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• Ernesto Rey Pascual

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TEMAS: 3.3.-FRICCION 3.4.- MOMENTO ANGULAR 3.4.- FUERZAS CENTRALES MATERIA: MECANICA CLASICA

UNIDAD III: DINAMICA DE UNA PARTICULA

3.3 FRICCION. Se define como fuerza de rozamiento o fuerza de fricción, entre dos superficies en contacto, a aquella que se opone al movimiento entre ambas superficies (fuerza de fricción dinámica) o a la fuerza que se opone al inicio del movimiento (fuerza de fricción estática). Se genera debido a las imperfecciones, especialmente microscópicas, entre las superficies en contacto. Estas imperfecciones hacen que la fuerza normal entre ambas superficies no sea perfectamente perpendicular a éstas, si no que forma un ángulo φ con la perpendicular (el ángulo de rozamiento). Por tanto, la fuerza resultante se compone de la fuerza normal (perpendicular a las superficies en contacto) y de la fuerza de rozamiento, paralela a las superficies en contacto.

Tipos de rozamiento o fricción Existen dos tipos de rozamiento o fricción, la fricción estática (FE) y la fricción dinámica (FD). El primero es la resistencia que se debe superar para poner en movimiento un cuerpo con respecto a otro que se encuentra en contacto. El segundo, es la resistencia, de magnitud considerada constante, que se opone al movimiento pero una vez que éste ya comenzó. En resumen, lo que diferencia a un roce con el otro, es que el estático actúa cuando los cuerpos están en reposo relativo en tanto que el dinámico lo hace cuando ya están en movimiento. La fuerza de fricción estática, necesaria para vencer la fricción homóloga, es siempre menor o igual al coeficiente de rozamiento entre los dos objetos (número

medido empíricamente y que se encuentra tabulado) multiplicado por la fuerza normal. La fuerza cinética, en cambio, es igual al coeficiente de rozamiento dinámico, denotado por la letra griega

, por la normal en todo instante

No se tiene una idea perfectamente clara de la diferencia entre el rozamiento dinámico y el estático, pero se tiende a pensar que el estático es algo mayor que el dinámico, porque al permanecer en reposo ambas superficies pueden aparecer enlaces iónicos, o incluso micro soldaduras entre las superficies, factores que desaparecen en estado de movimiento. Éste fenómeno es tanto mayor cuanto más perfectas son las superficies. Un caso más o menos común es el del gripaje de un motor por estar mucho tiempo parado (no sólo se arruina por una temperatura muy elevada), ya que al permanecer las superficies, del pistón y la camisa, durante largo tiempo en contacto y en reposo, pueden llegar a soldarse entre sí. Un ejemplo bastante común de fricción dinámica es la ocurrida entre los neumáticos de un auto y el pavimento en un frenado abrupto. Como comprobación de lo anterior, se realiza el siguiente ensayo, sobre una superficie horizontal se coloca un cuerpo, y le aplica un fuerza horizontal F, muy pequeña en un principio, se puede ver que el cuerpo no se desplaza, la fuerza de rozamiento iguala a la fuerza aplicada y el cuerpo permanece en reposo, en la gráfica se representa en el eje horizontal la fuerza F aplicada, y en el eje vertical la fuerza de rozamiento Fr . Entre los puntos O y A, ambas fuerzas son iguales y el cuerpo permanece estático; al sobrepasar el punto A el cuerpo súbitamente se comienza a desplazar, la fuerza ejercida en A es la máxima que el cuerpo puede soportar sin deslizarse, se denomina Fe o fuerza estática de fricción; la fuerza necesaria para mantener el cuerpo en movimiento una vez iniciado el desplazamiento es Fd o fuerza dinámica, es menor que la que fue necesaria para iniciarlo (Fe). La fuerza dinámica permanece constante. Si la fuerza de rozamiento Fr es proporcional a la normal N, y a la constante de proporcionalidad se le llama

Y permaneciendo la fuerza normal constante, se puede calcular dos coeficientes de rozamiento: el estático y el dinámico como:

donde

el

coeficiente

de

rozamiento

estático

corresponde

al

de

corresponde al de la mayor fuerza que el cuerpo puede soportar inmediatamente antes de iniciar el movimiento y el coeficiente de rozamiento dinámico corresponde a la fuerza necesaria para mantener el cuerpo en movimiento una vez iniciado.

