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Las leyes de Newton

PRESENTACIÓN La dinámica complementa el estudio de la cinemática en la asignatura de Física y química de 1.º de Bachillerato. En dinámica se analizan las causas que originan el movimiento y se introducen los conceptos de momento lineal y fuerza. El estudio de la dinámica comienza con las leyes de Newton, que, descritas en su obra Principios Matemáticos de Filosofía Natural, explican el movimiento de cuerpos celestes y terrestres y son el origen de la física moderna. Con la dinámica el alumno se interna en la explicación físico-matemática del mundo que le rodea: no solo observa y describe desplazamientos, velocidades y aceleraciones, sino que comienza a encontrar las fuerzas que los originan o cambian su condición de movimiento. Las leyes enunciadas son uno de los pilares de la física, y su aplicación ha permitido enunciar numerosas leyes en campos muy diversos. Es importante destacar la introducción del principio de conservación del momento lineal, una magnitud con la que muchos alumnos no están acostumbrados a trabajar de momento, pero que resulta muy útil en todos los campos de la física.

OBJETIVOS • Conocer la evolución de los conceptos de fuerza y de inercia a lo largo de la historia. • Conocer cuáles son las causas del movimiento de los cuerpos y del cambio en el estado de su movimiento. • Comprender la importancia de la física para abordar numerosas situaciones cotidianas y participar en la toma de decisiones fundamentadas. • Reconocer el carácter creativo del trabajo científico y valorar las aportaciones de los grandes debates científicos al desarrollo del pensamiento humano. • Aprender a sumar y restar de manera gráfica fuerzas de cualquier dirección. • Utilizar las leyes de Newton para resolver problemas. • Utilizar el teorema de conservación del momento lineal para resolver problemas. • Relacionar la tercera ley de Newton con la conservación del momento lineal.

CONTENIDOS CONCEPTOS

422

• La inercia y la primera ley de Newton. Primeras ideas sobre las causas del movimiento: la inercia. La contribución de Galileo. • La primera ley de Newton. La segunda ley de Newton. • Las fuerzas son vectores. Las fuerzas son aditivas. • El peso. • Los efectos de la fuerza: el cambio en la velocidad. • El impulso mecánico. • Momento lineal (o cantidad de movimiento). Relación entre el momento lineal y la fuerza. • La conservación del momento lineal. • Las fuerzas como interacciones. La tercera ley de Newton. La tercera ley de Newton y la conservación del momento lineal. • La fuerza normal. 쮿 GUÍA DE FÍSICA Y QUÍMICA 1.° Bachillerato 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿

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PROGRAMACIÓN DE AULA

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PROCEDIMIENTOS, • Comprender y utilizar el carácter vectorial de las fuerzas. DESTREZAS • Identificar fuerza y causa del cambio de velocidad de un cuerpo. Y HABILIDADES • Calcular gráficamente la fuerza neta resultante de sumar vectorialmente • • • • •

ACTITUDES

varias fuerzas. Resolver problemas numéricos en los que aparecen fuerzas con diferentes direcciones. Interpretar esquemas a la hora de resolver problemas. Dibujar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo. Elaborar esquemas claros que faciliten la resolución de problemas en los que intervienen fuerzas. Saber elegir los ejes más apropiados para la resolución de un problema en el que aparecen fuerzas con distintas direcciones.

• Mostrar interés por aprender conceptos científicos nuevos. • Mostar interés por aplicar los contenidos aprendidos en la vida cotidiana. • Disfrutar de la sencillez con la que las tres leyes de Newton explican y completan la dinámica clásica de los cuerpos en movimiento. • Valorar la importante del conocimiento de las fuerzas, los pesos, etc., en cuestiones de ingeniería.

EDUCACIÓN EN VALORES 1. Educación vial El problema de los accidentes de tráfico entre los jóvenes es lo suficientemente importante como para tratarlo en varias unidades a lo largo del curso. El concepto de inercia nos permitirá informar a los alumnos sobre las magnitudes de las que depende la distancia que recorre un vehículo hasta pararse: fuerzas que ejercen los frenos o fuerza de rozamiento (aunque esta será tratada con más detalle en la unidad siguiente). El concepto clave a transmitir es que cuanto mayor sea la velocidad inicial, más difícil resulta detener un vehículo.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1. Elaborar esquemas que muestran las fuerzas que actúan sobre un cuerpo. 2. Resolver problemas numéricos en los que intervienen fuerzas que actúan en la misma o en distintas direcciones. 3. Identificar la dirección y el sentido de la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo a partir de las demás fuerzas. 4. Emplear las razones trigonométricas convenientemente para descomponer fuerzas. 5. Identificar las fuerzas acción-reacción. 6. Explicar el concepto de interacción. 7. Predecir el estado de movimiento de un cuerpo a partir de las fuerzas que actúan sobre él. 8. Predecir el valor y la orientación de la fuerza necesaria para hacer que un cuerpo permanezca en reposo, ya sea cuando está situado en un plano horizontal o cuando lo está en un plano inclinado. 쮿 GUÍA DE FÍSICA Y QUÍMICA 1.° Bachillerato 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿

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PROBLEMAS RESUELTOS

DINÁMICA I: COMPOSICIÓN DE FUERZAS

PROBLEMA RESUELTO 1 Sobre un cuerpo actúan simultáneamente tres fuerzas. • Una de 20 N hacia el norte. • Otra de 30 N hacia el oeste. • Otra de 40 N hacia el este. Calcula el módulo de la resultante y el ángulo que forma con la horizontal.

Planteamiento y resolución Se fija como sistema de referencia el de origen en el cuerpo, y direcciones y sentidos norte, ជ j , y este, ជ i. Las fuerzas del enunciado son: Fជ1 = 20ជ j , Fជ2 = −30ជ i y Fជ3 = 40ជ i. La resultante es la suma vectorial de las fuerzas aplicadas: ជ R = Fជ1 + Fជ2 + Fជ3 = 20ជ j − 30ជ i − 40ជ i = 10ជ i + 20ជ j Su módulo es: R⏐ = ⏐ជ

ជ F1

(10 N)2 + ( 20 N)2 = 22, 36 N

ជ R

Y el ángulo que forma con la dirección este-oeste es: α = arc tg

ជ F2

20 = 63° 26‘ 10

ជ F3

ACTIVIDADES 1

Un avión se mueve por el aire a velocidad constante y en vuelo horizontal gracias a unos motores que producen un empuje de 120 000 N en una dirección que forma cierto ángulo sobre la horizontal. Si el peso del avión es de 98 000 N, ¿cuál es la fuerza de rozamiento con el aire que tira de él hacia atrás?

4

30 N 30 N 30°

Sol.: 69 253 N. 2

3

Tres amigos tratan de quedarse con un avión de juguete. Uno de ellos tira con una fuerza cuya expresión vectorial es 20 ជ i −15ជ j . El segundo tira con una fuerza que es −5ជ i −10ជ j. Si el avión no se mueve, ¿con qué fuerza está tirando el tercer amigo? Sol.: −15ជ i + 25ជ j. Dos cuerdas tiran de un cuerpo que avanza en la dirección horizontal. Una de ellas aplica una fuerza de 30 N y forma un ángulo de 30° sobre la horizontal. La segunda forma un ángulo de 45° bajo la horizontal. Calcula el módulo de la segunda fuerza.

Determina la resultante de las tres fuerzas que aparecen en el siguiente dibujo:

40 N

45°

Sol.: −2,3ជ i + 16,72ជ j. 5

Sobre un cuerpo están aplicadas cuatro fuerzas. Una de ellas, horizontal, hacia la derecha, de 50 N. Otra, horizontal, hacia la izquierda, de 10 N. La tercera, vertical, hacia arriba, de 40 N; y la cuarta, vertical hacia abajo, de 10 N. ¿Qué fuerza hay que aplicar sobre el cuerpo y en qué dirección para que la resultante sea nula? Sol.: 50 N y α = 3° 52’.

Sol.: 21,21 N

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PROBLEMAS RESUELTOS

DINÁMICA I: IMPULSO

PROBLEMA RESUELTO 2 Se aplica una fuerza de 30 N durante 4 s a un objeto de 2 kg inicialmente en reposo. a) ¿Cuánto ha cambiado su momento lineal? b) ¿Cuál es ahora su velocidad?

F = 30 N

2 kg

Planteamiento y resolución a) La variación del momento lineal del objeto coincide con el impulso que le infiere la fuerza constante de 30 N durante los cuatros segundos: Δp = F ⋅ Δt = 30 N ⋅ 4 s = 120 kg ⋅ m/s b) Como el objeto estaba inicialmente en reposo: ជ =ជ ជF Δp pF − ជ p O = mv Por tanto, la velocidad que adquiere el objeto tiene igual dirección y sentido que la fuerza, y su módulo es: vF =

F ⋅ Δt 30 N ⋅ 4 s = = 60 m/s m 2 kg

ACTIVIDADES 1

El impulso lineal aplicado sobre un cuerpo ha sido de 30 N ⋅ s y la masa del cuerpo es de 2 kg. ¿Cuánto ha variado la velocidad del cuerpo?

4

Sol.: 15 m/s. 2

3

El momento lineal de un cuerpo en un determinado instante viene dado por la expresión vectorial 30 ជ i −40 ជ j . Después de actuar una fuerza durante 4 s sobre el cuerpo, el momento lineal pasa a ser −30 ជ i −20ជ j. ¿Cuál es la expresión vectorial de la fuerza que ha actuado? Sol.: −15ជ i + 5j. Una tenista golpea una pelota de tenis de 50 g que le llega horizontalmente a 3 m/s. Si el impacto con la raqueta dura 0,2 s y la pelota sale en sentido contrario al inicial a una velocidad de 5 m/s, ¿cuál fue la fuerza aplicada durante el tiempo de contacto entre raqueta y pelota?

Un niño bota un balón de baloncesto sobre la acera. La pelota (para simplificar suponemos que tiene una masa de 1 kg) llega al suelo a 1,5 m/s. Si el impulso comunicado por el suelo a la pelota es de 40 N ⋅ s y el contacto ha durado 5 centésimas de segundo, ¿con qué velocidad sale rebotada la pelota? Sol.: 0,5 m/s.

5

Una partícula tiene en un instante determinado un momento lineal cuya expresión es 5 ជ i + 20 ជ j . Durante un tiempo de 3 s actúa sobre él una fuerza de expresión −10 ជ i + 5ជ j . ¿Cuál es la nueva expresión vectorial del momento de la partícula? Sol.: −25ជ i + 35j.

Sol.: 2 N. 쮿 GUÍA DE FÍSICA Y QUÍMICA 1.° Bachillerato 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿

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PROBLEMAS RESUELTOS

DINÁMICA I: CONSERVACIÓN MOMENTO LINEAL

PROBLEMA RESUELTO 3 Dos bolas de 20 y 50 g chocan frontalmente. Antes del choque la primera se movía hacia la derecha a 4 m/s, y la segunda, hacia la izquierda a 2 m/s. Si después del choque la primera retrocede hacia la izquierda a 3 m/s, ¿cuál es la velocidad con la que se mueve la segunda después del choque?

