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TRABAJO COLABORATIVO PASO 2. CÁLCULO PROPOSICIONAL E INFERENCIA LÓGICA

HAROLD MATEO CAICEDO COD. PAOLA ANDREA CASTRO COD. EUNICE LORENA GONZALEZ HOYOS COD. 65555408 JOSE WILLIAN MORA COD.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD PROGRAMA DE LICENCIATURA EN MATEMATICAS CURSO DELOGICA MATEMATICA NOVIEMBRE DE 2017

INTRODUCCION

El presente trabajo contiene el desarrollo del trabajo grupal del paso 2, de la primera unidad “Cálculo proposicional e inferencia lógica” donde se emplea una estrategia de aprendizaje que espera que los estudiantes estén en capacidad de solucionar ejercicios, problemas y preguntas orientadoras desde los conocimientos desarrollados además de resolver situaciones de su entorno. En el trabajo se elabora un informe en pdf, donde se compilan los aportes de la actividad grupal a lo largo del proceso en el foro del mismo, abarcando las participaciones de cada uno de los integrantes con la solución a las preguntas generadoras propuestas y demás temas vistos.

Para los estudiantes, la lógica es muy importante, ya que ésta proporciona características del razonamiento, dando claridad y concisión para la concentración en lo esencial de un contexto.

TRABAJO COLABORATIVO Preguntas generadoras: 

Un buque que se encuentra anclado en un atracadero tiene fija a unos de sus costados una escalera en la que la diferencia de altura entre cada peldaño es de 50 cm. Si el agua está a nivel del segundo escalón y la marea empieza a subir a razón de 50 cm por hora. ¿Al nivel de qué escalón se encontrará el agua tres horas después?

RESPUESTA: Como es lógico pensar, al transcurrir cada hora el agua taparía un peldaño más, entonces para tres horas siguientes estaría en el 5 peldaño, pero se debe tener en cuenta que el buque flota, por tanto, a medida que la marea sube él lo hace también y se mantendrá al nivel del segundo peldaño. 

Al leer cada uno de los siguientes textos ¿Cuál sería el orden lógico de los párrafos para tener un texto coherente?

a) b) c) d)

Cuando Edison lo vio lo único que dijo fue: Gracias a Dios, podemos empezar de nuevo En aquel momento tenía 67 años El laboratorio de Thomas Edison fue prácticamente destruido por un incendio en diciembre de 1914 Que se pensaba no iba arder Aunque el laboratorio era de cemento Sin embargo, cuando su hijo Charles encontró a Edison Con su cabello blanco ondeando en el viento “este incendio es de gran valor, todos nuestros errores se están quemando con el” Por lo tanto, gran parte del trabajo de Edison se destruyó esa noche Tres semanas después del incendio Edison fabricó su primer fonógrafo.

e) f) g) h) i) j) k)

RESPUESTA: d,f,e,j,g,c,h,a,i,b,k Quedaría así: El laboratorio de Thomas Edison fue prácticamente destruido por un incendio en diciembre de 1914, aunque el laboratorio era de cemento, que se pensaba que no iba a arder. Por lo tanto, gran parte del trabajo de Edison se destruyó esa noche.

Sin embargo, cuando su hijo Charles encontró a Edison, en aquel momento tenía 67 años, con su cabello blanco ondeando en el viento; cuando Edison lo vio lo único que le dijo fue: “Este incendio es de gran valor, todos nuestros errores se están quemando con él, Gracias a Dios podemos empezar de nuevo". Tres semanas después del incendio Edison fabricó el primer FONÓGRAFO.



En Turquía se acostumbraba que los reos condenados a muerte eligieran la forma de morir, para ello deberían de decir una proposición. Si la proposición era verdadera lo decapitaban y si era falsa lo ahorcaban. El día del juicio un reo judío dijo la siguiente proposición: “Seré ahorcado” y continuó “Si me ahorcan van a quebrantar la ley puesto que lo que he dicho es verdad, por lo tanto, deberían de decapitarme; pero si me decapitan, también van a quebrantar la ley puesto que lo que he dicho es falso”. ¿Qué hacen con el judío, lo decapitan, lo ahorcan, lo dejan libre? LA RESPUESTA es que lo ahorcan, porque al contradecirse miente, pasa en la vida real cuando alguien se contradice, no hay fundamentos, por tanto la información no se toma como verdadera. El reo se contradijo, usando la parábola para distorsionar la información y que el receptor se confundiera, su razón era engañar, por eso termina ahorcado.

