ANÁLISIS ESTRUCTURAL I UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA – INGENIERIÍA CIVIL Dr (c). Ing. Arnold Mendo Rodríguez MÉTOD
Views 92 Downloads 5 File size 3MB
ANÁLISIS ESTRUCTURAL I UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA – INGENIERIÍA CIVIL
Dr (c). Ing. Arnold Mendo Rodríguez
MÉTODO DE RIGIDEZ
Para entender el método matricial de rigidez se requiere revisar algunos conceptos importantes Todo cuerpo elástico que sea sometido a fuerzas externas (estáticas o dinámicas), sufre una deformación. La rigidez se define como la relación entre estas fuerzas externas y las deformaciones que ellas inducen en el cuerpo.
Cuando el resorte se estira debido a la aplicación de una fuerza P en uno de sus extremos con el otro extremo adherido a un apoyo, las deformaciones son resistidas por medio del trabajo interno asociado a la magnitud de deformación del extremo libre.
En general la relación carga deformación no es totalmente lineal, pero cuando las deformaciones son pequeñas se puede idealizar como una línea recta con la siguiente relación matemática
El mismo concepto se puede extender a cuerpos elásticos que tienen otras formas como en el caso de la viga en voladizo Utilizando los principios de la resistencia de materiales es posible demostrar que para el voladizo presentado la deflexión u, está dada por:
donde L es la luz de la viga, E es el módulo de elasticidad del material de la viga, e I es el momento de inercia de la sección de la viga. En este caso la rigidez k, está dada por
La rigidez puede también definirse como la fuerza que debe aplicarse al sistema para obtener una deformación unitaria en la misma dirección y sentido de la carga.
A continuación se presentan varios casos comunes de rigidez para diferentes sistemas
A continuación se presentan varios casos comunes de rigidez para diferentes sistemas
Respecto al método matricial de rigidez o desplazamientos es un método de cálculo aplicable a estructuras de barras El método consiste calcular la matriz de rigidez, que relaciona los desplazamientos de los nudos de la estructura con las fuerzas exteriores que generan los desplazamientos
El método matricial de rigidez es aplicable bajo las siguientes hipótesis 1. Los materiales y comportamiento lineal
la
estructura
tienen
un
2. Las deformaciones son pequeñas comparadas con las dimensiones de la estructura
3. Los materiales son homogéneos e isotropos
4. Se desprecian los efectos y fenómenos que afectan la rigidez
Para resolver el sistema estructural se emplean las relaciones fundamentales 1. Ecuaciones de equilibrio Se produce dentro de la estructura, en cualquier elemento, sección, nudo, barra, conjunto, asi como con las cargas exteriores
2. Ecuaciones de compatibilidad de movimientos Se produce entre los elementos de la estructura asi como con las condiciones de contorno 3. Leyes de comportamiento Estas leyes relacionan las tensiones con las deformaciones (leyes de Hooke,...).
En el desarrollo del método matricial se emplean dos sistemas de coordenas
El sistema GLOBAL referido a los ejes de la estructura como conjunto y el sistela Local refereido a los ejes de cada elemento
Para emplear el método matricial es necesario realizar la transformación de un sistema de coordenadas al otro de una forma sistemática
El sistema local siempre se define con el eje x a lo largo del eje longitudinal del elemento (ab). El eje y tiene su sentido positivo hacia la izquierda a 90° de x. El eje z se obtiene con la regla de la mano derecha y es perpendicular al plano de x & y. En el sistema global el eje X puede tener cualquier orientación en el plano del papel, pero lo
usual es que sea horizontal. Los ejes Y y Z globales se definen a partir del eje X de la misma manera que sus homólogos locales. El ángulo α se define como el ángulo que se describe al ir del eje x local al eje X global, y es positivo en esa dirección.
