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CIENCIAS DE LA GESTIÓN

InfOrmr

Vol. 51, No. 11, noviembre de 2005, págs. 1706– 1719 ISSN 0025-1909 ? EISSN 1526-5501 ? 05 ? 5111 ? 1706

®

DOI

10.1287/mnsc.1050.0378 © 2005 INFORMA

Tamaño de lote integrado en cadenas de suministro serie con capacidades de producción Stan van Hoesel Facultad de Economía y Administración de Empresas, Universidad de Maastricht, P.O. Box 616, 6200 MD Maastricht, Países Bajos, [email protected]

H. Edwin Romeijn Departamento de Ingeniería Industrial y de Sistemas, Universidad de Florida, 303 Weil Hall, P.O. Box 116595, Gainesville, Florida 32611-6595, [email protected]

Dolores Romero Morales Escuela de Negocios, University of Oxford, Park End Street, Oxford OX1 1HP, Reino Unido, [email protected]

Albert P. M. Wagelmans Instituto Econométrico, Universidad Erasmus Rotterdam, P.O. Box 1738, 3000 DR Rotterdam, Países Bajos, [email protected]

Nosotros consideramos un modelo para una cadena de suministro en serie en la que la producción, el inventario, unnd decisiones de transporte se integran en presencia de capacidades de producción y funciones de costes cóncavos. El modelo que estudiamos generaliza el modelo de tamaño de lote económico multinivel serie de un solo elemento sin capitalizar mediante la adición de pro- capacduccióna nivel de fabricante. Presentamos algoritmos con un tiempo de ejecución que es polinomio en el horizonte de planificación cuando todas las funciones de coste son cóncavas. Además, consideramos diferentes estructuras de costos de existencias de inventario que producen imtiempos de ejecución probados: funciones de costos de retención de inventario que son funciones de coste lineal y de transporte que son lineales o cóncava con una estructura de carga fija. En este último caso, hacemos la suposición adicional común y razonable de que tvariable el transporte y los costos de inventario son tales que mantener inventarios en niveles más altos en la cadena de suministro es más atractivo perspectiva de costos variables. Mientras que los tiempos de ejecución de los algoritmos son exponenciales en el número de niveles en la cadena de suministro en el caso de costo cóncavo general, los tiempos de funcionamiento son notablemente insensibles al número de niveles para las otras dos estructuras de costos. Palabrasclave: tamaño del lote; integración de la planificación de la producción y el transporte; programación dinámica; algoritmos de tiempo polinómico Historia : Aceptado por Thomas M. Liebling, programación matemática y redes; recibido el 17 de junio de 2002. Este artículo estuvo con los autores 11 meses para 2 revisiones.

1. Introducción

En este documento, consideramos un problema en el que se integran las decisiones de producción, inventario y transporte en una cadena de suministro básica. Los modelos tradicionales suelen considerar sólo uno o dos de estos aspectos de forma aislada de los otros. Existen pruebas sustanciales (véanse, por ejemplo, Arntzen et al. 1995, Chandra y Fisher 1994, Geoffrion y Powers 1995, y Thomas y Griffin 1996, así como las referencias en ellas) que demuestran que la integración de estas decisiones puede conducir a aumentos sustanciales en eficiencia y eficacia. La integración de diferentes decisiones en la cadena de suministro es particularmente importante cuando los recursos son limitados y cuando los costos son no lineales, por ejemplo, exhiben economías de escala. Consideraremos una cadena de suministro en serie para la producción y distribución de un producto. Tal cadena de suministros ocurrirá, por ejemplo, cuando el valor es

añadido a un producto en una secuencia de facilidades de producción, y las mercancías intermedias deben ser transportadas entre estas instalaciones. Kaminsky y Simchi-Levi (2003) describen un ejemplo de una cadena tal como surge en la industria farmacéutica. Otro ejemplo es el de industria de logística de terceros. En este caso, un centro de distribución aguas abajo que satisfaga las demandas en una determinada zona geográfica puede emplear los servicios de un almacén de terceros antes de que los productos se transporten al centro de distribucion real para su distribución a sus minoristas. A continuación, se puede utilizar un modelo de cadena de suministro en serie para representar parte de una cadena de suministro que sea relevante para el centro de distribución (véase Lee et al. 2003). Un ejemplo final es una situación en la que la producción se coloca en un fabricante. Los artículos que se producen se almacenan a continuación en el nivel de fabricante o se transportan al primer nivel de almacén. En cada uno de los niveles de almacén, 1706

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los productos se almacenan de nuevo o se transportan al almacén en el siguiente nivel. Desde el nivel final de la casa, los productos se transportan a un minorista ( posiblemente después de tener estado almacenado durante algunos períodos). transportado a un minorista (posiblemente permitiendo entregas anticipadas, es decir, inventarios a nivel minorista). Tal estructura puede surgir si un minorista realmente representa un mercado completo, y la cadena de suministro desde el fabricante hasta este mercado es muy largo. Esto podría resultar ventajoso, en varias etapas, emplean economías de escala transportando grandes cantidades a largas distancias a instalaciones de almacenamiento intermedias antes de ser distribuidas en el mercado real. Todas las situaciones descritas anteriormente se pueden representar mediante un modelo genérico que consta de un fabricante, varios intermedios de producción o distribución niveles, y un nivel donde la demanda del producto final tiene lugar, al que nos referiremos en este documento como el nivel minorista (aunque esto no necesariamente representa el nivel en el que el consumo de demanda real tiene lugar). De hecho, en tal modelo, las etapas intermedias de producción y transporte son indistinguibles entre sí, de modo que en el resto de este trabajo simplemente nos referiremos a todos los etapas como etapas de transporte entre almacenes El modelo de cadena de suministro en serie esbozado arriba puede ser visto como una generalización de un problema fundamental, que de hecho es uno de los más estudiados problemas en la planificación de la producción y el inventario, Problema económico de dimensionamiento de lotes (ELSP) La variante básica de este problema considera una planta de producción que produce y almacena un solo producto para satisfacer las demandas conocidas en un horizonte de planificación finito. El problema es entonces determinar las cantidades de producción para cada período tal que todas las demandas se satisfagan a tiempo en costos mínimos de producción total y mantenimiento de inventario. Las funciones de costo no disminuyen en la cantidad producidos o almacenados, y generalmente se supone que son funciones lineales, de carga fija o cóncavas generales. La instalación de producción puede o no enfrentar una capacidad restricción de la cantidad producida en cada período Para modelar la cadena de suministro en serie, el ELSP clásico puede ampliarse para incluir el transporte de las 9is, así como la posibilidad de mantener el inventario a niveles diferentes en la cadena. Además de los costos de producción y de retención de inventario, también necesitamos claramente incorporar los costos de transporte, lo que añade el problema del momento de la negociación a la medida en que la distribución de la producción es adecuada. El objetivo será minimizar el costo de todo el sistema y satisfacer toda la demanda. Incluso si el fabricante y el minorista son de hecho participantes distintos en la cadena de suministro, cada uno de los cuales es una parte de los costos de la cadena de suministro, este problema será relevante. En este caso, es evidente que los participantes todavía tienen que decidir cómo distribuir los costes totales mínimos, que es un problema de coordinación que

está fuera del alcance de este documento. Alternativamente, sin embargo, podemos interpretar los costos de tenencia en el minorista nivel como penalización o descuento en la compra precio de un artículo, que es dado por el fabricante al minorista si los artículos se entregan antes de tiempo. En este caso, los costos minimizados por nuestro modelo de optimización son todos incurridos por el fabricante. Como en los problemas de dimensionamiento de lotes estándar, se supone que todas las funciones de ser no decreciente en la cantidad producida, almacenada o Enviado. Además, asumiremos que todos los costos las funciones son cóncavas En general, todos los niveles de una cadena de suministro en serie, con menos si corresponden a decisiones de producción o transporte, pueden enfrentar capacidades. En este documento, nos concentraremos en las cadenas de suministro en serie con capacidades en el nivel de producción (es decir, primero) solamente, como un primer paso hacia el estudio de cadenas de suministro capacitadas más generales. La adición de capacidades a sus niveles (es decir, transporte) parece cambiar significativamente la estructura del problema y, por lo tanto, el análisis del problema. Por lo tanto, estos problemas están fuera del alcance de este documento, pero siguen siendo un tema de investigación en curso. Tenga en cuenta que bajo ciertas estructuras de costos puede ser posible eliminar los niveles capacitados de la cadena de suministro. Se proporciona un ejemplo de Kaminsky y Simchi-Levi (2003), quien transforma un modelo de cadena de suministro en serie de tres niveles en el que El primer y tercer nivel están capacitados a dos niveles. modelo de cadena de suministro en serie con capacidades en el primer nivel solamente. Llamaremos al problema de determinar el óptimo tamaños de lote de producción, transporte e inventario en una cadena de suministro en serie como se describe arriba y abajo capacidades de producción a nivel de producción Problema de dimensionamiento de lotes multinivel con capacidades de producción (MLSP-PC). En general, este problema es NPdifícil, ya que es una generalización directa del ELSP NPhard con capacidades generales de producción (ver Florian et al. 1980). El ELSP con capacidades de producción estacionarias, sin embargo, se puede resolver en tiempo polinomial (ver Florian y Klein 1971). Debido a que nuestro objetivo es identificar casos polinomial mente solubles del MLSP-PC, asumiremos en la mayor parte de este papel que las capacidades de producción están estacionarios Estudiamos problemas con la producción cóncava general, mantenimiento de inventario y costos de transporte, así como problemas con la retención de inventario lineal costos y dos estructuras de costos de transporte diferentes: (i) costos de transporte lineal; y (ii) cargo fijo costos de transporte sin motivos especulativos, lo que significa que con respecto a los costos variables, mantener el inventario es menos costoso en niveles más altos que en niveles más bajos en la cadena de suministro. Nuestros métodos de solución se basan en un marco de programación dinámico que utiliza un principio de descomposición que generaliza la propiedad clásica de pedido de inventario cero (ZIO)

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de soluciones a problemas de tamaño de lotes no capacitados como descrito en Zangwill (1969) para el caso multinivel, y, por ejemplo, en Wagner y Whitin (1958) para el caso de un solo nivel. En particular, en nuestros dos niveles modelo trabajamos con el nuevo concepto de un subplan, y mostrar que las soluciones extremas se descomponen en un número de subplanos consecutivos. Nuestros algoritmos para este modelo se ejecutan en tiempo polinomial en la planificación horizonte del problema. La generalización directa de Este enfoque del caso multinivel conduce a un gran tiempo de ejecución Nuestros algoritmos para este modelo se ejecutan en tiempo polinomial en la planificación horizonte del problema. La generalización directa de Este enfoque del caso multinivel conduce a una gran tiempo de ejecución. Logramos ahorros sustanciales introduciendo el concepto de un subplan relajado. En contraste con los enfoques existentes en la literatura, nuestro programa dinámico no necesariamente representa todos (o incluso solo) soluciones de puntos extremos para el MLSPPC. Además, mientras que las rutas en el programa dinámico corresponden todas a soluciones factibles de la problema, los costos de un camino pueden sobrestimar el costes de la correspondiente solución al problema. No obstante, somos capaces de demostrar (basándonos en la concavidad de las funciones de coste) que nuestro programa dinámico resuelve el MLSP-PC de forma óptima. La resultante El algoritmo para el caso de funciones de costos cóncavas generales es exponencial en el número de niveles en la cadena de suministro. Sin embargo, es notablemente insensible al número de niveles para las dos estructuras de costes específicas mencionado anteriormente Este artículo está organizado de la siguiente forma: En §2, nosotros introducir el MLSP con costos de producción y funciones de costos de mantenimiento de inventario, transporte y producción cóncava general no decreciente. Caracterizamos los puntos extremos de la región factible del problema y demostrar un resultado de descomposición que formará la base de nuestros algoritmos. En 3, Estudiamos el problema de dos niveles y proporcionamos un marco de programación dinámica general basado en el resultado de descomposición derivado anteriormente, que produce un algoritmo de tiempo polinomial en el horizonte de planificación para costos cóncavos generales. En §4, este algoritmo es luego se generaliza al problema de tamaño de lote multinivel y se muestra que todavía es polinomial en el horizonte de planificación, y se dan mejores tiempos de ejecución para dos variantes del modelo. El artículo termina en §5 con algunas observaciones finales y cuestiones para más investigación.

