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TEMA 1.- PROBABILIDAD.-CURSO 2016/2017

1.1.- Introducción. Definición axiomática de probabilidad. Consecuencias de los axiomas. 1.2.- Probabilidad condicionada. 1.3.- Independencia de sucesos. 1.4.- Teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes

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1.1.INTRODUCCIÓN. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS.  El Cálculo de Probabilidades es la ciencia que permite analizar de manera adecuada los fenómenos que presentan incertidumbre, llamados fenómenos aleatorios y que son el objeto de estudio de este tema. Ejemplo 1: Lanzamiento de un dado, número de veces que hay que lanzar una moneda para obtener cara o tiempo hasta que se imprime un trabajo  La axiomática de Kolmogorov nos permite definir una medida de la posibilidad de ocurrencia de un determinado suceso asociado a un fenómeno aleatorio, medida a la que llamaremos probabilidad del suceso.  Los fenómenos aleatorios se estudian mediante experimentos, llamados, experimentos aleatorios. 2

DEFINICIONES Definición 1: Llamaremos experimento aleatorio a un experimento que cumple: a) Antes de realizar el experimento no sabemos cual va a ser el resultado del mismo, pero sí conocemos los distintos resultados posibles del experimento. b) El experimento puede repetirse tantas veces como sea necesario en idénticas condiciones.

Definición 2: Llamaremos espacio muestral asociado a un experimento aleatorio y lo denotaremos por E, al conjunto de todos los posibles resultados del experimento. Cada uno de estos resultados posibles se llama suceso elemental. El espacio muestral puede ser finito, infinito numerable e incluso infinito no numerable. 3

Definición 3: Llamaremos suceso compuesto o simplemente suceso, a cualquier subconjunto del espacio muestral E. Los sucesos se denotan con letras mayúsculas: A, B, C,,…Los elementos con minúsculas: a,b,.. Un conjunto o suceso A se caracteriza mediante la propiedad que cumplen todos sus elementos o dando todos sus elementos, entre llaves. Llamaremos suceso seguro al que se verifica siempre (notación: E ). Llamaremos suceso imposible al que no se verifica nunca (  ). Ejemplo 2: Experimento aleatorio: lanzar un dado. Espacio muestral : E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Suceso A: obtener un 5 o A = {5}. A es un suceso elemental. Suceso B: obtener un número par o B = {2, 4, 6}. B es un suceso compuesto. Suceso C: obtener un número mayor que 6 o C =  . C es un suceso imposible. Suceso D: obtener par o impar o D = E. D es un suceso seguro. 4

Definición 4: Se llama espacio de sucesos al conjunto S formado por todos los sucesos (elementales y compuestos) incluidos el suceso imposible y el suceso seguro. Este conjunto puede ser finito, infinito numerable o infinito no numerable. Ejemplo 3: Experimento aleatorio: lanzar un dado. Espacio muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Espacio de sucesos: S = {  , E, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1,2},{1,3},….,{5,6}, {1,2,3}, {1,2,4},…,{4,5,6},…..,{1,2,3,4,5},…., {2,3,4,5,6}} En este caso, el número de elementos de S es 26. 5

OPERACIONES CON SUCESOS Sean A y B dos sucesos cualesquiera de E asociados a un experimento aleatorio, entonces: a) Llamamos suceso unión de A y B y lo designamos por A  B , al suceso que resulta cuando ocurre A o B o ambos a la vez. b) Llamamos suceso intersección de A y B y lo designamos por A  B , al suceso que resulta cuando ocurren a la vez A y B. Decimos que A y B son disjuntos o incompatibles si A  B   . c) Llamamos suceso contrario o complementario de A y lo designamos por A , al que se verifica cuando no lo hace A. d) Llamamos suceso diferencia de A y B y lo designamos por A-B al que resulta cuando ocurre A y no ocurre B. Observemos que A B  A B . e) Decimos que A está contenido en B (A implica B) y lo designamos por A  B , si siempre que ocurre A ocurre B. 6

