Álgebra/Teoría de grupos/Subgrupos normales 1 Álgebra/Teoría de grupos/Subgrupos normales Subgrupos normales Si es un
Views 118 Downloads 2 File size 198KB
Álgebra/Teoría de grupos/Subgrupos normales
1
Álgebra/Teoría de grupos/Subgrupos normales Subgrupos normales Si
es un grupo y
sucede cuando
es un subgrupo de
que cumplen esto mismo sin
sea abeliano. En esta sección vamos a caracterizar tales subgrupos.
Definición 1.29: Sea
de
, aunque claramente esto sí
es abeliano. En realidad existen subgrupos de un grupo
necesidad de que
para todo
, no es cierto en general que
un grupo y
un subgrupo de
. Se dice que
. Este hecho lo representaremos por
Equivalentemente tenemos que
Tenemos pues que si
es normal en
si
.
si y sólo si
, entonces las relaciones de congruencia izquierda y derecha módulo
luego cualquiera de ellas da lugar al mismo conjunto cociente
coinciden,
. Vamos a probar ahora que este conjunto
cociente puede ser dotado de una estructura de grupo. Teorema 1.30: Sea
un grupo y
. Entonces
es un grupo, llamado grupo cociente de
por
, con la operación de grupo dada por
Demostración: Para comenzar, debemos probar que la operación en sentido, es decir, que si
con
y
y
como
,
, entonces
(pues
), así es que
,
,
y
entonces
. Hemos probado que la operación definida en
tiene sentido. Esta operación es asociativa. La identidad de
Si
, pero
luego
, lo que prueba que . Con esto queda probado que
tiene
. Esto es así, pues
y
también
dada por
es
, y el inverso de todo
de
es
es un grupo.
es un homomorfismo de grupos, entonces
. En efecto, pues si
y
, entonces
luego y así tener que
lo que demuestra que
, así que
para todo , luego para todo
de
de
, luego podemos cambiar
se tiene
, completando la prueba de que
Teorema 1.31: El núcleo de todo homomorfismo de grupos Recíprocamente, todo subgrupo normal de un grupo
por
.
es un subgrupo normal del dominio de
es el núcleo de cierto homomorfismo cuyo dominio es
Demostración: La primera parte del teorema ya ha sido probada. Si
es un subgrupo normal de
. .
, la aplicación
Álgebra/Teoría de grupos/Subgrupos normales
2
es claramente un epimorfismo, y es llamado proyección canónica. Puesto que si y sólo si
Sea
, tenemos que
un grupo y
, i.e.
.
, y defínanse los conjuntos
Llamaremos normalizador de
al conjunto
Este conjunto es en realidad un grupo, pues es fácil ver que si entonces también
, y que además
Si
, entonces claramente
es un subgrupo de
cual
si y sólo si
y
(i.e. si
y
)
. . Más aún,
es el mayor subgrupo de
en el
es normal. En otras palabras,
Ahora bien, podemos definir un conjunto cuyas exigencias sean aún más fuertes que las que definen a un grupo normalizador. Para ser precisos, si es un grupo podemos definir un subgrupo cuyos elementos sean aquellos que conmuten con todos los elementos de un subconjunto lo denotaremos por
de
. A este conjunto se le llama centralizador de
,y
. Así pues,
Notar que 1. 2.
; equivale a decir que
es abeliano.
Ahora vamos a enunciar un teorema que tiene consecuencias importantes. Teorema 1.32 (Teorema fundamental de homomorfismos): Sea un
subgrupo
normal
de
tal
tal que (1)
que
.
, donde
es un epimorfismo si y sólo si
un homomorfismo de grupos y
Entonces
existe
un
único
homomorfismo
es la proyección canónica. Además:
lo es;
(2) (3)
es un monomorfismo si y sólo si
Demostración: Vamos a demostrar que el homomorfismo
es la aplicación dada por
Primeramente observamos que esta aplicación está bien definida, pues si como
, también
, luego
puesto que está completamente determinada por
. Es fácil ver que
,y
es un homomorfismo, y
, es el único homomorfismo que cumple
evidente. (2) y sólo si
, entonces
. es el subgrupo trivial de
, es decir, si y sólo si
. (1) es
es un monomorfismo si .
Álgebra/Teoría de grupos/Subgrupos normales
3
El teorema fundamntal de homomorfismos puede enunciarse también de la manera así: si homomorfismo de grupos y
un subgrupo normal de
homomorfismo
tal que
es un
, entonces existe un único
que da lugar al diagrama conmutativo siguiente:
Teorema 1.33 (Primer teorema de isomorfía): Si
es un homomorfismo de grupos, entonces
. Demostración: El teorema anterior nos da un homomorfismo epimorfismo si en lugar de
entre
tomamos simplemente
y
, que se convierte en
, pero por (3) del teorema anterior
es también
un monomorfismo, luego termina siendo un isomorfismo. Teorema 1.34 (Segundo teorema de isomorfía): Si subgrupo cualquiera de
, entonces
es un subgrupo normal de un grupo
es normal en
y
y
es un
.
Demostración: La aplicación
es un epimorfismo, y como
, el primer
teorema de isomorfía nos da un isomorfismo
.
Teorema 1.34 (Tercer teorema de isomorfía): Si , entonces
y
son dos subgrupos normales en un grupo
, con
.
Demostración: Sea
la proyección canónica. Tal aplicación es un epimorfismo de grupos, y
por el teorema 1.31,
, luego
epimorfismo
, pero
, luego
, así es que, de acuerdo con el teorema 1.32, existe un si y sólo si
, lo cual sucede si y sólo si
, así es que, por el primer teorema de isomorfía, existe un isomorfismo entre y
.
Fuentes y contribuyentes del artículo
Fuentes y contribuyentes del artículo Álgebra/Teoría de grupos/Subgrupos normales Fuente: http://es.wikibooks.org/w/index.php?oldid=89092 Contribuyentes: -
Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes Imagen:Teo_Fund_Homo_Diag.svg Fuente: http://es.wikibooks.org/w/index.php?title=Archivo:Teo_Fund_Homo_Diag.svg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Alephcero
Licencia Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/
4