Formulación y análisis de modelos

almacén, los productos se almacenan nuevamente o se transportan al almacén en el siguiente nivel. Desde el nivel de almacén final, los productos son (posiblemente después de haber sido almacenados para algún período) transportado al minorista Consideramos un horizonte de planificación de períodos T. En cada período t, el minorista enfrenta una demanda no negativa dada por dt, mientras que la capacidad de producción del fabricante en el período t es igual a bt. Nosotros lo consideraremos un total de niveles L, que incluye al fabricante, el minorista, y L - 2 almacenes intermedios. Nosotros decir que el fabricante está en el primer nivel del cadena, y el minorista se encuentra en el nivel Lth. Cada uno delos niveles intermedios corresponden a un almacén. Sea R+ el conjunto de números reales no negativos. Para cada período t = 1,…..T, los costos de producción son dado por la función pt : R+ → R+, los costos de transporte del nivel (l=1,…,L-1), y los costos de mantenimiento de inventario a nivel están dadas por la función htl: R+ →R+ (l = 1 ,…,L). A lo largo del periódico, asumirá que todas las funciones de costo son cóncavas, no decrecientes e iguales a cero cuando su argumento es cero. El MLSP-PC se puede formular de la siguiente manera: minimizar

Sujeto a:

Donde yt denota denota la cantidad producida en el período t, Xtl es la cantidad enviada desde el nivel l a nivel l+1 en período t, y Itl denota la cantidad de inventario a nivel al final del período t. Restricciones (1) - (3) modelan el equilibrio entre entrada, almacenamiento y salida en el niveles de fabricante, almacén y minorista, respectivamente, en cada período. La cantidad de producción en cada El período está restringido por restricciones (4). Finalmente, las restricciones (5) establecen que todos los niveles de inventario iniciales son gual a cero. A diferencia del tradicional de un solo nivel modelo de tamaño de lote, esto no es una suposición de que puede hacer sin pérdida de generalidad, debido a la no linealidad del transporte y la retención de inventario funciones de costos. Por lo tanto, analizaremos más adelante cómo para hacer frente a casos de problemas donde esta restricción está ausente, y en su lugar (no negativo) inventario inicial

2.1. El modelo Como se describe en la introducción, estudiaremos un Problema de tamaño de lote de varios niveles con una estructura en serie. En cada período, la producción puede tener lugar en el fabricante. Los artículos que se producen pueden almacenarse en el nivel de fabricante o transportado al primer nivel de almacén. En cada uno de los niveles del cantidades en todos los niveles se consideran parte de la

Hoesel et al.: Tamaño de lote integrado en cadenas de suministro serie con capacidades de producción Ciencias de la Gestión 51(11), págs. 1706–1719, © 2005 INFORMA datos del problema. Entonces, los algoritmos desarrollados pueden ser aplicado en un esquema de horizonte rodante, en el que se resuelven nuevas instancias de lotes y sus soluciones óptimas se implementan parcialmente a medida que avanza el tiempo y se encuentran disponibles nuevos pronósticos de demanda. Por conveniencia, definiremos dts como la demanda acumulada en los períodos t, ..., s, es decir,

de lo contrario Para asegurar la viabilidad de (P), asumiremos que la demanda acumulada en los primeros t periodos no puede exceder la capacidad de producción total en estos períodos, es decir.,

Es fácil ver que esta condición es necesaria y suficiente para que (P) tenga un factible no vacío región También podemos modelar el MLSP-PC como un Problema de flujo de red de costo mínimo en una red con una fuente (ver también Zangwill 1969 para una discusión general sobre tal flujo de red de costo mínimo problemas, así como una discusión de los ELSP multinivel). Para ello, definimos una red con una sola fuente 0, T nodos de transbordo 1 t a nivel de producción (nivel 1, t = 1,… T) Nodos de transbordo T (l,t) en cada uno de los niveles del almacén (t = 1,…, T; l= 2,…L − 1) y T demandan nodos (L, t) con demanda dt a nivel minorista (nivel L, t = 1,… T; ). Finalmente, la viabilidad dicta que la fuente el nodo 0 tiene un suministro de unidades d1T. La figura 1 ilustra la representación de red del MLSP-PC para L = 3

y T = 4. Esta representación facilitará el análisis de la estructura de los puntos extremos de la región factible de (P) en §2.4. Antes de continuar con esto análisis, en §2.2 discutiremos modelos relacionados y algoritmos de la literatura, así como algunos casos que se reducen a modelos de un solo nivel en §2.3.

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2.2. Revisión de literatura La variante de un solo nivel del MLSP-PC ha recibido mucha atención en la literatura. Los incapacitados problema, el ELSP, se puede resolver en tiempo polinomial en la longitud del horizonte temporal; ver Wagner (1960) para este resultado básico. Algoritmos más eficientes para especial casos han sido desarrollados por Aggarwal y Park (1993), Federgruen y Tzur (1991) y Wagelmans et al. (1992) Cuando existen capacidades de producción, obtenemos el llamado problema de dimensionamiento de lotes capacitado (CLSP). En contraste con el ELSP sin capacidad, este se sabe que el problema es NP-hard, incluso en muchos casos especiales; ver Florian et al. (1980) y Bitran y Yanasse (1982). Un especial interesante e importante caso que permite un algoritmo de tiempo polinomial surge cuando las capacidades de producción son estacionarias; ver, por ejemplo, Florian y Klein (1971), Florian et al. (1980), y van Hoesel y Wagelmans (1996). Véanse también las referencias en Baker et al. (1978) para otros trabajos sobre el CLSP con capacidades de producción estacionarias, y Chung y Lin (1988) y van den Heuvel y Wagelmans (2003) para otro caso especial de CLSP que tiene solución en tiempo polinomial Zangwill (1969) estudió la versión sin capacidad del MLSP-PC, y se desarrolló un algoritmo de programación dinámica que es polinomial tanto en el horizonte de planificación como en el número de niveles L. Analizamos este algoritmo en el apéndice en línea (disponible en http://mansci.pubs.informs.org/ecompanion.html)y concluir que corre en O (LT 4) tiempo, donde L es el número de niveles, o incluso en O (T 3) para el caso especial de L = 2. Lee y col. (2003) considere un nivel de dos modelos donde los costos de transporte no son cóncavos funciones Un estudio que se relaciona con el nuestro en el sentido de que también considera las capacidades en un entorno multinivel es el uno de Kaminsky y Simchi-Levi (2003). Proponen un modelo de tres niveles en el que el primero y el tercero los niveles son etapas de producción, y el segundo nivel es una etapa de transporte. Ambas etapas de producción son capacitado, mientras que la etapa de transporte no está capacitada. Consideran los costos lineales de mantenimiento de inventario que aumentan con el nivel de la cadena de suministro, y costos de producción lineales en los niveles 1 y 3 que Satisfacer una condición tradicional de motivos no especulativos. (ver también §2.3). Los costos de transporte en el segundo nivel son de carga fija o forma cóncava general y se supone que satisfacen una condición de motivos no especulativos restrictivos y no tradicionales. Al eliminar las decisiones de producción de tercer nivel, reducen

el problema a un modelo de dos niveles que hereda su estructuras de función de costos del modelo de tres niveles. Para su clase de costos de transporte de carga fija, proporcionan una O Algoritmo (T 4) para resolver el modelo, incluso en el caso de capacidades de producción no estacionarias. Por su clase de costos de transporte cóncavos

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Capacidades 1710 proporcionan una O Algoritmo (T 8) para resolver el modelo en la presencia de capacidades de producción estacionarias. Ellos plantear la complejidad de su modelo para más general las estructuras de costes como cuestión abierta. En este documento, abordar esta pregunta derivando una O(T 7) Algoritmo para resolver el problema de dos niveles en presencia de capacidades estacionarias.

2.3. Casos especiales Es común en problemas de tamaño de lote modelar el costos de mantenimiento de inventario como funciones lineales, es decir, htl= htl Itl para t = 1,…, T;l= 1,…, L, con htl ≥0 para todo t y l. Por lo tanto, consideraremos esta clase de problemas en §§4.3 y 4.4. En §4.3, asumiremos además que los costos de transporte tienen una estructura de cargo fijo sin motivos especulativos. Más formalmente, ctl(x)=ftl1(x> 0) + gtlx, donde 1(x> 0) es una función indicadora que toma el valor 1 si x> 0 y 0 en caso contrario. El supuesto de que no hay especulaciones motivos, que comúnmente se asume para los costos de producción y mantenimiento de inventario en los modelos económicos tradicionales de dimensionamiento de lotes, significa en este contexto que, con respecto a inventario variable y transporte solo cuesta, es atractivo transportarlo lo más tarde posible. Más formalmente,

Ciencias de la Gestión 51(11), págs. 1706–1719, © 2005 Informa Aggarwal y Park 1993, Federgruen y Tzur 1991 y Wagelmans et al. 1992).

2.4. Caracterización de puntos extremos El problema (P) tiene una función objetivo cóncava, y su región factible está definida por restricciones lineales. Esta implica que existe un punto extremo óptimo solución a (P). Considere el flujo en la red correspondiente a cualquier solución factible de punto extremo. Como es común en los problemas de flujo de la red, llamaremos arcos que llevan una cantidad de flujo que es estrictamente positivo y estrictamente menor que su capacidad de arcos libres. Eso Es bien sabido (ver, por ejemplo, Ahuja et al. 1993) que la subred que contiene solo los arcos libres no contiene ciclo. 2.4.1. Subplanes. Tenga en cuenta que solo los arcos que tienen un límite superior finito (que en nuestro caso son sólo los arcos de producción) pueden llevar flujo mientras no están gratis. Eliminando todos los arcos de producción, la red que contiene todos los arcos libres restantes se descompone en un número de componentes conectados. Limitarnos a nosotros mismos por ahora a los componentes conectados que sí llevar flujo, identificamos el primer y último nodo en el componente en cada nivel. Para un componente dado, estos nodos se pueden

denotar

por

para

, donde Tenga en cuenta que si las funciones de costo de transporte son tanto lineales como sin motivos especulativos, es siempre óptimo para almacenar la producción en el fabricante y transportar solo cuando la demanda debe ser satisfecho. Por tanto, sin pérdida de optimalidad, podemos asumir que para todo Del mismo modo, si los costos de transporte son lineales y eso es más barato de transportar tan pronto como producimos y almacenar la producción a nivel minorista. Entonces, sin pérdida de optimalidad, podemos suponer que para todo Estos dos casos especiales del MLSP-PC por lo tanto producen un estándar CLSP. Finalmente, una variante de los dos niveles sin capacidad MLSP-PC se puede reducir fácilmente a un ELSP. Cuando los costos de producción, así como los costos Resumiendo, podemos descomponer un punto extremo solución a (P) en componentes, cada uno de los cuales contiene un conjunto de nodosde mantenimiento de inventario en ambos niveles, son lineales, dado que decidimos transportar en un período determinado, podemos determinar fácilmente el mejor período de producción, es decir, el período que arroja la producción unitaria total mínima y costos de inventario a nivel de fabricante para el transporte en el período t. Redefiniendo la función de costo de transporte en consecuencia, que se puede hacer en O (LT) tiempo,

nos permite eliminar las variables de producción como así como las variables de inventario en el fabricante, produciendo un ELSP estándar sin capacidad. La resultante El problema se puede resolver en O(T2) para los costos de transporte cóncavos generales (ver Wagner 1960), y en O (T logT) tiempo para costos de transporte de carga fija (ver

(Tenga en cuenta que la desigualdad estricta se cumple debido a la definición del subplan: el primer período incluido en el nivel l es sl1 + 1.) Con este enfoque, algunos nodos pueden aislado y no incluido en ningún componente que lleve fluir. Asignamos cada uno de ellos al componente que es adyacente a la izquierda de ellos. La cesión del Los nodos aislados se ilustra en la Figura 2. Después de eliminar los arcos de producción, obtenemos dos componentes. El primero está definido por los nodos (1, 1) y (1, 4) en el nivel 1, (2, 1) y (2, 4) en el nivel 2, y (3, 1) y (3, 6) en el Nivel 3, y el segundo por nodos (1, 5) y (1, 8) en el nivel 1, (2, 6) y (2, 8) en el nivel 2, y (3, 7) y (3, 8) en el nivel 3. Podemos observar que nodo (2, 3) es parte del primer componente, aunque ningún flujo pasa a través de este nodo. Como se mencionó arriba, el nodo aislado 2 5 está asignado a la izquierda componente. Resumiendo, podemos descomponer un punto extremo solución a (P) en componentes, cada uno de los cuales contiene un conjunto de nodos Llamaremos a los componentes así

satisfactorio

(8).

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1711 Proposición 2.2. Un subplan puede contener como máximo un arco de producción libre. Si el problema no está capacitado, esta proposición implica que solo un arco de producción lleva flujo entra en cada uno de los subplanos, lo que a su vez significa que los caudales extremos son arborescentes. El algoritmo de programación dinámica propuesto para este problema por Zangwill (1969) se basa en esta propiedad; ver el apéndice en línea Como ejemplo, en la Figura 2 sabemos que en el subplan ((0, 4),(0,5) , (0, 6)) los arcos de producción y1 e y2 no pueden ambos ser libres; lo mismo vale para la producción arcos y 5 e y6 en el subplan ((4,8) , (5,8) , (6,8)).

