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• Marcos Rojas Villanueva

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• Física Aplicada e Interdisciplinaria

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FACULTAD DE INGENIERIA QUÍMICA

Modelamiento Y Simulación De La Descarga De Un Tanque

CATEDRA

:ANALISIS Y SIMULACION DE PROCESOS

CATEDRATICO

:ING. GUEVARA YANQUI, PASCUAL VICTOR

ALUMNO

: ROJAS VILLANUEVA, MARCOS

SEMESTRE

:IX

HUANCAYO – PERU 2011

0

ÍNDICE TITULO

Pág.

ÍNDICE

1

RESUMEN

2

I.

3

INTRODUCCIÓN

NOMENCLATURA

5 iii

II.

6

MARCO TEÓRICO 2.1 Teorema de Torricelli

7

2.2 Vaciado de un Tanque

8

2.3 Ecuacion de Bernoulli III. 2.4 Efecto Bernoulli 2.5 Re y el carácter de flujo

9 10 10

2.6 Ecuacion Dimensional de las ecuaciones

11

2.7 Modelo Matematico

15

2.8 Balance de Materia y Energia

16

III.

METODOS Y MATERIALES

24

3.1 Materiales

25

3.2 Procedimiento Experimental

25

3.3 Datos Experimentales

25

3.3.1 Procedimiento experimental

25

3.4 Calculos Realizados 1

26

3.5 Calculos Realizados 2

30

3.6 Calculos Realizados 3

34

IV.

RESULTADOS Y DISCUSION

39

V.

REFERENCIA BIBLIOGRAFICA

40

VI.

ANEXOS

41

1

RESUMEN

La descarga de tanque, es quizá una de las practicas más utilizadas en la industria, para lo cual se construyó un tanque con las siguientes dimensiones: un diámetro de 12.5 cm y una altura de 16.1 cm, con un orificio de descarga de una altura de 9.7 cm, 9.0 cm, 7.9 cm y un diámetro de 0.3 cm para poder modelar el fenómeno de descarga. Para ello se utilizó el teorema de Torricelliy la ecuación de Bernoulli en un balance de materia para el tanque con los cuales se pudo obtener la ecuación del tiempo de descarga

t





2  D2   . H  h 2 2 g  C d .d  .

Se obtuvo teóricamente un coeficiente de descarga promedio de las tres corridas igual a 0.7919, el cual se encuentra en el margen aceptable. En la gráfica de tiempo vs desplazamiento la comparación de los datos teóricos y experimentales ajustándose geométricamente a la línea de tendencia. Notando como influía la cantidad de agua y la velocidad de descarga siendo la cantidad de agua en el tanque menor disminuía la velocidad de descarga y por consiguiente el caudal también.

2

I.

INTRODUCCION

En ciencias aplicadas un Modelo Matemático es uno de los tipos de modelos científicos, que emplea algún tipo de formulismo matemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades u operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad. El modelamiento matemático es el proceso de creación de una representación matemática de algún fenómeno en razón de conseguir un mejor entendimiento del fenómeno. Durante la construcción de un modelo, el modelista deberá decidir qué factores serán relevantes para el fenómeno y cuáles no serán necesarios para este fin. El modelamiento y la simulación con ayuda de las computadoras le dan al ingeniero la capacidad de evaluar más alternativas, en forma más detallada que lo que era más tedioso resolver mediante los cálculos manuales. Se sabe que existen simuladores que pueden ayudar a la realización de nuestros objetivos tales como CHEMCAD, ASPEN PLUS, LABVIEW, Microsoft Office EXCEL entre otros.

3

NOMENCLATURA

Cd

Coeficiente de descarga

d1

Diámetro del tubo (cm)

D

Diámetro del recipiente (cm)



Densidad del fluido (g / cm3)

g

Aceleración de la gravedad (cm2/s)

H

Altura del recipiente (cm)

P1 y P2

Presiones de los puntos 1 y 2 respectivamente

Q

Caudal (cm3/s)

Re

Numero de Reynolds

S1

Área del espejo del agua (cm2)

S2

Área del orificio de fuga (cm2)

tv

Tiempo de vaciado (s)



Viscosidad del fluido (kg/m.s)

v1 y v2

Velocidades del fluido en los puntos 1 y 2 respectivamente

v

velocidad del fluido (m/s)

4

OBJETIVO OBJETIVO GENERAL:  Realizar el modelamiento del fenómeno de descarga

en un recipiente

cilíndrico.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:  Construir un tanque cilíndrico para el trabajo práctico.  Hallar el modelo matemático de este fenómeno.  Aprender cómo afectan algunas variables al fenómeno de descarga.  Determinar el coeficiente de descarga teórico.  Comparar los datos experimentales respecto de los datos teóricos.

