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• Fernando Urrutia

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Tipos de Cargas Una viga está sometida a dos grupos de cargas denominadas concentradas o puntuales y distribuidas. El primer grupo está formado por fuerzas actuando en un punto definido, como por ejemplo, una fuerza aplicada o un momento aplicado. Están expresadas en unidades de fuerza o de momento (N, lb, kgf, N*m, lb*pie, kgf*m, etc.). En cuanto al segundo grupo, la carga distribuida es aquella que actúa sobre una longitud de la viga. La magnitud de la carga distribuida puede ser constante por unidad de longitud o variable y se expresa en unidades de fuerza sobre unidades de longitud (N/m, lb/pie, kgf/m). La magnitud de la fuerza originada por esta carga es igual al área de la forma generada por la carga y se ubica en el centroide de la mencionada forma. (Ferdinand P. Beer, 1999)

Tipos de Apoyos Los apoyos de vigas, son los elementos que le proporcionan la estabilidad a la viga y por lo general, se encuentran en los extremos o cerca de ellos. Las fuerzas en los apoyos que se generan son productos de las cargas aplicadas y se llaman reacciones y equilibran las cargas aplicadas. Analíticamente estas reacciones representan las incógnitas de un problema matemático. Las reacciones se pueden dividir en tres grupos que corresponden al tipo de apoyo que se está empleando (Braja M. Das, 1999) 1. Apoyos simples Apoyo estructural que impide la traslación en cualquier dirección excepto la del propio plano. Poseen solo una reacción en el eje vertical y, además no producen ningún momento.

2.

Apoyos articulados

Punto que sirve de unión y en el que se apoya el arranque de un arco o bóveda. Producen reacciones en los dos ejes ordenados tanto en x como en y, al igual que los apoyos simples no producen momento.

3. Apoyo Empotrado

Es capaz de evitar movimientos debido al paso de fuerzas por el apoyo como también a los giros producidos por otras fuerzas. Producen reacciones en los dos ejes ordenados tanto en x como en y, pero en este tipo de apoyo también se producirá un momento.

Tipos de Vigas Las vigas empleadas en una estructura pueden clasificarse según su número de reacciones en dos grupos: isostática e hiperestáticas, dentro de cada grupo hay una variedad de formas que varían según el tipo y posición de los apoyos. De manera general, encontramos dos tipos de vigas isostáticas, mientras que las hiperestáticas pueden ser de 5 (Docslide, 2011). 1. Vigas Isostática Se considera que una viga es estáticamente determinada o isostática cuando se pueden determinar las reacciones mediante la aplicación de las ecuaciones de equilibrio; esto implica que el número de reacciones en la viga sea igual a tres. Esta condición es necesaria pero no suficiente para que la viga este completamente inmovilizada; por ello antes de resolver una viga isostática se debe analizar la estabilidad (Slideshare, 2009). Cuando el número de reacciones en una viga es menor a tres, se dice que la viga está parcialmente inmovilizada o inestable, porque las reacciones no son suficientes para impedir todos los posibles movimientos y por lo tanto no estaría en equilibrio. 1.1. Viga Simplemente Apoyada en un Tramo Número de reacciones = 3 Número de ecuaciones = 3 (∑ 𝐹𝑥 , ∑ 𝐹𝑦 , ∑ 𝑀𝐴 )

1.2. Vigas en Cantiliver, Voladizo o Ménsula Número de reacciones = 3 Número de ecuaciones = 3 (∑ 𝐹𝑥 , ∑ 𝐹𝑦 , ∑ 𝑀𝐴 )

1.3. Vigas Simplemente Apoyadas con Volados Número de reacciones = 3 Número de ecuaciones = 3 (∑ 𝐹𝑥 , ∑ 𝐹𝑦 , ∑ 𝑀𝐴 )

1.4. Viga Continua de dos Tramos, con Volados y Articulación Número de reacciones = 3 Número de ecuaciones = 3 (∑ 𝐹𝑥 , ∑ 𝐹𝑦 , ∑ 𝑀𝐴 , ∑ 𝑀𝑐 )

