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Laura Villarroel

UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO DE ANZÓATEGUI ESCUELA DE INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE MECÁNICA TRANSFERENCIA DE CALOR

TEMA 3 METODOS NUMERICOS PARA LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITOR (Tercer Parcial)

REALIZADO POR: LAURA VILLARROEL

Transferencia de Calor MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO.

I. INTRODUCCION. Los métodos numéricos, es una forma alternativa de las ecuaciones de transferencia de calor para obtener resultados de los problemas de conducción de calor. Los métodos numéricos en régimen transitorio, se basan en balances de energía y la utilización de diferencias finitas en vez de diferenciales, para esto se necesita intervalos discretos de la posición y el tiempo, entiéndase como discreto un número finito de elementos. A pesar de que las ecuaciones de transferencia de calor en régimen transitorio arrojan resultados más exactos, estas están limitadas a configuraciones geométricas conocidas (paredes, cilindros y esferas), a ambiente convectivo iguales para ambas caras y a sistemas sin generación de calor. Sin embargo, los resultados obtenidos por la implementación de métodos numéricos, resultan más cercano a la realidad, ya que no poseen estas limitaciones, por lo que, se adapta muy bien a cualquier problema real. Existen dos métodos numéricos para la conducción de calor en régimen transitorio, los cuales son: el método explícito y el método implícito. El método explicito, se caracteriza por: 





Que sus ecuaciones de temperatura se expresa de forma clara y la temperatura para el intervalo de tiempo de estudio actual, solo depende de los valores iniciales. Se tiene que aplicar un criterio de estabilidad para hallar el intervalo Δt, para esto el coeficiente que acompaña a la variable Tmi de las ecuaciones, tiene que ser ≥0 y de esta forma se despeja Δt de los coeficientes, se toma siempre en valor Δt mas restrictivo, por lo general los más restrictivo siempre son los fronteras donde hay convección y/o radiación. puede llevar a incongruencias si no se aplica el criterio de estabilidad.

El método implícito se caracteriza por: 



Las ecuaciones de temperatura, no expresan de manera directa la temperatura para el intervalo de tiempo de estudio actual, por lo tanto utiliza un sistema de ecuaciones lineales para su solución. No presenta restricciones con el intervalo de tiempo seleccionado, sin embargo mientras menor sea el intervalo de tiempo, más precisa es la solución.

A continuación, se presentaran los pasos para resolver los problemas, mediante la implementación del método explícito.

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Transferencia de Calor MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO.

II. CONDUCCIÓN DE CALOR RÉGIMEN TRANSITORIO.

UNIDIMENSIONAL

EN

En los problemas de régimen transitorio las temperaturas cambian con el tiempo así como con la posición y, de este modo, las soluciones en diferencias finitas de este tipo de problemas requieren la diferenciación del tiempo y del espacio, esto se realiza al seleccionar un intervalo apropiado del tiempo Δt y resolver para las temperaturas nodales desconocidas varias veces para cada Δt hasta que se obtiene la solución en el instante deseado. En los problemas de régimen transitorio se usa el superíndice “i” para simbolizar la temperatura en el intervalo de tiempo inicial o anterior. El superíndice “i+1” simbolizar la temperatura en el intervalo de tiempo actual. 2.1. Ecuaciones numéricas mediante el método explícito en una pared grande con generación de calor.

Considera la conducción de calor unidimensional en régimen transitorio en una pared plana de espesor L con generación de calor 𝑒̇ (x,t), que puede variar con el tiempo y la posición y con conductividad constante k, y los nodos 0,1,2…M en la dirección x, como se muestra en la figura. Paso 1: determinar la distancia entre nodos y número de nodos. ∆𝑥 =

𝑒 𝑁°

𝑀 = 1 + 𝑁°

Distancia entre nodos o esparcimiento. Numero de nodos

Dónde: e= es el espesor de la pared y N°= es cualquier numero entero mayor o igual a 2.

Paso 2: Graficar número de nodos. Paso 3: Ecuaciones para nodos internos, aplicando un balance de energía en m=1 se toma un volumen de control en el centro del nodo 1 con espesor Δx y se asume que la trasferencia de calor entra al volumen de control.

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Transferencia de Calor MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO.