5

II.

MARCO TEÓRICO

Una placa orificio es una placa plana con un orificio. Cuando se coloca en forma concéntrica dentro de una tubería ésta provoca que el flujo se contraiga bruscamente conforme se aproxima al orificio y se expanda nuevamente al diámetro total de la tubería luego de atravesarlo. La corriente que fluye a través del orificio forma una vena contracta y la rápida velocidad del flujo resulta en una disminución de presión aguas abajo del orificio. Es por ello que en la descarga de fluidos a través de sistemas de procesos industriales es necesario tomar la medición correcta y exacta del volumen de líquido que se envasa en un tiempo determinado. Es decir, la medición del caudal real que pasa por el orificio de descarga. El caudal teórico es aquel que relaciona el área del recipiente y la velocidad que tiene el fluido para un instante dado. Generalmente el caudal real se reduce en un 60% del caudal teórico y esa relación da origen al llamado coeficiente de descarga de un orificio. El tanque se asume lo suficientemente grande para que la velocidad del fluido en este sea despreciable excepto para cerrar el orificio. En la vecindad del orificio, el fluido se acelera hacia el centro del hueco, así que cuando el chorro emerge este sufre una reducción de área debido a la curvatura de las líneas de corriente, una línea de corriente típica se muestra en la Fig.1 la reducción de área debido a esta curvatura local puede ser completa o cerca de la mitad del diámetro del orificio al final de la línea corriente en el plano del orificio, la reducción de área es usualmente conocida como vena contracta. La presión sobre la superficie del chorro en cualquier lado es la atmosférica.

Figura 1Diagrama del fluido a través del orificio

6

2.1 TEOREMA DE TORRICELLI: El teorema de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio. "La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio":[2]

Dónde: 

: velocidad teórica del líquido a la salida del orificio



: velocidad de aproximación.



: distancia desde la superficie del líquido al centro del orificio.



: aceleración de la gravedad

Para velocidades de aproximación bajas, la mayoría de los casos, la expresión anterior se transforma en:

Dónde: 

: velocidad real media del líquido a la salida del orificio



: coeficiente de velocidad. Para cálculos preliminares en aberturas de pared delgada puede admitirse 0.95 en el caso más desfavorable.

Tomando

=1

Experimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro de un orificio de pared delgada, es un poco menor que la ideal, debido a la viscosidad del fluido y otros factores tales como la tensión superficial, de ahí el significado de este coeficiente de velocidad.[3]

7

2.2 Vaciado de un tanque:

En hidrodinámica, la ley de Torricelli establece que la velocidad v de eflujo (o salida) del agua a través de un agujero de bordes agudos en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una altura (o profundidad) h es igual a la velocidad de un objeto (en este caso una gota de agua), que cae libremente desde una altura h; esto es,

,

donde g es la aceleración de la gravedad. Esta última expresión se origina al igualar la energía cinética,

, con la energía potencial, mgh, despejando v. Supongamos

que un tanque lleno de agua se deja vaciar por un agujero, por la acción de la gravedad. Queremos determinar la profundidad, h, del agua que queda en el tanque en el momento t. [2]

Si el área transversal del agujero es A0, en pies cuadrados, y la velocidad del agua que sale del tanque es del tanque, por segundo, es

, en pies por segundo, el volumen de agua que sale , en pies cúbicos por segundo. Asa, si V (t)

representa al volumen del agua en el tanque en cualquier momento t, [2]

Donde el signo menos indica que V está disminuyendo. Obsérvese que no tenemos en cuenta la posibilidad de fricción en el agujero, que podría causar una reducción de la tasa de flujo. Si el tanque es tal que el volumen del agua en cualquier momento t se expresa como V (t) = Awh, donde Aw son los pies cuadrados (ft2) de área constante del espejo (la superficie superior)

del agua, dV/dt=

Awdhldt.

Sustituimos esta

últimaexpresión en la ecuación y llegamos a la ecuación diferencial que deseábamos para expresar la altura del agua en cualquier momento t: [2]

8

Es interesante observar que la ecuación es válida aun cuando Aw no sea constante. En este caso, debemos expresar el área del espejo del agua en función de h: Aw = A (h). 2.3

ECUACIÓN DE BERNOULLI La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

(4)

Parámetros: En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

: Es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean



: Densidad del fluido.



