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República Bolivariana de Venezuela Universidad Nacional Experimental “Francisco de Miranda” Área Cs de la Salud Programa de Ingeniería Biomédica Matemática III

Integrales dobles y triples

Autores: Br.Medina, David CI: V-26084830 Br.Lemoine, Sebastián CI: V-25010860 Br.Ventura, Saray CI: V-24495297

Santa de Ana de Coro; 2014

Introducción Una integral definida es principalmente usada para encontrar el área bajo una curva sin embargo ciertos tipos de datos no pueden ser calculados por lo que se crearon las integrales múltiples con el propósito de calcular específicamente los volúmenes limitados por una superficie plana algo que una que no puede ser realizado a través de una integración común de un solo digito.

Integral doble: Se refiere al área bajo de una figura plana entre dos funciones, límite superior una función f(x) y límite inferior una función g(x) Calcule, empleando integrales dobles, el área comprendida entre dos círculos concéntricos de radios 2 y 4. Solución: Considere una corona circular con centro en el origen de las coordenadas tal como se observa a continuación.

x2 + y2 = 4 Como A = ∫d∫d dydx y la región D es simétrica respecto al origen,entonces para simplificar el cálculo de área, sólo se evaluará A1 = ∫∫d1 dydx , donde A1 es el área de la región D que se encuentra en el primer cuadrante, denotada como D 1 , de manera que: A 1 = 4A 1 La región denotada como D1,

Luego: A1=∫∫ D1 dydx + ∫∫D 1 B D1a= {( x,y) }0≤x≤2∧ 4-x2≤y≤16-x2 } D1b={(x,y)2≤x≤4∧0≤y≤16-x2} A =∫∫16-x2 dydx+∫∫16-x2 dydx A =∫(16-x2− 4x-2dx +=∫16-x2 dx A =∫(23+ π) +(-2 8 =) = 3π

A = ∫∫d dydx =12π la integral ∫∫f (x,y ) dA representa el volumen del sólido S definido sobre la región D y bajo la gráfica de la función f ; sin embargo, la integral doble también puede emplearse para determinar el volumen de un sólido más general.

Volumen de una región solida: Sean f :R2 →R y g :R2 →R dos funciones reales, continuas en una región bidimensional D, tales que f ( x, y) ≤ g (x, y) ∀( x, y)∈D . Sea V el volumen del sólido acotado .Superiormente por la gráfica de la función g y acotado inferiormente por la gráfica de la función f, entonces: V = ∫∫D g x .y − f x ,y Da Ejemplo: Dibuje el sólido S acotado por las superficies: z = 2 x2 + y2 y z = 20 − x2 − y2 y plantear su volumen empleando integrales dobles. Solución: En la figura 3.10 se muestra el sólido S de este ejemplo, donde la superficie superior es z = 20 − x2 − y2 y la superficie inferior viene dada por la ecuación z = 2 x2 + y2 .

La superficie definida por la ecuación: z = 20 − x2 − y2 Es una semiesfera (parte superior). La superficie definida por la ecuación: z = 2 x2 + y2 Es un cono El volumen del sólido S, mostrado en la figura anterior, se obtiene mediante la integral doble:

V = ∫∫20− x – y-2 x + y dA donde D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta proyección, para este ejemplo, resulta ser un círculo con centro en el origen, al que se obtiene en la intersección de las dos superficies z =2x + y⇒2 20x + y 4(x2 + y2 ) = 20 − x2 − y2 ⇒ x2 + y2 = 4 Entonces: D = {(x, y) x2 + y2 ≤ 4}

Donde D es una región tipo 1 y también tipo 2, pero en este ejemplo se trabaja como una región tipo1 Es decir, D = {(x, y) − 2 ≤ x ≤ 2 − 4 − x2 ≤ y ≤ 4 − x2 } Volviendo a la integral de volumen, se tiene que: V=∫20−x−y−2 x +y dydx Ahora, para resolver esta integral se requiere un procedimiento muy riguroso y largo, por lo cual a continuación sólo se presenta el resultado de esta integral, el cual fue obtenido con software matemático V = ∫∫dA =19,77678464 Dibuje el sólido S acotado por las superficies: z = 4 + xy y z =1 y dentro del cilindro x2 + y2 ≤1, calcule su volumen empleando integrales dobles. Solución: En la figura siguiente se aprecia el sólido S, acotado por las superficies z = 4 + xy y z =1 y dentro del cilindro x2 + y2 ≤1.

