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• Giancarlo Reyes Fernandez

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1

Transformada discreta del coseno (DCT). Definici´ on

La DCT de una secuencia u[m, n], 0 ≤ m, n ≤ N − 1 se define v[k, l] = α(k)α(l)

−1 N −1 N X X

u[m, n] cos

m=0 n=0



(2m + 1)kπ (2n + 1)lπ cos 2N 2N 





(1)

donde el coeficiente α(ψ) (ψ = k, l) toman los valores  q 1  qN α(ψ) = 2 

ψ=0

(2)

ψ = 1, . . . , N − 1

N

Como puede verse es una transformaci´ on lineal, de n´ ucleo de transformaci´on separable, y enteramente real si la se˜ nal original (como suele ser el caso) es real.

2

Compactaci´ on de energ´ıa de la DCT con respecto a la DFT u[m,n]

n N-1

u [m,n] c

0

N-1 m

I

III

II

IV

Figura 1: Ilustraci´on de la creaci´on de uc [m, n] a partir de u[m, n] Creemos a partir de la se˜ nal u[m, n] una versi´on de longitud doble de la misma, consistente en reflexiones de ´esta en torno a un eje tanto horizontal como vertical. La figura 1 muestra c´omo se genera esta composici´on. Denotemos a la se˜ nal (imagen) compuesta por uc [m, n]. El objetivo de este apartado es demostrar que existe una relaci´on entre la DFT de la secuencia uc [m, n] y la DCT de u[m, n]. En base a ello podemos extraer conclusiones comparativas de las propiedades de compactaci´on de energ´ıa de la DCT relativas a tales propiedades en el caso de la DFT. Para tal fin, comencemos por plantear la DFT unitaria de uc [m, n]. Como es sabido DF Tu {uc [m, n]} =

−1 2N −1 X X 2π 2π 1 2N uc [m, n]e−j 2N km e−j 2N ln 2N m=0 n=0

(3)

Para aproximarnos a una DCT comencemos dividendo el sumatorio global en un sumatorio en cada uno de los cuatro cuadrantes de la imagen compuesta: −1 2N −1 X X 2π 2π 1 2N uc [m, n]e−j 2N km e−j 2N ln = 2N m=0 n=0

1 2N

N −1 N −1 X X

m=0 n=0 2N −1 N −1 X X

2π

2π

uc [m, n]e−j 2N km e−j 2N ln + 2π

2π

uc [m, n]e−j 2N km e−j 2N ln +

=

m=N n=0

1

N −1 2N −1 X X

=

m=0 n=N 2N −1 2N −1 X X

=

2π

2π

2π −j 2N

2π −j 2N

uc [m, n]e−j 2N km e−j 2N ln + uc [m, n]e

km

e

ln

!

m=N n=N

1 (S(I) + S(II) + S(III) + S(IV )) 2N 1 S(I → IV ) (4) = 2N Para explotar las relaciones creadas por la reflexi´on de la imagen u[m, n] tomemos S(II) y hagamos el cambio de variable m0 = 2N − 1 − m. As´ı pues =

S(II) = =

2N −1 N −1 X X

2π

2π

uc [m, n]e−j 2N km e−j 2N ln

m=N n=0 0 N −1 X X

2π

2π

0

uc [2N − 1 − m0 , n]e−j 2N k(2N −1−m ) e−j 2N ln

m0 =N −1 n=0

= =

N −1 N −1 X X

2π

2π

2π

0

uc [2N − 1 − m0 , n]e−j 2N k2N ej 2N k(m +1) e−j 2N ln

m0 =0 n=0 N −1 N −1 X X

2π

2π

0

u[m0 , n]ej 2N k(m +1) e−j 2N ln

m0 =0 n=0

(5) puesto que uc [2N − 1 − m0 , n] = u[m, n] en el segundo cuadrante. Por ello, escribiendo ahora las cosas en funci´ on de un nuevo ´ındice m obtenemos S(II) =

N −1 N −1 X X

2π

2π

u[m, n]ej 2N k(m+1) e−j 2N ln

(6)

m=0 n=0

Operando de la misma manera con S(III) y S(IV) obtendr´ıamos S(III) =

N −1 N −1 X X

2π

2π

u[m, n]e−j 2N km ej 2N l(n+1)

(7)

m=0 n=0

y S(IV ) =

N −1 N −1 X X

2π

2π

u[m, n]ej 2N k(m+1) ej 2N l(n+1)

(8)

m=0 n=0

Se trata ahora de llevar a cabo la suma. Como puede observarse, existen numerosos t´erminos en com´ un entre los sumatorios parciales, de forma que podemos extraer factor com´ un para simplificar los c´alculos. Asimismo, podemos aplicar la propiedad 1

