Investigaci´on sobre Tensores Eloy Cardel V´azquez 20 de mayo de 2017 1. 1.1. Operaciones con Tensores Notaci´ on En
Views 68 Downloads 68 File size 479KB
Investigaci´on sobre Tensores Eloy Cardel V´azquez 20 de mayo de 2017
1. 1.1.
Operaciones con Tensores Notaci´ on
En general un tensor puede tenes una cantidad finita de sub´ındices, pero el n´ umero de sub´ındices deben ser siempre igual al n´ umero de vectores base. Por tanto , en general denotaremos a los tensores como: S¯ = Sijk... eˆi eˆj eˆk ...
(1)
El n´ umero de vectores base determina el rango del tensor, esta notaci´on es una generalizaci´on de la notacion vectorial normal, los vectores son tensores de rango 1 (~v ) y los escalares pueden ser considerados como tensores de grado 0 (a). Podemos definir las componentes de un tensor en una base cualquiera ei como los coef escalares: Sij = eˆi · (S · eˆi ) (i, j = 1, 2, 3). (2) Por lo tanto la expresi´on en componentes de la aplicaci´on de un tensor sobre un vector es ~v = S · ~u
⇒
vi = eˆi · ~v = eˆi · (S · uj eˆj ) = Sij uj
(3)
Entonces las componentes de un tensor se pueden escribir en forma de matriz S11 S12 S13 [S] = S21 S22 S23 S31 S32 S33 Debe recalcarse que la representaci´on matricial de un tensor ([S]) es distinta del tensor en s´ı (S), este ultimo es independiente de la base mientras que las componentes dependen de la base en la que estemos trabajando.
1.2.
Producto diadico
Esta notaci´on nos da la posibilidad de una nueva operaci´on entre vectores, la cual llamaremos producto diadico. Esta operaci´on toma 2 vectores y no da un tensor de rango 2, este
1
producto puede representarse en R3 en la base eˆi por una matriz 3x3 de la siguiente forma: ~ = (A1 , A2 , A3 ) y B ~ = (B1 , B2 , B3 ) vectores, entonces el producto diadico es sean A A1 B1 A1 B2 A1 B3 ~:B ~ =A ~B ~ = A2 B1 A2 B2 A2 B3 A (4) A3 B1 A3 B2 A3 B3 Se aprecia que esta matriz puede obtenerse a partir de la representacion de cada vector como una matriz fila o columna A1 ~B ~ = A2 · B1 B2 B3 A (5) A3 1.2.1.
Propiedades del productio diadico o Tesorial
Linealidad Es f´acil demostrar la linealidad gracias a las propiedades de la multiplicaci´on de matrices, entonces tenemos: ~ B ~ + µC) ~ = λA ~B ~ + µA ~C ~ A(λ ~ + µC) ~ B ~ = λA ~B ~ + µC ~B ~ (λA ¿Simetr´ıa? A diferencia del producto escalar, que es conmutativo, y del vectorial que es conmutativo, el producto diadico no ser´a, en general, ninguno de los dos. Esto es gracias a la multiplicaci´on las matrices, por ejemplo que el producto A1 B2 no tiene por que coincidir con A2 B1 . Entonces: ~B ~ 6= B ~A ~ A Traza La traza del producto diadico se define como la suma de los elementos diagonales, entonces: ~ B) ~ = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 = A ~·B ~ T r(A Abstracion Podemos multiplicar escalarmente un producto diadico por otro vector an´alogamente a como una matriz 3x3 se multiplica por un vector columna, tenemos entonces: ~ B) ~ ·C ~ = A( ~ B ~ · C) ~ (A Esta definici´on permite definir al producto diadico en una forma abstracta, independiente del sistema de coordenadas elegido, en forma de un operador vectorial. 1.2.2.
Base del producto diadico
De la propiedad de linealidad podemos obtener: X X X ~ ~ AB = Ai eˆi Bj eˆj = Ai Bi eˆi eˆj i
j
2
i,j
entonces si conocemos el producto de los vectores base podemos expresar cualquier producto diadico en funci´on de ellos, llamamos al producto de vectores unitarios diadas unitarias, por ejemplo: 0 1 0 eˆ1 eˆ2 = 0 0 0 0 0 0 1.2.3.
