo que delimitan los vectores → r y d→ r es igual a la mitad del valor del módulo de su producto vectorial. dS=

r + dr

O

P r

1 1 → dS 1 → → v · dt | ⇒ | r x d →r | = | →r x → = |r x v| 2 2 dt 2

Como el momento angular del planeta respecto del Sol permanece constante: → → =→ L O r x m · v = constante , se cumple que:

a El área del triángulo es igual a la mitad del valor numérico del producto vectorial de los vectores que lo delimitan.

→ dS | L O | = = constante dt 2 · m

 Lo que significa que el área barrida por unidad de tiempo por vector de posición de un planeta respecto del Sol, llamada velocidad aerolar, es una cantidad constante, que es otra forma de enunciar la segunda ley de Kepler. Al ser el módulo del momento angular de un planeta respecto del Sol constante y como el vector de posición del planeta respecto del Sol es perpendicular al vector velocidad, se puede relacionar la velocidad de un planeta con su distancia al Sol para dos puntos cualesquiera de la órbita. → |→ L 1 | = | L 2 | ⇒ r 1 · m · v1 · sen ϕ1 = r 2 · m · v 2 · sen ϕ 2

v mínima

r1

r2 Sol vmáxima

Cuanto mayor es la distancia de un planeta al Sol, menor es su velocidad.

a

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- Tercera ley de Kepler v F

Planeta

Sobre los planetas solamente actúa la fuerza de interacción gravitatoria debida al Sol. Aplicando la segunda ley de Newton y considerando a la órbita como circular, se tiene que: →

r



ΣF = m planeta · a n ; G

Sol

m Sol · m planeta r

2

= m planeta ·

v 2planeta r

La relación entre la velocidad y el período es: v = La interacción gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta que mantiene a un planeta en su órbita.

a

Sustituyendo: G ·

⇒ G·

m Sol = v 2planeta r

2·π · r T

mSol 4· π 2 ·r 2 4· π 2 T2 = constante = = ⇒ r T2 r 3 G · m Sol

Cantidad que solamente depende de la masa del astro central. De esta forma se justifica el que Kepler otorgara al Sol la causa del movimiento de los planetas. El valor de la constante sólo depende de la masa del Sol y es independiente de la masa y del movimiento de los planetas. De igual forma, al aplicar la tercera ley de Kepler a un planeta y al conjunto de sus satélites, el valor de la constante sólo depende de la masa del planeta.

ACTIVIDADES RESUELTAS La Tierra en su perihelio, punto más cercano al Sol, está a una distancia de 147 millones de km del Sol y tiene una velocidad de 30,3 km/s. ¿Cuál es la velocidad de la Tierra en su afelio, punto más alejado del Sol, si dista 152 millones de km del Sol? La dirección de la fuerza con la que actúa el Sol sobre la Tierra coincide con la dirección del vector de posición de la Tierra respecto del Sol, por lo que el momento angular de la Tierra respecto del Sol permanece constante a lo largo de toda la trayectoria.

vafelio F



→ L perihelio = L afelio

rperihelio

Aplicando la definición de momento angular y como el vector de posición es perpendicular a la velocidad, se tiene:

F

Sol rafelio

vperihelio



v afelio ⇒ rperihelio · vperihelio = rafelio · vafelio v perihelio =→ r perihelio x m · → r afelio x m ·→

Sustituyendo: 147 · 106 km · 30,3 km/s = 152 · 106 km · vafelio v vafelio = 29,3 km/s Calcula el período de la estación espacial internacional (ISS), sabiendo que gira en una órbita situada a una distancia media de 400 km sobre la superficie de la Tierra. Datos: RTierra = 6 370 km, g0, Tierra = 9,8 m/s2. El radio de la órbita es: r = RTierra + 400 km = 6370 · 103 m + 400 · 103 m = 6,77 · 106 m Aplicando la tercera ley de Kepler