1



1

ejλ(a+1) + e−jλa = ejλ 2 ejλ(a+ 2 ) + e−jλ(a+ 2 )



(9)

Con ello, con respecto a los sumatorios S(I) y S(II) S(I) + S(II) = = =

N −1 N −1 X X

m=0 n=0 N −1 N −1 X X

m=0 n=0 N −1 N −1 X X

2π

2π

u[m, n]e−j 2N km e−j 2N ln +

N −1 N −1 X X

2π

2π

u[m, n]ej 2N k(m+1) e−j 2N ln

m=0 n=0

2π

1

2π

2π



1

2π

1

u[m, n]ej 2N k 2 e−j 2N ln e−j 2N k(m+ 2 ) + ej 2N k(m+ 2 ) π

2π

u[m, n]ej 2N k e−j 2N ln 2cos

m=0 n=0

2



2π 1 k(m + ) 2N 2





(10)

Haciendo lo propio con respecto a S(III) y S(IV): S(III) + S(IV ) = = =

N −1 N −1 X X

m=0 n=0 N −1 N −1 X X

m=0 n=0 N −1 N −1 X X

2π

2π

u[m, n]e−j 2N km ej 2N l(n+1) +

N −1 N −1 X X

2π

2π

u[m, n]ej 2N k(m+1) ej 2N l(n+1)

m=0 n=0

2π

1

2π

2π



1

2π

1

u[m, n]ej 2N k 2 ej 2N l(n+1) e−j 2N k(m+ 2 ) + ej 2N k(m+ 2 ) π

2π

u[m, n]ej 2N k ej 2N l(n+1) 2cos

m=0 n=0





2π 1 k(m + ) 2N 2



(11)

y uniendo los resultados de las ecuaciones (10) y (11) S(I → IV ) =

−1 N −1 N X X

m=0 n=0 N −1 N −1 X X

= =

m=0 n=0 N −1 N −1 X X

m=0 n=0 N −1 N −1 X X

π

2π

u[m, n]ej 2N k e−j 2N ln 2cos π

2π



2π 1 k(m + ) + 2N 2

u[m, n]ej 2N k ej 2N l(n+1) 2cos π

u[m, n]ej 2N k 2cos π







2π 1 k(m + ) 2N 2



   2π 1 2π 1 2π 1 2π 1 k(m + ) ej 2N l 2 e−j 2N l(n+ 2 ) + ej 2N l(n+ 2 ) 2N 2

π

u[m, n]ej 2N k ej 2N l 2cos



m=0 n=0

2π 1 2π 1 k(m + ) 2cos l(n + ) 2N 2 2N 2 





(12) por lo que podemos concluir que DF Tu {uc [m, n]} =

−1 2N −1 X X 2π 2π 1 2N uc [m, n]e−j 2N km e−j 2N ln 2N m=0 n=0

1 (S(I) + S(II) + S(III) + S(IV )) 2N     N −1 N −1 X X π π 2π 1 2π 1 = u[m, n]ej 2N k ej 2N l 2cos k(m + ) 2cos l(n + ) 2N 2 2N 2 m=0 n=0 =

π

= ej 2N (k+l)

    −1 N −1 X 2 NX 2π 1 2π 1 u[m, n]cos k(m + ) cos l(n + ) N m=0 n=0 2N 2 2N 2

π

= ej 2N (k+l) DCT {u[m, n]}

(13)

Como puede verse, por tanto, existe una relaci´on entre ambas transformadas, donde aparece un factor complejo de proporcionalidad. Su m´odulo, no obstante, es unitario, de forma que las propiedades de compactaci´on de energ´ıa no se ven afectadas por el mismo (n´ otese que en t´erminos estrictos esta igualdad es s´olo cierta para los coeficientes v[k, l] con (k, l) 6= (0, 0) no para la componente continua. Pero, como es obvio es en estos t´erminos en quienes nos centramos para analizar la compactaci´on de energ´ıa pues sabemos a priori que la componente continua de cualquier imagen es muy elevada). N´otese, por tanto, que podemos destacar: • Una DCT es equivalente a una DFT de una secuencia de tama˜ no doble. Por ello, la anchura de la ventana por la que una se˜ nal de longitudes infinitas habr´ıa sido multiplicada por conseguir la segunda ser´ıa de longitud doble que para el caso de la primera. Por ello la dispersi´on producida por la convoluci´on con el espectro de tal ventana ser´ıa m´as peque˜ na que la producida en el caso de una ventana de longitudes mitad. 3

• Visto el plantemiento de la DFT como coeficientes de un desarrollo en serie, v´ease que el desarrollo en serie de uc [m, n] es un desarrollo con transiciones menos abruptas que el desarrollo de u[m, n] (no existen, por ejemplo, transiciones cielo-mar en la figura 2).

Figura 2: Extensi´on peri´odica de uc [m, n]

4