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subplanos obtenidos. Representaremos un subplan por el Periodos 2L que lo identifican: A menudo es conveniente referirse a la producción y demanda períodos en un subplan por separado, y luego a menudo usa la notación Por construcción, no se transporta inventario entre subplanos, por lo que el único flujo que ingresa a un subplan proviene de arcos de producción asociados con el fabricante nodos en el subplan. La cantidad total producida en todos los períodos de producción en el subplan, es decir, la total producción en periodos se utiliza para suministrar la demanda de todos los nodos minoristas del subplan, es decir, la demanda total en periodos Llamaremos

dos

subplanos

Podemos resumir el estructura de soluciones de puntos extremos como sigue Proposición 2.1. Cualquier solución factible de punto extremo se puede descomponer en una secuencia de subplanos consecutivos. La solución extrema dada en la Figura 2 se descompone en dos subplanos, a saber, ((0, 4),(0, 5),(0, 6)) y ((4, 8),(5,8), (6,8). Tenga en cuenta que el primer subplan obtenido al descomponer una solución de punto extremo como se

2.4.3. Cantidades de transporte en un subplan La ausencia de ciclos formados por arcos libres solo en También se puede utilizar una solución de punto extremo para identificar las propiedades estructurales de las cantidades de transporte. Considere un período, digamos t, en el que el transporte tiene lugar entre niveles l y l+1, es decir, el flujo en el arco entre nodos Entonces pueden ocurrir dos situaciones con respecto al total fluir hacia los nodos es decir, el envíos acumulados entre niveles l y l+1 hasta e incluyendo el período t dentro del subplan: • Es igual a la producción acumulada en los períodos t 1+ 1,… s para algunos • Satisface la demanda de periodos t1 + 1,…, s para algunos Si no es así, considere el último período de producción en el que algo de la cantidad transportada xtl fue producido, dice s’ . Entonces habrá un período cuya demanda es satisfecho parcialmente de la cantidad xtl y parcialmente de la producción en el período s’ que permanece en el inventario a nivel l al final del período t, creando un ciclo que contiene solo arcos libres. Este resultado se puede resumir como sigue. Proposición 2.3. En un subplan, la cantidad transportada entre niveles l y l+1 en algún período hacelas cantidades acumuladas transportadas hasta ahora en el subplan iguales a las cantidades acumuladas de producción de una secuencia inicial de períodos de producción consecutivos en el subplan, oa la demanda acumulada de una secuencia inicial de períodos de demanda en el subplan.

describe anteriormente tiene Sin embargo, en el resto de este trabajo será conveniente

Las dos posibilidades de transporte acumulativo se puede ilustrar con la Figura 2. En el subplan

incluir también subplanes

•

satisfactorio (8),

para el cual algunos pero no todos los valores de cero.

son

2.4.2. Cantidades de producción en un subplan El hecho de que los caudales extremos sean acíclicos implica que, aunque puede haber múltiples arcos de producción asociados con un subplan que llevan flujo, hay como máximo uno de esos arcos con producción por debajo de la capacidad. En otras palabras, hay como máximo un arco de producción libre que

entra en el subplan. Esto produce la siguiente generalización de la caracterización de los puntos extremos de CLSP de un solo nivel por Florian y Klein (1971).

es igual a la producción (acumulada) en Período 1,

mientras es igual a la producción acumulada en los períodos 1, ...,4 y satisface la demanda de los Períodos 1,…,6; • satisface la demanda de Periodo es igual a la producción (acumulada) en el Período 1; y es igual a la producción acumulada en los períodos 1, ...,4 y satisface la demanda de Periodos 1,…,6.

3. Los capacitados en dos niveles Problema de tamaño de lote con Costos cóncavos Para mayor claridad de exposición, primero consideraremos la versión de dos niveles del MLSP-PC, que llamaremos el 2LSP-PC. En la siguiente sección, mostraremos cómo la

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Capacidades 1712 metodología se puede extender a cadenas con más de dos niveles.

3.1. Un enfoque de programación dinámica En esta sección, describiremos un enfoque de programación dinámica general para el 2LSP-PC. Este enfoque se basa en la descomposición de soluciones de puntos extremos en (P) en subplanos consecutivos (ver Proposición 2.1). En particular, defina ser el costo mínimo asociado con la satisfacción del minorista demandas en periodos usando producción en periodos Entonces estamos claramente interesados en Informática sto se puede lograr mediante un enfoque de dos fases: Fase 1. Para cada subplan calcular los costos mínimos en los que se incurre para satisfacer la demanda de ese subplan con la condición de que como máximo, un arco de producción libre entra en el subplan. Denote estos costos por Fase 2. Calcular los valores

para todo

al darse cuenta de que una solución de punto extremo para el subproblema correspondiente viene dado por un subplan y el subproblema restante para algunos Esto da lugar a lo siguiente recursividad hacia atrás:

Tenga en cuenta que en la Fase 1 necesitamos calcular valores. La fase 2 es, de hecho, un problema de camino más corto en una red con nodos que representan todos

los

pares

de

períodos

tal

que

y arcos que representan el subplanes con costos correspondientes. La ruta de costo mínimo desde el nodo a cualquiera de los nodos en esta red acíclica se puede encontrar en tiempo lineal en el número de arcos, es decir, en Florian y Klein

tiempo (ver Ahuja et al. 1993). (1971) utilizaron este marco de

programación dinámica general para desarrollar un Algoritmo de programación dinámica para resolver el CLSP con capacidades estacionarias y cóncavo general Funciones de costos de producción y mantenimiento de inventario. Cuando el valor de se da para cada subplan, el 2LSP-PC se puede resolver polinomialmente. Conseguir un algoritmo de tiempo polinomial para el 2LSP-PC, el Por lo tanto, el desafío es proporcionar un tiempo polinomial algoritmo para calcular los costes correspondientes a todos los subplanos. Porque sabemos que el 2LSP-PC es

Ciencias de la Gestión 51(11), págs. 1706–1719, © 2005 Informa

en el siguiente nivel. A partir del nivel de almacén final, los prod- cuts se transportan al minorista (posiblemente después de haber sido almacenados durante algún período). Nosotros considerar un horizonte de planificación de T Períodos. En cada Período t, el Minorista Caras a no negativo demanda dada Por dt , Mientras el Producción Capacidad De el hombre- ufacturer en el período T es igual a bT . Nosotros considerará un total de L niveles, que incluye la Fabricante el Minorista Y L 2 almacenes intermedios. Nosotros decir que el fabricante está en el primer nivel de el cadena, y el minorista está en el Lel es exponencial en el número de niveles en la supcadena de pliegues. Sin embargo, es notablemente insensible a la número de niveles para las dos estructuras de costes específicas mencionadas anteriormente. Este documento está organizado de la siguiente manera. En el n.o 2, introducir el MLSP con los costes de producción y general no disminuyendo la producción cóncava, transportay funciones de coste de retención de inventario. Nosotros cara- caracterizar los puntos extremos de la factible Región del problema, y probar una descomposición Resultado que formará la base de nuestros algoritmos. En N.o 3, estudiamos el problema de dos niveles y proporcionamos un gen- marco de programación dinámica de eral basado en En el resultado de descomposición derivado anteriormente, lo que produce Un algoritmo de tiempo polinómico en la planificación Horizonte para los costos cóncavos generales. En el número 4, este algoritmo Es luego se generalizó al tamaño de lote multinivel prob- lem y se muestra que sigue siendo polinómico En plan- ning horizonte, y mejores tiempos de ejecución se dan Para dos variantes del modelo. El papel termina en N.o 5 con algunas observaciones finales y cuestiones para la investigación ulterior.

2. Formulación y análisis del modelo 2.1. El modelo Como se describe en la introducción, estudiaremos un problema de tamaño de lote multinivel con una estructura serie. En cada período, la producción puede tener lugar en el fabricante. Los artículos que se producen pueden almacenarse a nivel de fabricante o transportarse al primerrst nivel de la casa de productos. En cada uno de los niveles de almacén, los productos se almacenan de nuevo o se transportan al almacén

nivel. Cada De los niveles intermedios corresponden a un Almacén. Dejar + denotar el conjunto de no negativo real Números. Para cada período T 1,. ..,T , los costes de producción son dados por la función pt : + +, el transporta- costos de ción desde el nivel 4 al nivel 4 1 son dados por el Función c4: + + (4 1,..., L 1), y el inven- Tory Sosteniendo Costos En Nivel 4 Son Dado Por el Función h4: + + (4 1,..., L). A lo largo de la Papel Nosotros asumirá que todas las funciones de costo son cóncavas, no decreciente, Y Igual Para Cero Cuando Su Argumento Es Cero. − El MLSP-PC se puede formular de la siguiente manera: S . pt(yt)+ El c4(x4)+ L h4(I 4) Minimizar (P) Σ −1er t11

sujeto a

=

t

4x1

t

tt 4x1

→ + x1 +I 1 y t •+I 1 1, ?t a 1,...,T− , T t t t−

(1)

+I• 4 x x 4x1= t11 +I 4 , ? 1,...,T T T ; 4 T x 2,...,La1,

t a (2)

dt +I tL = xtL−1 +It−L 1,

(3)

Tx4

t = 1,...,T ,

yt á b t, t a 1,...,T , 4

I0 = 0, 4 = 1,...,L, yt - 0,

t - 1,...,T ,

x4T ≥ 0,

t = 1,...,T ; 4 = 1,...,L−1,

(4) (5)

4

IT ≥ 0, t = 1,...,T ; 4 = 1,...,L, Dónde yT denota la cantidad producida en el período t, x4 es la cantidad enviada desde el nivel 4 al nivel 4+1 En T Período t, Y I 4 Denota el Inventario Cantidad En Nivel 4 al T final del período t. Restricciones (1)–(3) modelo el equilibrio entre Afluencia almacenamiento y salida a nivel de fabricante, almacén y minorista, respec- tively, en cada período. La cantidad de producción en cada período está restringida por restricciones (4). Finalmente con- cepas (5) afirman que todos los niveles de inventario inicial Son igual to cero. A diferencia de lo tradicional de un solo nivel modelo de tamaño de lote, esto no es una suposición de que Nosotros puede hacer sin pérdida de Generalidad debido a la no- linealidad del transporte y el inventario Sosteniendo funciones de costo. Por lo tanto, más adelante discutiremos hOw para tratar con casos problemáticos donde esta restricción es Ausente Y en lugar de (no negativo) Inicial Inventario

cantidades en todos los niveles se consideran como parte de los datos problemáticos. A continuación, los algoritmos desarrollados se pueden aplicar en un esquema de horizonte continuo, en el que se resuelven nuevas instancias de tamaño de lote y se implementan parcialmente sus soluciones óptimas, a medida que pasa el tiempo y se dispone de nuevas previsiones de demanda. Para mayor comodidad, definiremos dts como la demanda cumu- lative en los períodos t,...,s, es decir,  s s T

y T 4.= Esta representación facilitará la análisis de la estructura de los puntos extremos de la región de feasi- ble de (P) en el punto 2.4. Antes de proceder con este análisis, en el punto 2.2 discutiremos modelos y algoritmos relacionados de la literatura, así como algunos casos especiales que se reducen a modelos de un solo nivel en el número 2.3. 2.2. Literatura Revisión La variante de un solo nivel de la MLSP-PC ha recibido a mucha atención en la literatura. Los no cautetados

= • =

=  d dts ≡ T =t 

? =

para t 1 ,...,s;

s 1 ,...,T ,

(6)

pro

ble

m, el ELSP, es solucionable en tiempo polinómico en

la longitud

del horizonte temporal; ver Wagner (1960)

para

X

X

X

Y o

Y1 o

X

X

X

Y o

X

Y o

Y3 o

X

d 1t

≤

bT pa ra ca da ta 1, ... ,T .

Es

fácil ver

que esta condición es necesaria y suficiente para que (P) tenga una noción factible

Región. capacitated También podemos modelar la MLSP-PC

como un problema de flujo de red de costo mínimo en una red

con una fuente (véase también Zangwill 1969 para una

gen-

discusión de borrador sobre el trabajo netode costo mínimo

flow

problemas, así como una discusión de ELSP multinivel). Para ello,

definimos

una red

con una sola fuente 0, nodos de transbordo T (1,t) a nivel de producción (nivel 1, t

1,...,T),

T trans-

nodos de envío (4,t) en cada uno de los lev-

els (ttcon 1,...,T; 4 2,...,L 1), y los nodos de demanda (L,t) demanda dt a nivel de minorista (nivel L,, T t 1,...,T ). Por último, la viabilidad dicta que el nodo de origen 0 tiene un suministro de unidades d1T. El cuadro 1 ilustra la representación de la red del MLSP-PC para L a 3 Figura 1 Representación de la red de la MLSP-PC para L a 3 y T a 4 d1 - d2 - 3 - d4 0

y1

y2

(1, 1)

y3 En

1

(1, 2)

y4

I

1

(1, 3)

I1

(1, 4)

caso que permite un algoritmo de tiempo polinómico surge cuando las capacidades de producción son

estacionarias; véase, por ejemplo, Florian y Klein (1971), Florian et al.

