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Prensas de la Universidad

Teoría de máquinas e instalaciones de fluidos Juan Antonio García Rodríguez y Esteban Calvo Bernad

Teoría de máquinas e instalaciones de fluidos

Juan Antonio García Rodríguez y Esteban Calvo Bernad

TECNOLÓGICAS

ISBN 978-84-15770-26-8

Prensas de la Universidad

TABLA DE CONTENIDOS

Prefacio 7   1.  Concepto y clasificación de máquinas de fluidos 9   2.  Algunos conceptos básicos de mecánica de fluidos. Aplicación a turbina Pelton 23   3.  Análisis dimensional en tuberías y turbomáquinas 45   4.  Instalaciones de bombeo y ventilación 57   5.  Regulación de caudal en instalaciones de bombeo y ventilación 79   6.  Transitorios en instalaciones. Golpe de ariete 93   7.  Geometría y cinemática de turbomáquinas hidráulicas 105   8.  Potencias y rendimientos 115   9.  Teoría fundamental de turbomáquinas hidráulicas 129 10.  Aerodinámica aplicada a máquinas de fluidos 159 11.  Teoría de semejanza en turbomáquinas y parámetros específicos 169 12.  Cavitación 183 Bibliografía 205

TEORÍA DE MÁQUINAS E INSTALACIONES DE FLUIDOS Juan Antonio García Rodríguez y Esteban Calvo Bernad

Prensas de l a u n i v e r s i d a d d e zaragoza

GARCÍA RODRÍGUEZ, Juan Antonio Teoría de máquinas e instalaciones de fluidos / Juan Antonio García Rodríguez y Esteban Calvo Bernad. — Zaragoza : Prensas de la Universidad de Zaragoza, 2013 210 p. : il. ; 23 cm. — (Textos docentes ; 222) Bibliografía: p. 205. — ISBN 978-84-15770-26-8 1. Turbomáquinas–Tratados, manuales, etc. 2. Mecánica de fluidos–Tratados, manuales, etc. CALVO BERNAD, Esteban 532(075.8) 62-13(075.8) Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra.

© Juan Antonio García Rodríguez y Esteban Calvo Bernad © De la presente edición, Prensas de la Universidad de Zaragoza 1.ª edición, 2013

Colección de Textos Docentes, n.º 222 Prensas de la Universidad de Zaragoza. Edificio de Ciencias Geológicas, c/ Pedro Cerbuna, 12, 50009 Zaragoza, España. Tel.: 976 761 330. Fax: 976 761 063 [email protected] http://puz.unizar.es Esta editorial es miembro de la UNE, lo que garantiza la difusión y comercialización de sus publicaciones a nivel nacional e internacional. Impreso en España Imprime: Servicio de Publicaciones. Universidad de Zaragoza D.L.: Z-249-2013

Prefacio Este libro recoge los contenidos teóricos que se imparten en la asignatura Máquinas e Instalaciones de Fluidos de los grados en Ingeniería de Tecnologías Industriales y en Ingeniería Mecánica que se imparten en la Escuela de Ingeniería y Arquitectura (EINA) de la Universidad de Zaragoza. Se incluyen también algunos aspectos no tratados en la actual asignatura con la intención de que el texto sirva como una primera aproximación para el tratamiento de las máquinas y de las instalaciones de fluidos. El orden y la estructura de los capítulos se pueden ajustar a la secuencia de clases en un curso de dicha asignatura, aunque, desde luego, puede haber otras programaciones temporales para la impartición de acuerdo con las preferencias del profesor. Los autores desean expresar su gratitud hacia sus familias y sus compañeros del Área de Mecánica de Fluidos. Quieren resaltar, especialmente, la disponibilidad y aportaciones de los compañeros que imparten la asignatura de la que trata este libro a través de sus opiniones y material elaborado para asignaturas similares pertenecientes a planes de estudio anteriores, como Máquinas Hidráulicas y Transporte y Distribución de Fluidos. También agradecen el excelente trabajo de los profesores de la asignatura de Mecánica de Fluidos, que proporcionan a los alumnos los conceptos y habilidades necesarios para abordar el estudio de las máquinas de fluidos y de las instalaciones para la distribución de estos.

1. Concepto y clasificación de las máquinas de fluidos El ser humano siempre ha necesitado el agua. Los asentamientos se producían cerca de recursos hídricos y cuando estos asentamientos fueron creciendo se enfrentaron al problema del abastecimiento. Tanto para mover los líquidos necesarios para el abastecimiento, a través de redes en las comunidades humanas, como para otros muchos usos que se han derivado del avance tecnológico (por ejemplo, la bomba de aceite en los automóviles), como para aprovechar la energía potencial contenida en el agua que procede de la lluvia y el viento se han desarrollado máquinas que interaccionan con los fluidos. En este capítulo se presenta un desarrollo histórico de las máquinas que se usan con fluidos (apartado 1.1), se esboza cómo en estas máquinas se intercambia energía con elementos mecánicos (1.2) y se clasifican según diferentes características distintivas (sección 1.3) relacionadas con su funcionamiento, geometría y sentido del intercambio de energía fundamentalmente. En el apartado 1.4 se presentan los tipos más usados de máquinas volumétricas y sus características, que no volverán a ser tratadas en los siguientes capítulos. En el apartado 1.5 se describe la turbina Pelton, que tampoco se tratara en los restantes capítulos.

1.1. Desarrollo histórico Las primeras obras hidráulicas conocidas, en forma de presas y sistemas de irrigación, que se conocen se realizaron en Egipto y en la Baja Mesopotamia. Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.) inventó la bomba de tornillo para extraer agua del interior de los barcos y, con la introducción del concepto de empuje, inició la ciencia en Mecánica de Fluidos en la que se basa el estudio de las máquinas hidráulicas y de las instalaciones de fluidos. En el siglo I a.C., Roma utiliza la rueda vertical en molinos de grano. Este imperio también realizó obras de ingeniería hidráulica en forma de acueductos o para la conducción del agua utilizada para eliminar ingentes cantidades de tierra en las minas de oro del noroeste de la península ibérica. Sextus Julius Frontinus (40-103 d.C.) escribió un tratado sobre los métodos de distribución del agua. La rueda horizontal se conoce en China en el siglo I d.C. Los molinos de viento se

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remontan, al menos, a la Persia del siglo VII, y aparecen en manuscritos occidentales del siglo XIII. En el Renacimiento, Leonardo da Vinci (1452-1519) estableció sus experiencias y observaciones en la construcción de instalaciones hidráulicas ejecutadas principalmente en Milán y Florencia y se ocupó del estudio de la aerodinámica desarrollando cuerpos fuselados y paracaídas. A lo largo de los siglos XVIII y XIX, en los estudios experimentales sobre el flujo en canales, resistencia de barcos, flujos en tuberías, etc., debidos, entre otros, a Venturi, Chezy, Francis, Hagen, Poiseuille, Darcy y Weisbach. William y Robert Froude establecieron importantes bases experimentales para el estudio de las máquinas e instalaciones de fluidos. Posteriormente, Rayleigh (1842-1919) desarrolló el método de análisis dimensional. A Leonhard Euler (1707-1783) se le debe la ecuación general del trabajo para todas las máquinas hidráulicas rotodinámicas o turbomáquinas (turbinas, bombas centrífugas, ventiladores, etc.), además de otras importantes contribuciones a la mecánica de fluidos, entre las que destaca el desarrollo de ecuaciones diferenciales generales del flujo para los fluidos ideales. En 1475, el ingeniero italiano del renacimiento Francesco di Giorgio Martini realiza un primer diseño que se puede considerar un modelo de bomba centrífuga. Sin embargo, el desarrollo sistemático de las bombas centrífugas no comenzó hasta el año 1600, cuando Denis Papin diseñó una bomba radial con las paletas rectas. La paleta curvada fue introducida por el inventor británico John Appold en 1851. Hacia 1770, el inglés Joseph Bramah, basándose en el principio de Pascal enunciado en su Tratado del equilibrio de los líquidos, patenta su invención de una prensa hidráulica. En la primera mitad del siglo XIX, Osborne Reynolds (1842-1912) desarrolla una patente sobre una bomba multietapa semejante a las actuales. Gaspard Darcy (1803-1858) trabaja en el cálculo de pérdidas en tuberías. Su estudio fue continuado por Julius Weisbach (1806-1871). A ellos debemos la ampliamente utilizada expresión de Darcy-Weisbach. Hagen y Poiseuille analizaron de forma independiente el movimiento de flujos viscosos en conductos. En 1883, Reynolds publicó su famoso trabajo sobre la estabilidad de la corriente laminar en tuberías y la transición a la turbulencia para distintos valores del parámetro adimensional que lleva su nombre. Allan Pelton, en 1879 inventó la turbina homónima. Se trata de una turbina de acción (el funcionamiento de esta máquina se describe en el capítulo 2). Las norias y turbinas hidráulicas han sido usadas históricamente para accionar molinos de diversos tipos, aunque eran bastante ineficientes. En el siglo XIX

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las mejoras logradas en las turbinas hidráulicas permitieron que, allí donde se disponía de un salto de agua, pudiesen competir con la máquina de vapor. En 1826 Benoît Fourneyron desarrolló una turbina de flujo externo de alta eficiencia (80%). El agua era dirigida tangencialmente a través del rodete de la turbina provocando su giro. Alrededor de 1820 Jean V. Poncelet diseñó una turbina de flujo interno que usaba los mismos principios, y S. B. Howd obtuvo en 1838 una patente en los EE.UU. para un diseño similar. En 1848 James B. Francis mejoró estos diseños y desarrolló una turbina con el 90% de eficiencia. Aplicó principios y métodos de prueba científicos para producir la turbina más eficiente elaborada hasta la fecha. Más importante, sus métodos matemáticos y gráficos de cálculo mejoraron el estado del arte en lo referente al diseño e ingeniería de turbinas. Sus métodos analíticos permitieron diseños seguros de turbinas de alta eficiencia. Viktor Kaplan (1876-1934) destaca por sus trabajos en las turbinas de hélices dentro de la hidráulica. En la época contemporánea se debe mencionar a L. Prandtl, R. H. Blasius, T. von Karman y J. Nikuradse. Los tres primeros, por sus trabajos en Mecánica de Fluidos que sirvieron para dilucidar la teoría del flujo turbulento; el último, trabajando con Ludwig Prandtl, realizó un completo estudio experimental sobre flujo en tuberías. Cabe destacar también las contribuciones de Colebrook y Moody para el cálculo del factor de fricción. En 1930 se empezaron a construir las bombas de paletas de alta presión y se introdujeron los sellos de caucho sintético. Diez años después los servomecanismos electrohidráulicos ampliaron el campo de aplicación de la oleohidráulica (rama de la hidráulica que utiliza aceite como fluido). Desde los años sesenta el esfuerzo en investigación de la industria ha conducido hasta los actuales sofisticados circuitos de la fluídica. En las máquinas e instalaciones que trabajan con fluidos se pueden observar algunos efectos perjudiciales que pueden desgastarlas y/o averiarlas. Para evitar estas adversidades se ha estudiado también el golpe de ariete y la cavitación como principales fenómenos causantes de estos problemas. Cuando se producen algunas modificaciones bruscas en una máquina o instalación de fluidos se desencadena un estado transitorio que puede dar lugar a importantes sobrepresiones y depresiones que se propagan por la instalación: a este fenómeno se le denomina golpe de ariete. En el estudio del golpe de ariete se deben destacar los trabajos de Michaud, Allievi, Wylie y Streeter. En el capítulo 6 se caracteriza con más detalle del golpe de ariete. Lord Rayleigh fue el primero en estudiar la cavitación a finales del siglo XIX. En el capítulo 12 se describe la cavitación y se desarrollan los conceptos

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necesarios para poder evitar este fenómeno en máquinas funcionando en instalaciones de fluidos.

1.2. Intercambio de energía Las máquinas de fluidos intercambian energía entre este fluido y algún elemento mecánico. También en la máquina se intercambia calor entre el fluido y el entorno. Por lo tanto, el fluido puede perder energía o ganarla en su tránsito por la máquina. En general, las máquinas de fluidos son aquellas que provocan intercambio de trabajo y/o calor entre el fluido y otro sistema. Así, un fluido que pase por una de estas máquinas ganará o perderá energía según sean los sentidos del intercambio de energía o calor entre él y el otro sistema.

FIGURA 1.1. Esquema general de una máquina de fluido

El desarrollo riguroso de la ecuación de la energía asociada al fluido se realizará en el capítulo 2. En este apartado, simplemente, se presenta una visión general sobre este intercambio energético. La energía de una porción de fluido suficientemente pequeña para que se pueda suponer que los valores de las variables relevantes son constantes en ella se puede expresar como:

ETOTAL = U + E CIN + E POT + E PRE

(1.1)

Donde U es la energía interna, ECIN la energía cinética, EPOT la energía potencial y EPRE la energía asociada a la presión estática, como se verá en el capítulo 2. Habitualmente se usa la energía por unidad de peso, a la que se denomina altura, H.

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H=

u P v2 + + +z g ρg 2 g

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(1.2)

Que se puede expresar en función de la entalpía por unidad de masa, h, como:

H=

h v2 + +z g 2g

(1.3)

El uso de h para designar a la entalpía por unidad de masa se ha utilizado en esta parte debido a que en casi toda la bibliografía se denota así. En el resto del texto, h se usará para designar alturas de pérdidas. La entalpía se emplea en el análisis de las máquinas térmicas, pero en este texto se desarrollará la teoría de máquinas hidráulicas en las que se desprecia la variación de energía interna, y, por tanto, la variación de la entalpía se dará solo por el término de presión. Así, no se producirán ambigüedades en la interpretación de h: a partir de aquí se refiere a alturas de pérdidas y no a entalpías. Muchos de los cálculos que se realizarán en este libro utilizarán el flujo de energía contenida en el fluido por unidad de tiempo en una sección, es decir, la potencia hidráulica que atraviesa una sección. Para obtener dicha magnitud es necesario integrar la energía de cada partícula fluida que atraviesa la sección. Se verá que la potencia hidráulica se puede expresar como:

W& = ρgQH

(1.4)

Donde, en este caso, H es la altura media que atraviesa una sección, calculando la media como un promedio en caudal.

