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• Cristhian Vásquez

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TRABAJO VIRTUAL CONCEPTO Este principio es muy importante dado que establece una relacion entre el trabajo de las cargas o acciones exteriores, que se componen luego en las solicitaciones (esfuerzos normales, cortantes, flectores y torsores), con la energía de deformacion interna, que dependera del estado tensional y de las deformaciones del cuerpo. El principio de trabajo virtual establece que si una particula o un cuerpo rigido o en general un sistema de cuerpos rigidos unidos, los cuales están en equilibrio bajo la acción de varias fuerzas externas, se les aplica un desplazamiento arbitrario a partir de la posición de equilibrio, el trabajo realizado por las fuerzas externas durante el desplazamiento seria 0. Este principio es efectivo cuando se aplica a la solución de problema relacionados con el equilibrio de maquinas o mecanismos que están constituidos por varios elementos conectados entre si. El Principio de Trabajos Virtuales (P.T.V.) fue utilizado por Galileo (1564-1642) para el diseno y calculo de mecanismos y desarrollado teoricamente con un enunciado mas matematico y formal por Lagrange (1736-1813), ya que desarrolla la teorıa variacional y escribe su “Mecanica Analıtica”donde coloca las bases de dicha disciplina. No obstante a lo anterior el nucleo teorico del P.T.V. fue enunciado por Santiago Bernouilli (1654-1705) y por Daniel Bernouilli (17001782): “Si una estructura, estando en equilibrio, sufre una deformacion virtual debido a la accion de una carga adicional, el trabajo virtual externo de la carga en cuestion, es igual al trabajo virtual interno, desarrollado por las tensiones causadas por la carga”. En cuanto a lo que concierne a la mecanica de cuerpos rıgidos, dado que por definici´on estos cuerpos no sufren deformacion sino desplazamientos, el P.T.V. debe ser reformulado. El mismo fue enunciado por Johann Bernouilli en el año 1717 de la siguiente manera: “Dado un cuerpo rıgido mantenido en equilibrio por un sistema de fuerzas, el trabajo virtual efectuado por este sistema, durante un desplazamiento virtual, es nulo”. Por tal motivo algunos autores prefieren llamar la P.T.V como Principio de los Desplazamientos Virtuales (P.D.V.), sin embargo en el presente texto se conservara la denominacion original. Ponlo si quieres pero no se paloma de verdad Trabajo de una fuerza En forma clásica se define como trabajo de una fuerza en un desplazamiento al producto escalar dT =F∗ds, siendo F la fuerza en cada punto de la trayectoria, y ds el vector desplazamiento elemental, tangente a la trayectoria en ese punto. En algunos casos F podría representar un campo vectorial (el gravitatorio) y s la trayectoria de una partícula en ese campo Hay cierto número de fuerzas que se estudian en mecánica racional y que no realizan trabajo Fuerzas aplicadas a puntos fijos(ds=0) o que actúan en dirección perpendicular al desplazamiento( cosθ=0=

El trabajo de la fuerza F correspondiente al desplazamiento ds se define como:

dT =F∗ds

Donde al definir el producto escalar entre F y ds se tendria

dU =F∗ds=|F||ds|cos ( θ )=Fd Como vimos F es el modulo del vector F y d la proyección del desplazamiento sobre la recta de la acción de la fuerza.

Trabajo en un sistema de fuerzas: Dado un sistema de fuerzas como el que se muestra, se intentara demostrar que el trabajo desarrollado por un sistema de fuerzas aplicado sobre un cuerpo que sufre un cierto corrimiento es igual al trabajo de su resultante. Por efecto del sistema de fuerzas, el punto de aplicacion A, sufrió un corrimiento dr hasta ubicarse en una nueva posicion, punto A’. Llamando dU1, dU2 y dUR al trabajo producido a lo largo del desplazamiento dr por las fuerzas F~ 1, F~ 2 y R~ , respectivamente, y θ1, θ2 y θR a los ángulos que forman las direcciones de dichas fuerzas con la direccion del corrimiento, se tiene

dU 1=F 1∗dr =F 1 dr∗cos ( θ1 ) dU 2=F 2∗dr =F 2 dr∗cos ( θ 2 ) dUR=R∗dr =Rdr∗cos ( θr )

Es decir, el trabajo de la resultante del sistema de fuerzas es igual a la suma algebraica de los trabajos de las fuerzas componentes. La demostración puede ser fácilmente generalizada para un sistema de n fuerzas, considerando a dicho sistema como uno formado por pares de fuerzas concurrentes y trabajando luego con sus resultantes.