(1980), y van Hoesel y Wagelmans (1996). Véase también la

referencia(1978) para otros trabajos sobre el CLSP

con capacidades de producción estacionarias, y Chung y Lin (1988) y van den Heuvel y Wagelmans (2003)

para otro caso especial del

CLSP que es solucionable en tiempo polinómico.

Zangwill (1969) estudiala

versión no concapacitada de la MLSP-PC, y desarrolló un programa dinámico-

algoritmo de ming que es polinómico tanto en el planning horizonte y el número de niveles L. Analizamos

este algoritmo en el apéndice en línea (disponible a

http://mansci.pubs.informs.org/ecompanion.html)

y concluir que se ejecuta en el tiempo O(LT 4 ),

donde

L es

el número de niveles, o incluso en O(T 3) para la

espe-

Caso cial de L 2. Lee et al. (2003) considerar un modelo en el que los costos de transporte no son

Funciones. Un estudio que está relacionado con el nuestro en el

sentido de que también considera las capacidades en un ajuste multinivel

es el uno de Kaminsky y Simchi-Levi (2003). Pro-

plantean un modelo de tres niveles en el que el primerrst

y tercer

niveles son etapas de producción, y el segundo nivel es una etapa de transporte. Ambas etapas de producción

son

capacitada, conla etapa de transporte es uncapac-

1 1

1 2

1 3

1 4

(2, 1)

2

(2, 2) 1

2

(2, 3) 2

2

(2, 4) 3

linear

costos deproducci ón en

ambos niveles 1 y 3 que

satisfac

er

unaraco ndición de

motivos no especulativos ditionales

3

d1

3

I2

d2

d3

d4

condición de motivos no específicos. Al eliminardecisiones de producción de tercer nivel, reducen

el problema a un modelo de dos niveles que hereda sus estructuras de función de coste del modelo de tres niveles. Para su clase de costos de transporte de carga fija, proporcionan un algoritmo O(T 4 ) para resolver el modelo, incluso en el caso de capacidades de producción no estacionarias. Para su clase de costos de transporte cóncavo proporcionan un algoritmo O(T 8) para resolver el modelo en presencia de capacidades de producción estacionarias. Plantean la complejidad de su modelo para estructuras de costes más generales como una apertura. En este artículo, abordamos esta pregunta derivando un algoritmo O(T 7) para resolver el problema de dos niveles en presencia de capacidades estacionarias. 2.3. Casos especiales Es común en los problemas de tamaño de lote modelar el costos de retención de inventario como funciones lineales, 4 I.e. • t4)t h4Yo?4 Para T 1,...,T = ; 4 1,...,L,TCon ≥ h4 T h T (Yo 0 Para todo T Y 4. Nosotros por lo tanto, considerará esta clase De problemas en los puntos 4.3 y 4.4. En el punto 4.3, addi- supone que los costos de transporte tienen un fixedestructura de carga sin motivos especulativos. Más 4 4 Formalmente +1x>0}T g4 x, donde 1x>0} es un T c=(x)T F desembarcó- función cator tomando el valor 1 si x> 0, y 0 oth- erwise. La suposición de que no hay motivos especulativos, que comúnmente se asume para el produccostos de tenencia de inventario en los costos de ecomodelos de tamaño de lote nomico, significa en este contexT ese con respecto a los costos variables de inventario y transporte solamente es atractivo para el transporte tan tarde como possi- ble. Más Formalmente g4 +h4+1 ≥ h4 +g 4 Para t = 1,...,T − t t+1 t

t

1; 4 - 1,...,L-1. Tenga en cuenta que si las funciones de coste de transporte son lineal y no exhiben motivos especulativos, que Es siempre óptimo para almacenar la producción en el manufac- turer y el transporte sólo cuando la demanda Ser Satisfecho. Por lo tanto, sin pérdida de Optimalidad Nosotros enlatar asumir que Yo 4 0 para todos T 1,...,T Y 4 2,...,L. Semejantemente si los costos deTtransporte son =lineales Y g4 =h4+1 h4 = 4 g Para T 1,...,T 1; 4 1,...,L 1, eso es +más barato transportar átan prontoEncomo el = producimos − Y T á laT+ T t+1 almacenar producción a nivel de minorista. Entonces con- pérdida de Optimalidad podemos suponer que Yo 4 0 T= para todos T 1,...,T Y 4 1,...,L 1. Estos dos casos • = ? especiales del MLSP-PC, por lo tanto, CLSP. Por último, una variante del MLSP-PC de dos niveles sincapacitado se puede reducir fácilmente a un ELSP sin vacitar. Cuando los costes de producción, así como los costes de retención de inven- tory en ambos niveles son lineales, dado que decidimos transportar en un período determinado, podemos determinar fácilmente elmejor períodode producción, es decir, el período que produce la producción unitaria total mínima y los costes de inventario a nivel de fabricante para el transporte en el período t. Redefinir la función tion de coste de transporte en consecuencia, que se puede hacer en tiempo O(LT),

permite eliminar las variables de producción, así como las variables de inventario en el fabricante, produciendo un ELSP estándar sin vacitar. El problema resultante se puede resolver en el tiempo O(T 2) para los costos generales de transporte de cuevas (véase Wagner 1960), y en el tiempo de O(T logT) para los costos de transporte de carga fija (véase Aggarwal y Park 1993, Federgruen y Tzur 1991, y Wagelmans et al. 1992). 2.4. Caracterización de Puntos Extremos El problema (P) tiene una función objetiva cóncava y su región factible se define mediante restricciones lineales. Esto implica que existe una solución óptima de punto extremo a (P). Considere el flujo en la red que responde a cualquier punto extremo factible así quela lución. Como es común en los problemas de flujo de red, llamaremos a los arcos que llevan una cantidad de flujo que es estrictamente positivo y estrictamente menor que sus arcos libres decapacidad. Es bien sabido (véase, por ejemplo, Ahuja et al. 1993) que la subred que contiene enly los arcos libres no contiene ningún ciclo. 2.4.1. Subplanes. Tenga en cuenta que solo los arcos que tienen un límite superior de finite (que en nuestro caso son sólo los arcos de producción) pueden transportar flujo mientras no estén libres. Al eliminar todos los arcos de producción, la red que contiene todos los arcos fre e restantesse descompone en una serie de componentes conectados. Limitándonos por ahora a los componentes conectados que efectivamente llevan flow, identificamos el primer y último nodo en el componente en cada nivel. Para un componente determinado, estos nodos se pueden denotado por (4, + 1) y (4,o ) 41 42 durante 4 x 1,...,L, donde •41 - 44-1,1 'lt; 442 - 44-1,2

para 4 - 1,...,L-1.

(8)

(Tenga en cuenta que la estricta desigualdad se mantiene debido a la defini- ción del subplan: El primer período incluido a nivel 4 Es ç41 1.) Con este enfoque, algunos nodos + pueden Ser aislados y no incluidos en ningún componente que lleve flOw. Nosotros asignar cada uno de ellos al componente adyacente a la izquierda de ellos. La asignación de el nodos aislados se ilustra en la Figura 2. Después de la inación de los arcos de producción, obtenemoso compo- nents. El primero se define por los nodos (1,1) Y (1,4) en el Nivel 1, (2,1) Y (2,4) en el Nivel 2, y (3,1) Y (3,6) en el Nivel 3, y el segundo por Nodos (1,5) Y (1,8) en el Nivel 1, (2,6) Y (2,8) en el Nivel 2, y (3,7) Y (3,8) en el Nivel 3. Nosotros puede observar ese Nodo (2,3) es parte del primer componente, incluso Aunque ningún flujo pasa a través de este nodo. Como se mencionó anteriormente, el nodo aislado (2,5) se asigna al componente izquierdo. Resumiendo, podemos descomponer un extremo Punto solución a (P) en componentes, cada uno de los cuales concontiene un conjunto de nodos (4.00)41 1),..., (4,000 42)} (4 1,...,L) satisfactorio (8).+ Nosotros llamará= a los componentes Así

Figura 2 La estructura de el MLSP-PC, L=3YT=8

una solución de punto

extremo para

0

y1 y2

y6

y5

(1, 1) (1, 2)

I1

(1, 3)

2

x1

I1

3

1

(1, 4) (1, 5)

I1

5

x1 4

(1, 6)

x1

1

d1

x2

d2 2) (3, 1) (3,

6

3

x2 7

d3 d4 I3 (3, 3) I3 (3, 4) I3

4

x1

I2

4

2

7

8

x2

2

I1

6

I2

1

(1, 7) (1, 8)

6

(2, 1) (2, 2)(2, 3)(2, 4)(2, 5)(2, 6)(2, 7)(2, 8)

x2

I1

d 5(3, 5) I3 5

d(3, d7 8) 6 6) (3, 7)(3,

x2 8

d8

Obtenido subplanos. We será rEprEsent a subplan Por el 2L Períodos ese Identificar eso: ((ç41 ,ç42 )L 1 ). eso será frecuentemente Ser Conveniente Para4o refer Para el producción Y Demanda Períodos En a subplan separary, Y Nosotros será Entonces frecuentemente Uso el Notación (t1 ,t2 , T1 , T2 ) (ç11≡,ç12 ,çL1 ,çL2 ). Por ConstrUcción, no Inventario Es Llevado Entre sub- Planes así que el solamente flOw Entrar a subplan Viene frPara Producción arCs Asociados Con el manufacturél Nodos En el subplan. el Total Cantidad producido En todo producción Períodos En el subplan, I.e. el Total Producción En Períodos t1 1,...,t2 , Es Utilizado Para suministrar el Demanda De + todo retailer Nodos En el subplan, I.e. la demanda total en los períodos T +1,..., T . We llamará dos subplanes ((aquí

L

1

) y ((esto)

r L2

L

) consecue nciapara 4 X 1,...,L. Podemos resumir la

4 Tenía Si r = 42 41 42 4X1 41 42 4X1 es o4 de soluciones de puntos extremos de la estructura siguiente manera. PrOPOSITION 2.1. Cualquier solución factible de cualquier punto extreme se puede descomponer en una secuencia de subplanes consecutivos. La solución extrema indicada en la Figura 2 se descompone en dos subplanes, a saber, ((0,4),(0,5),(0,6)) y ((4,8),(5,8),(6,8)) . Tenga en cuenta que el primer subplan obtenido mediante la descomposición de una solución de punto extremo como se ha descrito anteriormente tiene ç41 0 para = 4 1,...,L. Sin=embargo, en el resto De este documento será conveniente incluir también sub- Planes ((aquí41Ç42)L 1) satisfactorio (8), 4opara el cual algunos Pero No todo Valores De ç41 Son Cero.

PrOPOSITION 2.2. Un subplan puede contener como máximo un free production arc. Si el problema no está concapacitado, esta propuesta implica que sólo un arco de producción que lleva flujo entra en cada uno de los subplanes, lo que a su vez significa que los flujos extremos son arborescentes. El algoritmo dinámico de pro- gramming propuesto para este problema por Zangwill (1969) se basa en esta propiedad; ver el apéndice en línea. Por ejemplo, en la Figura 2 sabemos que en el subplan ((0,4),(0,5),(0,6)) los arcos de producción y 1 y y2 no pueden ser libres; las mismas retenciones para los arcos de producción y5 y y6 en el subplan ((4,8),(5,8), (),(6,8)). 2.4.3. Cantidades de transporte en un Subplan. La ausencia de ciclos consistentes en arcos libres sólo en una solución de punto extremo también se puede utilizar para iden- tificar las propiedades estructurales de la cuanti+ t, en el que el Lazos. Considere un período, digamos transporte tiene lugar entre los niveles 4 y+ 4 1, es decir, T el flow en el arco entre los nodos (4,t) y (4 1,t) es x4 > 0. A continuación, pueden producirse dos situaciones con + en nodos + (4 1, + 1),...,(4 1,t), respecto al total de flow 4+1,1 es decir, los envíos acumulados entre los niveles+ 4 y 4 1 hasta el período t incluido dentro del subplan: • Es igual a la producción acumulada en peri- Ods t1 1,...,s +para algunos s t1 1,...,t; ∈ + • Satisface la demanda de los Tperíodos for + 1 1,..., Algunos∈s T+1 1,..., T2 }. Si no es así, considere el último período de producción en el que parte de la cantidad transportada x4 fue producida, T

decir . Entonces habrá un período cuya demanda es sr T satisfechos parcialmente de la cantidad x4 y parcialmente de la producción en el período que permanece en inventario sra nivel 4 al final del período t, creando un ciclo concontaminando sólo arcos libres. Este resultado se puede resumir como sigue. PrOPOSICIÓN 2.3. En a subplan, el Transportado quan- tidad Entre Niveles 4+ Y 4 1 En Algunos Período cualquiera de los dos Hace el Acumulativo Transportado Cantidades Así Lejos En el sub- Plan Igual Para el Acumulativo producción Cantidades De Un Inicial Secuencia De Consecutivos producción Períodos En el subplan, O Para el Acumulativo Demanda De Un Inicial Secuencia De Demanda Períodos En el subplan.