H=

1 u P v2 + + + z dQ Q S∫ g ρg 2 g

(1.5)

S

Se verá, también en el capítulo 2, que este promedio en caudal es el que tiene sentido físico de acuerdo con las ecuaciones que se obtendrán al utilizar las ecuaciones físicas en los denominados volúmenes de control, que nos proporcionarán una descripción euleriana de los fenómenos en el flujo. Se ha utilizado la misma nomenclatura para la altura de una partícula fluida que para el promedio en caudal de las alturas correspondientes a las partículas fluidas que atraviesan una sección. Es habitual en los textos sobre la materia que no se hagan este tipo de distinciones, incluso se denominan de la misma manera las alturas medias correspondientes a una sección que las diferencias de alturas entre dos secciones. Por ejemplo, en los catálogos de bombas de los fabricantes se expresa como H la diferencia de altura entre la salida y la entrada de dicha má-

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quina. En el presente libro no se hará tampoco distinción en la nomenclatura para las variables comentadas, aunque sí se explicará en cada caso a qué se refiere el símbolo H. La variación de la energía del flujo entre la entrada y la salida a la máquina se puede expresar en función del trabajo, W, y del calor, Q, recibidos por el fluido como:

ΔETOTAL = Q + W

(1.6)

En las máquinas térmicas el intercambio de calor es importante y se tiene un significativo cambio en la energía interna. Sin embargo, en el estudio de las máquinas hidráulicas, que son las que se analizan en este libro, se desprecia el intercambio y la generación de calor, y, por tanto, la energía interna no cambia en el tránsito del fluido por la máquina. Así, en el estudio de las máquinas hidráulicas se puede obviar la variación de energía interna, y los desarrollos se centrarán en la evolución de la energía mecánica.

1.3. Clasificación Existen diversos mecanismos a través de los cuales se puede comunicar energía mecánica a un fluido. De acuerdo con el mecanismo de intercambio de energía utilizado por la máquina se pueden clasificar en dos categorías principales: Turbomáquinas: Máquinas que intercambian energía con el fluido a través de un elemento rotante (rodete o rotor) de forma continua. En estas máquinas el intercambio energético se produce entre el fluido y los álabes alojados, o que constituyen, el rotor o rodete. Máquinas de desplazamiento positivo o volumétricas: Máquinas que desplazan paquetes de fluido comunicándoles o restándoles energía. Las turbomáquinas, además, se pueden clasificar según el tipo de energía intercambiada: − Máquinas de acción: En ellas se intercambia solo energía cinética. − Máquinas de reacción: En ellas se intercambia energía de presión; puede que también se intercambie energía cinética. La mayor parte de las máquinas son de reacción. Se usan algunas turbinas de acción como las Pelton, Turgo y Banki, en las cuales un chorro de agua mueve el rodete produciéndose solo intercambio de energía cinética en el rodete. En función de la geometría del rodete y, por lo tanto, de acuerdo con la dirección de la velocidad en el rodete, las máquinas se pueden clasificar como:

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− Radiales: La velocidad del fluido dentro del rodete no tiene componente axial. − Axiales: La velocidad del fluido dentro del rodete no tiene componente radial. − Mixtas: La velocidad del fluido dentro del rodete tiene las tres componentes de velocidad.

FIGURA 1.2. Ventilador de flujo cruzado

En algunas máquinas el flujo en el rodete es más complejo. En las máquinas de flujo cruzado el fluido atraviesa dos veces los álabes del rodete. Entre las máquinas de flujo cruzado se pueden mencionar las turbinas Banki (esquematizada en la fig. 1.3), algunos ventiladores, como el representado en la fig. 1.2, y los aerogeneradores de eje vertical.

FIGURA 1.3. Esquema de una turbina Banki

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Si el flujo cede energía a la máquina se le llama motora y si es la máquina la que cede energía al flujo se llama impulsora. Las máquinas impulsoras que trabajan con líquidos se denominan bombas. En el caso de las máquinas impulsoras que trabajan con gases se diferencia entre ventiladores, sopladores y compresores según las variaciones de presión, que se provocan en el gas. Si la variación es pequeña, el flujo se puede considerar incompresible y se puede tratar de la misma manera que las máquinas para líquidos (ventiladores). En el caso de mayores variaciones de la presión los efectos termodinámicos adquieren importancia y se deben tratar como máquinas térmicas (sopladores y compresores). Las máquinas motoras se denominan turbinas. Existe una gran variedad de diseños de turbinas, entre las que se pueden destacar por su amplio uso los siguientes tipos: − Turbina Kaplan: turbomáquina de reacción de flujo axial. − Turbina Francis: turbomáquina de reacción de flujo radial. − Turbina Pelton: turbomáquina de acción en la que se genera un chorro que intercambia energía con el rodete. Su funcionamiento se describe en la sección 2.4. − Turbina Turgo: es de acción, también un chorro incide sobre un rodete (de diseño diferente al de la turbina Pelton). − Turbina Banki: también de acción, el flujo incide en el rodete en dos posiciones diferentes, por lo que se le llama de flujo cruzado, como se muestra en la fig. 1.3. En el siguiente esquema se muestra una clasificación de las máquinas de fluidos en la que se detallan principalmente las máquinas que se tratarán en este libro.

FIGURA 1.4. Clasificación de máquinas de fluidos

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1.4. Máquinas volumétricas En las máquinas volumétricas el desplazamiento del fluido se realiza a través del traspaso entre cavidades de volúmenes confinados. La cavidad de la que se aspira no está en contacto directo con la cavidad en la que se impulsa y los traspasos periódicos de volúmenes de fluido entre dos cavidades se realizan a través de un elemento móvil que está en contacto con dichas cavidades en momentos distintos. Hay diferentes elementos móviles según el tipo de bomba, pero en todos los casos la potencia mecánica se transmite a través de un eje giratorio. La principal ventaja de estas máquinas es que son capaces de proporcionar elevados incrementos de presiones. Sin embargo, los caudales que proporcionan son pequeños si se comparan con los que manejan las turbomáquinas. El volumen fluido que estas bombas trasvasan por cada revolución del eje se denomina cilindrada. El caudal teórico se obtiene entonces como el producto de la cilindrada por la velocidad de giro en revoluciones por segundo. En general, el caudal real es menor que el teórico por la aparición de un cierto flujo en dirección inversa por la holgura entre las piezas móviles y fijas. El flujo en dirección inversa depende de la diferencia de presiones entre la aspiración y la impulsión. Se define el rendimiento volumétrico como el cociente entre el caudal real y el teórico. La potencia comunicada al fluido se calcula como el producto del caudal real por la diferencia de presiones entre aspiración e impulsión. A continuación se presentan algunos tipos de máquinas que se comportan de acuerdo con esta definición: Bomba de émbolo:

FIGURA 1-5. Esquema de bomba de pistón.

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Existen muchas variantes de esta bomba de pistón en los que se mueven varios de estos pistones sincronizadamente. A modo de ejemplo se esquematizan a continuación las bombas rotativas de émbolos radiales:

admisión

impulsión

FIGURA 1.6. Esquema de bomba de émbolos radiales

Bomba de lóbulos:

FIGURA 1.7. Esquema de bomba de lóbulos

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Bomba de engranajes:

FIGURA 1.8. Esquema de bomba de engranajes

Bomba de aletas:

FIGURA 1.9. Esquema de bomba de aletas

Existen otros tipos, como las bombas de husillo, en las que se desplazan axialmente volúmenes de fluido que quedan atrapados entre el husillo, pieza helicoidal que gira excéntricamente, y la carcasa, que es fija. Estas bombas se utilizan

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principalmente para mover fluidos muy viscosos o que contienen partículas sólidas en suspensión. Esquemáticamente:

FIGURA 1.10. Esquema de bomba de husillo

En las máquinas volumétricas o de desplazamiento positivo el caudal viene dado por la velocidad de giro y el volumen de los paquetes transportados. Así, en principio, el caudal es independiente de la diferencia de presión entre la admisión y la impulsión. Para diferencias de presiones suficientemente altas se produce una desviación del comportamiento descrito por la aparición de un pequeño contraflujo inducido por esta diferencia de presiones. Estableciendo una analogía con el caso eléctrico se puede decir que una máquina volumétrica se comporta de forma análoga a una fuente de intensidad, salvo para presiones altas. En la fig. 11 se muestra, de forma cualitativa, la relación entre caudal y presión para estas máquinas, la llamada curva característica. Se usan para trabajar con líquidos muy viscosos que no pueden ser desplazados con turbomáquinas. Por otra parte, son autocebantes, puesto que no necesitan estar llenas de líquido para aspirar de un depsito situado en un nivel inferior al de la bomba (se verá en el capítulo 4 que las turbomáquinas necesitan estar llenas de líquido cuando aspiran de un depósito situado a un nivel inferior al de la bomba.

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FIGURA 1.11. Esquema de curva característica

FIGURA 1.12. Evolución del caudal saliente en una bomba de pistón

El hecho de que estas máquinas muevan volúmenes de fluido implica un flujo variable periódico (fig. 12). Si se considera, por ejemplo, una bomba de pistón, en el subciclo en el que en el está entrando fluido, no se tiene caudal en la salida, mientras que si se tiene caudal en la línea de entrada. Contrariamente, cuando la máquina está proporcionando caudal en la salida, no hay caudal entrando en ella. Por otra parte, si el pistón es movido a través de una biela el caudal en salida se-

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guirá una forma sinusoidal en el subciclo en el que sale caudal y el caudal en salida será nulo en el subciclo de aspiración. Para reducir la variación de caudal en cada ciclo se pueden usar más émbolos; de ahí la utilidad de las bombas rotativas de émbolos radiales (o de otros arreglos que buscan la reducción de la variación de caudal). En la siguiente gráfica se muestra, a modo de ejemplo, el caudal que proporcionaría una bomba con 4 pistones actuando con un desfase, con respecto al primer pistón, de π/2, π y 3π/2:

FIGURA 1.13. Evolución del caudal saliente en una bomba de cuatro pistones

Finalmente, se presenta una tabla con las principales características de algunos tipos de bombas volumétricas: Caudal máximo Presión máxima Rendimiento 200 l/min 400 bar 95% Bomba de pistones 200 l/min 250 bar 85-90% Bomba de engranajes 200 l/min 250 bar 80% Bomba de paletas 1800 l/min 175 bar 80-90% Bomba de husillo

2. Algunos conceptos básicos de Mecánica de Fluidos. Aplicación a turbina Pelton Para conocer la respuesta de una máquina hidráulica se usan las leyes de la Mecánica. Estos principios físicos se aplican a porciones materiales, las cuales ocupan un volumen fluido. La dificultad en seguir una porción material de fluido llevó a usar el concepto de volumen de control, que se expondrán en el apartado 2.1. Además, es necesario disponer de conocimientos de cálculo integral, diferencial y tensorial. En el presente capítulo se van a exponer estos conceptos básicos que serán necesarios en el posterior desarrollo de la teoría de máquinas hidráulicas. En el apartado 2.2 se expone cómo relacionar las derivadas temporales de integrales en volúmenes fluidos con las correspondientes en volúmenes de control y se repasan algunos elementos del cálculo diferencial e integral. En el apartado 2.3 se presentan las ecuaciones básicas de mecánica de fluidos que se necesitarán en los siguientes capítulos. En la sección 2.4 se aplicarán los conceptos expuestos al caso de la turbina Pelton. Es la única máquina de acción, y su funcionamiento no se tratará en los siguientes capítulos. En este se desarrolla un caso simplificado para ilustrar el funcionamiento de dicha turbina.

2.1. Volumen fluido y volumen de control En palabras sencillas, un volumen fluido es una porción de materia fluida objeto de estudio. Las leyes físicas, en principio, se aplican a ellos. Se puede imaginarlo, bien como una porción de materia fluida que se ha marcado (añadiéndole un colorante, por ejemplo), o bien como una «bolsa» muy ligera que rodea una porción de fluido y se mueve con él. Así, se puede seguir el movimiento de esa porción de materia y su deformación en todo instante de tiempo. La frontera del volumen fluido, Sf, es la superficie externa del volumen fluido. Por definición, la frontera Sf se mueve en cada punto a la velocidad del fluido. Un volumen fluido cualquiera puede expandirse y deformarse. Por el principio de conservación de la masa, no puede partirse o abrirse. Está sometido a fuerzas, intercambio de energía y otras interacciones con el fluido que lo envuelve a través de la frontera Sf.

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J.A. García, E. Calvo Sf(t+Δt) Sf(t) Vf(t+Δt)

Vf(t)

FIGURA 2.1. Esquema de un volumen fluido

Debido al complicado movimiento que presentan los volúmenes fluidos, es común el uso de volúmenes de control. Un volumen de control es una región del espacio fija o móvil, deformable o no, que se define de forma conveniente para nuestros fines. En la elección de los volúmenes de control se busca obtener ecuaciones más prácticas y cómodas de manejar. Se verá que la aplicación de las leyes físicas a los volúmenes fluidos, junto con el uso del Teorema de Transporte de Reynolds, permite la deducción de ecuaciones que se verifican en dichos volúmenes de control. El uso de volúmenes fluidos corresponde a una aproximación lagrangiana al estudio del flujo, mientras que los volúmenes de control corresponden a la aproximación euleriana.

S2 Ssol S1

VC

S2 Ssol S1

FIGURA 2.2. Volumen de control Vc definido en el interior de un rodete

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La frontera del volumen de control Sc es la superficie externa de dicho volumen. El fluido puede atravesar la frontera del volumen de control SC, ya que estos volúmenes no siguen el movimiento de fluido.

