• Author / Uploaded
• dize07

Citation preview

GRUPO Nº 01 MATEMATICA APLICADA CB – 143 V

CB- 143 V

1

CB- 143 V

2

TEMARIO: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

Introducción. Sistemas Dinámicos: Tipos Caos – Sistema: Definición. Medidas del Caos: Coef. Lyapunov Sistemas caóticos Efecto mariposa Paradoja del caos (ejemplos) Orígenes teoría del caos: estudios de Lorentz Atractores - tipos de atractores Atractor de Henon, ecuación logística, Modelo matemático de Lorentz-Atractores extraños Aplicaciones teoría del caos Conclusiones

CB- 143 V

3

TEORÍA DEL CAOS "Por un clavo se perdió la herradura Por una herradura se perdió el caballo Por un caballo se perdió el jinete Por un jinete se perdió la batalla Por una batalla se perdió el reino“ CB- 143 V

4

Proverbio ingles

1. INTRODUCCION • En la década de los 70, un grupo de científicos estadounidenses y europeos comenzó a fraguarse camino en el desorden, eran matemáticos, físicos y biólogos, y todos buscaban nexos entre las diferentes clases de irregularidades • La ciencia clásica acaba donde el caos empieza CB- 143 V

5

1. INTRODUCCION • La Teoría del Caos permite deducir el orden subyacente que ocultan fenómenos aparentemente aleatorios. •

Se sabe que ecuaciones totalmente deterministas presentan las siguientes características que definen el Caos: » Son deterministas, » Son muy sensibles a las condiciones Iniciales. » Parecen desordenados o aleatorios, pero en el fondo no lo son. CB- 143 V

6

1. INTRODUCCION • El caos hay más que azar, el caos encierra en sí mismo una fina estructura geométrica, un orden detrás de la aparente casualidad. • Se trata de estudiar el peculiar comportamiento de ciertos sistemas dinámicos.

CB- 143 V

7

2. CONCEPTOS BASICOS • SISTEMA: Un sistema es un conjunto de funciones, virtualmente referenciada sobre ejes, bien sean estos reales o abstractos. (DEF. ESPACIAL) • CAOS: El caos habitualmente se refiere a lo impredecible, y es uno de los principales conceptos del Cosmos. Debido a variaciones lingüísticas, el significado de la palabra se desplazó a desorden. • SISTEMA COMPLEJO: Un sistema complejo está compuesto por varias partes interconectadas o entrelazadas cuyos vínculos contienen información adicional y oculta al observador. Como resultado de las interacciones entre elementos, surgen propiedades nuevas que no pueden explicarse a partir de las propiedades de los elementos aislados. Dichas propiedades se denominan CB- 143 V propiedades emergentes.

8

3. SISTEMAS DINAMICOS • Los sistemas dinámicos es una rama que se desarrolla en la segunda mitad del Siglo XX, que estudia lo complicado, lo impredecible, lo que no es lineal. • Un sistema dinámico es un sistema complejo que presenta varios cambios de estado o evoluciona a lo largo del tiempo. CB- 143 V

9

• Los orígenes de la teoría de sistemas dinámicos se remontan a un siglo atrás. Los componentes básicos de la teoría de multiplicidad de soluciones de ecuaciones de evolución no lineal fueron agrupados en tres áreas distintas: soluciones críticas, estabilidad, y estabilidad estructural

• Mucho más recientemente, un desarrollo significativo del caos (algunos dicen que su nacimiento) ocurrió en 1963 tras la publicación por parte de Lorenz de un artículo sobre flujo no periódico relacionado con la turbulencia CB- 143 V

10

3. SISTEMAS DINAMICOS DEFINICION: • Un sistema dinámico para S nos dice para cada x Є S, donde está x una unidad de tiempo más tarde, dos unidades de tiempo más tarde, y así sucesivamente. Denotamos estas nuevas posiciones de x por x1, x2 respectivamente. • En el instante cero, x está en x o x0. Una unidad antes del instante cero, x estaba en x-1. Si se extrapola para cubrir todos los números reales, se obtiene una trayectoria x(t) para todo tiempo t. CB- 143 V

11

• La aplicación R →S, que envía t a xt, es una curva en S que representa la historia de x cuando t va de -∞ a +∞ . • Un sistema dinámico es una aplicación Φ : R x S→S, de clase C∞, donde S es un conjunto abierto de un espacio euclídeo, tal que, escribiendo Φ (t; x) = Φt (x), La aplicación Φt: S→ S satisface: Φ : S→S es la función identidad. La composición Φs o Φt = Φs+t, para todo s, t Є R. CB- 143 V

12

3. SISTEMAS DINAMICOS: TIPOS

• • • • •

Podemos definir algunos tipos de sistemas dinámicos : Sistemas dinámicos unidimensionales. Sistemas dinámicos cuadráticos. Sistemas dinámicos caóticos. Sistemas dinámicos planos. Sistemas dinámicos complejos.

CB- 143 V

13

4. MEDIDAS DEL CAOS: COEFICIENTE DE LYAPUNOV

- Caracteriza el acercamiento o alejamiento de dos orbitas.

