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• Fernando Sánchez Ros

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Tema nº4

Cálculo I

Funciones reales de variable real

© Universidad Internacional de La Rioja (UNIR)

Índice Esquema

3

Ideas clave

4

4.1. Introducción y objetivos

4

4.2. Conceptos básicos sobre funciones

5

4.3. Funciones elementales

9

4.4. Operaciones algebraicas con funciones

18

4.5. Composición de funciones

19

4.6. Función inversa

21

4.7. Referencias bibliográficas

25

4.8. Cuaderno de ejercicios

25

A fondo

30

Test

32

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Esquema

Cálculo I Tema 4. Esquema

3

Ideas clave 4.1. Introducción y objetivos Las funciones constituyen la base tanto del análisis matemático como de cualquier disciplina científica. Permiten establecer correspondencias entre conjuntos y describir relaciones de cambio de magnitudes. Pero no solo se limitan a las ciencias experimentales o teóricas, sino que aparecen implícitamente en todos los campos de nuestra sociedad. Cualquier fenómeno puede ser modelizado por medio de una función real. Por ejemplo, consideremos el problema de calcular el precio de una bolsa de manzanas si sabemos que el precio por cada kilo es de 1’5€. Si 𝑥𝑥 es el peso de las manzanas de

la bolsa, su precio total 𝑦𝑦 se puede expresar por medio de la relación 𝑦𝑦 = 1,5𝑥𝑥. Esta relación tan habitual es en realidad una función que relaciona las magnitudes de peso

y precio. Este es un claro ejemplo, a la par que sencillo, de la necesidad y utilidad de las funciones en cualquier campo. En este tema se realiza un estudio preliminar sobre las funciones reales de variable real, partiendo de muchos de los conocimientos que ya son conocidos por el alumno. Además de por el extenso uso de las funciones en cualquier disciplina, este tema es fundamental para poder comprender los contenidos de temas posteriores de la asignatura, convirtiéndose en una pieza clave de la misma. Tras finalizar el tema, se

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pretende que el alumno alcance las siguientes competencias: ▸ Conocer las características de una función a partir de su gráfica y de su expresión analítica. ▸ Identificar gráficas asociadas a funciones elementales. ▸ Representar gráficamente familias de funciones elementales. ▸ Componer y operar con funciones definidas analíticamente. ▸ Calcular e identificar funciones inversas. Cálculo I Tema 4. Ideas clave

4

De forma esquematizada, los contenidos del tema están divididos de la siguiente forma: ▸ Conceptos básicos: o Tipos especiales de funciones. ▸ Funciones

elementales:

potencial,

polinómica,

racional,

trigonométrica,

exponencial, hiperbólica, definida a trozos. ▸ Operaciones algebraicas con funciones. ▸ Composición. ▸ Función inversa: o Función logarítmica. o Funciones trigonométricas inversas.

4.2. Conceptos básicos sobre funciones Siguiendo con la teoría de conjuntos, una función o aplicación es una herramienta matemática que permite establecer relaciones entre los elementos de dos o más conjuntos. En este tema, nos centramos en las funciones reales de variable real, por lo que los elementos de todos los conjuntos serán números reales. A grandes rasgos, una función es una regla que dado un 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷 ⊆ ℝ le hace

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corresponder otro elemento 𝑦𝑦 ∈ ℝ único.

Una función real de variable real es toda aplicación 𝒇𝒇de un subconjunto 𝑫𝑫 ⊆ ℝ en ℝ,

es decir, una aplicación que para cada 𝒙𝒙 ∈ 𝑫𝑫asocia un único valor 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙) ∈ ℝ. Lo representamos con el siguiente esquema:

𝒇𝒇: 𝑫𝑫 ⊆ ℝ ⟶ 𝒙𝒙 ⟼

ℝ 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙)

Cálculo I Tema 4. Ideas clave

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El conjunto𝐷𝐷 donde está definida la función se denomina dominio. Lo representamos𝑫𝑫(𝒇𝒇).Llamamos a𝒇𝒇(𝒙𝒙)imagen de 𝒇𝒇por 𝒙𝒙, donde 𝑥𝑥 se denomina

antiimagen. Asimismo, definimos el conjunto imagen, rango o recorrido, denotado𝑰𝑰𝑰𝑰(𝒇𝒇),como el conjunto formado por todas las imágenes de 𝑓𝑓, es decir: 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓) = 𝑓𝑓(𝐷𝐷) ∶= {𝑦𝑦 ∈ ℝ ∶ ∃ 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷 con 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)}. En la Figura 1 se encuentran representadas gráficamente estas definiciones.

Figura 1. Dominio y rango de una función.

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Ejemplo 1 1) 𝒇𝒇: ]𝟎𝟎, +∞[⟶ ℝ, 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟐𝟐 ⇒ 𝑫𝑫(𝒇𝒇) =]𝟎𝟎, +∞[ y 𝑰𝑰𝑰𝑰(𝒇𝒇) =]𝟎𝟎, +∞[. 2) 𝒇𝒇: ] − 𝟐𝟐, 𝟐𝟐[⟶ ℝ,𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟐𝟐 ⇒ 𝑫𝑫(𝒇𝒇) =] − 𝟐𝟐, 𝟐𝟐[ y 𝑰𝑰𝑰𝑰(𝒇𝒇) = [𝟎𝟎, 𝟒𝟒[.

3) 𝒈𝒈: [𝟏𝟏, +∞[⟶ ℝ, 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = √𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝟏𝟏 ⇒ 𝑫𝑫(𝒈𝒈) = [𝟏𝟏, +∞[ y 𝑰𝑰𝑰𝑰(𝒈𝒈) = [𝟎𝟎, +∞[. 𝟐𝟐𝟐𝟐

4) 𝒉𝒉: ℝ − {−𝟒𝟒, 𝟒𝟒} ⟶ ℝ, 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟐𝟐 −𝟒𝟒 ⇒ 𝑫𝑫(𝒉𝒉) = ℝ − {−𝟒𝟒, 𝟒𝟒} y 𝑰𝑰𝑰𝑰(𝒉𝒉) = ℝ.

Una función es una expresión definida sobre un conjunto, y como tal, cuando actúa sobre elementos de conjuntos diferentes también se generan funciones diferentes.

Cálculo I Tema 4. Ideas clave

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Este es el caso de las dos primeras funciones del ejemplo 1 que, a pesar de tener la misma expresión, tienen dominio y rango diferente. Si en una función no se especifica su dominio, asumiremos que es el subconjunto de ℝ más grande donde la función tenga sentido. Esto es lo que se domina su campo de existencia. Por ejemplo, en 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥, asumimos que 𝐷𝐷 = [0, +∞[.

Las funciones se pueden determinar de distintas formas. Fundamentalmente, mediante una tabla de valores, mediante su expresión analítica o mediante su gráfica. Habitualmente, se representan en el plano cartesiano XY. Sobre este, la variable independiente 𝑥𝑥se representa en el eje de abscisas y el valor de la variable dependiente o función 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) se representa en el eje de ordenadas. Por tanto,

podemos definir la gráfica de una función 𝑓𝑓, 𝐺𝐺(𝑓𝑓), como:

𝐺𝐺(𝑓𝑓) ∶= {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ ℝ2 ∶ 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷 ∧ 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)}.