2.2. Herramientas de cálculo integral y diferencial Las leyes físicas se aplican, en principio, a volúmenes fluidos. Estas leyes relacionan el cambio de una magnitud física (su derivada temporal) de ese volumen fluido con las interacciones entre ese fluido y su entorno. Es necesario saber cómo se calculan estas derivadas temporales de propiedades extensivas (es decir, integradas a un volumen).

2.2.1. Derivada de una propiedad Γ asociada a un volumen de control y a un volumen fluido Se denomina propiedad intensiva a una magnitud que expresa la cantidad de cierta magnitud por unidad de volumen, y propiedad extensiva a la propiedad intensiva integrada en el volumen. Por ejemplo, la densidad ρ es una propiedad intensiva (masa por unidad de volumen). Integrando la densidad en un volumen se obtiene la masa M dentro de ese volumen, que es la propiedad extensiva asociada a la densidad. Supóngase Γ una propiedad extensiva obtenida por la integración a un volumen de control Vc de una propiedad intensiva γ.

Γ = ∫ γdV VC

(2.1)

El volumen de control puede variar con el tiempo, es decir, Vc=Vc(t). Es fácil demostrar que la derivada respecto del tiempo de Γ puede calcularse como: dΓ d = dt dt

∫V (t ) γdV = ∫V C

C

∂γ dV + ∫ γ (v c ⋅ n )dS SC ∂t

(2.2)

Donde vc es la velocidad a la que se mueve la superficie frontera del volumen de control Sc y n el vector unitario normal a la superficie frontera Sc que apunta al exterior de Vc. El primer sumando del miembro derecho de la igualdad (2.2) es la variación para el volumen de control fijo y el segundo sumando es la cantidad de propiedad Γ «ingerida» por el volumen de control por unidad de tiempo debido al «barrido» de la superficie de control Sc. Por ello, se le llama término de ingestión.

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Si la frontera Sc del volumen de control se mueve a la velocidad del fluido, el volumen de control se convierte en un volumen fluido. Como consecuencia inmediata, la derivada temporal de la propiedad extensiva Γ definida sobre un volumen de fluido Vf se calcula:

dΓ d = dt dt

∫V (t ) γdV = ∫V f

f

∂γ dV + ∫ γ (v ⋅ n )dS Sf ∂t

(2.3)

Aquí, v es la velocidad del fluido.

2.2.2. El Teorema de Transporte de Reynolds Este teorema permite obtener la derivada de la magnitud extensiva Γ asociada al fluido que está dentro del volumen de control Vc en un instante dado t. Sea un volumen de control Vc y un volumen fluido Vf tal que en cierto instante de tiempo t ambos son iguales Vf(t)=Vc(t). En ese instante de tiempo, la integral de ∂γ/∂t al volumen de control y al volumen fluido son iguales (el dominio de integración es idéntico). Con esto y usando las ecuaciones (2.2) y (2.3) se llega a:

d dt

∫V

γdV = f

d dt

∫Vc γdV + ∫S γ [(v − v c ) ⋅ n]dS

(2.4)

C

A la ec. 2.4 se le denomina Teorema de Transporte de Reynolds o TTR. Esta expresión es la que permite usar de forma cómoda las leyes físicas aplicadas en principio a volúmenes fluidos y, de forma práctica, a volúmenes de control. En el caso de un rodete (véase la fig. 2.2), a la diferencia de velocidades v-vc se le llama velocidad de deslizamiento o velocidad relativa al rodete y se denota como w.

2.2.3. El teorema de Gauss Los principios de la mecánica pueden expresarse mediante integrales a volúmenes fluidos (forma integral del principio físico) o mediante ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (forma diferencial). Para el paso de una a otra forma es necesario relacionar integrales en volumen con integrales sobre la superficie que contiene dichos volúmenes. El paso se realiza por medio del teorema de Gauss o teorema de la divergencia. Sea un campo vectorial b suficientemente suave y definido sobre un volumen V. Sea S=∂V la frontera o superficie externa del volumen V. Se puede demostrar:

∫V∇ ⋅ bdV = ∫Sb ⋅ ndS

(2.5)

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Con n el vector unitario normal a la superficie frontera S y apuntando hacia el exterior del volumen V y ∇·b la divergencia del campo vectorial b. Si el campo vectorial se define como b=bk, con k un vector constante cualquiera, se obtiene:

∫ ∇bdV = ∫ bndS V

S

(2.6)

Esta variante se aplica a campos escalares b=b(x, y, z).

2.2.4. La derivada sustancial Supóngase una partícula de fluido que se mueve en el espacio y con una propiedad física φ (puede ser la velocidad de la partícula, su temperatura, energía interna, etc.). La derivada sustancial permite calcular la variación temporal de la propiedad φ siguiendo a la partícula: es decir, la derivada respecto del tiempo de la propiedad que tiene esa partícula. La partícula tiene una trayectoria dada por:

⎧r1 = r1 (t ) ⎪ r = r (t ) ; en componentes ⎨r2 = r2 (t ) ⎪r = r (t ) ⎩3 3

(2.7)

Con r el vector posición de la partícula. La propiedad φ se distribuye en el campo fluido según una función que depende de espacio y tiempo (x, t).

φ = φ (x, t ) = φ ((x1 , x 2 , x3 ), t )

(2.8)

Sustituyendo las ecuaciones de la trayectoria de la partícula en el campo de la propiedad φ se obtiene la evolución en el tiempo de la propiedad φ para esa partícula de fluido.

φ (t ) = φ (r (t ), t ) = φ ((r1 (t ), r2 (t ), r3 (t )), t )

(2.9)

Ahora, si se deriva la ecuación anterior respecto del tiempo se llega a la expresión que da la derivada sustancial Dφ/Dt:

Dφ dφ (t ) ∂φ ∂φ ∂ri ∂φ + ⋅ = + v ⋅ ∇φ = = Dt dt ∂t ∂x i { ∂t ∂t vi de la partícula

(2.10)

28

J.A. García, E. Calvo

Como ejemplo práctico, la aceleración que experimenta una partícula fluida es la derivada substancial de la velocidad, a=Dv/Dt, ya que es la derivada temporal de la velocidad siguiendo a la partícula.

2.3. Leyes físicas Se dispone de la herramienta matemática necesaria para escribir de forma adecuada las leyes de la mecánica. Estas leyes son: a) El principio de conservación de la masa (o ecuación de continuidad). b) La segunda ley de Newton. c) La derivada temporal de la energía de un sistema físico es igual a la suma del calor aportado al sistema y del trabajo realizado sobre él. Estos principios proporcionan las ecuaciones asociadas que describen el comportamiento del fluido. De ellos pueden obtenerse ecuaciones derivadas. Las más importantes son: d) La derivada temporal del momento angular de un sistema físico es igual al momento de fuerzas exteriores que actúa sobre él. e) La ecuación de la energía mecánica. f) La ecuación de la energía interna. Aunque estas ecuaciones derivadas no son principios físicos básicos, resultan útiles para el cálculo, dimensionado y diseño de diferentes elementos hidráulicos. En general, se van a dar dos versiones de las ecuaciones citadas: la ecuación integral, definida como integrales extendidas sobre volúmenes de control, y su correspondiente ecuación diferencial en derivadas parciales.

2.3.1. La conservación de la masa: ecuación de continuidad En mecánica de fluidos, a la ecuación asociada a la conservación de la masa de una porción de fluido se le llama ecuación de continuidad. La masa contenida dentro de un volumen fluido Vf no varía, ya que, al moverse la superficie frontera Sf con el fluido, ni entra ni sale masa. Por tanto:

dM d = dt dt

∫V (t ) ρdV = 0 con f

M =∫

V f (t )

ρdV = Masa dentro de V f

(2.11)

Usando el Teorema de Transporte de Reynolds (TTR, ec. 2.4) y un volumen de control arbitrario Vc se obtiene:

29

Teoría de máquinas e instalaciones de fluidos d dt

∫V

C

ρdV + ∫ ρ (v − v c ) ⋅ n = 0

(2.12)

SC

A la ec. 2.12 se le llama ecuación de continuidad integral. La derivada de la integral de volumen es la variación de la masa dentro del volumen de control por unidad de tiempo, y la integral de superficie es la masa de fluido que sale de Vc por unidad de tiempo. Por tanto, la ec. 1.8 dice que el aumento de la masa dentro de Vc es igual a la masa que entra: esto es un principio de conservación. Si el flujo es estacionario y el volumen de control no varía en el tiempo, el primer término integral se anula, quedando solo la integral de superficie.

∫S ρ (v − v c ) ⋅ ndS = ∫S C

ρw ⋅ ndS = 0

(2.13)

C

Con w la velocidad relativa a la superficie fluida Sf. Si el flujo es incompresible, es decir la densidad es constante, se obtiene:

∫S (v − v c ) ⋅ ndS = ∫Sw ⋅ ndS = 0 C

(2.14)

C

Aplicando la ecuación anterior a un rodete (fig. 2.2) y descomponiendo la superficie de control en superficie de entrada S1, de salida S2 y superficies sólidas Ssol:

∫S

C

ρw ⋅ ndS = ∫ ρw ⋅ ndS + ∫ ρw ⋅ ndS + ∫ S1

S2

S sol

ρw ⋅ ndS = 0

(2.15)

En la superficie de entrada S1 la velocidad relativa va en sentido contrario al vector normal exterior (w·n0) y en las superficies sólidas la velocidad relativa del fluido es nula (|w|=0). Definiendo el gasto másico G como la masa por unidad de tiempo que atraviesa una superficie, se puede escribir:

− G1 + G 2 = 0 ⇒ G1 = G 2 = G ⎧ ρw ⋅ ndS = −G = −Gasto másico a través de S 1 1 ⎪∫S1 ⎪⎪ con ⎨∫ ρw ⋅ ndS = G 2 = Gasto másico a través de S 2 S ⎪ 2 ⎪ ⎪⎩∫S sol ρw ⋅ ndS = 0 Gasto másico a través de la pared sól.

(2.16)

La ec. 2.16 indica que el gasto másico que entra al rodete es igual al que sale. Si el flujo es incompresible (densidad constante), se llega a que el caudal Q que entra al rodete es igual al que sale.

30

J.A. García, E. Calvo

− Q1 + Q2 = 0 ⇒ Q1 = Q2 = Q con

∫Sw ⋅ ndS = Q = Caudal a través de S (2.17)

Usando el teorema de Gauss, se puede transformar la ecuación integral 2.12 en una ecuación diferencial.

d dt

∫V (t ) ρdV = ∫V f

f

∂ρ ∂ρ dV + ∫ ρv ⋅ ndS = ∫ + ∇ ⋅ (ρv )dV = 0 ∀V f (2.18) Sf V f ∂t ∂t

La ec. 2.18 se cumple para cualquier Vf, luego el integrando debe ser cero.

∂ρ + ∇ ⋅ ( ρv ) = 0 ∂t

(2.19)

Es la ecuación de continuidad en forma diferencial. Para un flujo incompresible (ρ=cte), se simplifica.

∇ ⋅ v = 0 con ∇ ⋅ v =

1 dV = θ = Variación unitaria de volumen V dt

(2.20)

En flujo incompresible, la ecuación de continuidad dice que no hay cambios de volumen en las partículas fluidas.

2.3.2. Consecuencias de la ecuación de continuidad La ecuación diferencial de continuidad permite relacionar la derivada de una integral sobre un volumen fluido con la derivada sustancial de la magnitud intensiva en masa asociada. Sea φ una magnitud intensiva en masa y sea Vf un volumen fluido cualquiera. Entonces:

d dt

∫V

f

ρφdV = ∫

Vf

∂ (ρφ ) ∂ (ρφ ) dV + ∫ ρφ (v ⋅ n )dS = ∫ + ∇ ⋅ (ρφv )dV (2.21) S V f f ∂t ∂t

Desarrollando las derivadas que están dentro del integrando, se llega a:

⎛ ∂φ ⎡ ∂ρ ∂ (ρv i ) ⎤ ∂φ ⎞ Dφ ∂ (ρφ ) ∂ (ρφv i ) ⎟= ⇒ + vi + =φ⎢ + ⎥ + ρ ⎜⎜ t ∂t ∂xi ⎟⎠ Dt ∂t ∂xi ∂x i ⎦ ⎝ ⎣1∂4 4244 3 = 0 por continuidad

⇒

(2.22)

d Dφ Dφ ∂φ ρφdV = ∫ ρ dV con = + v ⋅ ∇φ = Derivada sustancial ∫ dt V Dt Dt ∂t V f

f

Esta expresión permite obtener de una forma más cómoda las ecuaciones en forma diferencial.

Teoría de máquinas e instalaciones de fluidos

31

2.3.3. La ecuación de la cantidad de movimiento La segunda ley de Newton establece que, en un sistema de referencia inercial, la variación de la cantidad de movimiento de una porción material (volumen fluido) es igual a la suma de las fuerzas exteriores que actúan sobre ella. En forma matemática:

dP d = ρvdV = Fext = Fvol + Fsup dt dt ∫V f (t )

(2.23)

Esta es una ecuación vectorial, con tres componentes. Las fuerzas exteriores Fext no es más que la cantidad de movimiento que el volumen fluido Vf intercambia con el entorno. Es decir, si Vf «pierde» cantidad de movimiento es porque se la ha cedido a otra porción de materia y, por lo tanto, esa otra porción de materia lo «gana». Por eso la cantidad de movimiento total se conserva. También de aquí se deduce el principio de acción y reacción. Sf

n

Vf

dFsup= ·ndS

dS dV

dFmasa=gdm FIGURA 2.3. Fuerzas externas másicas y de superficie que actúan sobre una porción material

Las fuerzas que actúan sobre Vf son fuerzas másicas Fmasa que actúan sobre cada diferencial de masa, y las fuerzas de superficie Fsup que ejerce el fluido circundante sobre cada diferencial de la superficie frontera Sf. En las máquinas hidráulicas, la única fuerza másica relevante es la gravedad fm=g. La gravedad es una fuerza conservativa o derivada de potencial, es decir, se puede poner como menos el gradiente de un campo escalar U llamado potencial. Por tanto:

⎧g = −∇U Fmasa = ∫ ρf m dm = ∫ ρgdV = − ∫ ρ∇UdV con ⎨ Vf Vf Vf ⎩U = −g ⋅ r = gz

(2.24)

Las fuerzas que actúan sobre la superficie frontera Sf se obtienen con el tensor de esfuerzos τ, un tensor de segundo orden. La fuerza por unidad de superficie se calcula como fS=τ·n, siendo n la normal exterior a Sf.