 Balance de energía ∑ 𝑄 + 𝑄𝑔𝑒𝑛 = ∆𝐸 𝜌. 𝐴. ∆𝑥. 𝐶𝑝 (𝑇1𝑖+1 − 𝑇1𝑖 ) 𝐾. 𝐴(𝑇0 − 𝑇1 ) 𝐾. 𝐴(𝑇2 − 𝑇1 ) + + 𝑞𝑔𝑒𝑛 . 𝐴. ∆𝑥 = ∆𝑥 ∆𝑥 ∆𝑡

Multiplicamos la ecuación por: Δx/A.K 𝑖 𝑞𝑔𝑒𝑛 . ∆𝑥 2 𝜌. ∆𝑥2 . 𝐶𝑝 (𝑇𝑖+1 1 − 𝑇1 ) 𝑇0 − 2𝑇1 + 𝑇2 + = 𝐾 ∆𝑡. 𝐾 Donde:𝝉 =

𝜶.∆𝒕 ∆𝒙𝟐

𝑲.∆𝒕

= 𝝆.𝑪

𝒑 .∆𝒙

𝟐

;

𝟏 𝝉

=

𝝆.∆𝒙𝟐 .𝑪𝒑 ∆𝒕.𝑲

(Ec.1)

=𝜷

Sustituimos τ en la Ec.1 𝑖 𝑞𝑔𝑒𝑛 . ∆𝑥 2 (𝑇𝑖+1 1 − 𝑇1 ) 𝑇0 − 2𝑇1 + 𝑇2 + = 𝐾 𝜏

Para el método explicito las temperaturas nodales se le coloca el superíndice i, que significa intervalo de tiempo inicial o anterior. 𝑖 𝑞𝑔𝑒𝑛 . ∆𝑥 2 (𝑇𝑖+1 1 − 𝑇1 ) 𝑇0 𝑖 − 2𝑇1 𝑖 + 𝑇2 𝑖 + = 𝐾 𝜏 La forma general para los nodos internos mediante el método explícito, viene dada por la expresión siguiente: 𝑖 𝑞𝑔𝑒𝑛 . ∆𝑥 2 (𝑇𝑖+1 𝑚 − 𝑇𝑚 ) 𝑇𝑚−1 𝑖 − 2𝑇𝑚 𝑖 + 𝑇𝑚+1 𝑖 + = 𝐾 𝜏 Despejando 𝑇𝑚𝑖+1 obtenemos la ecuación general de temperatura para los nodos internos. 𝑻𝒊+𝟏 𝒎

𝒊

𝒊

𝒊

= 𝝉. 𝑻𝒎−𝟏 + (𝟏 − 𝟐𝝉)𝑻𝒎 + 𝝉. 𝑻𝒎+𝟏 +

𝝉. 𝒒𝒈𝒆𝒏 . ∆𝒙𝟐 𝑲

Paso 4: Ecuaciones de los nodos fronteras.  Caso 1: Temperatura específica en frontera (No cambia con el tiempo). Para este caso solo se trabaja con las ecuaciones de los nodos internos y se coloca las temperaturas de los nodos fronteras como contantes.

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Transferencia de Calor MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO.

 Caso 2: Convección en fronteras

𝑞̇ 𝑔𝑒𝑛

 Balance de energía en la frontera izquierda nodo m=0. ∑ 𝑄 + 𝑄𝑔𝑒𝑛 = ∆𝐸 ℎ. 𝐴(𝑇∞ − 𝑇0 ) +

𝐾. 𝐴(𝑇1 − 𝑇0 ) 𝑞𝑔𝑒𝑛 . 𝐴. ∆𝑥 𝜌. 𝐴. ∆𝑥. 𝐶𝑝 (𝑇0𝑖+1 − 𝑇0𝑖 ) + = ∆𝑥 2 2∆𝑡

Multiplicamos la ecuación por: 2Δx/A.K 𝑞𝑔𝑒𝑛 . ∆𝑥 2 𝜌. ∆𝑥 2 . 𝐶𝑝 (𝑇0𝑖+1 − 𝑇0𝑖 ) 2∆𝑥. ℎ. (𝑇∞ − 𝑇0 ) + 2(𝑇1 − 𝑇0 ) + = 𝑘 𝑘 ∆𝑡. 𝑘 Donde:𝝉 =

