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• Miré Caya Ruiz

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CALOR –TEMPERATURA-DILATACION 1. ¿A qué temperatura las escalas Fahrenheit y Celsius dan la misma lectura? ¿A qué temperatura la dan las escalas Fahrenheit y Kelvin? ℉=℃ 9 ℉ = ℃ + 32 5 9 reemplazando: ℉ = ℉ + 32 5 5(℉ − 32) = 9℉ 5℉ − 160 = 9℉ • 160 = 4℉ • 𝟒𝟎 = ℉ ℉ = °K 9 ℉ = ℉ − 459,67 5 9 reemplazando: ℉ = ℉ − 459,67 5 5(459,67 + ℉) = 9℉ 2298,35 + 5℉ = 9℉ • 4℉ = −2298,35 ℉ = 𝟓𝟕𝟒, 𝟓𝟖𝟕𝟓

2. Si la temperatura del gas ideal en el punto de ebullición del agua es, ¿Cuál es el valor límite de la relación de las presiones de un gas en el punto de ebullición y en el punto triple del agua cuando el gas se conserva a volumen constante? 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑇1 = 100℃ = 373,15°𝐾 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 ∶ 𝑇2 = 0℃ = 273,15°𝐾 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒: 𝑉1 = 𝑉2 𝑃1 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠: = ¿? 𝑃2 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛:

𝑃1 𝑉1 𝑃2 𝑉2 = 𝑇1 𝑇2

𝑃1 𝑃2 𝑃1 𝑇1 𝑃1 373,15°𝐾 = → = → = 𝑇1 𝑇2 𝑃2 𝑇2 𝑃2 273,15°𝐾 𝑷𝟏 = 𝟏, 𝟑𝟕 𝑷𝟐

3. Un reloj de péndulo hecho de Invar se calibra para que tenga un periodo de 0.5 seg. A 20 ℃.Si el reloj se usa en un clima en que la temperatura tiene un valor medio de 30℃, ¿Qué correlación (aproximadamente) hay que hacer a la hora dada por el reloj al terminar 30 días?

𝑇𝑜 = 2π √

𝐿𝑜 𝑔

α = 0,7 ∗ 10−6 °𝐶−1

∶

𝐿𝑓 = 𝐿𝑜 (1 + α∆T) 𝐿𝑓 = 𝐿𝑜 (1 + 0,7 ∗ 10−6 (30° − 20°)) 𝐿𝑓 = 1,000007 𝐿𝑜 𝐿𝑓

⟹ 𝑇𝑓 = 2π√ 𝑔

𝑇𝑓 = 2π√

1,000007 𝐿𝑜 𝑔

𝑇𝑓 = 1,0000035

En 30 dias 20*24*360*0,0000035= 9,072 s 4. Una barra de acero tiene 3.000 cm de diámetro a 25℃. Un anillo de bronce tiene un diámetro inferior de 2.992 cm a 25℃. ¿A qué temperatura común entrara justamente el anillo en la varilla? ∅𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 = 3𝑐𝑚 𝛿𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 = 11 ∗ 10−6 ℃−1 ∅𝑏𝑟𝑜𝑛𝑐𝑒 = 2,992𝑐𝑚 𝛿𝑏𝑟𝑜𝑛𝑐𝑒 = 19 ∗ 10−6 ℃−1 ∅𝑓𝑏𝑟𝑜𝑛𝑐𝑒 = ∅𝑓𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜

𝑇𝑜 = 25℃ 𝑇𝑜 = 25℃

𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 ∶ 𝐿𝑓 = 𝐿𝑜 (1 + 𝛿∆ 𝑇 ) ∅𝑓.𝑎 = ∅𝑜.𝑎 (1 + 𝛿𝑎 (𝑇𝑓 − 𝑇𝑜 ))

→ ∅𝑓.𝑎 = ∅𝑜.𝑎 (1 + 𝛿𝑎 𝑇𝑓 − 𝛿𝑎 𝑇𝑜 )

∅𝒇.𝒂 = ∅𝒐.𝒂 + ∅𝒐.𝒂 𝜹𝒂 𝑻𝒇 − ∅𝒐.𝒂 𝜹𝒂 𝑻𝒐 ∅𝑓.𝑏 = ∅𝑜.𝑏 (1 + 𝛿𝑏 (𝑇𝑓 − 𝑇𝑜 )) ∅𝒇.𝒃 = ∅𝒐.𝒃 + ∅𝒐.𝒃 𝜹𝒃 𝑻𝒇 − ∅𝒐.𝒃 𝜹𝒃 𝑻𝒐