Notemos que ℝ2 representa el producto cartesiano ℝ × ℝ. Observemos en la Figura

1que en la gráfica de toda función la proyección sobre el eje X de cada uno de los puntos de la gráfica representa su dominio, mientras que la proyección sobre el eje Y representa su rango. En el siguiente apartado estudiaremos las funciones reales elementales e incluiremos sus gráficas más sencillas.

Tipos especiales de funciones

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Recordemos que una función es una expresión o fórmula que relaciona los elementos de dos conjuntos. Conceptos como la inyectividad, sobreyectividad y biyectividad proporcionan información sobre cómo se relacionan los elementos del conjunto inicial y el conjunto final. Por tanto, dada una función 𝑓𝑓: 𝐴𝐴 ⟶ 𝐵𝐵decimos que:

Cálculo I Tema 4. Ideas clave

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▸ Lafunción 𝒇𝒇 es inyectiva si para 𝒙𝒙𝟏𝟏 , 𝒙𝒙𝟐𝟐 ∈ 𝑨𝑨siempre que 𝒙𝒙𝟏𝟏 ≠ 𝒙𝒙𝟐𝟐 , entonces 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 ) ≠ 𝑓𝑓(𝑥𝑥2 ). Es decir, no puede haber dos elementos distintos del conjunto inicial que tengan la misma imagen.

Por ejemplo,𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 no es inyectiva, ya que 𝑓𝑓(−2) = 𝑓𝑓(2) pero−2 ≠ 2. En

cambio, si restringimos el dominio de 𝑓𝑓 a 𝐷𝐷(𝑓𝑓) = [0, +∞[ la función sí que sería

inyectiva. Por tanto, una función es inyectiva o no en su dominio.

▸ Lafunción 𝒇𝒇 es sobreyectiva si 𝒇𝒇(𝑨𝑨) = 𝑩𝑩, es decir, si para cada elemento 𝑦𝑦 ∈ 𝐵𝐵 existe al menos un 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 que cumple 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

Un ejemplo de función sobreyectiva es 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥, ya que todo número real 𝑦𝑦

puede escribirse de la forma 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥. En cambio, si restringimos la función a 𝑓𝑓: ℕ ⟶ ℝ, esta no sería sobreyectiva, ya que el número 5 ∈ ℝ no tendría un número natural verificando 5 = 2𝑥𝑥.

▸ La función 𝒇𝒇 es biyectiva si es tanto inyectiva como sobreyectiva. Se dice también que es una biyección. Un ejemplo de función biyectiva es 𝑓𝑓: ℝ+ ⟶ ℝ+ , 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

√𝑥𝑥.

Sobre la gráfica de una función también se pueden observar la inyectividad y sobreyectividad de esta. Recomendamos ver el vídeo siguiente donde se explica cuál

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sería el procedimiento general de visualización.

Accede al vídeo a través del aula virtual

Cálculo I Tema 4. Ideas clave

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Con respecto a la monotonía, decimos que𝑓𝑓 es una función creciente en un conjunto𝛺𝛺 ⊆ 𝐴𝐴 si para todo 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ∈ 𝛺𝛺 con 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 se verifica que 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 ) ≤ 𝑓𝑓(𝑥𝑥2 ).

Diríamos que es estrictamente creciente en 𝛺𝛺si 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 ) < 𝑓𝑓(𝑥𝑥2 ). Análogamente, 𝑓𝑓: 𝐴𝐴 ⟶ 𝐵𝐵 es decreciente (o estrictamente decreciente) en 𝛺𝛺 ⊆ 𝐴𝐴 cuando para 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ∈ 𝛺𝛺 con 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 se cumple que𝑓𝑓(𝑥𝑥1 ) ≥ 𝑓𝑓(𝑥𝑥2 ) (o 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 ) > 𝑓𝑓(𝑥𝑥2 )). Cuando 𝛺𝛺 = 𝐴𝐴 decimos simplemente que la función es creciente o decreciente.

Observemos que las funciones que son estrictamente crecientes o decrecientes siempre son inyectivas. Por otro lado, diremos que 𝒇𝒇: 𝑨𝑨 ⟶ 𝑩𝑩 está acotada superiormente si existe un

número 𝑴𝑴 ∈ ℝ de forma que 𝒇𝒇(𝒙𝒙) ≤ 𝑴𝑴, ∀ 𝒙𝒙 ∈ 𝑨𝑨.De la misma forma, 𝑓𝑓 está

acotada inferiormente cuando existe 𝑚𝑚 ∈ ℝ tal que 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≥ 𝑚𝑚, ∀ 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴. Diremos que 𝒇𝒇 está acotada cuando lo está superiormente e inferiormente.

En cuanto a la simetría, decimos que la función 𝑓𝑓: 𝐴𝐴 ⟶ 𝐵𝐵 es par si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(−𝑥𝑥) para todo 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴. Y decimos que es impar si 𝑓𝑓(−𝑥𝑥) = −𝑓𝑓(𝑥𝑥) para todo 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴. Las

funciones pares son simétricas respecto al eje Y, mientras que las impares son simétricas respecto al origen de coordenadas. No es necesario que una función sea par o impar, ya que hay funciones como 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 − 1 que no son pares ni impares.

Por último, diremos que una función es periódica de periodo 𝑻𝑻 cuando 𝑻𝑻 es el menor

número real tal que𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒇𝒇(𝒙𝒙 + 𝑻𝑻), para todo 𝒙𝒙 ∈ 𝑨𝑨. Es decir, la función se va

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repitiendo en intervalos de longitud 𝑇𝑇.

4.3. Funciones elementales Existen infinitas funciones reales, por lo que resulta imposible describirlas todas. Sin embargo, hay determinadas clases de funciones que por sus propiedades son las más

Cálculo I Tema 4. Ideas clave

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utilizadas en cálculo infinitesimal. A continuación, se describen algunas de ellas, junto con sus características fundamentales.

Función potencial Se denomina función potencial de exponente 𝐧𝐧 a una función de la forma: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ,

𝑛𝑛 ∈ ℤ.

Cuando 𝑛𝑛 ≥ 0, el dominio de la función es ℝ. Asimismo, cuando 𝑛𝑛 es par el rango de la función es ℝ+ , mientras que si 𝑛𝑛 es impar el rango es todo ℝ.

En cambio, si 𝑛𝑛 < 0 el dominio de la función es ℝ − {0}, siendo el rango siempre ℝ.

En la Figura 2se han representado diversas funciones potenciales, tanto para

exponentes positivos como negativos. Podemos observar que todas las funciones potenciales con exponente negativo tienen una asíntota vertical en 𝑥𝑥 = 0, el único punto que no pertenece al dominio de la función.

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Figura 2. Funciones potenciales.