𝜶.∆𝒕 ∆𝒙𝟐

𝑲.∆𝒕

= 𝝆.𝑪

𝒑 .∆𝒙

𝟐

;

𝟏 𝝉

=

𝝆.∆𝒙𝟐 .𝑪𝒑 ∆𝒕.𝑲

=𝜷

Sustituimos τ 𝑞𝑔𝑒𝑛 . ∆𝑥 2 (𝑇0𝑖+1 − 𝑇0𝑖 ) 2∆𝑥. ℎ. (𝑇∞ − 𝑇0 ) + 2(𝑇1 − 𝑇0 ) + = 𝑘 𝑘 𝜏 Para el método explicito las temperaturas nodales se le coloca el superíndice i, que significa intervalo de tiempo inicial o anterior y obtenemos la forma general del nodo frontera izquierdo, cuando hay convección. 𝑞𝑔𝑒𝑛 . ∆𝑥 2 (𝑇0𝑖+1 − 𝑇0𝑖 ) 2∆𝑥. ℎ. (𝑇∞ − 𝑇0 𝑖 ) + 2(𝑇1 𝑖 − 𝑇0 𝑖 ) + = 𝑘 𝑘 𝜏 Despejando 𝑇0𝑖+1 obtenemos la ecuación general de temperatura del nodo frontera izquierdo, cuando hay convección. 𝑻𝒊+𝟏 𝟎

𝟐∆𝒙. 𝒉. 𝝉 𝟐∆𝒙. 𝒉. 𝝉. 𝑻∞ 𝝉. 𝒒𝒈𝒆𝒏 . ∆𝒙 𝒊 𝒊 = (𝟏 − 𝟐𝝉 − + ) 𝑻𝟎 + 𝟐𝝉. 𝑻𝟏 + 𝒌 𝒌 𝑲

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𝟐

Transferencia de Calor MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO.

 Balance de energía en la frontera derecha nodo m=M. ∑ 𝑄 + 𝑄𝑔𝑒𝑛 = ∆𝐸 𝐾. 𝐴(𝑇𝑀−1 − 𝑇𝑀 ) 𝑞𝑔𝑒𝑛 . 𝐴. ∆𝑥 𝜌. 𝐴. ∆𝑥. 𝐶𝑝 (𝑇𝑀𝑖+1 − 𝑇𝑀𝑖 ) ℎ. 𝐴(𝑇∞ − 𝑇𝑀 ) + + = ∆𝑥 2 2∆𝑡

Se aplica el mismo procedimiento anterior, obteniendo así la ecuación general de temperatura del nodo frontera derecho, cuando hay convección. 𝑻𝒊+𝟏 𝑴

𝟐∆𝒙. 𝒉. 𝝉 𝟐∆𝒙. 𝒉. 𝝉. 𝑻∞ 𝝉. 𝒒𝒈𝒆𝒏 . ∆𝒙 𝒊 𝒊 = (𝟏 − 𝟐𝝉 − + ) 𝑻𝑴 + 𝟐𝝉. 𝑻𝑴−𝟏 + 𝒌 𝒌 𝑲

𝟐

 Caso 3: Convección y radiación en fronteras.

 Balance de energía en la frontera izquierda nodo m=0. ∑ 𝑄 + 𝑄𝑔𝑒𝑛 = ∆𝐸 ℎ. 𝐴(𝑇∞ − 𝑇0 ) + 𝜎. 𝜖. 𝐴(𝑇𝐴𝑙𝑟 4 − 𝑇0 4 ) +

𝐾. 𝐴(𝑇1 − 𝑇0 ) 𝑞𝑔𝑒𝑛 . 𝐴. ∆𝑥 𝜌. 𝐴. ∆𝑥. 𝐶𝑝 (𝑇0𝑖+1 − 𝑇0𝑖 ) + = ∆𝑥 2 2∆𝑡

Multiplicamos la ecuación por: 2Δx/A.K 𝑞𝑔𝑒𝑛 . ∆𝑥 2 𝜌. ∆𝑥 2 . 𝐶𝑝 (𝑇0𝑖+1 − 𝑇0𝑖 ) 2∆𝑥. ℎ. (𝑇∞ − 𝑇0 ) 2𝜎. 𝜖. ∆𝑥(𝑇𝐴𝑙𝑟 4 − 𝑇0 4 ) + + 2(𝑇1 − 𝑇0 ) + = 𝑘 𝑘 𝑘 ∆𝑡. 𝑘

Donde:𝝉 =

𝜶.∆𝒕 ∆𝒙𝟐

𝑲.∆𝒕

= 𝝆.𝑪

𝒑

.∆𝒙𝟐

;

𝟏 𝝉

=

𝝆.∆𝒙𝟐 .𝑪𝒑 ∆𝒕.𝑲

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=𝜷

Transferencia de Calor MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO.