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON SUCESOS  Conmutativa : A  B  B  A A B  B  A  A    A; A      A  E  E; A  E  A  Asociativa:  A  B  C  A   B  C   A  A  A; A  A  A  A  B  C  A   B  C   Distributiva: A   B  C    A  B   A  C  A   B  C    A  B   A  C  

Leyes de De Morgan: A B  A B



A   A  B  A  B

 para cualquier B



 A  A  E; A  A  

A B  A B 7

A partir de un enunciado será imprescindible escribir en notación conjuntista un cierto suceso. Ejemplo 4:

También es importante conocer los elementos de algunos sucesos sencillos

Ejemplo 5: hacer problema 1 a) de la hoja de problemas 8

DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD Definición Sea E el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio y sea  una -álgebra de sucesos de E (subconjunto de S con buenas propiedades). Diremos que la aplicación P :    es una PROBABILIDAD si verifica los siguientes axiomas:

 Axioma 1 A  , P  A  0  Axioma 2 P  E   1  Axioma 3 Si  Ai iI   , son sucesos incompatibles dos a dos, es decir, Ai  A j   i  j , entonces

  P   Ai    P  Ai  ,  iI  iI

donde I puede ser un conjunto de sucesos finito o infinito numerable . 9

La función probabilidad asigna a cada suceso A un número entre 0 y 1:  Si P(A) es cercana a 0, indica posibilidad pequeña de que ocurra el suceso A. Si P(A) = 0, es imposible que ocurra A. En este caso A   .  Si P(A) es cercana a 1, indica posibilidad alta de que ocurra el suceso A. Si P(A) = 1, A ocurre con total seguridad. En este caso, A = E PROPIEDADES CONSECUENCIA DE LOS AXIOMAS Propiedad 1 Si A   , entonces 0  P  A  1 Propiedad 2 P  A   1  P  A  ( también se escribe P  A   1  P  A  ) Propiedad 3 P     0 Propiedad 4 Si A es un suceso cualquiera, siempre se verifica que P  A  P  A  B   P  A  B 

siendo B cualquier suceso. Propiedad 5 P  A  B   P  A  B   P  A  P  A  B  10

Propiedad 6 Si A, B   son tales que A  B , entonces o P  A  P  B  o P  B  A  P  B   P  A . Propiedad 7 Si A y B son sucesos cualesquiera, entonces P  A  B   P  A  P  B   P  A  B 

Si A, B y C son sucesos cualesquiera, entonces P  A  B  C   P  A  P  B   P  C   P  A  B  P  A  C   P  B  C   P  A  B  C 

Esta propiedad se puede generalizar al caso de más de tres sucesos P  A1  A2  ...  An    P  Ai    P  Ai  Aj   n

i 1

n

i j

 P A  A n

i j k

i

j  Ak   ...   1

n 1

P  A1  A2  ...  An 

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Propiedad 8 (Regla de Laplace) Sea E un espacio muestral FINITO E   A1 , A2 ,..., An  asociado a un experimento aleatorio. Si se asignan probabilidades a cada suceso elemental  Ai  i  1,2,..., n entonces para cualquier subconjunto B de E, la probabilidad de B se calcula como P  B 

 P  A  

A j B

j

En concreto, si los sucesos  Ai  i  1,2,..., n son IGUALMENTE POSIBLES, (es decir, P  Ai   1/ n ) entonces, k nº de elementos de B casos favorables a B P  B    n nº de elementos de E casos posibles del experimento .

Para aplicar la regla de Laplace hay que contar el número de elementos de un conjunto. Necesitaremos utilizar el Análisis Combinatorio. 12

ANALISIS COMBINATORIO Si tengo n elementos y quiero contar cuántos grupos de k elementos puedo hacer, debo de responder a tres preguntas:  P1: ¿Importa el orden de los k elementos dentro de un grupo?  P2: ¿Se pueden repetir los elementos dentro de un grupo?  P3: ¿ k < n o k = n? (Si hay repetición puede pasar que k > n) Variaciones

P1 P2 P3

SI NO kn

Combinaciones

Permutaciones

Permutaciones con repetición

NO NO k