Función polinómica Recordemos que la expresión general de un polinomio 𝑃𝑃 ∈ ℝ[𝑥𝑥] de grado 𝑛𝑛 es: 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + ⋯ + 𝑎𝑎1 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0 .

Cálculo I Tema 4. Ideas clave

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Vemos que los polinomios son una combinación lineal de funciones potenciales con exponente natural. Por tanto, las funciones polinómicas son polinomios: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝑥𝑥). Como tal, su dominio es siempre ℝ mientras que el rango varía en cada polinomio.

Ejemplos clásicos de funciones polinómicas son las de grado 𝟎𝟎, 𝒚𝒚 = 𝒌𝒌 ∈ ℝ, que se denominan funciones constantes. También, los polinomios de grado 1, 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

con 𝑎𝑎 ≠ 0, que son rectas en el y las parábolas 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 con 𝑎𝑎 ≠ 0, que son

polinomios de grado 2.

En la Figura 3se ha representado la función polinómica 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 5 − 2𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 2 + 4. Vemos que 𝐷𝐷(𝑓𝑓) = ℝ y que 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓) = ℝ.

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Figura 3. Gráfica de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 5 − 2𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 2 + 4.

Cálculo I Tema 4. Ideas clave

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Función racional Las funciones racionales son el cociente de dos polinomios 𝑃𝑃, 𝑄𝑄 ∈ ℝ[𝑥𝑥]: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

𝑃𝑃(𝑥𝑥) . 𝑄𝑄(𝑥𝑥)

El dominio de las funciones racionales es ℝ − {𝑥𝑥 ∶ 𝑄𝑄(𝑥𝑥) = 0}, es decir, todos los puntos menos las raíces reales del denominador. Vemos

en

la

gráfica

de

𝑥𝑥 3 −3𝑥𝑥+1 𝑥𝑥 2 −2

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

en la Figura 4 que en las raíces

𝑥𝑥 = ±√2 la función tiene asíntotas

Figura 4. Gráfica de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

verticales.

Además, que 𝐷𝐷(𝑓𝑓) = ℝ − {−√2, √2} y

𝑥𝑥 3 −3𝑥𝑥+1 𝑥𝑥 2 −2

.

𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓) = ℝ.

Funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas son aquellas construidas a partir de sin 𝑥𝑥, cos 𝑥𝑥 y

tan 𝑥𝑥. Las funciones 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = sin 𝑥𝑥 y 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = cos 𝑥𝑥 son periódicas de periodo 2𝜋𝜋.

Tienen como dominio ℝ, pero su conjunto imagen está acotado por el intervalo 𝜋𝜋

[−1, 1] (Figura 5). Como para todo 𝑥𝑥 ∈ ℝ se cumple que cos 𝑥𝑥 = sin �2 + 𝑥𝑥�, se © Universidad Internacional de La Rioja (UNIR)

puede observar en la Figura 5 que las gráficas de las funciones son iguales salvo un 𝜋𝜋

desplazamiento horizontal que es de longitud 2 . sin 𝑥𝑥

La función ℎ(𝑥𝑥) = tan 𝑥𝑥 = cos 𝑥𝑥 es una función periódica de periodo 𝜋𝜋. Por su

definición, el dominio no incluye los números reales que anulan el denominador, es 𝜋𝜋

decir, los puntos �(2𝑘𝑘 − 1) 2 ∶ 𝑘𝑘 ∈ ℤ�. En cambio, su rango es ℝ (Figura 5). Cálculo I Tema 4. Ideas clave

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Figura 5. Funciones trigonométricas.

A partir de estas funciones se definen también las funciones trigonométricas secante, cosecante y cotangente:

sec 𝑥𝑥 =

1 ; cos 𝑥𝑥

csc 𝑥𝑥 =

1 ; sin 𝑥𝑥

cot 𝑥𝑥 =

cos 𝑥𝑥 , sin 𝑥𝑥

las cuales no están definidas cuando el denominador se anula.

A continuación, incluimos algunas de las relaciones trigonométricas fundamentales.

Relaciones trigonométricas

▸ 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟐𝟐 (𝒙𝒙) + 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝟐𝟐 (𝒙𝒙) = 𝟏𝟏.

▸ 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝒙𝒙 + 𝒚𝒚) = 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝒙𝒙) 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜(𝒚𝒚) + 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜(𝒙𝒙) 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝒚𝒚).

▸ 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜(𝒙𝒙 + 𝒚𝒚) = 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜(𝒙𝒙) 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜(𝒚𝒚) − 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝒙𝒙) 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝒚𝒚).

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𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭(𝒙𝒙)+𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭(𝒚𝒚)

▸ 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭(𝒙𝒙 + 𝒚𝒚) = 𝟏𝟏−𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭(𝒙𝒙) 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭(𝒚𝒚). 𝟏𝟏

▸ 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟐𝟐 (𝒙𝒙) = 𝟐𝟐 (𝟏𝟏 − 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜(𝟐𝟐𝟐𝟐)). 𝟏𝟏

▸ 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝟐𝟐 (𝒙𝒙) = 𝟐𝟐 (𝟏𝟏 + 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜(𝟐𝟐𝟐𝟐)).

Cálculo I Tema 4. Ideas clave

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Función exponencial La función exponencial es una función de la forma: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 ,

𝑎𝑎 ∈ ℝ+ .

Es una función creciente para 𝑎𝑎 > 1 y decreciente cuando 0 < 𝑎𝑎 < 1. Su dominio es ℝ y su rango son los números reales positivos siempre que 𝑎𝑎 ≠ 1, en cuyo caso el

rango es {1}. En la Figura 6 se han representado las gráficas de diversas funciones exponenciales variando el valor de 𝑎𝑎. Notemos que para valores de 𝑎𝑎 mayores la pendiente de la curva es cada vez más pronunciada.

Figura 6. Funciones exponenciales.

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Propiedades de la función exponencial: para todo 𝒂𝒂 ∈ ℝ+ se verifica: ▸ 𝒂𝒂𝟎𝟎 = 𝟏𝟏. ▸ 𝒂𝒂𝟏𝟏 = 𝒂𝒂.

𝟏𝟏

▸ 𝒂𝒂−𝒙𝒙 = 𝒂𝒂.

▸ ∀ 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 ∈ ℝ, 𝒂𝒂𝒙𝒙+𝒚𝒚 = 𝒂𝒂𝒙𝒙 𝒂𝒂𝒚𝒚 .

▸ ∀ 𝒙𝒙 ∈ ℝ, ∀ 𝒃𝒃 ∈ ℝ+ ,(𝒂𝒂𝒂𝒂)𝒙𝒙 = 𝒂𝒂𝒙𝒙 𝒃𝒃𝒙𝒙 . 𝒙𝒙

𝒚𝒚

▸ 𝒂𝒂𝒚𝒚 = √𝒂𝒂𝒙𝒙 .

