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INDICE

DOCENTE: ING. ARTURO DUBRAVCIC ALAIZA

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FICHA ACADEMICA PRODUCTO N°3 NOMBRE: Programa Computarizado Propiedades Geométricas de Figuras Planas CONCEPTO: Es una herramienta de trabajo mecanizada, que le permite al usuario de la misma, procesar acciones o determinaciones preestablecidas para la que fue creada. FINALIDAD: Se ejecuta para agilizar, automatizar y darle seguridad a los cálculos y acciones, que pueden resultar tediosos, morosos y susceptibles a cometer errores cuando son realizados en forma manual. PROPOSITO: El propósito académico de este producto es integrar conocimientos, destrezas y habilidades logrados por los estudiantes de las asignaturas de Estática I e Informática II. DESARROLLO: Este producto será desarrollado el periodo comprendido, entre el 6 de octubre y el 27 de octubre de 2014. Su ejecución se la realizara en el Laboratorio de Informática de la carrera de Ing. Civil, en el aula y en horas extra clase. 

 

Se elaborara el Marco Teórico del producto y se analizara el procedimiento manual para la determinación de: Centroides de Gravedad, Momentos de Inercia con respecto a los ejes centroidales x e y, Momento de Inercia Polar, Ejes Paralelos, Ejes Girados y Radios de Giro de figuras planas: “H”, “I”, “C” Y “II”. Se elaborara el diagrama de flujo para la mecanización (entrada de datos, procesamiento de la información y reporte de resultados). En el laboratorio de Informática de la carrera de Ingeniera Civil se elaborara el Programa computarizado, aplicando el lenguaje de programación desarrollado en la asignatura de Informática II.

PRODUCTO: La carpeta – informe a presentar debe incluir:  

 

Portada que identifique el producto del taller y a los estudiantes que participaron en el logro del mismo y la gestión académica. Índice del contenido del informe(Ficha académica del producto) o Marco teorico. o Planeamiento del trabajo de campo, de laboratorio y de gabinete. o Resultados y conclusiones sobre el trabajo realizado. Desarrollo del contenido (informe del trabajo realizado) Anexos: diagrama de flujo, el programa, pruebas desarrolladas y certificaciones de que el programa corre sin restricciones, manual del usuario y un CD con los archivos del producto.

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BIBLIOGRAFIA: En el desarrollo de este producto se debe consultar la misma bibliografía y los apuntes de clases de las asignaturas Informática II y Estática I. (Asignaturas precedentes)

INFORME DEL TRABAJO REALIZADO 1.- OBJETIVOS: OBJETIVO GENERAL: Diseñar un programa computarizado capaz de calcular los Centroides de Gravedad, Momentos de Inercia con respecto a los ejes centroidales x e y, Momento de Inercia Polar, Ejes Paralelos, Ejes Girados y Radios de Giro de figuras planas, integrando a su vez los distintos conocimientos adquiridos de las materias de Estática I e Informática II. OBJETIVO SECUNDARIOS:  

Verificar los resultados del programa de forma manual con valores numéricos. Adquirir la capacidad del manejo de los programas de Excel para facilitar los cálculos

2.-MARCO TEORICO: LA GEOMETRÍA PLANA Es la rama de la geometría elemental que estudia las propiedades de superficies y figuras planas. Esta parte de la geometría también se conoce como geometría euclídea, en honor al matemático griego Euclides, el primero en estudiarla en el siglo IV a.C. Su extenso tratado Elementos de geometría se mantuvo como texto autorizado de geometría hasta la aparición de las llamadas Geometría no euclideas en el siglo XIX. Figura geométrica Una figura geométrica es un conjunto no vacío cuyos elementos son puntos. Las figuras geométricas son el objeto de estudio de la geometría, rama de las matemáticas que se dedica a analizar las propiedades y medidas de las figuras en el espacio o en el plano.

CLASIFICACIÓN DE LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS:

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Un segmento (1 dimensión) puede generar un polígono (2 dimensiones). Mediante nuevas transformaciones podemos obtener un poliedro (3 dimensiones), un polícoro (4 dimensiones) o diversospolitopos (n dimensiones). Proyección de un hipercubo, con una transformación similar a la que se puede aplicar a un cubo de tres dimensiones o también llamado 3D. Para definir y clasificar las figuras geométricas, comúnmente se debe recurrir a conceptos primitivos, tales como el de punto, recta, plano y espacio, que en sí mismas también se consideran figuras geométricas. A partir de ellas es posible obtener todas las figuras geométricas, mediante transformaciones y desplazamientos de sus componentes.