32

J.A. García, E. Calvo

Fsup = ∫

Sf

⎧ τ = − pδ + τ * ⎪ f S dS = ∫ τ ⋅ ndS con ⎨ p = presión termodinámica Sf ⎪τ* = tensor de esfuerzos viscosos ⎩

(2.25)

El tensor de esfuerzos es simétrico. El tensor de esfuerzos es suma de dos tensores: uno isótropo originado por la presión pδ (con δ el tensor delta de Kronecker) y el tensor de esfuerzos viscosos τ*, también simétrico y generado por la viscosidad y gradientes de velocidad. Para un fluido newtoniano: τ* = λ (∇ ⋅ v )δ + 2 μd con d =

(

)

1 T ∇v + (∇v ) = tensor deformación 2

(2.26)

Para flujo incompresible, ∇·v=0. En componentes, los esfuerzos viscosos se escriben:

τ*ij = λ

⎛ ∂v ∂v j ∂v k δ ij + μ ⎜ i + ⎜ ∂x k ⎝ ∂x j ∂x i

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(2.27)

Usando el TTR y un volumen de control, la ecuación integral de la cantidad de movimiento queda:

d d ρvdV = ∫ ρvdV + ∫ ρv[(v − v c ) ⋅ n ]dS = ∫ τ ⋅ ndS + ∫ ρf m dV ∫ dt V dt V S S V f

c

c

c

(2.28)

c

Esta ecuación puede aplicarse al rodete de una máquina hidráulica en régimen pseudoestacionario con el volumen de control de la fig. 2.2. Algunos sumandos de la ecuación pueden manipularse. Así, la derivada temporal de la cantidad de movimiento es cero (estacionario). La superficie de control Sc se divide en superficie de entrada S1, de salida S2 y sólida Ssol (las paredes del rodete) y la ingestión de fluido a través de las superficies sólidas Ssol es nula (v-vc)·n=0. Las fuerzas de superficie se descomponen en las fuerzas que el rodete ejerce sobre el fluido a través de la superficie sólida Ssol y las fuerzas sobre las superficies de entrada y salida, S1 y S2, respectivamente. En las superficies de paso de fluido los esfuerzos viscosos suelen ser despreciables, salvo para fluidos muy viscosos. Luego:

∫ τ ⋅ ndS = Sc

∫ τ ⋅ ndS ≈ ∫ − pndS + ∫ τ ⋅ ndS = ∫ − pndS + Fsol

S1 U S 2 U S sol

S1 U S 2

S sol

S1 U S 2

(2.29)

Teoría de máquinas e instalaciones de fluidos

33

La única fuerza másica relevante es el peso del flujo Mg. Además, la ingestión de fluido por las superficies sólidas es nula. Con esto, la ec. 2.28 se simplifica a:

∫ ρv[(v − v c ) ⋅ n]dS = ∫ − pndS + Fsol + Mg

S1 U S 2

(2.30)

S1 U S 2

Se puede deducir la ecuación diferencial de la cantidad de movimiento. Partiendo de la ec. 2.28 y aplicando la ec. 2.22 y el teorema de Gauss, se obtiene:

d Dv ρvdV = ∫ ρ dV = ∫ ∇ ⋅ τ + ρf m dV dt V∫ Dt V V f

f

(2.31)

f

Como la igualdad es válida para todo volumen fluido, ambos integrandos deben ser iguales. Descomponiendo el tensor de esfuerzos en el término de presión y los esfuerzos viscosos, se tiene:

ρ

Dv = −∇p + ∇ ⋅ τ * + ρf m Dt

(2.32)

Como ya se ha explicado el término Dv/Dt es la aceleración de la partícula fluida. En el caso de las máquinas hidráulicas, el flujo es incompresible y la fuerza de volumen relevante es la fuerza de gravedad. Con estas condiciones y sustituyendo la dependencia de los esfuerzos viscosos con la velocidad:

⎛ ∂v ⎞ + v ⋅ ∇v ⎟ = −∇p + μ∇ 2 v + ρg ⎝ ∂t ⎠

ρ⎜

(2.33)

Como la gravedad proviene de un potencial y la densidad es constante (flujo incompresible), el término de presión se puede redefinir incluyendo el potencial gravitatorio U.

⎛ ∂v ⎞ + v ⋅ ∇v ⎟ = −∇p M + μ∇ 2 v con p M = p + ρU = presión motriz (2.34) ⎝ ∂t ⎠

ρ⎜

Esta ecuación funciona con cualquier campo de fuerzas derivado de potencial. La presión motriz pM es la suma de la presión y la energía potencial e incluye los efectos de ambas sobre el movimiento del fluido. Además, de esta ecuación se deduce que, en flujo incompresible, el movimiento del fluido es provocado por diferencias en la presión motriz (el gradiente), bien de presión, bien de potencial, bien de ambas, siendo el nivel absoluto de presión o potencial algo irrelevante.

34

J.A. García, E. Calvo

En un sistema de referencia no inercial (sujeto a aceleraciones), la ecuación de cantidad de movimiento, tal y como se ha enunciado, no se cumple. Han de considerarse, además, las fuerzas de inercia, unos términos ficticios que funcionan como fuerzas másicas. Añadiendo las fuerzas de inercia a la ec. 1.32 se tiene:

ρ

⎛ ⎞ Dv & × x + Ω × (Ω × x ) + 2Ω × v ⎟ = −∇p + ∇ ⋅ τ * + ρf m − ρ ⎜⎜ a o + Ω 14243 123 ⎟ Dt f. de Coriolis fuerza centrífuga ⎝ 1444444424444444 3⎠

(2.35)

fuerzas de inercia

Aquí, Ω es el vector velocidad angular del sistema de referencia (SR) no inercial y ao es la aceleración del origen del SR.

2.3.4. La ecuación del momento angular En una referencia inercial, la variación de momento angular de un sistema material (o momento cinético) es igual a la suma de los pares de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema. Aplicando este principio a un volumen fluido:

d x × (ρv )dV = ∫ x × (ρf m )dV + ∫ x × (τ ⋅ n )dS dt V ∫(t ) V S f

f

(2.36)

f

Usando el TTR (ec. 2.4) puede aplicarse a un volumen de control:

d x × (ρv )dV + ∫ x × (ρv )[(v − v c ) ⋅ n ]dS = dt V ∫(t ) S c

= ∫ x × (ρf m )dV + Vf

f

∫ x × (τ ⋅ n )dS

(2.37)

Sf

Es la ecuación integral de la cantidad de momento angular, y es una ecuación vectorial con tres componentes La aplicación de esta ecuación al volumen de control asociado al rodete (fig. 2.2) da lugar al teorema de Euler, el cual permite calcular la energía cedida por el rodete al flujo. La forma diferencial de esta ecuación únicamente impone que el tensor de esfuerzos τ sea simétrico. La demostración no se hace explícita aquí.

2.3.5. La ecuación de la energía total La energía se conserva. Así, el aumento de la energía contenida en un sistema Vf es igual al trabajo realizado sobre el sistema más el calor entrante en él (trabajo y calor que se extraen de otros sistemas físicos).

Teoría de máquinas e instalaciones de fluidos

35

d E total = W& ext + Q& dt

(2.38)

Estos tres términos (energía total, trabajo y calor) tienen que estar bien contabilizados. La energía total contenida en un volumen fluido es la suma de su energía cinética (por unidad de masa v2/2) y su energía interna (por unidad de masa e). El trabajo es el ejercido por las fuerzas másicas y por las fuerzas de superficie. El calor entra a través de la superficie por conducción y está descrito por el vector flujo de calor q. También puede generarse en cada diferencial de volumen por otros mecanismos (radiación, etc.).

⎛ d v2 ⎞ ⎜ ⎟dV = ∫ ρf m ⋅ vdV + ∫ (τ ⋅ n ) ⋅ vdS + ∫ qV dV − ∫ q ⋅ ndV (2.39) ρ e + 2 ⎟⎠ dt V ∫(t ) ⎜⎝ Vf Sf Vf Sf f 1 44 42444 3 1 4243 1 42 4 43 4 1 23 1 424 3 energía total

potencia fuerzas másicas

potencia fuerzas de superficie

calor en volumen

calor por conducción

El signo menos en el calor por conducción indica que si q·n es negativo, entra calor al volumen fluido. El tercer término de la derecha es el calor que se genera en el volumen. Si las fuerzas másicas derivan de un potencial (como ocurre con la gravedad) y el potencial no depende del tiempo, la potencia ejercida por estas fuerzas puede sumarse a la energía total en forma de energía potencial.

DU ∂U ⎛ ∂U ⎞ = 0 ⇒ f m ⋅ v = −⎜ + v ⋅ ∇U ⎟ = − ⇒ Dt ∂t ⎠ ⎝ ∂t d DU d dV = − ∫ ρUdV ⇒ ρf m ⋅ vdV = − ∫ ρ ∫ dt V (t ) Dt dt V V

f m ⋅ v = − v ⋅ ∇U si

f

f

(2.40)

f

Reagrupando: &

= Calor entrante 64Q4 47444 8 ⎛ ⎞ d v ⎜ ⎟ ρ e + + U ⎟dV = ∫ (τ ⋅ n ) ⋅ vdS + ∫ qV dV − ∫ q ⋅ ndV dt V ∫(t ) ⎜⎝ 2 ⎠ Sf Vf Sf f 144424443 1 42 4 43 4 1 424 3 1 424 3 2

energía total + energía potencial

potencia fuerzas de superficie

calor en volumen

(2.41)

calor por conducción

Si la ec. 2.41 se aplica a un volumen de control VC y se agrupan los aportes de calor en un único término, se obtiene:

36

J.A. García, E. Calvo

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ v2 v2 d ⎜ ⎟ ⎜ + + + + + U ⎟⎟[(v − v c ) ⋅ n ]dS = e U dV e ρ ρ ∫ ∫ ⎜ ⎟ ⎜ dt V ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ S c

c

= ∫ (τ ⋅ n ) ⋅ vdS + Q&

(2.42)

Sf

La ecuación diferencial de la energía total se obtiene a partir de la ec. 2.39 aplicando el teorema de Gauss y la derivada sustancial:

∫ρ Vf

D⎛ v2 ⎞ ⎟dV = ∫ ρf m ⋅ v + ∇ ⋅ (τ ⋅ v ) + qV − ∇ ⋅ qdV ⎜e + Dt ⎜⎝ 2 ⎟⎠ Vf

(2.43)

Ambos integrandos tienen que ser iguales para todo volumen fluido. Por tanto, los integrandos deben ser iguales. Si, además, las fuerzas másicas derivan de un potencial no dependiente del tiempo se llega a:

ρ

⎞ D⎛ v2 ⎜e + + U ⎟⎟ = ∇ ⋅ (τ ⋅ v ) + qV − ∇ ⋅ q con f m = −∇U ⎜ 2 Dt ⎝ ⎠

(2.44)

El término ∇·(τ·v)=∂(τijvi)/∂xj o trabajo realizado por las fuerzas de superficie puede desarrollarse más, pero no es necesario para el desarrollo posterior que se realizará en los siguientes capítulos.

2.3.6. La ecuación de la energía mecánica La energía mecánica es la suma de la energía cinética y la energía potencial. La ecuación que se va a obtener no es fundamental, ya que se deriva de la ecuación de la cantidad de movimiento, pero es una ecuación de gran interés práctico. Se deducirá primero su forma diferencial. Multiplicando la ecuación diferencial de la cantidad de movimiento en un sistema de referencia inercial (ec. 2.32) por la velocidad, se obtiene:

ρv

(

)

Dv D v2 2 =ρ = (∇ ⋅ τ ) ⋅ v + ρf m ⋅ v Dt Dt

(2.45)

Si las fuerzas másicas f derivan de un potencial U que no depende del tiempo, se llega a (véase ec. 2.40):

Teoría de máquinas e instalaciones de fluidos

(

)

(

)

37

D v2 2 + U = (∇ ⋅ τ ) ⋅ v = ∇ ⋅ (τ ⋅ v ) − τ : (∇v ) ⇒ Dt D v2 2 + U (∇4 ⇒ρ = ∇ ⋅ (τ ⋅ v ) + p (∇ ⋅ v ) − τ1 v) * :2 4 3 1 424 3 Dt

ρ

trabajo de expansión

ya que (∇ ⋅ τ ) ⋅ v =

∂τ ij ∂x j

vi =

(

∂ τ ij vi

)

∂x j

− τ ij

(2.46)

=φ f. de disipación viscosa

∂v i ∂x j

Esta es la ecuación diferencial de la energía mecánica. El último sumando tiene un significado especial: es la función de Rayleigh o función de disipación viscosa, φ. Como el tensor de esfuerzos viscosos τ* es simétrico, la función de disipación viscosa puede reescribirse como:

φ = τ* : (∇v ) =

[

]

1 1 1 T T τ* : (∇v ) + τ *T : (∇v ) = τ* : (∇v ) + (∇v ) = τ* : d (2.47) 2 2 2

Donde d es el tensor velocidad de deformación. Tanto los esfuerzos viscosos como la velocidad de deformación son invariantes con un cambio de sistema de referencia, por lo que la disipación viscosa va a ser invariante. El principio de aumento de entropía obliga a la disipación viscosa a ser positiva. Para un fluido newtoniano incompresible, la disipación viscosa es igual a φ=2μd:d>0. En el caso de un flujo estacionario con fuerzas másica derivadas de un potencial constante en el tiempo, la ec. 1.49 se escribe:

ρ

(

)

(

)

D v2 2 + U = ρv ⋅ ∇ v 2 2 + U = −∇p ⋅ v + (∇ ⋅ τ *) ⋅ v Dt

(2.48)

Si el flujo es incompresible (ρ=cte) y con esfuerzos viscosos despreciables:

(

)

v ⋅ ∇ ρ v 2 2 + ρU + p = 0

(2.49)

Eso quiere decir que la suma de la energía cinética, potencial y de la asociada a la presión es constante a lo largo de una línea de corriente, que es, por definición, una línea tangente al vector velocidad en todo punto.