Cálculo I Tema 4. Ideas clave

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Funciones hiperbólicas A partir de la función exponencial con 𝑎𝑎 = 𝑒𝑒, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 , se definen las funciones

hiperbólicas seno, coseno y tangente hiperbólica:

sinh 𝑥𝑥 =

𝑒𝑒 𝑥𝑥 − 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 ; 2

cosh 𝑥𝑥 =

𝑒𝑒 𝑥𝑥 + 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 ; 2

tanh 𝑥𝑥 =

sinh 𝑥𝑥 𝑒𝑒 𝑥𝑥 − 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 = . cosh 𝑥𝑥 𝑒𝑒 𝑥𝑥 + 𝑒𝑒 −𝑥𝑥

Tienen dominio ℝ. El rango es ℝ, [1, +∞[ y ] − 1,1[ para sinh 𝑥𝑥, cosh 𝑥𝑥 y tanh 𝑥𝑥, respectivamente. Se incluye la gráfica de las tres funciones en la Figura 7.

Figura 7. Funciones hiperbólicas.

Análogamente a las funciones trigonométricas, también se definen las funciones hiperbólicas secante, cosecante y cotangente hiperbólica:

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sech 𝑥𝑥 =

1 ; cosh 𝑥𝑥

csch 𝑥𝑥 =

1 ; sihn 𝑥𝑥

coth 𝑥𝑥 =

cosh 𝑥𝑥 . sinh 𝑥𝑥

Las funciones hiperbólicas también cumplen relaciones muy semejantes a las de las funciones trigonométricas.

Cálculo I Tema 4. Ideas clave

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Relaciones de las funciones hiperbólicas

▸ 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝟐𝟐 (𝒙𝒙) − 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟐𝟐 (𝒙𝒙) = 𝟏𝟏.

▸ 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝒙𝒙+) = 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝒙𝒙) 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜(𝒚𝒚) + 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜(𝒙𝒙)𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐡𝐡(𝒚𝒚) .

▸ 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜(𝒙𝒙 + 𝒚𝒚) = 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜(𝒙𝒙) 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜(𝒚𝒚) + 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝒙𝒙) 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝒚𝒚). 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭(𝒙𝒙)+𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭(𝒚𝒚)

▸ 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭(𝒙𝒙 + 𝒚𝒚) = 𝟏𝟏+𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭(𝒙𝒙) 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭(𝒚𝒚).

Función a trozos Las funciones a trozos son aquellas en las que su expresión se define de forma distinta dependiendo del valor que toma la variable independiente𝑥𝑥. Con el siguiente ejemplo de función a trozos permitirá comprender mejor esta definición: 𝑥𝑥 + 3, 𝑥𝑥 ≤ 2 1 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � , 2 < 𝑥𝑥 < 8 𝑥𝑥 + 5 3𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 ≥ 8

(1)

La función 𝑓𝑓 tiene una expresión distinta para cada uno de los 3 subintervalos. En la

Figura 8 hemos trazado su gráfica teniendo en cuenta la definición de la función en

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cada subintervalo:

Figura 8. Gráfica de la función definida a trozos (1).

Cálculo I Tema 4. Ideas clave

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El valor absoluto de un número, por su definición, es un caso particular de una función a trozos:

𝒇𝒇(𝒙𝒙) = |𝒙𝒙| = �

−𝒙𝒙, 𝒙𝒙,

𝒙𝒙 < 0 𝒙𝒙 ≥ 𝟎𝟎

La función valor absoluto tiene dominio ℝ pero como rango únicamente ℝ+ . 1

1

En la Figura 9se ha representado la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥� junto con 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 para

comparar el efecto que el valor absoluto de la función ejerce sobre la función original. Notemos que la parte negativa de la función queda trasladada a la parte positiva del eje Y, mientras que la parte positiva de las dos funciones se superpone.

Figura 9. Función con y sin valor absoluto.

En este apartado hemos analizado los conjuntos de funciones más relevantes, pero, incluso solo con estos, la cantidad de funciones posibles es muy extensa. Como iremos descubriendo a lo largo del tema, a esta variedad de funciones también cabe

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añadir que las funciones que ya hemos presentado también se pueden combinar entre sí para forma otras nuevas por medio de operaciones algebraicas, composiciones e inversas.

Cálculo I Tema 4. Ideas clave

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4.4. Operaciones algebraicas con funciones Dadas dos funciones 𝑓𝑓: 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ⟶ ℝ y 𝑔𝑔: 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ⟶ ℝ definimos la igualdad de funciones como:

𝑓𝑓 = 𝑔𝑔 ⇔ 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 ∧ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑔𝑔(𝑥𝑥), ∀ 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴. Definimos la función nula como aquella que verifica 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0, ∀ 𝑥𝑥 ∈ ℝ. La

representamos como 0:

0: ℝ 𝑥𝑥

⟶ ℝ ⟼ 0(𝑥𝑥) = 0

Notemos que la función nula es la única función que es par e impar a la vez. Por último, la función unidad, 1, es la función tal que 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1, ∀ 𝑥𝑥 ∈ ℝ: 1: ℝ 𝑥𝑥

⟶ ℝ ⟼ 1(𝑥𝑥) = 1

Siguiendo esta notación, definimos las siguientes operaciones algebraicas entre las funciones 𝑓𝑓, 𝑔𝑔 y ℎ, definidas en el mismo dominio𝑓𝑓, 𝑔𝑔, ℎ ∶ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ⟶ ℝ: ▸ Producto por un escalar 𝜆𝜆 ∈ ℝ:

(𝜆𝜆 ⋅ 𝑓𝑓): 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ⟶ ℝ. Para todo 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴,

(𝜆𝜆 ⋅ 𝑓𝑓)(𝑥𝑥) = 𝜆𝜆𝜆𝜆(𝑥𝑥). Verifica las propiedades:

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o Asociativa: si 𝜆𝜆, 𝜇𝜇 ∈ ℝ, (𝜆𝜆𝜆𝜆) ⋅ 𝑓𝑓 = 𝜆𝜆 ⋅ (𝜇𝜇 ⋅ 𝑓𝑓).

o Elemento neutro:1 ⋅ 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓, siendo 1 la función unidad. o Doble distributividad: para 𝜆𝜆, 𝜇𝜇 ∈ ℝ,

(𝜆𝜆 + 𝜇𝜇) ⋅ 𝑓𝑓 = 𝜆𝜆 ⋅ 𝑓𝑓 + 𝜇𝜇 ⋅ 𝑔𝑔

𝜆𝜆 ⋅ (𝑓𝑓 + 𝑔𝑔) = 𝜆𝜆 ⋅ 𝑓𝑓 + 𝜆𝜆 ⋅ 𝑔𝑔

▸ Suma: (𝑓𝑓 + 𝑔𝑔): 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ⟶ ℝ. Para todo𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴, (𝑓𝑓 + 𝑔𝑔)(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 𝑔𝑔(𝑥𝑥). La suma de funciones verifica las siguientes propiedades:

Cálculo I Tema 4. Ideas clave

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o Asociativa: (𝑓𝑓 + 𝑔𝑔) + ℎ = 𝑓𝑓 + (𝑔𝑔 + ℎ). o Conmutativa: 𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 = 𝑔𝑔 + 𝑓𝑓.

o Elemento neutro: 𝑓𝑓 + 0 = 𝑓𝑓, donde 0 es la función nula. o Elemento simétrico: 𝑓𝑓 + (−𝑓𝑓) = 0.