→ ∅𝑓.𝑏 = ∅𝑜.𝑏 (1 + 𝛿𝑏 𝑇𝑓 − 𝛿𝑏 𝑇𝑜 )

𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠: ∅𝑜.𝑎 + ∅𝑜.𝑎 𝛿𝑎 𝑇𝑓 − ∅𝑜.𝑎 𝛿𝑎 𝑇𝑜 = ∅𝑜.𝑏 + ∅𝑜.𝑏 𝛿𝑏 𝑇𝑓 − ∅𝑜.𝑏 𝛿𝑏 𝑇𝑜 ∅𝑜.𝑎 𝛿𝑎 𝑇𝑓 − ∅𝑜.𝑏 𝛿𝑏 𝑇𝑓 = ∅𝑜.𝑏 − ∅𝑜.𝑏 𝛿𝑏 𝑇𝑜 − ∅𝑜.𝑎 + ∅𝑜.𝑎 𝛿𝑎 𝑇𝑜 𝑇𝑓 (∅𝑜.𝑎 𝛿𝑎 − ∅𝑜.𝑏 𝛿𝑏 ) = 𝑇𝑜 (∅𝑜.𝑎 𝛿𝑎 − ∅𝑜.𝑏 𝛿𝑏 ) + ∅𝑜.𝑏 − ∅𝑜.𝑎 𝑇𝑓 =

𝑇𝑜 (∅𝑜.𝑎 𝛿𝑎 − ∅𝑜.𝑏 𝛿𝑏 ) + ∅𝑜.𝑏 − ∅𝑜.𝑎 (∅𝑜.𝑎 𝛿𝑎 − ∅𝑜.𝑏 𝛿𝑏 )

𝑇𝑓 25℃(3𝑐𝑚(11 ∗ 10−6 ℃−1 ) − 2,992𝑐𝑚(19 ∗ 10−6 ℃−1 ) + 2,992𝑐𝑚 − 3𝑐𝑚 = (3𝑐𝑚(11 ∗ 10−6 ℃−1 ) − 2,992𝑐𝑚(19 ∗ 10−6 ℃−1 ) 25℃(33𝑐𝑚 ∗ 10−6 ℃−1 − 56,848𝑐𝑚 ∗ 10−6 ℃−1 ) − 0,008𝑐𝑚 𝑇𝑓 = (33 ∗ 10−6 ℃−1 − 56,848 ∗ 10−6 ℃−1 ) 𝑇𝑓 =

825 ∗ 10−6 𝑐𝑚 − 1421,2 ∗ 10−6 𝑐𝑚 − 8000 ∗ 10−6 𝑐𝑚 (33𝑐𝑚 ∗ 10−6 ℃−1 − 56,848𝑐𝑚 ∗ 10−6 ℃−1 ) 𝑇𝑓 =

825 − 1421,2 − 8000 −8596,2 → 𝑇𝑓 = ℃ → 𝑻𝒇 = 𝟑𝟔𝟎. 𝟓℃ −1 −1 (33℃ − 56,848℃ ) −23,848

5. El área de una placa rectangular es ab. Su coeficiente de dilatación lineal es α. Después de elevarse su temperatura ∆T, el lado ha se alarga ∆a y el lado b se alarga ∆b. Demuestre que si no se toma en cuenta la pequeña área ∆a. ∆b, que se muestra sombreada y de tamaño sumamente exagerado en la figura, entonces: ∆𝑨 = 𝑨𝑶 𝟐𝜶𝑺 ∆𝑻

𝑆 = 𝑆𝑂 (1 + 𝛼𝑆 ∆ 𝑇 ) Longitud y ancho están dados, por: 𝑎 = 𝑎𝑂 (1 + 𝛼𝑆 ∆ 𝑇 ) 𝑏 = 𝑏𝑂 (1 + 𝛼𝑆 ∆ 𝑇 ) Luego deducimos una expresión: 𝑎𝑏 = 𝑎𝑂 𝑏𝑂 (1 + 𝛼𝑆 ∆ 𝑇 )2 𝑎𝑏 = 𝑎𝑂 𝑏𝑂 (1 + 2𝛼𝑆 ∆ 𝑇 + 𝛼𝑆 2 ∆ 𝑇 2 )

