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Teorema del virial En la mecánica, el teorema del virial proporciona una ecuación general que se refiere a la media en el tiempo de la energía cinética total,, de un sistema estable que consiste de N partículas, unidos por fuerzas potenciales, con el de la energía potencial total, donde, corchetes angulares representan el promedio en el tiempo de la cantidad cerrado. Matemáticamente, el teorema afirma Donde Fk representa la fuerza sobre la partícula k-ésima, que se encuentra en la posición rk. La palabra "virial" deriva de vis, la palabra latina que significa "fuerza" o "energía", y se le dio su definición técnica por Rudolf Clausius en 1870. La importancia del teorema del virial es que permite que la energía cinética media total que se calcula incluso para sistemas muy complicados que desafían una solución exacta, tales como los que se consideran en la mecánica estadística; esta energía cinética promedio total está relacionada con la temperatura del sistema por el teorema de equipartición. Sin embargo, el teorema del virial no depende de la noción de la temperatura y se mantiene incluso para los sistemas que no están en equilibrio térmico. El teorema del virial ha sido generalizada de diversas maneras, lo más notablemente a una forma tensor. la fuerza entre dos partículas de los resultados del sistema de una energía potencial V = ar n que es proporcional a una potencia n de la distancia r entre las partículas, el teorema del virial toma la forma sencilla Por lo tanto, el doble de la energía cinética media total es igual a n veces la energía potencial promedio total. Considerando que V representa la energía potencial entre dos partículas, Vtot representa la energía potencial total del sistema, es decir, la suma de la energía potencial V a través de todos los pares de partículas en el sistema. Un ejemplo común de tal sistema es una estrella unidas por su propia gravedad, donde n es igual a -1.

Aunque el teorema del virial depende de un promedio del total de las energías cinética y potencial, la presentación aquí pospone el cálculo del promedio para el último paso.

Historia En 1870, Rudolf Clausius dictó la conferencia "En un teorema mecánica aplicable a Heat" de la Asociación de Ciencias Naturales y Médicas del Bajo Rin, después de un estudio de 20 años de la termodinámica. La conferencia declaró que la media fuerza viva del sistema es igual a su virial, o que la energía cinética media es igual a 1/2 de la energía media potencial. El teorema virial se puede obtener directamente de la identidad de Lagrange en su aplicación en la dinámica gravitatoria clásica, la forma original de la que se incluye en "Ensayo sobre el problema de tres cuerpos" de Lagrange publicados en 1772 - la generalización de la identidad de n cuerpos de Karl Jacobi y la forma actual de la identidad de Laplace se asemeja mucho al teorema virial clásico. Sin embargo, las interpretaciones que conducen al desarrollo de las ecuaciones eran muy diferentes, ya que en el momento de desarrollo, la dinámica estadísticos aún no habían unificado los estudios separados de la termodinámica y la dinámica clásica. El teorema fue posteriormente utilizado, popularizado, generalizado y desarrollado por James Clerk Maxwell, Lord Rayleigh, Henri Poincaré, Subrahmanyan Chandrasekhar, Enrico Fermi, Paul Ledoux y Eugene Parker. Fritz Zwicky fue el primero en utilizar el teorema virial para deducir la existencia de la materia invisible, que ahora se llama materia oscura. Como otro ejemplo de sus muchas aplicaciones, el teorema del virial se ha utilizado para derivar el límite de Chandrasekhar para la estabilidad de las estrellas enanas blancas.

Declaración y la derivación Las definiciones del virial y su derivada en el tiempo Para una colección de partículas del punto N, el momento de inercia I escalar sobre el origen se define por la ecuación

donde mk y rk representan la masa y la posición de la partícula k-ésimo. rk = | rk | es la magnitud del vector de posición. El escalar del virial G se define por la ecuación donde pk es el vector de movimiento de la partícula k-ésimo. Suponiendo que las masas son constantes, la virial G es la mitad de la derivada en el tiempo de este momento de inercia A su vez, la derivada respecto al tiempo del virial G puede ser escrito donde mk es la masa de la k-ésima partícula, es la fuerza neta sobre la partícula, y T es la energía cinética total del sistema

Conexión con la energía potencial entre las partículas La fuerza total sobre la partícula k es la suma de todas las fuerzas de la otra partículas j en el sistema donde es la fuerza aplicada por j k partícula en partícula. Por lo tanto, el término fuerza de la derivada en el tiempo del virial se puede escribir Dado que ninguna partícula actúa sobre sí mismo, tenemos Por lo tanto, tenemos y Tik es el tensor electromagnético,Un plasmoide es una configuración finita de campos magnéticos y el plasma. Con el teorema del virial es fácil ver que cualquier configuración de este tipo se expandirá si no contenida por fuerzas externas. En una configuración finita sin muros resistentes a la presión o bobinas magnéticas, la integral de superficie se desvanecerá. Dado que todos los otros términos en el lado derecho son positivos, la aceleración del momento de inercia también será positivo. También es fácil de estimar el tiempo t de expansión. Si una masa total M está confinado dentro de un radio R, a continuación, el momento de inercia es más o menos MR2, y el lado de mano izquierda del teorema del virial es MR2/t2. Los términos en el lado derecho se suman a alrededor de pR3, donde p es el más grande de la presión del plasma o la presión magnética. Igualando estos dos términos y despejando t, encontramos

donde Cs es la velocidad de la onda acústica de iones. Por lo tanto se espera que el tiempo de vida de un plasmoide para estar en el orden del tiempo de tránsito acústica.