Tensores cartesianos
Conociendo las diadas unitarias podemos expresar cualquier tensor como combinaci´on lineal de diadas unitarias d ea siguiente forma X S= Sij eˆi eˆj ij
donde Sij son los elementos de la matriz que representa al tensor en la base eˆi
2.
2.1.
Tensores Importantes
Tensor Unidad o Identidad
Este tensor se caracteriza de que todos los elementos Sii (los de la diagonal) son 1 y el resto son 0, y puede ser escrito como: I = eˆ1 eˆ1 + eˆ2 eˆ2 + eˆ3 eˆ3 Entonces tenemos que, para cualquier vector arbitrario: ~ = (eˆ1 eˆ1 + eˆ2 eˆ2 + eˆ3 eˆ3 ) · A ~ = eˆ1 (eˆ1 · A) ~ + eˆ2 (eˆ2 · A) ~ + eˆ3 (eˆ3 · A) ~ = eˆ1 A1 + eˆ2 A2 + eˆ3 A3 = A ~ I ·A
3
2.2.
Tensor m´ etrico
Un tensor m´etrico te da informaci´on acerca de como calcular la distancia entre 2 puntos dados tomando en cuenta las caracter´ısticas del espacio en donde estamos trabajando y con un sistema de coordenadas arbitrario, mostremos un ejemplo simple para entender este tensor. Sea M un punto con coordenadas xk y N un punto cercano con coordenadas xk + dxk , esto se representa en la siguiente imagen La distancia infinitesimal MN la denotaremos ds, y
se llama elemento de distancia. Refiri´endonos al sistema cartesiano ortogonal de la imagen, se tiene que: ds2 = (dx1 )2 + (dx2 )2 + (dx3 )2 Esta expresi´on es un caso especial de la forma cuadr´atica ds2 = gij dxi dxj
⇒
ds2 = g11 (dx1 )2 + g22 (dx2 )2 + g33 (dx3 )2
Donde g11 = g22 = g33 o gij = δij , entonces podemos escribir ds2 = δij dxi dxj Entonces el tensor m´etrico puede ser representado por la siguiente matriz: g11 g12 g13 1 0 0 gij = g21 g22 g23 = 0 1 0 g31 g32 g33 0 0 1
(6)
Entonces la formula para ds2 en el caso de coordenadas cartesianas ortogonales ser´a: 1 0 0 dx1 ds2 = dx1 dx2 dx3 0 1 0 dx2 0 0 1 dx3 El tensor m´etrico es necesario para definir la distancia a lo largo de una curva en otro sistema de coordenadas , como la esf´erica o cil´ındrica. Como otro ejemplo, la m´etrica euclidiana para coordenadas es: ds2 = (dx1 ) + (x1 )2(dx2 )2 + (x1 sin(x2 ))2 (dx3 )2 4
donde (x1 , x2 , x3 ) = (r, θ, φ) entonces los componentes del tensor m´etrico para coordenadas esf´ericas esta dado por: 1 0 0 0 gij = 0 r2 0 0 r2 sin2 (θ) Los componentes del tensor m´etrico gjk = (x1 , x2 , ..., xn ) = gkj est´an en funci´on de las coordenadas. Desde otro punto de vista , el tensor m´etrico aparece en c´alculos que involucran el cuadrado de un elemento de longitud de arco en geometr´ıa diferencial y en coordenadas curvil´ıneas generales. Sea ~r una funci´on vectorial que define una superficie dada, tomemos: d~r =
∂~r ∂~r ∂~r dx1 + dx2 + dx3 = a1 dx1 + a2 dx2 + a3 dx3 ∂x1 ∂x2 ∂x3
Obtenemos: 2
ds = d~rd~r =
3 X 3 X
gpq dxp dxq
p=1 q=1
donde gpq = ap aq son llamados coeficientes m´etricos y son sim´etricos, representan los componentes de un tensor covariante de rango 2. Si gpq = 0 para p 6= q el sistema coordenado es ortogonal. Las entradas ai =
∂~r ∂xi
representan vectores tangentes a las lineas coordenadas en la superficie. justo como se muestra en la siguiente imagen: El elemento de linea ds2 puede ser interpretado como la norma de
un vector infinitesimal de desplazamiento dxi . El tensor m´etrico contravariante tiene componentes g pq tales que g pq gqr = δrp , y es la matriz inversa del tensor covariante gpq . 5
2.3.
