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• Jorge Luis Kamane

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1.- En un dispositivo cilindro-pistón orientado horizontalmente como se indica en la figura se retiene aire. Inicialmente, P1=1 kPa, V1= 2.10-3m3, y la cara interna del pistón está en x=0. El muelle no ejerce ninguna fuerza sobre el pistón en la posición inicial. La presión atmosférica es 100 kPa, y el área de la superficie del pistón es 0,018 m 2. El aire se expande lentamente hasta que su volumen es V2= 3.103m3. Durante el proceso el muelle ejerce una fuerza sobre el pistón que varía con x segú F = kx, donde k = 16,2.103 N/m. No hay fricción entre el pistón y la pared del cilindro. Determínese la presión final del aire, kPa, y el trabajo hecho por el aire sobre el pistón, en kJ. Estado inicial: 100 kPa P1 =

0.002 m3 0m

V1 = x1 = Estado final:

0.003 m3

V2 = P2 = ¿? SOLUCION DATOS:

0.018 m2 16200 N/m 100 kPa

A= k= P0=

El sistema es el gas contenido en el pistón, que en este caso es el aire. Nos piden calcular el trabajo de expansión hecho por el aire sobre el pistón o los alrededores. V2

W1 2    PdV

… (1) Cambia la presión por efecto del resorte y el volumen por la expansión. Cuando el pistón está en equilibrio: V1

P. A  F  P0 . A 

P

F  P0 A

Como la fuerza está ejercida por el resorte y k, entonces: Por otro lado x

V  V1 V  V1  x2  2 A A

P 

k .x  P0 A

x2= 0.05555556 m

Reemplazando en (2) CALCULAMOS LA PRESIÓN FINAL DEL AIRE.

P2 

k .x2  P0 A

P2=

150 kPa Para calcular el trabajo, tenemos la presión en el equilibrio= P El volumen será: V  V1  x. A  dV  Adx El trabajo será: x2

 kx   P0  Adx A  

W1 2     x 1

W1-2=

-125 J

W1 2  





k x22  x12  P0 A x2  x1  2

… (2)

W1-2=

-0.125 kJ

e aire. Inicialmente, P1=100 el pistón en la posición se expande lentamente ón que varía con x según la presión final del aire, en

2.- El sistema mostrado contiene 0.2 kg de aire. Se calienta y se desplaza el pistón sin rozamiento. El área del pistó 0.1 m2. Determinar

a) La cantidad de calor necesario para que el pistón llegue a los topes. b) Después de alcanzar los topes, ¿cuál es la cantidad de calor (kJ) adicional que hay que transferir para duplicar la presión?. c) El cambio de energía interna del aire desde el inicio al final del proceso(kJ) DATOS 0.2 Masa de aire = kg 0.1 Area del pistón= m2 P1 = 100 kPa T1 = 298

K

V1 = 0.05

m3

V2 = 0.1

m3

T1=298 K P1=1 bar

a) La cantidad de calor necesario para que el pistón llegue a los topes

Q1 2  W1 2  U 1 2  (1)

Aire Cv = Cp =

mq12  P (V2  V1 )  mCp(T2  T1 )  ( 2) La presión es constante, el volumen varía Calculamos la temperatura: T2 V T2  T1 ( 2 )  (3) V1

T2 =

T

273 K 0.717 1.004

P3 P1 = P2

596 K

Reemplazando en (2) Q1-2 =

55.1364 kJ b) Calor adicional para duplicar la presión v1

Q2  3  U 2  3  W 2 3  ( 4)

v 2 = v3

El volumen es constante, la temperatura y la presión varían. No hay trabajo. Por tanto: ∆U2-3 = mCv(T3-T2) … (4) Luego:

T3  (

P3  T2 )  (5) P2

T3 =

1192 K

Finalmente: Q1-3 = 86.0624 kJ c) La variación de la energía interna durante el proceso Considerando el proceso a volumen constante. ∆U1-3 = mCv(T3-T1) … (6) ∆U1-3 =

129.0936 kJ

ón sin rozamiento. El área del pistón es

e hay que transferir para duplicar la

Topes 0.5 m 0.5 m

298 K 0.722 1.009

P1 = P2

v

3. Un sistema cilindro-pistón aislado y sin fricción, como en la figura, contiene un gas. El resorte en la posición inicial no ejerce ninguna presión, al elevarse el pistón el resorte ejerce una fuerza proporcional a su desplazamiento desde su posición inicial. Un ventilador proporciona 12094 J de trabajo haciendo que el pistón se eleve 0,6 m. En esta posición la presión del gas es 0,543 MPa, la presión atmosférica 0,10 MPa, el área del pistón 65 cm 2 y su peso 890 N. Determine la variación de la Energía Interna del gas. Estado inicial: Patm= 0.1

MPa

Ppeso pist= 890

N

x1 = 0

m cm2

Apist = 65 P2 = 0.543

MPa

WV = 12094

J

x2= 0.6

m

SOLUCION El sistema es el gas contenido en el pistón. Hacemos el balance para determinar la variación de la energía en el sistema.

