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Crisela Mejía Duran.

Mat.16-1995

Alcibíades Méndez

Matemática Básica.

Trabajo Final Matemática-Básica-UAPA

Lunes, 18 de Diciembre del 2017 Recinto Nagua, Rep. Dom.

UNIDAD I: Expresiones Algebraicas y sus Generalidades.

Monomio Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término, en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural .

Partes de un monomio Coeficiente El coeficiente del

monomio

es

el

número

que

aparece

multiplicando a las variables. Parte literal La parte exponentes.

Grado

literal está

constituida

por

las

letras

y

sus

El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables

Binomio

Un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos. P(x) = 2x^2 + 3x

Binomio al cuadrado Un binomio al cuadrado es igual es igual al cuadrado del primer término más, o menos, el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.

(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2 (x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x2 + 6 x + 9 (a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2 (2x - 3)2 = (2x)2 + 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 + 12 x + 9 Binomio al cubo Un binomio al cubo es igual al cubo del primero más, o menos, el triple del cuadrado del primero por el segundo más el triple del primero por el cuadrado del segundo más, o menos, el cubo del segundo.

(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3 (x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 = x 3 + 9x2 + 27x + 27 (a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3 (2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 = 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27 Binomio de Newton La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.

Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima deltriángulo de Tartaglia.

En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que lasuma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n. En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.

Trinomio

Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres términos. P(x) = 2x^2 + 3x + 5 Trinomio al cuadrado Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c (x2 − x + 1)2 = (x2)2 + (-x)2 + 12 +2 · x2 · (-x) + 2 x2 · 1 + 2 · (-x) · 1 = x4 + x2 + 1 - 2x3 + 2x2 - 2x = x4- 2x3 + 3x2 - 2x + 1

Polinomio Un polinomio es una expresión algebraica compuesta de dos o más monomios. Un polinomio es una expresión algebraica de la forma: P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 +... + a1 x1 + a0 Siendo an, an -1... a1 , ao números, llamados coeficientes. 

n un número natural.



x la variable o indeterminada.



an es el coeficiente principal.



ao es el término independiente.

Grado de un polinomio El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada lavariable x. 

Polinomio de grado cero

P(x) = 2 

Polinomio de primer grado P(x) = 3x + 2



Polinomio de segundo grado P(x) = 2x2+ 3x + 2



Polinomio de tercer grado P(x) = x3 − 2x2+ 3x + 2



Polinomio de cuarto grado P(x) = x4 + x3 − 2x2+ 3x + 2

UNIDAD II: Operaciones con expresiones algebraicas. Términos semejantes. Los términos semejantes son los que tienen exactamente la misma parte literal (con las mismas letras elevadas a los mismos exponentes), y varían solo en el coeficiente. Solo se pueden sumar y restar términos semejantes. No se pueden sumar y restar términos que no sean semejantes; sin embargo, se puede multiplicar y dividir todo tipo de términos. Si en una expresión algebraica hay varios términos semejantes, éstos se pueden simplificar sumándolos o restándolos.

Adición de expresiones algebraicas. Una suma algebraica es una operación matemática donde intervienen la suma y la resta, como por ejemplo en 11–4+13–2−6+3; cada número de la suma separado por un signo más o un signo menos se denomina término. Por ejemplo: 2+2=4.

El ser humano siempre ha necesitado de la habilidad de contar, y además, de reunir cantidades separadas, hecho que origino la suma. Por ejemplo, cuando cogemos dos canicas por nuestra izquierda, y otras dos canicas por nuestra derecha, al unirlas (o sumarlas) originan cuatro canicas:

Propiedades de la suma Las propiedades que cumplen la regla de la suma son dos: La propiedad conmutativa y la propiedad asociativa. Propiedad conmutativa El orden de los sumandos no altera el valor de la suma. Da igual resultado sumarle 5 a 3, que sumarle 3 a 5:

Propiedad asociativa Al sumar varios números, el orden no varía de cualquier modo:

Sustracción de expresiones algebraicas. Los términos precedidos por el signo más (siguiendo con el ejemplo anterior: 11, 13, 3) se llaman términos positivos y los términos precedidos por el signo menos (−4, −2, −6) se llaman términos negativos. Para resolver una suma algebraica, se suman los términos positivos y se le resta la suma de los términos negativos. Si la resta no puede realizarse, se invierten el minuendo y el sustraendo y a la diferencia se le antepone el signo menos. La resta algebraica es una de estas operaciones. Consiste en establecer la diferencia existente entre dos elementos: gracias a la resta, se puede saber cuánto le falta a un elemento para resultar igual al otro.

