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Tema 3. Transferencia convectiva de masa

TEMA 3

TRANSFERENCIA CONVECTIVA DE MASA 1. Introducción La transferencia de uno o varios componentes entre una superficie o interfase y un fluido en movimiento se denomina transferencia convectiva de masa. La figura 1 ilustra varios casos de transferencia convectiva. Cuando partículas de un sólido se disuelven en un líquido agitado (Figura 1a) se produce una transferencia convectiva de masa entre la superficie del sólido (interfase) y el seno del líquido. Si se pulveriza un líquido en el seno de un gas y ése líquido se vaporiza parcialmente (Figura 1b) se produce una transferencia convectiva de masa desde la superficie de las gotas (interfase) al seno del gas. En un plato perforado de una columna de platos se hace borbotear un gas a través del líquido que circula sobre el plato (Figura 1c) facilitando la transferencia convectiva de uno o varios componentes entre ambas fases. En este caso, la interfase es la superficie de las burbujas y la transferencia puede producirse simultáneamente en ambas fases fluidas y a través de la interfase. Finalmente, en una torre empacada (Figura 1d) la fase líquida desciende por gravedad en forma de película fina que resbala sobre las partículas del relleno mientras que el gas circula por el espacio libre entre las partículas mojadas. Aquí la superficie de contacto entre el líquido y el gas (interfase) es irregular y difícil de describir ya que la película de líquido que cae se desprende de la partícula y se rompe, cae sobre la partícula situada por debajo y se forma de nuevo, etc. En todos los ejemplos presentados existe movimiento relativo entre la interfase y el fluido a través del cual tiene lugar la transferencia de masa. La operación de absorción de un gas en un líquido (disolvente) se suele llevar a cabo en torres empacadas como la descrita. En este caso, como en el de las burbujas sobre el plato, hay una doble transferencia convectiva ya que al menos un componente del gas se transfiere desde el seno del mismo a la interfase y desde allí hasta el seno del líquido. Se trata de un caso de transferencia interfásica de masa. Para dimensionar equipos como los descritos será preciso estimar el flujo NA0 del componente que se transfiere desde o hacia la interfase que separa las dos fases en contacto.

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Figura 1. Casos de transferencia convectiva de materia

2. La ecuación de transferencia convectiva de masa y los coeficientes de transporte La transferencia convectiva de masa se da en todas las operaciones de separación de equilibrio tales como secado, lixiviación, destilación, absorción, adsorción, extracción con disolventes, y en las que usan membranas selectivas. Los equipos industriales donde se llevan a cabo estas operaciones de separación suelen operar en régimen turbulento lo que da lugar a que la difusión tenga lugar a través de un medio fluido muy complejo que hace muy difícil la estimación de los gradientes de concentración. El dimensionamiento del equipo requiere determinar el flujo de masa de uno o varios componentes entre la interfase y el seno de la corriente fluida (Figura 2). Este flujo perpendicular a la interfase es la suma de dos contribuciones, la convectiva cA0 vz0* inducida por la propia transferencia de masa y la difusiva JA0, tal como se expresa en la siguiente ecuación, ∗ 𝑁𝐴0 = 𝑐𝐴0 𝑣𝑧0 + 𝐽𝐴0

[1]

donde el subíndice 0 hace referencia a las condiciones en la interfase, cA0 es la concentración molar de A en el fluido adyacente a la interfase, vz0* es la velocidad media molar de desplazamiento del fluido en dirección perpendicular a la interfase y JA0 es, como se vio en el tema anterior, el flujo difusivo debido exclusivamente al gradiente de concentración de A en la interfase en dirección perpendicular a la misma. La contribución convectiva, que suele ser extremadamente pequeña en muchos casos, también se puede expresar en función de la fracción molar en la interfase xA0 y de los flujos de transferencia en la interfase Ni0 de todos los componentes, 𝑁𝐴0 = 𝑥𝐴0 ∑ 𝑁𝑖0 + 𝐽𝐴0

2

[1′]

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La determinación del flujo difusivo JA0, requiere calcular el gradiente de concentración en la interfase lo cual es extremadamente complejo en el caso de equipos reales con geometrías complicadas y que operan en régimen turbulento. Esta dificultad se soslaya en parte utilizando el coeficiente convectivo de transporte de masa que permite aproximar el flujo difusivo en la interfase por la expresión, 𝐽𝐴0 = 𝑘𝑥 (𝑥𝐴0 − 𝑥𝐴 )

