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• Elvis Meneses

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¿una caja rectangular se coloca en el primer octante, con una de sus esquinas en el origen y tres de sus lados? sobre los tres planos de coordenadas. el vertice opuesto al origen esta en el plano con ecuacion x+2y++3z=6.¿cual es el volumen maximo posible de dicha caja?¿cuales son las ...mostrar más

Mejor respuesta

 Robertoroque respondida hace 11 meses Apreciada amiga, te ayudaré utilizando Optimización mediante la primera derivada. De acuerdo con el enunciado, los lados de la caja rectangular son: Largo = x Ancho = y Alto = z además, el vértice opuesto al origen; al que llamaremos P, tiene por coordenadas: P(x,y,z) el volumen V de la caja es igual al producto del Largo por el Ancho por el Alto, entonces: V = xyz

→ ecuación ➀

pero como el punto P(x,y,z) pertenece al plano x + 2y + 3z = 6, podemos despejar x de la ecuación del plano: x + 2y + 3z = 6 ⇒ x = 6 - 2y - 3z

→ ecuación ➁

sustituimos el despeje anterior en la ecuación ➀: V = xyz ⇒ V = (6 - 2y - 3z)yz ⇒ V = 6yz - 2y²z - 3yz²

→ ecuación ➂

la ecuación ➂ representa el volumen en función de las variables z e y. A continuación hallaremos las derivadas parciales del volumen V con respecto a estas variables: ∂V/∂y = 6z - 4yz - 3z² ∂V/∂z = 6y - 2y² - 6yz como el volumen debe ser máximo, igualamos las primeras derivadas a 0:

6z - 4yz - 3z² = 0

→ ecuación ➃

6y - 2y² - 6yz = 0

→ ecuación ➄

las ecuaciones ➃ y ➄ representan un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, el cual debemos resolver. Procedamos despejando y de la ecuación ➃: → ecuación ➅

y = 3/2 - 3z/4

sustituimos el despeje anterior en la ecuación ➄: 6y - 2y² - 6yz = 0 ⇒ 6(3/2 - 3z/4) - 2(3/2 - 3z/4)² - 6(3/2 - 3z/4)z = 0 ⇒ 9 - 9z/2 - 2(9/4 - 9z/4 + 9z²/16) - 9z + 9z²/2 = 0 ⇒ 9 - 9z/2 - 9/2 + 9z/2 - 9z²/8 - 9z + 9z²/2 = 0 multiplicamos todo por 8: 72 - 36z - 36 + 36z - 9z² - 72z + 36z² = 0 agrupamos términos semejantes: 27z² - 72z + 36 = 0 simplificamos entre 9: 3z² - 8z + 4 = 0 dividimos entre 3: z² - 8z/3 + 4/3 = 0 factorizamos: (z - 2/3)(z - 2) = 0 por lo tanto, tenemos dos posibles soluciones para z: z₁ = 2/3 z₂ = 2

→ POSIBLE MAXIMO O MINIMO → POSIBLE MAXIMO O MINIMO

hallamos los respectivos valores de y₁ e y₂ utilizando la ecuación ➅. Empezamos con y₁: y = 3/2 - 3z/4 ⇒ y₁ = 3/2 - 3z₁/4 ⇒ y₁ = 3/2 - 3(2/3)/4 ⇒

y₁ = 3/2 - 1/2 ⇒ y₁ = 2/2 ⇒ y₁ = 1 seguimos con y₂: y = 3/2 - 3z/4 ⇒ y₂ = 3/2 - 3z₂/4 ⇒ y₂ = 3/2 - 3(2)/4 ⇒ y₂ = 3/2 - 3/2 ⇒ y₂ = 0 como y₂ dio 0, entonces, los valores correctos son los de y₁ y z₁. Ahora hallamos x₁ de la ecuación ➁: x = 6 - 2y - 3z ⇒ x₁ = 6 - 2y₁ - 3z₁ ⇒ x₁ = 6 - 2(1) - 3(2/3) ⇒ x₁ = 6 - 2 - 2 ⇒ x₁ = 6 - 4 ⇒ x₁ = 2 por lo tanto, las dimensiones de la caja de mayor volumen son: x₁ = Largo = 2 y₁ = Ancho = 1 z₁ = Alto = 2/3 ahora hallamos el volumen de la caja: V = (x₁)(y₁)(z₁) ⇒ V = (2)(1)(2/3) ⇒ V = 4/3

→ VOLUMEN MAXIMO POSIBLE DE LA CAJA