▸ Producto:(𝑓𝑓 ⋅ 𝑔𝑔): 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ⟶ ℝ. Para todo 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴, (𝑓𝑓 ⋅ 𝑔𝑔)(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ⋅ 𝑔𝑔(𝑥𝑥). El producto de funciones verifica las propiedades: o Asociativa: (𝑓𝑓 ⋅ 𝑔𝑔) ⋅ ℎ = 𝑓𝑓 ⋅ (𝑔𝑔 ⋅ ℎ).

o Elemento neutro:1 ⋅ 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓.

o Distributividad:𝑓𝑓 ⋅ (𝑔𝑔 + ℎ) = 𝑓𝑓 ⋅ 𝑔𝑔 + 𝑓𝑓 ⋅ ℎ. 𝑓𝑓

▸ Cociente:�𝑔𝑔� ∶ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ⟶ ℝ. Para todo 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴, siempre que 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ≠ 0 definimos el 𝑓𝑓

𝑓𝑓(𝑥𝑥)

cociente de las funciones 𝑓𝑓 y 𝑔𝑔 como�𝑔𝑔� (𝑥𝑥) = 𝑔𝑔(𝑥𝑥).

Hemos presentado las operaciones más elementales entre funciones. No obstante, la composición de funciones y la función inversa son dos operaciones entre funciones cuyo conocimiento es fundamental, motivo por el cual consideramos conveniente dedicar los dos apartados siguientes a su desarrollo.

4.5. Composición de funciones Es muy habitual encontrarnos con la necesidad de aplicar dos funciones de forma

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consecutiva. Es decir, primero aplicar una función 𝑓𝑓 a un punto 𝑥𝑥 de su dominio

obteniendo la imagen 𝑓𝑓(𝑥𝑥), y luego aplicar la función 𝑔𝑔 sobre la imagen obtenida

teniendo entonces 𝑔𝑔(𝑓𝑓(𝑥𝑥)). Este proceso se denomina composición de funciones.

Sin embargo, la composición no siempre es posible, ya que no necesariamente 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

pertenece al dominio en que 𝑔𝑔 está definido, por lo que la inclusión 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∈ 𝐷𝐷(𝑔𝑔)se convierte en una condición necesaria.

Cálculo I Tema 4. Ideas clave

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Entonces, para las funciones 𝑓𝑓: 𝐴𝐴 ⟶ ℝ y 𝑔𝑔: 𝐵𝐵 ⟶ ℝ tales que 𝑓𝑓(𝐴𝐴) ⊆ 𝐵𝐵, se define la

función compuesta𝒈𝒈 ∘ 𝒇𝒇: 𝑨𝑨 ⟶ ℝde la forma:

(𝒈𝒈 ∘ 𝒇𝒇)(𝒙𝒙) = 𝒈𝒈�𝒇𝒇(𝒙𝒙)�,

∀ 𝒙𝒙 ∈ 𝑨𝑨.

Nota. La composición de funciones no es conmutativa, es decir, 𝒈𝒈 ∘ 𝒇𝒇 no tiene por qué ser igual que 𝒇𝒇 ∘ 𝒈𝒈. Es más, puede existir una composición y que la otra no se pueda definir.

En cambio, sí se verifica la propiedad asociativa. Gráficamente, la composición 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 seguiría el siguiente esquema:

Figura 10. Composición de funciones.

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El elemento neutro de la composición de funciones es la función identidad, que denotamos 𝒊𝒊𝒊𝒊, y verifica que 𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 para todo punto del dominio. Ejemplo 2. Sobre las funciones 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟐𝟐 y 𝒈𝒈(𝒙𝒙) = 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝒙𝒙) definimos las composiciones 𝒈𝒈 ∘ 𝒇𝒇 y 𝒇𝒇 ∘ 𝒈𝒈 : (𝒈𝒈 ∘ 𝒇𝒇)(𝒙𝒙) = 𝒈𝒈(𝒙𝒙𝟐𝟐 ) = 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝒙𝒙𝟐𝟐 ) (𝒇𝒇 ∘ 𝒈𝒈)(𝒙𝒙) = 𝒇𝒇(𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝒙𝒙)) = 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟐𝟐 (𝒙𝒙) Vemos claramente que 𝒈𝒈 ∘ 𝒇𝒇 ≠ 𝒇𝒇 ∘ 𝒈𝒈.

Cálculo I Tema 4. Ideas clave

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En el siguiente ejemplo vemos la importancia que tiene que se cumpla la condición 𝑓𝑓(𝐴𝐴) ⊆ 𝐵𝐵. Ejemplo 3. Consideremos la composición de funciones con 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = √𝒙𝒙 y 𝒈𝒈(𝒙𝒙) = 𝟏𝟏 − 𝒙𝒙 Observemos que 𝑫𝑫(𝒇𝒇) = [𝟎𝟎, +∞[, mientras que 𝑫𝑫(𝒈𝒈) = ℝ. Por un lado, 𝒈𝒈 ∘ 𝒇𝒇: [𝟎𝟎, +∞[ ⟶ ℝ y se puede definir como: (𝒈𝒈 ∘ 𝒇𝒇)(𝒙𝒙) = 𝒈𝒈�√𝒙𝒙� = 𝟏𝟏 − √𝒙𝒙

En cambio, no se puede definir la composición 𝒇𝒇 ∘ 𝒈𝒈 porque 𝑫𝑫(𝒇𝒇 ∘ 𝒈𝒈) =

𝑫𝑫(𝒈𝒈) = ℝ. En este caso, (𝒇𝒇 ∘ 𝒈𝒈)(𝒙𝒙) = 𝒇𝒇(𝟏𝟏 − 𝒙𝒙) = √𝟏𝟏 − 𝒙𝒙 solo podría estar definida con dominio ] − ∞, 𝟏𝟏].

4.6. Función inversa Si 𝑓𝑓: 𝐷𝐷 ⟶ ℝ es una función inyectiva que transforma el número real 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷 en el

número real 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∈ 𝑓𝑓(𝐷𝐷), está definida una función que hace el proceso inverso, es decir, que transforma cada 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∈ 𝑓𝑓(𝐷𝐷) en 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷. Esta función se denomina función

inversa, y se denota 𝒇𝒇−𝟏𝟏.Por tanto, el dominio de la función inversa es 𝑓𝑓(𝐷𝐷) y su rango es 𝐷𝐷. Entonces, para cada 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷 se tiene:

𝑓𝑓 −1 �𝑓𝑓(𝑥𝑥)� ∶= 𝑥𝑥.

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De la misma forma, para cada 𝑦𝑦 ∈ 𝑓𝑓(𝐷𝐷),𝑓𝑓(𝑓𝑓 −1 (𝑦𝑦)) = 𝑦𝑦. Aunque no hay un procedimiento general para el cálculo de la función inversa, despejando de la función la variable independiente podemos obtener su inversa.

Cálculo I Tema 4. Ideas clave

21

𝟐𝟐𝟐𝟐

Ejemplo 4. Calcula la función inversa de 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙−𝟏𝟏 .