Planteamiento y resolución ជ i

20 g

4 m/s

2 m/s 50 g

El momento del sistema antes del choque es: ជ v01 + m2ជ v02 = 0,020 ⋅ 4iជ + 0,050 ⋅ (−2iជ) = −0,02iជ p 0 = m1ជ El momento final después del choque es: ជ vF1 + m2ជ vF2 = 0,020 ⋅ (−3iជ) + 0,050 ⋅ ជ vF2 = −0,06iជ + 0,050 ⋅ ជ vF2 p F = m1ជ El principio de conservación del momento lineal asegura que: ជ p F → −0,02iជ = −0,06iជ + 0,050 ⋅ ជ vF2 p0 = ជ Por tanto: ជ vF2 = 0,8iជ La segunda bola se desplaza después del choque hacia la derecha con velocidad de 0,8 m/s.

ACTIVIDADES 1

Un cañón de 1200 kg dispara proyectiles de 15 kg que salen del cañón a una velocidad de 30 m/s. ¿Con qué velocidad retrocede el cañón? Sol.: 0,375 m/s.

2

Tres amigas de 70 kg cada una van en una barca de 100 kg que se desplaza a una velocidad de 1 m/s en un lago de aguas en reposo. En un momento determinado una de las amigas salta de la barca. Calcula la velocidad a la que se moverá después la barca si la que saltó lo hizo en sentido contrario al de avance de la barca y su velocidad respecto al agua en el salto fue de 2 m/s. Sol.: 1,875 m/s.

3

426

4

Un petardo de 6 g que está en el suelo estalla en tres pedazos de 1, 2 y 3 g. El de 1 g sale disparado hacia la derecha a 20 cm/s. El de 2 g sale disparado perpendicularmente al anterior a 5 cm/s. ¿A qué velocidad y en qué dirección sale disparado el tercer fragmento? Sol.: 7,45 cm/s y formando un ángulo de 206° 34’ con respecto al movimiento del primer pedazo.

5

Dos chicos están parados en medio de una pista de hielo. Uno de ellos, de 70 kg, empuja al otro, de 60 kg, que sale a una velocidad de 0,5 m/s. ¿A qué velocidad retrocede el primero? Sol.: 0,43 m/s.

Una bala de 30 g impacta a 100 m/s en un bloque de madera de 2 kg inicialmente en reposo. Si la bala queda incrustada en el bloque, ¿a qué velocidad se moverán después del impacto? Sol.: 1,48 m/s. 쮿 GUÍA DE FÍSICA Y QUÍMICA 1.° Bachillerato 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿

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EXPERIENCIA EN EL AULA

LAS LEYES DE NEWTON La aceleración de la gravedad y la masa Objetivo

Comprobar que dos cuerpos de diferente masa están sometidos a la misma aceleración de la gravedad.

Material • • • • •

Una canica metálica. Un trozo de papel. Dos cajas de cerillas. Una hoja de papel. Una carpeta.

PROCEDIMIENTO 1. Deja caer desde la misma altura y simultáneamente una canica

1

y un trozo de papel. ¿Cuál llega al suelo primero?

2. Introduce la canica en una caja de cerillas y la bola de papel en la otra. Ahora déjalas caer simultáneamente desde la misma altura. ¿Cuál llega al suelo primero?

3. Coge la carpeta y la hoja de papel, cada una en una mano,

2

y a la misma altura. Déjalas caer simultáneamente al suelo y observa cuál llega primero. Anótalo.

4. El rozamiento con el aire hace que papel y carpeta no lleguen al suelo a la vez. Para evitar esta situación coloca la carpeta sobre la hoja y déjalas caer. ¿Ahora llegan al suelo a la vez? Quizá pienses que la carpeta empuja la hoja y por eso llegan simultáneamente al suelo. Pon ahora la hoja sobre la carpeta y, de nuevo, déjalas caer. Ahora la carpeta no empuja a la hoja y…, ¿cuál llega al suelo primero? En efecto, los cuerpos caen con la misma aceleración con independencia de su masa. Esta afirmación se verifica cuando el rozamiento que ejerce el aire en la caída se iguala (como en el caso de la canica y el papel, en el que se introducen los objetos en cajas iguales) o no afecta a los objetos (como en el caso de la carpeta y la hoja, en el que la carpeta evita el rozamiento a la hoja al caer primero).

3

4

CUESTIONES 1

¿Qué quiere decir que los cuerpos caen con la misma aceleración independientemente de su masa?

2

¿Por qué crees que ha sido difícil verificar la hipótesis enunciada en la actividad anterior? 쮿 GUÍA DE FÍSICA Y QUÍMICA 1.° Bachillerato 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿

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EXPERIENCIA EN EL AULA

LAS LEYES DE NEWTON Bolas de Newton Objetivo

Comprobar que dos cuerpos de diferente masa están sometidos a la misma aceleración de la gravedad.

Material • Bolas de Newton.

PROCEDIMIENTO Las bolas de Newton es un sistema de cinco bolas iguales colgadas de un soporte a la misma altura.

1. Separa una bola del extremo y déjala caer sobre las otras. ¿Qué ocurre? El principio de conservación del momento lineal determina que se moverá la bola del otro extremo, con igual velocidad que tenía la inicial en el momento del impacto. El resultado, curioso, es que las bolas del extremo oscilan como un péndulo.

2. Pero, ¿qué pasa si en lugar de separarse una bola se separan dos? En este caso, en el otro extremo se separan otras dos. Sin embargo, el principio de conservación del momento lineal no distingue entre esa posibilidad y aquella en la que se separase una sola bola con doble de velocidad. ¿Por qué no ocurre esto? La respuesta es complicada. Se puede argumentar que así sería menos simétrico. Sin embargo, la respuesta correcta surge de otro principio de conservación que aún no has estudiado: el principio de conservación de la energía.

3. Experimenta otras posibilidades.

CUESTIONES

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1

¿Qué influencia tiene el rozamiento con el aire en los resultados obtenidos en esta experiencia?

2

¿De qué magnitudes depende el tiempo durante el cual están oscilando las bolas de los extremos?

3

Contesta. a) ¿Se conserva el momento lineal aunque exista rozamiento? b) Entonces, ¿por qué se paran las bolas al cabo de cierto tiempo? 쮿 GUÍA DE FÍSICA Y QUÍMICA 1.° Bachillerato 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿

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EXPERIENCIA DE LABORATORIO

LAS LEYES DE NEWTON Medida de la componente paralela del peso Material

Objetivo

• • • •

Determinar la componente paralela del peso de un cuerpo en un plano inclinado.

Un carrito con pesas. Un dinamómetro. Un guía. Dos pies.

• • • •

Un gato. Nueces. Una regla. Lápiz y hojas.

PROCEDIMIENTO Cuando se estudia la dinámica de un cuerpo sobre un plano inclinado conviene descomponer el peso del cuerpo en dos fuerzas perpendiculares, una de ellas paralela a la dirección del plano, y la otra, perpendicular. En esta práctica vamos a estudiar cómo varía la componente paralela del peso cuando aumenta el ángulo de inclinación del plano.

1. Coloca el carrito colgado del dinamómetro paralelo al plano inclinado como muestra el dibujo. De esta manera, la medida del dinamómetro corresponde a la componente paralela del peso.

2. Ajusta las pesas sobre el carrito para que el rango de fuerzas del dinamómetro incluya el peso total del carrito.

3. Toma la primera medida con el plano horizontal. Como el dinamómetro no se tensa, la componente paralela es cero. α

4. Ahora eleva con el gato un extremo del plano y, cada cierto intervalo, toma la medida del dinamómetro. Escribe los resultados en una tabla. Altura (cm)

Fuerza (N)

Representa en papel milimetrado los valores de la fuerza frente a la altura, ¿qué curva resulta? La fuerza es proporcional a la altura, y esta se relaciona con el ángulo de inclinación mediante la función seno. Se concluye así que la componente paralela del peso crece con el seno del ángulo. 쮿 GUÍA DE FÍSICA Y QUÍMICA 1.° Bachillerato 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿

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APLICACIONES

LAS LEYES DE NEWTON

CIENCIA Y TÉCNICA

Motores a reacción

Superaleaciones En el interior de un motor a reacción se producen condiciones extremas que hacen necesaria la utilización de materiales especiales. Por ejemplo, la turbina debe soportar altas temperaturas, gases corrosivos, vibraciones y grandes esfuerzos mecánicos. Se fabrican con superaleaciones en las que la base suele ser níquel, pero que también contienen otros metales, como el cromo, el aluminio, el cobalto o el molibdeno. Estas superaleaciones se mantienen estables a temperaturas de más de 1000 °C, aunque son muy costosas dado el delicado proceso de su fabricación. La primera fue desarrollada en Gran Bretaña en 1941 y estaba formada por un 20 % de níquel.

Los modernos motores a reacción de los aviones basan su funcionamiento en la tercera ley de Newton y en la conservación del momento lineal. Los motores toman una cierta cantidad de aire y, después de la combustión, la expulsan a gran velocidad hacia atrás. Como consecuencia de esto, el avión recibe un impulso hacia delante. Generalmente el aire, antes de entrar en la cámara de combustión, pasa por un compresor que aumenta su presión. Después es mezclado con el combustible y se produce la combustión, lo que eleva su temperatura. Finalmente pasa por la turbina y sale por las toberas a gran velocidad. Compresor

Bujía

Inyectores

Ventilador (fan) Turbina

Salida de gases

Entrada de aire

Avance del avión

Debido a las altas temperaturas del aire después de la combustión y al contraste con la temperatura del exterior, que puede ser de −50 °C, el vapor de agua presente puede cristalizar, formando la típica estela de los aviones en el cielo. La permanencia de dicha estela depende fundamentalmente de la humedad relativa en esa zona. Si es alta, la estela tardará más tiempo en desaparecer que si es baja. También los cohetes funcionan con motores a reacción, aunque en este caso no toman el gas del exterior, sino que lo llevan en un depósito.

CUESTIONES

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1

¿En qué se parece el funcionamiento de los motores a reacción al movimiento de una barca de remos que avanza por el agua?

2

¿En qué otras situaciones nos aprovechamos de la tercera ley de Newton para impulsarnos?

3

Si estamos en el espacio lejos de cualquier campo gravitatorio y arrojamos un objeto de 2 kg a una velocidad de 5 m/s, ¿con qué velocidad saldremos nosotros impulsados en sentido contrario suponiendo que nuestra masa, junto con la del traje, es de 80 kg? 쮿 GUÍA DE FÍSICA Y QUÍMICA 1.° Bachillerato 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿

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CURIOSIDADES Y ANÉCDOTAS

LAS LEYES DE NEWTON

HISTORIA DE LA CIENCIA

La conquista del espacio Da la sensación de que los seres humanos hace ya tiempo que aprendieron a dominar los viajes espaciales. Sin embargo, la historia es muy reciente. Fueron los chinos los que desarrollaron la técnica de los cohetes que más tarde permitiría ir al espacio, pero se suele considerar el lanzamiento del Sputnik 1 en 1957 como el comienzo de la astronáutica. Era la primera vez que se colocaba un objeto en el espacio. Ese mismo año, en el Sputnik 2, la perrita Laika se convertía en el primer ser vivo en viajar al espacio. Los americanos iniciaban también sus misiones espaciales con los vehículos Explorer. En 1961 por primera vez un ser humano era puesto en órbita y completaba una vuelta a la Tierra, el ruso Yuri Gagarin.