La magnitud de α es del orden de 10−5, podemos despreciar el término que contiene a 𝛼𝑆 2 . 𝑎𝑏 = 𝑎𝑂 𝑏𝑂 (1 + 2𝛼𝑆 ∆ 𝑇 ) Dónde: A=ab 𝐴𝑂 = 𝑎𝑂 𝑏𝑂 𝐴 = 𝐴𝑂 (1 + 2𝛼𝑆 ∆ 𝑇 ) Reordenando los datos: 𝐴 − 𝐴𝑂 = 𝐴𝑂 2𝛼𝑆 ∆ 𝑇 O bien: ∆𝑨 = 𝑨𝑶 𝟐𝜶𝑺 ∆𝑻 6. Demuéstrese que, no tomando en cuenta cantidades sumamente pequeñas, el cambio de volumen de un sólido al dilatarse como consecuencia de una elevación de temperatura ∆ 𝑇 está dado por la expresión∆𝑽 = 3𝛼𝑉∆ 𝑇 en la que α es el coeficiente de dilatación lineal.

Sus longitudes están dados, por: 𝑎 = 𝑎𝑂 (1 + 𝛼𝑆 ∆ 𝑇 ) 𝑏 = 𝑏𝑂 (1 + 𝛼𝑆 ∆ 𝑇 ) 𝑐 = 𝑐𝑂 (1 + 𝛼𝑆 ∆ 𝑇 ) Luego deducimos una expresión: 𝑎𝑏𝑐 = 𝑎𝑂 𝑏𝑂 𝑐𝑂 (1 + 3𝛼𝑆 ∆ 𝑇 + 3𝛼𝑆 2 ∆ 𝑇 2 + 𝛼𝑆 3 ∆ 𝑇 3 ) La magnitud de α es del orden de 10−5, podemos despreciar el termino que contiene a 𝛼𝑆 2 𝑦𝛼𝑆 3 . 𝑎𝑏 = 𝑎𝑂 𝑏𝑂 𝑐𝑂 (1 + 3𝛼𝑆 ∆ 𝑇 ) Dónde: V=abc 𝑉𝑂 = 𝑎𝑂 𝑏𝑂 𝑐𝑂 𝑉 = 𝑉𝑂 (1 + 3𝛼𝑆 ∆ 𝑇 ) Reordenando los datos: 𝑉 − 𝑉𝑂 = 𝑉𝑂 3𝛼𝑆 ∆ 𝑇 O bien:

∆𝑽 = 𝑽𝑶 𝟑𝜶𝑺 ∆𝑻

7. Considérese un termómetro de mercurio en cristal. Supóngase que la sección transversal del tubo capilar tiene un valor constante ∆𝑂 y que𝑉𝑂 es el volumen de la ampolleta de mercurio a la temperatura de 0°C , si el mercurio llena exactamente la ampolleta a 0°C, demuestre que la longitud de la columna de mercurio en el tubo capilar a una temperatura t ℃ v0 (β − 3α)t t= A0

Esto es, proporcional a la temperatura, siendo β el coeficiente de dilatación volumétrica del mercurio y α el coeficiente de dilatación lineal del cristal.

∆𝑣𝑚 = 𝑣𝑓𝑚 − 𝑣𝑓𝑏 𝑙=

∆𝑣𝑚 ∆𝑣𝑚 𝑣𝑓𝑚 − 𝑣𝑓𝑏 = = 𝐴 𝐴𝑂 𝐴𝑂

𝑆𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜: 𝑣𝑓𝑚 = 𝑣𝑖𝑚 (1 + β𝑚 ∆𝑇) 𝐴𝑓𝑏 = 𝐴𝑖𝑏 (1 + 2α𝑣 ∆𝑇) 1

3

𝑟𝑓𝑏 = 𝑟𝑖𝑏 (1 + 2α𝑣 ∆𝑇)2 𝑣𝑓𝑏 = 𝑣𝑖𝑏 (1 + 2α𝑣 ∆𝑇)2 𝑣𝑓𝑏 = 𝑣𝑖𝑏 (1 + 3α𝑣 ∆𝑇) 𝑙=

𝑣𝑂 (β − 3α𝑣 )𝑡 𝐴𝑂 𝑚

8. Una cinta métrica de acero de 5 m de longitud se ha calibrado a la temperatura de 20℃. ¿Cuál es su longitud en un día caluroso de verano cuando la temperatura es 35 ℃?5,0009 m. 𝐿𝑂 = 5𝑚 𝑇𝑂 = 20℃ 𝐿𝐹 =¿ ? 𝑇𝐹 = 35℃ 𝛿𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 = 11 × 10−6 ℃−1 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 ∶ 𝐿𝑓 = 𝐿𝑜 (1 + 𝛿∆ 𝑇 )