T = 2· π

r3 = 2 ·π G · m Tierra

T2 4 ·π 2 y como g 0 = G · mTierra , se tiene que el período es: 3 = 2 r G · mTierra RTierra

r3 = 2 ·π 2 g 0 · RTierra

(6,77 · 106 m) 3 9,8 m / s 2 · (6,37 · 106 m) 2

= 5,6 · 103 s = 93 min

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9. Satélites geoestacionarios Se denomina órbita geoestacionaria a la órbita en la que el período de traslación de un satélite es igual al período de rotación de la Tierra. T = 24 h = 8,6 · 104 s Estos satélites mantienen su posición relativa respecto de un punto de la Tierra, por lo que se utilizan como repetidores de las señales electromagnéticas en comunicación. Aplicando la segunda ley de Newton a la órbita, de radio r, y como: v = 2· π · r y g = G · mTierra , se tiene que: 0 T R2 Tierra





ΣF = m planeta · a n ; G Despejando: r 3 =

m Tierra · m r

2

v2 m Tierra 4 · π2 · r2 =m· G · ⇒ r = r T2

G · m Tierra · T 2 ⇒ r= 4 ·π 2

3

a Los satélites de comunicación y algunos satélites meteorológicos se sitúan en la órbita geoestacionaria. Para la observación más detallada y para latitudes superiores a 60 º se colocan en órbita circumpolar de 800 km de altura.

2 g 0 · RTierra ·T 2 4 ·π 2

Sustituyendo se tiene que el radio de la órbita es: r =3

9,8 m/ s 2 · (6 370· 103 m) 2 · (8,64 · 104 s) 2 = 4,22 · 107 m = 42 200 km 4· π 2

Por lo que la altura del satélite sobre la superficie de la Tierra es: h = r - RTierra = 42 200 km - 6 370 km = 35 830 km · 36 000 km Para que la órbita de un satélite sea estable el plano que la contiene debe contener el centro de la Tierra, ya que en caso contrario la dirección del vector fuerza y del vector de posición del satélite respecto del centro de la órbita no son paralelos y el momento angular del satélite respecto del centro de la órbita no se conservaría.

L0 O

v

r F

a La órbita de un satélite geoestacio-

F

nario está en la vertical del ecuador terrestre.

r

O

r

r F

F

Como el período de un satélite geoestacionario es el mismo que el de la Tierra, su órbita está en la vertical de un punto del ecuador terrestre y no puede estar situado sobre la vertical de un punto de España.

 Importante El plano de la órbita de un satélite debe contener al centro de la Tierra.

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10. El fenómeno de las mareas Se denomina marea al ascenso y descenso periódicos de todas las aguas oceánicas, incluyendo las de los mares abiertos, las de los golfos y las de las bahías, resultado de la atracción gravitatoria de la Luna y del Sol sobre el agua y la propia Tierra. La primera explicación correcta del fenómeno de las mareas la dio Newton, al asociarlo a la influencia de la interacción gravitatoria entre la Tierra y la Luna.

Mareas lunares Una persona montada en un tiovivo observa que tiende a ser expulsado de la plataforma con mayor intensidad cuanto más alejada esté del centro de la misma. Para justificar esta observación, desde un sistema de referencia no inercial, la persona debe introducir una fuerza de inercia, denominada fuerza centrífuga, que le empuja hacia afuera. a Playa de la Concha (San Sebastián).

→ T



Fcentrífuga a Para un observador no inercial el objeto está en reposo y debe introducir la fuerza centrífuga, fuerza ficticia, que equilibre a la tensión.

 Sistemas de referencia Un sistema de referencia es inercial cuando está en reposo o su movimiento es rectilíneo uniforme. En este sistema se aplican las leyes de Newton. A un observador situado en un sistema animado con aceleración se le denomina no inercial. En estos sistemas no son válidas las leyes de Newton, para aplicarlas debe introducir una fuerza ficticia o fuerza de inercia.

La inercia hace que al girar un balón mojado las partículas de agua se desprenden de su superficie. De igual forma el movimiento de rotación de la Tierra provoca que el agua de los océanos tienda a salir desprendida, pero no lo consigue debido a la atracción gravitatoria de la propia Tierra. Este efecto es mayor en los puntos próximos al ecuador terrestre. La Tierra y la Luna forman un sistema que se mantiene unido por la interacción gravitatoria. Si dejan de considerarse a los dos astros como objetos puntuales, el sistema gira en torno a un centro común que está situado dentro de la Tierra y a una distancia de su centro de 3/4 del radio terrestre. Además, todos los puntos de la superficie de la Tierra están afectados por la atracción de la Luna con una fuerza tanto más intensa cuanto más cerca estén de ésta. La combinación de los dos fenómenos (la diferencia de la atracción lunar y la fuerza centrífuga) hace que las regiones oceánicas situadas en la cara de la Tierra orientada a la Luna se acerquen hacia el satélite, por lo que se encuentran en pleamar. A su vez, las regiones que se encuentran en la cara opuesta de la Tierra se alejan del satélite y también se encuentran en pleamar. Si la Tierra estuviera cubierta totalmente de agua se deformaría hasta tener la forma de un elipsoide alineado con el sistema Tierra-Luna. Debido a los movimientos de la Tierra y de la Luna la componente de marea lunar se manifiesta con un período de 12 horas y 30 minutos, aproximadamente.