Viajes espaciales Cuando se envía una nave al espacio, los ingenieros y científicos tienen en cuenta que el espacio es el lugar donde mejor se puede observar el cumplimiento de la primera ley de Newton. Eso permite ahorrar gran cantidad de combustible, ya que, una vez fuera del campo gravitatorio terrestre, solo es necesario que los motores funcionen cuando se quiere rectificar la trayectoria de la nave. El resto del tiempo la nave continúa avanzando a velocidad constante sin necesidad de ningún tipo de propulsión. Además, las naves se aprovechan del impulso gravitacional proporcionado por los planetas a los que se acerca. El 5 de septiembre de 1977 se lanzó la nave Voyager 1. Después de pasar cerca de Júpiter en 1979 y cerca de Saturno en 1980, la Voyager 1 continúa su periplo por el espacio encontrándose actualmente (2008) a más de 100 unidades astronómicas del Sol. (Una unidad astronómica es la distancia media Tierra-Sol, unos 150 millones de kilómetros.) Está tan lejos que las señales que envía tardan unas 14 horas en llegar a la Tierra. Tanto la Voyager 1 como su hermana, la Voyager 2, llevan unos discos de oro que contienen música, saludos en diferentes idiomas e imágenes donde se explica la situación de la Tierra. Sin embargo, las distancias en el universo son tan grandes que, incluso suponiendo que exista vida inteligente fuera de la Tierra, resulta bastante improbable que encuentren nuestro mensaje.

En 1969 Neil Armstrong pisaba la superficie lunar dentro del programa Apollo.

CUESTIONES 1

¿Cuál es la velocidad media desarrollada por la Voyager 1 desde 1977 hasta 2008?

2

¿Cuánto tardaría la Voyager 1 con la velocidad calculada en la pregunta anterior en alcanzar la estrella más cercana, Próxima Centauri, situada a unos 4 años luz de la Tierra?

3

¿Qué situaciones en la Tierra se aproximan al espacio en el sentido de que un objeto en movimiento mantiene su velocidad y trayectoria sin necesidad de propulsión? 쮿 GUÍA DE FÍSICA Y QUÍMICA 1.° Bachillerato 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿

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BANCO DE DATOS

LOS ESTADOS DE LA MATERIA

Fuerzas típicas Fuerza

Valor SI (N) 3,56 ⋅ 1022

Sol sobre la Tierra

2 ⋅ 1020

Tierra sobre la Luna Motor de cohete

4,628 ⋅ 106

Fuerza de sustentación en avión en pleno vuelo (Airbus 380)

3,924 ⋅ 106

Motor de avión (Boeing 737)

117 300 2 ⋅ 106

Locomotora de tren Fuerza ejercida por los frenos de un automóvil

5000

Motor de automóvil

1200

Gato sobre coche

1000

Peso de una persona (60 kg)

589

Fuerza rozamiento con el aire en coche

500

Fuerza rozamiento de rodadura con el suelo en coche

300

Persona tirando de una caja de 30 kg arrastrándola por el suelo (μ = 0,4)

118

Tensión de cuerda en lámpara (10 kg)

100

Tierra sobre satélite geoestacionario de 400 kg

89

Fuerza de rozamiento con el aire en bicicleta de carreras

80

Muelle estirado 10 cm (k = 300 N/m)

30

Fuerza de rozamiento con el suelo en bicicleta de carreras

10

Fuerza normal sobre libro en mesa

10

Fuerza de rozamiento de los mecanismos en bicicleta de carreras

7

Atracción entre dos personas de 60 kg separadas 1 m

2,4 ⋅10−7

Fuerza eléctrica entre el protón y el electrón

8,2 ⋅ 10−8

Fuerza gravitatoria entre el protón y el electrón

3,6 ⋅ 10−47

Nave moviéndose por el espacio en MRU

0

Unidades de fuerza y equivalencia en el Sistema Internacional Unidad

105 N

Dina (d) Kilonewton (kN)

1 000 N

Kilopondio (kilogramo-fuerza) (kp) Libra-fuerza (lbf)

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Equivalencia

9,81 N 4,448 N

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AMPLIACIÓN sin soluciones

FICHA 1

COMPOSICIÓN DE FUERZAS

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

1. EJERCICIO RESUELTO Isabel y Juan llegan al mismo tiempo a coger la última copia disponible en una tienda del último videojuego de moda. Si ambos cogen la caja y tiran de ella, Isabel con una fuerza de 30 N y Juan con una de 40 N, calcula el módulo de la resultante en los siguientes casos: a) Tiran en sentidos contrarios. b) Tiran en direcciones perpendiculares. c) Tiran en direcciones que forman 135° entre sí. SOLUCIÓN Se fija como sistema de referencia el de origen en la caja, y direcciones, la de la fuerza que aplica Isabel, ជ i, y su sentido; y la otra dirección ជ j perpendicular a esta. a) En este supuesto las fuerzas del enunciado son FជIsabel = 30ជ i y FជJuan = −40ជ i . La resultante es la suma vectorial de las fuerzas aplicadas: ជ R1 = FជIsabel + FជJuan = 30ជ i − 40ជ i = −10ជ i Y su módulo es: R1⏐ = 10 N ⏐ជ b) En este segundo supuesto las fuerzas del enunciado son FជIsabel = 30ជ i y: i + 40 ⋅ sen 90°ជ j = 40ជ j FជJuan = 40 ⋅ cos 90°ជ La resultante es la suma vectorial de las fuerzas aplicadas ជ i + 40ជ j R2 = FជIsabel + FជJuan = 30ជ Y su módulo es: R2⏐ = ⏐ជ

302 + 402 = 50 N c) En este segundo supuesto las fuerzas del enunciado son FជIsabel = 30ជ i y: i + 40 ⋅ sen 135°ជ j = −28,28ជ i + 28,28ជ j FជJuan = 40 ⋅ cos 135°ជ La resultante es la suma vectorial de las fuerzas aplicadas: ជ i − 28,28ជ i + 28,28ជ j = 1,72ជ i + 28,28ជ j R3 = FជIsabel + FជJuan = 30ជ Y su módulo es: R3⏐ = 172 , 2 + 28, 282 = 28, 33 N ⏐ជ

1

En los extremos de una barra de 1 m de longitud se aplican fuerzas perpendiculares a la barra y del mismo sentido con módulos 5 N y 8 N. Dibuja el sistema de fuerzas, y halla el módulo y el punto de aplicación de la resultante.

SOLUCIÓN

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FICHA 1

COMPOSICIÓN DE FUERZAS

NOMBRE: 2

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CURSO:

FECHA:

Se aplica una fuerza Fជ1 de módulo 40 N sobre un cuerpo formando un ángulo de 30° con la horizontal. Descompón Fជ1 como suma de dos fuerzas, una horizontal y otra vertical.

SOLUCIÓN

3

Tenemos un sistema de cuatro fuerzas aplicadas sobre un punto. Fជ1 es vertical hacia arriba y su módulo es 20 N; Fជ2 es vertical hacia abajo y su módulo es 30 N; Fជ3 es horizontal hacia la derecha y su módulo es 40 N y Fជ4 es horizontal hacia la izquierda y su módulo es 50 N. Calcula la expresión vectorial de la resultante de las cuatro fuerzas y el ángulo que forma con la horizontal.

SOLUCIÓN

4

Un avión despega mediante una fuerza de sus motores de 4000 N que lo impulsan hacia delante con un ángulo de 40° respecto a la horizontal. Al mismo tiempo sopla un viento vertical que lo empuja hacia arriba con una fuerza de 1000 N. Calcula el módulo de la fuerza resultante y el ángulo que forma con la horizontal.

SOLUCIÓN

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FICHA 2

MOMENTO LINEAL

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

2. EJERCICIO RESUELTO Un jugador de billar golpea con su taco una de las bolas, que se dirige con velocidad 0,5 m/s a golpear a una segunda bola que está en reposo en el tapete. Si la segunda bola sale a una velocidad de 0,3 m/s y en una dirección que forma un ángulo de 30° con la dirección en que se movía la primera, ¿con qué velocidad y en qué dirección se mueve ahora la primera bola? SOLUCIÓN Se considera que el golpe entre las dos bolas de billar es elástico: entonces ha de conservarse el momento lineal. Sea m la masa de las bolas de billar e ជ i un vector unitario paralelo a la velocidad inicial de la primera bola. Antes del choque esta bola tiene un momento lineal igual a: ជ p 10 = m1ជ v 10 = 0,5 miជ Mientras que el momento lineal de la segunda bola, que está en reposo, es nulo. Después del choque, el momento lineal de la segunda bola es: ជ p 2F = m2ជ v 2F = 0,3 m ⋅ (cos 30°ជ i + sen 30°ជ j ) = 0,26 miជ + 0,15 mជ j (Suponemos que m1 = m2 = m.) Y el momento lineal final de la primera bola ជ p 1F debe ser tal que verifique el principio de conservación del momento lineal: ជ p 10 + ជ p 20 = ជ p 1F + ជ p 2F → 0,5 miជ = ជ p 1F + (0,26 miជ + 0,15 mជ j )→ →ជ p 1F = 0,24 miជ − 0,15 mជ j Por tanto, la velocidad de la primera bola es:

ជ p1F = 0,24 ជ i − 0,15 ជ j m que tiene un módulo de 0,28 m/s, y ángulo α = arc tg (−0,15/0,24) = −32°; es decir, 32° hacia el semiplano en que no se mueve la segunda bola. ជ v 1F =

5

Manuel va patinando a una velocidad de 2 m/s cuando choca con Laura, que en ese momento estaba parada en la pista. Si las masas de Manuel y Laura son de 70 y 50 kg, respectivamente, y suponemos que después del choque se mueven juntos, calcula cuál será su velocidad.

SOLUCIÓN

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FICHA 2

MOMENTO LINEAL

NOMBRE: 6

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CURSO:

FECHA:

Teresa y Pablo juegan a lanzar coches con sentidos contrarios por una pista y ver cómo chocan. La masa del coche de Teresa es el doble que la del de Pablo, y sus velocidades son 2 m/s y 3 m/s, respectivamente. Si después del impacto el ángulo que forma la dirección del coche de Teresa con su dirección inicial es de 30°, mientras que la que forma el de Pablo con su dirección inicial es de 45°, ¿cuáles son las velocidades con que se mueven los dos coches después del choque?

SOLUCIÓN Se considera que el choque entre los coches es elástico y, por tanto, se conserva el momento lineal.

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FICHA 2

MOMENTO LINEAL

NOMBRE: 7

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CURSO:

FECHA:

Un avión vuela a 300 m de altura y con una velocidad de 250 km/h deja caer un paquete de ayuda humanitaria de 100 kg. A los 5 s de empezar a caer se rompe la cuerda que ataba el paquete y se divide en dos partes. Una de 40 kg que inicialmente se mueve verticalmente y otra de 60 kg que inicialmente se mueve horizontalmente. Calcula las velocidades de cada una de las partes.