Notemos que 𝑫𝑫(𝒇𝒇) = ℝ − {𝟏𝟏}. Comprobemos que 𝒇𝒇 es inyectiva: dados 𝒙𝒙𝟏𝟏 , 𝒙𝒙𝟐𝟐 ∈ 𝑫𝑫(𝒇𝒇), 𝒙𝒙𝟏𝟏 ≠ 𝒙𝒙𝟐𝟐 , ¿𝒇𝒇(𝒙𝒙𝟏𝟏 ) ≠ 𝒇𝒇(𝒙𝒙𝟐𝟐 )? Supongamos que𝒇𝒇(𝒙𝒙𝟏𝟏 ) = 𝒇𝒇(𝒙𝒙𝟐𝟐 ), entonces: 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟏𝟏

𝒇𝒇(𝒙𝒙𝟏𝟏 ) = 𝒇𝒇(𝒙𝒙𝟐𝟐 ) ⇔ 𝒙𝒙

𝟏𝟏 −𝟏𝟏

𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐

= 𝒙𝒙

𝟐𝟐 −𝟏𝟏

⇔ 𝒙𝒙𝟏𝟏 (𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟏𝟏) = 𝒙𝒙𝟐𝟐 (𝒙𝒙𝟏𝟏 − 𝟏𝟏) ⇔

𝒙𝒙𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙𝟏𝟏 = 𝒙𝒙𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙𝟐𝟐 ⇔ −𝒙𝒙𝟏𝟏 = −𝒙𝒙𝟐𝟐 ⇔ 𝒙𝒙𝟏𝟏 = 𝒙𝒙𝟐𝟐

Por tanto, 𝒇𝒇 es inyectiva y puede tener función inversa.

Denotemos 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙) y despejemos la variable independiente 𝒙𝒙: 𝟐𝟐𝟐𝟐

𝒚𝒚

𝒚𝒚 = 𝒙𝒙−𝟏𝟏 ⇔ (𝒙𝒙 − 𝟏𝟏)𝒚𝒚 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 ⇔ −𝒚𝒚 = (𝟐𝟐 − 𝒚𝒚)𝒙𝒙 ⇔ 𝒙𝒙 = 𝒚𝒚−𝟐𝟐

Entonces, la función inversa de 𝒇𝒇 es: 𝒚𝒚

𝒇𝒇−𝟏𝟏 (𝒚𝒚) = 𝒚𝒚−𝟐𝟐

El dominio de 𝒇𝒇−𝟏𝟏 es 𝑫𝑫(𝒇𝒇−𝟏𝟏 ) = ℝ − {𝟐𝟐}.

El cálculo del dominio e inversa en funciones definidas a trozos sigue un proceso similar, pero tiene algunas variantes (ver el vídeo siguiente).

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Accede al vídeo a través del aula virtual

Función logarítmica Otra familia de funciones elementales es la función logarítmica. Se denomina función logarítmica de base 𝑎𝑎 > 0, 𝑎𝑎 ≠ 1, a una función de la forma: Cálculo I Tema 4. Ideas clave

22

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = log 𝑎𝑎 𝑥𝑥 . La función logarítmica es la inversa de la función exponencial 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 . Como tal, su dominio es ℝ+ y su rango es ℝ. También, al igual que la función exponencial,

cuando 𝑎𝑎 > 1 es una función creciente, y es decreciente cuando 𝑎𝑎 < 1. Podemos

observar su monotonía en la Figura 11, donde se han representado funciones exponenciales variando el valor de 𝑎𝑎. Se observa además que para todo 𝑎𝑎 se cumple que log 𝑎𝑎 1 = 0.

Figura 11. Funciones logarítmicas.

Por definición, 𝑦𝑦 = log 𝑎𝑎 𝑥𝑥 si, y solo si, 𝑎𝑎 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥. Además, verifica las siguientes propiedades que se pueden deducir fácilmente de las potencias:

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Propiedades básicas de los logaritmos. Para todo 𝒂𝒂 ∈ ℝ+ se verifica: ▸ 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒂𝒂 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎

▸ 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒂𝒂 𝒂𝒂 = 𝟏𝟏

▸ ∀ 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 ∈ ℝ+ , 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒂𝒂 (𝒙𝒙 𝒚𝒚) = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒂𝒂 𝒙𝒙 + 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒂𝒂 𝒚𝒚 ▸ ∀ 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 ∈ ℝ+ , 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒂𝒂 (𝒙𝒙𝒚𝒚 ) = 𝐲𝐲 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒂𝒂 𝒙𝒙 𝒙𝒙

▸ ∀ 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 ∈ ℝ+ , 𝒚𝒚 ≠ 𝟎𝟎, 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒂𝒂 �𝒚𝒚� = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒂𝒂 𝒙𝒙 − 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒂𝒂 𝒚𝒚 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒙𝒙

▸ ∀ 𝒙𝒙, 𝒃𝒃 ∈ ℝ+ , 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒃𝒃 𝒙𝒙 = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝒂𝒂

Cálculo I Tema 4. Ideas clave

23

Un caso particular de función exponencial es𝒈𝒈(𝒙𝒙) = 𝒆𝒆𝒙𝒙 , es decir, cuando en la expresión general𝒂𝒂 = 𝒆𝒆. En este caso, el logaritmo se llama neperiano y se denota

𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒙𝒙.Cuando 𝒂𝒂 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 el logaritmo se denomina decimal.

Funciones trigonométricas inversas Las funciones trigonométricas que hemos estudiado en apartados anteriores no son inyectivas, y, por tanto, no pueden tener función inversa. Sin embargo, sí lo son cuando se restringe su dominio a determinados intervalos. A continuación, tras restringir de forma adecuada el dominio, mostramos las funciones trigonométricas inversas del seno, coseno y tangente. La función inversa del seno es la función arcoseno (Figura 12): 𝜋𝜋 𝜋𝜋 arcsin 𝑥𝑥 ∶ [−1, 1] ⟶ �− 2 , 2� 𝑥𝑥 ⟶ 𝛼𝛼

tal que sin 𝛼𝛼 = 𝑥𝑥.

Figura 12. arcsin 𝑥𝑥 y sin 𝑥𝑥.

La función inversa del coseno es la función arcocoseno (Figura13):

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arccos 𝑥𝑥 ∶ [−1, 1] ⟶ [0, 𝜋𝜋] 𝑥𝑥 ⟶ 𝛼𝛼

tal que cos 𝛼𝛼 = 𝑥𝑥.

Figura 13. arccos 𝑥𝑥 y cos 𝑥𝑥.

Cálculo I Tema 4. Ideas clave

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La función inversa de la tangente es la función arcotangente 𝜋𝜋 𝜋𝜋 arctan 𝑥𝑥 ∶ [−∞, +∞] ⟶ �− 2 , 2� 𝑥𝑥 ⟶ 𝛼𝛼 tal que tan 𝛼𝛼 = 𝑥𝑥.

Figura 14. arctan 𝑥𝑥 y tan 𝑥𝑥.

