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• Antonny Luis Cabrera Alcantara

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MÉTODO DE INTERÉS COMPUESTO

La ecuación es Pf = Po* (1+r) ^ t, donde: r: tasa de crecimiento (%) t: tiempo (años) Po: población de último censo (habitantes) Pf: población futura (habitantes) Se cuenta con la siguiente información: Censo (año) 1972 1981 1993 2007

Población (hab) 4134 4866 5981 6963

Se combinan los censos de dos en dos, tres en tres, de cuatro en cuatro y mínimos cuadrados. Combinación de dos en dos: P72, P81: r1 = (P81/P72) ^ (1/9)-1 P93, P05: r6 = (P05/P93) ^ (1/12)-1 Curva Pf 1 Pf 2 Pf 3 Pf 4 Pf 5 Pf 6

Periodo 1972 1972 1972 1981 1981 1993

t 1981 1993 2007 1993 2007 2007

9 21 35 12 26 14

r 1.83% 1.77% 1.50% 1.73% 1.39% 1.09%

Combinación de tres en tres: P72, P81, P93:

r7 = (r72/81 ^ 9 * r81/93^ 12) ^ (1/(9+12))

P81, P93, P05:

r10 = (r81/93 ^ 12 * r93/05 ^ 12) ^ (1/(12+12))

Curva Pf 7 Pf 8 Pf 9 Pf 10

Combinación de cuatro:

Periodo 1972 1972 1972 1981

1981 1981 1993 1993

r 1993 2007 2007 2007

1.77% 1.49% 1.46% 1.35%

P72, P81, P93, P05: r11 = (r72/81 ^ 9* r81/93 ^ 12* r93/05 ^ 12) ^ (1/(9+12+12)) Curva

Periodo

Pf 11

1972

1981

r 1993

2007

1.46%

Aplicación de Mínimos Cuadrados: Pf = Po * (1+r) ^ t; t = 0 en año” 0” que es el último del censo. Log Pf = Log Po + t Log (1+r) ………… (1) Y = A + B * X…………. (2) Se iguala (1) a (2), entonces: Log Pf = Y Log Po = A t=X Log (1+r) = B B = (Σ X*Y – A * Σ X) / (Σ X^2) Se realiza el siguiente cuadro:

Censo

Población

X=t

Y = Log Pf

X*Y

X²

1972 1981 1993 2007

4134 4866 5981 6963

-35 -26 -14 0

3.62 3.69 3.78 3.84

-126.57 -95.87 -52.87 0.00

1225 676 196 0

Σ=

-75

Σ=

-275.31

2097.00

Luego se calcula “B” y posteriormente “r” con la siguiente expresión:

B

( X .Y  A. X )

X

B=

2

0.0061

Cálculo de “r” con la siguiente fórmula 10 ^ B – 1 = r r=

1.43%

El siguiente paso es seleccionar la curva representativa: Curva

2007

1993

1981

1972

Σ

Dif. Abs.

Censo

6963

5981

4866

4134

21944

0

Pf 1

6963

5403

4348

3694

20408

Pf 2 Pf 3 Pf 4 Pf 5 Pf 6 Pf 7 Pf 8 Pf 9

6963 6963 6963 6963 6963 6963 6963 6963

5443 5652 5473 5741 5981 5444 5661 5683

4408 4727 4453 4866 5250 4408 4741 4775

3762 4134 3815 4298 4761 3763 4150 4191

20576 21476 20704 21869 22956 20578 21514 21613

Pf 10

6963

5770

4911

4352

21996

Pf 11 Pf 12

6963 6963

5684 5711

4776 4818

4191 4242

21614 21734

1536 1368 468 1240 75 1012 1366 430 331 52 330 210

Se escoge la menor diferencia absoluta Menor Diferencia Absoluta Curva elegida Tasa de crecimiento adoptada

52 Pf 10 1.35%

CURVA DE INTERÉS COMPUESTO: POBLACIÓN VS AÑOS

POBLACION(HAB.)

METODO DE INTERES COMPUESTO 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010

AÑOS

MÉTODO DE INTERÉS SIMPLE Su ecuación es Pf = Po * (1+ r*t) donde: r: tasa de crecimiento (%)

Pf 1 Pf 2 Pf 3 Pf 4 Pf 5 Pf 6 Pf 7 Pf 8 Pf 9 Pf 10 Pf 11 Pf 12

t: tiempo (años) Po: población de último censo (habitantes) Pf: población futura (habitantes) Se cuenta con la siguiente información: Censo (año) 1972 1981 1993 2007

Poblacion (hab) 4134 4866 5981 6963

Se combinan los censos de dos en dos, tres en tres, de cuatro en cuatro y mínimos cuadrados. Combinación de dos en dos: P72, P81: r1 = (P81/P72-1) * (1/9) P93, P05: r6 = (P05/P93-1) * (1/12) Curva

Periodo

t

r

Pf 1 Pf 2 Pf 3 Pf 4 Pf 5

1972 1972 1972 1981 1981

1981 1993 2007 1993 2007

9 21 35 12 26

1.97% 2.13% 1.96% 1.91% 1.66%

Pf 6

1993

2007

14

1.17%

Combinación de tres en tres: P72, P81, P93: r7 = (r72/81 * 9 + r81/93* 12) * (1/(9+12)) P81, P93, P05: r10 = (r81/93 * 12 + r93/05 * 12) * (1/(12+12)) Curva Pf 7 Pf 8 Pf 9 Pf 10

Periodo 1981 1981 1993 1993

1972 1972 1972 1981

r 1.93% 1.74% 1.75% 1.51%

1993 2007 2007 2007

Combinación de cuatro: P72, P81, P93, P05: r11 = (r72/81 * 11 + r81/93 * 12 + r93/05 * 12) * (1/(11+12+12)) Curva Pf 11

Periodo 1972

1981

1993

2007

r 1.63%

Aplicación de Mínimos Cuadrados: Pf = Po * (1+ r * t); t = 0 en año” 0” que es el último del censo. Pf = Po + Po * r * t………… (1) Y = A + B * X………………. (2) Se iguala (1) a (2), entonces: Pf = Y Po = A t=X Po * r = B Censo 1972 1981 1993 2007

Población 4134 4866 5981 6963 Σ=

X=t -35 -26 -14 0 -75

Y = Pf 4134 4866 5981 6963 Σ=

X*Y -144690 -126516 -83734 0 -354940

Δ = Σ (Y – A – B * X) ^ 2 Δ’ B = 2 * Σ (Y – A – B * X) * (-X) ………… (3) Luego la ecuación (3) se iguala a 0, y se obtiene

B

( X .Y  A. X )

X

2

B=

79.77349

Además, r = B/Po r=

1.15%

El siguiente paso es seleccionar la curva representativa:

Menor Diferencia Absoluta Curva elegida

75.00 Pf 12

X² 1225 676 196 0 2097.00

Tasa de crecimiento adoptada

1.15%

METODO DE INTERES SIMPLE 8000

Censo Pf 1 Pf 2 Pf 3 Pf 4 Pf 5 Pf 6 Pf 7 Pf 8 Pf 9 Pf 10 Pf 11 Pf 12

7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 2007

1993

1981

1972