SOLUCIÓN

8

Dos balones, A y B, chocan frontalmente y ambos salen despedidos en sentidos contrarios a los que tenían antes del choque. Si las velocidades de A y B antes del choque son 1 y 2 m/s, respectivamente, y sus velocidades después del choque son 1 m/s y 0,25, calcula la relación entre las masas de A y B.

SOLUCIÓN

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FICHA 3

IMPULSO

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

3. EJERCICIO RESUELTO Un futbolista aplica durante 0,2 s una fuerza de 50 N a un balón de 1,4 kg de peso, ¿qué velocidad le proporciona? SOLUCIÓN ជ. El impulso lineal que aplica el futbolista cambia el momento lineal del balón según Fជ⋅ Δt = Δp Como el balón estaba inicialmente en reposo: ជ=ជ ជF Δp pF − ជ p 0 = mv Y, por tanto, la velocidad que adquiere el balón tiene igual dirección y sentido que la fuerza y módulo: vF =

9

F ⋅ Δt 50 N ⋅ 0, 2 s = = 7,14 m/s m 1, 4 kg

Un cuerpo entra en un plano horizontal con una velocidad de 3 m/s. Si el coeficiente de rozamiento es μ = 0,2, calcula cuánto tiempo estuvo en movimiento el cuerpo hasta quedar parado.

SOLUCIÓN

10

Al aplicar una fuerza de 40 N durante 5 s sobre un cuerpo, este aumenta su velocidad de 2 a 4 m/s. ¿Cuál es la masa del cuerpo?

SOLUCIÓN

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FICHA 3

IMPULSO

NOMBRE: 11

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CURSO:

FECHA:

Una pelota de tenis de 200 g de masa impacta en una pared a la velocidad de 5 m/s y sale rebotada a 2 m/s. Si el tiempo de contacto entre la pared y la pelota fue de 0,1 s, calcula el valor de la fuerza que la pared aplicó sobre la pelota.

SOLUCIÓN

12

Juan tiene examen de educación física y la primera prueba consiste en saltar verticalmente con los dos pies y marcar con una tiza la mayor altura posible. Al flexionar las piernas, Juan empuja el suelo con una fuerza de 600 N y sus 80 kg alcanzan una altura de 1 m sobre su posición inicial. Calcula el tiempo que Juan estuvo en contacto con el suelo aplicando la fuerza.

SOLUCIÓN

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FICHA 4

SEGUNDA LEY DE NEWTON Y APLICACIÓN A CINEMÁTICA

NOMBRE: 13

31/7/08

CURSO:

FECHA:

Un coche teledirigido de masa 14 kg está situado en la parte más baja de un plano inclinado 20° respecto al suelo. En lo alto del plano inclinado hay un único árbol situado a 30 m de altura sobre la horizontal. Sabemos que el coeficiente de rozamiento es μ = 0,7. a) ¿Con qué fuerza Fជdebería tirar el motor hacia arriba para que el coche subiera con una a = 1,5 m/s2? b) ¿Con qué velocidad llegó al árbol si partió del reposo? c) ¿Con qué fuerza debería tirar el motor hacia arriba para que el coche subiera con velocidad constante? (Pista: utiliza la 2.a ley de Newton expresada anteriormente e introduce el nuevo dato.)

SOLUCIÓN a) 1. Dibuja todas las fuerzas existentes descomponiendo el peso ជ P como la suma de una componente en el eje X → ជ Px y otra en el eje Y → ជ Py.

2. Identifica por semejanza de triángulos dónde está el ángulo α en los triángulos que te aparecen y halla el valor de ⏐ជ Px⏐ y ⏐ជ Py⏐ con tus conocimientos sobre seno y coseno de un ángulo:

P ⏐ = m ⋅ g coincide con ⏐ជ P ⏐ = ⏐ជ Px⏐2 + ⏐ជ Py⏐2 : 3. Comprueba que ⏐ជ

4. Calcula el valor de la normal aplicando la segunda ley de Newton al eje Y: ↓ 5. Conocido el valor de la normal, halla el valor de la fuerza de rozamiento. 6. Aplica la segunda ley de Newton al eje X y despeja el valor del módulo de la fuerza con la que debe tirar el motor del coche. continúa 앶앸

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FICHA 4

SEGUNDA LEY DE NEWTON Y APLICACIÓN A CINEMÁTICA

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

b) 1. Primero halla el espacio que recorre con tus conocimientos de trigonometría.

2. Ahora calcula la velocidad con la que llega al árbol con tus conocimientos de cinemática.

c) Resuelve:

14

Un trineo con motor que, junto con su ocupante, tiene una masa de 150 kg, está situado en la parte más alta de un montículo (a 20 m sobre el suelo) cuya ladera forma 35° respecto a la horizontal. Sabemos que el coeficiente de rozamiento es μ = 0,9, muy alto, pues hay poca nieve y está mezclada con vegetación. a) ¿Qué fuerza Fជdebería emplear el motor del trineo para que bajara por la ladera con una a = 3 m/s2? b) ¿Con qué velocidad llegó al final del plano inclinado si partió del reposo? c) ¿Con qué aceleración se movería si simplemente se dejara caer, con el motor apagado? Saca conclusiones del resultado que obtengas.

SOLUCIÓN a) Sigue los siguientes pasos: 1. Dibuja todas las fuerzas existentes descomponiendo el peso ជ P como la suma de una componente en el eje X → ជ Px y otra en el eje Y → ជ Py.

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FICHA 4

SEGUNDA LEY DE NEWTON Y APLICACIÓN A CINEMÁTICA

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

2. Identifica por semejanza de triángulos dónde está el ángulo α en los triángulos que te aparecen y halla el valor de ⏐ជ Px⏐ y ⏐ជ Py⏐ con tus conocimientos sobre seno y coseno de un ángulo:

Comprueba que ⏐ជ P ⏐ = m ⋅ g coincide con ⏐ជ P ⏐ = ⏐ជ Px⏐2 + ⏐ជ Py⏐2 :

3. Calcula el valor de la normal aplicando la segunda ley de Newton al eje Y:

4. Conocido el valor de la normal, halla el valor de la fuerza de rozamiento.

5. Aplica la segunda ley de Newton al eje X y despeja el valor del módulo de la fuerza con la que debe tirar el motor del coche.

b) Primero halla el espacio que recorre con tus conocimientos de trigonometría.

Ahora calcula la velocidad con la que llega al árbol con tus conocimientos de cinemática.

c) Resuelve: FTotal eje X = m ⋅ ax .

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FICHA 4

SEGUNDA LEY DE NEWTON Y APLICACIÓN A CINEMÁTICA

NOMBRE: 15

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CURSO:

FECHA:

Un niño situado en lo alto de un tobogán a 2,5 m sobre el suelo se da cuenta de que se ha dejado abajo su muñeco favorito (de masa m) y quiere tirarse con él. Por ello le pide a su hermana que se lo lance deslizando por la superficie del tobogán desde abajo. La rampa está inclinada 30° y el coeficiente de rozamiento es 0,15. ¿Con qué velocidad como mínimo deberá lanzar la hermana el muñeco para que llegue hasta arriba?

SOLUCIÓN Sigue los siguientes pasos. 1. Dibuja todas las fuerzas existentes descomponiendo el peso ជ P como la suma de una componente en el eje X → ជ Px y otra en el eje Y → ជ Py. Dibuja también el vector velocidad inicial del muñeco.

2. Identifica por semejanza de triángulos dónde está el ángulo α en los triángulos que te aparecen y halla el valor de ⏐ជ Px⏐ y ⏐ជ Py⏐ con tus conocimientos sobre seno y coseno de un ángulo (deja sin sustituir la masa m del muñeco, pues no te la dan, pero verás que al final no te hace falta):

3. Calcula el valor de la normal aplicando la segunda ley de Newton al eje Y:

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FICHA 4

SEGUNDA LEY DE NEWTON Y APLICACIÓN A CINEMÁTICA CURSO:

FECHA:

4. Conocido el valor de la normal, halla el valor de la fuerza de rozamiento.

5. Aplica la segunda ley de Newton al eje X y despeja la aceleración con la que se mueve el muñeco por la rampa. Analiza el resultado. (Pista: ¡Ojo: ជ v0 no es una fuerza; es una velocidad, y no debe aparecer en la segunda ley de Newton!)

6. Calcula ahora el espacio que tiene que recorrer el muñeco hasta llegar arriba con tus conocimientos de trigonometría.

7. Y, finalmente, conocida la aceleración y el espacio que ha de recorrer, calcula la velocidad mínima con la que debería ser lanzado usando tus conocimientos de cinemática.

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FICHA 4

SEGUNDA LEY DE NEWTON Y APLICACIÓN A CINEMÁTICA

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

¿Cuándo crees que tienes más posibilidades de salvarte: si te caes desde la ventana de un rascacielos a 50 m sobre el suelo o si te caes de un helicóptero a 1000 m de altura? Conocerás la respuesta al final de la ficha.

16

Según has estudiado, el movimiento en caída libre no es más que un MRUA con a = g = 9,8 m/s2. Por tanto, parece que podrías adquirir cualquier velocidad simplemente tirándote desde muy alto. Por ejemplo: ¿desde qué altura deberías dejarte caer para llegar al suelo con la velocidad del sonido (vsonido = 340 m/s)?

SOLUCIÓN Usa la ecuación que liga v, a y s.

La fuerza total que se ejerce sobre el cuerpo en cualquier momento de la caída vale:

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FICHA 5

VELOCIDAD TERMINAL

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Lo que le ocurre al cuerpo según va cayendo, como puedes ver en el dibujo es:

17

Sabido que ⏐ជ P ⏐ = m ⋅ g y que ⏐ជ F R⏐ = k ⋅ v 2, halla la expresión de la velocidad terminal.

SOLUCIÓN Basta con sustituir y despejar v:

18

Con la anterior expresión calcula la velocidad terminal de: a) Una persona en caída libre. (Datos: m = 80 kg, k ≈ 0,25.) b) La misma persona anterior después de abrir su paracaídas. (Dato: k ≈ 31.)

SOLUCIÓN

Respuesta a la pregunta inicial y otras curiosidades Tienes las mismas posibilidades de salvarte si caes desde 50 m de altura que desde 1000 m, pues en ambos casos llegarás al suelo con la misma velocidad terminal. • La velocidad terminal de una gota de agua es del orden de 9 m/s. • Los insectos pequeños tienen una superficie muy grande comparada con su masa, por lo que, cuando caen, sus propios cuerpos hacen de paracaídas y su velocidad terminal es muy pequeña, de pocos cm/s. ¡Si se cayera una hormiga desde lo alto de un edificio llegaría ilesa al suelo! • Existen algunos deportes de riesgo en caída libre en los que no se suele alcanzar la velocidad terminal, como son el puenting (saltar al vacío desde un puente atado con una cuerda) y el benjuí (similar al puenting, pero atado por los pies y con una goma elástica).