Las dos posibilidades de transporte acumulativo se pueden ilustrar mediante la Figura 2. En el subplan ((0,4), 2.4.2. Cantidades de producción en un Subplan. El (0,5),(0,6)), hecho de que los flujos extremos sean acíclicos implica • x11 es igual a la producción (acumulativa) en el 1 1 1 1 que, aunque puede haber múltiples arcos de producción Período 1, mientras que + x2 +x 3x+ x 4 es igual a la producción 1 asociados con un subplan que llevan flow, hay como acumulada en Períodos 1,...,4 y satisface la demanda de máximo Los Períodos 1,...,6; 2 uno de estos arcos con la producción por debajo Capacidad. En Otro •1 x2 satisface la demanda del Período 1; x2 +x 1 2 Es palabras, hay como máximo un arco de producción libre enter- igual a la producción (acumulativa) en el Período 1; y x21 +x22 +x23 +x24 Es Ambos Igual Para el Acumulativo ing el subplan. Esto produce la Siguientes generalprola caracterización de la caracterización de los puntos (1971). extremos de los CLSP de un solo nivel por Florian y Klein

la ducción en los períodos 1,...,4 y satisface la demanda

3. El problema de tamaño de lote capacitado de dos niveles con pts Cóncavo sts

Para mayor claridad de la exposición, primero consideraremos la versión de dos niveles del MLSP-PC, que llamaremos el 2LSP-PC. En la siguiente sección, mostraremos cómo la metodología se puede extender a cadenas con más de dos niveles.

3.1. Un Appr deoach Programación Dinámica En éste Sección Nosotros será Contorno a General Dinámica pro- gramos Aplicaciónroach Para el 2LSPPC. éste Aplicaciónroach Es Basado En el Descomposición De ExtrEme Punto solu- ciones Para (P) En Consecutivos subplanos (ver Propo- sition 2.1). En Partícular, Definir F (t, T ) Para Ser el Mínimo Costo Asociados Con Satisfactorio el retailer Demandas En Períodos T 1,...,T Usando producción En Períodos t + 1,...,T . We are Entonces Claramente Integradorested + En Computación F (0,0). éste enlatar Ser Logrado Usando a dos- Fase Aplicaciónroach: Fase 1. Para Cada subplan (t1 ,t2 , T1 , T2 ), calcular el Mínimo Costos ese are IncurrirrY Para Satisfactorio el Demanda De ese subplan Bajo el Condición ese En Más Uno free producción arc Entra el subplan. Denotar Estos Costos Por Ø(t1 ,t2 , T1 , T2 ). Fase 2. Calcular los valores F (t1 , T1 ) para todos 0 t1 ≤≤ T1 ≤ T Por realizing ese Un ExtrEme Punto Solución Para el Colorresponding subproblem Es Dado Por a subplan (t1 ,t2 , T1 , T2 ) Y el remaining subproblem F (t2 , T2 ) Para Algunos t2 Y T2 . éste Da Subir Para el siguiendo backward recursión: F (t1 , T1 ) =

Min

(t2 ,T2 ) : T2 tt2 >T1

•a(t1 ,h2 , H1 , H2 )+F (tt2 , T2 )

para 0 á t1 a T1 < T , F (t1,T ) a 0 para 0 á t1 a T. Nota ese En Fase 1 Nosotros Necesita Para Calcular O(T 4 ) Valores. Fase 2 Es En Hecho a Menor Camino problem En a Red Con Nodos rEpresenting todo pares de períodos (t, T ) Tal ese 0 t T T , Y arCs rEpresenting ...... el subplanos Con -En Colorresponding Costos. el mínimo. . . Nodo (0,0) Para Cualquier De el Costo Camino frPara Nodos (t1 ,T ) En éste Acíclicos Red enlatar Ser Encontrado En Lineal Hora en el número de arcos, es decir, en el tiempo O(T 4) (véase Ahuja 1993). Florian y Klein (1971) utilizaron este marco de programación dinámica gen- eral para desarrollar un algoritmo de programación dinámica O(T 4 ) para resolver el CLSP con capacidades estacionarias y funciones generales de producción cóncava y de retención de inventario. When el valor de la palabra "· ) para cada subplan, el 2LSP-PC es polinomialmente solucionable. Para lograr un algoritmo de tiempo polinómico para el 2LSP-PC, el desafío es por lo tanto proporcionar un tiempo polinómico algoritmo para calcular los costes correspondientes a todos los subplanes. Porque sabemos que el 2LSP-PC es

de los períodos 1,...,6. NP-duro para las capacidades generales de producción, vamos a restringir nuestra= atención = al caso de las capacidades estacionarias de pro- ducción, es decir, bt b para t 1,...,T . En el resto de esta sección, derivaremos un algoritmo de tiempo polino- mial para calcular los costos óptimos de todos los subplanes, y por lo tanto para el 2LSP-PC. Antes de estudiar los subproblemas de la computación de los costos óptimos del subplan, primero estudiaremos lasimplicaciones de la suposición de que las capacidades de producción son estacionarias en la siguiente sección. 3.2. Implicaciones de las capacidades de producción estacionarias En Fase 1 De el Dinámica programming Aplicaciónroach, Nosotros Necesita Para Calcular el Óptima Costos De todo sub- Bajo el Adicional Restricción ese todo Pero Uno De el producción arCs Entrar el subplan Llevar Un flOw Igual Para 0 O b. Considerar a Particular sub- Plan Decir (t1 ,t2 , T1 , T2 ), En Que el Total Demanda de períodos T1 1,..., T2 Necesidades+ Para Ser Satisfecho Usando proProducción En Períodos t1 1,...,t2 . Siguientes Florian Y + Klein (1971), Nota ese el Restricción En el Valores De el producción arCs Entrar el subplan Implica ese el Número De producción arCs ese Llevar flOw Igual Para el producción Capacidad Es Exactamente Igual Para K = ⎝dT1 +1, T2 /b], Y el remaining producción quan- tity Es Igual Para s • dT1 +1, T2 ? Kb. Clearly, Nosotros have ese 0 ≤s 0, habrá exactamente una producción arco que entra en el subplan que lleva este flujo. 3.3. Los costos del subplan Formularemos el problema de determinar la costos óptimos de un subplan como un problema de programa dinámico. Dicho de otra manera, para cada subplan (t1 ,t2 , T1 , T2 ) , definiremos una red con el prop- erty que á(t1 ,t2 , T1 , T2 ) es igual a la longitud de la ruta más corta entre un par de nodos source y sink en esta red. Elegimos los nodos de esta red para que sean del formulario (t,Y,X), donde t indica un período, Y es igual a la cantidad de producción acumulada hasta e incluyendo el período t, y X es igual a la cantidad de transporte acumulada hasta e incluyendo el período t. El nodo (t1,0,0) es el nodo de origen, mientras que el nodo (t2,Kb +s, Kb +s) ≡ +1, T2 dT +1, T2 ) es el fregadero. Por Proposi1 (t2 ,dT1 La ción 2.2 y la discusión en el punto 3.2, sabemos que la cantidad de producción en cualquier período sólo puede asumir uno de los valores de0,s, b, con el valor s sólo en un período. Esto implica inmediatamente que Y sólo puede asumir los valores K

Y∈

Kb,kb +s, ka0

además, si se quiere,e, además, Y a 0 si t a t1 , dT1 +1 1,t a Y (tt at1 )K para t á t1 +1,...,t 2 a1, e Y a Kb +s si t á t2 para asegurar

que toda la demanda se produce dentro del conjunto de períodos de producción permitidos en el subplan. Porque claramente K T , el número de valores permitidos para Y Es≤O(T ). Además, por la Proposición 2.3 sabemos que el cantidad transportada acumulada hasta algún período, incluido el mismo, es igual al total de Producción cantidad de una secuencia inicial de producción peri- satisface o satisface la demanda de una secuencia inicial De períodos de demanda en el subplan. Más formalmente, éste Significa ese . X∈

K

. T2o kb, kb +s, ∪

ka0

Σ sáT1

'dT1 '1' s ' +1 ,

,

wherY En Adición dT1 +1,t - X - - Y Para ensure ese Demandas are Satisfecho En Hora Y productos are No Transportado before Ellos are producido, Y X • 0 Si TT1 Y X Kb s Si t t Para ensure ese Transporte 2 • + + Toma Lugar Dentro el subplan. el Número De permitirCapaz Valores Para X Es Así O(T ) Como Bien así que ese el número total De Nodos En el Red Es O(T 3 ). Los arcos de la red representan decisiones de producción, trans- portación e inventario. Los arcos están presentes entre pares de nodos en la red de los valores de form (t,Y , X) y (t +X,1,Y,X,), con Y , Y ∈ ,0 , s , b ,(Y¯, X) , con Y, −Y ,Y ∈ ,0,s,b, (donde el valor s sólo se permite si Y s kb para s ome k á 0,1,...,K), y X¯ á X (where X, ∈ x,YY,}∪ 1 'dT' -1 })). Es fácil ver que hay O(T ) T ( 2sáT1 + 1 ,s arcos que emanan de cada nodo de la red, de modo que toda la red tenga arcos O(T 4). FrPara el Informaciónrmation Contenido En el Nodos desfin- Ing Un arC Nosotros enlatar Fácilmente Calcular el producción Cantidad En Período t +1 (Y¯ −Y ), el Transporte Cantidad En Período t +1 (X¯ −X), el Inventario mantenido En el manufacturél Nivel En el Final De Período t +1 (Y¯ −X¯), Y el Inventario mantenido En el retailer Nivel En el Final De Período t 1 (X¯ d +T1 +1,t+1?). el Costos De una arc are Así Dado Por

pt+1 (Y¯ −Y )+c1t+ 1 (X¯ −X) 1 H t+1 (YY' −XX') (X-¯ d T1 +1,t+1 ). H2 t+1 Si todas las funciones de coste se pueden evaluar en constante Hora los costos de un arco dado se pueden calcular en con- tiempo stant siempre que determinemos todas las demandas acumulativas d (en O(T 2) tiempo) En a Preprocesamiento Paso. ttr Cualquier ruta en la red desde la fuente (t1,0,0) a el sumidero (t ,d ,d ) representa un flow factible 2