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Mareas solares El Sol también interviene de manera directa en el fenómeno de las mareas, con un período de 24 horas. El que la masa del Sol sea 27 millones de veces mayor que la de la Luna y esté situado 400 000 veces más lejos, no basta para explicar que su efecto sobre las aguas del océano sea un 45 % menor que el efecto producido por la Luna.

R F(r + R)

F(r – R)

Son muy famosas y espectaculares las mareas del monte Saint-Michel. En este lugar son normales unas mareas de 9 m.

a

Luna Tierra r

Esta menor contribución del Sol al efecto de marea se debe a que la diferencia entre los módulos de las fuerzas con que actúa la Luna sobre el océano más próximo a ella y el más alejado es mucho mayor que la correspondiente diferencia para el caso del Sol.

Mareas vivas y mareas muertas La magnitud de la marea es el resultado de la combinación de los dos elipsoides de deformación generados, por lo que la magnitud de la misma depende de las posiciones relativas del Sol y de la Luna respecto de la Tierra en un instante dado. Durante los períodos de luna nueva y luna llena, el Sol, la Luna y la Tierra están alineados, los dos efectos se suman y se tienen las mareas vivas. En ellas las mareas altas ascienden más y las mareas bajas descienden más de lo habitual. Cuando la Luna está en fase de cuarto menguante o de cuarto creciente, el Sol, la Luna y la Tierra forman un ángulo recto y se tienen las mareas muertas. En este estado de los astros la marea alta es más baja y la baja más alta de lo normal. El tamaño de la marea también está altamente influenciado por la estructura de la costa y de los océanos. Así, no son comparables las mareas del mar Mediterráneo, mar cerrado, con las que se producen en el océano Atlántico y en el mar Cantábrico. Luna

Tierra Sol

Luna

Tierra

Luna

Sol

Luna Marea muerta

Marea viva

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PARA SABER MÁS El fenómeno de la ingravidez Con frecuencia observamos imágenes de astronautas y objetos que flotan en el aire dentro de las naves espaciales en estado de ingravidez. El término de ingravidez no es correcto porque la fuerza de atracción gravitatoria con la que actúa la Tierra sobre los astronautas no se hace igual a cero y por tanto las personas y los objetos que están dentro de la nave tienen peso. La relación entre el peso de un astronauta en la superficie de la Tierra y dentro de la estación espacial internacional, ISS, por ejemplo, que gira en una órbita situada a 400 km de la superficie de la Tierra es:

Astronauta en ambiente de ingravidez.

a

G · MTierra · mastronauta 2 Pórbita RTierra ( RTierra+ h) 2 = = · · G MTierra mastronauta ( RTierra+ h) 2 P suelo 2 RTierra Sustituyendo por sus valores: Pórbita (6 370 km) 2 = 0, 89 = (6 370 km+ 400 km) 2 P suelo El astronauta y todos los objetos de la nave pesan solamente un 11 % menos que en el suelo. Por tanto, la lejanía de la nave no es suficiente explicación de la aparente pérdida del peso.

Peso aparente La sensación que tenemos de nuestro propio peso proviene de las fuerzas que lo equilibran. Así, al estar sentados sentimos la fuerza con la que actúa la silla, que equilibra a nuestro peso e impide que caigamos al suelo. Al pesarnos en una báscula de baño, su resorte se comprime para equilibrar a nuestro peso. Esa compresión permite determinar el valor del peso con un aparato que se haya calibrado aplicando la ley de Hooke.

a=0

a=g

0

0

50

50

T P

a

Ascensor parado.