El volumen del sólido S, se obtiene mediante la integral doble: [4 1] [3 ] DD V = ∫∫ + xy − dA =∫∫ + xy dA donde D es la proyección del sólido S en el plano xy ejemplo: Dibuje el sólido S acotado por z =1+ x3 y + xy3 , z = 0 , y = x3 − x y

y = x2 + x y calcule su volumen empleando integrales dobles. Solución: En la figura 3.14 se observa el sólido S, acotado superiormente por z =1+ x3 y + xy3 e inferiormente por z = 0 ; mientras que las superficies y = x3 − x y y = x2 + x definen las paredes de dicho cuerpo tridimensional.

Donde, el volumen del sólido S, se obtiene como: 1330133 DD V = ∫∫ + x y + xy − dA =∫∫ + x y + xy dA Al proyectar el sólido anterior en el plano xy, se obtiene la región bidimensional D

Por lo tanto, la región D se define como: D = {(x, y) −1≤ x ≤ 0 x2 + x ≤ y ≤ x3 − x} La integral de volumen queda como:

V =∫ ∫x+ y x y dydx – V = ∫∫1+ x+ y + xy Da

Propiedades de integrales dobles: Linealidad: La integral doble es lineal ∫∫R (af(x,y)+bg(x,y))dA=a∫∫Rf(x,y)dA+b∫∫Rg(x,y)dA Aditividad del dominio de integración: La integral doble es aditiva sobre rectángulos que tengan en común como mucho un segmento de recta: ∫∫R1∪R2f(x,y)dA=∫∫R1f(x,y)dA+∫∫R2f(x,y)dA , si Área(R1∩R2)=0 Acotación: Si f(x,y)≤g(x,y) en casi todos los puntos (en casi todos los puntos significa en todos los puntos menos en un número finito) de R, entonces ∫∫Rf(x,y)dA≤∫∫Rg(x,y)dA En consecuencia, si f(x,y)≥0 en casi todos los puntos de R, ∫∫Rf(x,y)dA≥0 y si f(x,y)≤0 en casi todos los puntos de R, ∫∫Rf(x,y)dA≤0 Acotación modular: Para cualquier f integrable en R, ∫∫Rf(x,y)dA ≤∫∫R|f(x,y)|dA Centro de masa y momento de inercia: El centro de masas y el momento de inercia son propiedades geométricas, no dependientes de ningún otro parámetro y de gran importancia a la hora de diseñar ciertas estructuras o componentes. Ambos están relacionados en el sentido de que en muchos casos para calcular la inercia (sobre todo en figuras compuestas por varios rectángulos) es necesario conocer el centro de masas para aplicar el Teorema de Steiner. A continuación vamos a ver ambos conceptos por separado.

Centro de masas: Podemos decir que el centro de masas es el punto donde se concentra la masa de un sólido o sistema material de puntos. Por ejemplo, si tenemos una esfera, podemos aproximar su comportamiento al de un punto localizado en su centro y con una masa igual a su densidad por el volumen. El centro de masas tiene infinidad de utilidades. Por ejemplo, las leyes de Newton solo pueden aplicarse a sistemas de puntos materiales. De una forma más práctica, en el diseño de automóviles, es importante que el centro de masas esté en una posición relativamente baja para tener una mayor estabilidad. Mientras que en un turismo normal el centro de masas se encuentra aproximadamente a 1100 mm, en un coche tipo Ferrari, está muy por debajo para conseguir un mejor agarre al terreno. Para calcular el centro de masas solo es necesario multiplicar la masa de cada punto o elemento, por su distancia al eje dividiéndolo después por el área total para obtener así unidades de longitud. Utilizar esta expresión nos permite determinar por ejemplo, que el centro de masas de un sistema de dos puntos está en la recta que los une, el de un anillo en su centro, en un rectángulo en el punto donde se cortan las diagonales etc. A continuación se presenta una tabla con algunos centros de masa importantes:

Ejemplos: 