T1

+1, T2

T1

+1, T2

En el subplan (t1 ,t2 , T1 , T2 ) Con Sólo Uno free producción arC. Moreover, eso Es Fácil Para Ver ese el reverse es Además trUe. elrEforY el subplan Costos are Dado por el Mínimo Costo Camino En éste Red frPara el Estoyréste Nodo Para el Fregadero Nodo. el Hora rEquirY Para finding éste Mínimo Costo Camino Es proportional Para el Número De arCs En el Red así que ese el Costo De a soltero subplan enlatar Ser DeterMinado En O(T 4 ) Hora. Debido a que hay subplanes O(T 4), una aplicación sencilla del algoritmo de programación dinámica

definido anteriormente a cada subplan individual produciría un algoritmo con running time O(T 8 ) para calcular los costos de todos los subplanes. However, el tiempo de unning se puede deducireduced observando que los costos de muchos subplanes are reuf. En particular, observe que la red dinámica programming de la red de corresponding a cualquier subplan del form (t1 ,t2 , T1 , T2 ) es en realidad una subred de la red dinámica p rogramming para el . subplano (0,t2 , T1 , T2 ). Larefore, utilizando backrecursión de barrio para resolver el camino más corto entre nodos (0,0,0) y (t2 ,dT +1, T ,dT +1, T ) en este último 1 2 1 2 rendimientos de red, como byp roduct, las rutas más cortas entre nodos (t,0,0) y (t2 ,dT +1,t ,dT +1,t ) para cada 1 2 1 2 t =1,..., T1 . De ello se deduce que sólo necesitamos consider los subplanos rmined O(T , 3 ) del form (0,t2 , T1 , T2 ), cuyos costes pueden ser extraídos en O(T 7 ) tiempo. 3.4. Tratamiento de inventarios iniciales Si los inventarios iniciales en el fabricante y/o niveles de minoristas, Yo 1 Y Yo 2, son estrictamente positivos, hay un 0 ligero cambio en 0la construcción de subplanes. Recuerde que construimos subplanes correspondientes a Un dada la solución de punto extremo por considering todos los Arcos (excepto los arcos de producción) que flOw. el los subplanos se forman a continuación por los componentes conectados resultantes junto con algunos nodos aislados. Cuando hay inventarios iniciales, sin embargo, puede haber uno o more componentes que llevan flow pero no contienen un período deroducción p. En estos components, la demanda se satisface utilizando inventarios iniciales en los niveles warehouse y retailer only, y se pueden asignar al componente que contiene production Período 1 (es decir, el componente que contiene el nodo (1,1)). Los results en los s.2.4.2 y 2.4.3 are claramente todavía válidos para los subplanes en los que t1 > 0. However, para los sub-planes con t1 T1 0, las = = results siguen manteniendo pro- vided vemos el total de inventarios iniciales I 1 I 2 como una0 +cantidad 0 acumulada de production hasta e 2incluyendo Período 0, y el inventario inicial Yo en el Nivel 2 como el 0

cantidad de transporte acumulada hasta e inclu= Período de ing 0. A menos que T2 T , estos subplanes sólo pueden tener una solución factible si los inventarios iniciales totales no exceden la demanda total que debe satisfacerseened el subplan. Para subplanes con d1T a I 1 +I 2 , 10 20 2 obtener K ⎝ ? . 1 Ix 2 I )/b] y (d1Talready, s+Id21T2sólo xI0 puede aI0 xKb 1 0 0 d 2 Como mencionó < I 1 T 0 ocurrir si 0 1

2

2

= + T2 T . Si efectivamente d1T < I0 I0 , una solución extreme point contendrá sólo un único subplan: (0,T , 0,T ), y no se realizará ninguna production en ningún período de ese subplan, es decir, K s 0. La única = = en este caso es que remaining diffi- culty no queremos especificar de antemano en qué nivel el exceso de inventario terminará como inventor final y. Esto se puede tratar fácilmente extendiendo el horizonte de planificación por un período, digamos T +1. A continuación, defina la función de coste deoducción pr para ese período como pT +1 (0) , 0 y pT +1 (yT +1 ) , œ para

todos 0 < yT +1 ≤ B y la función de coste de transporte Como c1 1(xT +1) 0 para todos xT +1 0. Finalmente Establecer dT á + En + 0 del0 Yo 1 Yo 2 d1T . Los costes +1T + subplan único (0T ,0T ) en el problema original se puede encontrar entonces mediante la búsqueda de los costos de la subplan (0T + 1,0T + 1) En Modificado Problema. Ahora considere la red de programación dinámica utilizada para calcular los costos de un subplan. Para los subplanes que contienen inventarios iniciales, dejamos que el nodo1 de origen ser (0,I +I 2,I2) y el nodo del receptor ser (t2,I1 +I 2 +Kb + 0

s,I 01 + Y+02 o ese

0

0

0

ka0

Y

0

Kb + s). Para un estado (t,Y,X) , esto también significa K . En Y∈ I 1 +I 2 +kb,I 1 +I 2 +Kb +s 0

0

0

.

0

. T2o

Σ

K

X∈ I 1 +I 2 +kb,I 1 +I 2 +Kb 0 0 0 0 +s . . . . . . . ∪

sáT1 +1

11s.

ka0

Por tenga en cuenta que para los subplanes con t1 > 0,último, debemos no tienen inventario positivo inflow. El ro re efore, en caso de que los niveles de inventario iniciales, en caso dequee losniveles de inventario iniciales, realmente necesitemos calcular los costos de todos los subplanes (0,t2 ,0, T2 ) teniendo en cuenta los niveles de inventario iniciales, así como los costes de todos los subplanes (0,t2 , T1 , T2 ) para T1 > 0 sin tener en cuenta el nivel de inventario inicial en el manufacturer. Esto claramente no influye en la tiempo de ejecución general del algoritmo.

present rma- basado en la idea de que la información más importante en la definición de un subplan es el conjunto de production periods t1 1,...,t2 y el + demanda T 1 ,...,,..., T . La conjunto de períodos de 1 2 + base de nuestro algoritmo impr oved es entonces permitir el transporte en los períodos t1 1,..., T2 (mientras que, por supuesto, retaining los períodosde pro+ duction y demand dados). We puede entonces utilizar la misma aplicación dinámica programming roach como en el caso de dos r niveles, sir eplace eplace el subplan de dos niveles Costos satisfacer-Ø(t ,t , T , T ) Por el Mínimo Costos De 1212 demanda en los períodos +1 ,..., utilizando la TT2 T1 producción los períodos t1 +1,...,t 2 , donde a lo sumo uno de los prolas cantidades de ducción pueden ser diferentes de 0 y b, y cuando se permite el transporte a todos los niveles en los períodos t1 +1 . Vamos a denotar los últimos costos ,..., por $(t1 ,t2 , T1 ,TT T2 ), y refer a vectores (t1 ,t2 , T1 , T2 ) como 2 subplanesrelajados. Para ilustrar el concepto de subplanos relajados, con- sider la siguiente instancia de problema del 2LSP-PC. Todas las demandas son iguales a 1; los costos de producción y trans- portación son dados por . 100·1 +y Si t /= 2, {y>0 }

pt(y) = Y

1? 1 .

1

c (x) =

{y>0 }

+y

de lo contrario,,

50? 1x>0s +x si t 2,

T

4. El caso multinivel 4.1. Introducción Nosotros puede extender la programación dinámica Enfoque desarrollado en el punto 3.1 para el caso de dos niveles a la multi- nivel, donde de nuevo una fase 2 dinámica programas- la red ming representa todas las soluciones de punto extremo para el MLSP-PC. Para este fin, debemos Definir F≡((ç41 )L 1 ) Para Ser el Mínimo Costo Asociados Con sat- aquecar las demandas de los minoristas en 4o períodos Eso es lo que voy a hacer. L1 +1,...,T } utilizando la producción en períodos Eso es lo que voy a hacer. 11 +1,...,T }, y ware- house 4 en períodos Eso es lo que voy a hacer.4+1,1 +1,...,T } para cada 4 = 1,...,L−2. Nosotros entonces estaría interesado en la computación F≡((0)L ). eso Es4x1Fácil Para Ver ese el running Hora De el

1? 1•x>0 +x

de lo contrario..

?

Por último, deje que todas las funciones de coste de retención de inventario sean iguales a cero. Los flujos óptimos en los valores delos,valores de los valores de los valores delos,valores de los valores de los valores de los valores delos valores delos,valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores delosvalores de los valores de los valores $(1,4,2,4) se indican en la Figura 3. Al calcular los costes Ø(de 1,4,2,4, )), el transporte sólo se permite en períodos en los que se puede realizar la producción y se satisface la demanda (es decir, en los períodos 3 y 4 del ejemplo), mientras que en la versión relajada del mismo subplan se permite el transporte en cualquier período en el que pueda tener lugar la producción o se satisfaga la demanda (es decir, en los períodos 2, 3 y 4 del examen). ple). Por lo tanto, los costos $(1,4,2,4) son menores que Figura 3 Los flujos óptimos en los valores de4,2,4los, valores de los los valores de losvalores valores de los valores 1, delos,valores de los,4 de valores devalores los valores de los valores de valores los de los valores devalores los valores de los valores de los de los valores de los valores de los valores de los valores de los de los valores de los valores de los valores devalores los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los de los valores de los valores de los valores delos valores

necesariamente todas (o incluso sólo) únicamente) soluciones de punto extremo para el MLSP-PC, y además sobre-estima los costos de muchas de las soluciones de punto no extremo que representa. Sin embargo, como vamos a mostrar, lo hace contaen una solución de 0

2

la generalización correspondiente del programa dinámico Fase 2 sería O(T 2L). En esta sección, vamos a 2 una modificación de la Fase 2 dinámica Programa que se ejecuta en O(T 4) Hora. Esta modificación no hace que la Fase 1 sea más costosa computacionalmente, Y incluso puede hacer que sea menos costoso. En particular, desarrollaremos un enfoque más eficiente en el que elprograma dinámico Phase 2 no representa

2) 4) (1

2

, )(1 ,3

2 ,3 (2 )( 4) 2, 1

punto extremo óptimo y se garantiza que encontraránd esta solución. Este enfoque es

2

0 2 ,2 (1 ) 2 )( ,2 (2 21

(1, 4)

1

1

) ,4 (2 3) 2,

(1, 3)

(2, 2)

1

1

•1,4,2,4) porque en el subplan relajado podemos transportar en el segundo período. Estos cambios tienen dos consecuencias importantes. Con- sider una trayectoria de la fuente a un receptor en la red de la fase 2. En primer lugar, si bien es fácil ver que la solución de correlación del MLSP-PC es realmente factible, no es necesariamente una solución de punto extremo porque los nodos de producción y demanda en dos sub-planes relajados contenidos en la solución pueden estar conectados por arcos que contienen flow positivo. En segundo lugar, es posible que ciertos arcos se utilicen en más de un subplan relajado. Esto significa que la longitud de la trayectoria en la red puede no ser lo mismo que los costos de la solución de correlación al MLSP-PC. Al tratar primero este último problema, el siguiente teorema muestra que la longitud de la ruta nunca es menor que los costos reales de la solución, y es igual a los costos de la solución si todas las funciones de costo de transporte e inventario son lineales. linear. THEOREM 4.1. Cada trayecto from el source a un sumidero en la fase 2 dinámica programming network corresponds a una solución factible al MLSP-PC. La longitud de esta ruta no puede ry ser menor que el coste de la corresponding solu- ción, y es igual al coste de la solución si todo el transporte y el inventofuncionan conre funciones de coste r e linear. Prueba. El hecho de que una ruta desde el origen a un sumidero en la fase 2 de la red de programación dinámica corresponde a una solución factible al problema de tamaño de lote se deriva inmediatamente del hecho de que se satisfacen todas las restricciones de capacidad de producción, así como todas las demandas. Sin embargo, ciertos arcos de transporte e inventario pueden llevar un flujo positivo en las soluciones parciales correspondientes a más de un arco en el trayecto, y cadauno de los flujos partial se carga por separado según la función de coste correspondiente. Debido a la concidad de todas las funciones de coste, se reduce que el coste del flujo total no excederá la suma de los costes de los flujos individuales en cualquier arco partéculo- ular, y por lo tanto la longitud de un trayecto nunca será inferior a los costos de la solución correspondiente. Además, cuando todas las funciones de coste de transporte e inventario son lineales, la longitud de la ruta y los costos de la solución son claramente iguales. Q El siguiente lema proporciona una relación entre los costos asociados con un subplan y el subplan relajado correspondiente. LEMMA 4.2. Para cualquier subplan , ((4ç41 ,442 )L 1 ), tenemos have que (((-,) ) ≥

El siguiente teorema muestra que existe una solución óptima al problema de tamaño de lote que se representa mediante una ruta en el trabajo de programación dinámica de fase 2 net- cuya longitud es igual a los costos óptimos. THEOREM 4.3. El trabajo der red rde ogramming de fase 2 contiene un camino que se realizaesponds a una solución óptima a nuestro olem de lote-sizing p r,oblem, y la longitud de la ruta es igual al costo de esta solución. Prueba. Considerar Un Extremo Punto Óptima Solución Para el tamaño de lote problem, Decir Con Costo 0 ∗ . Como Decir Discutió En N.o 2.4, éste Óptima Solución Descompone En una secuencia de subplanes consecutivos. Es fácil Ver ese el Fase 2 Dinámica Programación Red con- un camino para el que los períodos de producción y demanda De Cada De el Arcos Corresponden Para éste secuencia de subplanes. Lemma 4.2 dice ahora que la longitud de la ruta en la red de programación dinámica, Decir T , será No Exceder 0 ∗ . However, Por TheorEn 4.1 Nosotros Saber ese T Es Un Sobrestimación De el Costos De a color- responding Factible Solución. Optimalidad De 0∗ Ahora implica que, de hecho, T 0∗,, lo que demuestra el resultado deseado. result. Q Theorems 4.1 y 4.3 =implican claramente que nuestro algoritmo de dos fases resuelve el MLSP-PC. We ahora puede concluir que la fase 2 del algoritmo runs en el tiempo O(T 4 ), dados todos los valores $(t1 ,t2 , T1 , T2 ). El desafío r emaining es, por lo tanto, provide efficient algoritmos para calcular estos valores. 4.2. Costos cóncavos 4.2.1. el Costos De el Relajado Subplanes. En éste sección, formularemos el problema de determin- ing los costos $(t1 T2 T1 T2 ) como un problema de programa dinámico. Poner Diferentemente definimos, para Cada (t 1T2T1T2), a Red Con el Propiedad ese $(t1 T2 , T1T2) es igual al camino más corto entre un par de Fuente Y Fregadero Nodos En éste Red. el Nodos en esta red son de la forma (t,Y , X 1 ,...,X L−1), Dónde t Indica a Período Y Es Igual Para el Acumulativo Tenía Producción Cantidad hacia arriba Para Y Incluido Período t, Y X4 Es Igual Para el Acumulativo cantidad de transporte De Nivel 4 Para Nivel 4 1 hacia arriba Para Y Incluido Período t. Nota ese Viabilidad Dicta ese Nosotros Debe Restringir Nosotros mismos Para + Valores dT +1T XL−1 X1 Y . El origen es el nodo (t1 ,0,...,0), mientras que el sumidero es el nodo (t2Kb s,...,Kb • s). Al? igual - - que - en 1 el artículo 3.3, have eseK + Y ∈ kb,+kb +s,

. 41 42 4X1

$(a11,,ç12,L1,L2)

4o=

Prueba. Este resultado se produce inmediatamente al señalar que ambos • (a.41Ç42)L 1) Y $(o)11Ç12, çL1ÇL2) son el 4o valor óptimo de un problema de optimización con idenfunciones de costo tical, pero cuando la rgéne e-a factible de el primero es un subconjunto de la región factible de la Último. Q

ka0

y el número de valores permitidos para Y es O(T ). Además, de manera similar a la del caso de dos niveles, tenemos que .