La resta o sustracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética; se trata de una operación de descomposición que consiste en, dada cierta cantidad, eliminar una

parte de ella, y el resultado se conoce como diferencia o resto. Es el contrario de la suma, ya que esta añade y la resta quita. Aparte de la diferencia, también tiene otras partes, la primera de arriba se llama minuendo y la de abajo, sustraendo. Ejemplo: Intervenciones de la resta En la propiedad distributiva de la multiplicación Es el signo de la resta, por lo que interviene. Propiedades La resta no tiene propiedades, pero está en el apartado anterior, que interviene en la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Se dice que la resta algebraica es el proceso inverso de la suma algebraica. Lo que permite la resta es encontrar la cantidad desconocida que, cuando se suma al sustraendo (el elemento que indica cuánto hay que restar), da como resultado el minuendo (el elemento que disminuye en la operación).

MULTIPLICACIÓN

La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar un número tantas veces como indica otro número. Así, 4×3 (léase «cuatro multiplicado por tres» o, simplemente, «cuatro por tres») es igual a sumar tres veces el valor 4 por sí mismo (4+4+4). La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica. Propiedades Conmutativa El orden de los factores no altera el producto.

Asociativa El orden de los factores no altera el producto.

Distributiva

DIVISIÓN La división es una de las operaciones aritméticas básicas. Para efectuarla se debe cumplir la condición de que: y que

Por ejemplo, sustituyendo los valores de a y b con los números 6 y 3 respectivamente, tenemos que

Cumpliéndose aquí la condición de que el producto de b y c equivale al valor de a. Cabe decir que no existe un resultado para la división por cero, por lo tanto, un error muy común es suponer que la división por cero es una operación matemática válida.

POTENCIACIÓN La potenciación es la operación matemática mediante la cual multiplicamos un número por sí mismo las veces que nos indique el exponente. Por ejemplo, la ecuación

donde a es un número cualquiera, equivale a la ecuación

Es decir que cumplimos la condición de multiplicar por sí mismo nuestro número (a) tres veces, tal como lo indicó el exponente (3) Leyes de los exponentes De acuerdo a las leyes básicas de los exponentes, sabemos que las operaciones como la multiplicación de términos homogéneos (en nuestros ejemplos el término será x) con exponentes diferentes serán: Multiplicación de exponentes Dado el caso de la multiplicación de dos números iguales (representados por la literal x) con exponentes diferentes, tenemos que Por ejemplo, en la ecuación debido a que puede expresar como

y

, por lo tanto, la ecuación de arriba se

División de exponentes Dado el caso de la división de dos números iguales (representados por la literal x) con exponentes diferentes, tenemos que

Por ejemplo, en la ecuación

Esto porque, dicho de otra forma, podemos decir que la ecuación anterior es igual a la siguiente ecuación

Entonces, de acuerdo a la ley de las divisiones, en donde teniendo términos similares como divisores y como dividendos de una ecuación, dichos términos iguales se anulan, y siguiendo esta lógica, tenemos que dos de los términos de arriba de la división (dividendos) se anulan con los dos términos de abajo de la división (divisores). Quedando como resultado solamente la x restante del dividendo. En el caso de tener como divisor un exponente mayor que el exponente del dividendo, tenemos el caso de un exponente negativo, el cual se puede expresar como

Y expresado en forma de fracción, el número

equivale a

Esto porque, de igual forma que se anulan los dos términos en el primer ejemplo, aquí se anulan todos los términos de x que se encuentran en el dividendo, de forma que

RADICACIÓN La radicación es

el

proceso

opuesto

a

la

potenciación.