Figuras geométricas de acuerdo con sus dimensiones

Dimensión 0 (adimensional)

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Punto

Dimensión 1 (lineales) 

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Recta 

Semirrecta



Segmento

Curva

Dimensión 2 (superficiales) 

Plano

Delimitan superficies (figuras geométricas en sentido estricto): 



Polígono 

triángulo



cuadrilátero

Sección cónica 

elipse 

circunferencia



parábola



hipérbola

Describen superficies: 

Superficie de revolución



Superficie reglada

Dimensión 3 (volumétricas) Delimitan volúmenes (cuerpos geométricos): 

Poliedro

Describen volúmenes: 

Sólido de revolución 

cilindro



cono DOCENTE: ING. ARTURO DUBRAVCIC ALAIZA

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esfera

Dimensión n (n-dimensionales) 

Politopo

CUERPOS GEOMÉTRICOS Cuerpos geométricos o figuras geométricas «sólidas» que delimitan volúmenes. Un cuerpo geométrico es una figura geométrica tridimensional, es decir, que posee largo, ancho y alto, que ocupa un lugar en el espacio y que por lo tanto posee un volumen. Los cuerpos geométricos se pueden clasificar a su vez en poliedros y cuerpos geométricos redondos o no poliedros. Poliedros Los poliedros o cuerpos planos, son cuerpos geométricos cuyas caras son todas figuras geométricas exclusivamente planas. Entre los más conocidos se encuentran los siguientes: •

Sólidos platónicos

•

Pirámide

•

Prisma

Redondos Los cuerpos redondos son aquellos que tienen, al menos, una de sus caras o superficies de forma curva. Entre los más conocidos se encuentran: •

Esfera

•

Cilindro

•

Toro

•

Cono

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CENTRO DE GRAVEDAD

El centro de gravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo.

Paso 1: Considerar arbitraria.

una

figura

2D

Paso 2: Suspéndase la figura desde un punto cercano a una arista. Marcar la línea vertical con una plomada.

Paso 3: Suspéndase la figura de otro punto no demasiado cercano al primero. Marcar otra línea vertical con la plomada. La En otras palabras, el centro de intersección de las dos líneas es el centro gravedad de un cuerpo es el de gravedad. punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo. El c.g. de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo. Así, el c.g. de una esfera hueca está situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo. En física, además del centro de gravedad aparecen los conceptos de centro de masa y de centro geométrico o centroide que, aunque pueden coincidir con el centro de gravedad, son conceptualmente diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la distribución de materia, mientras que el centro de gravedad depende también del campo gravitatorio. Centro de masa y centro de gravedad:

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El centro de masa coincide con el centro de gravedad cuando el cuerpo está en un campo gravitatorio uniforme. Es decir, cuando el campo gravitatorio es de magnitud y dirección constante en toda la extensión del cuerpo. A los efectos prácticos esta coincidencia se cumple con precisión aceptable para casi todos los cuerpos que están sobre la superficie terrestre, incluso para una locomotora o un gran edificio, puesto que la disminución de la intensidad gravitatoria es muy pequeña en toda la extensión de estos cuerpos. Centro geométrico y centro de masa: El centro geométrico de un cuerpo material coincide con el centro de masa si el objeto es homogéneo (densidad uniforme) o cuando la distribución de materia en el sistema tiene ciertas propiedades, tales como simetría. PROPIEDADES DEL CENTRO DE GRAVEDAD La resultante de todas las fuerzas gravitatorias que actúan sobre las partículas que constituyen un cuerpo pueden reemplazarse por una fuerza única, Mg, esto es, el propio peso del cuerpo, aplicada en el centro de gravedad del cuerpo. Esto equivale a decir que los efectos de todas las fuerzas gravitatorias individuales (sobre las partículas) pueden contrarrestarse por una sola fuerza, −Mg, con tal de que sea aplicada en el centro de gravedad del cuerpo, como se indica en la figura. Un objeto apoyado sobre una base plana estará en equilibrio estable si la vertical que pasa por el centro de gravedad corta a la base de apoyo. Lo expresamos diciendo que el c.g. se proyecta verticalmente (cae) dentro de la base de apoyo. Además, si el cuerpo se aleja ligeramente de la posición de equilibrio, aparecerá un momento restaurador y recuperará la posición de equilibrio inicial. No obstante, si se aleja más de la posición de equilibrio, el centro de gravedad puede caer fuera de la base de apoyo y, en estas condiciones, no habrá un momento restaurador y el cuerpo abandona definitivamente la posición de equilibrio inicial mediante una rotación que le llevará a una nueva posición de equilibrio. La diferencia entre centro de masas y el centro de gravedad se debe en este caso a que el extremo de la barra más cercano al planeta es atraído gravitatoriamente con mayor intensidad que el extremo más alejado. SEGUNDO MOMENTO O MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA. Por ejemplo, considérese una viga de sección transversal uniforme la cual está sometida a dos pares iguales y opuestos que están aplicados en cada uno de los extremos de la viga. Se dice que una viga en tales condiciones está en flexión pura y en la mecánica de materiales se demuestra que en las fuerzas internas en cualquier sección de la viga son fuerzas distribuidas cuyas magnitudes varían linealmente con la distancia y que hay entre el elemento de área y un eje que DOCENTE: ING. ARTURO DUBRAVCIC ALAIZA