Teorema de virial para una partícula Consideremos la siguiente figura para desarrollar la teoría del virial para una partícula

Para llegar a la teoría del virial para una partícula debemos considerar la cantidad

Diferenciando la cantidad A con respecto al tiempo llegamos a

Ahora tomaremos el promedio temporal de cada término en esta ecuación para tener

Si suponemos que la cantidad A no pude crecer indefinidamente puesto que las cantidades involucradas en su definición no pueden crecer indefinidamente, esto puede pasar cuando la partícula esta siempre acotada en una región del espacio así que su velocidad ni su vector de posición respecto a la referencia inercial no pueden aumentar con el tiempo, y si además el tiempo crece indefinidamente la ecuación se puede reducir a

Que es la expresión de cálculo de la energía cinética promedio para la partícula, a la cantidad en el segundo miembro se le conoce como el virial de la partícula.

Teorema de virial para muchas partículas Ahora extenderemos el teorema del virial para muchas partículas, la derivación es casi la misma pero se tendrá en cuenta las fuerzas intermoleculares, debemos considerar la siguiente figura Aunque la demostración del virial para muchas partículas la haremos con dos partículas y los resultados los generalizaremos para muchas partículas

donde

De la segunda ley de Newton podemos escribir

Además de la tercera ley de newton se puede escribir

Además de la teoría vectorial se puede escribir

La energía cinética del sistema de muchas partículas es la suma de las energías cinéticas individuales de todas las partículas por lo tanto, si como hemos dicho la derivación del virial de muchas partículas la hacemos con dos partículas entonces la cantidad

Es la energía cinética total del sistema Reemplazando las ecuaciones

Escrita en su forma general para muchas partículas entonces escribiríamos

Si suponemos que la cantidad A no puede crecer indefinidamente puesto que las cantidades involucradas en su definición no pueden crecer indefinidamente, esto puede pasar cuando la partícula esta siempre acotada en una región del espacio así que su velocidad ni su vector de posición respecto a la referencia pueden aumentar con el tiempo, y si además el tiempo crece indefinidamente la ecuación se puede reducir a

La cantidad del segundo miembro se conoce como el virial del sistema y la ecuación completa se conoce como teorema del virial para un sistema de muchas partículas

Ecuación de estado de un gas ideal A continuación derivaremos la ecuación mundialmente conocida como la ecuación de estado de un gas ideal utilizando para este propósito el teorema del virial para muchas partículas. En la figura podemos ver un gas confinado a un elemento cubico lo que intentaremos hacer es aplicar el teorema del virial para este gas el cual es un sistema de muchas partículas

Por lo que la cara OEFG no aporta termino alguno al virial del sistema, lo mismo podemos decir de las caras OEAB y OBCG estas caras no aportan ningun termino al virial del sistema.

Entonces vemos que la cara ABCD al igual que las caras AEFD y FDCG si aportan terminos al virial del sistema Sabemos que la fuerza promedio total sobre la pared ejerce una presión que viene dada en la forma

Debido a que hay tres paredes que aportan al virial del sistema entonces se debe escribir

En astrofísica El teorema del virial se aplica con frecuencia en astrofísica, especialmente en relación la energía potencial gravitatoria de un sistema a su energía cinética o térmica. Algunas relaciones virial comunes son, para una masa, el radio, la velocidad y la temperatura. Y las constantes son la constante de Newton, la constante de Boltzmann, y la masa del protón. Tenga en cuenta que estas relaciones son sólo aproximadas, ya menudo los factores numéricos importantes se descuidan por completo.

Las galaxias y cosmología En astronomía, la masa y el tamaño de una galaxia se define a menudo en términos de la "radio virial" y "masa virial", respectivamente. Dado que las galaxias y sobredensidades en fluidos continuos pueden ser muy extendidos, puede ser difícil de definir, medidas finitas específicas de su masa y tamaño. El teorema del virial, y conceptos relacionados, constituyen un medio por el cual muchas veces convenientes para cuantificar estas propiedades. En la dinámica de la galaxia, la masa de una galaxia a menudo se infiere por la medición de la velocidad de rotación de su gas y las estrellas, en el supuesto Keplerianos órbitas circulares. Usando el teorema del virial, la velocidad de dispersión se puede utilizar de una manera similar. Tomando la energía cinética del sistema como, T = v2 ~ 2, y la energía potencial como, U ~, podemos escribir Aquí es el radio en la que se mide la dispersión de la velocidad, y es la masa dentro de ese radio. La masa del virial y el radio se definen generalmente por el radio en el que la dispersión de la velocidad es un máximo, es decir, Como se han hecho numerosas aproximaciones, además de la naturaleza aproximada de estas definiciones, constantes de proporcionalidad fin-la unidad a menudo se omiten. Estas relaciones son por lo tanto sólo precisa de un orden de magnitud sentido, o cuando se utilizan auto-consistente. Una definición alternativa de la masa y el radio del virial se utiliza a menudo en la cosmología donde se utiliza para referirse al radio de una esfera,

centrada en una galaxia o un cúmulo de galaxias, dentro de la cual sostiene el equilibrio del virial. Desde este radio es difícil determinar mediante observación, a menudo se aproxima como la radio dentro del cual la densidad media es mayor, por un factor especificado, que la densidad crítica,. Donde es el parámetro de Hubble y es la constante de gravitación. Una opción común para el factor es 200, en cuyo caso el radio del virial se aproxima.