λ  lim

| x |  0

1 | x0 ( x0 , t ) | .ln t | x0 |

0 t 

CB- 143 V

14

4. COEFICIENTE DE LYAPUNOV • λ0: La órbita es inestable y caótica.

CB- 143 V

15

5. SISTEMAS CAÓTICOS -> Sistemas Estables -> Sistemas Inestables -> Sistemas Caóticos

CB- 143 V

16

6. EFECTO MARIPOSA

El "efecto mariposa" es un concepto que hace referencia a la noción de sensibilidad a las condiciones iniciales dentro del marco de la teoría del caos. La idea es que, dadas unas condiciones iniciales de un determinado sistema caótico, la más mínima variación en ellas puede provocar que el sistema evolucione en formas completamente diferentes. Sucediendo así que, una pequeña perturbación inicial, mediante un proceso de amplificación, podrá generar un efecto considerablemente grande. CB- 143 V 17

6. EFECTO MARIPOSA Ejemplos: -> Soltar una pelota repetidamente sobre una esquina -> Salir a tomar un bus todos los días a la misma hora. -> Educar a un grupo de estudiantes bajo una misma aula.

CB- 143 V

18

7. PARADOJA DEL CAOS (Orden subyacente) El río tiende a conservar su forma, pero experimenta una renovación permanente. El ser humano experimenta el mismo fenómeno

CB- 143 V

19

7. PARADOJA DEL CAOS El tráfico vehicular es claramente caótico visto desde dentro de los autos. Pero una visión aérea nos revela formas y figuras claramente definidas.

CB- 143 V

20

7. PARADOJA DEL CAOS • El BIG-BAN a pesar de ser una explosión, los sistemas astrales generados ostentan un nivel extraordinario de orden subyacente.

CB- 143 V

21

8. TEORÍA DEL CAOS - ORÍGENES • En los años 60 el meteorólogo Edward Lorenz probaba un sistema de ecuaciones para predicción climática basado en tres variables; velocidad del viento, presión de aire y temperatura. • Las ecuaciones se retroalimentaban con sus valores resultantes con el fin de obtener valores futuros. CB- 143 V

22

8. TEORÍA DEL CAOS - ORÍGENES En un primer experimento los cálculos se realizaron con una precisión de 6 decimales, en una segunda versión sistematizada del experimento, los cálculos fueron realizados con 3 decimales de precisión, por limitantes de la arquitectura de su máquina, lo cual debería introducir un pequeño margen de error en los resultados. Los resultados obtenidos fueron radicalmente diferentes! el pequeño factor de error se vio amplificado por el carácter retroalimentado del experimento.

“Un sistema no lineal” CB- 143 V

23

8. TEORÍA DEL CAOS - ORÍGENES – Pequeñas variaciones en las condiciones iníciales del sistema pueden producir grandes variaciones en el comportamiento del mismo... – Este comportamiento no es un defecto en el experimento, al contrario, es una imagen fiel del sistema climático. – El sistema climatológico, es un sistema retroalimentado no lineal donde pequeñas variaciones de presión o temperatura pueden causar grandes alteraciones climáticas.

CB- 143 V

24

8. TEORÍA DEL CAOS - ORÍGENES • Ej. Stephen Hawking dice que si el universo hubiese tenido una densidad de una parte en mil billones más grande, un segundo más tarde del Big Bang, el universo hubiera colapsado 10 años más tarde. • Por el contrario si el universo hubiera tenido las condiciones a la inversa, hubiese estado vacío al cabo de 10 años. • Usualmente el caos lo asumimos como algún tipo de confusión o desorganización. • Científicamente, caos implica la existencia de aspectos impredecibles o aleatorios en cuestiones dinámicas, lo cual no necesariamente es malo o no deseable. CB- 143 V

25

9. ATRACTORES • Un atractor es el conjunto al que el sistema evoluciona después de un tiempo suficientemente largo. Para que el conjunto sea un atractor, las trayectorias que le sean suficientemente próximas han de permanecer próximas incluso si son ligeramente perturbadas. Geométricamente, un atractor puede ser un punto, una curva, una variedad o incluso un conjunto complicado de estructura fractal conocido como atractor extraño. • “Los sistemas dinámicos son atraídos por los atractores así como los insectos son atraídos por la luz en las noches”

CB- 143 V

26

9. ATRACTORES: TIPOS  Atractor de punto fijo: El sistema que tenga un atractor de punto fijo tenderá a estabilizarse en un único punto. Un ejemplo común es el péndulo, que tiende al punto en el que el ángulo es nulo respecto a la vertical, debido al rozamiento con el aire.  Atractor de ciclo límite o atractor periódico: Este tipo de atractor tiende a mantenerse en un periodo igual para siempre. Como ejemplo, se puede tomar un péndulo alimentado para contrarrestar la fuerza de rozamiento, por lo que oscilaría de lado a lado.  Atractores extraños o caóticos: Correspondientes a los sistemas caóticos determinísticos y por ende exhibe dependencia sensible a las condiciones iniciales CB- 143 V

27

10. EL ATRACTOR DE HÉNON •

Hénon empleó el mapa que lleva su nombre para modelar la perturbación sobre asteroides