Principio de trabajo virtual El principio del trabajo virtual para una partícula estable ce que si una partícula está en equilibrio, el trabajo virtual total de las fuerzas que actúan sobre la partícula es cero para cualquier desplazamiento virtual de la partícula. Así, esta condición necesaria establece que si la partícula está en equilibrio, la resultan te R de las fuerzas es cero y, por tanto, se concluye con base en la ecuación. Al trabajo realiza do por las fuerzas F1, F2, . . . , Fn duran te el desplazamiento virtual dr se le llama trabajo virtual. El trabajo virtual de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula de la figura

dU =F 1∗dr + F 2∗dr +. … …+ Fn∗dr dU =( F 1+ F 2+ F 3+ F 4+ ..+ Fn )∗dr dU =R∗dr Donde con R se representa la resultante de las fuerzas dadas. Por tanto, el trabajo virtual total realizado por las fuer zas F1, F2, . . . , Fn es igual al trabajo virtual realiza do por su resultante R Aplicación de trabajo virtual: El principio del trabajo virtual es particularmente efectivo cuando se aplica a la solución de problemas que involucran máquinas o mecanismos compuestos de varios cuerpos rígidos conectados entre sí.

Ejemplo práctico: Una mesa de elevación hidráulica se ut liza para levantar una caja de 1 000 kg. La mesa consiste de una plataforma y de dos mecanismos idénticos en los cuales los cilindros hidráulicos ejercen fuerzas iguales (en la figura se muestran sólo un mecanismo y un cilindro hidráulico). Los elementos EDB y CG miden 2a de longitud cada uno y el elemento AD se une mediante un perno al punto medio de EDB. Si la caja se coloca sobre la caja de manera que la mitad de su peso es soportado por el sistema mostrado en la figura, determine la fuerza ejercida por cada cilindro al levantar la caja para los valores de 60°, a 0.70 m y L 3.20 m. Es te mecanismo se estudió previamente en el problema resuelto 6.7 RESOLUCION: Observe primero que las reacciones en E y G no realizan trabajo. Al representar con y la elevación de la plataforma sobre la base y con s la longitud DH del sistema cilindro pistón, se escribe.

dU =0

−1 Wdy + Fdh∗ds=0 2

El desplazamiento vertical dy de la plataforma se puede expresar en términos del desplazamiento angular dθ del elemento EDB de la siguiente forma:

y= ( EB ) senθ=2a senθ dy =2 a cos θ∗dθ Para expresar ds de una forma análoga en términos de dθ , se aplica primero la ley de cosenos.

s2=a2+ L2−2 aLcos θ Diferenciando

2 s ds=−2 aL (−senθ ) d θ ds=

aL senθ dθ s

Sustituyendo los valores de dy y ds se escribe;

Fdh=W

s cotθ L

Con los datos númericos dados se tiene,

(

W =mg=1000 kg∗ 9.81 s2=a2+ L2−2 aLcos θ

m =9810 N =9.81 KN s2

)

¿ 0.702 +3.22−2 ( 0.7 ) 3.2∗cos 60=8.49 s=2.91m Fdh=W

s kn∗2.91m cotθ=9.81 ∗cot 60=5.15 N L 3.20 m

EJEMPLO: Use el método de trabajo virtual y determine la deflexión horizontal en C. El sistema es constante. Hay un pasador en A. Suponga que C es un rodillo y que B es una junta fija.

Se descompone y se ve las fuerzas internas del sistema

Como es un angulo de 45° tenemos que sus lados serian Cy

5 √2

Ax

Ay

∑ Ma=0 (−7.071 ) ( 1 )+ (Cy ) (13.071 ) =0 Cy=0.541

∑ Fy=0 Ay+ 0.541=0 Ay=−0.541

∑ Fx=0 Ax+1=0 Ay=−1

x √2=¿10 x=¿ 5√ 2 El valor de sus lados iguales seria 5√ 2

Hallamos en el tramo AB: v=0.707-0.383=0.324 m=0.324x

Hallamos en el tramo BC:

v=−0.541 m=0.541 x