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INVESTIGACION TIPOS DE APOYOS Y ECUACIONES DE MOMENTO, CORTE Y FLEXION

NOMBRE: Juan Pablo Godoy Ocampo CARNET: 2002-12074

Guatemala 26 de junio del 2009

ANALISIS DE ESTRUCTURAS RÍGIDAS Definición Viga

Una viga es un miembro estructural donde las cargas aplicadas son principalmente perpendiculares al eje, por lo que el diseño predominante es a flexión y corte (véase Figura 1); si las cargas no son perpendiculares se produce algo de fuerza axial, pero esta no es determinante en el diseño.

Figura 1. Flexión (a) y corte en vigas (b) y (c) (Nota: Según Ingeniería Simplificada. Para Arquitectos y Constructores. (p. 92) , por Parker, H. y Ambrose, J. 1995. México D.F., México: Editorial LIMUSA, S.A. de C.V.) Pórtico Se conoce como pórtico al conjunto de vigas y columnas en el cual las uniones son rígidas y su diseño está gobernado por flexión en las vigas y flexocompresión en las columnas

Ecuaciones de equilibrio El equilibrio es uno de los requisitos que debe cumplir una estructura, lo cual implica que la resultante de las fuerzas externas es cero y no existe un par de fuerzas; al descomponer en un plano cada fuerza y cada par en sus componentes rectangulares, se encuentra las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido se pueden expresar también por las tres ecuaciones siguientes: Σ = 0 x F ; Σ = 0 y F ; Σ = 0 pto M (Ec. 1) Estas ecuaciones expresan el hecho de que las componentes de las fuerzas externas en las direcciones x y y, así como los momentos de las fuerzas externas están en equilibrio. Por tanto, el sistema de fuerzas externas no impartirá ni movimiento de traslación ni de rotación al cuerpo rígido considerado (Beer y Johnston, 1979; Das, Kassimali y Sami, 1999). Facultad de Arquitectura y Diseño Sistemas Estructurales 10 Universidad de Los Andes, Venezuela Prof. Jorge O. Medina El uso de la condición de equilibrio en una estructura permite realizar el proceso analítico esencial en un problema estructural. En la etapa inicial se pueden conocer las fuerzas que se generan en los apoyos para hacer que la estructura este en equilibrio. Tipos de apoyos

Los apoyos de vigas, son los elementos que le proporcionan la estabilidad a la viga y por lo general, se encuentran en los extremos o cerca de ellos. Las fuerzas en los apoyos que se generan son productos de las cargas aplicadas y se llaman reacciones y equilibran las cargas aplicadas. Analíticamente estas reacciones representan las incógnitas de un problema matemático. Las reacciones se pueden dividir en tres grupos que corresponden al tipo de apoyo que se está empleando (Das, Kassimali y Sami, 1999).

Reacciones formada por una fuerza de dirección conocida Los apoyos y conexiones que causan reacciones de este tipo son: rodillos, balancines, superficies lisas, bielas y cables cortos. Estos apoyos solo impiden el movimiento en una dirección. Las reacciones de este grupo solo proporcionan una incógnita, que consiste en la magnitud de la reacción y se pueden dirigir en uno u otro sentido a lo largo de la dirección conocida.

Tipos de vigas Las vigas empleadas en una estructura pueden clasificarse según su número de reacciones en dos grupos: isostática e hiperestáticas, dentro de cada grupo hay una variedad de formas que varían según el tipo y posición de los apoyos. De manera general, encontramos dos tipos de vigas isostáticas, mientras que las hiperestáticas pueden ser de 5 (véase Figura 4). La figura muestra en forma esquemática los diferentes tipos y también la forma que cada viga tiende a adoptar a medida que se deforma bajo la carga (Parker y Ambrose, 1995). 1 Condición requerida para la realización de un análisis estructural, al ser la estabilidad el segundo requisito que debe cumplir una estructura. 2 Estas ecuaciones se obtienen del estudio de la mecánica de los sólidos deformables o resistencia de materiales. 3 Condición necesaria pero no suficiente para considerar que la viga sea estable. FUNDAMENTO TEÓRICO Las vigas son elementos estructurales sujetos principalmente a flexión. Consideremos la viga de la Figura 1 cuya sección transversal es prismática.

Figura 1 Viga en cantiliver sujeta a flexión. Analizando el diferencial de longitud ds se puede establecer la siguiente relación: (1) donde: k = Curvatura r = Radio de curvatura. dq = Incremento del ángulo de rotación q . El ángulo de rotación q del eje longitudinal de la viga en cualquier punto m1 es aquel comprendido entre el eje x y la tangente de la curva elástica. Este ángulo es positivo en sentido dexógiro y negativo en sentido destrógiro. Si observamos ahora la Figura 2 podemos establecer que la primera derivada de la deflexión con respecto a x es la pendiente de la curva elástica.

Figura 2 Diferencial de la viga sujeta a flexión. También, podemos aseverar que el valor del diferencial de longitud ds es aproximadamente igual al del diferencial dx. De lo anterior reescribimos la Ecuación 1: (2) Debido a lo pequeño del valor del ángulo de giro dentro de nuestro diferencial, el valor de la tangente de dicho ángulo es el ángulo mismo. Esto nos lleva a establecer: (3) Derivando la expresión anterior con respecto a x y sustituyendo en la Ecuación 2, tendremos: (4) La Ecuación 4 asocia la curvatura y la deflexión en la viga. Si la viga está compuesta de un material linealmente elástico, podemos escribir la siguiente relación: (5) donde: M= Momento flector. E= Módulo de elasticidad del material. I= Momento de inercia alrededor del eje de flexión. A la Ecuación 5 se le conoce como la ecuación de la curva elástica. Derivando esta ecuación podemos encontrar los valores de la fuerza cortante V y la carga q que actúan en la viga.