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pasa a través del centroide de la sección. Dicho eje representado por x, se conoce como el eje neutro. Las fuerzas en un lado del eje neutro son fuerzas de compresión, mientras que las fuerzas en el otro lado son fuerzas de tensión; sobre el propio eje neutro de las fuerzas son iguales a cero. La magnitud de la resultante R de las fuerzas elementales F que actúan sobre toda la sección está dada por la fórmula. La última integral obtenida se conoce como el primer momento Qx de la sección con respecto del eje x; dicha cantidad es igual a YA y por lo tanto, es igual a cero puesto que el centroide de la sección está localizado sobre el eje x. Por consiguiente el sistema de fuerzas F se reduce a un par. La magnitud m de dicho par debe ser igual a la suma de los momentos Mx = yF = Ky2 A de las fuerzas elementales. La última integral se conoce como segundo momento o momento de inercia, de la sección de la viga con respecto del eje x y se representa con Ix. El segundo momento se obtiene multiplicando cada elemento de área dA por el cuadrado de su distancia desde el eje x e integrándolo sobre la sección de la viga. Como cada producto y2 dA es positivo, sin importar el signo de y, o cero, la integral Ix siempre será positiva. DETERMINACIÓN INTEGRACIÓN.

DEL

MOMENTO

DE

INERCIA

DE

UN

ÁREA

POR

En la sección anterior definimos el momento de segundo orden, o momento de inercia de un área A con respecto al eje x. De manera similar el momento de inercia Iy. del área A con respecto al eje y, se define como: Ix = " y2 dA Iy = " x2 dA

dIx = y2dA dIy = x2Da

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FUERZAS DISTRIBUIDAS: Momentos de inercia: Estas integrales que se conocen como los momentos rectangulares de inercia del área A, pueden calcularse fácilmente si se escoge para dA una franja angosta paralela a uno de los ejes coordenados. Para calcular Ix, escogemos una franja paralela al eje x, tal que todos los puntos que la componen estén a la misma distancia y del eje x el momento de inercia dIx de la franja se obtiene, entonces, multiplicando el área dA de la franja por y2. Para calcular Iy, la franja se escoge paralela al eje y tal que todos los puntos que la forman estén a la misma distancia x del eje y el momento de inercia dIy de la franja es x2dA.

Momento polar de inercia:

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Una integral de gran importancia en los problemas relacionados con la torsión barras cilíndricas y en los problemas relacionados con la rotación de placas es la siguiente Jo = r2 dA Donde r es la distancia desde 0 hasta el área elemental da Esta integral es el momento polar de inercia del área A con respecto del "polo' 0. El momento polar de inercia de un área dada puede calcularse a partir de momentos rectangulares de inercia I X e IY del área si dichas cantidades ya son conocidas. De hecho, observando que r2 '= X2 + y2, se escribe RADIO DE GIRO DE UN ÁREA: Considérese un área A que tiene un momento de inercia IX, con respecto del eje x. Imagínese que se ha concentrado esta área en una tira delgada paralela al eje x. Si el área A, concentrada de esta forma, debe tener el mismo momento de inercia con respecto de¡ eje x, la tira debe ser colocada a una distancia kx, a partir del eje x, donde k., está definida por la relación Ix = kx2 Resolviendo para kx, se escribe

Se hace referencia a la distancia kx , como el radio de giro del área con respecto del eje x. En una forma similar, se pueden definir los radios de giro ky. y así, se escribe. Si se reescribe la ecuación en términos de los radios de giro, se encuentra que Ko2 = kx2 +ky2 TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS.