Es

decir,

matemáticamente: En el proceso de radicación, buscamos un B que satisfaga la condición anterior. Los elementos y características de este proceso están explicados en Función raíz (Wikipedia). Método de resolución para raíces cuadradas El método más difundido para su resolución, es el siguiente: Tomemos como ejemplo, el radicando 65536. El primer paso es la separación en grupos de dos del radicando, así: Ahora se busca un número que multiplicado por sí mismo sea lo más próximo (por defecto) al primer grupo de números, comenzando por la izquierda. Si el número no es un entero, los grupos se realizarán a partir de la coma decimal, hacia ambos lados. Si el número posee una cantidad impar de cifras decimales, se agrega un cero a la derecha, por ejemplo en el caso 123,456 la separación sería 1.23, 45.60. Al llegar a la parte decimal, se pondría también en ese mismo paso la coma en el resultado. En este caso es el 2, pues . Este número se resta del grupo de dígitos del radicando, y a la diferencia se le concatena el siguiente grupo. Es decir, √6.55.36 | 2 -4 ___ 2 55 El 2 ya es parte del resultado. Una vez tenemos esto, el siguiente paso será iterado tantas veces como sea necesario hasta terminar la resolución de la raíz. La parte que tenemos de resultado se multiplica por dos, y al resultado se le añade un número que multiplicado por sí mismo sea lo más próximo posible (por defecto) al número con el que estamos trabajando (255). Esto es, buscamos un . En el ejemplo, el X buscado es 5, pues (y ). El 5 es el siguiente dígito del resultado. Ahora, se resta el resultado (45x5) a la parte "activa" del radicando. En el ejemplo, √6.55.36 | 25 -4 | 45x5=225 ___ 2 55 - 2 25 _________ 30 36

Los pasos sucesivos son iteraciones del anterior, como se ha comentado. Por tanto, se busaría un . Ese número es el 6, pues . El resultado final es: √6.55.36 | 256 -4 | 45x5=225 ___ | 506x6 = 3036 2 55 - 2 25 ______ 30 36 - 30 36 _________ 0 Y con eso demostramos que que

. Por tanto, también es cierto

En caso de querer hallar números después de haberse terminado las cifras significativas del radicando, se bajarán grupos de dos ceros por cada dígito que se necesite de aproximación.

UNIDAD III: Potenciación y Radicación de expresiones algebraicas. La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe an y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n». Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. Nótese que en el caso de la potenciación la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número natural que no tiene por qué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un número entero. Potencia de un monomio. Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia. Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de éste, al exponente de la potencia. (axn)m = am · xn · m (2x3)3 = 23(x3)3 = 8x9 (-3x2)3 = (-3)3 (x2)3 = −27x6

Cuadrado de un binomio. Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo. (a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2 (x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9 Binomio de resta al cuadrado Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo. (a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2 (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9 El desarrollo de un binomio al cuadrado se llama trinomio cuadrado perfecto. Cubo de un binomio. Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. (a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3 (x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 = = x3 + 9x2 + 27x + 27 Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo. (a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3 (2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 − 33 = = 8x 3 − 36 x2 + 54 x – 27

Propiedades o leyes de los exponentes. Los exponentes también llamados potencias e índices tienen una serie de leyes que los niños deberán de conocer. Las ideas clave que deberán saber acerca de los exponentes son: El exponente de un número indica la multiplicación de un número por sí mismo n veces Lo contrario de multiplicar es dividir, así que en el caso de un exponente negativo deberemos de dividir el número por sí mismo n veces Un exponente fraccionario como 1/n quiere decir que de deberá realizar la ríz n-ésima: Las leyes de los exponentes se basarán en las ideas expuestas anteriormente y las veremos de forma detallada para que nuestros pequeños entiendan las propiedades de las potencias. Las reglas de los exponentes. Las reglas de los exponentes se basarán en sumar, multiplicar o dividir exponentes y con ellas, los niños aprenderán en qué momento deben realizar cada operación. Primera ley de los exponentes. Los exponentes se suman para multiplicar dos potencias de la misma base, considerando que los exponentes son enteros positivos: aman = am+n Segunda ley de los exponentes. El cociente de potencias con la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes. am/an=am-n Tercera ley de los exponentes. Los exponentes se multiplican para elevar una potencia a otra potencia. Si los exponentes son enteros positivos tendremos la siguiente expresión: (am)n = amn Cuarta ley de los exponentes. Mediante las propiedades de las potencias asociativa y conmutativa de la multiplicación es posible escribir una potencia de un producto siendo equivalente al producto de las potencias de cada uno de los factores: (ab)n = anbn Quinta ley de los exponentes. Para elevar una fracción a un exponente se elevará el numerador y denominador a dicho exponente: (a/b)n = an/bn. Sexta ley de los exponentes. Todo número diferente de 0 elevado a 0 dará como resultado 1: a0 = 1 Séptima ley de los exponentes.