𝐿𝑓.𝑎 = 𝐿𝑜.𝑎 (1 + 𝛿𝑎 (𝑇𝑓 − 𝑇𝑜 )) → 𝐿𝑓.𝑎 = 5𝑚(1 + 11 × 10−6 ℃−1 (35℃ − 20℃)) 𝐿𝑓.𝑎 = 5𝑚 + 825 × 10−6 𝐿𝑓.𝑎 = 5𝑚 + 0.000825 𝑳𝒇.𝒂 = 𝟓. 𝟎𝟎𝟎𝟖𝟐𝟓𝒎

9. Un frasco de vidrio de 200𝑐𝑚3 se llena completamente de mercurio a 20℃. ¿Cuánto mercurio se derrama al subir la temperatura del sistema hasta 100℃? El coeficiente de dilatación volumétrica del vidrio es 1.2 × 10−5 ℃−1 . 𝑉𝑂 = 200𝑐𝑚3 𝑇𝑂 = 20℃ 𝐿𝑞𝐷 = ∆𝐻𝑔 − ∆𝑉 𝑇𝐹 = 100℃ 𝛽𝑣𝑖𝑑𝑟𝑖𝑜 = 1.2 × 10−5 ℃−1 𝛿𝑚𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜 = 18 × 10−5 ℃−1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∶ 𝐿𝐷 = ∆𝐻𝑔 − ∆𝑉 𝐿𝑞𝐷 = 𝑉𝑜 (𝛿∆ 𝑇 ) − 𝑉𝑜 (𝛽∆ 𝑇 ) 𝐿𝑞𝐷 = 𝑉𝑜 ∆ 𝑇 (𝛿 − 𝛽) 𝐿𝑞𝐷 = 200𝑐𝑚3 (80℃)(18 × 10−5 ℃−1 − 1.2 × 10−5 ℃−1 ) 𝐿𝑞𝐷 = 16000𝑐𝑚3 (16.8 ∗ 10−5 ) 𝐿𝑞𝐷 = 268800 ∗ 10−5 𝑐𝑚3 𝑳𝒒𝑫 = 𝟐. 𝟔𝟗𝒄𝒎𝟑

10. Un tubo metálico inicialmente de 80 cm de largo al calentarse de 23℃ a 93℃ por medio de vapor hace girar 50° el índice del aparato de Cowan. Al deslizarse previamente 2 mm el tubo, el índice gira 40°. ¿Cuánto vale el coeficiente de dilatación lineal del tubo? ∆𝐿 = 𝐿𝑜 𝛼 𝑇

∆𝐿 = 2𝑚

θ ∗ ∆L = θ ∗ 𝐿𝑜 𝛼 ∆

𝐿𝑜 = 80𝑐𝑚 = 800𝑚𝑚

2 ∗ 50° = 40° ∗ 800𝛼(93 − 23) 100 = 2240000𝛼 𝛼 = 4,46 ∗ 10−5 𝐶 −1

11. A 20 ℃ una varilla de hierro mide 200 cm y a 90℃ mide 200.17 cm (es decir, se alargó 1.7 mm). ¿Cuánto vale su coeficiente de dilatación lineal? 𝐿𝑂 = 200𝑐𝑚

𝑇𝑂 = 20℃

𝐿𝐹 = 200.17𝑐𝑚 ∆𝐿 = 0.17𝑐𝑚

𝑇𝐹 = 90℃ 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 ∶ ∆𝐿 = 𝐿𝑜 (𝛿∆ 𝑇 )

𝛿=

∆𝐿 0.17𝑐𝑚 → 𝛿= → 𝛿 = 1.21 × 10−5 ℃−1 𝐿𝑜 ∆ 𝑇 200𝑐𝑚 ∗ 70℃

12. Un riel tiene 50 m de largo a 0℃, ¿Qué largo tendrá a 40℃? 𝐿𝑂 = 5𝑚 𝑇𝑂 = 0℃ 𝐿𝐹 =¿ ? 𝑇𝐹 = 40℃ 𝛿𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 = 11 × 10−6 ℃−1 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 ∶ 𝐿𝑓 = 𝐿𝑜 (1 + 𝛿∆ 𝑇 ) 𝐿𝑓.𝑎 = 𝐿𝑜.𝑎 (1 + 𝛿𝑎 (𝑇𝑓 − 𝑇𝑜 )) → 𝐿𝑓.𝑎 = 5𝑚(1 + 11 × 10−6 ℃−1 (40℃ − 0℃)) 𝐿𝑓.𝑎 = 5𝑚 + 2200 × 10−6 𝐿𝑓.𝑎 = 5𝑚 + 0.0022 𝑳𝒇.𝒂 = 𝟓. 𝟎𝟎𝟐𝟐𝒎