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FICHA 1

COMPOSICIÓN DE FUERZAS

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

1. EJERCICIO RESUELTO Isabel y Juan llegan al mismo tiempo a coger la última copia disponible en una tienda del último videojuego de moda. Si ambos cogen la caja y tiran de ella, Isabel con una fuerza de 30 N y Juan con una de 40 N, calcula el módulo de la resultante en los siguientes casos: a) Tiran en sentidos contrarios. b) Tiran en direcciones perpendiculares. c) Tiran en direcciones que forman 135° entre sí. SOLUCIÓN Se fija como sistema de referencia el de origen en la caja, y direcciones, la de la fuerza que aplica Isabel, ជ i, y su sentido; y la otra dirección ជ j perpendicular a esta. a) En este supuesto las fuerzas del enunciado son FជIsabel = 30ជ i y FជJuan = −40ជ i . La resultante es la suma vectorial de las fuerzas aplicadas: ជ R1 = FជIsabel + FជJuan = 30ជ i − 40ជ i = −10ជ i Y su módulo es: R1⏐ = 10 N ⏐ជ b) En este segundo supuesto las fuerzas del enunciado son FជIsabel = 30ជ i y: i + 40 ⋅ sen 90°ជ j = 40ជ j FជJuan = 40 ⋅ cos 90°ជ La resultante es la suma vectorial de las fuerzas aplicadas ជ i + 40ជ j R2 = FជIsabel + FជJuan = 30ជ Y su módulo es: R2⏐ = ⏐ជ

302 + 402 = 50 N c) En este segundo supuesto las fuerzas del enunciado son FជIsabel = 30ជ i y: i + 40 ⋅ sen 135°ជ j = −28,28ជ i + 28,28ជ j FជJuan = 40 ⋅ cos 135°ជ La resultante es la suma vectorial de las fuerzas aplicadas: ជ i − 28,28ជ i + 28,28ជ j = 1,72ជ i + 28,28ជ j R3 = FជIsabel + FជJuan = 30ជ Y su módulo es: R3⏐ = 172 , 2 + 28, 282 = 28, 33 N ⏐ជ

1

En los extremos de una barra de 1 m de longitud se aplican fuerzas perpendiculares a la barra y del mismo sentido con módulos 5 N y 8 N. Dibuja el sistema de fuerzas, y halla el módulo y el punto de aplicación de la resultante. 1−x

x

SOLUCIÓN Como las fuerzas se aplican en el mismo sentido, el módulo de la resultante es la suma de los módulos de las dos fuerzas aplicadas, 13 N. Si el punto de aplicación está a distancia d1 del extremo en que se aplica la fuerza menor, Fជ1, se tiene:

5N

d1 ⋅ F1 = d2 ⋅ F2 → x ⋅ 5 = (1 − x) ⋅ 8 → 8 → 13 x = 8 → x = = 0, 62 m 13 쮿 GUÍA DE FÍSICA Y QUÍMICA 1.° Bachillerato 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿

8N

ជ R

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FICHA 1

COMPOSICIÓN DE FUERZAS

NOMBRE: 2

CURSO:

FECHA:

Se aplica una fuerza Fជ1 de módulo 40 N sobre un cuerpo formando un ángulo de 30° con la horizontal. Descompón Fជ1 como suma de dos fuerzas, una horizontal y otra vertical.

SOLUCIÓN ជ F1

ជj

Se elige un sistema de referencia con direcciones horizontal y vertical según el dibujo. En este sistema de referencia la componente de la fuerza sobre la dirección horizontal es: Fជx = 40 ⋅ cos 30°ជ i = 34,64iជ

30º

Y la componente de la fuerza sobre la dirección vertical es: j = 20ជ j Fជy = 40 ⋅ sen 30°ជ 3

40 N

ជ i

Tenemos un sistema de cuatro fuerzas aplicadas sobre un punto. Fជ1 es vertical hacia arriba y su módulo es 20 N; Fជ2 es vertical hacia abajo y su módulo es 30 N; Fជ3 es horizontal hacia la derecha y su módulo es 40 N y Fជ4 es horizontal hacia la izquierda y su módulo es 50 N. Calcula la expresión vectorial de la resultante de las cuatro fuerzas y el ángulo que forma con la horizontal.

SOLUCIÓN Se elige un sistema de referencia con direcciones y sentidos horizontal hacia la derecha y vertical hacia arriba. En este sistema de referencia las fuerzas aplicadas se expresan según: j • Fជ2 = −30ជ j • Fជ3 = 40ជ i • Fជ4 = −50ជ i • Fជ1 = 20ជ

ជ F1 ជ F3

ជ F4

La suma de todas ellas es: ជ j − 30ជ i + 40ជ i − 50ជ i = −10ជ i − 10ជ j R = Fជ1 + Fជ2 + Fជ3 + Fជ4 = 20ជ

ជ F2

Como la componente horizontal y vertical tienen igual módulo, el ángulo que forma la resultante con la dirección horizontal y sentido positivo puede ser 45°, 135°, 225° o 315°. Para decidir cuál de ellos es el adecuado basta fijarse en el signo de las componentes: ambos negativos señalan el tercer cuadrante y un ángulo de 225°. En efecto: cos α =

Rx = R⏐ ⏐ជ

−10

(−10 ) + (−10 ) Por tanto, el ángulo es de 225°. 4

2

2

=

− 2 2

; sen α =

Ry = R⏐ ⏐ជ

−10 (−10 ) + (−10 ) 2

2

=

− 2 2

Un avión despega mediante una fuerza de sus motores de 4000 N que lo impulsan hacia delante con un ángulo de 40° respecto a la horizontal. Al mismo tiempo sopla un viento vertical que lo empuja hacia arriba con una fuerza de 1000 N. Calcula el módulo de la fuerza resultante y el ángulo que forma con la horizontal.

SOLUCIÓN Se elige un sistema de referencia con direcciones horizontal y vertical, y sentidos los que marca el avance del avión. En este sistema de referencia, y en unidades del SI, las fuerzas sobre el avión son: Fជavión = 4000 ⋅ cos 40°ជ i + 4000 ⋅ sen 40°ជ j = 3064ជ i + 2571jជ ; Fជviento = 1000ជ j La resultante es la suma vectorial de ambas: ជ R = Fជavión + Fជviento = (3064ជ i + 2571jជ) + 1000ជ j = 3064ជ i + 3571jជ Su módulo es: R⏐ = ⏐ជ

3064 2 + 35712 = 4705 N

Y el ángulo α con la horizontal es: α = arc tg

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Ry 3571 N = arc tg = 49° 22’ Rx 3064 N

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AMPLIACIÓN con soluciones

FICHA 2

MOMENTO LINEAL

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

2. EJERCICIO RESUELTO Un jugador de billar golpea con su taco una de las bolas, que se dirige con velocidad 0,5 m/s a golpear a una segunda bola que está en reposo en el tapete. Si la segunda bola sale a una velocidad de 0,3 m/s y en una dirección que forma un ángulo de 30° con la dirección en que se movía la primera, ¿con qué velocidad y en qué dirección se mueve ahora la primera bola? SOLUCIÓN Se considera que el golpe entre las dos bolas de billar es elástico: entonces ha de conservarse el momento lineal. Sea m la masa de las bolas de billar e ជ i un vector unitario paralelo a la velocidad inicial de la primera bola. Antes del choque esta bola tiene un momento lineal igual a: ជ p 10 = m1ជ v 10 = 0,5 miជ Mientras que el momento lineal de la segunda bola, que está en reposo, es nulo. Después del choque, el momento lineal de la segunda bola es: ជ p 2F = m2ជ v 2F = 0,3 m ⋅ (cos 30°ជ i + sen 30°ជ j ) = 0,26 miជ + 0,15 mជ j (Suponemos que m1 = m2 = m.) Y el momento lineal final de la primera bola ជ p 1F debe ser tal que verifique el principio de conservación del momento lineal: ជ p 10 + ជ p 20 = ជ p 1F + ជ p 2F → 0,5 miជ = ជ p 1F + (0,26 miជ + 0,15 mជ j )→ →ជ p 1F = 0,24 miជ − 0,15 mជ j Por tanto, la velocidad de la primera bola es:

ជ p1F = 0,24 ជ i − 0,15 ជ j m que tiene un módulo de 0,28 m/s, y ángulo α = arc tg (−0,15/0,24) = −32°; es decir, 32° hacia el semiplano en que no se mueve la segunda bola. ជ v 1F =

5

Manuel va patinando a una velocidad de 2 m/s cuando choca con Laura, que en ese momento estaba parada en la pista. Si las masas de Manuel y Laura son de 70 y 50 kg, respectivamente, y suponemos que después del choque se mueven juntos, calcula cuál será su velocidad.

SOLUCIÓN Se considera que el choque entre los patinadores es elástico y, por tanto, se conserva el momento lineal. El momento lineal inicial de Manuel es: ជ p M0 = mMជ v M0 = 70 ⋅ 2iជ = 140ជ i Y el momento lineal de Laura, que está parada, es nulo. Después del choque los dos patinadores se deslizan juntos con masa igual a la suma de las masas y velocidad: ជ p F = (mM + mL) ⋅ ជ v F = (70 + 50) ⋅ ជ v F = 120 ជ vF Así que: ជ p M0 = ជ p F → 140ជ i = 120 ជ vF → ជ v F = 1,17ជ i Manuel y Laura se mueven en la misma dirección y sentido que Manuel al principio, con menor velocidad, 1,17 m/s2. 쮿 GUÍA DE FÍSICA Y QUÍMICA 1.° Bachillerato 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿

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FICHA 2

MOMENTO LINEAL

NOMBRE: 6

CURSO:

FECHA:

Teresa y Pablo juegan a lanzar coches con sentidos contrarios por una pista y ver cómo chocan. La masa del coche de Teresa es el doble que la del de Pablo, y sus velocidades son 2 m/s y 3 m/s, respectivamente. Si después del impacto el ángulo que forma la dirección del coche de Teresa con su dirección inicial es de 30°, mientras que la que forma el de Pablo con su dirección inicial es de 45°, ¿cuáles son las velocidades con que se mueven los dos coches después del choque?

SOLUCIÓN Se considera que el choque entre los coches es elástico y, por tanto, se conserva el momento lineal. ជ vT

ជ j

Pablo

30° ជ v T0 ជ v P0

ជ i 45°

Teresa

ជ vP

Los momentos lineales iniciales de los coches de Teresa y Pablo, de masas 2m y m, respectivamente, son: ជ v T0 = 2m ⋅ 2iជ = 4miជ p T0 = mTជ ជ p P0 = mPជ v P0 = m ⋅ (−3iជ) = −3miជ La velocidad con la que el coche de Teresa se mueve después del impacto tiene módulo v T y forma 30° con su velocidad inicial: ជ v TF = v T ⋅ cos 30°ជ i + v T ⋅ sen 30°ជ j Y el momento lineal es: ជ p TF = 1,73m ⋅ v T ជ i + m ⋅ v Tជ j La velocidad con la que el coche de Pablo se mueve después del impacto tiene módulo vP y forma 45° con su velocidad inicial: ជ v PF = −v P ⋅ cos 45°ជ i − v P ⋅ sen 45°ជ j Y el momento lineal es: ជ p PF = −0,71m ⋅ v P ជ i − 0,71m ⋅ v P ជ j El principio de conservación del momento lineal afirma que: ជ p T0 + ជ p P0 = ជ p TF + ជ p PF → ជ ជ ជ ជ → 4mi − 3mi = (1,73m ⋅ v T i + m ⋅ v T j ) + (−0,71m ⋅ v P ជ i − 0,71m ⋅ v P ជ j )→ →ជ i = (1,73v T ជ i + v Tជ j ) + (−0,71 v P ជ i − 0,71v P ជ j ) Esta ecuación vectorial ha de verificarse componente a componente: 1 = 173 , ⋅ v T − 0, 71⋅ vP ⎫⎪ ⎬ ⎪⎪⎭ 0 = v T − 0, 71⋅ vP La solución de este sistema es vT = 1,37 m/s, vP = 1,93 m/s. Por tanto, las velocidades de los coches de Teresa y Pablo resultan: ជ v T = 2,37 ជ i + 1,37 ជ j yជ v P = −1,37 ជ i − 1,37 ជ j

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FICHA 2

MOMENTO LINEAL

NOMBRE: 7

CURSO:

FECHA:

Un avión vuela a 300 m de altura y con una velocidad de 250 km/h deja caer un paquete de ayuda humanitaria de 100 kg. A los 5 s de empezar a caer se rompe la cuerda que ataba el paquete y se divide en dos partes. Una de 40 kg que inicialmente se mueve verticalmente y otra de 60 kg que inicialmente se mueve horizontalmente. Calcula las velocidades de cada una de las partes.