P

Ascensor en caída libre

Pero veamos qué ocurre al pesarnos o al pesar un objeto con un dinamómetro en el interior de un ascensor. Si el ascensor está en reposo, el dinamómetro indica una cantidad igual al peso de objeto. Si el ascensor desciende con una aceleración igual a la de la gravedad, no hay ninguna fuerza que equilibre al peso y el dinamómetro indica una cantidad igual a cero. Aparentemente nosotros y los objetos que están dentro del ascensor no pesamos nada. A esta situación se le denomina ingravidez, más correctamente, falta aparente de peso, y es la que experimentan los astronautas cuando se mueven en órbita alrededor de la Tierra.

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Ingravidez en órbita Sobre una nave espacial que describe una órbita circular en torno a la Tierra actúa la interacción gravitatoria, que es la fuerza centrípeta necesaria para que el movimiento circular tenga lugar. La nave espacial lleva un movimiento continuo de caída libre hacia la superficie de la Tierra siguiendo una curva cerrada. La nave espacial y el astronauta se mueven en caída libre hacia la Tierra con la misma aceleración y por ello sobre el astronauta y los objetos de la nave no actúa ninguna fuerza que equilibre a su peso. Ésa es la razón por la que aparentemente no pesan nada.

Creación de ambientes de ingravidez Los científicos generan ambientes de ingravidez produciendo situaciones de caída libre hacia la superficie de la Tierra de diferentes formas: a bordo de naves espaciales, en vuelos parabólicos con aeronaves, en la caída libre desde el espacio por medio de cohetes sondas y con torres de caída libre.

V F

Tbumjuf a normal

Ujfssb

a Sobre el satélite y los objetos que contiene solamente actúa la interacción gravitatoria.

Los satélites en órbita proporcionan condiciones de ingravidez durante períodos largos y continuos de tiempo. Con cohetes se generan períodos de caída libre, durante su descenso, con una duración de hasta 20 minutos. La Agencia Espacial Europea utiliza un avión Airbus 300 para proporcionar condiciones de ingravidez mediante vuelos parabólicos. El avión sube hasta unos 8 000 m, para descender rápidamente. Al bajar hasta la altura adecuada, el avión vuelve a ascender para repetir el ciclo. Así se consiguen períodos de caída libre de una duración de medio minuto que se pueden repetir sucesivamente. Es como si las personas y objetos se movieran dentro de una montaña rusa gigante. También hay instalaciones sobre la superficie de la tierra. Consisten en torres de más de 100 m de alto, dentro de las cuales se dejan caer objetos que experimentan una caída libre durante varios segundos. La gravedad afecta a todos los procesos biológicos, físicos y químicos sobre la superficie de la Tierra. Los ambientes de ingravidez proporcionan un entorno adecuado para desentrañar comportamientos de las sustancias que quedan enmascarados por la gravedad. De esta forma se abren nuevos horizontes de experimentación en medicina, biología, mecánica de fluidos, combustiones, comportamiento de materiales, etc. El fenómeno de la ingravidez produce incomodidades a los astronautas a la hora de realizar sus actividades diarias. Pero, lo que más preocupa a los médicos son los trastornos en su organismo, y sobre todo la pérdida de masa ósea. Otros trastornos son la disminución de glóbulos rojos, la debilidad muscular y los problemas psicológicos derivados del encierro en habitáculos de dimensiones reducidas. Para paliar los efectos de la ingravidez, los astronautas siguen diariamente programas con ejercicios físicos muy específicos.

a Generación de ambientes de ingravidez.