ρ v 2 2 + ρU + p = cte. en la línea de corriente

(2.50)

Esta es la ecuación de Bernoulli, válida para flujos estacionarios, incompresibles y con esfuerzos viscosos despreciables. No es más que otra forma de escri-

38

J.A. García, E. Calvo

bir la ecuación de la energía mecánica, que resulta muy cómoda para el cálculo en algunos problemas prácticos. La forma integral de la energía mecánica se deduce integrando la ec. 2.46 a un volumen fluido y aplicando el teorema de Gauss:

(

)

d ρ v 2 2 + U dV = ∫ ∇ ⋅ (τ ⋅ v ) + p (∇ ⋅ v ) − φdV ⇒ ∫ dt V V f

f

(

)

d ⇒ ρ v 2 2 + U dV = ∫ (τ ⋅ n ) ⋅ vdS + ∫ p(∇ ⋅ v )dV − ∫ φdV ∫ dt V S V V f

f

f

(2.51)

f

También puede obtenerse la ecuación de cantidad de movimiento para un sistema de referencia con velocidad de rotación constante y sin traslación. Es el sistema de referencia asociado al rodete de la turbomáquina. Se hace uso de la ecuación de cantidad de movimiento con las fuerzas de inercia (ec. 2.35) asociadas al sistema de referencia no inercial. La velocidad en este sistema de referencia se denotará por w. Multiplicando por la velocidad:

ρw

Dw = (∇ ⋅ τ ) ⋅ w + ρf m ⋅ w + ρfinercia ⋅ w Dt

⎧ ⎛ ⎞ & × x + Ω × (Ω × x ) + 2Ω × w ⎟ ⎪ ρfinercia = − ρ ⎜ a o + Ω 1 2 3 ⎜{ ⎟ ⎪ =0 ⎝ =0 ⎠ con ⎨ ⎪ ρfinercia ⋅ w = − ρ [Ω × (Ω × x )] ⋅ w − (2Ω × w ) ⋅ w 14 4244 3 14243 ⎪ fuerza centrífuga = 0 ortogonales ⎩

(2.52)

La fuerza de Coriolis no genera trabajo, ya que es ortogonal al movimiento de la partícula. La fuerza centrífuga deriva de un potencial que no depende del tiempo, al igual que la gravedad. Llamando Uc al potencial centrífugo, Ug al potencial gravitatorio y siguiendo los mismos pasos usados antes para deducir la ecuación diferencia de la energía mecánica, se llega a:

ρ

(

)

D w2 2 +U = ∇ ⋅ (τ ⋅ w ) + p (∇ ⋅ w ) − φ Dt ⎧U = U c + U g = pot. total ⎪ Ω2r 2 ⎪ con ⎨U c = − = pot. centrífugo 2 ⎪ ⎪U g = gz = pot. gravitatorio ⎩

(2.53)

Teoría de máquinas e instalaciones de fluidos

39

La ecuación de Bernoulli asociada, aplicable a un flujo estacionario, incompresible y con esfuerzos viscosos despreciables queda:

ρ w 2 2 + ρU + p = cte. en la línea de corriente y con U = U g + U c

(2.54)

2.3.7. La ecuación de la energía interna Es otra ecuación derivada, ya que se obtiene al restar la ecuación de la energía mecánica de la ecuación de la energía total. Se deduce primero su forma diferencial. Al restar la ec. 2.46 a la ec. 2.44:

ρ

De = Dt

− p (∇ ⋅ v ) 1424 3

+ qV − ∇ ⋅ q + φ

(2.55)

- trabajo de expansión = = trabajo de compresión

Esta es la ecuación diferencial de la energía interna y puede usarse en vez de la ecuación de la energía total para describir la dinámica del flujo. Aunque la ec. 2.44 y 2.46 han sido escritas para fuerzas másicas conservativas, la ec. 2.55 es válida para todo tipo de fuerza másica. La disipación viscosa funciona, efectivamente, como una disipación: es un término que elimina energía mecánica y la disipa en energía interna, como una fuente adicional de calor (ver ec. 2.46 junto con ec. 2.55). El trabajo de expansión (o compresión si lleva signo menos, ver ec. 2.46) es un mecanismo reversible que convierte la energía interna en mecánica (expansión) y viceversa (compresión). Para un fluido ideal, la energía interna es el calor específico a volumen constante por la temperatura e=cVT (los calores específicos a presión constante y a volumen constante son iguales para un líquido perfecto). Sustituyendo en la ec. 2.55 se obtiene la ecuación de la temperatura. Si el flujo es incompresible, el trabajo de expansión es nulo y la ecuación de continuidad y cantidad de movimiento está desacoplada de la ecuación de la energía interna: es decir, el campo de velocidades y presiones está desacoplado del campo de temperaturas. La ecuación integral de la energía interna se obtiene integrando y aplicando el teorema de Gauss y la ec. 2.22.

d ρedV = − ∫ p(∇ ⋅ v )dV + ∫ qV dV − ∫ q ⋅ ndV + ∫ φdV dt V ∫(t ) V V S V f

f

f

f

(2.56)

f

Con el TTR, esta ecuación se puede aplicar al volumen de control definido en un rodete (fig. 2.2) bajo la hipótesis de flujo incompresible (∇·v=0).

40

J.A. García, E. Calvo

∫ ρe(v − v c ) ⋅ ndS = ∫ qV dV − ∫ q ⋅ ndV + ∫ φdV

S1 U S 2

Vf

Sf

(2.57)

Vf

Dividiendo por ρgQ, se expresa la anterior ecuación usando alturas:

H e 2 − H e1 =

Q& + h p12 ρgQ

1 ⎧ ⎪ H ei = ρgQ ∫ ρe(v − v c ) ⋅ ndS ⎪ Si (2.58) con ⎨ ⎪Q& = ∫ qV dV − ∫ q ⋅ ndV = Calor entrante ⎪ Vf Sf ⎩

Si el flujo se asume unidimensional (propiedades constantes a través de las secciones de paso S1 y S2):

H ei =

ei e e Q& ⇒ 2 − 1 = + h p12 g g g ρgQ

(2.59)

Como se ha dicho antes, la adición de calor suele ser despreciable en una turbomáquina hidráulica.

2.4. Un ejemplo práctico: la turbina Pelton Se trata de una turbina de acción. Todo el intercambio energético entre el fluido y el rodete se realiza a través del término de presión dinámica. El elemento esencial de la turbina Pelton es un rodete con «cazoletas» en las que incide un chorro. Esquemáticamente: Cazoleta

Eje

Rodete Tobera Chorro Aguja

v

FIGURA 2.4. Elementos esenciales de una turbina Pelton

Teoría de máquinas e instalaciones de fluidos

41

Para describir el funcionamiento de estas turbinas se parte de una configuración simple en la que un chorro, con velocidad v de módulo V, incide sobre una cazoleta que lo desvía y que a su vez se mueve con una velocidad u, de módulo U, en la misma dirección que la velocidad del chorro. Se usa el volumen de control limitado por las secciones de entrada, S1, y salida, S2, del chorro; la superficie mojada de la cazoleta y la interfase entre el chorro y el fluido que se encuentre en el entorno.

FIGURA 2.5. Detalle de cazoleta y definición del volumen de control

En el desarrollo se supone flujo incompresible y se desprecian los efectos viscosos. Suponiendo un perfil uniforme de velocidad en las secciones S1 y S2, la ecuación de continuidad (en este caso se aplica la ec. 2.17) conduce a:

w1 S1 = w2 S 2

(2.60)

Donde wi (i=1, 2) es el módulo de velocidad relativa del chorro vista por un observador que se mueve con la cazoleta en la sección i. La ecuación de la energía mecánica en su forma integral (ec. 2.51) aplicada en el sistema de referencia inercial de la cazoleta, dado que la presión motriz es la misma en las secciones de entrada y salida, conduce a la siguiente expresión:

w13 S1 = w23 S 2

(2.61)

Por tanto:

w ≡ w1 = w2 S ≡ S1 = S 2

(2.62)

El módulo de la velocidad relativa w vale V-U. La aplicación de la ecuación integral de la cantidad de movimiento (ec. 2.28) en la dirección del chorro, X, al volumen de control conduce a:

42

J.A. García, E. Calvo

∫ ρv[(v − v c ) ⋅ n]dS Sc

= ∫ τ ⋅ ndS X

Sc

(2.63) X

Se ha supuesto que la gravedad no influye (piénsese en un chorro horizontal). Desarrollando el primer término:

∫ ρv[(v − v c ) ⋅ n]dS Sc

= ∫ ρv1 X (w 1n )dS + ∫ ρv2 X (w 2 n )dS X

S1

(2.64)

S2

Expresando las velocidades en función de los módulos U y V:

v1 X = V w 1n = −(V − U )

(2.65)

w 2 n = (V − U ) Para el cálculo de la componente en X de la velocidad absoluta en la sección de salida se puede considerar el siguiente esquema de velocidades: U u θ v2 w2

V-U

FIGURA 2.6. Velocidades en la sección 2

Así:

v2 X = U − (V − U ) cosθ Sustituyendo en la ec. 2.64 e integrando:

(2.66)

Teoría de máquinas e instalaciones de fluidos

∫ ρv[(v − v c ) ⋅ n]dS Sc

43

= − ρV (V − U )S + ρ (V − U )[U − (V − U ) cos θ ]S = X

(2.67)

= − ρS (V − U ) (1 + cos θ ) 2

El segundo término de la ecuación 2.63 se puede descomponer como:

∫ τ ⋅ ndS Sc

= ∫ τ ⋅ ndS X

SS

+ ∫ τ ⋅ ndS X

SI

+ ∫ τ ⋅ ndS X

S1

+ ∫ τ ⋅ ndS X

S2

(2.68) X

El primer término de la derecha es la fuerza que la cazoleta ejerce sobre el flujo. El tensor de esfuerzos viscosos se considera nulo bajo la aproximación de flujo ideal y la presión es la misma en los tres últimos términos; tomando esta presión como referencia se tiene que son nulos los tres términos al final de la ecuación. Así, se puede expresar la fuerza que el flujo provoca en el rodete como: FX fluido → rodete = ρS (V − U ) (1 + cosθ ) 2

(2.69)

Y la potencia que el chorro comunica a la cazoleta se puede expresar como: 2 W& fluido → rodete = FX fluido → rodeteU = ρSU (V − U ) (1 + cosθ )

(2.70)

La ecuación ilustra el principio de funcionamiento, pero no es acertada para describir el comportamiento de estas máquinas. En ella se expresa que el intercambio de potencia entre el fluido y el rodete es debido a la transferencia de cantidad de movimiento. Pero la ecuación se ha desarrollado para un desplazamiento lineal y este no es exactamente el caso que se da en una turbina Pelton, en la que las cazoletas giran y en distintos momentos el chorro incide en cazoletas diferentes. Se constata que para contemplar este efecto de una manera sencilla se puede suponer que se dispone de infinitas cazoletas que interaccionan con el chorro solo en un instante infinitesimal, después la posición ya está ocupada por otra cazoleta. De esta manera la posición de la cazoleta que está interaccionando con el flujo es siempre la misma y la velocidad relativa entre el chorro y la posición en la que el chorro incide en las cazoletas es la velocidad absoluta del chorro. El mismo desarrollo que ha conducido a ec. 2.70 lleva, bajo esta aproximación, a:

⎧⎪ FX fluido→rodete = ρSV (V − U )(1 + cosθ ) ⎨& ⎪⎩W fluido→rodete = FX fluido→ro det eU = ρSVU (V − U )(1 + cosθ ) La potencia total disponible en el chorro es:

(2.71)

44

J.A. García, E. Calvo

ρSV 3 W&Total = 2

(2.72)

Y se puede definir un rendimiento teórico como:

η teórico =

W& fluido→rodete U⎛ U⎞ = 2 ⎜1 − ⎟(1 + cosθ ) & V⎝ V⎠ WTotal

(2.73)

En la ec. 2.71 se indica que, para una V dada, la potencia presenta una dependencia parabólica con U. El máximo se puede encontrar igualando a 0 la derivada de la potencia con respecto a U. ∂W& fluido→rodete ∂U

=0⇒U =

V 2

(2.74)

Y se obtiene el rendimiento teórico máximo como:

η teórico =

1 + cosθ 2

(2.75)

Gráficamente:

FIGURA 2-7. Rendimiento teórico en función de U/V.

El comportamiento mostrado en la figura es muy idealizado dadas las hipótesis utilizadas, en máquinas reales se tiene un rendimiento inferior debido al frotamiento. Aun así, son máquinas eficientes puesto que en la práctica se encuentran turbinas Pelton con rendimientos superiores al 90%.