. T2o

K

X4 ∈

Σ 'dT1 '1's'

Kb,kb +s. ∪ ka0

, sáT1 +1

,

4 - 1,...,L-1,

de modo que el número de valores permitidos para X4 es O(T ) también. Esto significa que el número total de nodos en la red es O(T L+1).. Los arcos de la red representan las decisiones de producción, trans- ¯ portación e inventario, y están presentes entre pares de nodoss en la red de laforma (t,Y ,X 1 ,...,X L-1 ) y (t +1,Y,X,1 ,.. . , X-L-1 ), where 4 4 Y¯• ∈ Y {0,s,b} Y X¯de (4 de 1,...,L 1). eso Es laXclase la Fácil aplicaciónde la página de ∈ de la página de para ver que hay arcos O(T L-1) que emanan de cada nodo, para un total de arcos O(T 2L) en la red. Al igual que el número 3.3, podemos calcular fácilmente la cantidad de producción tion en el período t +1 (Y- −Y ), la cantidad de transporte entre los niveles 4 y 4+1 en el período t +1 (X-4 xX 4 ), el inventario mantenido en el nivel manufacturer al final del período t +1 (Y- −X- 11 ), y el inventario a nivel de minoristas al final del período t +1 (XX-LL- T1 1 -d

+1,t+1 ).

Los costos de un arco son dados por

pt+1 (Y¯ −Y )+

ElΣ−1er

c 4 1 (XX-4 -X 4 )-h1 1 (YYXt+X) t+

costos generales de producción cóncavo, y costos de retención lineales de invención a todos los niveles, así como una de las dos estructuras de costos de transporte siguientes: i) carga fija sin motivos especulativos; o (ii) lde entrada. 4.3. Costos de transporte de carga fija sin motivos especulativos 4.3.1. Introducción. En esta sección, consideramos el caso de los costos de transporte de carga fija con motivos especulativos y costos de retención de inventario lineal. Como antes, determinaremos los costos de cada subplan relajado utilizando la programación dinámica. Después de un paso de preprocesamiento que se ejecuta en O(LT 4), este programa dinámico se ejecuta en el tiempo O(T 4) para cada indisubplan completo y relajado. Mediante el uso de la tecnología de reducal final de 3.3, el costo de todos los subplanes relajados O(T 4) se puede calcular simultáneamente en el tiempo O(T 7). Por lo tanto, el tiempo de ejecución de la proenfoque de gramming para este caso especial de la MLSPPC es O(T 7 +LT 4). Cuando L 2, podemos reducir esto

4=1

44-1 -X-44 )-hL (XX-L-1 -d h 1 (XX 1 T 1 -1,t-1 ).

ElΣ−1er 4

+

t+

t+

4x2

tiempo de ejecución a O(T 6).

1

Si todas las funciones de coste se pueden evaluar en tiempo constante, los costes de un arco dado se pueden calcular en tiempo O(L) de la misma manera que en el PC 2LSP después de una cesante paso de prepropaso O(T 2) Hora. Concluimos que el

4.3.2.

Minorista. Mostraremos that, bajo costos de transportación de carga fija sin motivos especulativos, soluciones que satisfagan la propiedad de orden de inventario cero (ZIO) en todos niveles en 2 ,...,L,, es decir, I 4x4x1 a 0 para t a los 1,...,T 1;

el costo de un solo subplan relajado se puede determinar en Tiempo O(LT 2L). time. Por último, observando que hay sub-planes relajados O(T 4) y aplicando la misma técnica para la reducción del tiempo de funcionamiento que se utiliza al final del n.o 3.3, obtenemos un algoritmo para el MLSP-PC con costos de retención de arbi- trary cóncavo, transporte y retención de tory y capacidades estacionarias que se ejecuta en el tiempo O(LT 2L+3). Aunque este tiempo es exponencial en el número de niveles, el orden del tiempo de ejecución estará limitado por el hecho de que el número de niveles normalmente será relativamente pequeño. Este enfoque se puede extenfácilmente para tratar con inventarios iniciales. Recuerde a partir del n.o 3.4 que sólo deben considerarse los subplanes relajados con t 1 a 0. considered. Para un subplan de este tipo relaxedd,subplan, debemos ver el total L 4 inventarios iniciales I como producción acumulativa

4x1 0

cantidad upato e incluyendo el Período 0, y el período inicial L Inventario Yo 4 como el acumulativo Transporte 4=s +1 0 cantidad hasta e incluyendo el Período 0 desde el nivel s a nivel s +1, para todos los s ∈ 11,...,La1o}. Al igual que en el artículo 3.4, sin

Propiedad de pedido de inventario cero en el

t t+1

4 x 2,...,L, son dominantes. Es decir, dado cualquier feasoluciónble al subplan relaxed (t1 ,t2 , T1 , T2 ), laresiempre existe otra solución que es al menos tan buena y satisface el ZIO p roperty en todos los niveles en 22,...,L.. THEOREM 4.4. Dado un subplan relaxed (t1 ,t2 , T1 , T2 ),el conjunto de soluciones con el ZIO property en todos los niveles en 2,...,L es dominante. PrOof. Dejar (y¯,x¯,I¯) Ser a Factible Solución Para el relaxed subplan (t1 ,t2 , T1 , T2 ) ese hace No satisfacer la Tío property En Algunos Nivel. Dejar 4¯ Ser el Última Nivel Tal ese el Tío property Tiene Para todo 4 ∈ {4¯ + 1,...,L}, Pero Es No trUe Para Nivel 4¯. We enlatar ConstrUct un nuevo Solución En Menos Como bien Como (y¯,x¯,I¯), Tal ese el Tío property Tiene Para ∈ todo 4 {4¯,...,L}. Si 4¯ 2, entonces have Obtenido el DesirY result. Lo contrario Nosotros repita el procedimiento con la nueva solución. Observar que este procedimiento converge porque el nuevo 4- tiene disminuyó en al menos una unidad. Dejar t¯ ∈ T1 +1,..., T 2 −1} Ser a Período así que ese x ¯ I.x4 − x4o ¯ 1 > 0. El inventario positivo queI-4 ha sido trans-

t¯ t¯+1

IncrFacilitar el running Hora Estos Inicial Inventarios enlatar Ser Incorporado En el Dinámica programming Aplicaciónroach Para Calcular $(t ,t , T , T ) Por 2 el 1 Posible 2 Aplicaciónropriate redefinitions1 De Valores De Y Y X. En las siguientes secciones, mostraremos cómo se puede reducir drásticamente el tiempo de ejecución para las instancias problemáticas que tienen capacidades de producción estacionarias,

t¯

¯ portado al nivel 4 en algún período anterior. Sin embargo, debido a la ausencia de motivos especulativos, podemos 4 - 1+ t resched- ule el transporte de las unidades I- t sin ? aumentar los costos. Repitiendo este argumento para cada período t- violando la propiedad ZIO en el nivel 4¯, obtenemos una solución donde la propiedad ZIO es verdadera para cada nivel 4 ∈ 4o,...,L. Q

We puede recall que $(t1 ,t2 , T1 , T2 ) es igual a los costos mínimos entre las soluciones del subconte plan relaxed (t1 ,t2 , T1 , T2 ) con como máximo un free production arc. El siguiente corollary a Theorem 4.4 afirma que para finding este mínimo restringido podemos volver a restrict nuestro search a soluciones que satisfagan el ZIO property en el retailer. CorOLLARY 4.5. El coste asociado al subplan relaxed (t1 ,t2 , T1 , T2 ) se puede encontrar among todas las } solu- ciones factibles que se cumplen eng el ZIO property en todos los niveles en el número2,...,L. Prueba. Esto se desprende inmediatamente de la prueba del Teorema 4.4 observando que la modificación de la solución para obtener una solución que satisfaga el ZIO prop- erty no altera los flujos de producción. Q Este corollary implica que cuando searching para $ (t1 , t2 , T1 , T2 )), podemos suponer que cualquier cantidad enviada es igual a la demanda de un conjunto de períodos consecutivos. Esto ayudará a reduce la informaciónrmation mantenida en la aplicación dinámica programming roach descrita en el número 4.2.1. 4.3.3. Los costos de un subplan relajado. En esta sección, formularemos el problema de determin- ing los costos $(t 1,t 2,T1,T2) como una simplificación del problema de programación dinámica definido en el n.o 4.2.1. Todos los nodos de la red de programación dinámica tienen la forma (t,Y,s), donde t indica un punto, Y es igual a la cantidad de producción acumulada hasta el período t, incluido, y s representa el último período cuya demanda se satisface utilizando transportación desde el Nivel 1 hasta el Nivel 2 up hasta e incluyendo período t, where dT +1,s - Y y t á s. Puedee observar 1

que desde el Teorema 4.4, tenemos que X1 d T1

+1,s

en el

Dinámica program De 4.2.1. el Estoyréste Es el Nodo (t1 ,0, T1 ), Mientras el Fregadero Es el Nodo (t2 ,Kb + s, T2 ). Como beforY Nosotros Saber ese Y enlatar solamente Asumir el Valores K

Y∈

kb, kb +s.

ka0

Arcos Son Presente Entre Pares De Nodos En el netTrabajo De el Form (t,Y ,s) Y (t,Y¯,s), where Y¯• Y∈ {0,s,b- Y s s. Es • ? fácil ver que hay O(T ) arcos que emanan de cada nodo de la red, por lo que ese toda la red ha O(T 4 ) Arcos. Los costes de un arco entre nodos (t,Y,s) y (t + 1,Y¯,s¯) are Ahora Dado Por pt+1 (Y¯ −Y )+h1t+1 (Y¯ −dT1 +1,s¯ ) +c 1t+1 (ds+1,s¯ )+Ct+1,2 (s +1,s¯), donde C (s ,s ) se definen como los costos óptimos de t4 1 2

envío ds1 s2 unidades desde el nodo (t,4) a sus naciones desti- , es decir, nodos de demanda (L,s 1),...,(L,s 2). Podemos utilizar el algoritmo de Zangwill, en una etapa de preprocesamiento, para determinar los valores Ct2(s 1,s2) para todos los t a 2,...,T;

