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• IscAlbertodelAngel

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INDICE INTRODUCCION……………………………………………………………………………………3 TEOREMA DE BINOMIO CONCEPTO DEL TEOREMA DE BINOMIO……………………………………………..………4 FORMULA GENERAL DEL BINOMIO…………………………………………………………....5 EL R-ESIMO TERMINO DEL DESARROLLO BINOMIAL……………………………………...6 TEOREMA DEL BINOMIO EXPRESADO A TRAVES DE COMBINACIONES………………7 TRIANGULO DE PASCAL………………………………………………………………………....8 TEOREMA DEL BINOMIO CON EXPONENTES NEGATIVOS O FRACCIONARIOS……..9 CALCULO DE RAICES POR MEDIO DEL BINOMIO………………………………………….10 CONCLUSION………………………………………………………………………………………11 BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………………………..12

INTRODUCCION

En esta investigación se mostrara todo sobre la teoría de los binomios en la cual se explica con ejemplos y actividades para que el lector pueda entender acerca de este tema.

Por consiguiente el lector debe de tener previos conocimientos de la probabilidad y estadística para poder entender fácilmente lo que se está explicando en los siguientes apartados en la cual se habla de la teoría de binomios, su fórmula y entre otras fórmulas que se utilizan para obtener un resultado deseado.

Viene también algunos ejemplos para que el lector pueda basase en estos para ver cómo se utilizan las formulas y podrá visualizar como se desarrolla un problema de la vida cotidiana utilizando las formulas necesarias.

TEOREMA DEL BINOMIO CONCEPTO DEL TEOREMA DEL BINOMIO El teorema del binomio, descubierto hacia 1664 -1665, fue comunicado por primera vez en dos cartas dirigidas en 1676 a Henry Oldenburg (hacia 1615-1677), secretario de la Royal Society que favorecía los intercambios de correspondencia entre los científicos de su época. En la primera carta, fechada el 13 de junio de 1676, en respuesta a una petición de Leibniz que quería conocer los trabajos de matemáticos ingleses sobre series infinitas, Newton presenta el enunciado de su teorema y un ejemplo que lo ilustra, y menciona ejemplos conocidos en los cuales se aplica el teorema. Leibniz responde, en una carta fechada el 17 de agosto del mismo año, que está en posesión de un método general que le permite obtener diferentes resultados sobre las cuadraturas, las series, etc., y menciona algunos de sus resultados. Interesado por las investigaciones de Leibniz, Newton le responde también con una carta fechada el 24 de octubre en la que explica en detalle cómo ha descubierto la serie binómica. El descubrimiento de la generalización de la serie binómica es un resultado importante de por sí; sin embargo, a partir de este descubrimiento Newton tuvo la intuición de que se podía operar con series infinitas de la misma manera que con expresiones polinómicas finitas. El análisis mediante las series infinitas parecía posible, porque ahora resultaban ser una forma equivalente para expresar las funciones que representaban. Newton no publicó nunca el teorema del binomio. Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 en su Algebra, atribuyendo a Newton este descubrimiento. El teorema del binomio, también llamado binomio de Newton, expresa la enésima potencia de un binomio como un polinomio. El desarrollo del binomio (a + b)^n posee singular importancia ya que aparece con mucha frecuencia en Matemáticas y posee diversas aplicaciones en otras áreas del conocimiento.

FÓRMULA GENERAL DEL BINOMIO Sea un binomio de la forma (a +b).

Si a este binomio se le multiplica sucesivamente por si mismo se obtienen las siguientes potencias:

De lo anterior, se aprecia que:

a) El desarrollo de (a + b) ^n tiene n +1 términos. b) Las potencias de a empiezan con n en el primer término y van disminuyendo en cada término, hasta cero en el último. c) Las potencias de b empiezan con exponente cero en el primer término y van aumentando en uno con cada término, hasta n en el último. d) Para cada término la suma de los exponentes de a y b es n. e) El coeficiente del primer término es uno y el del segundo es n.

f)

El coeficiente de un término cualquiera es igual al producto del coeficiente del término anterior por el exponente de a dividido entre el número que indica el orden de ese término.

g) Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales.