2. Verifique, con tablas de verdad, que los siguientes condicionales son tautologías

( p ∧ q) → ( p → q) P V

q v

P^q v

P →q v

(P^q)→( P→q) v

V

f

f

f

v

F

v

f

v

v

F

f

f

v

v

RESPUESTA: Es tautología. 3. Utilice una tabla de verdad para verificar la ley distributiva: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

P V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

qvr V V V F V V V F

p ∧ (q ∨ r) V V V F F F F F

P^q V V F F F F F F

P^r V F V F F F F F

(p ^ q) v (p ^ r) V V V F F F F F

Son Equivalentes.

4) ¿Que reglas de inferencia se utilizan en las siguientes deducciones? 

Alicia estudia matemáticas. Por tanto, Alicia estudia o bien matemáticas o bien ingeniería

P= Alicia estudia matemáticas q= Alicia estudia ingeniería P____ :. P ⋁ q………………. CONCLUSIÓN Regla de la adición 

Henry estudia matemáticas e ingeniería. Por lo tanto, Henry estudia matemáticas P= Henry estudia matemáticas q= Henry estudia ingeniería

p⋀q ∴p ……………………….. CONCLUSIÓN Regla de simplificación



Si llueve , se cierra la piscina. Llueve; por tanto , está cerrada. p= llueve q =se cierra la piscina

P P=>q ………………………CONCLUSIÓN ______ ∴q Regla Modus ponens 

Si nieva hoy, se cerrará la universidad. La universidad no está cerrada hoy. Por tanto, no nieva hoy. P= nieva hoy q= Hoy se cerrará la universidad

p→q y ~q …… premisas ~p

……. CONCLUSIÓN

p→q ~q -------------:.~p Regla modus tollens



Si voy a nadar, entonces estaré al sol demasiado tiempo. Si estoy al sol demasiado tiempo, me quemaré. Por tanto, si voy a nadar me quemaré.

P= voy a nadar q = estoy al sol demasiado tiempo r= me quemaré premisas: P →q

y

q→r Conclusión= P →r p→q q→r ----------------------:. P→r Regla de Silogismo hipotético

5) Demuestre que la conclusión es consecuencia lógica de las premisas dadas.

Si el reloj esta adelantado, entonces Juan llego antes de las diez y vio partir el coche de Andrés. Si Andrés dice la verdad, entonces Juan no vio partir el coche de Andrés. O Andrés dice la verdad o estaba en el edificio en el momento del crimen. El reloj esta adelantado. Por lo tanto, Andrés estaba en el edificio en el momento del crimen.

P= el reloj esta adelantado => q= juan llego antes de las diez vio partir el coche de Andrés P=> q q___________ :. q r= Andrés dice la verdad ~q Juan no vio partir el coche de Andrés r=> ~ q  ~q :.=>~ r (Andrés no dice la verdad)

O Andrés dice la verdad o s= Andrés estaba en el edificio en el momento del crimen r ˅s P= el reloj esta adelantado 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

P=> q r=> ~ q r˅s P q MPP ( 1,4) ~r MMT (2,4) q MMM (5,2)

Conclusión: Andrés estaba en el edificio en el momento del crimen

BIBLIOGRAFIA

- Lewin, R. (2010 ). Teoría de conjuntos. Recuperado de:

http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?p pg=3&docID=10526962&tm=1480955380279 -Cardona, S.(2010). Lógica matemática para ingeniería de sistemas y computación. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?p pg=1&docID=10565960&tm=1480954958178 - Domingo A. (2009). Lógica matemática. Junio 14 de 2014. De monografías. Sitio web: http://www.monografias.com/trabajos-pdf3/logicamatematica/logica-matematica.pdf . Ruiz, P. (2014).Pensamiento lógico matemático. Recuperado de: http://pedroruiz69.wixsite.com/pensamiento-logico-matematico http://documentos.mideplan.go.cr/alfresco/d/d/workspace/SpacesSt ore/6a88ebe4-da9f-4b6a-b366-425dd6371a97/guia-elaboraciondiagramas-flujo-2009.pdf

TRABAJO INDIVIDUAL PASO 2. CÁLCULO PROPOSICIONAL E INFERENCIA LÓGICA

EUNICE LORENA GONZALEZ HOYOS COD. 65 555 408

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD PROGRAMA DE LICENCIATURA EN MATEMATICAS CURSO DELOGICA MATEMATICA CEAD GIRADOT NOVIEMBRE DE 2017

INTRODUCCION

El presente trabajo contiene el desarrollo de la PARTE INDIVIDUAL del paso 2, de la primera unidad “Cálculo proposicional e inferencia lógica” que emplea una estrategia de aprendizaje para que el estudiante esté en capacidad de solucionar ejercicios, problemas y preguntas desde los conocimientos desarrollados a lo largo del curso.

