Trabajo Unidad 2

Aproximación de distribución normal a la binomial: 1) Una prueba de opción múltiple tiene 200 preguntas, cada una con 4

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Aproximación de distribución normal a la binomial: 1) Una prueba de opción múltiple tiene 200 preguntas, cada una con 4 posibles respuestas, de las cuáles solo una es la correcta ¿cuál es la probabilidad de que al azar se den de 25 a 30 respuestas correctas para 80 de las 200 preguntas acerca de los cuales el estudiante no tiene conocimientos? Solución : n = 80 p = p(dar una contestación correcta) = 0.25 q = p(dar una contestación incorrecta) = 1 – p = 0.75 µ = np = 80 × 0,25 = 20preguntas contestadas correctamente o = ƒnpq = ƒ(80)(0,25)(0,75) = 3.8729 preguntas contestadas correctamente x = número de preguntas que son contestadas correctamente = 0, 1, 2,...,80

z= 1

(X1 — 1/2) — µ

=

o

(25 — 1/2) — 20

= 1,1619

3,8729

p (z1 = 1.16) = 0.377 z = 2

(X2 + 1/2) — µ

=

o

(30 + 1/2) — 20

= 2,7111

3,8729

p (z2 = 2.71) = 0.4966 p (25

x

30) = p(z2) – p(z1) = 0.4966 – 0.377 = 0.1196

2) Si 35% de los productos manufacturados en cierta línea de producción es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que entre los siguientes 1000 productos manufacturados en esa línea a) menos de 354 productos sean defectuosos?, b) entre 342 y 364 productos sean defectuosos? Solución: a) n = 1000 p = p (un producto sea defectuoso) = 0.35 q = p (un producto no sea defectuoso) = 1‐ p = 0.65 µ = np = 1000 × 0,35 = 350productos defectuosos

o = ƒnpq = ƒ(1000)(0,35)(0,65) = 15,0831productos defectuosos x = número de productos defectuosos que se manufacturan en la línea = 0, 1, 2,..., 1000 a)

z=

(354 — 1/2) — µ (354 — 1/2) — 350 = = 0,2320 o 15,0831

p (z = 0.23) = 0.091 p (x 354) = 0.5 + p (z = 0.23) = 0.5 + 0.091 = 0.5091

b)

z1 =

(342 — 1/2) — 350 = —0,5635 15,0831

p(z1=-0.56) = 0.2123

z1 =

(364 + 1/2) — 350 = 0,9613 15,0831

p(z2=0.96) = 0.3315 p (342

x

364) = p(z1) + p(z2) = 0.2123 + 0.3315 = 0.5438

APROXIMACIONES Aproximación de la Distribución Binomial a la Distribución de Poisson. Ejemplo 1)Se sabe que el 5% de los libros encuadernados en cierto taller tienen encuadernaciones defectuosas. Determine la probabilidad de que 2 de 100 libros encuadernados en ese taller, tengan encuadernaciones defectuosas, usando, a) la fórmula de la distribución Binomial, b) la aproximación de Poisson a la distribución Binomial. Solución: a) n = 100 p = 0.05 = p(encuadernación defectuosa) = p(éxito) q = 0.95 = p(encuadernación no defectuosa) = p(fracaso) x = variable que nos define el número de encuadernaciones defectuosas en la muestra = = 0, 1, 2, 3,....,100 encuadernaciones defectuosas b)n = 100 encuadernaciones p = 0.05 l = np = (100)(0.05)= 5 x = variable que nos define el número de encuadernaciones defectuosas

en la muestra = = 0, 1, 2, 3,....,100 encuadernaciones defectuosas Al comparar los resultados de las probabilidades con una y otra distribución, nos damos cuenta de que la diferencia entre un cálculo y otro es de tan solo 0.0031, por lo que la aproximación de Poisson es una buena opción para calcular probabilidades Binomiales.

2) Se estima que 4000 de 10000 votantes residentes en la ciudad están

en contra de un nuevo impuesto a las ventas. Si se seleccionan al azar 15 votantes y se les pide la opinión. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 7 estén a favor del nuevo impuesto? Sea X= número de votantes en contra de un nuevo impuesto a las ventas x: 0,1,2,3,...., 15 Observando los parámetros, podemos asegurar que es una distribución hipergeométrica X~ h(x;10000,15,4000) Como N>>n, es decir, 10000>>15 se puede aproximar a una binomial h(x;10000,15,4000) b(x;15,0.4) p=k/N p=4000/10000 p=0.4 constante Luego se procede a resolver el problema como una binomial.Se pide hallar la probabilidad de que por lo menos 7 estén a favor del nuevo impuesto Y= número de votantes a favor de un nuevo impuesto a las ventas y=0,1,2,....,15 p=0.60 y ~ b(y;15,0.6) P ( y ≥ 7 ) = 1 − P( y ≤ 6 ) ⇒ por complemento P ( y ≥ 7 ) = 1 − ∑ P( y;15,0.60 ) ⇒ Tabla Binomial Acumulada P ( y ≥ 7 ) = 1 − 0.0951 = 0.9049

Aproximación de la Distribución hipergeometrica a la Distribución Normal. Ejemplo Una prueba de opción múltiple tiene 200 preguntas, cada una con 4 posibles respuestas, de las cuáles sólo una es la correcta ¿cuál es la probabilidad de que al azar se den de 25 a 30 respuestas correctas para 80 de las 200 preguntas acerca de los cuales el estudiante no tiene conocimientos? n=80 p = p(dar una contestación correcta) = 0.25 q = p(dar una contestación incorrecta) = 1 – p = 0.75 Preguntas contestadas correctamente Preguntas contestadas correctamente x = número de preguntas que son contestadas correctamente = 0, 1, 2,...,80

,

p(z1 = 1.16) = 0.377

, p(z2 = 2.71) = 0.4966 p(25 £ x ³ 30) = p(z2) – p(z1) = 0.4966 – 0.377 = 0.1196

2)La señorita Virginia Meneses ejecutiva de préstamos de un banco importante en la ciudad de México. Por sus años de experiencia ella calcula que la probabilidad de que un solicitante no pueda pagar su préstamo cuyo valor de lambda es de 5 ¿Cuál es la probabilidad de que no se paguen 3 préstamos? px=n.px (e)-np x! px=3=532.71828-5 3! P(x=3)=0.140374367 ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 queden sin pagar? px≥3=1p(x≤3) px≥3=1-[px=2+px=1+px=0] px≥3=1[0.0842+0.0337+0.0067] px≥3=1-0.1246px≥3=0.8754