[2]

donde kx es el coeficiente de transferencia de masa (mol/m2s en SI), xA0 la fracción molar en la interfase del componente que se transfiere y xA la concentración molar media en el seno de la fase fluida. La diferencia xA0-xA es la fuerza impulsora para la transferencia de masa. Cuando el término convectivo es depreciable frente al difusivo, la ecuación de transporte queda en su forma más simple y conocida 𝑁𝐴0 = 𝑘𝑥 (𝑥𝐴0 − 𝑥𝐴 )

[3]

Si xA0 < xA el flujo es negativo, es decir, la transferencia tiene lugar desde el seno del fluido hacia la interfase. De acuerdo con este enfoque, el problema se reduce a la determinación del coeficiente de transporte y de la fuerza impulsora. Esta última es mucho más fácil de obtener que el gradiente de concentración en la interfase. Los coeficientes de transferencia de masa se determinan usando correlaciones existentes en la literatura especializada o ecuaciones de analogía.

Interfase

Interfase

FASE I

FASE II

FASE I

FASE II

cAO o xAO

cAO o xAO NAO

NAO

z

z

a) Desde la interfase

a) Hacia la interfase

Figura 2. Transferencia convectiva de masa desde o hacia una interfase

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2.1. Otras definiciones de coeficientes de transferencia de masa En la literatura especializada pueden encontrarse otras definiciones de coeficientes de transporte de masa referidos a otras fuerzas impulsoras tales como, 𝑘𝐶 =

𝑁𝐴0 𝑐𝐴0 − 𝑐𝐴

𝑘𝐺 =

𝑁𝐴0 𝑝𝐴0 − 𝑝𝐴

cuyas relaciones con kx son fáciles de deducir sabiendo que cA = xAc y pA=xA p, 𝑘𝑥 = 𝑘𝐶 𝑐

𝑘𝑥 = 𝑘𝐺 𝑝

En estas relaciones pA0 es la presión parcial de A en el gas en contacto con la interfase, pA es la presión parcial de A en el seno del gas y p es la presión total.

2.2. Definición de fuerza impulsora Para terminar con la definición de coeficiente de transferencia de masa es preciso concretar el significado de xA (cA o pA) en el término de fuerza impulsora. Para la definición de la fuerza impulsora es necesario realizar la distinción entre dos tipos de flujo: interno o confinado y externo o noconfinado. En el caso de flujo externo (Figura 3a), la fracción molar xA es la que existe en un punto alejado de la interfase, xA = xA, es decir, en un punto no afectado por la propia transferencia de masa. En el caso de flujo interno (Figura 3b, un fluido circulando por una tubería e intercambiando masa con la superficie interior de la misma, por ejemplo), xA= ̅𝑥A es la concentración media en la sección transversal en la que se esté considerando el coeficiente de transferencia. Si el régimen de circulación del fluido es turbulento, la transferencia radial de masa y cantidad de movimiento es muy intensa y los perfiles radiales de velocidad y concentración serán muy planos. En este caso la concentración media será muy parecida a la que hay en toda la sección transversal exceptuando la fina capa de fluido adyacente a la interfase.

2.3. Coeficientes medios de transferencia de masa En realidad los coeficientes transferencia definidos anteriormente son coeficientes locales ya que los gradientes de concentración en la interfase varían a lo largo de la superficie de interfase. Así por ejemplo, en el flujo por el interior de una tubería el coeficiente de transferencia de masa y la fuerza impulsora varían desde la entrada hasta la salida. Si se tratase de la disolución del sólido que constituye las paredes internas, el gradiente de concentración en la interfase y la fuerza impulsora irán disminuyendo ya que la concentración media xA irá aumentando a lo largo del recorrido. Para este tipo de situaciones cabe definir el coeficiente medio de transferencia de masa dado por 𝑘𝑥,𝐿 =

𝑊𝐴0,𝐿 ⁄𝐴 (𝑥𝐴0 − 𝑥̅𝐴 )𝑚𝑙

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Figura 3. Casos de flujo externo e interno

donde WA0,L es la cantidad transferida en toda la tubería por unidad de tiempo, A es la superficie total de interfase, es decir la superficie interna de toda la tubería, y (𝑥𝐴0 − 𝑥̅𝐴 )ml es la fuerza impulsora media logarítmica entre los extremos 1 (entrada) y 2 (salida) de la tubería, definida como (𝑥𝐴0 − 𝑥̅𝐴 )𝑚𝑙 =