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ACTIVIDADES FINALES 1. Si se descubriera un planeta situado a una distancia del Sol diez veces mayor que la distancia a la que se encuentra la Tierra, ¿cuántos años terrestres tardaría en recorrer su órbita? 2. Calcula la masa del Sol sabiendo que la constante de la tercera ley de Kepler para los planetas del sistema solar tiene el valor de 3,35 · 1018 m3/s2. 3. La masa de Júpiter es 318 veces la de la Tierra, su radio medio es 10,85 veces el terrestre y su distancia media al Sol es 5,2 veces la de la Tierra. Con estos datos calcula el período orbital en torno al Sol en relación a un año terrestre y el valor de la gravedad en su superficie en relación al de la Tierra. 4. Dos satélites de comunicaciones A y B (mA > mB) giran alrededor de la Tierra en órbitas circulares de distinto radio (RA < RB). Se pide: a) ¿Cuál de los dos se moverá con mayor velocidad lineal? b) ¿Cuál de los dos tendrá mayor período de revolución? 5. Dos satélites de igual masa orbitan en torno a un planeta de masa mucho mayor siguiendo órbitas circulares coplanarias de radios R y 3 · R y recorriendo ambos las órbitas en sentidos contrarios. Calcula la relación entre sus periodos y entre sus momentos angulares (módulo, dirección y sentido). 6. Se tienen dos satélites iguales, de la misma masa, uno gira en una órbita circular alrededor de la Tierra y el otro en torno a Marte. ¿Cuál es la relación entre los radios de las órbitas si ambos tienen el mismo período? Supongamos ahora que los dos satélites giran en órbitas del mismo radio, cada uno alrededor de su planeta. ¿Cuál es la relación entre los momentos angulares correspondientes? Datos: mMarte = 0,11 · mTierra; RMarte = 0,5·RTierra. 7. Un planeta describe una órbita circular de radio 1 · 108 km con un período de rotación 2 años en torno a una estrella de masa mucho mayor. Calcula la masa de la estrella. 8. Europa, satélite de Júpiter, fue descubierto por Galileo en 1610. Sabiendo que el radio de la órbita que describe es de 6,7· 105 km y su período de 3 días, 13 horas y 13 minutos, calcula la velocidad de Europa relativa a Júpiter y la masa del planeta. 9. El diámetro de la Luna es la cuarta parte del de la Tierra y su masa es 1/81 de la masa de la Tierra. ¿Con qué velocidad llegará a la superficie de la Luna un objeto que se deja caer desde una altura de 5 m? 10. Supón que la Tierra redujese su radio a la mitad manteniendo su masa. ¿Aumentaría el valor de la aceración de la gravedad en su superficie? ¿Se modificaría sustancialmente su órbita alrededor del Sol? 11. Calcula el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta Mercurio, sabiendo que su radio es igual a la tercera parte del radio terrestre y que su densidad es igual a 3/5 de la densidad de la Tierra. 12. La aceleración de la gravedad en un planeta es 5 m/s2. Si su radio es igual a la mitad del radio terrestre, calcula la relación de su masa con la masa de la Tierra. 13. Un planeta de forma esférica tiene un radio de 3 000 km y la aceleración de la gravedad en su superficie es 6 m/s2. Calcula su densidad media. 14. Un cuerpo de masa 100 kg está situado en la superficie de la Tierra. ¿Cuál es su peso? Si se duplicara el radio de la Tierra, manteniendo la masa de ésta, ¿cuál sería entonces el peso del cuerpo? Si se duplicara el radio de la Tierra, manteniendo constante su densidad media, ¿cuál sería en tal caso el peso del objeto? 15. En dos de los vértices de un triángulo equilátero de 1 m de lado hay colocadas sendas masas de 3 kg cada una. Calcula el módulo, la dirección y el sentido de la fuerza con la que actúan sobre otra masa de 5 kg colocada en el otro vértice.