Fricción estática

Es la fuerza que se opone al inicio del movimiento. Sobre un cuerpo en reposo al que se aplica una fuerza horizontal F, intervienen cuatro fuerzas: F: la fuerza aplicada. Fr: la fuerza de rozamiento entre la superficie de apoyo y el cuerpo, y que se opone al movimiento. P: el peso del propio cuerpo, igual a su masa por la aceleración de la gravedad.

N: la fuerza normal, con la que la superficie reacciona sobre el cuerpo sosteniéndolo. Dado que el cuerpo está en reposo la fuerza aplicada y la fuerza de rozamiento son iguales, y el peso del cuerpo y la normal:

Se sabe que el peso del cuerpo P es el producto de su masa por la aceleración de la gravedad (g), y que la fuerza de rozamiento es el coeficiente estático por la normal:

Esto es:

La fuerza horizontal F máxima que se puede aplicar a un cuerpo en reposo es igual al coeficiente de rozamiento estático por su masa y por la aceleración de la gravedad. Rozamiento dinámico

Dado un cuerpo en movimiento sobre una superficie horizontal, deben considerarse las siguientes fuerzas: F: la fuerza aplicada. Fr: la fuerza de rozamiento entre la superficie de apoyo y el cuerpo, y que se opone al movimiento. Fi: fuerza de inercia, que se opone a la aceleración de cuerpo, y que es igual a la masa del cuerpo m por la aceleración que sufre a. P: el peso del propio cuerpo, igual a su masa por la aceleración de la gravedad. N: la fuerza normal, que la superficie hace sobre el cuerpo sosteniéndolo. Como equilibrio dinámico, se puede establecer que:

Sabiendo que:

Se puede reescribir la segunda ecuación de equilibrio dinámico como:

Es decir, la fuerza resultante F aplicada a un cuerpo es igual a la fuerza de rozamiento Fr más la fuerza de inercia Fi que el cuerpo opone a ser acelerado. De lo que también se puede deducir:

Con lo que se tiene la aceleración a que sufre el cuerpo, al aplicarle una fuerza F mayor que la fuerza de rozamiento Fr con la superficie sobre la que se apoya.

Rozamiento en un plano inclinado Rozamiento estático

Si sobre una la línea horizontal r, se tiene un plano inclinado un ángulo

y sobre

este plano inclinado se coloca un cuerpo con rozamiento, se tendrán tres fuerzas que intervienen:

P: el peso del cuerpo vertical hacia abajo según la recta u, y con un valor igual a su masa por la aceleración de la gravedad: P = mg. N: la fuerza normal que hace el plano sobre el cuerpo, perpendicular al plano inclinado, según la recta t Fr: la fuerza de rozamiento entre el plano y el cuerpo, paralela al plano inclinado y que se opone a su deslizamiento. Si el cuerpo está en equilibrio, no se desliza, la suma vectorial de estas tres fuerzas es cero:

Lo que gráficamente sería un triángulo cerrado formado por estas tres fuerzas, puestas una a continuación de otra, como se ve en la figura.

Si el peso P del cuerpo se descompone en dos componentes: Pn, peso normal, perpendicular al plano, que es la componente del peso que el plano inclinado soporta y Pt, peso tangencial, que es la componente del peso tangencial al plano inclinado y que tiende a desplazar el cuerpo descendentemente por el plano inclinado. Se puede ver que el Pn se opone a la normal, N, y el peso tangencial Pt a la fuerza de rozamiento Fr. Se puede decir que el Pn es la fuerza que el cuerpo ejerce sobre el plano inclinado y la normal, N, es la fuerza que el plano inclinado hace sobre el cuerpo impidiendo que se hunda, Pn = N para que este en equilibrio. El peso tangencial Pt es la fuerza que hace que el cuerpo tienda a deslizarse por el plano y Fr es la

fuerza de rozamiento que impide que el cuerpo se deslice, para que este en equilibrio Pt = Fr.