2. Vigas Hiperestáticas Por otra parte, al tener más de tres reacciones la viga es estáticamente indeterminada o hiperestática, para analizar estas vigas se requiere considerar las deformaciones que van a proporcionar las ecuaciones adicionales para que el sistema sea determinado. Las vigas hiperestáticas tienen más reacciones de las necesarias para que el cuerpo esté en equilibrio, por lo cual queda restringida la posibilidad de movimiento (Ferdinand P. Beer, 1999).

2.1. Viga Empotrada y Apoyada en un Rodillo Número de reacciones = 4 Número de ecuaciones = 3 (∑ 𝐹𝑥 , ∑ 𝐹𝑦 , ∑ 𝑀𝐴 )

2.2. Viga Empotrada-Empotrada Número de reacciones = 6 Número de ecuaciones = 3 (∑ 𝐹𝑥 , ∑ 𝐹𝑦 , ∑ 𝑀𝐴 )

2.3. Viga de dos Tramos Empotrada y Apoyada Número de reacciones = 5 Número de ecuaciones = 3 (∑ 𝐹𝑥 , ∑ 𝐹𝑦 , ∑ 𝑀𝐴 )

Número de ecuaciones de equilibrio

Número de incógnitas

3

3

Condición de viga Parcialmente inmovilizada o inestable Estáticamente determinada o isostática Estáticamente indeterminada o hiperestática

Fuerza Cortante y Momento Flector En la figura se muestra una viga horizontal elemental, isostática de un solo tramo, con una carga puntual “P”, en la sección a-a se hace un corte imaginario para observar las fuerzas internas que aparecen para satisfacer las condiciones de equilibro, tal como se muestra en el diagrama de cuerpo libre de abajo.

Fuerza Cortante Del equilibrio de fuerzas verticales practicado a cualquiera de los dos segmentos de viga separados, aparece una fuerza interna “Va-a”, llamada resistente, debido a que se opone al efecto de las fuerzas activas externas, cuya dirección es perpendicular al eje longitudinal de la viga AB, el cual coincide a su vez con el eje “X” del sistema de referencia particular “XY” de la viga. Para el caso de vigas inclinadas la fuerza cortante Va-a, tiene la misma inclinación, puesto que se orienta según el eje particular de la viga y no según el sistema global vertical-horizontal. “En este sentido se define la fuerza cortante como la sumatoria de la componente perpendicular al eje, de las fuerzas externas situadas a la izquierda o a la derecha de la sección de viga estudiada” (Slideshare, 2010): 𝑉𝑎−𝑎 = ∑ 𝐹𝑦𝑎−𝑎 (𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎) = ∑ 𝐹𝑦𝑎−𝑎 (𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎)

1. Convención de signos La convención de signos más común, es aquella que considera positiva la fuerza cortante que hace deslizar hacia arriba, la porción de viga situada a la izquierda de la sección estudiada, en caso contrario se considera negativa. Entonces se podría decir que cuando la sumatoria de fuerzas a la izquierda de la sección es positiva la fuerza cortante tiene el mismo signo, igual para el caso contrario, tal como se muestra en el siguiente diagrama que muestra la convención de signos desde el punto de vista de la deformación de un elemento situado justo en la sección a-a.

Visto desde fuera de una viga:

Momento Flector El equilibrio rotacional de los segmentos de viga estudiados se logra con la aparición del Momento Flector 𝑀𝑎−𝑎 , señalado en el diagrama de cuerpo libre que pudimos observar anteriormente. De esta manera este se puede definir al momento flector como “La sumatoria de los momentos de las fuerzas externas situadas a la izquierda o a la derecha de la sección estudiada” (Catarina, 2005), considerando que el plano de aplicación de las fuerzas es XY, y la dirección del momento flector es perpendicular a este, es decir el eje particular Z. 𝑀𝑎−𝑎 = ∑ 𝑀𝑎−𝑎 (𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎) = ∑ 𝑀𝑎−𝑎 (𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎) 1. Convención de signos En el momento flector su signo depende de la curvatura que describa la viga al deformarse por una fuerza, entonces se diría que una curvatura cóncava hacia arriba se considera positiva, lo contrario es negativo. En la siguiente figura se ilustra esta convención.