Como el sistema es aislado Q=0, entonces: W=ΔU

Q+W=ΔU

El trabajo de expansión hecho por el gas sobre el pistón o los alrededores. V2

W1 2    PdV V1

… (1)

La presión P es por la acción de la presión del pistón, el resorte y la presión atmosférica. P  Ppist  Presor  Patm

…(2)

Calculamos las presiones que actúan en el sistema: Ppist 

F 890 N  A 65 x10  4 m 2

Ppist= 136923.077 Pa

0.13692308

La presión ejercida por el resorte al final del proceso se puede obtener por:

Presor  P2  Ppist  Patm

P2  Ppist  Presor  Patm

Presor= 0.30607692 MPa Cuando el pistón deja el equilibrio, la fuerza ejercida por el resorte es variable: Para cualquier posicióncalcular del pistón, la fuerza k ejercida será: Por tanto es necesario la constante a aprtirpor de éste la proporcionalidad entre la fuerza y su desplazamiento. k .x2 P A k = 3315.83333 kg/s2 Presor   k  resor A x2 Entonces la fuerza ejercida en cualquier posición será:

F= 3315.83333

Luego la presión ejercida en cualquier posición será: 3315,83x N Presor  0,0065 m 2

Presor= 0.51012821 x Mpa

Por otro lado, la fuerza F es proporcional a la fuerza : V2

W12    ( Ppist  Patm  Presor )dV V1

dV  Adx

0,6

W12    (0,23692  0,51013x )(65.10 4 )dx 0

0,6

W1 2    ( Ppist  Patm  Presor )Adx 0

0,6

W12   (0,23692 x 

0,51013 x 2 )(65.10 4 ) 2 0

El trabajo realizado por el gas para elevar el pistón hasta la posición final es: W 1-2 =

-1.52085 kJ

Como se añade trabajo con el ventilador, el trabajo neto realizado por el sistema será: WNeto  W12  WVent

W Neto =

10.57315 kJ

osición inicial no ejerce sde su posición inicial. Un esión del gas es 0,543 MPa, a Energía Interna del gas.

MPa

F= kx la fuerza y su

x

4. Se tiene la masa de un gas confinado en un cilindro por un émbolo sin fricción de masa m p, y área de 0,6 m2. La presión inicial es de 35 bar y el volumen inicial de 1 m3. Se le transfiere 100 kJ de calor y el gas se expande hasta 5 m3. a) Hallar el trabajo neto realizado por el gas, si un ventilador realiza el trabajo de 50 kJ sobre el sistema b) Hallar la masa del pistón mp. Considere g=9,8 m/s2.

c) Hallar el cambio de energía interna SOLUCIÓN: masa de gas=mgas =

Pp

?

g

Peso del pistón= P1 =

V1 =

1 m3

100 kJ

V2 =

5 m3

50 kJ

Patm =

35 bar

Qing= Wvent =

9.8 m/s

g= Apist=

1.03 bar

Ppist= Presión del pistón

2

Patm

mpist

Wneto = ?

0.6 área del pistón

P1

a) Cálculo del trabajo neto: Wneto =Wv+Wsis

… (1)

Reemplazando en (1), considerando el cambio de volumen.

Wneto  WV  P (V2  V1 ) 100 kJ

-13950 kJ

Wneto =

b) Cálculo de la masa del pistón P1 =Patm+Ppist

Ppist =P1-Patm

33.97 bar = 3397 kPa La masa del pistón se obtiene a partir de la presión que ejerce y su peso Ppist=

Ppist 

(m pist )( g )

mpist=

Apist



m p ist 

( Apist )( Ppist )

207.979592 kg

c) Cálculo del cambio de energía Por la primera ley, para sistemas cerrados:

∆U=

Q  W  U -13850 kJ

g

50 kJ

3. Un sistema cilindro-pistón aislado y sin fricción, como en la figu 1.- En un dispositivo cilindro-pistón orientado horizontalmente como se indica en la figura se retiene aire. Inicialmente, P1=100 kPa, V1= 2.10-3m3, y la cara interna del el resorte ejerce una fuerza proporcional a su desplazamiento de pistón está en x=0. El muelle no ejerce ninguna fuerza sobre el pistón en la posición inicial. La presión atmosférica es 100 kPa, y el área de la superficie del pistón es eleve 0,6 m. En esta posición la presión del gas es 0,543 MPa, la 0,018 m2. El aire se expande lentamente hasta que su volumen es V2= 3.103m3. Durante el proceso el muelle ejerce una fuerza sobre el pistón que varía con x según de la Energía Interna del gas. F = kx, donde k = 16,2.103 N/m. No hay fricción entre el pistón y la pared del cilindro. Determínese la presión final del aire, en kPa, y el trabajo hecho por el aire sobre el pistón, en kJ. Estado inicial:

Estado inicial:

P1 =

100 kPa

V1 =

0.002 m

x1 =

Patm= 0.1 Ppeso pist= 890

3

0m

x1 = 0

Estado final:

Apist = 65

V2 =

0.003 m3

P2 = 0.543

P2 = ¿?

WV = 12094 x2= 0.6

SOLUCION

SOLUCION

DATOS:

El sistema es el gas contenido en el pistón. 0.018 m

A=

Hacemos el balance para determinar la variación de la energía e

2

16200 N/m

k= P0=

El trabajo de expansión hecho por el gas sobre el pistón o los alre V2

W1 2   

El sistema es el gas contenido en el pistón, que en este caso es el aire.

V1

Nos piden calcular el trabajo de expansión hecho por el aire sobre el pistón o los alrededores. V2

W1 2   

V1

P  Pp ist  Preso r  Patm

… (1)

Cambia la presión por efecto del resorte y el volumen por la expansión.

Calculamos las presiones que actúan en el sistema:

Cuando el pistón está en equilibrio:



F P   P0 A

Como la fuerza está ejercida por el resorte y k, entonces: Por otro lado

PdV

La presión P es por la acción de la presión del pistón, el re

PdV

P. A  F  P0 . A

Como el sistema es aislado Q=0, entonc

Q+W=ΔU

100 kPa

Ppist 

k .x P   P0 A

F 890 N  A 65 x10  4 m 2

La presión ejercida por el resorte al final del proceso se pu … (2)

P2  Ppist  Preso r  Patm

x 

V  V1 V  V1  x2  2 A A

x2=

0.0555555556 m

Cuando el pistón deja el equilibrio, la fuerza ejercida por e

Para cualquier posición del pistón, la fuerza ejercida por é Reemplazando en (2) CALCULAMOS LA PRESIÓN FINAL DEL AIRE.

P2 

k .x 2  P0 A

Por tanto es necesario calcular la constante k a aprtir de l

P2=

Presor 

150 kPa

Para calcular el trabajo, tenemos la presión en el equilibrio= P

Entonces la fuerza ejercida en cualquier posición será:

V  V1  x. A  dV  Adx

El volumen será:

k . x2 P A  k  resor A x2

Luego la presión ejercida en cualquier posición será:

Presor 

El trabajo será: x2

 kx   P0  Adx  A 

W1 2     x 1

W1-2= W1-2=

W1 2  



3315,83 x N 0,0065 m 2

Por otro lado, la fuerza F es proporcional a la fuerza :



k x22  x12  P0 A x2  x1  2

V2

W1 2   

V1

-125 J

W12   

( Ppist  Pa tm  Presor ) dV

0,6

0

-0.125 kJ

dV  A

(0,23692  0,51013 x )(65.10 4 )

El trabajo realizado por el gas para elevar el pistón hasta W1-2 =

-1.52085

2.- El sistema mostrado contiene 0.2 kg de aire. Se calienta y se desplaza el pistón sin rozamiento. El área del pistón es 0.1 m 2. Determinar

W12 con  WelVent Neto  Como seW añade trabajo ventilador, el trabajo neto r a) La cantidad de calor necesario para que el pistón llegue a los topes. b) Después de alcanzar los topes, ¿cuál es la cantidad de calor (kJ) adicional que hay que transferir para duplicar la presión?. c) El cambio de energía interna del aire desde el inicio al final del proceso(kJ)

Topes

DATOS

4. Se tiene la masa de un gas confinado en un cilindro por un ém transfiere 100 kJ de calor y el gas se expande hasta 5 m3.

Masa de aire =

0.2

kg

a) Hallar el trabajo neto realizado por el gas, si un ventilador reali

Area del pistón=

0.1

m

b) Hallar la masa del pistón mp. Considere g=9,8 m/s2.