Cuando el cuerpo está en equilibrio estas dos ecuaciones determinan la igualdad de fuerzas, también es necesario saber que:

Y que la descomposición del peso es:

Con lo que se determinan las condiciones del equilibrio de un cuerpo en un plano inclinado con el que tiene fricción. Es de destacar la siguiente relación:

Haciendo la sustitución de N:

que da finalmente como resultado:

El coeficiente de rozamiento estático es igual a la tangente del ángulo del plano inclinado, en el que el cuerpo se mantiene en equilibrio sin deslizar, ello permite calcular los distintos coeficientes de rozamiento, simplemente colocando un cuerpo de un material concreto sobre un plano inclinado del material con el que se

pretende

calcular

su

coeficiente

de

rozamiento,

inclinando

el

plano

progresivamente se observa el momento en el que el cuerpo comienza a deslizarse, la tangente de este ángulo es el valor del coeficiente de rozamiento. Del mismo modo conocido el coeficiente de rozamiento entre dos materiales podemos saber el ángulo máximo de inclinación que puede soportar sin deslizar.

Rozamiento dinámico

En el caso de rozamiento dinámico en un plano inclinado, se tiene un cuerpo que se desliza, y siendo que está en movimiento, el coeficiente que interviene es el dinámico

así como una fuerza de inercia Fi, que se opone al movimiento, el

equilibrio de fuerzas se da cuando:

Descomponiendo los vectores en sus componentes normales y tangenciales se tiene:

Teniendo en cuenta que:

Y como en el caso de equilibrio estático, se tiene:

Con estas ecuaciones se determina las condiciones de equilibrio dinámico del cuerpo con fricción en un plano inclinado. Si el cuerpo se desliza sin aceleración (a velocidad constante) su fuerza de inercia Fi será cero, y se puede ver que:

Esto es, de forma semejante al caso estático:

Con lo que se puede decir que el coeficiente de rozamiento dinámico

de un

cuerpo con la superficie de un plano inclinado, es igual a la tangente del ángulo del plano inclinado con el que el cuerpo se desliza sin aceleración, con velocidad constante, por el plano.

3.4 MOMENTO ÁNGULAR. Definición de momentum: La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o moméntum es una magnitud vectorial, unidad SI: (kg m/s) que, en mecánica clásica, se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. El momento angular de una partícula se define como el producto vectorial del vector posición r por el vector momento lineal mv

MOMENTO DE UNA FUERZA: Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector posición de la fuerza por el vector fuerza.

La analogía de la llave y el tornillo, nos ayuda a entender el significado físico de la magnitud momento y a determinar correctamente el modulo, la dirección y el sentido del momento una fuerza El módulo es el producto de la fuerza por su brazo (la distancia desde el punto O a la recta de dirección de la fuerza). M=Fd La dirección perpendicular al plano que contiene la fuerza y el punto, la que marca el eje del tornillo. El sentido viene determinado por el avance del tornillo cuando hacemos girar a la llave. El momento angular L de una partícula es el vector producto vectorial L=r x mv, perpendicular al plano determinado por el vector posición r y el vector velocidad v. Como el vector L permanece constante en dirección, r y v estarán en un plano perpendicular a la dirección fija de L. De aquí, se concluye que la trayectoria del móvil estará contenida en un plano perpendicular al vector momento angular L. Momento lineal instantáneo= p=v.

El vector momento angular

de una partícula de masa mi cuya posición está

dada por el vector

r y que describe alrededor del eje fijo una circunferencia de radio Ri

con velocidad

, vale:

El módulo del vector momento angular es: Li = ri mi vi y su proyección sobre el eje de rotación Z (ver figura) es:

es decir, La proyección Lz del vector momento angular a lo largo del eje de rotación es:

El término entre paréntesis se denomina momento de inercia I

El momento angular de todas las partículas del sólido vale:

En general, el vector momento angular L R no tiene la dirección del eje de rotación, es decir, el vector momento angular no coincide con su proyección Lz a lo largo del eje de rotación. Cuando coinciden se dice que el eje de rotación es un eje principal de inercia. Los momentos de inercia relativos a los ejes principales de inercia se denominan momentos principales de inercia. Para los ejes principales de inercia la relación entre el momento angular Lr y la velocidad angular ω r (son dos vectores que tienen la misma dirección, la del eje de rotación) es: L r= I ω r El momento de inercia es una cantidad característica cuyo valor depende de la posición del eje de rotación (no como son la masa o el volumen). Cuando el eje de rotación pasa por el centro de masas el momento de inercia es mínimo. En general, para un sólido rígido considerado como un sistema de partículas de masa total m el momento angular de todas las partículas del sólido L r teniendo en cuenta el momento angular interno respecto al centro de masas