Si una potencia está elevada a 1 dará como resultado la base de la potencia. Octava ley de los exponentes. Además, deberemos tener en cuenta que todo número con exponente negativo será igual a su inverso con exponente positivo: a-n = 1/an Los Radicales. Las expresiones radicales son expresiones que incluyen un radical, el cual es el símbolo de calcular una raíz. Existen muchas formas de expresiones radicales, desde simples y familiares, como, hasta complicadas, como. En cualquier caso, podemos usar lo que sabemos de los exponentes para entender dichas expresiones. Las propiedades de los radicales nos permiten trabajar con ellos para intentar resolver radicales que, a priori, parece difícil encontrar la solución. Estas propiedades de las raíces también nos sirven para simplificar los radicales al máximo, y reducirlos hasta que ofrezcan una forma más sencilla.

Producto de raíces La raíz de un producto es igual al producto de la raíz de cada uno de los factores.

Cociente de radicales La división de radicales es igual a la raíz del numerador entre la raíz del denominador.

Raíz de un radical La raíz de una raíz da lugar a otro radical cuyo índice es igual a la multiplicación de los índices de cada uno de los radicales.

Raíz de una potencia Al contrario que en el caso anterior, la raíz de una potencia es igual a otra raíz con un índice que se obtiene de dividir el índice de la raíz entre el exponente de la potencia. Si coinciden el índice y el exponente nos quedamos con el número simplificado al máximo.

Potencia de un radical La potencia de una raíz es igual al radical de ese número elevado a la potencia que se elevaba el conjunto del radical.

UNIDAD IV: Descomposición factorial de expresiones algebraicas. La Factorización. En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma o resta, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

Lo contrario de la factorización de polinomios es la expansión, la multiplicación de los factores juntos polinómicas a un polinomio "ampliado", escrito como una simple suma de términos. Factorización de monomio y polinomio. Los factores de un monomio se pueden hallar por simple inspección, así: Monografias.com Para Factorar polinomios existen varios casos: Factor común: Se le llama factor común al mayor factor o factores iguales de todos los términos de un polinomio. Ejemplo: Agrupación de términos: En este caso de factorización, el polinomio presenta 4 ó 6 términos comúnmente. Como no existe un factor común a todos los términos debemos agruparlos de dos en dos, o de tres en tres, entre paréntesis, expresando las adiciones correspondientes, de tal forma que cada paréntesis sea factorizable por factor común. Luego el objetivo es lograr una expresión algebraica que sea factorizable nuevamente por factor común.

Trinomio cuadrado perfecto Estudiamos en los productos notables que: Los trinomios resultantes cumplen: Dos de sus términos son positivos cuadrados y perfectos. El término restante es el doble del producto de las raíces de los términos cuadrados. Todo trinomio que cumpla con las dos condiciones anteriores se considera como trinomio cuadrado perfecto. Un trinomio cuadrado perfecto es igual al producto de un binomio por si mismo lo que también equivale a elevarlo al cuadrado. Descomposición de trinomios cuadrados perfectos.

UNIDAD V: Ecuaciones lineales. En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Representación gráfica La intersección de dos planos que no son paralelos coincidentes es una recta. Un sistema con {\displaystyle n} n incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente. En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta. La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución. En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un único punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie. Para sistemas de 4 o más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta óptica. Tipos de sistemas lineales. Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos: Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre: Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución. Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones. Sistema incompatible si no tiene solución. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones con cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente y a continuación sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente.

UNIDAD VI: Ecuaciones Cuadráticas. Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales.

Ejemplo: 9x2 + 6x + 10

a = 9, b = 6, c = 10

3x2 - 9x

a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2 + 10

a = -6, b = 0, c = 10

Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:

1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Fórmula Cuadrática

Factorización Simple: La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.