3. Análisis dimensional en tuberías y turbomáquinas En este capítulo se expone el concepto de semejanza y el teorema de VaschyBuckingham. Ambos permiten la obtención de resultados para prototipos de máquinas e instalaciones a partir de ensayos experimentales en modelos; también permiten establecer comparaciones entre distintos modos de funcionamiento de las máquinas o su uso en diferentes condiciones. En el caso de las máquinas hidráulicas, el análisis de las dimensiones de las variables involucradas en el problema, basado en dichos conceptos, hace posible comparar el comportamiento con distintos fluidos y con diferentes velocidades de rotación o tamaños. También se puede usar para predecir el comportamiento de máquinas e instalaciones si se varía la gravedad. Se exponen, asimismo, los fundamentos de la aplicación del análisis dimensional a tuberías y turbomáquinas. El análisis dimensional es muy útil en el desarrollo de nuevas máquinas para obtener comportamientos en prototipos a partir de ensayos con maquetas a escala, más baratas en construcción y caracterización experimental. En el capítulo 11 se explica la forma habitual en la que se realizan los ensayos con maquetas y se explotan los resultados aquí obtenidos para describir el comportamiento de dichas máquinas ante la variación de la densidad del fluido circulante, velocidad de rotación del rodete y tamaño de la máquina. En el apartado 3.2 se obtiene la dependencia de la pérdida de energía de un flujo en su tránsito por una tubería con las variables relevantes. La exposición se completa con una descripción detallada del comportamiento para régimen laminar. En el apartado 3.3 se expone la forma estandarizada de aplicar el análisis dimensional a turbomáquinas y se extraen algunas conclusiones útiles para los cálculos que se presentan en los capítulos 4 y 5 sobre instalaciones de bombeo y ventilación.

3.1. Revisión de conceptos Los requisitos para que dos fenómenos sean semejantes dependen del problema considerado. Se puede establecer la siguiente clasificación de semejanzas de acuerdo con los problemas tratados y los requisitos asociados:

46

J.A. García, E. Calvo a) b) c) d)

Semejanza geométrica. Semejanza cinemática. Semejanza dinámica. Semejanza física rigurosa.

Tras la descripción de los diferentes niveles de semejanza se enunciará el teorema de Vaschy-Buckingham, que expresa una importante simplificación de las relaciones entre variables cuando se usan números adimensionales. La aplicación del teorema a través del análisis de las dimensiones de las variables relevantes del problema permite la simplificación de la labor experimental en el estudio de máquinas e instalaciones de fluidos a través del llamado análisis dimensional.

3.1.1. Semejanza geométrica Se dice que dos geometrías son semejantes cuando todas las distancias son proporcionales y los ángulos iguales. Así: Li=KLLi’ y αi=αi’.

3.1.2. Semejanza cinemática Dos situaciones son cinemáticamente semejantes cuando se tiene semejanza geométrica y además los tiempos son proporcionales. Se debe cumplir: Li=KTLi’; Ti=KTTi’ y αi=αi’. Se tienen entonces proporcionalidades entre las magnitudes que involucran longitud y tiempo.

3.1.3. Semejanza dinámica Resulta de exigir, además de la semejanza cinemática, la proporcionalidad en masas: Li=KLLi’; Ti=KTTi’ Mi=KMMi’ y αi=α i’. En este caso se tienen proporcionalidades entre todas las magnitudes que involucren longitud, tiempo y masa. En el caso de las fuerzas: Fi=KFFi’, con: KF=KMKL/KT2.

3.1.4. Semejanza física rigurosa Se da cuando la proporcionalidad se extiende a todas las magnitudes físicas.

3.1.5. Teorema de Vaschy-Buckingham Si se tiene un problema dependiente de N variables que involucran M magnitudes fundamentales, se puede reducir la relación f(V1, V2,...,VN)=0 entre las variables a f(v1, v2,...,vL)=0, con L=N-M, donde las variables v son adimensionales.

Teoría de máquinas e instalaciones de fluidos

47

3.2. Aplicación del análisis dimensional al flujo en tuberías Se aplica el análisis dimensional a un tramo recto de tubería por el que circula un flujo incompresible.

FIGURA 3-1. Tramo de tubería.

Las variables que intervienen en el problema son: a) Geométricas: L, D, ε (longitud, diámetro y rugosidad absoluta de la superficie interna de la tubería, respectivamente). b) Propiedades del fluido: ρ, ν (no se considera σ puesto que no se contemplan interfases dentro del tramo de tubo) c) Velocidad del flujo: V (representa la velocidad media) d) Diferencia de presiones motrices: ΔP* (Se supone conocido que el problema solo depende de dicha diferencia de presiones y no del valor concreto de estas). Así se tiene el siguiente conjunto de variables: D, L, ρ, ν, ε, V, ΔP*. Obtenemos los grupos adimensionales:

ΔP * ΔP * 1 ε L ν ≡εr ; ≡ ; ; → 1 D VD Re D ρV 2 2 2

(3.1)

ρV

De acuerdo con el teorema de Vaschy-Buckingham se puede escribir:

ΔP * ⎛L ⎞ = g ⎜ , Re, ε r ⎟ 1 ⎝D ⎠ ρV 2 2

(3.2)

Se comprueba experimentalmente que la relación entre ΔP* y L es lineal; por tanto: ΔP * = f (Re, ε r )

L 1 ρV 2 D2

(3.3)

48

J.A. García, E. Calvo

Conocida como la ecuación de Darcy-Weisbach y habitualmente encontrada en función de la altura de pérdidas lineales y el caudal como:

hL = f (Re, ε r )

L Q2 D 2 gS 2

(3.4)

A la función f se la llama factor de fricción y depende del número de Reynolds, Re, y de la rugosidad relativa, εr.

3.2.1. Factor de fricción para régimen laminar En el caso de flujo laminar se puede obtener una expresión analítica para el factor de fricción en flujo incompresible y si el fluido es newtoniano. Partiendo de la ecuación de cantidad de movimiento:

D(ρv ) = ρg − ∇P + μ∇ 2 v Dt

(3.5)

Desarrollando el término de la izquierda:

ρ

∂v + ρv (∇v ) = ρg − ∇P + μ∇ 2 v ∂t

(3.6)

Que se puede expresar en función del potencial gravitatorio, U=gz (siendo z la coordenada vertical), como:

ρ

∂v + ρv (∇v ) = − ρ∇U − ∇P + μ∇ 2 v ∂t

(3.7)

Se define la presión motriz, P*, como:

P * ≡ P + ρgZ

(3.8)

Y se expresa:

ρ

∂v + ρv (∇v ) = −∇P * + μ∇ 2 v ∂t

(3.9)

Para flujo estacionario:

ρv(∇v ) = −∇P * + μ∇ 2 v

(3.10)

Suponiendo vr=0, vθ=0 y ∂vz/∂θ=0. Estas relaciones se han verificado empíricamente para flujo desarrollado. Usando la ecuación de continuidad:

Teoría de máquinas e instalaciones de fluidos

49

1 ∂ (rvr ) 1 ∂vθ ∂v z + + =0 r ∂r r ∂θ ∂z

(3.11)

Se deduce que la velocidad axial no depende de z.

∂v z =0 ∂z

(3.12)

Expresando la ecuación de cantidad de movimiento en coordenadas cilíndricas:

⎧ ⎛ ∂v z vθ ∂v z ∂v ⎞ + vz z ⎟ = + ⎪ρ ⎜ vr r ∂θ ∂z ⎠ ⎪ ⎝ ∂r ⎪ ∂P * ⎛ ∂ 2v 1 ∂v z 1 ∂ 2 v z ∂ 2 v z ⎞ ⎪− + 2 + 2 ⎟⎟ + μ ⎜⎜ 2z + 2 r r ∂ θ r r ∂ ∂z ⎠ ∂ ⎪ ∂z ⎝ ⎪ ⎪ ρ ⎛⎜ v ∂vθ + vθ ∂vθ + v r vθ + v ∂vθ ⎞⎟ = z ⎪ ⎝ r ∂r r ∂θ r ∂z ⎠ ⎪ ⎨ 2 2 * ⎛ ⎪− 1 ∂P + μ ⎜ ∂ ⎛⎜ 1 ∂ (rvθ )⎞⎟ + 1 ∂ vθ + 2 ∂v r + ∂ vθ 2 2 ⎜ ∂r ⎝ r ∂r ⎪ r ∂θ r 2 ∂θ ∂z 2 ⎠ r ∂θ ⎝ ⎪ ⎪ ⎛ ∂v r vθ ∂v r vθ2 ∂v ⎞ − + v z r ⎟⎟ = + ⎪ ρ ⎜⎜ v r r ∂θ r ∂z ⎠ ⎪ ⎝ ∂r ⎪ 2 2 * ⎪− ∂P + μ ⎛⎜ ∂ ⎛⎜ 1 ∂ (rv )⎞⎟ + 1 ∂ v r − 2 ∂vθ + ∂ v r ⎞⎟ r 2 2 ⎜ ∂r ⎝ r ∂r ⎪ ∂r r 2 ∂θ ∂z 2 ⎟⎠ ⎠ r ∂θ ⎝ ⎩

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(3.13)

Eliminando todos los términos nulos se llega a:

⎧ ⎛ ∂ 2 v z 1 ∂v z ∂P * ⎜ 2 + 0 μ = − + ⎪ ⎜ ∂r ∂z r ∂r ⎪ ⎝ ⎪ 1 ∂P * ⎪ 0 = − ⎨ r ∂θ ⎪ ⎪ ∂P * ⎪0 = − ∂r ⎪⎩

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

La primera de estas ecuaciones también se puede expresar como:

(3.14)

50

J.A. García, E. Calvo

⎛ ∂ 2v 1 ∂v z ∂P * = μ ⎜⎜ 2z + ∂z r ∂r ⎝ ∂r

⎞ ∂v 1⎛ ∂ ⎟ = μ ⎜ ⎛⎜ r z ⎜ ⎟ r ⎝ ∂r ⎝ ∂r ⎠

⎞⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠⎠

(3.15)

Es fácil ver que ∂P*/∂z=-K, con K una constante positiva. Si se deriva ∂P /∂r=0 con respecto a z, se tiene: *

0=

∂ ⎛ ∂P * ⎞ ∂ ⎛ ∂P * ⎞ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ∂z ⎜⎝ ∂r ⎟⎠ ∂r ⎜⎝ ∂z ⎟⎠

(3.16)

Por tanto, ∂P*/∂z no depende de r; de la misma manera, con las otras ecuaciones se obtiene que no depende tampoco de θ, ni de z. Así, se puede escribir:

1 ⎛ ∂ ⎛ ∂v − K = μ ⎜⎜ ⎜ r z r ⎝ ∂r ⎝ ∂r

⎞⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠⎠

(3.17)

⎞⎞ ⎟ ⎟⎟dr ⎠⎠

(3.18)

Integrando:

−∫

⎛ ∂ ⎛ ∂v rdr = ∫ ⎜⎜ ⎜ r z μ ⎝ ∂r ⎝ ∂r

K

−

∂v K r2 − C1 = r z μ 2 ∂r

(3.19)

Volviendo a integrar:

∂v K r C1 + dr = ∫ z dr μ 2 r ∂r

(3.20)

K r2 − C1 ln r − C 2 = v z μ 4

(3.21)

−∫ −

Dado que la velocidad debe ser finita cuando r=0, se tiene que C1=0. En r=R vz=0. Así:

K R2 μ 4

(3.22)

K R2 − r2 μ 4

(3.23)

C2 = − Y por tanto:

v z (r ) =

Teoría de máquinas e instalaciones de fluidos

51

Para obtener el caudal se integra en la sección:

K R2 − r2 2πrdr μ 4

R

Q=∫ 0

Q=

K π ⎡ R 4 R 4 ⎤ K πR 4 − ⎢ ⎥= μ 2⎣ 2 4 ⎦ μ 8

(3.24)

(3.25)

Reordenando:

∂P * 8μQ = ∂z πR 4

(3.26)

Integrando para una longitud de tubería L:

ΔP * = L

8μ Q πR 4

(3.27)

Para adaptarlo a la ecuación de Darcy-Weisbach:

ΔP * = L Δh =

8μ 1 Q2 4 πR v m S

(3.28)

1 L 16 μ 1 Q2 ρg D RS v m S

(3.29)

64 L 1 Q2 Re D 2 gS 2

(3.30)

64 Re

(3.31)

Es decir: Δh = Y, finalmente:

f =

Obsérvese que en el caso laminar el factor de fricción no depende de la rugosidad relativa.

52

J.A. García, E. Calvo

3.3. Aplicación del análisis dimensional a turbomáquinas hidráulicas En el caso de las máquinas hidráulicas las variables que se deben tener en cuenta son: longitudes y ángulos de la máquina; densidad, viscosidad y tensión superficial del fluido; velocidad de rotación del rodete, caudal, presión, aceleración de la gravedad, g, y factor de compresibilidad No es necesario considerar la tensión superficial dado que en condiciones normales de funcionamiento solo hay un fluido en la máquina y, por tanto, no hay interfases en las que se manifieste dicha fuerza. Entre las longitudes, la rugosidad se considera como una variable aparte por razones prácticas que se verán más adelante, en el capítulo 11. Se consideran flujos incompresibles en todos los casos, por lo que tampoco se considera en el análisis el factor de compresibilidad. La geometría puede ser compleja, por lo que habría que considerar muchas longitudes y ángulos. Se elige como longitud característica el diámetro del rodete, D, y el resto de las longitudes se adimensionalizan con él, salvo la rugosidad, ε, que es una longitud que caracteriza la irregularidad de las superficies y que por razones prácticas (que se tratarán en el capítulo 11) se considera separadamente del resto de las longitudes. Como se ha comentado en la sección 3.1, para cumplir la semejanza dinámica es condición necesaria que se verifique la semejanza geométrica. En el resto del texto se supondrá que se verifica la semejanza geométrica (salvo para la rugosidad); en algunos casos se indicará explícitamente añadiendo en las expresiones el subíndice Λ. En el estudio de las turbomáquinas se elige habitualmente la base de variables D, N, ρ. Construyendo, entonces, la tabla de dimensiones: L 1 0 ρ -3 μ -1 Q 3 ΔP -1 ε 1 D N

T M 0 0 -1 0 0 1 -1 1 -1 0 -2 1 0 0

Se tienen, por tanto, 4 números adimensionales:

Teoría de máquinas e instalaciones de fluidos

μ ρND

2

;

Q ΔP ε ; ; 3 2 2 D ρN D ND

53 (3.32)

A modo de ejemplo se explicita la obtención del número adimensional de viscosidad. Para ello se relacionan las dimensiones de la viscosidad con las dimensiones de las variables elegidas como básicas, a través de los exponentes a los que hay que elevarlas:

De L : e D − 3e ρ = −1 De T : − e N = −1

(3.33)

De ρ : e ρ = 1 De donde se deduce fácilmente: eD=2; eN=1 y eρ=1. Con los exponentes encontrados se concluye que para obtener el número adimensional de viscosidad se debe dividir esta por N, por ρ y por D elevado al cuadrado. Por otra parte, es de uso común en la Mecánica de Fluidos el número de Reynolds Re=ρvl/μ, en el que v y l son, respectivamente, una velocidad y una longitud característica del problema considerado. En el caso desarrollado, el diámetro de rodete se toma como longitud característica y ND es una velocidad característica del flujo en el rodete. Es decir, el número adimensional de viscosidad que se ha obtenido no es sino el inverso del número de Reynolds. Se usará el número de Reynolds ya que es la práctica habitual en la materia. En cuanto al cociente ε/D, recibe el nombre de rugosidad relativa, εr. También es habitual denominar a los números adimensionales de caudal y presión ΠQ y ΠP respectivamente. Es decir:

ΠQ =

Q ΔP ; ΠP = 3 ρN 2 D 2 ND

(3.34)

De acuerdo con todo lo comentado, usaremos entonces los números adimensionales: Re, εr, ΠQ y ΠP. Y por el teorema de Vaschy-Buckingham sabemos que el comportamiento de nuestra máquina estará caracterizado por una función:

(

f Π Q , Π P , Re, ε r

)

Λ

=0

(3.35)

Dos puntos de operación de dos máquinas semejantes, posiblemente en distintas condiciones de funcionamiento (por ejemplo, operando con líquidos de distinta densidad), se llaman puntos homólogos si son iguales sus números adimensionales de caudal, sus números de Reynolds y sus rugosidades relativas.

