• Author / Uploaded
• Angel Toache Jr.

Citation preview

Tensores co-variantes y contra-variantes Covariancia y contravariancia son conceptos empleados frecuentemente en áreas de la matemática y la física teórica. Por regla general se refieren a que ciertos objetos matemáticos, que pueden representar alguna magnitud física, tienen alguna forma de invariancia de forma, es decir, la propiedad de permanecer sin cambio bajo un conjunto dado de transformaciones. En términos matemáticos, estas invariancias de forma ocurren de una manera fundamental en el álgebra lineal y álgebra multilíneal, geometría diferencial y otras ramas de la geometría, teoría de categorías y topología algebraica. En física, son importantes en el tratamiento de vectores y otras cantidades, como los tensores. Las teorías de relatividad especial (covariancia de Lorentz) y relatividad general (covariancia general) usan vectores base covariantes bajo cambios de coordenadas. En términos generales, la dualidad intercambia covariancia y contravariancia; este es el motivo por el cual estos conceptos se presentan juntos. Para propósitos del cálculo práctico de matrices, la matriz traspuesta es relativa a dos aspectos (por ejemplo dos conjuntos de ecuaciones simultáneas). El caso en el que la matriz traspuesta de una matriz cuadrada cualquiera "A" coincide con la matriz inversa, es decir, la matriz "A" es una matriz ortogonal, es un caso en el que la covarianza y la contravarianza pueden ser tratadas de igual manera. Esto es de suma importancia en la aplicación práctica de tensores. Una causa de mayor confusión es esta dualidad covariancia/contravariancia, que interviene cada vez en la discusión de si una cantidad vectorial o tensorial es representada por sus componentes. Esto causa discusiones en la literatura física y matemática por usar convenciones aparentemente opuestas. Esta no es la convención que difiere, sino cuando una descripción intrínseca o en el sentido de componentes es la forma primaria de pensar en las cantidades. Como el nombre lo sugiere, las cantidades covariantes se piensan para movimiento o transformaciones hacia adelante, mientras que las cantidades contravariantes se transforman hacia atrás. Por lo cual depende de si uno está usando cualquier fondo fijo —de hecho, eso cambia el punto de vista.

( qp), se dice que es p veces covariante y q veces 2 contravariante. Entonces, en un tensor del tipo ( ), que es de la forma: 1 A partir de la definición de tensor del tipo

T =T γαβ ∙ dxα x dx β x e γ La cantidad de subíndices que aparece en las coordenadas indican la cantidad de veces que es co-variante, mientras que los superíndices, la cantidad de veces que es contra-variante.

El concepto de co-varianza y contra-varianza está arraigado en la descripción de un elemento en dos sistemas de coordenadas. Para simplificar su descripción se puede tomar un vector en un espacio tridimensional. La posición de un punto arbitrario en este espacio puede ser expresado en términos de tres coordenadas u1, u2, u3 y si r (u1, u2, u3) es el vector posición de ese punto entonces en P existen dos conjuntos de vectores base: e i=

∂r y ∈i =∇ ui ; donde 1=1 , 2 ,3 ∂ ui

En general, estos vectores no son unitarios ni forman una base ortogonal. Sin embargo, los conjuntos ei y ϵi son sistemas recíprocos de vectores y por eso: e i ∙ ∈ j=δ ij En el cálculo tensorial es usual denotar al conjunto de vectores base ϵi como ei el cual lo diferencia de la base ei. Con esta notación, la relación de reciprocidad anterior sería: e i ∙ e j =δ ij Donde δ ij es la delta de Kronecker. Así, dadas dos bases ei y ei se puede escribir un vector general “a” en términos de estas bases: a=a1 e 1+ a2 e2 +a3 e 3=a i e i a=a1 e 1+ a2 e2 +a3 e 3=a i e i Los ai se los llama componentes contra-variantes del vector “a” y los ai se los llama componentes co-variantes. De igual manera, ei se los llama base contra-variante y ei se los llama base covariante.