2

P1 = 100

kPa

T1 = 298

K

V1 = 0.05

m

V2 = 0.1

m3

3

0.5 m T1=298 K P1=1 bar

0.5 m

c) Hallar el cambio de energía interna SOLUCIÓN: masa de gas=mgas = Peso del pistón=

a) La cantidad de calor necesario para que el pistón llegue a los topes

Q1 2  W1 2  U 1 2  (1)

Aire

mq12  P (V2  V1 )  mCp(T2  T1 )  ( 2)

P1 =

35

Qing=

100

Wvent =

50

273 K

298 K

g=

9.8

Cv =

0.717

0.722

Apist=

0.6

Cp =

1.004

1.009

a) Cálculo del trabajo neto: Wneto =Wv+Wsis

La presión es constante, el volumen varía Calculamos la temperatura: T2

T2  T1 (

V2 )  (3) V1

T T2 =

Reemplazando en (1), considerando el cambio de volumen

P3

Wneto  WV  P(V2  V1 )

P1 = P2

596 K

Wneto =

-13950

Reemplazando en (2) Q1-2 =

55.1364 kJ

b) Cálculo de la masa del pistón

b) Calor adicional para duplicar la presión

v1

Q2  3  U 2  3  W 2 3  ( 4)

v 2 = v3

v

P1 =Patm+Ppist Ppist=

El volumen es constante, la temperatura y la presión varían. No hay trabajo. Por tanto: ∆U2-3 = mCv(T3-T2) … (4)

Ppist 

( m pist )( g )

Luego:

T3  (

P3  T2 )  (5) P2

Finalmente:

33.97

La masa del pistón se obtiene a partir de la presión que ej

A pist



m pist 

mpist= 207.9795918367 T3 =

1192 K c) Cálculo del cambio de energía

Q1-3 =

86.0624 kJ

Por la primera ley, para sistemas cerrados:

Q  W  U

c) La variación de la energía interna durante el proceso Considerando el proceso a volumen constante. ∆U1-3 = mCv(T3-T1) … (6) ∆U1-3 =

129.0936 kJ

∆U=

-13850

( Apist )( P g

y sin fricción, como en la figura, contiene un gas. El resorte en la posición inicial no ejerce ninguna presión, al elevarse el pistón ional a su desplazamiento desde su posición inicial. Un ventilador proporciona 12094 J de trabajo haciendo que el pistón se sión del gas es 0,543 MPa, la presión atmosférica 0,10 MPa, el área del pistón 65 cm 2 y su peso 890 N. Determine la variación

MPa N

0,6 m

m cm2

W

MPa J m

pistón.

ar la variación de la energía en el sistema.

ma es aislado Q=0, entonces: W=ΔU

l gas sobre el pistón o los alrededores.

… (1)

la presión del pistón, el resorte y la presión atmosférica. …(2)

ctúan en el sistema:

Ppist= 136923.0769231 Pa

e al final del proceso se puede obtener por:

Patm

Preso r  P2  Ppist  Patm

0.1369230769 MPa

Presor=

0.3060769231 MPa

io, la fuerza ejercida por el resorte es variable:

ón, la fuerza ejercida por éste será:

F= kx

a constante k a aprtir de la proporcionalidad entre la fuerza y su desplazamiento.

esor

A

k = 3315.833333333 kg/s2

x2

ualquier posición será:

F= 3315.833333333 x

alquier posición será:

x N m2

Presor=

0.5101282051 x Mpa

porcional a la fuerza :

 Presor ) dV

W1 2   

dV  Adx

0,6

0

( Ppist  Pa tm  Preso r ) Adx 0,6

0,51013 x )(65.10 4 )dx

W1 2   (0,23692 x 

0,51013 x 2 )(65.10 4 ) 2 0

ara elevar el pistón hasta la posición final es: kJ

entilador, el trabajo neto realizado por el sistema será: WNeto =

10.57315 kJ

nado en un cilindro por un émbolo sin fricción de masa m p, y área de 0,6 m2. La presión inicial es de 35 bar y el volumen inicial de 1 m 3. Se le e expande hasta 5 m3.

or el gas, si un ventilador realiza el trabajo de 50 kJ sobre el sistema

sidere g=9,8 m/s2.

nterna

Pp ?

g

bar

V1 =

1 m3

kJ

V2 =

5 m3

kJ

Patm =

1.03 bar

Ppist= Presión del pistón

m/s2

Patm

mpist

Wneto = ?

área del pistón

P1 … (1)

ando el cambio de volumen.

WV  P (V2  V1 )

100 kJ

kJ

Ppist =P1-Patm bar

3397 kPa

=

partir de la presión que ejerce y su peso



m pist  kg

s cerrados:

kJ

( Apist )( Ppist ) g

50 kJ