SOLUCIÓN Durante el primer tramo el paquete completo, de 100 kg, cae siguiendo el movimiento de un tiro parabólico. La velocidad con que se mueve a los 5 s tiene componentes horizontal y vertical según: vPx = 250 km/h = 69,44 m/s vPy = g ⋅ t = 441 m/s El momento lineal del paquete en el momento en que se separa en dos es: ជ i + 44100 ជ j p 0 = 6944 ជ El momento en el instante después de la separación es la suma de los momentos lineales de las dos partes A y B: ជ p A = 40vA ជ j ; ជ p B = 60vB ជ i

ជ i 60 kg ជ vB ជ j

El principio de conservación del momento lineal afirma que: ជ pA + ជ p B → 6944 ជ i + 44100 ជ j = 60 ⋅ vB ជ i + 40 ⋅ vA ជ j p0 = ជ

40 kg ជ vA

Resolviendo componente a componente se obtiene que la parte de 40 kg se separa verticalmente con una velocidad vertical de 1102,50 m/s, y la parte de 60 kg se separa horizontalmente con una velocidad de 115,73 m/s. 8

Dos balones, A y B, chocan frontalmente y ambos salen despedidos en sentidos contrarios a los que tenían antes del choque. Si las velocidades de A y B antes del choque son 1 y 2 m/s, respectivamente, y sus velocidades después del choque son 1 m/s y 0,25, calcula la relación entre las masas de A y B.

SOLUCIÓN

ជ i ជ v A0

ជ v B0

Se considera que el choque entre los balones es elástico y, por tanto, se conserva el momento lineal. El momento inicial del sistema es: ជ p0 = ជ p A0 + ជ p B0 = mA ⋅ ជ v A0 + mB ⋅ ជ v B0 = mA ជ i − 2mB ជ i Y el momento final, en el que los balones cambian el módulo y el sentido de sus velocidades, es: ជ p AF + ជ p BF = mA ⋅ ជ v AF + mB ⋅ ជ v BF = −mA ជ i + 0,25 ⋅ mB ជ i pF = ជ El principio de conservación del momento lineal asegura que: ជ p B0 = ជ p AF + ជ p BF → mA ជ i − 2 ⋅ mB ជ i = −mA ជ i + 0,25 ⋅ mB ជ i p A0 + ជ O bien: mA − 2mB = −mA + 0,25mB → 2mA = 2,25mB Multiplicando la ecuación por cuatro: 8mA = 9mB Se observa que la relación entre la masa de la primera pelota y la de la segunda debe ser de 9 a 8: mA 9 = mB 8 쮿 GUÍA DE FÍSICA Y QUÍMICA 1.° Bachillerato 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿

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FICHA 2

MOMENTO LINEAL

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

3. EJERCICIO RESUELTO Un futbolista aplica durante 0,2 s una fuerza de 50 N a un balón de 1,4 kg de peso, ¿qué velocidad le proporciona? SOLUCIÓN ជ. El impulso lineal que aplica el futbolista cambia el momento lineal del balón según Fជ⋅ Δt = Δp Como el balón estaba inicialmente en reposo: ជ=ជ ជF Δp pF − ជ p 0 = mv Y, por tanto, la velocidad que adquiere el balón tiene igual dirección y sentido que la fuerza y módulo: vF =

9

F ⋅ Δt 50 N ⋅ 0, 2 s = = 7,14 m/s m 1, 4 kg

Un cuerpo entra en un plano horizontal con una velocidad de 3 m/s. Si el coeficiente de rozamiento es μ = 0,2, calcula cuánto tiempo estuvo en movimiento el cuerpo hasta quedar parado.

SOLUCIÓN Durante el tiempo de frenada el cuerpo pierde cantidad de movimiento igual a la diferencia de momento lineal, ជ=ជ ជ0 Δp pF − ជ p 0 = mv

ជ v0

ជ FR

Esta pérdida la origina la fuerza de rozamiento, contraria al movimiento. El impulso generado por esta fuerza es FជR ⋅ Δt, y tiene que coincidir con la variación del momento lineal del sistema. Por tanto: μm ⋅ g ⋅ Δt = mv0 → 0,2 ⋅ 9,8 ⋅ Δt = 3 → Δt = 1,53 s

10

Al aplicar una fuerza de 40 N durante 5 s sobre un cuerpo, este aumenta su velocidad de 2 a 4 m/s. ¿Cuál es la masa del cuerpo?

SOLUCIÓN Si la fuerza tiene la dirección del movimiento, el impulso que aplica sobre el cuerpo tiene que ser igual a la variación del momento lineal del cuerpo; por tanto: F ⋅ Δt = Δp → F ⋅ Δt = m ⋅ (vF − v0) → 40 N ⋅ 5 s = m ⋅ (4 − 2) m/s → m = 100 kg ជ v0

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ជ F

ជ vF ជ F

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FICHA 3

IMPULSO

NOMBRE: 11

CURSO:

FECHA:

Una pelota de tenis de 200 g de masa impacta en una pared a la velocidad de 5 m/s y sale rebotada a 2 m/s. Si el tiempo de contacto entre la pared y la pelota fue de 0,1 s, calcula el valor de la fuerza que la pared aplicó sobre la pelota.

SOLUCIÓN 1

2 5 m/s

2 m/s

Durante el tiempo de contacto con la pared, la pelota cambia su cantidad de movimiento: ជ ជ0 = 0,2 ⋅ 5 ជ ជF = −0,2 ⋅ 2 ជ i = 1ជ i ; ជ p F = mv i = −0,4 ជ i p 0 = mv Para conseguir este cambio en el momento lineal, la pared aplica una fuerza sobre la pelota, contraria a su movimiento inicial, durante 0,1 s. Entonces: Fជ⋅ Δt = ជ pF − ជ p 0 → −Fជ⋅ 0,1 = 1 ជ i − (−0,4 ជ i ) → Fជ= −14 ជ i La pared aplica sobre la pelota una fuerza de 14 N en sentido contrario a su movimiento. 12

Juan tiene examen de educación física y la primera prueba consiste en saltar verticalmente con los dos pies y marcar con una tiza la mayor altura posible. Al flexionar las piernas, Juan empuja el suelo con una fuerza de 600 N y sus 80 kg alcanzan una altura de 1 m sobre su posición inicial. Calcula el tiempo que Juan estuvo en contacto con el suelo aplicando la fuerza.

SOLUCIÓN Para alcanzar una altura de 1 m sobre el suelo, la velocidad inicial del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (con la aceleración de la gravedad actuando en contra del movimiento) se calcula resolviendo el siguiente sistema para v0 y t: ⎫⎪ 0 = v 0 − 9, 8 t v = v 0 − gt ⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪→ ⎬ 1 ⎬ 1 1 = v 0t − 9, 8 t 2⎪⎪ s = v 0t − gt 2⎪⎪ ⎪⎭ 2 ⎪⎭ 2 Y resulta v0 = 4,43 m/s. La variación del movimiento lineal de Juan es: Δp = pF − p0 = 80 kg ⋅ 4,43 m/s = 354,4 kg ⋅ m/s Y se debe a la fuerza de reacción que ejerce el suelo sobre Juan, hacia arriba, cuando esta aplica la misma fuerza sobre el suelo, hacia abajo: F ⋅ Δt = Δp → 600 ⋅ Δt = 354,4 → t = 0,59 s

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FICHA 4

SEGUNDA LEY DE NEWTON Y APLICACIÓN A CINEMÁTICA

NOMBRE: 13

CURSO:

FECHA:

Un coche teledirigido de masa 14 kg está situado en la parte más baja de un plano inclinado 20° respecto al suelo. En lo alto del plano inclinado hay un único árbol situado a 30 m de altura sobre la horizontal. Sabemos que el coeficiente de rozamiento es μ = 0,7. a) ¿Con qué fuerza Fជdebería tirar el motor hacia arriba para que el coche subiera con una a = 1,5 m/s2? b) ¿Con qué velocidad llegó al árbol si partió del reposo? c) ¿Con qué fuerza debería tirar el motor hacia arriba para que el coche subiera con velocidad constante? (Pista: utiliza la 2.a ley de Newton expresada anteriormente e introduce el nuevo dato.)

SOLUCIÓN a) 1. Dibuja todas las fuerzas existentes descomponiendo el peso ជ P como la suma de una componente en el eje X → ជ Px y otra en el eje Y → ជ Py.