La transformación de un sistema de coordenadas al otro se realiza usando el ángulo α plantenado las siguientes relaciones
Con las fuerzas fx, fy y fz en el sistema local mostrado y el ángulo α podemos encontrar las componentes de las tres fuerzas sobre los ejes del sistema global
……….( 1 )
Además podemos probar que la matriz [λ] tiene la propiedad de que es ortogonal, o sea que su transpuesta es su inversa
Esto quiere decir que si premultiplicamos ambos lados de la ecuación ( 1 )
……….( 2 )
Por medio de la matriz [λ] y las ecuaciones (1) y (2) podemos transformar las fuerzas que se encuentran en el sistema local a fuerzas en el sistema global
Transformar las fuerzas en sus extremos del sistema local mostrado a un sistema global que tiene su eje X horizontal
El ángulo α se obtiene del arcoseno de 3/5 y es 36.87º. El ángulo es negativo pues por definición α va de local a global. Por lo tanto: cos α= 4/5 = 0.8 y sen α = -3/5 = -0.6 y la matriz [λ] es:
Una formulación importante para desarrollar el método matricial es el principio de CONTRAGRADIENTE Supongamos a las fuerzas aplicadas a un elemento en sus extremos, en un sistema de coordenadas local llamado {f} y en coordenadas globales llamado {F}. Además mediante una
matriz de transformación [T], las fuerzas del un sistema pueden ser transformadas a otro de la siguiente manera:
λ
Para el Sistema local se cumple la siguiente relación y para el sistema global de la siguiente manera Para relacionar los vectores {U} con {u} usamos las ecuaciones que indica que el trabajo que han realizado las fuerzas a través del desplazamiento realizado puede expresarse como :
Las ecuaciones de trabajo son válidas siempre que los sistemas de coordenadas tengan componentes ortogonales, de tal manera que cada componente de fuerza sólo puede hacer trabajo con un desplazamiento colineal, o sea en la dirección de su propio eje de coordenadas. Además el trabajo es invariante con respecto a los sistemas de coordenadas por lo que se cumple λ λ que al aplicar ([A] [B])T = [B]T [A]T conduce a:
λ
……….( 3 )
O sea que hemos probado que la misma matriz de transformación [λ] que se utiliza para cambiar
el sistema de coordenadas de las fuerzas, opera para transformar desplazamientos, pero a través de [λ]T. Esta propiedad se conoce con el nombre de principio de contragradiente
Para realizar el cálculo de esfuerzos por el metodo mtracial es necesario expresar la Matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales Se conoce que la relación entre fuerzas y deformaciones para el sistema de coordenadas locales y globales son:
……….( 4 )
……….( 5 ) Para convertir los vectores de fuerzas de un sistema de coordenadas al otro se sabe que:
……….( 1 ) y gracias al principio de contragradiente sabemos que
……….( 3 ) Al reemplazar (3) en (4) obtenemos:
Al reemplazar (6) en (1) obtenemos:
De (5) y (7) obtenemos:
……….( 6 ) ……….( 7 )
……….( 8 )
Reemplazando la ecuación (8) en la ecuación de fuerzas de un elemento en coordenas locales encontramos la ecuación que nos permite obtener la rigidez de los elementos en coordenadas globales
Ahora vamos a ver como se ensambla la matriz de rigidez Tenemos una estructura compuesta por elementos del tipo mostrado El elemento i tiene la siguiente relación entre las fuerzas en sus extremos y los desplazamientos
Supongamos una estructura de la siguiente forma
Ahora planteamos el equilibrio de nudo n:
Por equilibrio en el nudo n
tomando en cuenta que {Um} = {Us} = 0 obtenemos:
Ahora planteamos el equilibrio de nudo q:
Por equilibrio en el nudo q
tomando en cuenta que {Ur} = 0 obtenemos:
Reordenando los vectores de carga de la siguiente manera
y este es el planteamiento del equilibrio de la estructura en su totalidad, el cual se puede expresar de la siguiente manera general:
donde {P} son las fuerzas externas a la estructura aplicadas en los nudos libres de desplazarse,
o sea aquellos diferentes de los apoyos, [KE] es la matriz de rigidez asociada con los nudos libres de la estructura y {U} son los desplazamientos de estos nudos libres.
Ejemplo: Encontrar la forma de ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura mostrada en la Figura.
Dado que en pórtico plano hay tres grados de libertad por nudo, la estructura tiene en total 6 x 3 = 18 grados de libertad. Trabajando con submatrices de tres por tres, podemos describir la matriz de rigidez como una matriz de 6 filas por 6 columnas, donde cada fila y cada columna representa tres grados de libertad
Ejemplo: Encontrar la forma de ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura mostrada en la Figura. 3
5 2 4
1
La estructura tiene en total 5 x 3 = 15 grados de libertad. Trabajando con submatrices de tres por tres, podemos describir la matriz de rigidez como una matriz de 5 filas por 5 columnas
Ejemplo: Encontrar la forma de ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura mostrada en la Figura. 2 1
2
3 1
Ejemplo: Encontrar la forma de ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura mostrada en la Figura. 3 1
1
2
2
3
4 4 5
5
6
7
7
9
9
6
8
8
10
10
Matriz de rigidez de 10x3=30 grados de libertad
La matriz de rigidez de una barra en coordenadas locales se define de la siguiente manera
Para la rigidez axial
Para la rigidez al corte
Considerando la rigidez al corte la matriz en coordenadas locales de un element tipo barra queda definida de la siguiente manera
Para la rigidez a la flexión
Considerando la rigidez a la flexión la matriz en coordenadas locales de un element tipo barra queda definida de la siguiente manera
Haciendo lo mismo de (a), (b) y (c) para desplazamientos unitarios en ubx, uby y ubz obtenemos la matriz de rigidez, en coordenadas locales, de un elemento de pórtico plano
Para un portico plano la matriz de rigidez de un elemento es la siguiente
a
a
[k]= b
b
Para un portico tridimensional la matriz de rigidez de un elemento es la siguiente a
a
[k]=
b
b
En general podriamos divider a la la ecuacion general de la siguiente manera
Sabemos que el vector de
Finalmente el vector
ya que son los grados de libertad restringidos
representa el vector de reacciones
Ejemplo: Calcular los desplazamientos de la siguiente estructura 500 kN
1
1
105°
2
4m 45°
30° 2
3
10 m
3
Ejemplo: Calcular los desplazamientos de la siguiente estructura
[λ] =
La matriz de rigidez en coordenadas locales para las barras del ejemplo son
La matriz de transformación esta dada por
La matriz de cada barra en coordenadas globales
La matriz de cada barra en coordenadas globales