: Velocidad de flujo del fluido.



: Valor de la aceleración de la gravedad (en la superficie de la Tierra).



: Altura sobre un nivel de referencia.

Aplicabilidad: Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos. Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 

El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.



Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).



Se considera que el líquido está bajo la acción del campo gravitatorio únicamente.

9

2.4 Efecto Bernoulli: El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluidofluya en horizontal un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá. Un ejemplo práctico es el caso de las alas de un avión, que están diseñadas para que el aire que pasa por encima del ala fluya más velozmente que el aire que pasa por debajo del ala, por lo que la presión estática es mayor en la parte inferior y el avión se levanta. 2.5 RE Y EL CARÁCTER DEL FLUJO Según algunos autores: 

Para valores del flujo se mantiene estacionario y se comporta como si estuviera formado por láminas delgadas, que interactúan sólo en función de los esfuerzos tangenciales existentes. Por eso a este flujo se le llama flujo laminar. El colorante introducido en el flujo se mueve siguiendo una delgada línea paralela a las paredes del tubo.



Para valores de

la línea del colorante pierde estabilidad

formando pequeñas ondulaciones variables en el tiempo, manteniéndose sin embargo delgada. Este régimen se denomina de transición. 

Para valores de

, después de un pequeño tramo inicial con

oscilaciones variables, el colorante tiende a difundirse en todo el flujo. Este régimen es llamado turbulento, es decir caracterizado por un movimiento desordenado, no estacionario y tridimensional.

10

2.6 ANALISIS DIMENSIONAL DE LAS ECUACIONES DE VARIACION Cada término de una ecuación debe tener las mismas unidades, entonces la relación entre los términos es una cantidad adimensional. Los números a dimensionales son útiles para correlacionar y predecir los fenómenos de transporte en flujo laminar y turbulento. Ecuación diferencial que describe la situación de flujo:

La ecuación de Navier – Stokes 2 Vy V V 1 P    2VX  Vy  2Vz  VX X  V y  Vz z  g    ......(1) x y z  x   x 2 y 2 z 2  Todos los términos tienen como unidades: g [=] m/s2

Adimensionalmente: g [=] longitud/tiempo2 [=] L/T2 [=] LT-2 Usando: Velocidad Característica: V Longitud Característica: L Considerando la Ec. (1), solo para el componente x en E.E. tenemos:

VX

VX 1 P    2VX g   x  x   x 2

 ......(2) 

Adimensionalmente:

V 2   P   V     [g]      2   L   L  L Donde:

V 2     Fuerza de Inercia L [ g ]  Gravedad  p    Fuerza de Pr esión  L   V   2   Fuerza Vis cos a  L 

11

Sabemos que:

V2 F .Inercia L [] L.V . Re  [ ]  V F .Vis cosa  L2 V2 F .Inercia V2 L Fr  [ ] [ ] F .Gravedad g L.g Donde: Re = Numero de Reynolds Fr = Numero de Froude

2.6.1 CORRELACION DE LA POTENCIA: Para estimar la potencia que se requiere para hacer girar el agitador dado con una velocidad determinada, es preciso disponer de correlaciones empíricas de la potencia (o del número de potencia) en función de otras variables del sistema. La forma de tales correlaciones puede encontrarse por análisis dimensional, en función de las medidas importantes del tanque y del rodete, la distancia del rodete al fondo del tanque, la profundidad del líquido, así como las dimensiones de las placas deflectores, así como el número de las placas deflectoras. Las variables que intervienen en el análisis son las medidas importantes del tanque y del rodete, la viscosidad  y la densidad  del líquido, la velocidad de giro n y puesto que se aplica la ley de Newton la constante adimensional gc. Cuando se ignoran temporalmente los factores de forma y se supone que el líquido es newtoniano, la potencia es una función de las restantes variables, o sea: Donde:

P   n, Da , gc,  , g ,  , Dt , E , L, W , J , H , X , Y 

NOTA: X é Y son números de paletas adimensionales; son variables que no se usan en el análisis dimensional. n = Velocidad angular [1 t ] Da = Diámetro del Agitador [L] gc = Gravedad específica u = Velocidad absoluta g = gravedad  = densidad

ML ] teF M [ ] Lt L [ 2 ] t M [ 3 ] L [L]