54

J.A. García, E. Calvo

Entonces, por la ec. 3.33 también son iguales sus números adimensionales de presión. En el estudio de máquinas que trabajan con líquidos es habitual encontrar esta expresión con el número adimensional de altura en vez del número adimensional de presión:

ΠP =

ρgH gH ΔP = = 2 2 ≡ ΠH 2 2 2 2 ρN D ρN D N D

Así, se puede escribir:

(

Π H = g Π Q , Re, ε r

)

(3.36)

(3.37)

Λ

El resto de las variables fluidodinámicas relevantes de funcionamiento se pueden obtener si se conoce la relación anterior. Para ilustrar esta afirmación podemos usar la potencia comunicada por la máquina al fluido. En el capítulo 9 se verá que la potencia que una bomba proporciona al fluido se puede expresar como: W& = ρgQH

(3.38)

Donde ρ es la densidad del fluido, Q el caudal que atraviesa la máquina y H la altura que la máquina proporciona al fluido. Si esta ecuación se divide por la densidad, por la velocidad de rotación al cubo y por el diámetro elevado a la quinta se tiene:

gH W& ρ Q = = ΠQΠ H 3 5 3 ρ ND N 2 D 2 ρN D

(3.39)

Dado que el lado derecho de la ecuación es adimensional, también lo es el izquierdo, pudiéndose definir entonces el número adimensional de potencia como:

Π W& ≡

W& ρN 3 D 5

(3.40)

Y también, aprovechando las ecuaciones anteriores:

(

Π W& = Π Q Π H = Π Q g Π Q , Re, ε r

)

Λ

(3.41)

Ecuación que expresa la dependencia del número adimensional de caudal a partir de las variables ΠQ, Re y εr, usando la función de la ec. 3.37. Finalmente si se quiere obtener la potencia que la bomba proporciona al fluido se puede expresar como:

55

Teoría de máquinas e instalaciones de fluidos

(

W& = ρND 3 Qg Π Q , Re, ε r

)

(3.42)

Λ

Es decir, si se conoce la función g, se puede obtener dicha potencia para las condiciones de funcionamiento caracterizadas por ρ, N, D y Q. En el capítulo 11 se justificará la aproximación de semejanza parcial en la que se desprecian las influencias del número de Reynolds y de la rugosidad relativa. En este caso se habla de semejanza parcial y se supone que el número adimensional de altura depende solamente del número adimensional de caudal. Bajo esta aproximación:

( )

Π H = g ΠQ

(3.43)

Λ

Entonces, a partir de un punto de funcionamiento en unas condiciones de referencia se puede deducir el comportamiento en otras condiciones con el mismo número adimensional de caudal, ya que la ec. 3.36 expresa que en esas otras condiciones el número adimensional de altura es el mismo que el de las condiciones de referencia. Como se verá en el capítulo siguiente, los fabricantes de turbomáquinas informan de la altura que proporcionan sus máquinas en función del caudal que circula por ellas para una velocidad de giro de referencia, NRef, y para un líquido de referencia. Si se varía algún parámetro de funcionamiento, por ejemplo N, la ec 3.36 permite obtener la altura que proporciona la bomba en función del caudal para la velocidad de giro N. Si se dispone de una aproximación analítica de la curva H(Q) para unas condiciones de funcionamiento dadas, se puede inferir la curva para otras condiciones de trabajo de la máquina. A modo de ejemplo, se supone que podemos aproximar la altura que proporciona la bomba en función del caudal por un polinomio de tercer grado para una velocidad de giro Nref:

H (Q ) = A + BQ + CQ 2 + DQ 3

(3.44)

Para otra velocidad de giro y si no cambia ningún otro parámetro de funcionamiento se tienen las siguientes relaciones entre puntos homólogos:

Q′ ⎫ ⎧ Q= N Ref D ND 3 ⎪⎪ ⎪⎪ ⇒ ⎨ gH gH ′ ⎬ ⎪ ⎪H = = 2 N Ref D 2 N 2 D 2 ⎪⎭ ⎩⎪ Q

3

=

N Ref N 2 N Ref N2

Q′ (3.45)

H′

Donde las variables con «’» se refieren al funcionamiento a N revoluciones por minuto. Sustituyendo en la ec. 3.37 y despejando:

56

J.A. García, E. Calvo

H ′(Q ′) = A

N Ref N2 N Q ′ + CQ ′ 2 + D Q′3 +B 2 N Ref N N Ref

(3.46)

Esta relación permite obtener los coeficientes de la aproximación polinómica para la velocidad de giro N.

4. Instalaciones de bombeo y ventilación En este capítulo se introduce el concepto de instalación de fluidos y se repasan los elementos fundamentales de los que puede constar. Se explican las condiciones que se deben cumplir para su correcto funcionamiento. Se presentan los procedimientos de cálculo de pérdidas de carga a través del diagrama de Moody y de la fórmula de White-Colebrook. Se expone la estrategia de resolución de instalaciones con nodo común y se presenta el método de Hardy-Cross para la resolución de redes malladas. También se trata el comportamiento de bombas en serie y en paralelo y se presenta la analogía entre sistemas de distribución de fluidos y sistemas eléctricos. Una instalación de bombeo es el conjunto de elementos que se disponen para subir el líquido a un determinado nivel, para proporcionar un determinado caudal en un abastecimiento o para cualquier otro uso que requiera de determinados caudales, cambios de nivel o presiones. Lo mismo se puede decir de las instalaciones de ventilación, salvo que en este caso el fluido circulante es un gas. En este capítulo se trataran los siguientes puntos: − − − − −

Funcionamiento de línea de bombeo o ventilación. Conceptos básicos de cálculo de redes. Bombas en paralelo y en serie. Instalaciones con nodo común. Redes malladas de distribución.

4.1. Funcionamiento de línea de bombeo o ventilación Una instalación de bombeo o ventilación está constituida por diferentes elementos que trabajan de forma coordinada para prestar un determinado servicio (por ejemplo: satisfacer la demanda de agua de un piso). Los principales elementos que podemos encontrar en una instalación de bombeo son: − − − − − − −

Bomba. Conducciones, elementos singulares (codos, cambios de sección, T’s…). Filtros. Purgadores o ventosas. Elementos amortiguadores (de transitorios). Válvulas. Depósitos.

58

J.A. García, E. Calvo

Aproximadamente los mismos elementos podemos encontrar en una instalación para ventilación (quizás se precisen deshumidificadores o filtros apropiados de partículas y/o gotas). En el diseño de una instalación habrá que considerar las pérdidas en los elementos estáticos y, en muchos casos, se deberá encontrar una bomba o ventilador que proporcione la energía necesaria al fluido para vencer las pérdidas y comunicar energía adicional; por ejemplo, para aumentar la cota del fluido con la consiguiente ganancia de energía potencial). La configuración puede ser desde sencilla a muy compleja. A continuación se muestra un ejemplo de instalación. Tobera

Válvula

P Depósito presurizado

Depósito atmosférico

Bomba

lazo

FIGURA 4.1. Esquema de un ejemplo de instalación

En la instalación presentada se tienen 6 depósitos, 5 de ellos abiertos al entorno y denominados depósitos atmosféricos porque en la mayoría de los usos el entorno es la atmósfera, y otro cerrado (posiblemente presurizado, como se indica en la figura). Los depósitos están conectados por tuberías, denominadas también líneas o tramos, en una estructura con bifurcaciones o nodos en los que confluyen más de dos líneas. Se tiene también un lazo en la estructura, es decir, un conjunto de líneas en las que se puede salir de un nodo y recorrer las líneas hasta volver al mismo nodo sin pasar dos o más veces por la misma línea. La línea en la parte superior de la figura representa una tobera por la que el fluido sale al entorno. En el esquema solo aparece una bomba, pero una instalación compleja puede tener varias actuando simultáneamente. Una red de tuberías puede ser de dos tipos: ramificada, también conocida como arborescente, o mallada. En las redes ramificadas no se encuentran lazos. En redes complejas se pueden presentar zonas en las que la estructura es ramifi-

Teoría de máquinas e instalaciones de fluidos

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cada con otras partes con estructura ramificada. El esquema siguiente muestra ejemplos de estas topologías:

Qk

Red ramificada

Lazo l

Red mallada

FIGURA 4.2. Ejemplos de red ramificada y red mallada.

La desventaja de las redes malladas, con respecto a las ramificadas, es que son más caras, puesto que son necesarios más tramos de tuberías. Sin embargo, presentan algunas ventajas en operación: 1. Estabilidad de H en los nodos. En general, se obtienen menores variaciones de las alturas ante cambios en la red. 2. Seguridad ante roturas. El corte de una línea (se puede pensar en la ruptura de una tubería) no impide que llegue suministro a los nodos; se habla de abastecimiento redundante Por supuesto, se pueden tener redes con partes ramificadas y partes malladas. Para analizar el funcionamiento de las instalaciones se parte de una instalación sencilla: En la fig. 4.3 se representa el caso en el cual un cierto caudal es elevado entre el depósito 1 (del que se succiona fluido gracias a la bomba) y el 2 (al que se suministra fluido). Conocidas las energías del fluido en los depósitos, E1 y E2, se ponen en forma de alturas (alturas de carga): H1 y H2. Entonces, la ecuación de la energía se puede expresar como:

H 2 − H1 = H B − h

(4.1)

Siendo HB la altura que la bomba proporciona al flujo y h las pérdidas en la instalación.

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J.A. García, E. Calvo

Depósito 2

Depósito 1 FIGURA 4.3. Esquema de una instalación sencilla

Tanto HB como h dependen del caudal. Sin embargo, para los depósitos 1 y 2 habitualmente se usa la aproximación en la cual las alturas en ellos no dependen del caudal, puesto que se suponen con una superficie libre lo suficientemente grande como para poder despreciar el término de altura cinética.

Hi =

Pi v2 P + i + zi ≅ i + zi con : i = 1, 2 ρg 2 g ρg

(4.2)

La ec. 4.1 se puede reordenar:

H B (Q ) = H 2 − H1 + h(Q )

(4.3)

El término de la derecha recibe el nombre de curva pasiva de la instalación, HI(Q).

H I (Q ) ≡ H 2 − H1 + h(Q )

(4.4)

De acuerdo con la ec. 4.3 y la definición en la ec. 4.4, la solución del sistema viene dada por aquel caudal en el que se iguala la altura proporcionada por la bomba con la altura dada por la curva pasiva de la instalación.

H B (Q ) = H I (Q )

(4.5)

Se llama punto de operación (Qop, Hop) a la solución de la ec. (4.5). Desde un punto de vista gráfico, el punto de operación es el corte de la curva característica de la bomba con la curva pasiva de la instalación.

Teoría de máquinas e instalaciones de fluidos

61

HB(Q) HI(Q)

H

Hop

HIND

Qop

Q FIGURA 4.4. Curva característica de bomba HB, curva pasiva HI y punto de operación

Si en vez de un depósito 2 se tuviera una tobera por la que se proporciona un cierto caudal (ejemplo: una manguera de los bomberos), no se podría despreciar el término cinético y se debe incluir en la altura. Existen otros casos más complejos, como, por ejemplo, que la red alimente un rociador que tiene un caudal de salida dependiente de la presión. En general, se habla de depósitos generalizados en los que se tiene una altura total que puede contener tanto el término de altura de presión como el término de altura cinética y el término de cota.