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16. Tres masas puntuales de 1 kg están situadas en tres vértices de un cuadrado de 1 m de lado. ¿Qué fuerza actúa sobre una cuarta masa de 1 kg colocada en el otro vértice? 17. Dos puntos materiales de masas m y 2 m respectivamente se encuentran la una distancia de 1 m. ¿Dónde habrá que colocar otro objeto para que esté en equilibrio? 18. La Luna describe una órbita circular en torno a la Tierra en 28 días. Si la masa de la Tierra es 6,0 · 1024 kg calcula la distancia entre los centros de la Tierra y la Luna. ¿Cuál es el valor de la masa de la Luna sabiendo que una partícula de masa m podría estar en equilibrio en un punto alineado con los centros de la Tierra y de la Luna, a una distancia del centro de la Tierra de 3,4 · 108 m? 19. Un planeta orbita alrededor de una estrella de masa mucho mayor. La distancia más próxima es RPróxima = 1 · 108 km y la más alejada es RAlejado = 1,8 · 108 km. Calcula la relación entre las velocidades del planeta en los puntos más próximo, P, y más alejado, A. 20. Dos satélites, A y B, giran alrededor de un planeta siguiendo órbitas circulares de radios 2 · 108 y 8 · 108 m, respectivamente. Calcula la relación entre sus velocidades tangenciales respectivas. 21. La nave espacial del primer vuelo tripulado chino orbitó la Tierra a una distancia de 330 km de su superficie. Calcula el período orbital de la nave y su velocidad en la órbita, supuesta circular. 22. Un satélite artificial describe una órbita circular de radio 2· RTierra en torno a la Tierra. Calcula su velocidad orbital y el peso del satélite en la órbita si en la superficie de la Tierra pesa 5 000 N. Dato: RTierra = 6 400 km. 23. La distancia Tierra-Luna es aproximadamente 60 · RT, siendo RT el radio de la Tierra, igual a 6 400 km. Calcula la velocidad lineal de la Luna en su movimiento alrededor de la Tierra y el correspondiente período de rotación en días. La masa de la Tierra es: 5,98 · 1024 kg. 24. Una sonda espacial orbita en torno a Marte recorriendo una órbita completa cada 7,5 horas, siendo su masa 120 kg. Sabiendo que el radio del planeta Marte es de 3 390 km y que su masa es igual a 6,421·1023 kg y suponiendo que la órbita es circular, calcula su radio y la velocidad con que la recorre la sonda. En realidad, esta sonda describe una órbita elíptica de forma que pueda aproximarse lo suficiente al planeta como para fotografiar su superficie. La distancia a la superficie marciana en el punto más próximo es de 258 km y de 11 560 km en el punto más alejado. Obtén la relación entre las velocidades de la sonda en estos dos puntos. 25. En el año 1957 la extinta Unión Soviética lanzó al espacio el primer satélite artificial de la historia, el Sputnik 1. El satélite pesaba 83 kg y dio 1 400 órbitas alrededor de la Tierra con un período de 96,2 min. Calcula el momento angular del satélite respecto de la Tierra. 26. Un satélite gira alrededor de la Tierra en una órbita circular de 20 000 km de radio. Si el radio de la Tierra es igual a 6 370 km y la aceleración de la gravedad en su superficie 9,8 m/s2, calcula el valor de la aceleración de la gravedad en la órbita y la velocidad angular del satélite. 27. Si la masa de Marte es aproximadamente la décima parte de la Tierra y su período de rotación en torno a su eje es aproximadamente igual al de la Tierra, calcular el radio de la órbita de un satélite geoestacionario orbitando sobre el ecuador de Marte. 28. Desde un lugar situado a una distancia del centro de la Tierra igual a 5/4 del radio terrestre, se desea poner en órbita un satélite. ¿Qué velocidad inicial hay que comunicarle? ¿Cuál es el período del satélite? Datos: g0 = 9,8 m/s2; RTierra = 6 370 Km.

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CIENCIA Y SOCIEDAD El gran éxito de la ley de gravitación Desde la antigüedad y hasta finales del siglo XVIII se conocían seis planetas: Mercurio, Venus, la Tierra, Marte, Júpiter y Saturno. La mayoría de la científicos, entre ellos Kepler, estaban convencidos de que ése era el límite del Sistema Solar, a excepción de los cometas.

Enseguida se dieron cuenta de que Urano no seguía exactamente la órbita calculada y que alguna causa alteraba su movimiento. Para ello sugirieron varias explicaciones como: ¿tendrá Urano algún satélite muy masivo, pero invisible? o ¿existirá algún otro planeta que perturba el movimiento de Urano?

En el último cuarto del siglo XVIII el astrónomo alemán William Herschel construyó uno de los mejores telescopios de la época, con el que decidió elaborar un censo detallado de la posición de las estrellas menos brillantes del firmamento.

El francés Urbain Leverrier había estudiado matemáticamente la órbita de algunos cometas, y sabía cómo tratar el problema de la órbita de Urano. En 1846, y después de varios años de trabajo, completó sus cálculos y escribió al astrónomo Johann Galle, del observatorio de Berlín, pidiéndole realizar observaciones en un lugar del cielo donde predecía que el nuevo planeta debería estar. Unos días más tarde el planeta fue encontrado muy cerca de la posición calculada. Se había descubierto un nuevo planeta, que pronto llevaría el nombre de Neptuno.