(6) (7) Las convenciones de signos utilizadas en las ecuaciones anteriores son mostradas en la Figura 3.

Figura 3 Convención de signos utilizada en el análisis de vigas sujetas a flexión. Una viga sujeta a flexión presentará dos componentes importantes en su deflexión, la de corte y la de momento. En la mayoría de los casos, con excepción de las vigas donde la relación longitud-peralte es pequeña, la aportación a la deformación por corte se desprecia. Para el cálculo de las deflexiones existen varios métodos de análisis tales como: doble integración, área-momento, viga conjugada y trabajo virtual. Centraremos nuestra atención en dos métodos cuya aplicación es sumamente sencilla y rápida. Método del trabajo virtual. Supongamos que sobre el sistema elástico de la Figura 1 actúan varias fuerzas externas (Q1... Qn). Si simultáneamente sobre el sistema se aplica una carga unitaria (P=1) en el lugar donde se desea conocer la deformación. El principio de trabajo virtual establece que el trabajo externo es igual al trabajo interno.

(8)

donde: F= fuerzas internas en el sistema causadas por las fuerzas externas actuantes. f= fuerzas internas causadas por la carga virtual unitaria. e= deformación causada por el total de las fuerzas internas.

Figura 4 Derivación del teorema de trabajo virtual. Considerando solamente las fuerzas externas reales,

(9) Sustrayendo la Ecuación 9 de la Ecuación 8, el resultado indica que la deformación en el punto de interés es igual a la sumatoria del producto de las fuerzas internas causadas por una carga virtual unitaria y las deformaciones reales del sistema. (10) Para vigas sujetas a flexión, donde la deformación es causada principalmente por efecto del momento flector actuante y en menor grado por la fuerza de corte, la expresión anterior se escribe como:

(11) donde: m= Momento flector virtual. M= Momento flector real. v= Fuerza de corte virtual. V= Fuerza de corte real. E= Módulo de elasticidad. I= Momento de inercia de la sección transversal de la viga. A= Area de la sección transversal de la viga. G= Módulo de corte elástico o módulo de rigidez. L= Longitud de la viga. La aplicación del método del trabajo virtual para obtener deflexiones en vigas se puede resumir de la siguiente manera: 1. Encontrar las ecuaciones de momento y corte producidas por las fuerzas reales. 2. Remover las fuerzas reales y colocar una carga virtual unitaria en el lugar y la dirección donde se desea determinar la deflexión. Determinar las ecuaciones de momento y corte virtual. 3. Calcular la deflexión utilizando la Ecuación 11. Un valor positivo indicará que la dirección de la deflexión es la misma que la de la carga virtual, en caso contrario, la dirección es opuesta. Examinando la Ecuación 11, podemos inferir que la deflexión de una viga aumentará si se aumenta su longitud o se incrementa la magnitud de las fuerzas actuantes, mientras que si su momento de inercia con

respecto al eje de flexión y el módulo elástico de material que la conforma se incrementan, esta tiende a disminuir. Método de la viga conjugada. Con este método se pueden encontrar giros y deflexiones mediante la resolución de los cortantes y momentos de una "viga conjugada" sujeta a una carga elástica. La analogía entre la viga real y la conjugada se basa en la similaridad existente entre la obtención de la ecuación de la curva elástica a partir de la curvatura y la obtención del momento a partir de la carga aplicada y se sustenta en las equivalencias contenidas en la Tabla 1. Tabla 1 Equivalencias que sustentan el método de la viga conjugada. Viga real

Viga conjugada

Curvatura (M/EI)

Carga (q)

Pendiente (q )

Fuerza cortante (V)

Deflexión (u )

Momento flector (M)

Las condiciones de frontera debidas a la fuerza en la viga real y al desplazamiento en la viga conjugada deben también ser equivalentes. > Tabla 2 Equivalencia entre las condiciones de frontera de la viga real y la viga conjugada. >

Viga conjugada Viga real Soporte simple (q ¹ 0, u =0)

Soporte simple (V=0, M=0)

Extremo libre (q ¹ 0, u ¹ 0)

Extremo empotrado (V¹ 0, M¹ 0)

Extremo empotrado (q =0, u =0)

Extremo libre (V=0, M=0)

Articulación intermedia (q ¹ 0, u ¹ 0)

Soporte intermedio (V¹ 0, M¹ 0)

Soporte intermedio (q ¹ 0, u =0)

Articulación intermedia (V¹ 0, M=0)

La carga elástica consiste en aplicar como carga el diagrama de momentos de la viga original dividido entre su rigidez a la flexión (EI). En la Figura 5 se ilustra gráficamente lo anterior.

Figura 5 Equivalencias entre la viga real y la viga conjugada. Una vez aplicada la carga elástica a la viga conjugada encontramos la pendiente de un cierto punto de la deformada de la viga real calculando el cortante en ese mismo punto en la viga conjugada. De manera similar, si deseamos la deflexión en un cierto punto debemos calcular el momento flector de ese lugar en la viga conjugada. Si tomamos como convención el origen de la viga en su extremo izquierdo, el sentido positivo del eje x hacia la derecha y el sentido positivo del eje y hacia abajo entonces una deflexión hacia abajo es positiva y una pendiente positiva corresponde a un giro de la viga en el sentido de las manecillas del reloj.