EJERCICIOS TRABAJO INDIVIDUAL

1. ¿Cuáles de las siguientes frases son proposiciones? ¿Cuál es el valor de verdad de aquellas que son proposiciones? o Cali es la capital de Colombia. RTA. Es una declaración, por lo tanto, es una proposición, porque podemos decir si es verdadera o falsa. Valor de verdad: FALSA o Buenos Aires es la capital de Argentina. RTA. Es una declaración, por lo tanto, es una proposición, porque podemos decir si es verdadera o falsa. Valor de verdad: VERDADERA o 2+3=5. RTA. Es una expresión cuyo valor de verdad es VERDADERA. Luego es una proposición. o ¿qué día es hoy? RTA. Es una pregunta que se hace, carece de valor de verdad, es decir, no se puede afirmar si es verdadero o falso, luego no es una proposición.

2. ¿Cuál es la negación de cada uno de los siguientes enunciados? o Hoy es jueves. NEGACION: Hoy no es jueves o No hay polución en Bogotá. NEGACION: Hay polución en Bogotá.

o 2+1=3. NEGACION: 2+1 ≠3 o El verano de Villavicencio es cálido y soleado. NEGACION: El verano de Villavicencio no es cálido ni soleado.

3. Sean p y q los enunciados p: “Está permitido nadar en la costa de Cartagena” q: “Se han divisado tiburones cerca de la costa” Exprese cada una de las siguientes proposiciones en lenguaje natural.

a. ~ q

------------ No se han divisado tiburones cerca de la costa

b. P ⋁ q------------ Está permitido nadar en la costa de Cartagena o Se han divisado tiburones cerca de la costa.

c. P ⋀ q -------------- Está permitido nadar en la costa de Cartagena y Se han divisado tiburones cerca de la costa.

d. ~p ⋁ q ----------- No está permitido nadar en la costa de Cartagena o Se han divisado tiburones cerca de la costa.

4. Sean p y q los enunciados p: “Estamos bajo cero” q: “Nieva” Escriba los siguientes enunciados utilizando p, q y conectivos lógicos:

a) Estamos bajo cero y nieva. RTA: p ∧ q b) Estamos bajo cero, pero no nieva. RTA: p ∧ ~q

c) No estamos bajo cero y no nieva. RTA: ~p ∧ ~q d) Bien estamos bajo cero o bien nieva (o ambas cosas). RTA: (p V q)

V

(p ∧ q)

5. Sean p y q los enunciados p: “Conduces a más de100 Km/h” q: “Te multan por exceso de velocidad” Escriba los siguientes enunciados utilizando p, q y conectivos lógicos: a. No conduces a más de 100 Km/h. RTA:

~P

b. Conduces a más de 100 Km/h, pero no te multan por exceso de velocidad. RTA:

P

∧ ~q

c. Te multarán por exceso de velocidad si conduces a más de 100 Km/h. RTA : q ↔ p

d. Si no conduces a más de 100 Km/h no te multarán por exceso de velocidad. RTA : ~p → ~ q

e. Conducir a más de 100 Km/h es suficiente para que te multen por exceso de velocidad.

RTA : p → q

6.Sean p, q y r los enunciados: p: “Se han visto osos pardos por la zona” q: “Es seguro caminar por el sendero” r: “Las bayas del sendero están seguras”. Exprese los siguientes enunciados utilizando p, q, r y conectivos lógicos: a. Las bayas del sendero están seguras, pero no se han visto osos pardos por la zona. RESPUESTA: r ⋀ ~p

b. No se han visto osos pardos por la zona y es seguro caminar por el sendero, pero las bayas del sendero están seguras. RESPUESTA: (~P⋀q) ⋀ r c. Si las bayas del sendero están seguras, es seguro caminar por el sendero, si y solo si , no se han visto osos pardos por la zona.

RESPUESTA: (r → q )↔ ~ p

7.Escriba cada uno de los siguientes enunciados en la forma “si p, entonces q”.

a. Nieva siempre que el viento sopla del noreste. RTA. Si sopla el viento del noroeste entonces nieva. b. El manzano florecerá si el tiempo se mantiene cálido durante una semana. RTA. Si se mantiene el tiempo cálido durante una semana, entonces el manzano florecerá. c. Que el Real Madrid gane el campeonato implica que venció al Barcelona. RTA. Si el real Madrid ganó el campeonato entonces venció al Barcelona. 8.Escriba cada uno de los siguientes enunciados en la forma “p si, y sólo si q”. a) Si hace calor afuera, te compras un helado, y si te compras un helado, hace calor afuera. RTA: Compras un helado si y solo si hace calor afuera. b) Para ganar la rifa es necesario y suficiente tener el número ganador. RTA. Ganas la rifa, si y solo si tienes el numero ganador. c) Ascenderás sólo si tienes contactos, y tienes contacto sólo si asciendes. RTA. Ascenderás si y solo si tienes contactos.