=

= s1 t,...,T; y s2 s 1 ,...,T en tiempo O(LT 4); ver el apéndice en línea. Es importante tener en cuenta que aunque el modelo de Zangwill permite funciones generales de costos de trans- portación y retención de inventario, no podemos utilizar el mismo enfoque descrito anteriormente en presencia de capacidades de producción. La razón es que en el caso no privado, la propiedad ZIO se mantiene para funciones arbitrarias de costo de arco cóncavo, mientras que este no es el caso en el caso capacitado. Sin embargo, como hemos demostrado, en el caso de los costos de transporte de carga fija que exhibit no hay motivos especulativos, también obtenemos la propiedad ZIO, permitiendo el uso del algoritmo de Zangwill para determinar las entradas a nuestro algoritmo. el problem De DeterMinería $(t1 ,t2 , T1 , T2 ) reducación para finding el Longitud De el Menor Camino En el net- Trabajo frPara el Estoyréste Para el Fregadero Que enlatar Ser hecho en Lineal Hora En el Número De arCs. eso Es Fácil Para ver que el Número De Nodos En el Red Es O(T 3 ) y el Número De arCs O(T 4 ). Usando el Mismo Aplicaciónroach a la computación Múltiples Valores De el Función $ En una vez Como Nosotros have Discutido Para el Función $ En el Final De 3.3, esto produce un O(T 7 +Lt 4) algoritmo para resolver la variante multinivel de este problema. Cuando L 2, este tiempo de ejecución puede Ser 6 a Reducido -O(T ). Recuerde que el número de nodos En el Dinámica Programación Enfoque encima Es O(T 3). Nosotros demostrará que el número de arcos también es O(T 3). Para Cada t allí Son O(T ) Nodos De el Forma (t,·,t), Y O(T 2) nodos del formulario (t,·,s) Con s> t. Cada Nodo de la forma (t,·,t) tiene O(T ) Sucesores Y Cada Nodo De el Forma (t,·,s) Con s> t tiene O(1) Éxito Obtener Que Hace Para a Total De O(T )·(O(T ) ·O(T )+ O(T 2) O(1)) O(T 6 3) arcos en la red. Esto produce un algoritmo O(T ) para resolver la variante de dos = niveles· de este problema. Desafortunadamente, en presencia de niveles de inventario inicial distintos de cero, la propiedad ZIO ya no es necesariamente dominante. Sin embargo, en estos casos, el procedimiento más general desarrollado para el caso de funciones arbitrarias de costes cóncavos, por supuesto, sigue siendo aplica. 4.4. Costos de transporte lineal 4.4.1. Introducción. En esta sección, vamos a en- si el

caso donde los costos de transporte y los costos de

retención de inventario son lineales. linear. Desarrollaremos un enfoque de programación dinámica que encuentra los costos opti- mal de cada subplun. Después de un paso de prepro- cese que se ejecuta en el tiempo O(LT 2), este algoritmo se ejecuta en el tiempo O(T 2) para un solo subplan relajado, pero los costos de todos los subplanos relajados O(T 4 ) se pueden poner simultáneamente en el tiempo O(T 5). Esto da como resultado un algoritmo O(T 5 +LT 2) para resolver esta clase de instancias de MLSP-PC. 4.4.2. Preprocesamiento. En cuanto a la red subyacente (como se describe en el punto 2.1), una unidad producida en el período t para satisfacer la demanda en el período T a t,

en la solución óptima, flow a lo largo de la ruta de coste mínimo fr omom (1,t) a (L, T ). En una etapa deocessing prr ep, ep podemos determina los costes mínimos de transporte unitario asociados con producing una unidad en el período t para el consumo en el período T , que llamaremos GTT . Todos estos valores se pueden calcular en tiempo O(LT 2 ) solv- ing T shortest path problems in acyclic graphs with O(T L) arcs using backward recursion. Usando estos valores, podemos entonces deter de nuevo extraer los costos totales de trans- portación asociados con producing, en el período t,la demanda entire de los períodos consecutivos T1 + 1,..., T2 , suponiendo que se permita laoΣrtation transpación Períodos t,..., T2 , I.e. Gd TT1 ≡ t T2 1 d . En O(T 3) T2 GR T r EnT1 rPara todo t Hora Estos Costos enlatar Ser Calculado = + 1,...,T+ Y +t EnT1 + 1 T2 T . éste Informaciónrmation será habilitar Nos Para Calcular el Total Transporte Costos Asociados Con producción En Período t En Constante Hora. 4.4.3. Los costos de un subplan relajado. En esta sección, formularemos el problema de determinar los costos $(t 1,t 2,T1,T2) como una simplificación adicional del problema de programación dinámica definido en el número 4.2.1. Todos los nodos de la red de programación dinámica tienen la forma (t,Y ),donde t indica un punto, e Y es igual a la cantidad de producción acumulada hasta el período t, donde dT1 +1,t a Y y K

Y∈

kb, kb +s.

ka0

El origen es el nodo (t1,0), mientras que el sumidero es el nodo (t2Kb s).+ Los arcos están presentes present entre pares de nodos en el Red De el Form (t,Y ) Y (t 1,Y¯)+ Cuando Y¯ Y ? ∈ {0,s,b-. Cada arco de la red descrita encima representa una posible decisión de producción. Nosotros permitir que los costes de los arcos sean iguales a los costes totales asociados con el importe de producción. Queda por mostrar ese el transporte y la tenencia de inventario los costos pueden Ser computado en tiempo constante. Además de la infor- mation reunidos en la fase de preprocesamiento descrita en el n.o 4.4.2, también encontraremos, para cada nodo (t,Y ) En la red, el primer período cuya demanda es No plenamente satisfecho por la producción acumulada Y (digamos, s) Como Bien Como el Parte De el Demanda De ese Período ese remaínas Para Ser Satisfecho (digamos, &). T1 Usando el cumu- lativo Demandas dT1 +1,tr (tr + 1,..., T2) Como Bien Como=el Hecho ese el Valor De Y enlatar solamente Ser Igual Para kb O Kb+ s Para K= 0,...,K, esta información adicional se puede obtener en O(T ) Hora. Como veremos Más tarde esto no aumenta el tiempo de ejecución de encontrar el Costos de un solo relajado subplan. Ahora considere un arco que conecta los dos Nodos (t,Y ) (con el primer período de demanda restante s Con remaining Demanda &) Y (t +1,Y¯) (con fiRst remain- Ing Demanda Período s¯ Con remaining Demanda &≥). Cuando Y¯ −Y ≤ &, el Unidad Transporte Costos De el

cantidad producida en el período t +1 son iguales a Gt+1,s ≥) Cuando losgastos de transporte y de . ¯ &, retención −de inventario para este arco se componen de hasta tres ¯ ¯ com- ponents: Gt+1,s & GDt+1,s, s ,s,s , s,1 + lo tanto, +se pueden? calcular en Gt+1, s s ,ddss , y, por tiempo, constante. el problem De DeterMinería $(t1 ,t2 , T1 , T2 ) reducación para finding el Longitud De el Menor Camino En el net- Trabajo frPara el Estoyréste Para el Fregadero Que enlatar Ser hecho en Lineal Hora En el Número De arCs. eso Es Fácil Para Ver que el número de nodos de la red es O(T 2) y el número de arcos O(T 2).. Usando el mismo enfoque para calcular múltiples valores de la función $ a la vez como en el número 4.3, esto produce un algoritmo O(T 5 +LT 2) para la resolución de esta variante del MLSP-PC. Al igual que en el CLSP, los inventarios iniciales se pueden incor- portar cuando todas las funciones de coste de retención de inventario y transporte son lineales. linear. En particular, los inventarios iniciales se utilizan para satisfacer las primeras demandas a través de los caminos más cortos apropiados de la red, después de lo cual se actualizan las demandas y se resuelve el ing problema de permanecer sin inventarios iniciales.

5.

Observaciones finales e investigación futura

En este documento, hemos considerado una generalización de el ELSP clásico con capacidad de producción estacionaria que permite múltiples niveles dealmacenamiento, así como las correspondientes decisiones de transporte para la transportabilidad entre los diferentes niveles. Hemos identificado dos casos especiales importantes de este problema que son solucionables en tiempo polinómico. Los tiempos de funcionamiento de los algoritmos correspondientes son notablemente insensibles al número de niveles en la cadena de suministro. Las cuestiones abiertas para futuras investigaciones en esta área se pueden dividir en tres direcciones generales. En primer lugar, las complejas, aunque polinómicas en la planificación hori- zon, son de orden relativamente high: O(T 5) a O(T 7 ) para los casos de dos niveles. Sería interesante que el orden del tiempo de ejecución pudiera reducirse, por ejemplo, investigando si se puede ahorrar más tiempo determinando los costos de muchos o de todos los subplanes de forma simultánea. Además, aunque el número de niveles será generalmente relativamente pequeño, nunca sería menos interesante determinar si el caso multinivel con funciones generales de costo cóncavo se puede resolver en tiempo polinómico tanto en el horizonte temporal como en el número de niveles. Una segunda dirección es el estudio de las cadenas de suministro en serie en presencia de capacidades en otros niveles o niveles adicionales en la cadena. Por último, sería interesante considerar estructuras de cadena sup- ply más complejas, incluidas, por ejemplo, estructuras de ensamblaje de productos a nivel de productor o múltiples minoristas. Un apéndice en línea de este documento está disponible en http://mansci.pubs.informs.org/ecompanion.html.

Reconocimientos

El trabajo de los autores segundo y tercero fue apoyado por la Fundación Nacional de Ciencia bajo las Subvenciones No DMI0085682 y DMI-0355533, la Escuela de Investigación de Maastricht de Economía de la Tecnología y las Organizaciones (METEOR) y la Organización Neerlandesa para la Investigación Científica (NWO).

Referencias Aggarwal, A., J. K. Park. 1993. Algoritmos mejorados para problemas económicos de tamaño de lote. Oper. Res. 41(3) 549–571. Ahuja, R.K., T. L. Magnanti, J. B. Orlin. 1993. Flujos de red: Teoría, algoritmos y aplicaciones. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. Arntzen, B. C., G. G. Brown, T.P. Harrison, L. L. Trafton. 1995. Gestión mundial de la cadena de suministro en Digital Equipment Corporation. Interfaces 25(1) 69–93. Baker, K. R., P. Dixon, M. J. Magazine, E. A. Silver. 1978. Un algorithm para el problema dinámico de tamaño de lote con restricciones de capacidad de pro- ducción variables en el tiempo. Gestión Sci. 24(16) 1710-1720. Bitran, G. R., H. H. Yanasse. 1982. Complejidad computacional del problema del tamaño de lote capacitado. Gestión Sci. 28(10) 11741186. Chandra, P., M.L. Fisher. 1994. Coordinación de la planificación de la producción y la distribución. Eur. J. Oper. Res. 72 503–517. Chung, C.-S., C.-H. M. Lin. 1988. Un algoritmo O(T 2) para el problema de tamaño de lote capacitado NI/G/NI/ND. capacitated lot size problem. Administración Sci. 34(3) 420–426. Federgruen, A., M. Tzur. 1991. Un algoritmo de avance simple para resolver modelos generales de tamaño de lote dinámico con n períodos en O(nlogn) u O(n). Gestión Sci. 37 909–925.

Florian, M., M. Klein. 1971. Planificación de producción determinista con costes cóncavos y limitaciones dela ciudad. Gestión Sci. 18 12–20. Florian, M., J. K. Lenstra, A. H. G. Rinnooy Kan. 1980. Planificación de producción determinista: Algoritmos y complejidad. Gestión Sci. 26(7) 669–679. Geoffrion, A. M., R.F. Poderes. 1995. Veinte años de diseño estratégico del sistema de dis- tribución: Una perspectiva evolutiva. Interfaces 25(5) 105–127. Kaminsky, P., D. Simchi-Levi. 2003. Tamaño del lote de producción y distribución en una cadena de suministro de

dos etapas. IIE Trans. 35(11) 1065-1075. Lee, C. SÍ, S. Aetinkaya, W. Jaruphongsa. 2003. Un modelo dinámico para el tamaño del lote de inventario y la programación de envíos de salida en un almacén de terceros. Oper. Res. 51(5) 735–747. Thomas, D.J., P. M. Griffin. 1996. Envejecimiento coordinado de la cadena de suministro. Eur. J. Oper. Res. 94(1) 1–15. van den Heuvel, W., A. P. M. Wagelmans. 2003. Un algoritmo geométrico para resolver el problema de tamaño de lote capacitado NI/G/NI/ND en el tiempo O(T 2). Informe técnico 2003-24, Econometric Institute Report, Rotterdam, Países Bajos. van Hoesel, C.P. M., A. P. M. Wagelmans. 1996. Un algoritmo O(T 3 ) para el problema económico de dimensionamiento de lotes con capacidades constantes. Gestión Sci. 42(1) 142–150. Wagelmans, A., S. van Hoesel, A. Kolen. 1992. Tamaño económico del lote: Un algoritmo O(nlogn) que se ejecuta en tiempo lineal en el caso Wagner- Whitin. Oper. Res. 40(1) S145– S156. Wagner, H. M. 1960. es. Un postscripto a los problemas dinámicos de la teoría de la firm. Logist. Quart. 7 7–12. Wagner, H.M., T. M. Whitin. 1958. Versión dinámica del modelo de tamaño de lote eco- nomico. Gestión Sci. 5 89–96. Zangwill, W. I. 1969. Un modelo de backlogging y un modelo multiechelon de un sistema de producción de tamaño de lote económico dinámico: un enfoque de red. Gestión Sci. 15(9) 506–527.