4.7. Referencias bibliográficas Boigues, F. J., Estruch, V. D., Gregori, V., Roig, B., Sapena, A., Vidal, A. (2014). Cálculo básico. Valencia: Editorial Universitat Politècnica de València. Camacho, A. (2008). Cálculo diferencial. Ediciones Díaz de Santos. Leithhold, L. (1998). Matemáticas previas al cálculo: funciones, gráficas y geometría analítica (3ª ed.). Editorial Universidad Iberoamericana..

4.8. Cuaderno de ejercicios 3𝑥𝑥−1

Ejercicio 1. Sean las funciones 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2+3 y 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 + 4. Calcula las siguientes

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funciones y su dominio: a) 𝑓𝑓 + 𝑔𝑔;.

d) 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔.

c) 𝑓𝑓 ⋅ 𝑔𝑔;.

f) 𝑓𝑓/𝑔𝑔.

b)𝑓𝑓 − 𝑔𝑔;.

Solución: a) 6𝑥𝑥+11

e) 𝑔𝑔 ∘ 𝑓𝑓. 2𝑥𝑥 3 +4𝑥𝑥 2 +9𝑥𝑥+13 𝑥𝑥 2 +3

d) 4𝑥𝑥 2 +16𝑥𝑥+19 , 𝐷𝐷 = ℝ; e)

, 𝐷𝐷 = ℝ; b)

4𝑥𝑥 2 +6𝑥𝑥+10 𝑥𝑥 2 +3

−2𝑥𝑥 3 −4𝑥𝑥 2 −3𝑥𝑥−11 𝑥𝑥 2 +3

, 𝐷𝐷 = ℝ; c)

3𝑥𝑥−1

2(2+𝑥𝑥)(3𝑥𝑥−1) 𝑥𝑥 2 +3

, 𝐷𝐷 = ℝ;f)(𝑥𝑥 2 +3)(2𝑥𝑥+4), 𝐷𝐷 = ℝ − {−2}.

,𝐷𝐷 = ℝ;

Cálculo I Tema 4. Ideas clave

25

Ejercicio 2. Determina el dominio y el rango de las siguientes funciones: 𝑥𝑥 2 +1

a) 𝑓𝑓1 (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2−1.

b) 𝑓𝑓2 (𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 − 2.

𝑥𝑥+1

c) 𝑓𝑓3 (𝑥𝑥) = sin �𝑥𝑥−1�. d) 𝑓𝑓4 (𝑥𝑥) =

𝑥𝑥 2 +𝑥𝑥+1 𝑥𝑥 2 +1

1

+ 𝑥𝑥+1. 𝑥𝑥+1

e) 𝑓𝑓5 (𝑥𝑥) = arccos �𝑥𝑥 2 +1�.

Solución: a) 𝐷𝐷(𝑓𝑓1 ) = ℝ − {−1, 1}, 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓1 ) =] − ∞, −1] ∪]1, +∞[ ; b) 𝐷𝐷(𝑓𝑓2 ) =

[2, +∞[, 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓2 ) = [2, +∞[ ; c) 𝐷𝐷(𝑓𝑓3 ) = ℝ − {1}, 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓3 ) = [−1, 1] ; d) 𝐷𝐷(𝑓𝑓4 ) = ℝ − {0, −1}, 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓4 ) = ℝ − {1}; e)𝐷𝐷(𝑓𝑓5 ) =] − ∞, 0] ∪ [1, +∞[ , 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓5 ) = [0, 𝜋𝜋[.

Ejercicio 3. Determina si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna de las dos cosas: a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 4 − 3;.

e) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √1 − 𝑥𝑥;.

c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = sin(𝜋𝜋𝜋𝜋);.

g) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = cos �𝑥𝑥�;.

1

b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 +1 .

f) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

𝑥𝑥 5 −3𝑥𝑥 3 2

;.

1

Solución: a) par; b) par; c) impar; d) nada; e) impar; f) par g) par Ejercicio 4. ¿Qué propiedad verifica una función periódica? Esboza la gráfica de una función periódica de periodo 3 y de otra de periodo 4. No es necesario que se conozca la expresión analítica de la función representada. Solución: Propiedad: si 𝑓𝑓: 𝐴𝐴 ⊂ ℝ → ℝ es periódica, entonces:

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∃ 𝑇𝑇 ∶ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 𝑇𝑇), ∀ 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴

Cálculo I Tema 4. Ideas clave

26

Ejercicio 5. Indica cómo se obtiene la gráfica de las siguientes funciones a partir de la gráfica de la función 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥):

a)𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(2𝑥𝑥; ).

d) 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 2;).

b) 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 2;.

e) 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 − 2;).

c) 𝑦𝑦 = −𝑓𝑓(𝑥𝑥).

A partir de los resultados, intuye un procedimiento general para representar

funciones a partir de otras. Solución: En a) y c) la forma de la gráfica sí varía. En b), d) y e) la forma de la gráfica no varía. a) la función crece el doble; b) la gráfica se desplaza dos unidades hacia arriba en el eje Y; c) se obtiene la función simétrica respecto al eje X; d) se desplaza dos unidades hacia la izquierda en el eje X;e) se desplaza dos unidades hacia la derecha en el eje X. Ejercicio 6. Se consideran las funciones 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 , 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 , ℎ(𝑥𝑥) = log 𝑥𝑥 y

𝑘𝑘(𝑥𝑥) = tan 𝑥𝑥.

a) Calcula las siguientes composiciones: i) ℎ ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝑓𝑓. ii)𝑔𝑔 ∘ ℎ.

iii) ℎ ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔.

b) Expresa las siguientes funciones como composición de las funciones 𝑓𝑓, 𝑔𝑔, ℎ y 𝑘𝑘. 2

i) 𝑒𝑒 𝑥𝑥 .

ii) tan(log 𝑥𝑥 2 )). 2

iii) 𝑒𝑒 tan(𝑥𝑥 ) .

Solución: a) i) log(𝑥𝑥 4 ); ii) 𝑒𝑒 tan 𝑥𝑥 ; iii) tan(𝑒𝑒 2𝑥𝑥 );

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b) i) (𝑔𝑔 ∘ 𝑓𝑓)(𝑥𝑥); ii) (𝑘𝑘 ∘ ℎ ∘ 𝑓𝑓)(𝑥𝑥); iii)(𝑔𝑔 ∘ 𝑘𝑘 ∘ 𝑓𝑓)(𝑥𝑥). Ejercicio 7. Calcula la función inversa de 𝑓𝑓:

Solución:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �

(𝑥𝑥 + 1)2 , 2𝑥𝑥 + 9,

𝑓𝑓 −1 (𝑥𝑥) = �

0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 4 𝑥𝑥 > 4

𝑥𝑥 2 − 1, 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 25 log 2 (𝑥𝑥 − 9) , 𝑥𝑥 > 25 Cálculo I Tema 4. Ideas clave

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Ejercicio 8. Si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 y 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = ln 𝑥𝑥, a) Prueba que son inyectivas.

b) Calcula 𝑓𝑓(ℝ) y 𝑔𝑔(]0, +∞[).

c) Calcula (𝑔𝑔 ∘ 𝑓𝑓)(𝑡𝑡) y (𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔)(𝑠𝑠), especificando para qué valores de 𝑡𝑡 y 𝑠𝑠 tiene sentido la composición.

d) Calcula 𝑓𝑓 −1 y 𝑔𝑔−1 , dando su dominio y recorrido en caso de existir.