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Consideremos el momento de inercia I de una área A con respecto a un eje AA'. representando con y la distancia desde un elemento de área dA hasta AA', escribimos:

Dibujemos ahora un eje BB' paralelo a AA' que pase por el centroide C del área: este eje es llamado un eje centroidal. Llamando y' la distancia del elemento dA a BB', escribimos y = y' + d, donde d es la distancia entre los ejes AA' y BB'. Remplazando y en la integral de I, escribimos La primera integral representa el momento de inercia I del área con respecto al eje centroidal BB'. La segunda integral representa el momento de primer orden del área con respecto a BB'; como el centroide C del área está localizado sobre ese eje. la segunda integral debe ser nula. Finalmente, observamos que la última integral es igual al área total A. Escribimos entonces, I = I + Ad2 . Esta fórmula expresa que el momento de inercia I de una área con respecto a cualquier eje dado AA' es igual al momento de inercia I del área con respecto a ,un eje centroidal BB' paralelo a AA' más el producto Ad2 del área A y el cuadrado de la distancia d entre los dos ejes. Este teorema se conoce como el teorema de los ejes paralelos. Remplazando I Por k2 A e I por K2 A. el teorema puede también expresarse de la siguiente manera: k 2 = K2 + d2 Un teorema similar se puede usar para relacionar el momento polar de inercia J de una área con respecto a un punto 0 y el momento polar de inercia Jc de la misma área con respecto a su centroide C. Llamando d la distancia entre 0 y C.

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Se debe señalar que el producto Ad2 fue restado del momento de inercia dado con el fin de obtener el momento centroidal de inercia del triángulo. Obsérvese que dicho producto se sana cuando se pasa de un eje centroidal a un eje paralelo, pero debe restarse cuando se pasa a un eje centroidal. En otras palabras, el momento de inercia de un área siempre es menor con respecto de un eje centroidal que con respecto de cualquier otro eje paralelo. MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS COMPUESTAS: Consideremos una área compuesta A formada por varias áreas componentes A1, A2. etc. Como la integral que representa el momento de inercia de A puede subdividirse en integrales calculadas sobre A1 , A2. etc.. el momento de inercia de A con respecto a un eje dado se obtendrá sumando los momentos de inercia de las áreas A1, A2. etc.. con respecto al mismo eje. El momento de inercia de una área formada por varias de las formas comunes mostradas en la figura 9.12 puede entonces obtenerse de las fórmulas dadas en esa figura. Sin embargo, antes de sumar los momentos de inercia de las áreas componentes, se debe usar el teorema de los ejes paralelos para referir cada momento de inercia al eje deseado. Producto de inercia La integral

la cual se obtiene al multiplicar a cada elemento dA de un área A por sus coordenadas x e y e integrando sobre toda el área se conoce como el producto de inercia del área A con respecto de los ejes x e y. A diferencia de los momentos de inercia 1x e IY, el producto de inercia puede ser positivo, negativo o cero.

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Cuando uno o ambos de los ejes x e y son ejes de simetría del área A, el producto de inercia Ixy. es igual a cero. Para los productos de inercia se puede derivar un teorema de ejes paralelos similar al establecido en la sección para momentos de inercia. Considérese un área A y un sistema de coordenadas rectangulares x e y. A través del centroide C del área, cuyas coordenadas son X e Y se dibujan dos ejes centroidales x' e y' que son paralelos, respectivamente, a los ejes x e y, Representando con x e y las coordenadas de un elemento de área dA con respecto de los ejes originales y con x' e y' las coordenadas del mismo elemento con respecto de los ejes centroidales, se escribe x = x' + X e y = y' + Y. Sustituyendo las relaciones anteriores en la ecuación (9.12), se obtiene la siguiente expresión para el producto de inercia (x' + !)(y' + -) dA y IXY:

La primera integral representa el producto de inercia IXÝ´ del área A con respecto de los ejes centroidales x' e y'. Las dos integrales siguientes representan primeros momentos del área con respecto de los ejes centroidales; dichas integrales se reducen a cero puesto que el centroide C está localizado sobre esos ejes. Finalmente, se observa que la última integral es igual al área total A. Por lo tanto, se tiene que