En 1781 encontró un objeto que no tenía la apariencia de una estrella. Con la ayuda de otros astrónomos se dedujo que su órbita era casi circular, por lo que no se correspondía con la de un cometa. Habían descubierto un nuevo planeta al que se le puso el nombre de Urano. Con ello se duplicó el tamaño del Sistema Solar y además se constató que era posible descubrir planetas nuevos y que los límites del Sistema Solar no estaban establecidos. Desde el momento de su descubrimiento, los astrónomos empezaron a estudiar el movimiento de Urano, para determinar el tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol y al aplicar las leyes de Kepler calcular su distancia al mismo.

Unos meses antes el inglés John Adams había realizado cálculos similares que no fueron tenidos en cuenta por el observatorio de Greenwich hasta que no se conocieron los de Leverrier. Estos descubrimientos con lápiz y papel supusieron la consagración definitiva de la ley de Gravitación Universal desarrollada por Isaac Newton.

I N V E S T I G A En la página http://www.portalplanetasedna.com.ar/astronomos_antiguos/ puedes encontrar biografías de astrónomos. 1. Kepler, inicialmente, buscando la armonía de los cielos asoció las órbitas de los planetas conocidos hasta entones con los cuerpos sólidos regulares pitagóricos: cubo, tetraedro, dodecaedro, icosaedro y octaedro. Busca de qué forma intentaba Kepler encajar las órbitas de los planetas con los sólidos regulares. 2. Recientemente se le ha quitado a Plutón la categoría de planeta. Investiga cuándo se tomó ese acuerdo y las razones que lo motivaron.

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EN RESUMEN ASTROS

Movimiento

Posición de la Tierra

Masa

Ley de Gravitación Universal

Leyes de Kepler

Modelo geocéntrico Modelo heliocéntrico

Movimiento planetas

Peso de los objetos

TEST DE EVALUACIÓN 1. Contesta si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) La Tierra se mueve alrededor del Sol más deprisa cuando es verano en el hemisferio norte que en invierno. b) Si la órbita de un satélite es circular, su centro coincide con el de la Tierra. c) La constante de la tercera ley de Kepler sólo depende de la masa del astro central. d) Cuanto más lejos está un planeta del Sol menor es su velocidad orbital. 2. Completa la frase: Un satélite geoestacionario recorre su órbita con un período de _______ y está colocado en la vertical del ___________ y se utilizan en ___________. 3. ¿Cuál será el peso de un objeto al elevarlo a una distancia igual a dos veces el RTERRESTRE? a) 3 · Psuperficie. b) Psuperficie /3. c) Psuperficie /9. d) Psuperficie /2. 4. En el origen de coordenadas se sitúa una masa m1=1kg, en el punto A (3, 0) se coloca otra masa m2 = 2 kg y en el punto B (0, 4) una tercera m3 = 3 kg. El módulo de la fuerza que actúa sobre la masa colocada en el origen es: a) 1,94 · 10-11 N. b) 2,73 · 10-11 N. c) 0 N. d) 1,94 · 10-9 N. 5. Una unidad astronómica, U.A, es igual a la distancia media desde la Tierra hasta el Sol. Si el planeta Saturno tarda 29,5 años en recorrer su órbita, su distancia Sol expresada en unidades astronómicas es: a) 29,5 U.A. b) 9,5 U.A. c) 59 U.A. d) 100 U.A.

6. Si un satélite está situado en una órbita a 330 km de la Tierra, su período de revolución es: a) 91 min. b) 62 min. c) 120 min. d) 1 h. 7. Un planeta posee un radio que es el doble del radio terrestre y su densidad media es la misma que la de la Tierra. El peso de los objetos en ese planeta respecto de lo que pesan en la Tierra es: a) 2·PTierrra. b) PTierrra. c) PTierrra /2. d) PTierra /4. 8. Completa la frase: El momento angular de la Tierra respecto del Sol es un ________ , de dirección ____ al plano de la órbita y permanece ___________ a lo largo de la trayectoria. 9. Justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) La interacción gravitatoria entre dos masas depende del medio en el que coloquen. b) El momento angular de una partícula no depende del origen del sistema de referencia. c) Si la órbita de un satélite es estable, su vector de posición y el vector fuerza son paralelos. d) El vector momento angular de un satélite respecto de la Tierra está contenido en el plano de su órbita. 10. Si se duplicara la masa de la Tierra, la distancia a que habría que colocar la Luna para que girase con el mismo período con el que lo hace actualmente sería: a) r’ = 2 r. b) r' = 3 2 · r . c) r’ = r/2. d) r’ = r.

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