Si haces sucesivas ampliaciones sobre el mismo, descubrirás que muestra una estructura semejante a cualquier escala 8x

1x

64x

512x

1x

CB- 143 V

28

ATRACTOR DE IKEDA

•

Esta vez trabajamos en el plano complejo

•

La ecuación fue propuesta por Ikeda como modelo en un problema de óptica no lineal.

a,b,k,p parámetros

z=(x,y) CB- 143 V

29

LA ECUACIÓN LOGÍSTICA DE MAY • La función logística modeliza la función de crecimiento de un conjunto A. El estadio inicial de crecimiento es aproximadamente exponencial; al cabo de un tiempo, aparece la competición entre algunos miembros de A por algún recurso crítico K ("cuello de botella") y la tasa de crecimiento disminuye; finalmente, en la madurez, el crecimiento se detiene.

An = número de animales en el año n An+1= c An c=tasa de crecimiento M= población máxima admitida

An+1= c An (M-An)

se normaliza y...

xn+1= c xn (1-xn)

Ecuación logística

x

c x (1-x) CB- 143 V

ITERACION 30

LA ECUACIÓN LOGÍSTICA DE MAY

CB- 143 V

31

11. ATRACTOR DE LORENZ • El atractor de Lorenz, concepto introducido por Edward Lorenz en 1963, es un sistema dinámico determinístico tridimensional no lineal derivado de las ecuaciones simplificadas de rollos de convección que se producen en las ecuaciones dinámicas de la atmósfera terrestre. • Para ciertos valores de los parámetros a,b,c el sistema exhibe un comportamiento caótico y muestra lo que actualmente se llama un atractor extraño; esto fue probado por W. Tucker en 2001.

Con a,b,c > 0 Pero es usualmente a = 10, c = 8 / 3 y b es variado. El sistema exhibe un comportamiento caótico para b = 28 pero muestra órbitas periódicas para otros valores de b. CB- 143 V

32

11. EL ATRACTOR DE LORENZ Problema real (física, biología, meteorología...)

Modelo Matemático (Ecuaciones diferenciales)

Solución Matemática

¿Explica la CB- 143 V realidad?

33

11. EL ATRACTOR DE LORENZ Frío Atmósfera

Lámina rectangular

Calor x´(t)= 10(y-x) y´(t)=28x-y-xz z´(t)=xy-8x/3 CB- 143 V

Modelo matemático Ecuaciones diferenciales (no lineales). 34

EL ATRACTOR DE LORENZ: 2D

CB- 143 V

35

EL ATRACTOR DE LORENZ: 3D

CB- 143 V

36

12. ATRACTORES EXTRAÑOS

CB- 143 V

37

ATRACTOR DE ROSSLER

CB- 143 V

38

13. APLICACIONES DE LA TEORIA DEL CAOS • Aplicación meteorológica Los modelos numéricos que han sido estudiados en la teoría del caos han introducido considerables mejoras en la exactitud de las previsiones meteorológicas en comparación con las predicciones anteriores, realizadas por medio de métodos subjetivos, en especial para periodos superiores a un día.

CB- 143 V

39

13. APLICACIONES DE LA TEORIA DEL CAOS • Aplicación a la Economía Se conoce que en los niveles meso y macro la Economía, como sistema finito, puede presentar aparentemente un comportamiento determinista debido a la posibilidad de realizar predicciones.

CB- 143 V

40

13. APLICACIONES DE LA TEORIA DEL CAOS • EL CAOS EN EL CUERPO HUMANO: El cuerpo humano también es un sistema caótico. Está claro que es imposible predecir el recorrido que una partícula cualquiera tendrá dentro de nuestro cuerpo. También está claro que la medicina todavía no puede hacer una predicción acerca de la evolución del cuerpo de determinado individuo. Sin embargo el cuerpo humano, a pesar de las muy diferentes condiciones externas a que puede estar expuesto (clima, alimento, esfuerzo físico, etc), siempre mantiene una forma general. Es tan resistente a cambios (dentro de lo que cabe) porque los sistemas caóticos son muy flexibles. Una enfermedad es algo impredecible, pero si el cuerpo no tuviera la libertad de ponerse enfermo, con cualquier cambio producido el sistema se desmoronaría.

CB- 143 V

41

14. CONCLUSIONES

CB- 143 V

42

14. CONCLUSIONES

CB- 143 V

43

15. BIBLIOGRAFIA • http://www.scribd.com/doc/21991/La-Teoria-Del-Caos • http://www.scribd.com/doc/4747389/Teoria-del-CaosEfecto-Mariposa.pdf • http://www.scribd.com/doc/6819783/Modelos-No-LinealesCaos-Y-Fractales.pdf • http://eprints.ictp.it/173/01/birds1.pdf • http://pisis.unalmed.edu.co/cursos/material/3004603/1/SIST EMAS%20COMPLEJOS%20-%20Clase%206.pdf • http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ehernan/Talento/ ManoloMoran/Sistemas%20dinamicos.pdf • http://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_mariposa CB- 143 V

44

GRACIAS X SU ATENCION!!!

CB- 143 V

45