[

Dt = Diámetro del tanque E = elevación que tiene el impulsor con respecto al fondo del tanque L = ancho de la paleta [L] W = altura de la paleta [L] J = ancho del deflector [L] H = altura del tanque [L] X = número de placas deflectoras Y = número de placas del rodete

[L]

12

P = potencia

[

FL2 ] t

Como existen variables con las mismas dimensiones se tiene en cuenta solamente una de ellas para el análisis añadiendo al final a los grupos adimensionales que resultan del mismo, las razones a que conduzcan los cocientes de las variables restantes de las mismas dimensiones por la tomada en consideración.Estas razones adimensionales adicionales suelen denominarse factores de forma. En el sistema las variables que tienen las mismas dimensiones son: Da, Dt, E, L, W, J, H, Tomando en consideración Da para formular los factores de forma, dividiendo a cada variable entre ésta se tiene que: S1  Da Dt S 2  E Da S 3  L Da S 4  W Da S 5  J Dt y

S 6  H Dt Entonces:

P   n, Da , gc,  , g ,  , Dt , E , L, W , J , H , X , Y 

(1)

Agregando los factores de forma a los grupos adimensionales que se encuentran.

P   na Da b gcc u d g e   f a

c

d

(2) e

 FL  1 b  ML   M   L   M     L  t  t   t 2 F   Lt   t 2   L3             

FLt   t  L MLt 1

1 a

b

2

F 1

 ML c

1

t 1

f

(3)

 Lt  ML  d

2 e

3 f

F: 1  c  c  1 L: 1  b  c  d  e  3 f t:  1  a  2c  d  2e M: 0  c  d  f  1  d  f Despejando: Luego: c  1 c  1 2  bd e3f d  1 f 3  a  d  2e a  3  2e  f 1 d  f b  5e2f Sustituyendo estos valores en la ecuación 2:

P  n3 2e  f Da 5e  2 f gc1 u 1 f g e   f 1 n3n f Da3 Da2 f 1 1 e f 1 P  2e g  n Dae gc u f e

 Pgc   nDa2    n 2 Da   n3 Da5        g       

f

13

Luego se tiene que:

 nDa2  n 2 Da  Pgc     ; n3 Da5  g    Teniendo en cuenta los factores de forma:

 nDa2  n2 Da  Pgc    ; ; S1 , S2 , S3 ,...,Sn  3 5 n Da  g    El primer número adimensional es el numero de potencia el segundo es el número de Reynolds y el tercero es el número de Froude.

N P   N Re , N F r , S1 , S 2 , S3 ,... S n 

Considerando el grupo adimensional rodete u2 es igual a Dan

N Re

nDa 2 

Puesto que la velocidad al extremo del

 NDa 2  nDa Da  u2 Da     y este grupo es   

proporcional al número de Reynolds calculado a partir del diámetro y de la velocidad periférica del rodete. Esta es la razón del nombre del grupo.

14

2.7 MODELO MATEMÁTICO La construcción de un modelo matemático para un proceso, puede ser una tarea difícil, en la cual se combinan el conocimiento con la experiencia. También es importante trabajar en conjunto con especialistas en las diferentes áreas. UNIDAD DE PROCESO

ECUACIONES QUE DESCRIBEN EL PROCESO

PRINCIPALES VARIABLES DE PROCESO

MODELO DINAMICO MODELO ESTATICO RELACIONES ENTRE VARIABLES CONDICIONES DE

BASICAS

RELACIONES

CONTORNO

ENTRE VARIABLES FUNCIONES DE TRANSFERENC

ECUACIONES DIFERENCIALE S

EC. PARA ELEMENTOS DEL PROCESO

IA

OPTIMIZACIÓN ESTATICA

MODELAMIENTO MATEMATICO COMPLETO

RECOMENDACIONES PARA CONTROL DE OPERACIONES

OPTIMIZACIÓN DINAMICA

15

Para comenzar, es investigado el modelo de flujo de un proceso elemental para suministrar una base al modelo matemático. Después sigue la cinética de las reacciones químicas, transferencia de masa y energía las cuales son evaluadas a la luz del modelo de flujo ya antes fijado. Luego se efectúa una formulación matemática para cada proceso, y estas formulaciones individuales (usualmente en la forma de una función de transferencia) son combinadas para construir una descripción matemática total del sistema.