Tensor de Inercia
Cuando se estudia un cuerpo solido r´ıgido, es u ´til considerar el tenso de inercia J , donde considerando un punto material, se representa como la siguiente matriz: 2 y + z 2 −xy −xz −yz (J ) = m −xy x2 + y 2 2 −xy −yz x + y2 Esta matriz puede ser representada con el siguiente producto tensorial, si consideramos ~r = (x, y, z): J = m((~r · ~r)I − ~r~r) = m(r2 I − ~r~r) De donde con esta representaci´on es f´acil obtener, por ejemplo, el momento angular: L = J · w = m(r2 I · w − (~r~r) · w) = m(r2 w − ~r(~r · w)) = m~r × (w × ~r) Si lo que queremos es hallar el tensor de inercia de una distribuci´on tendremos que Z J = ρ(r2 I − ~r~r)dr Tambi´en podemos encontrar el tensor de inercia de una part´ıcula en coordenadas esf´ericas como: J = m(r2 (eˆr eˆr + eˆθ eˆθ + eˆϕ eˆϕ ) − (r2 eˆϕ eˆϕ ) = mr2 (eˆθ eˆθ + eˆϕ eˆϕ )
6
2.4.
Tensor de esfuerzo
Si nos colocamos sobre un lago congelado, a veces no rompemos el hielo y podemos permanecer en la superficie, ¿por que pasa esto? Considerando el lago como un continuo, existen 2 tipos de fuerzas principales: 1. Fuerzas de cuerpo: Act´ uan en cualquier parte del cuerpo y son proporcionales a la masa. 2. Fuerzas de superficie: Si imaginamos que quitamos el material que esta afuera del volumen V , encontramos que hay otras fuerzas que son proporcionales a cada elemento de superficie:
En la imagen F es la fuerza ejercida por el material que se encuentra afuera de V , y n ˆ es la normal al elemento de superficie dS. La tracci´on sirve para cuantificar la fuerza de contacto (por unidad de ´area) con la que las part´ıculas de un lado de una superficie act´ uan en las part´ıculas del otro lado. La tracci´on se define entonces como: F T = l´ım dS→0 dS El tensor de esfuerzos nos da la tracci´on que act´ ua en cualquier superficie dentro del medio que nos interesa y esta definido: 1 1 σ11 σ12 σ13 T T1 T21 T31 σij = σ21 σ22 σ23 = T 2 = T12 T22 T32 σ31 σ32 σ33 T3 T13 T23 T33 Y se sabe que el tensor es sim´etrico σij = σji . Por ejemplo, los componentes de la tracci´on de un elemento arbitrario de superficie dS cuya normal n ˆ no es paralela a ning´ un eje, se encuentra multiplicando los elementos correspondientes del tensor de esfuerzos por los cosenos directores de la normal del a´rea donde act´ ua 7
y sumando el resultado: Ti =
3 X
σji nˆj = σji nˆj
j=1
Hay una convenci´on sobre los signos que hay que usar para el tensor, y este se explica en la siguiente imagen:
3.
Aplicaciones
3.1.
