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FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS

TRABAJO COLAVORATIVO CALCULO # 3

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

TRABAJO COLABORATIVO CÁLCULO III

SUBGRUPO # 14 Tema SPIRA MIRABILIS

Por: Jorge Andrés Córdoba Echeverry: Cod 1710210065 Camila Alejandra Rodríguez Cuellar: Cod 1610650596 Jonathan Camilo Jiménez Castañeda: Cod 1330651605 Enrique Luis Montero González: Cod 1811982993

Tutor: Akiyama Figueroa Minoru Enrique

FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS CÁLCULO III 2019

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INTRODUCCION El presente trabajo está basado en la investigación sobre SPIRA MIRABILIS, espirales con curvas que tiene una presencia importante en la naturaleza, esta investigación está dada a interpretar y analizar geométricamente mediante expresiones matemáticas las cuales estaremos tratando durante el tiempo dado a este módulo, cada inquietud presentada se despejará con guías y conferencias dadas por parte del instructor, para comprender y despejar los interrogantes de la investigación.

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DESARROLLO DEL TRABAJO COLABORATIVO CÁLCULO III- 2019 Spira Mirabilis La espiral logarítmica, llamada la spira mirabilis o eadem mutata resugno es una curva paramétrica de la forma: 𝑐(𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 𝐶𝑜𝑠 (𝑡) , 𝑎𝑒 𝑏𝑡 𝑆𝑒𝑛 (𝑡)) Donde 𝑎 y b son números reales positivos.

1. Muestre que la magnitud de la curva, ‖c(t)‖ es ‖c(t)‖ = 𝒂𝒆𝒃𝒕

La norma del vector se calcula de la siguiente manera: ||𝑐(𝑡)|| = √(𝑎𝑒 𝑏𝑡 𝐶𝑜𝑠 (𝑡))2 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 𝑆𝑒𝑛 (𝑡))2 ||𝑐(𝑡)|| = √𝑎2 (𝑒 𝑏𝑡 )2 𝐶𝑜𝑠 2 (𝑡) + 𝑎2 (𝑒 𝑏𝑡 )2 𝑆𝑒𝑛2 (𝑡) ||𝑐(𝑡)|| = √𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 𝐶𝑜𝑠 2 (𝑡) + 𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 𝑆𝑒𝑛2 (𝑡) Factorizando 𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡

||𝑐(𝑡)|| = √𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 [𝐶𝑜𝑠 2 (𝑡) + 𝑆𝑒𝑛2 (𝑡)]

Reemplazando 𝐶𝑜𝑠 2 (𝑡) + 𝑆𝑒𝑛2 (𝑡) = 1 ||𝑐(𝑡)|| = √𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 [1] = √𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 ||𝑐(𝑡)|| = √𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 = 𝑎𝑒 𝑏𝑡

2. Muestre que el vector tangente a la curva es 𝑐 ′ (𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏𝐶𝑜𝑠(𝑡) − 𝑆𝑒𝑛(𝑡))) 𝒊 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏𝑆𝑒𝑛(𝑡) + 𝐶𝑜𝑠(𝑡))) 𝒋 Solución

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Partiendo de la ecuación: 𝑐(𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 𝐶𝑜𝑠 (𝑡) , 𝑎𝑒 𝑏𝑡 𝑆𝑒𝑛 (𝑡)) Se deben derivar cada uno de sus componentes: 𝑐′(𝑡) = (𝑎𝑏𝑒 𝑏𝑡 𝐶𝑜𝑠 (𝑡) − 𝑎𝑒 𝑏𝑡 𝑆𝑒𝑛(𝑡) , 𝑎𝑏𝑒 𝑏𝑡 𝑆𝑒𝑛 (𝑡) + 𝑎𝑒 𝑏𝑡 𝐶𝑜𝑠 (𝑡)) Factorizando 𝑎𝑒 𝑏𝑡 𝑐′(𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 𝐶𝑜𝑠 (𝑡) − 𝑆𝑒𝑛(𝑡)), ( 𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 𝑆𝑒𝑛 (𝑡) + 𝐶𝑜𝑠 (𝑡)))

𝑐′(𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 𝐶𝑜𝑠 (𝑡) − 𝑆𝑒𝑛(𝑡)))𝒊 + ( 𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 𝑆𝑒𝑛 (𝑡) + 𝐶𝑜𝑠 (𝑡)))𝒋

3. De una breve reseña sobre la spira Mirabilis (10 renglones máximo) Spira Mirabilis también denominada Espiral logarítmica. En un principio fue descrita por Descartes en 1638 e investigada posteriormente por Bernoulli debido a que es muy frecuente encontrarla en la naturaleza. Esta curva de crecimiento es definida por un objeto que se mueve con velocidad lineal constante y velocidad angular. La característica fundamental de la espiral es que su expansión y rotación tienen un vínculo geométrico o exponencial. La distancia entre las espiras aumenta mucho más rápidamente que la rotación. Bernoulli la describió como un símbolo de fortaleza y constancia en la adversidad, o como símbolo del cuerpo humano, el cual, después de todos los cambios y mutaciones, incluso después de la muerte, será restaurado a su Ser perfecto y exacto, como él consideraba a la espiral.