3.-PLANEAMIENTO DEL TRABAJO DE CAMPO: El programa computarizado de propiedades geométricas de figuras planas nos llevó a comprender cuan importantes son los cálculos de los centros de gravedad, los momentos de inercia, los radios de giro, para nuestra carrera; desde luego es importante mencionar que los cálculos deben ser realizados con mucha precisión y sin margen de error para que de esta manera los resultados sean los correctos. DOCENTE: ING. ARTURO DUBRAVCIC ALAIZA

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El planeamiento de nuestro producto n°3 fue realizado en horas de clase, en los laboratorios de Informática y algunas veces fuera de clases, es decir en horas extras en casa de un integrante de grupo para poder resumir nuestro de campo presentaremos las fechas de realización. LUNES 6 DE OCTUBRE: Empezamos con las ideas principales para poder realizar nuestro producto esto fue hecho en clases con la ayuda de nuestro docente Ing. Arturo Dubravcic, todos llevamos nuestros apuntes de la materia de Estática I puesto que algunos integrantes del grupo cursaron esta materia con distintos docentes, vimos que todo tenía relación y decidimos empezar a calcular la primera figura. MARTES 7 DE OCTUBRE: En horas de clase y una hora extra después de pasar taller calculamos la figura H los centroides de gravedad, sus momentos de inercia y el momento de inercia polar, esto fue muy agradable porque todos aportaron y dieron su opinión en los cálculos. LUNES 13 DE OCTUBRE: Mientras unos compañeros del grupo iban calculando los centroides de gravedad, los momentos de inercia, los radios otros compañeros que son parte del grupo iban introduciendo los cálculos al programa de Excel y desde luego verificando los cálculos con valores específicos. MARTES 14 DE OCTUBRE: Nos reunimos en horas extra de clase para realizar los cálculos de las las figuras que faltaban es decir las figuras C, II. Nos repartimos la teoría para poder facilitar el trabajo y que de esta manera todos los integrantes aporten al informe. LUNES 20 DE OCTUBRE: Presentamos nuestro programa al docente de la materia y nuestro avance hasta la fecha, saliendo de clase nos dirigimos a un aula de nuestra carrera para poder realizar los detalles de color, de presentación. MARTES 21 DE OCTUBRE: Nos reunimos en casa de un compañero para poder revisar la teoría del informe y decidimos realizar otras figuras aparte de lo pedido en el producto, es decir calcular los momentos de inercia, etc. de figuras que consideramos importantes. SABADO 25 DE OCTUBRE: Nos reunimos para poder imprimir el informe, quemar los archivos y el programa a un CD para la presentación de nuestro producto el día lunes 27 de octubre y verificamos nuevamente si nuestro programa corría y que no presentara fallas técnicas.

4.-PLANEAMIENTO DE LABORATORIO Y DE GABINETE:

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5.-CONCLUSIONES: 

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Mediante el programa de Excel, se agilizo la obtención de los cálculos; los cuales pueden ser morosos y susceptibles a cometer errores cuando son realizados de forma manual. Se integraron los conocimientos de las materias cursadas de Estática I e Informática I y II. Se profundizo las habilidades y destrezas en el manejo del programa por los integrantes del grupo. Se logró el propósito de integrar los conocimientos de Estática I e Informática II por medio de las habilidades de cada uno de los integrantes del grupo.

6.-RESULTADOS: Como resultado del producto Nª 3 estableceremos algunos puntos más sobresalientes y muy importantes que nos sirvió para fortalecernos como grupo de trabajo. Primeramente nos propusimos resolver manualmente las figuras planteadas como problema del producto de tal manera que luego se pueda verificar con dicho programa. Nos planteamos las figuras con sus respectivas cotas de tal manera que sean variables, es decir (a, b, c, d, e, f, g, h,…, etc.), luego se las determino las mismas teóricamente en nuestros cuadernos. Posteriormente toda la solución analítica se la estableció en el programa de Excel, el cual fue muy sencillo y nos facilitó mucho en el proceso de su ejecución. Introducimos la formula al programa con las variables pero dándoles un valor cualquiera para tener un resultado y luego poder poner cualquier valor y poder obtener el resultado.

7.-DESARROLLO DEL CONTENIDO:

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