Sustituimos τ 𝑞𝑔𝑒𝑛 . ∆𝑥 2 (𝑇0𝑖+1 − 𝑇0𝑖 ) 2∆𝑥. ℎ. (𝑇∞ − 𝑇0 ) 2𝜎. 𝜖. ∆𝑥(𝑇𝐴𝑙𝑟 4 − 𝑇0 4 ) + + 2(𝑇1 − 𝑇0 ) + = 𝑘 𝑘 𝑘 𝜏 Para el método explicito las temperaturas nodales se le coloca el superíndice i, que significa intervalo de tiempo inicial o anterior y obtenemos la forma general del nodo frontera izquierdo, cuando hay convección. 𝑖

4 4 𝑞𝑔𝑒𝑛 . ∆𝑥 2 (𝑇0𝑖+1 − 𝑇0𝑖 ) 2∆𝑥. ℎ. (𝑇∞ − 𝑇0 𝑖 ) 2𝜎. 𝜖. ∆𝑥 (𝑇𝐴𝑙𝑟 − 𝑇0 ) + + 2(𝑇1 𝑖 − 𝑇0 𝑖 ) + = 𝑘 𝑘 𝑘 𝜏

Despejando 𝑇0𝑖+1 obtenemos la ecuación general de temperatura del nodo frontera izquierdo, cuando hay convección y radiación. 𝑻𝒊+𝟏 = (1 − 2𝜏 − 𝟎

2∆𝑥.ℎ.𝜏 ) 𝑇0 𝑖 𝑘

−

2∆𝑥.𝜏𝜎.𝜖𝑇0 4 𝑘

𝑖

+ 2𝜏. 𝑇1 𝑖 + (ℎ. 𝑇∞ + 𝜎. 𝜖𝑇𝐴𝑙𝑟 4 )

2∆𝑥.𝜏 𝑘

+

𝜏.𝑞𝑔𝑒𝑛 .∆𝑥 2 𝐾

Cuando solo hay radiación la ecuación de temperatura del nodo izquierdo se reduce a la siguiente expresión. 𝒊

𝑻𝒊+𝟏 𝟎

𝟐∆𝒙. 𝝉𝝈. 𝝐𝑻𝟎 𝟒 𝟐∆𝒙. 𝝉 𝝉. 𝒒𝒈𝒆𝒏 . ∆𝒙𝟐 = (𝟏 − 𝟐𝝉)𝑻𝟎 − + 𝟐𝝉. 𝑻𝟏 𝒊 + (𝝈. 𝝐𝑻𝑨𝒍𝒓 𝟒 ) + 𝒌 𝒌 𝑲 𝒊

 Balance de energía en la frontera derecha nodo m=M. ∑ 𝑄 + 𝑄𝑔𝑒𝑛 = ∆𝐸 ℎ. 𝐴(𝑇∞ − 𝑇𝑀 ) + 𝜎. 𝜖. 𝐴(𝑇𝐴𝑙𝑟 4 − 𝑇𝑀 4 ) +

𝐾. 𝐴(𝑇𝑀−1 − 𝑇𝑀 ) 𝑞𝑔𝑒𝑛 . 𝐴. ∆𝑥 𝜌. 𝐴. ∆𝑥. 𝐶𝑝 (𝑇𝑀𝑖+1 − 𝑇𝑀𝑖 ) + = ∆𝑥 2 2∆𝑡

Se aplica el mismo procedimiento anterior, obteniendo así la ecuación general de temperatura del nodo frontera derecho, cuando hay convección y radiación 𝑖