4.2. Conceptos básicos de cálculo de redes Para la resolución de la ec. 4.5 debemos conocer, por una parte, HB(Q), que es proporcionada por los fabricantes, y, por otra, HI(Q). HI(Q) consta de una diferencia de altura H2−H1 que, aun pudiendo depender del caudal, es relacionable con este, y de un término debido a las pérdidas. Para poder calcular el término de pérdidas debemos tener en cuenta que son aditivas; es decir, la altura de pérdidas, h(Q) se puede expresar para cada línea que se considere en la instalación:

h=

∑ hL

i

lineales

+

∑

hS j singulares

(4.6)

62

J.A. García, E. Calvo

Recuperando la ec. 3.4, las pérdidas lineales de un tramo de tubería se pueden expresar según la ecuación de Darcy-Weisbach: hL = f

L 1 Q2 D 2 gS 2

(4.7)

Donde f es el factor de fricción, que para flujo laminar (Re 0 en S 2 ) ⎪⎩ S2

(9.20)

Véase que el denominador es el caudal, con signo negativo para la sección de entrada y con signo positivo para la de salida por la orientación relativa de la velocidad relativa al rodete y el vector normal a las superficies de paso de fluido. Se puede expresar el teorema de Euler usando estos promedios como: S1

)

(9.21)

ρgH U QR = ρQR u 2 v 2θ − u1v1θ

)

(9.22)

(

ρgH U QR = ρQR uvθ Que también se escribe como:

S2

− uvθ

(

Por tanto, la altura de interacción queda: HU =

(

1 u 2 v 2θ − u1v1θ g

)

(9.23)

134

J.A. García, E. Calvo

9.3. Características del teorema de Euler Para obtener la altura de interacción basta con conocer la distribución de velocidades en entrada y salida. No es necesario conocer la distribución de presiones. El teorema se aplica a cualquier tipo de flujo; no importa si es laminar o turbulento. La altura de interacción HU no depende de la densidad del fluido. Este resultado se generaliza a la altura neta total suministrada por la máquina gracias a la teoría de semejanza dinámica (véase capítulo 11). Lo que cambia con la densidad es la presión total de interacción, ya que PT U=ρgHU , y la potencia de interacción, ẇT U=ρgQRHU. Es válido también para máquinas axiales o mixtas. En este caso, el momento generado por la distribución de presiones en las secciones de entrada y salida del fluido, S1 y S2 respectivamente, también es nulo por la simetría axial que presenta el flujo. Asimismo, se puede aplicar al rotor fijo (estator o corona), como por ejemplo a la corona de álabes directrices de una turbina. En ese caso, el par MU representará el par estático que debe soportar el estator cambiado de signo. No hay intercambio de potencia entre la corona y el fluido ya que la velocidad angular de la corona es nula.

9.4. Teorema de Euler en sistemas rotantes En este apartado se expresa el teorema de Euler en un sistema de referencia que gira solidario con el rodete. En el desarrollo se tendrá en cuenta también la pérdida de energía por frotamiento. Recordando la ec. 2.52:

(

)

ρw∇ w 2 2 + U = ∇ ⋅ (τ ⋅ w ) + p(∇ ⋅ w ) − φ

(9.24)

En el caso del rodete, la velocidad angular es constante y no hay aceleración lineal entre los dos sistemas de referencia, por lo que la relación entre aceleración absoluta y relativa se puede expresar como: dv dw = + Ω × (Ω × r ) + 2Ω × w dt dt

Sustituyendo en la ec. 2.32:

(9.25)

Teoría de máquinas e instalaciones de fluidos dw 1 1 = − ∇P + ∇ (τ *) + g − Ω × (Ω × r ) − 2Ω × w dt ρ ρ

135 (9.26)

Multiplicando escalarmente la ecuación por w y dado que el término de Coriolis es perpendicular a la velocidad: w⋅

dw 1 1 = − w ⋅ ∇p + w ⋅ ∇ ⋅ τ * + w ⋅ g − w ⋅ (Ω × (Ω × r )) ρ ρ dt

(9.27)

Usando la definición del potencial centrífugo (ec. 2.53) y dado que el término de la izquierda se puede expresar como:

w⋅

⎛ w2 ⎞ dw d ⎛ w 2 ⎞ ∂ ⎛ w 2 ⎞ ⎟ ⎟ + w ⋅ ∇⎜ ⎟= ⎜ = ⎜⎜ ⎜ 2 ⎟ dt dt ⎝ 2 ⎟⎠ ∂t ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎠ ⎝

(9.28)

Para flujo estacionario se obtiene:

⎛ w 2 ΔP Ω2r 2 w ⋅ ∇⎜⎜ + +U − 2 ρ ⎝ 2

⎞ 1 ⎟ = w ⋅ ∇(τ *) ⎟ ρ ⎠

(9.29)

Que se puede expresar en función del gradiente de una altura como:

⎛ w 2 − u 2 ΔP ⎞ 1 w∇⎜⎜ + + z ⎟⎟ = w∇(τ *) ρg ⎝ 2g ⎠ ρg

(9.30)

El término de la derecha es el trabajo realizado sobre el fluido por la velocidad relativa, es decir, el trabajo de disipación. Integrando el término de la izquierda en el volumen de control que hemos elegido en el rodete: ⎡⎛ w 2 − u 2 ΔP ⎞ ⎤ ⎞ ⎛ w 2 − u 2 ΔP ⎟w ⎥ dV = ⎜ ⎟ ⎜ z dV z w + = ∇ + ∇ + + ⎢ ∫∫∫ ⎜⎝ 2 g ∫∫∫ ⎟ ⎜ 2g ⎟ ρ ρ g g ⎢ ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎠ VC VC ⎣ (9.31) ⎞ ⎛ w 2 − u 2 ΔP ⎞ ⎛ w 2 − u 2 ΔP ∫∫ ⎜⎜⎝ 2 g + ρg + z ⎟⎟⎠wdS = ∫∫ ⎜⎜⎝ 2 g + ρg + z ⎟⎟⎠wdS SC S1 + S 2 Que se puede expresar como las alturas promediadas en caudal en las secciones 1 y 2:

H 2G − H 2G

(9.32)

136

J.A. García, E. Calvo

El superíndice G indica que es la altura vista en el sistema de referencia giratorio. La integración del término de la derecha da la altura de pérdidas; así:

H 2G − H 2G = −h12

(9.33)

Si se ignora el término de disipación (suponiendo conservación de la energía mecánica), se obtiene el teorema de Bernoulli como:

⎛ w 2 − u 2 ΔP ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 g + ρg + z ⎟ = cte ⎝ ⎠

(9.34)

9.4.1. Equivalencia entre sistema fijo y sistema rotante En el apartado 9.2 se ha obtenido la expresión para la altura de interacción, que sería la altura que el rodete proporcionaría al fluido si no hubiera pérdidas por frotamiento en el interior del rodete.

⎛ P v2 ⎞ ⎛ P v2 ⎞ gH U = u 2 v2θ − u1v1θ = ⎜ 2 + 2 ⎟ − ⎜ 1 + 1 ⎟ ⎜ρ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ ρ 2 ⎟⎠ ⎝

(9.35)

En el sistema rotante con el rodete no se realiza trabajo, puesto que los álabes están quietos para el observador. Sin embargo, aparece la energía potencial centrífuga, por tratarse de un sistema no inercial. Es decir:

⎛ P w 2 − u 22 0=⎜ 2 + 2 ⎜ρ 2 ⎝

⎞ ⎛ P1 w12 − u12 ⎞ ⎟−⎜ + ⎟ ⎟ ⎜ρ 2 ⎟⎠ ⎠ ⎝

(9.36)

Se puede demostrar fácilmente que las dos últimas ecuaciones son equivalentes sin más que aplicar el teorema del coseno al triángulo de velocidades en la fig. 7.13:

v 22 = u 22 + w22 − 2u 2 w2 cos β 2

(9.37)

w2 cos β 2 = u 2 − v 2θ

(9.38)

w22 = u 22 + v22 − 2u 2 v2θ

(9.39)

Con:

Así:

De forma análoga, para la sección 1:

Teoría de máquinas e instalaciones de fluidos

137

w12 = u12 + v12 − 2u1v1θ

(9.40)

Sustituyendo la ec. 9.38 y la ec. 9.39 en la ec. 9.24: ⎛ P v 2 − 2u 2 v 2θ 0=⎜ 2 + 2 ⎜ ρ 2 ⎝

⎞ ⎛ P1 v12 − 2u1v1θ ⎟−⎜ + ⎟ ⎜ρ 2 ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(9.41)

Reordenando se recupera la ec. 9.34.

9.5. Teoría 1D de turbomáquinas El comportamiento de las turbomáquinas se describe con las denominadas curvas características, que indican el comportamiento de distintas variables con respecto al caudal que circula por ellas. Los fabricantes proporcionan estas curvas para un líquido y para una velocidad de rotación, N en rpm, fijados. Habitualmente, en los catálogos de las empresas se presentan las siguientes curvas características: − H(Q): Altura neta en función del caudal. − ẇACC (Q): Potencia de accionamiento de la máquina. − NPSHR(Q): Net Positive Suction Head Required, parámetro necesario para la prevención de cavitación. Otras curvas características son usadas con menos frecuencia; por ejemplo, el par motor con respecto al caudal, M(Q). En este apartado se obtiene HU directamente del teorema de Euler aplicando la teoría 1D en función del caudal. Esta es una primera aproximación para la obtención de la curva característica que da la altura de máquina en función del caudal.

9.5.1. Introducción e hipótesis En el diseño de las turbomáquinas se han usado históricamente diferentes aproximaciones, desde el clásico método de prueba y error hasta la simulación numérica en la actualidad. Entre los extremos mencionados, el estudio analítico aproximado que se desprende del teorema de Euler y la caracterización cualitativa de las pérdidas han resultado guías útiles en el desarrollo. Algunos aspectos del funcionamiento de estas máquinas son analíticamente muy complejos por lo que la experimentación, sobre todo en la caracterización de las máquinas ya diseña-

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J.A. García, E. Calvo

das, sigue siendo necesaria (por ejemplo, en la caracterización de la cavitación, que se verá en el capítulo 12). En este capítulo se desarrollará una primera aproximación, muy simplificada, al estudio analítico de las turbomáquinas. El desarrollo matemático se realizará para una máquina radial y posteriormente se extenderá a máquinas axiales y mixtas. Al modelo simplificado se le denomina aproximación 1D y asume las hipótesis que se listan a continuación: a) Flujo estacionario ⇒ si ψ es una variable arbitraria del flujo, se tiene ∂ψ/∂t=0. b) Flujo incompresible ⇒ ρ=cte. c) Flujo ideal ⇒ μ=0. d) Flujo uniforme en cada sección de paso de fluido y simetría cilíndrica ⇒ ∂ψ/∂z=0, ∂ψ/∂θ=0, ∂ψ/∂r≠0. e) Flujo perfectamente dirigido a la salida de los álabes de cada componente de la máquina (rodete, corona difusora, etc.). Esta hipótesis es equivalente a un rodete o corona difusora con un número infinito de álabes infinitesimalmente cercanos entre sí. Estas hipótesis se consideran de aplicación en todas las partes de la máquina: − Bombas: rodete, corona difusora y voluta. − Turbinas: rodete, distribuidor y cámara espiral. Con estas aproximaciones se cometen unos errores en torno al 20-30% en los cálculos de las variables de interacción.

9.5.2. Curva H-Q en aproximación 1D de máquinas radiales Para máquinas radiales, el valor promedio de cualquier variable en las secciones 1 y 2 se toma como el valor de la variable en cualquier punto de la correspondiente sección, ya que hemos supuesto que cualquier variable presenta un valor constante en cada sección con r=cte. El desarrollo se comienza para máquinas radiales y posteriormente se comenta cómo aplicar el modelo 1D a otras geometrías. En esta aproximación la altura de interacción se denota HT∞. Así:

H T∞ =

1 [u 2 v2θ − u1v1θ ] g

(9.42)

Teoría de máquinas e instalaciones de fluidos

139

En estas condiciones se puede expresar la altura de interacción en aproximación 1D a partir de la geometría del rodete, de la velocidad angular del rodete Ω, del caudal Q y de la velocidad angular absoluta del fluido en la entrada del rodete. La velocidad de arrastre del rodete se puede expresar en función de la velocidad angular y los radios, interno y externo, del rodete:

u 2 = Ωr2 , u1 = Ωr1

(9.43)

Aplicable para los puntos de la sección Si (con i=1, 2) en máquinas radiales. De los triángulos de velocidades en la entrada y la salida se puede expresar la componente angular de la velocidad absoluta:

Entrada : v1θ = Salida :

v 2θ

Q S1 tan α 1

v Q = Ωr2 − 2 m = Ωr2 − tan β 2 S 2 tan β 2

(9.44)

Por tanto:

H T∞ =

⎞ ⎛ 1 (Ωr2 )2 − Ω ⎜⎜ r2 + r1 ⎟⎟Q g g ⎝ S 2 tan β 2 S1 tan α1 ⎠

(9.45)

Que se puede expresar como:

H T∞ =

1 (Ωr2 )2 − Ω KQ con K = r2 + r1 g g S 2 tan β 2 S1 tan α 1

(9.46)

Obsérvese que tanto β2 como α1 son ángulos con la dirección angular. Pero mientras que α1 no se puede relacionar con las características geométricas del rodete, β2 del flujo es el mismo que el β2 del álabe, bajo la suposición de flujo perfectamente dirigido en salida. La aplicación de la teoría 1D da una relación lineal entre el caudal y la altura de interacción. La obtención de las curvas características experimentales ha mostrado que este comportamiento no se da en la práctica. Sin embargo, nos sirve como base del análisis de comportamiento en algunas circunstancias y también como primer paso para explicar de forma cualitativa la forma de las curvas reales. A continuación se describe el comportamiento de las bombas y de las turbinas por separado. Bombas En el caso de las bombas, máquinas impulsoras, se desea HU>0, es decir, que el rodete comunique energía al fluido. Se empieza considerando el caso sin pre-

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J.A. García, E. Calvo

rrotación, en el que el flujo incide en el rodete con una velocidad que no tiene componente angular, v1θ=0. En este caso, la ec. 9.45 se reduce a:

H T∞ =

1 (Ωr2 )2 − Ω r2 Q g g S 2 tan β 2

(9.47)

Esta expresión indica que la altura que el rodete proporciona calculada con la aproximación 1D presenta un comportamiento lineal con el caudal. La pendiente depende del ángulo β2. Sin prerotación (α1=0)

H T∞

β2>π/2

β2=π/2

2

u2 /2g

β2π/2) K=0 (α1∼π/2)

H T∞

u22/2g

K