Ahora sería importante decir que los momentos flectores positivos generan tracción o alargamiento en las fibras inferiores de la viga y compresión o acortamiento en las superiores, los negativos producen lo contrario. Relación entre Carga, Momento Flector y Fuerza Cortante En el siguiente gráfico, se ha considerado una viga simplemente apoyada, con un sistema de cargas distribuida general “𝑞”, de signo positivo, por tener sentido vertical hacia arriba. 1 y 2 representan dos secciones de la viga separadas una distancia 𝑑𝑥. A la derecha se ha graficado en forma ampliada, el diagrama de cuerpo libre del elemento diferencial de viga contenido entre las secciones 01 y 02, que incluye tanto las fuerzas externas “𝑞”, como

las fuerzas internas 𝑉 𝑦 𝑀, las cuales se supusieron con signo positivo. Para la cara de la sección 01, los valores de fuerzas cortantes y momentos flexionantes son respectivamente V y M, mientras que para la sección 02, son los valores de la sección 01 más un cierto diferencial 𝑑𝑉 𝑦 𝑑𝑀 respectivamente.

Equilibrando el elemento diferencial tenemos: 1. Relación Carga-Corte Por sumatoria de fuerzas verticales ∑ 𝐹𝑦 = 0 → 𝑑𝑉 = 𝑞𝑑𝑥 Integrando:

𝑉2 − 𝑉1 = ∆𝑉 = (Á𝑟𝑒𝑎)𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎

De esta manera se encuentran las siguientes relaciones: 

𝑞 =

𝑑𝑉 𝑑𝑥

𝑑𝑉

=> 𝑞: Intensidad de carga; 𝑑𝑥 : Pendiente diagrama de corte



El signo de la carga, define la inclinación de la pendiente del diagrama de corte.



La intensidad de la carga “𝑞” define la variación de la pendiente del diagrama de corte.

2. Relación Corte-Momento

Por sumatoria de momentos en un punto de origen se tendría que: ∑ 𝑀𝑜 = 0 → 𝑑𝑀 = 𝑉𝑑𝑋

Integrando:

𝑀2 − 𝑀1 = ∆𝑀 = (Á𝑟𝑒𝑎)𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒

Las relaciones entre corte y momento son: 𝑉 =

𝑑𝑀 𝑑𝑥

=> 𝑉: Intensidad del diagrama de Corte;

𝑑𝑀 𝑑𝑥

: Pendiente diagrama de

Momentos El signo del diagrama de corte, define la inclinación de la pendiente del diagrama de Momentos:

La Intensidad del diagrama de corte, define la variación de la pendiente del diagrama de Momentos. Como se muestra a continuación:

Bibliografía Braja M. Das, A. K. (1999). Mecánica para Ingenieros: Dinámica. México: Limusa. Catarina. (15 de Febrero de 2005). Obtenido de Catarina: http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lic/duran_p_da/capitulo4.pdf Docslide. (18 de Abril de 2011). Obtenido de Docslide: http://myslide.es/documents/vigasisostatica-e-hiperestaticas.html Ferdinand P. Beer, E. R. (1999). Mecánica Vectorial para Ingenieros: Estática. México: McGrawHill/Interamericana Editores S.A. Slideshare. (12 de Marzo de 2009). Obtenido de Slideshare: http://es.slideshare.net/Lialbertm/viga-isostatica Slideshare. (23 de Enero de 2010). Obtenido de Slideshare: http://es.slideshare.net/dinoso10/esfuerzo-cortante