3.5 FUERZAS CENTRALES Las interacciones gravitacionales incluyen la fuerza familiar del peso, que se debe a la acción de la atracción gravitacional terrestre sobre un cuerpo. La mutua atracción gravitacional entre las diferentes partes de la Tierra mantiene a nuestro planeta unido. Newton reconoció que la atracción gravitacional del Sol mantiene a la Tierra en su órbita casi circular en torno al Sol. La otra clase cotidiana de fuerzas, las interacciones electromagnéticas, incluye las fuerzas eléctricas y magnéticas. Si nos frotamos un peine por el cabello, al final el peine tendrá una carga eléctrica; es posible usar la fuerza eléctrica para atraer

trocitos de papel. Todos los átomos contienen carga eléctrica positiva y negativa, así que átomos y moléculas pueden ejercer fuerzas eléctricas unos sobre otros. Las fuerzas de contacto, incluidas la normal, la de fricción y la de resistencia de fluidos, son la combinación de todas estas fuerzas ejercidas sobre los átomos de un cuerpo por los átomos de su entorno. Las fuerzas magnéticas, como las que se dan entre imanes o entre un imán y un trozo de hierro, son realmente el resultado de cargas eléctricas en movimiento. Por ejemplo, un electroimán causa interacciones magnéticas porque las cargas eléctricas se mueven por sus alambres. Estudiaremos las interacciones eléctricas y magnéticas con detalle en la segunda mitad del libro. En el nivel atómico o molecular, las fuerzas gravitacionales no son importantes porque las fuerzas eléctricas son muchísimo más intensas: la repulsión eléctrica entre dos protones a cierta distancia es 1035 veces más fuerte que su atracción gravitacional. Sin embargo, en cuerpos de tamaño astronómico las cargas positivas y negativas suelen estar presentes en cantidades casi idénticas, y las interacciones eléctricas resultantes casi se anulan. Por ello, las interacciones gravitacionales son la influencia dominante en el movimiento de los planetas y en la estructura interna de las estrellas. Las otras dos clases de interacciones son menos conocidas. La interacción fuerte mantiene unido el núcleo de un átomo. Los núcleos contienen neutrones (eléctricamente neutros) y protones (con carga positiva). La fuerza eléctrica entre protones hace que se repelan mutuamente; la enorme fuerza de atracción entre las partículas nucleares contrarresta esta repulsión y mantiene el núcleo estable. En este contexto, la interacción fuerte también se denomina fuerza nuclear fuerte; tiene un alcance mucho menor que las interacciones eléctricas, pero es mucho más fuerte dentro de ese alcance. La interacción fuerte juega un papel fundamental en las reacciones termonucleares que ocurren en el núcleo del Sol, y que generan el calor y su luz. Por último, tenemos la interacción débil cuyo alcance es tan pequeño que es relevante sólo a una escala de núcleo o menor. La interacción débil causa una

forma común de radioactividad, llamada desintegración beta, en la que un neutrón de un núcleo radioactivo se transforma en protón al tiempo que expulsa un electrón y una partícula casi sin masa llamada antineutrino electrónico. La interacción débil entre un antineutrino y la materia ordinaria es tan tenue que el antineutrino fácilmente podría atravesar una pared de plomo ¡de un millón de kilómetros de espesor! Incluso cuando una estrella gigante sufrió una explosión cataclísmica llamada supernova, la mayoría de la energía fue liberada mediante la interacción débil (figura 5.38d). En la década de 1960 los físicos elaboraron una teoría que describe las interacciones electromagnética y débil, como aspectos de una sola interacción electro débil. Esta teoría ha superado todas las pruebas experimentales a las que se ha sometido, lo cual motivó a los físicos a realizar intentos similares que describan las interacciones fuerte, electromagnética y débil dentro de una sola gran teoría unificada (GUT), y se han dado ciertos pasos hacia una posible unificación de todas las interacciones en una teoría de todo (TOE). Tales teorías aún son especulativas, y hay muchas preguntas sin respuesta en este campo de investigación tan activo.