Ejemplo:

Aplicando las consideraciones expuestas en los incisos para el caso general se tiene:

Ahora, si se introduce la notación factorial, la fórmula del binomio puede escribirse así:

EL R-ÉSIMO TÉRMINO DEL DESARROLLO BINOMIAL En el desarrollo binomial:

Si se decide llamar a un término cualquiera del desarrollo como r-ésimo término, entonces se encuentra que:



El exponente del término b del binomio es: r – 1



El exponente del término a del binomio es: n – (r - 1) = n – r + 1



El denominador del coeficiente es: (r − )!1



El numerador del coeficiente es: n(n −1)(n − 2) ⋅⋅⋅ (n − r + 2)

En consecuencia el r-ésimo término de la expansión de (𝑎 + 𝑏)𝑛 es:

TEOREMA DEL BINOMIO EXPRESADO A TRAVÉS DE COMBINACIONES

El desarrollo de la expresión (𝑎 + 𝑏)𝑛 también se puede obtener aplicado la teoría del análisis combinatorio.

Si se multiplica el binomio por sí mismo de forma reiterada se obtiene:

Puede observarse que el número de términos o sumandos (𝑎 + 𝑏)3 es ocho y es el doble que el de (𝑎 + 𝑏)2, ya que los términos se obtienen añadiendo al final de los cuatro una a o una b. Por su parte, el número de términos de (𝑎 + 𝑏)4 es 16, ya que se añade al final de cada uno de los ocho términos de (𝑎 + 𝑏)3 una a o una b.

TRIÁNGULO DE PASCAL El triángulo de Pascal es un esquema triangular de números en cuyo vértice hay un uno que corresponde a (𝑎 + 𝑏)0 = 1. En el segundo renglón hay dos números uno que corresponderán a los coeficientes de a y b respectivamente. La fila siguiente se obtiene sumando los dos números inmediatos a él en la fila precedente y luego se le agrega un uno a cada extremo de la fila. Después, se efectúa una relación entre los números del triángulo de Pascal y la suma de las potencias de a y b, de forma que los coeficientes se asignan en el mismo orden en que aparecen. Gráficamente esto es:

Por ejemplo, para encontrar los coeficientes del desarrollo (𝑎 + 𝑏)5 , se le aplican los factores de la fila correspondiente, tal y como se muestra en la siguiente figura:

TEOREMA DEL BINOMIO CON EXPONENTES NEGATIVOS O FRACCIONARIOS La fórmula general para desarrollar el binomio (𝑎 + 𝑏)𝑛 también es aplicable en el caso de que el exponente sea fraccionario o negativo, siempre que se cumpla que a > b y a >0. Para el caso de que el exponente sea fraccionario, el desarrollo presenta la siguiente forma:

Por su parte, si el exponente es negativo, el desarrollo posee la siguiente forma:

Nótese como en este caso, los signos de los términos se alternan. Se aprecia como para ambos casos, el desarrollo posee un número infinito de términos.

CÁLCULO DE RAÍCES POR MEDIO DEL BINOMIO Una de las aplicaciones que tiene el desarrollo del binomio es que pueden extraerse 1 𝑛 raíces considerando que √1 + 𝑎 = (1 + a) . Esto es: 𝑛

Para calcular la raíz enésima de un número cualquiera, se descompone el número en dos sumandos, de forma tal que el primero sea la mayor potencia perfecta del orden de la raíz y posteriormente se expresa como factor común.

CONCLUSIÓN

El teorema de binomio es muy importante conocerlo ya que posee singular importancia diversas aplicaciones de otras áreas del conocimiento. Tiene varias ramas este tema de aplicaciones que nos pueden ayudar en diversas cosas para resolver. Tiene diversas características este teorema que son de gran importancia conocerlas, y aplicaciones del desarrollo. Es de gran importancia sabernos la formulas ya que tendremos ya un conocimiento previo del teorema de binomio. Este teorema expresa la enecima potencia de un binomio como un polinomio.

BIBLIOGRAFIA http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/38.%20Teorema%20del%20Binomio. pdf