ជ F h = 30 m

ជ Px

ជ Py

ជ FR

α

x P = mg

2. Identifica por semejanza de triángulos dónde está el ángulo α en los triángulos que te aparecen y halla el valor de ⏐ជ Px⏐ y ⏐ជ Py⏐ con tus conocimientos sobre seno y coseno de un ángulo: Px⏐ ⏐ជ → ⏐ជ Px⏐ = ⏐ជ P ⏐ ⋅ sen α = m ⋅ g ⋅ sen α = 14 kg ⋅ 9,8 m/s2 ⋅ sen 20° = 46,9 N sen α = ជ ⏐P ⏐ cos α =

Py⏐ ⏐ជ

P⏐ ⏐ជ

→ ⏐ជ Py⏐ = ⏐ជ P ⏐ ⋅ cos α = m ⋅ g ⋅ cos α = 14 kg ⋅ 9,8 m/s2 ⋅ cos 20° = 128,9 N

3. Comprueba que ⏐ជ P ⏐ = m ⋅ g coincide con ⏐ជ P ⏐ = ⏐ជ Px⏐2 + ⏐ជ Py⏐2 : P ⏐ = m ⋅ g = 14 kg ⋅ 9,8 m/s2 = 137,2 N → ⏐ជ P⏐ = → ⏐ជ

Px⏐2 + ⏐ជ Py⏐2 = ⏐46, 9⏐2 + ⏐128, 9⏐2 = 137, 2 N ⏐ជ

4. Calcula el valor de la normal aplicando la segunda ley de Newton al eje Y: FTotal eje Y = m ⋅ ay → N − Py = 0 → N = Py = 128,9 N ↓ ay = 0, pues no hay movimiento en el eje Y 5. Conocido el valor de la normal, halla el valor de la fuerza de rozamiento. FR = μ ⋅ N = 0, 7 ⋅ 128, 9 N = 90, 23 N 6. Aplica la segunda ley de Newton al eje X y despeja el valor del módulo de la fuerza con la que debe tirar el motor del coche. FTotal eje X = m ⋅ ax → F − Px − FR = m ⋅ ax → → F = Px + FR + m ⋅ a = 466, 9 N + 90, 23 N + 14 kg ⋅ 15 , m/s2 = 158,13 N

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FICHA 4

SEGUNDA LEY DE NEWTON Y APLICACIÓN A CINEMÁTICA

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

b) 1. Primero halla el espacio que recorre con tus conocimientos de trigonometría.

sen α =

h h 30 m →s= = = 87, 7 m s sen α sen 20°

s h = 30 m

α = 20°

2. Ahora calcula la velocidad con la que llega al árbol con tus conocimientos de cinemática. v 2 − v 02 = 2 ⋅ a ⋅ s → v =

2⋅a⋅s =

2 ⋅ 15 , m/s2 ⋅ 87, 7 m = 16, 22 m

(v0 = 0, pues parte del reposo.) c) Resuelve: FTotal eje X = m ⋅ ax → → F − Px − FR = m ⋅ ax = 0 → F = Px + FR = 46,99 N + 90, 23 N = 137, 3 N ↓ ax = 0, pues la velocidad es constante 14

Un trineo con motor que, junto con su ocupante, tiene una masa de 150 kg, está situado en la parte más alta de un montículo (a 20 m sobre el suelo) cuya ladera forma 35° respecto a la horizontal. Sabemos que el coeficiente de rozamiento es μ = 0,9, muy alto, pues hay poca nieve y está mezclada con vegetación. a) ¿Qué fuerza Fជdebería emplear el motor del trineo para que bajara por la ladera con una a = 3 m/s2? b) ¿Con qué velocidad llegó al final del plano inclinado si partió del reposo? c) ¿Con qué aceleración se movería si simplemente se dejara caer, con el motor apagado? Saca conclusiones del resultado que obtengas.

SOLUCIÓN a) Sigue los siguientes pasos: 1. Dibuja todas las fuerzas existentes descomponiendo el peso ជ P como la suma de una componente en el eje X → ជ Px y otra en el eje Y → ជ Py.

y ជ FR

ជ N m = 150 kg

ជ F ជ Px

ជ Py

∝ = 0,9

ជ P

35°

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x

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FICHA 4

SEGUNDA LEY DE NEWTON Y APLICACIÓN A CINEMÁTICA

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

2. Identifica por semejanza de triángulos dónde está el ángulo α en los triángulos que te aparecen y halla el valor de ⏐ជ Px⏐ y ⏐ជ Py⏐ con tus conocimientos sobre seno y coseno de un ángulo: sen α =

cos α =

Px⏐ ⏐ជ

→ ⏐ជ Px⏐ = ⏐ជ P ⏐ ⋅ sen α = m ⋅ g ⋅ sen α = 150 kg ⋅ 9,8 m/s2 ⋅ sen 35° = 843,2 N

P⏐ ⏐ជ Py⏐ ⏐ជ

P⏐ ⏐ជ

→ ⏐ជ Py⏐ = ⏐ជ P ⏐ ⋅ cos α = m ⋅ g ⋅ cos α = 150 kg ⋅ 9,8 m/s2 ⋅ cos 35° = 1204,2 N

P ⏐ = m ⋅ g coincide con ⏐ជ P ⏐ = ⏐ជ Px⏐2 + ⏐ជ Py⏐2 : Comprueba que ⏐ជ P ⏐ = m ⋅ g = 150 kg ⋅ 9,8 m/s2 = 1470 N → ⏐ជ P⏐ = → ⏐ជ

Px⏐2 + ⏐ជ Py⏐2 = ⏐843, 2⏐2 + ⏐1204 , 2⏐2 = 1470 N ⏐ជ

3. Calcula el valor de la normal aplicando la segunda ley de Newton al eje Y: FTotal eje Y = m ⋅ ay → N − Py = 0 → N = Py = 1204,2 N ay = 0, pues no hay movimiento en el eje Y. 4. Conocido el valor de la normal, halla el valor de la fuerza de rozamiento. FR = μ ⋅ N = 0, 9 ⋅ 1204 , 2 N = 1083, 8 N 5. Aplica la segunda ley de Newton al eje X y despeja el valor del módulo de la fuerza con la que debe tirar el motor del coche. FTotal eje X = m ⋅ ax → → F + Px − FR = m ⋅ ax → F = FR − Px + m ⋅ a = 10083, 8 N − 843, 2 N + 150 kg ⋅ 3 m/s2 = 690, 6 N b) Primero halla el espacio que recorre con tus conocimientos de trigonometría. sen α = s

h h 20 m →s= = = 34 , 9 m s sen α sen 35°

h α

Ahora calcula la velocidad con la que llega al árbol con tus conocimientos de cinemática. v 2 − v 02 = 2 ⋅ a ⋅ s → v =

2⋅a⋅s =

2 ⋅ 3 m/s2 ⋅ 34 , 9 m = 14 , 47 m

v0 = 0, pues parte del reposo. c) Resuelve: FTotal eje X = m ⋅ ax . Ahora Fជ= 0: Px − FR = m ⋅ ax → ax =

Px − FR 843, 2 N − 1083, 8 N = < 0! m 150 kg

El hecho de que nos dé una aceleración negativa significa en este caso que no deslizaría; no se movería, puesto que de las dos fuerzas que hay ahora en la dirección del movimiento (eje X), cada una en un sentido, es mayor la fuerza que lo frena (FR = 1083,8 N) que la que lo impulsa hacia delante (Px = 843,2 N), y eso no puede ocurrir. Es decir, la fuerza de rozamiento iguala a Px, por lo que no se mueve. La fuerza de rozamiento no puede ser mayor que Px.

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FICHA 4

SEGUNDA LEY DE NEWTON Y APLICACIÓN A CINEMÁTICA

NOMBRE: 15

CURSO:

FECHA:

Un niño situado en lo alto de un tobogán a 2,5 m sobre el suelo se da cuenta de que se ha dejado abajo su muñeco favorito (de masa m) y quiere tirarse con él. Por ello le pide a su hermana que se lo lance deslizando por la superficie del tobogán desde abajo. La rampa está inclinada 30° y el coeficiente de rozamiento es 0,15. ¿Con qué velocidad como mínimo deberá lanzar la hermana el muñeco para que llegue hasta arriba?

SOLUCIÓN Sigue los siguientes pasos. 1. Dibuja todas las fuerzas existentes descomponiendo el peso ជ P como la suma de una componente en el eje X → ជ Px y otra en el eje Y → ជ Py. Dibuja también el vector velocidad inicial del muñeco.

Niño y

h = 2,5 m

ជ N ជ v0 Muñeco ជ Px

∝ = 30°

ជ FR ជ Px x

2. Identifica por semejanza de triángulos dónde está el ángulo α en los triángulos que te aparecen y halla el valor de ⏐ជ Px⏐ y ⏐ជ Py⏐ con tus conocimientos sobre seno y coseno de un ángulo (deja sin sustituir la masa m del muñeco, pues no te la dan, pero verás que al final no te hace falta): sen α =

Px⏐ ⏐ជ

P⏐ ⏐ជ

→ ⏐ជ Px⏐ = ⏐ជ P ⏐ ⋅ sen α = m ⋅ g ⋅ sen α = m ⋅ 9,8 m/s2 ⋅ sen 30° →

→ Px = 4,9 ⋅ m N

cos α =

Py⏐ ⏐ជ

P⏐ ⏐ជ

→ ⏐ជ Py⏐ = ⏐ជ P ⏐ ⋅ cos α = m ⋅ g ⋅ cos α = m ⋅ 9,8 m/s2 ⋅ cos 30° →

→ Py = 8,5 ⋅ m N 3. Calcula el valor de la normal aplicando la segunda ley de Newton al eje Y: FTotal eje Y = m ⋅ ay → N − Py = 0 → → N = Py = 8, 5 ⋅ m N (ay = 0, pues no hay movimiento en el eje Y.) continúa 앶앸 쮿 GUÍA DE FÍSICA Y QUÍMICA 1.° Bachillerato 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿

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FICHA 4

SEGUNDA LEY DE NEWTON Y APLICACIÓN A CINEMÁTICA

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

4. Conocido el valor de la normal, halla el valor de la fuerza de rozamiento. FR = μ ⋅ N = 0,15 ⋅ 8, 5 ⋅ m N = 128 , ⋅m N 5. Aplica la segunda ley de Newton al eje X y despeja la aceleración con la que se mueve el muñeco por la rampa. Analiza el resultado. (Pista: ¡Ojo: ជ v0 no es una fuerza; es una velocidad, y no debe aparecer en la segunda ley de Newton!) FTotal eje X = m ⋅ ax → 0 − Px − FR = m ⋅ ax (No hay fuerza en el sentido del movimiento.) Por tanto: ax =

−Px − FR −4 , 9 ⋅ m − 128 , ⋅m = = −4 , 9 − 128 , = −6 ,18 m/s2 m m

(¡Se va la masa, no influye!) El muñeco sube, pues tiene una velocidad inicial hacia arriba, pero con aceleración negativa; es decir, se va frenando nada más comenzar su movimiento con la aceleración calculada. Es lógico, pues solo hay fuerzas en sentido contrario al movimiento. 6. Calcula ahora el espacio que tiene que recorrer el muñeco hasta llegar arriba con tus conocimientos de trigonometría.

e h = 2,5 m

α = 30°

A partir del dibujo: sen α =

h h 2, 5 m →s= = =5m s sen α sen 30°

7. Y, finalmente, conocida la aceleración y el espacio que ha de recorrer, calcula la velocidad mínima con la que debería ser lanzado usando tus conocimientos de cinemática. v 2 − v 02 = 2 ⋅ a ⋅ s → 0 − v 02 = 2 ⋅ a ⋅ s → → v 0 = −2 ⋅ a ⋅ s = −2 ⋅ (−6,118 ) m/s2 ⋅ 5 m = 7,86 m/s La velocidad final del muñeco al llegar arriba es cero, pues basta con eso para que llegue y nos piden la velocidad mínima con la que debería ser lanzado.

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AMPLIACIÓN con soluciones

FICHA 5

VELOCIDAD TERMINAL

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

¿Cuándo crees que tienes más posibilidades de salvarte: si te caes desde la ventana de un rascacielos a 50 m sobre el suelo o si te caes de un helicóptero a 1000 m de altura? Conocerás la respuesta al final de la ficha.

16

Según has estudiado, el movimiento en caída libre no es más que un MRUA con a = g = 9,8 m/s2. Por tanto, parece que podrías adquirir cualquier velocidad simplemente tirándote desde muy alto. Por ejemplo: ¿desde qué altura deberías dejarte caer para llegar al suelo con la velocidad del sonido (vsonido = 340 m/s)?