Solución: b) 𝑓𝑓(ℝ) = 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓) = ℝ+ , 𝑔𝑔(]0, +∞[) = 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑔𝑔) = ℝ; c)(𝑔𝑔 ∘ 𝑓𝑓)(𝑡𝑡) = 𝑡𝑡, (𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔)(𝑠𝑠) = 𝑠𝑠; d) 𝑓𝑓 −1 = 𝑔𝑔 y 𝑔𝑔−1 = 𝑓𝑓.

Ejercicio 9: Para la función 𝑓𝑓: ℝ − {2} ⟶ ℝ, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = a) Calcula el dominio de 𝑓𝑓.

5𝑥𝑥−2 𝑥𝑥−2

:

b) Despeja la variable independiente 𝑥𝑥 para calcular 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓). c) Representa la función para 𝑥𝑥 ∈ [−10, 10].

d) Estudia si 𝑓𝑓 es biyectiva.

Solución: a) 𝐷𝐷(𝑓𝑓) = ℝ − {2}; b) 𝑥𝑥 =

2𝑦𝑦−2 𝑦𝑦−5

, 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓) = ℝ − {5}; d) no es biyectiva

porque es inyectiva pero no sobreyectiva (para 𝑦𝑦 = 5 no tiene antiimagen).

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c)

Cálculo I Tema 4. Ideas clave

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Ejercicio 10 a) Representa la función de Heaviside 𝐻𝐻 definida por: 0, 𝐻𝐻(𝑡𝑡) = � 1,

𝑡𝑡 < 0 𝑡𝑡 ≥ 0

b) Traza la gráfica de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = [𝑥𝑥], donde [𝑥𝑥] es la parte entera de 𝑥𝑥. c) Traza la gráfica de la función 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = [𝑥𝑥] − 𝑥𝑥.

Solución: a)

b)

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c)

Cálculo I Tema 4. Ideas clave

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A fondo Cálculo diferencial

Conamat (2016). Cálculo diferencial (4ª ed.). Editorial Pearson Educación El capítulo 1 de este libro es una buena referencia sobre los contenidos de este tema de la asignatura. Además de analizar las funciones elementales estudiadas en el tema, incluye más familias defunciones. También es interesante el apartado de construcción de gráficas obtenidas a partir de otras y la clasificación detallada de los tipos de funciones dependiendo de su imagen o por su monotonía.

Accede al documento a través de la biblioteca UNIR

Cálculo diferencial: fundamentos, aplicaciones y notas históricas

Rivera, F. A. (2014). Cálculo diferencial: fundamentos, aplicaciones y notas históricas. Grupo Editorial Patria. Los capítulos 2 y 3 del libro son una buen complemento de este tema. No dejes de leer el capítulo de funciones elementales, en especial las funciones trigonométricas

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y la función exponencial.

Accede al documento a través de la Biblioteca Virtual de UNIR

Cálculo I Tema 4. A fondo

30

Representación de funciones a partir de funciones elementales En este tema se han mostrado las gráficas de las funciones más elementales. Sin embargo, el número de funciones que se construyen a partir de las elementales es infinito y por tanto también la cantidad de representaciones. En este vídeo se explican unas pautas básicas para representar funciones obtenidas a partir de funciones elementales. En este caso a partir de funciones exponenciales y potenciales. Es un recurso muy recomendable para adquirir destreza en la elaboración de gráficas de funciones.

Accede al vídeo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web:

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https://www.youtube.com/watch?v=egQ-dAOIS-c

Cálculo I Tema 4. A fondo

31

Test 1. El dominio de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = A. ℝ − {5}.

√2𝑥𝑥+3 𝑥𝑥−5

es:

3

B. [− 2 , 5[∪]5, +∞[ 3

C. [− 2 , +∞[. 3

D. ℝ − �− 2 , 5�. 2. Dadas las funciones 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 4 −𝑥𝑥 2 +1

A.

B. �

.

𝑥𝑥

𝑥𝑥 2 +1 𝑥𝑥

𝑥𝑥 2 −2

C. √𝑥𝑥 2 -

𝑥𝑥

y 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 2 − 3 la función (𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔)(𝑥𝑥) es:

− 3.

−3

𝑥𝑥 2 +1

D.

𝑥𝑥 2 +1

𝑥𝑥

− 3.

3. Dada la función𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 − 2, el rango de 𝑓𝑓 −1 es: A.ℝ.

B. ℝ+ .

C. ] − 1, +∞[. D.ℝ − {1}.

4. Definimos la función𝑓𝑓: [−1, 6[⟶ [−7, 11[, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 − 5, selecciona la opción © Universidad Internacional de La Rioja (UNIR)

correcta:

A.𝑓𝑓es inyectiva. B. 𝑓𝑓es biyectiva.

C. 𝑓𝑓 es sobreyectiva.

D. Ninguna opción es correcta.

Cálculo I Tema 4. Test

32

5. La función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = cos 𝑥𝑥 no es inyectiva, pero sí cuando restringimos su dominio a:

A. [0, 2𝜋𝜋[.

B. [−𝜋𝜋, 0].

C. [−𝜋𝜋, 𝜋𝜋[. D. [0, 2𝜋𝜋[.

6. Señala la afirmación correcta para la siguiente gráfica de una función:

A. Es sobreyectiva. B. Es par. C. Es inyectiva. D. Es impar. 1−2𝑥𝑥

7. Dada la función𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1+2𝑥𝑥 el dominio de 𝑓𝑓 −1 es: A.ℝ.

B.ℝ − {−1}. 1

C. ℝ − �2�. © Universidad Internacional de La Rioja (UNIR)

1

D. [ 2 , +∞[.

Cálculo I Tema 4. Test

33

1

8. Sean las funciones 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = log(𝑥𝑥 2 ), 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 − 1, ℎ(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥. Calcula (𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 ∘ ℎ)(𝑥𝑥) y señala la opción correcta: 1

A. log �(𝑥𝑥 2−1)2 �. 1

B.2 log �𝑥𝑥 2 � − 1. 1

C.2 log(𝑥𝑥 2) − 1. D. Log �

�𝑥𝑥 2 −1� 𝑥𝑥 4

2

�.

9. Señala la afirmación correcta: A. Una función puede ser par e impar a la vez. B. Ninguna función puede ser creciente y decreciente. C. sin 𝑥𝑥: ]0, 2𝜋𝜋[ ⟶ [−1, 1] es inyectiva. D. Ninguna opción es correcta.

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10.

¿Cuál de las siguientes curvas no es la gráfica de una función? A.

B.

C.

D.

Cálculo I Tema 4. Test

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