𝑻𝒊+𝟏 𝑴

2∆𝑥. ℎ. 𝜏 2∆𝑥. 𝜏𝜎. 𝜖𝑇𝑀 4 2∆𝑥. 𝜏 𝜏. 𝑞𝑔𝑒𝑛 . ∆𝑥 2 = (1 − 2𝜏 − ) 𝑇𝑀 𝑖 + − + 2𝜏. 𝑇𝑀−1 𝑖 + (ℎ. 𝑇∞ + 𝜎. 𝜖𝑇𝐴𝑙𝑟 4 ) + 𝑘 𝑘 𝑘 𝐾

Cuando solo hay radiación la ecuación de temperatura del nodo derecho se reduce a la siguiente expresión. 𝒊

𝒊 𝑻𝒊+𝟏 𝑴 = (𝟏 − 𝟐𝝉)𝑻𝑴 + −

𝟐∆𝒙. 𝝉𝝈. 𝝐𝑻𝑴 𝟒 𝟐∆𝒙. 𝝉 𝝉. 𝒒𝒈𝒆𝒏 . ∆𝒙𝟐 + 𝟐𝝉. 𝑻𝑴−𝟏 𝒊 + (𝝈. 𝝐𝑻𝑨𝒍𝒓 𝟒 ) + 𝒌 𝒌 𝑲

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Transferencia de Calor MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO.

 Caso 4: Flujo de calor incidente en fronteras.

 Balance de energía en la frontera izquierda nodo m=0. ∑ 𝑄 + 𝑄𝑔𝑒𝑛 = ∆𝐸 𝐴. 𝑞𝑠̇ +

𝐾. 𝐴(𝑇1 − 𝑇0 ) 𝑞𝑔𝑒𝑛 . 𝐴. ∆𝑥 𝜌. 𝐴. ∆𝑥. 𝐶𝑝 (𝑇0𝑖+1 − 𝑇0𝑖 ) + = ∆𝑥 2 2∆𝑡

Multiplicamos la ecuación por: 2Δx/A.K 2∆𝑥. 𝑞𝑠̇ 𝑞𝑔𝑒𝑛 . ∆𝑥 2 𝜌. ∆𝑥 2 . 𝐶𝑝 (𝑇0𝑖+1 − 𝑇0𝑖 ) ) + 2(𝑇1 − 𝑇0 + = 𝑘 𝑘 ∆𝑡. 𝑘 Donde:𝝉 =

𝜶.∆𝒕 ∆𝒙𝟐

𝑲.∆𝒕

= 𝝆.𝑪

𝒑 .∆𝒙

;

𝟐

𝟏 𝝉

=

𝝆.∆𝒙𝟐 .𝑪𝒑 ∆𝒕.𝑲

=𝜷

Sustituimos τ 2∆𝑥. 𝑞𝑠̇ 𝑞𝑔𝑒𝑛 . ∆𝑥 2 (𝑇0𝑖+1 − 𝑇0𝑖 ) + 2(𝑇1 − 𝑇0 ) + = 𝑘 𝑘 𝜏 Para el método explicito las temperaturas nodales se le coloca el superíndice i, que significa intervalo de tiempo inicial o anterior y obtenemos la forma general del nodo frontera izquierdo, cuando hay un flujo de calor incidente. 2∆𝑥. 𝑞𝑠̇ 𝑞𝑔𝑒𝑛 . ∆𝑥 2 (𝑇0𝑖+1 − 𝑇0𝑖 ) 𝑖 𝑖 + 2(𝑇1 − 𝑇0 ) + = 𝑘 𝑘 𝜏 Despejando 𝑇0𝑖+1 obtenemos la ecuación general de temperatura del nodo frontera izquierdo, cuando hay un flujo de calor incidente. 𝑻𝒊+𝟏 𝟎

𝒊

𝒊

= (𝟏 − 𝟐𝝉)𝑻𝟎 + 𝟐𝝉. 𝑻𝟏 +

𝝉. 𝒒𝒈𝒆𝒏 . ∆𝒙𝟐

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𝑲

+

𝟐𝝉. ∆𝒙. 𝒒𝒔̇ 𝒌

Transferencia de Calor MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO.