4. La velocidad del sonido viajando a través del océano es una función de la temperatura, salinidad del agua y la presión. Ésta es modelada por la función: 𝑪(𝑻, 𝑺, 𝑫) = 𝟏𝟒𝟒𝟗. 𝟐 + 𝟒. 𝟔𝑻 − 𝟎. 𝟎𝟓𝟓𝑻𝟐 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟗𝑻𝟑 + (𝟏. 𝟑𝟒 − 𝟎. 𝟎𝟏𝑻)(𝑺 − 𝟑𝟓) + 𝟎. 𝟎𝟏𝟔𝑫 Donde C es la velocidad del sonido (medida en metros por segundo), T es la temperatura (medida en grados Celsius), S es la salinidad (número de gramos de sal disueltas en un litro de agua, su medida es gramos por litro), y D es la profundidad

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Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano 𝝏𝑪 𝝏𝑪 𝝏𝑪 , 𝝏𝑺 𝝏𝑫

debajo de la superficie (medida en metros). Evalúe 𝝏𝑻,

cuando T=10ºC, S=35

g/l y D=100 m. Explique el significado de estas derivadas parciales. Se deriva con respecto a la temperatura y las otras variables se mantienen constantes:

𝜕𝐶 = 4.6 − 0.11𝑇 + 0.00087𝑇 2 − 0.01(𝑆 − 35) 𝜕𝑇 Evaluando la derivada en T=10ºC, S=35 g/l 𝜕𝐶 = 4.6 − 0.11(10) + 0.00087(10)2 − 0.01(35 − 35) 𝜕𝑇 𝜕𝐶 = 3,587 𝜕𝑇

Esta derivada expresa la razón de cambio de la velocidad del sonido cuando la temperatura varía, mientras la salinidad y la profundidad a la cual es medida se encuentran constantes. 𝜕𝐶 = (1.34 − 0.01𝑇)𝑆 𝜕𝑆 Evaluando la derivada en T=10ºC, S=35 g/l 𝜕𝐶 = (1.34 − 0.01(10))35 𝜕𝑆 𝜕𝐶 = 43.4 𝜕𝑆 Esta derivada expresa la razón de cambio de la velocidad del sonido cuando la salinidad varía, mientras la temperatura y la profundidad del océano a la cual es medida se encuentran constantes. 𝜕𝐶 = 0.016 𝜕𝐷 Esta derivada indica que la razón de cambio de la velocidad del sonido a través del océano aumentará 0.016 cada vez que se mida un metro de profundidad más abajo, manteniendo la temperatura y la salinidad constantes.

5. Calcule la derivada direccional de la función 𝐼(𝑇, ℎ) = 𝑒 3𝑇−4𝑇ℎ−5ℎ en el punto (1,2) y en la dirección 𝑢 ⃗ = (𝑖 + √3𝑗)

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𝜕𝐼

Se calcula 𝜕𝑇 𝜕𝐼 = 𝑒 3𝑇−4𝑇ℎ−5ℎ ∗ (3 − 4ℎ) 𝜕𝑇 Se reemplaza el punto (1,2) 𝜕𝐼 = 𝑒 3(1)−4(1)(2)−5(2) ∗ (3 − 4(2)) = −1.5295 ∗ 10−6 𝜕𝑇

𝜕𝐼 = 𝑒 3𝑇−4𝑇ℎ−5ℎ ∗ (−4𝑇 − 5) 𝜕ℎ Se reemplaza el punto (1,2) 𝜕𝐼 = 𝑒 3(1)−4(1)(2)−5(2) ∗ (−4(1) − 5) = −2,7531 ∗ 10−6 𝜕ℎ El vector gradiente en el punto (1,2) es ⃗⃗⃗⃗ ∇𝐼 = (−1.5295 ∗ 10−6 , −2,7531 ∗ 10−6 )

La derivada direccional de la función en la dirección 𝑢 ⃗ es la siguiente, es decir, el producto punto entre el vector gradiente y el vector unitario dado: ⃗⃗⃗⃗ ∗ 𝑢 𝐷𝑢 𝐼 = ∇𝐼 ⃗ 𝐷𝑢 𝐼 = (−1.5295 ∗ 10−6 , −2,7531 ∗ 10−6 ) ∗ (1, √3) 𝐷𝑢 𝐼 = −1.5295 ∗ 10−6 + (√3 ∗ −2,7531 ∗ 10−6 ) 𝐷𝑢 𝐼 = −6.298 ∗ 10−6

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REFERENCIAS

[1] Espiral logarítmica. (2018). https://www.ecured.cu/Espiral_logar%C3%ADtmica

EcuRed.

[2] Espiral logarítmica. (2018). Aula Abierta https://matematicasiesoja.wordpress.com/la-spira-mirabilis/ [3] https://www.ecured.cu/Espiral_logar%C3%ADtmica

Recuperado de

de:

Matemáticas.