Momentos de Inercia: Inercia es una palabra que utilizamos demasiado a menudo de forma que según la RAE, la inercia es: 1. f. Mec. Propiedad de los cuerpos de no modificar su estado de reposo o movimiento si no es por la acción de una fuerza. Por ejemplo cuando empujamos algo que se mueve linealmente, solemos decir que tiene mucha inercia. Sin embargo, esto no es del todo correcto puesto que la inercia es, estrictamente hablando, la resistencia a los cambios en la rotación de un objeto. La inercia puede calcularse mediante la el producto masa por distancia al cuadrado, o en caso de tratarse de una densidad constante y para una geometría continua, de la manera siguiente:

Veamos a continuación como calcularlo para un triángulo:

La inercia es una propiedad muy importante en dinámica y estática. Por ejemplo en resistencia de materiales, es un parámetro fundamental pues es necesaria para calcular la tensión en una sección debida a la aplicación de un momento en la estructura. Debido a que es inversamente proporcional a la tensión que sufre la sección en cuestión, es preferible diseñar estructuras con una alta inercia, minimizando así la solicitación. Debido a lo anterior, somos capaces de deducir los “extraños” perfiles de algunas vigas. Por ejemplo el motivo para utilizar vigas con sección de doble T es que al ser la inercia proporcional a la distancia, normalmente es preferible localizar el material en posiciones con una mayor distancia a la periferia, esto es, lo más alejados posibles del centro de gravedad.

Integral triple: Si f es una función acotada y, existe el elección de

y no depende de la

Los entonces se dice que f es integrable, y al valor de este límite se le llama integral triple sobre R, y se representa

Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1, entonces volumen.

= V representa el

Propiedades. Se cumplen las mismas propiedades que en la integral doble. 

1. Toda función continua es integrable



2. Linealidad, monotonía y aditivita



3. Teorema de Fubini para integrales triples por el cual toda integral triple se puede hallar por integración reiterada.

Integrales triples sobre regiones más generales Se repite el mismo proceso que en las integrales dobles. Se consideran los siguientes tipos de regiones: Tipo I: paredes frontal y posterior rectas).

(paralelepípedo con

Las regiones del tipo II son aquellas en las que paredes izquierda y derecha planas).

(paralelepípedos con

Las regiones del tipo III son aquellas en las que e fondo y tapa planas).

(paralelepípedos con

Sus integrales triples se resuelven de manera análoga. Las regiones del tipo IV son aquellas que se pueden expresar indistintamente como regiones de los tipos I, II o III. Integrales triples en coordenadas cilíndricas Es importante recordar las fórmulas de transformación de coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesians y las expresiones que ya se vieron de los elementos diferenciales de volumen: x = rcosq; y = r senq; z = z ; dV = rdrdqdz . Entonces si f es una función continua en una región R del espacio, tenemos:

Ejemplo. Calcular

donde D es la región limitada por un cilindro de radio 2 y altura 5. R/

Nótese que el resultado es exactamente el que se esperaba, el volumen de un cilindro de radio 2 y altura 5. Integrales triples en coordenadas esféricas Es importante recordar las fórmulas de transformación de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas y las expresiones que ya se vieron de los elementos diferenciales de volumen: x = rsenfcosq; y = rsenfsenq; z = rcosf; dV = r2senfdqdfdr. Entonces si f es una función continua en una región R del espacio, tenemos:

Ejemplo. Calcular

donde D es la región limitada por una esfera de radio 5. R/

Y el resultado es el esperado, o sea el volumen de una esfera de radio 5.

Conclusión Las integrales múltiples son un concepto de naturaleza irremplazable en el campo de la matemática y la física gracias a su uso en los cálculos de volúmenes también además de que también pueden ser usadas para hallar las áreas de una superficie y poseen un papel importante cuando es necesario el realizar cálculos de masa, carga eléctrica, centros de masa y momento de inercia.

Bibliografía http://www.unioviedo.es/bayon/mm/intmul http://es.scribd.com/doc/30477344/Integrales-Dobles-01-01 http://www.uhu.es/07021/ficheros/Temas/amte04.pdf http://calculoavanzado.usach.cl/Apunte/Integrales/Ejercicios%20Resueltos%20I ntegrales%20Dobles%20y%20Triples%202011.pdf

http://www.monografias.com/trabajos78/integrales-triples/integralestriples.shtml#integralta#ixzz3LAS9WANd http://www.giematic.unican.es/intMultiple/ejercicios/Teorprointdob.html http://es.slideshare.net/claualemana/concurso-adjunta-claudia http://www.elrincondelingeniero.com/centro-de-masas-e-inercia/ http://bjglez.webs.ull.es/tema5met.pdf