 Balance de energía en la frontera derecha nodo m=M. ∑ 𝑄 + 𝑄𝑔𝑒𝑛 = ∆𝐸 𝐾. 𝐴(𝑇𝑀−1 − 𝑇𝑀 ) 𝑞𝑔𝑒𝑛 . 𝐴. ∆𝑥 𝜌. 𝐴. ∆𝑥. 𝐶𝑝 (𝑇𝑀𝑖+1 − 𝑇𝑀𝑖 ) 𝐴. 𝑞𝑠̇ + + = ∆𝑥 2 2∆𝑡

Se aplica el mismo procedimiento anterior, obteniendo así la ecuación general de temperatura del nodo frontera derecho, cuando hay convección. 𝑻𝒊+𝟏 𝑴

𝒊

𝒊

= (𝟏 − 𝟐𝝉)𝑻𝑴 + 𝟐𝝉. 𝑻𝑴−𝟏 +

𝝉. 𝒒𝒈𝒆𝒏 . ∆𝒙𝟐 𝑲

+

𝟐𝝉. ∆𝒙. 𝒒𝒔̇ 𝒌

 Caso 4: Flujo de calor incidente en fronteras.

 Balance de energía en la frontera izquierda nodo m=0. ∑ 𝑄 + 𝑄𝑔𝑒𝑛 = ∆𝐸 𝐾. 𝐴(𝑇1 − 𝑇0 ) 𝑞𝑔𝑒𝑛 . 𝐴. ∆𝑥 𝜌. 𝐴. ∆𝑥. 𝐶𝑝 (𝑇0𝑖+1 − 𝑇0𝑖 ) + = ∆𝑥 2 2∆𝑡

Multiplicamos la ecuación por: 2Δx/A.K 𝑞𝑔𝑒𝑛 . ∆𝑥 2 𝜌. ∆𝑥 2 . 𝐶𝑝 (𝑇0𝑖+1 − 𝑇0𝑖 ) 2(𝑇1 − 𝑇0 ) + = 𝑘 ∆𝑡. 𝑘 Donde:𝝉 =

𝜶.∆𝒕 ∆𝒙𝟐

𝑲.∆𝒕

= 𝝆.𝑪

𝒑

.∆𝒙𝟐

;

𝟏 𝝉

=

𝝆.∆𝒙𝟐 .𝑪𝒑 ∆𝒕.𝑲

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=𝜷

Transferencia de Calor MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO.

Sustituimos τ 2(𝑇1 − 𝑇0 ) +

𝑞𝑔𝑒𝑛 . ∆𝑥 2 (𝑇0𝑖+1 − 𝑇0𝑖 ) = 𝑘 𝜏

Para el método explicito las temperaturas nodales se le coloca el superíndice i, que significa intervalo de tiempo inicial o anterior y obtenemos la forma general del nodo frontera izquierdo, cuando la frontera esta aislada. 2(𝑇1 𝑖 − 𝑇0 𝑖 ) +

𝑞𝑔𝑒𝑛 . ∆𝑥 2 (𝑇0𝑖+1 − 𝑇0𝑖 ) = 𝑘 𝜏

Despejando 𝑇0𝑖+1 obtenemos la ecuación general de temperatura del nodo frontera izquierdo, cuando está aislado. 𝑻𝒊+𝟏 𝟎

𝒊

𝒊

= (𝟏 − 𝟐𝝉)𝑻𝟎 + 𝟐𝝉. 𝑻𝟏 +

𝝉. 𝒒𝒈𝒆𝒏 . ∆𝒙𝟐 𝑲

 Balance de energía en la frontera derecha nodo m=M. ∑ 𝑄 + 𝑄𝑔𝑒𝑛 = ∆𝐸 𝐾. 𝐴(𝑇𝑀−1 − 𝑇𝑀 ) 𝑞𝑔𝑒𝑛 . 𝐴. ∆𝑥 𝜌. 𝐴. ∆𝑥. 𝐶𝑝 (𝑇𝑀𝑖+1 − 𝑇𝑀𝑖 ) + = ∆𝑥 2 2∆𝑡

Se aplica el mismo procedimiento anterior, obteniendo así la ecuación general de temperatura del nodo frontera derecho, cuando está aislado. 𝑻𝒊+𝟏 𝑴

𝒊

𝒊

= (𝟏 − 𝟐𝝉)𝑻𝑴 + 𝟐𝝉. 𝑻𝑴−𝟏 +

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𝝉. 𝒒𝒈𝒆𝒏 . ∆𝒙𝟐 𝑲