SOLUCIÓN Usa la ecuación que liga v, a y s. v 2 − v 02 = 2 ⋅ g ⋅ s → s =

v 2 − v 02 3402 − 0 = = 5898 m 2⋅ g 2 ⋅ 9, 8

v0 = 0, pues se parte del reposo. v0 = 0

Lo anterior no ocurre realmente, pues el hecho de que los cuerpos al caer atraviesen la atmósfera hace que se produzca el siguiente fenómeno: según va cayendo un cuerpo actúan en la vertical dos fuerzas sobre él en sentido contrario: • El peso ជ P, hacia abajo: es una fuerza que podemos considerar constante a estas distancias. • La fuerza de rozamiento FជR , hacia arriba y no es constante: FR⏐ = k ⋅ v 2 ⏐ជ

ជ P

ជ FR ជ v

ជ FT ជ P

donde: • v es la velocidad del cuerpo. • k es una constante que depende del cuerpo (de su forma, de su relación entre masa y superficie expuesta al aire, etc.).

ជ FR ជ FT= 0

ជ vT

ជ P

El rozamiento con el aire depende de la forma del cuerpo que cae y de su superficie (k), pero depende aún más de la velocidad que lleve el cuerpo (pues la velocidad está al cuadrado). A mayor velocidad, mayor rozamiento. ជ vT

ជ v T = velocidad terminal ជ vT

La fuerza total que se ejerce sobre el cuerpo en cualquier momento de la caída vale: FជTotal + ជ P +ជ FR → FជTotal

⎧⎪ • Dirección: vertical ⎪⎪ ⎨ • Sentido: hacia abajo ⎪⎪ P ⏐ − ⏐ជ FR⏐ ⎪⎩ • Módulo: ⏐ FជTotal⏐ = ⏐ជ

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AMPLIACIÓN con soluciones

FICHA 5

VELOCIDAD TERMINAL

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Lo que le ocurre al cuerpo según va cayendo, como puedes ver en el dibujo es: Su velocidad va aumentando → ⏐ជ FR⏐ va aumentando → → ⏐FជTotal⏐ va disminuyendo → aceleración del cuerpo va disminuyendo. El proceso va ocurriendo hasta que ⏐ FជR⏐ = ⏐ជ P ⏐. En ese momento: P ⏐ = ⏐ជ FR⏐ = 0 → la aceleración del cuerpo es 0 → velocidad constante. ⏐FជTotal⏐ = ⏐ជ La velocidad constante que mantendrá desde ese momento durante el resto de la caída es la que llevaba cuando se produjo que ⏐ FជR⏐ = ⏐ជ P ⏐ y se le llama velocidad terminal (vt ). 17

P ⏐ = m ⋅ g y que ⏐ជ F R⏐ = k ⋅ v 2, halla la expresión de la velocidad terminal. Sabido que ⏐ជ

SOLUCIÓN Basta con sustituir y despejar v: P ⏐ → k ⋅ v 2 = m ⋅ g → v terminal = ⏐ FជR⏐ = ⏐ជ

18

m⋅ g k

Con la anterior expresión calcula la velocidad terminal de: a) Una persona en caída libre. (Datos: m = 80 kg, k ≈ 0,25.) b) La misma persona anterior después de abrir su paracaídas. (Dato: k ≈ 31.)

SOLUCIÓN a) Tenemos: v terminal =

m⋅ g = k

80 ⋅ 9, 8 = 56 m/s = 202 km/h 0, 25

b) Ahora: v terminal =

m⋅ g = k

80 ⋅ 9, 8 = 5 m/s = 18 km/h 31

Respuesta a la pregunta inicial y otras curiosidades Tienes las mismas posibilidades de salvarte si caes desde 50 m de altura que desde 1000 m, pues en ambos casos llegarás al suelo con la misma velocidad terminal. • La velocidad terminal de una gota de agua es del orden de 9 m/s. • Los insectos pequeños tienen una superficie muy grande comparada con su masa, por lo que, cuando caen, sus propios cuerpos hacen de paracaídas y su velocidad terminal es muy pequeña, de pocos cm/s. ¡Si se cayera una hormiga desde lo alto de un edificio llegaría ilesa al suelo! • Existen algunos deportes de riesgo en caída libre en los que no se suele alcanzar la velocidad terminal, como son el puenting (saltar al vacío desde un puente atado con una cuerda) y el benjuí (similar al puenting, pero atado por los pies y con una goma elástica).

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PRUEBAS DE EVALUACIÓN

LAS LEYES DE NEWTON

PRUEBA DE EVALUACIÓN 1 1

Sobre un cuerpo hay anudadas tres cuerdas de las que tiran Lola, Patricia y Alicia. Lola 30 N Alicia 60 N

30° 45°

40 N

Patricia

• Lola tira con una fuerza de 30 N en una dirección que forma un ángulo de 30° sobre el sentido positivo del eje X. • Patricia tira con una fuerza de 40 N en una dirección que forma un ángulo de 45° bajo el sentido positivo del eje X. • Alicia tira con una fuerza de 60 N en el sentido negativo del eje X. Calcula la expresión vectorial de la resultante y el ángulo que forma con el eje X. 2

Un cartel de 5 kg se cuelga del techo mediante dos cables que forman un ángulo de 30° con la horizontal. Calcula la tensión que soportan los cables.

3

Un cuerpo de masa 2 kg se mueve a 5 m/s en el sentido positivo del eje X. Se dispara una bala en sentido contrario y después del choque todo queda en reposo. Si la masa de la bala es de 30 g, ¿cuál era su velocidad antes de impactar con el cuerpo?

4

Dos fuerzas perpendiculares actúan sobre un cuerpo de masa 3 kg que estaba en reposo. Si al cabo de 2 s el cuerpo se mueve a 10 m/s y una de las fuerzas tenía módulo 10 N, ¿cuál era el módulo de la otra?

5

Elsa y Alejandro están en reposo en una pista de hielo. En un determinado momento Elsa empuja a Alejandro con una fuerza de 100 N aplicada durante 1 s. Si la masa de Elsa es de 60 kg y la de Alejandro es de 80 kg, ¿a qué velocidad se moverá cada uno después del empujón?

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PRUEBAS DE EVALUACIÓN

LAS LEYES DE NEWTON

PRUEBA DE EVALUACIÓN 1: SOLUCIONES 1

Hay que calcular la resultante. En el sistema de referencia del dibujo, las fuerzas aplicadas por Lola, Patricia y Alicia son: • FជLola = 30 ⋅ cos 30°ជ i + 30 ⋅ sen 30°ជ j • FជPatricia = 40 ⋅ cos 45°ជ i − 40 ⋅ sen 45°ជ j ជ ជ • FAlicia = −60 i

30 N 218° 28’

60 N

30° ជ R

45°

40 N

La resultante se calcula sumando todas las fuerzas aplicadas: ជ R = FជLola + FជPatricia + FជAlicia →

i + 30 ⋅ sen 30°ជ j ) + (40 ⋅ cos 45°ជ i − 40 ⋅ sen 45°ជ j ) − 60 ជ i → →ជ R = (30 ⋅ cos 30°ជ ជ ជ ជ ជ i − 13,28 ជ j N → R = (30 ⋅ cos 30° + 40 ⋅ cos 45° − 60) i + (30 ⋅ sen 30° + 40 ⋅ sen 45° ) j → R = −16,72 ជ El ángulo que forma con el eje positivo X es: α = arc tg

−13, 28 = ( 38° 28’ ) + 180° = 218° 28’ −16, 72

En efecto, la fuerza resultante se dibuja en el tercer cuadrante del sistema de referencia; es decir, con un ángulo entre 180° y 270°. 2

3

Las fuerzas que actúan sobre el cartel son las tensiones de los dos cables y el peso. La simetría del sistema permite concluir el equilibrio entre las componentes horizontales de las fuerzas. El equilibrio en la componente vertical se escribe: m ⋅ g − T ⋅ sen 30° − T ⋅ sen 30° = 0 Por tanto: m⋅ g 5 kg ⋅ 9, 8 m/s2 T = = = 49 N 2 ⋅ sen 30° 2 ⋅ 0, 5

ជ T

30°

30°

mg

Suponiendo que el impacto es elástico, y apenas se pierde energía en la colisión, los momentos lineales del sistema antes y después deben ser iguales. Antes de la colisión cuerpo y bala tienen velocidades no nulas, y el momento lineal resulta: ជ p 0 = mcuerpo ⋅ ជ v cuerpo + mbala ⋅ ជ v bala = 2 ⋅ 5 ជ i + 0,03 ⋅ ជ v bala Después de la colisión el sistema completo está en reposo y su momento lineal es nulo. El principio de conservación del momento lineal establece que: ជ p0 = ជ pF → 2 ⋅ 5ជ i + 0,03 ⋅ ជ v bala = 0 ជ i →ជ v bala = −333,33 ជ i La velocidad de la bala, en sentido contrario a la del cuerpo, es de 333,33 m/s.

4

La acción de dos fuerzas constantes sobre un cuerpo inducen en él una aceleración también constante en la dirección de la resultante de las fuerzas. Si el cuerpo estaba inicialmente en reposo, su movimiento será rectilíneo y uniformemente acelerado. Al cabo de tres segundos el cuerpo se mueve a una velocidad de 5 m/s y su aceleración es: v = v 0 + at → a =

v − v0 10 m/s − 0 m/s = = 5 m/s2 t 2s

La fuerza resultante se obtiene multiplicando esta aceleración por la masa: F = m a = 3 kg ⋅ 5 m/s2 = 15 N Esta fuerza es la composición de dos fuerzas perpendiculares, F1 = 10 N y F2, y se verifica entonces que: F 2 = F12 + F22 → F2 =

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F 2 − F12 =

(15 N)2 − (10 N)2 = 1118 , N

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ជ T

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PRUEBAS DE EVALUACIÓN

LAS LEYES DE NEWTON

PRUEBA DE EVALUACIÓN 1: SOLUCIONES (continuación) 5

El principio de conservación del momento lineal asegura que el momento lineal de los patinadores antes y después del empujón tiene que ser igual. Antes del empujón ambos patinadores están en reposo, por lo que tienen momento lineal nulo. Durante el empujón Elsa induce un momento lineal a Alejandro igual al impulso que le aplica: ជ p Alejandro = Fជ ⋅ Δt = 100 ⋅ 1 ជ i = 100 ជ i La dirección y el sentido del movimiento que comienza Alejandro es la de la aplicación de la fuerza; y como la masa de Alejandro es 80 kg, el módulo de su velocidad es: p 100 km ⋅ m/s = 125 , m/s v Alejandro = Alejandro = 80 kg mAlejandro Por efecto de este empujón, Elsa comienza un movimiento de retroceso en sentido contrario.

ជ p

ជ p

Como el momento lineal del sistema ha de conservarse: ជ 0 =ជ p Alejandro + ជ p Elsa Luego el momento lineal de Elsa es igual en dirección y módulo, y de sentido contrario, al de Alejandro. Su velocidad será también de igual dirección y sentido contrario al de Alejandro. Como la masa de Elsa es de 60 kg, el módulo de esta velocidad es: p 100 kg ⋅ m/s vElsa = Elsa = = 1, 67 m/s mElsa 60 kg Es decir, como la masa de Elsa es menor que la de Alejandro, Elsa se moverá más deprisa.

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Notas

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