9.Enuncie la recíproca, la contra recíproca y la inversa de cada uno de los siguientes condicionales.

a. Si un entero es par, entonces es divisible por 2.

RECIPROCA: Es divisible por 2 entonces si es un entero. CONTRA RECIPROCA: No e s divisible por 2 entonces si un entero no es par. INVERSA: Si un entero no es par, entonces no es divisible por 2

b. Voy a clases siempre que vaya a haber un control. RECIPROCA: cuando hay un control, entonces voy a clases CONTRA RECIPROCA: No va a haber control, entonces no voy a clases INVERSA: No voy a clases , entonces no va a haber control

c. Cuando me acuesto tarde, es necesario que duerma hasta el mediodía. RECIPROCA: Es necesario que duerma hasta el mediodía, entonces me acuesto tarde. CONTRA RECIPROCA: No es necesario que duerma hasta el mediodía, entonces no me acuesto tarde. INVERSA: Cuando no me acuesto tarde, entonces no es necesario dormir hasta el medio día.

d. Un entero positivo es primo sólo si no tiene otros divisores distintos de 1 y él mismo. RECIPROCA: si no tiene otros divisores distintos de 1 y él mismo, Un entero positivo es primo

CONTRA RECIPROCA: si tiene otros divisores distintos de 1 y el mismo, entonces un entero positivo, no es primo. INVERSA: Un entero positivo no es primo, entonces si tiene otros divisores distintos de 1 y el mismo.

10.Construir la tabla de verdad para:

a) b)

p  q   q   p 

r  s  q  s   q    r 

c) p → (q → r)

A)

p  q   q   p  P

V V F F

q V F V F

~p F F V V

~q F V F V

pq V F V V

~q~p

p  q   q   p 

V F V V

V V V V

B)

r  s  q  s   q    r 

q

r

s

~q

~r

r⋀s

V V V V F F F F

V V F F V V F F

V F V F V F V F

F F F F V V V V

F F V V F F V V

V F F F V F F F

A: (r ⋀ s)  q

(r ⋀ s)  q V V V V F V V V

S ⋀~q

(S⋀~q)~r A⇔ B

F F F F V F V F

V V V V F V V V

V V V V V V V V

B: (S ⋀ ~q) ~r

C) ~P  (q  r)

p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

R V F V F V F V F

~p F F F F V V V V

qr V F V V V F V V

~p  (q  r) V V V V V F V V

11.Utilizando el modus ponendus ponens, llegue a la conclusión C a. P1: Si hoy es domingo, entonces hay futbol P2: Hoy es domingo C: Hay futbol 2 b. P1 : Si x es un número para, entonces x es par P2 : x es un número par 2 C: x es par

c..

P1 :  p  q  s P2 :  p C : q ⋁S

12. Utilizando el modus tollendo tollens, llegue a la conclusión C a.

P1 :

Si estoy preparado profesionalmente, entonces triunfaré en

mis negocios.

P2 : Fracasé en los negocios C : No estoy preparado profesionalmente. b.

c.

P1 : S  t P2 : t  C:~S P1 : p  q  r P2 : r  C : ~ ( p ⋁ q) →r

BIBLIOGRAFIA

- Lewin, R. (2010 ). Teoría de conjuntos. Recuperado de:

http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?p pg=3&docID=10526962&tm=1480955380279 -Cardona, S.(2010). Lógica matemática para ingeniería de sistemas y computación. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?p pg=1&docID=10565960&tm=1480954958178 - Domingo A. (2009). Lógica matemática. Junio 14 de 2014. De monografías. Sitio web: http://www.monografias.com/trabajos-pdf3/logicamatematica/logica-matematica.pdf . Ruiz, P. (2014).Pensamiento lógico matemático. Recuperado de: http://pedroruiz69.wixsite.com/pensamiento-logico-matematico http://documentos.mideplan.go.cr/alfresco/d/d/workspace/SpacesSt ore/6a88ebe4-da9f-4b6a-b366-425dd6371a97/guia-elaboraciondiagramas-flujo-2009.pdf

Andrés A. Aristizábal P. [email protected] Departamento de Matemáticas y Estadística. Matemática discreta. Universidad Icesi. Reglas de inferencia, recuperado de : ftp://ftp.icesi.edu.co/aaaristizabal/MD/MDdiapositivas1.pdf