Teor´ıa Electromagn´ etica
Consideremos la ley de Ohm, en una resistencia ideal esta ley nos dice: V R Esta ecuaci´on describe el flujo de corriente a trav´es de un elemento discreto, en un elemento continuo la siguiente expresi´on debe ser utilizada: I=
~ J~ = σ E ~ es el campo el´ectrico y σ es la conductividad del Donde J~ es la densidad de corriente, E material. tambi´en podemos considerar la expresi´on matricial: J1 σ11 σ12 σ13 E1 J2 = σ21 σ22 σ23 E2 J3 σ31 σ32 σ33 E3 Sin embargo esta representaci´on tiene un problema, los elementos matriciales deben depender del sistema de coordenadas, esto se arregla considerando tensores, entonces sea eˆi una base en donde definimos nuestros vectores, entonces podemos hacer: ~ = Ei eˆi E 8
y ahora el tensor de la conductividad es: σ tensor = σij eˆi eˆj Entonces usando el tensor de conductividad, podemos escribir un sistema de coordenadas independiente: ~ J~ = σ tensor E En donde usando las propiedades del producto tensorial, las componentes i-´esimas de estos vectores pueden ser obtenidos aplicando producto punto con eˆi a ambos lado de la ecuaci´on obteniendo: Ji = σik Ek Y todo esto nos simplifica enormemente el formalismo para las transformaciones entre sistemas de coordenadas.
3.2.
Relatividad General
La teor´ıa relatividad remplaza la ley de gravitaci´on universal de Newton por algo en lo que conceptualmente habr´a una curvatura espacio-tiempo cuatri-dimensional causada por la presencia masa-energ´ıa en cierta regi´on y es enunciado de tal modo que es independiente del sistema de coordenadas empleado para describirlo, este recurre al tensor de curvatura de Riemann para expresar una igualdad tensorial como la siguiente: R = kT Donde k es una simple constante de proporcionalidad, T es el tensor energ´ıa-tensi´on de orden cuatro y R es de orden 2, entonces debemos llevar a cabo una contracci´on tensorial del tensor de Riemann igualando 2 de sus indices. Esto se logra con el tensor de Ricci, el tensor de Ricci es un tensor que se obtiene directamente del tensor de Riemann por una contracci´on de dos de sus ´ındices. La elecci´on del ´ındice covariante a contraer no es fija. La contracci´on se lleva a cabo entre el ´ındice superior y el segundo ´ındice inferior del tensor de Riemann. Partiendo de la definici´on del tensor de Riemann, el cual es un tensor de orden cuatro, contravariante de orden uno y covariante de orden 3: α Rβµv = Γαβµ,u − Γαβµ,v + Γασµ · Γσβv − Γασv · Γσβµ
si llevamos a cabo una contracci´on del primer ´ındice y el tercer ´ındice (el ´ındice superior y el segundo ´ındice inferior), obtenemos el siguiente tensor covariante de orden dos: µ 1 2 3 4 Rβµv = Rβ1v + Rβ2v + Rβ3v + Rβ4v = Rβv
que est´a definido precisamente como el tensor de Ricci. Al presentar al mundo sus ecuaciones de campo, Einstein hizo la suposici´on central de que en el espacio vac´ıo el tensor de Ricci tiene un valor de cero: Rµβ = 0 Esta expresi´on constituye esencialmente la ley de gravitaci´on universal de Einstein. La frase “espacio vac´ıo” significa aqu´ı que no hay ning´ un tipo de materia presente (como un gas 9
de polvo interestelar o part´ıculas at´omicas libres) ni hay campos f´ısicos de ninguna ´ındole excepto el campo gravitacional, el cual en s´ı no perturba este vac´ıo a diferencia de otros campos (como el campo electromagn´etico) que s´ı lo hacen. Las condiciones de un espacio vac´ıo se cumplen razonablemente bien para el espacio entre los planetas del sistema solar. El espacio-tiempo plano obviamente satisface la ecuaci´on arriba mostrada; las geod´esicas en tal caso son l´ıneas rectas de modo tal que las part´ıculas se mueven a lo largo de l´ıneas rectas. En aquellas regiones en donde el espacio-tiempo no es plano, la ecuaci´on de Einstein impone restricciones al tipo de curvatura posible. A primera vista, la ley de gravitaci´on de Einstein no se parece en nada al esquema de Newton. Para poder ver una similitud, debemos ver a los componentes gµv del tensor m´etrico como potenciales que describen al campo gravitacional. Hay diez de ellos, en lugar de un solo potencial que distingue a la teor´ıa Newtoniana, y estos diez potenciales no s´olo describen al campo gravitacional sino al sistema de coordenadas empleado.
10