13. Se calientan 150 g en agua hirviendo a 93℃y se agregan rápidamente (¿Por qué?) al vaso interior que contiene 100 g de agua; la masa del vaso interior es de 50 g. Entonces la temperatura del agua (y del vaso interior) asciende de 20 a 30℃¿Cuánto vale el calor específico del hierro? Datos adicionales: Calor específico del vaso interior (aluminio) = 0.22cal/g℃; calor Calor específico del agua = 1 cal/g ℃ 0.12cal/g ℃ 𝑚𝑎𝑔𝑢𝑎 = 150𝑔𝑟 𝑇 = 93℃ 𝑚𝑣𝑎𝑠𝑜 𝑄𝑔𝑎𝑛𝑎𝑑𝑜 = 𝑄𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑄𝐻2 𝑂 + 𝑄 𝑣𝑎𝑠𝑜 = 𝑄𝐻2 𝑂 Hirviendo 𝑚 ∗ 𝑐𝑒∆𝑇 + 𝑚𝑎𝑠𝑎 ∗ 𝑐𝑒∆𝑇 = 𝑚 ∗ 𝑐𝑒∆T 100 ∗ 1(30 − 20) + 50𝑐𝑒(30 − 20) = 150 ∗ 1 ∗ (93 − 30) 1000 + 500𝑐𝑒 = 9450 500𝑐𝑒 = 8450

𝑐𝑒 = 16,9

𝑐𝑎𝑙 𝑔°𝐶

14. Una taza de cobre de 0,1 kg de masa, inicialmente a 20℃, se llena con 0,2 kg de café inicialmente a 70℃. ¿Cuál es la temperatura final cuando el café y la taza han alcanzado el equilibrio térmico? 𝑚 𝑇 = 0.1𝐾𝑔 𝑚𝐶 = 0.2𝐾𝑔 𝑇𝐹 = 𝑇𝐹 =¿ ? 𝐶𝑇.𝐶𝑈 = 0.385

𝑇𝑂 = 20℃ 𝑇𝑂 = 70℃ 𝐽 𝑘𝑔°𝑘

Usando la tabla de calor latente, el calor (negativo) ganado por el café es: 𝑄 𝑐𝑎𝑓é = 𝑚 𝑐𝑎𝑓é( 𝐶 𝑎𝑔𝑢𝑎) ∆ 𝑇 𝑐𝑎𝑓é 𝑄 𝑐𝑎𝑓é = (0.2 𝐾𝑔. )(4180 𝑗/𝑘𝑔 °𝐾) ( 𝑇 − 70.0º𝐶) El calor (positivo) ganado por la taza de cobre es 𝑄𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = 𝑚𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒( 𝐶𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒) ∆𝑇𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑄𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = (0.1𝐾𝑔)( 0.385𝐽/𝐾𝑔 °𝐾)(𝑇 − 20.0º𝐶) Igualamos a 0 la suma de estas dos cantidades de calor, obteniendo una ecuación algebraica para T: 𝑄 𝑐𝑎𝑓é + 𝑄 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = 0 , 𝑜 𝑠𝑒𝑎 (0.2 𝐾𝑔) ( 4180𝑗/𝐾𝑔 𝐾) ( 𝑇 – 70 º𝐶) + (0.1𝐾𝑔) (0.385 𝐽/𝑘𝑔𝐾) (𝑇 − 20) = 0 𝑻𝑭 = 𝟔𝟗℃

15. ¿Cuánto hielo a -20℃ ha de introducirse en 0,25 kg de agua, inicialmente a 20℃, para que la temperatura final con todo el hielo fundido sea 0℃? Puede despreciarse la capacidad calorífica del recipiente. 𝑄1 + 𝑄2 + 𝑄3 = 0 𝑄1 = 𝑚(𝐶ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜)∆𝑇1=m(41800J/kg) 𝑄2 = 𝑚(𝐿𝑓) = 0.835𝐽 𝑄3 = 𝑚(𝐶𝑎𝑔𝑢𝑎)∆𝑇3=20930J

𝑚(𝐶ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜)∆𝑇1 − 𝑚(𝐿𝑓) − 𝑚(𝐶𝑎𝑔𝑢𝑎)∆𝑇3 = 0

𝑚=

+𝑚(𝐿𝑓) + 𝑚(𝐶𝑎𝑔𝑢𝑎)∆𝑇3 (𝐶ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜)∆𝑇1