2.8 BALANCE DE MATERIA EN EL TANQUE 2.8.1 Ecuación general de Balance de Materia en estado No Estacionario:

[

]

[

]

[

]

[

[

]

]

Para las condiciones de problema: 

Generación de masa = 0



Consumo de masa = 0  t



VC

 .dV     v.n dA CS

Desarrollando:  t



 t

VC



.dV    .v.dA   .v.dA

VC

ES

SS

 .dV   e .ve .dAe   s .v s .dAs

16

Suposiciones: 

Fluido Incompresible (ρ = cte)



No hay ingreso de materia (ve = 0)

Dónde: ve = velocidad de entrada de materia Ae = área de entrada vs = velocidad de salida de materia As = área de salida V = volumen de control Sustituyendo en la ecuación anterior:  t



VC

 .dV    .v s .dAs

Integrando la ecuación anterior: dV  v salida . Asalida dt

(1)

Dónde: dV = A1.dh Vsalida.Asalida = Qsalida = Q2 = v2.A2 A1 .

dh  v 2 . A2 dt

(2)

Ahora se requiere de una expresión que relacione el caudal de salida en función a la altura del tanque, para ello recurrimos a la ecuación general de Balance energético de entre los puntos (1) y (2):

2.8.2 Ecuación general de Balance de Energía en estado No Estacionario:  m.v 2 U    2.g c

  m.g.z       P.V   q  w ……………….. (3)   gc 

Dónde:

U = variación de la energía interna  m.v 2   2.g c

  = variación de la energía cinética 

 m.g .z   = variación de la energía potencial   gc   P.V  = variación de la energía de presión

17

q = calor suministrado al fluido desde el entorno w = trabajo realizado por el fluido hacia el entorno Teniendo en cuenta que el término ∆U incluye todos los incrementos de energía interna que tiene lugar en el fluido así: 2

2

2

2

U   TdS   P(dV )   d   dm 1

1

1

1

(4)

Además: 2

2

( P.V )   VdP   PdV 1

1

(5)

Reemplazando (4) y (5) en la ec(3): 2 2 2 2  m.v 2   m.g.z  2        VdP   PdV  q  w …(6) TdS  P (  dV )   d    dm   1 1 1 1 1 1  2g c   gc  2

Debido a las irreversibilidades ocasionadas por fricción, el término T.dS es mayor que el calor absorbido del entorno por el fluido, pero si a este le sumamos un término que represente la energía disipada de modo irreversible en el fluido (lw) podemos escribir: 2

 TdS  q  l 1

w

Suposiciones para la ecuaciónanterior:



2

dm  0

-

Efectos químicos despreciables

-

Efectos superficiales despreciables

1

2

 d  0 1

Reemplazando la ecuación queda como sigue:

 m.v 2 q  l w    2g c

  m.g.z  2       VdP  q  w   gc  1

(7)

Referida para la unidad de masa:

 v2   2g c

2 dP   g .z         w  l w   gc  1 

Respecto a la unidad de peso:

 v2   2g 

 2   z   dP   wg c  l w g c 1   g g 

(8)

18

Suposiciones: 

Trabajo producido hacia el entorno nulo(w = 0)



Energía Disipada de modo irreversible des preciable (lw = 0 )

Aplicando las suposiciones obtenemos la ecuación de Bernoulli:

 v2   2g 

   z   P  0   

(9)

Dónde: P  : Representa la perdida de carga por fricción en el tanque (h ), por lo tanto: f

 v2   2g 

    z   h f  0  

(10)

La pérdida de carga es expresada mediante: 2

L v hf  f . . 2 D 2g

(11)

Dónde: f = factor de fricción que depende principalmente del diámetro y de la velocidad de flujo. L = longitud total de canalización = Lequivalente + h Lequivalente = depende principalmente de la geometría y accesorios h = altura del fluido en un tiempo t D = diámetro de flujo del tanque V2 = velocidad de flujo de salida del liquido g = gravedad

Las pérdidas de carga depende principalmente de: 

las dimensiones del tanque.



la altura del fluido en cualquier tiempo (t).



la velocidad de flujo de salida del líquido (v).

Por lo tanto puede estar considerado dentro del coeficiente de descarga (Cd), ya que este coeficiente depende también principalmente de los mismos criterios, el mismo que es específico para la estructura física del sistema y será determinado experimentalmente.

19



Reemplazando (10.1) en ec.(10)

 v 2 2 v1 2    2g 2g 

  2   z 2  z1  f  L  v 2   0   D  2 g  

Suposiciones: 

v1