(𝑥𝐴0 − 𝑥̅𝐴 )1 − (𝑥𝐴0 − 𝑥̅𝐴 )2 (𝑥 − 𝑥̅𝐴 )1 𝑙𝑛 ( 𝐴0 𝑥𝐴0 − 𝑥̅𝐴 )2

[4]

Obviamente el flujo medio de transferencia en la tubería es vendrá dado por la expresión 𝑁𝐴0,𝐿 = 𝑘𝑥,𝐿 (𝑥𝐴0 − 𝑥̅𝐴 )𝑚𝑙

[5]

Los coeficientes que aparecen en las correlaciones que se presentan más adelante son también coeficientes medios para toda la superficie de interfase ya sea cilíndrica, esférica, plana o cualquier otra geometría. Para terminar con esta discusión sobre coeficientes de transferencia de masa es preciso citar el coeficiente volumétrico de transferencia de masa, definido como el producto de kC y de a, el área de interfase por unidad de volumen. Este coeficiente, que se expresa en (s1), es muy empleado debido a que en muchas ocasiones los datos experimentales disponibles se refieren al producto kCa y no a kC y a a independientemente.

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3. Ecuaciones teóricas de analogía entre los coeficientes de transporte En el tema 1 se puso de manifiesto la semejanza que existe entre los tres fenómenos de transporte de masa, calor y cantidad de movimiento a través de fluidos. El interés principal de las ecuaciones de analogía entre fenómenos de transporte radica en que permiten relacionar entre sí los coeficientes convectivos de transferencia de calor, de masa y de cantidad de movimiento. Este último es el factor de fricción f. A partir del factor de fricción se puede estimar entonces el coeficiente de transferencia de masa o el de transferencia de calor. En este apartado se pasa revista a las analogías teóricas más sencillas, mientras que en el apartado siguiente se presenta también la analogía experimental de Colburn. Antes de presentar esas ecuaciones de analogía conviene recordar las expresiones de los flujos convectivos de las tres propiedades desde una interfase hacia el seno de la fase fluida en contacto en función de los respectivos coeficientes de transporte kC (m/s), f (factor de fricción, adimensional) y h (coeficiente convectivo de transferencia de calor, kW/m2s K): 1

-

Flujo de cantidad de movimiento de componente en la interfase: 𝜏0 = − 2 𝜌𝑉 2 𝑓

-

Flujo convectivo de calor en la interfase: 𝑞0 = ℎ(𝑇0 − 𝑇)

-

Flujo convectivo de masa en la interfase: 𝑁𝐴0 = 𝑘𝐶 (𝑐𝐴0 − 𝑐𝐴 )

En estas expresiones, V es la velocidad media del fluido, y T y cA la temperatura y la concentración de A en el seno del fluido.

3.1. Analogías de Reynolds y de Sherwood y Karman Reynolds, observando que las transferencias de cantidad de movimiento y calor eran semejantes, estableció que en cualquier sección transversal de una conducción, la relación entre el flujo de calor en la pared y la concentración media de energía debía ser igual a la existente entre el flujo de cantidad de movimiento en la pared y la concentración media de cantidad de movimiento. Es decir, Reynolds propuso la siguiente ecuación de analogía, 𝜏0 𝑞0 = 𝜌𝑉 𝜌𝑐𝑝 (𝑇 − 𝑇0 )

donde cP es el calor específico del fluido (kJ/kg K). Usando las expresiones de los flujos de calor y cantidad de movimiento, se llega fácilmente a, 𝑆𝑡 =

ℎ 𝑓 = 𝜌𝑉𝑐𝑝 2

donde St es el número adimensional de Stanton. Siguiendo un razonamiento similar Sherwood y Karman propusieron su ecuación de analogía entre la transferencia de masa y de cantidad de movimiento, 𝜏0 𝑁𝐴0 = 𝜌𝑉 𝑐𝐴0 − 𝑐𝐴 6

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Expresando los flujos en términos de los coeficientes f y kC se obtiene finalmente, 𝑆𝑡𝐴𝐵 =

𝑘𝑐 𝑓 = 𝑉 2

Sólo para el caso de flujo interno y turbulento de gases, con números de Prandtl y Schmidt próximos a uno, estas analogías dan resultados aceptables.

3.2. Analogía de Prandtl-Taylor La analogía de Reynolds se puede deducir de forma teórica asumiendo que el régimen de flujo es turbulento en cualquier región del fluido. Ello permite despreciar las difusividades moleculares frente a las turbulentas aún en la región de fluido más cercanas a la interfase. Prandtl y Taylor, sin embargo, consideraron dos regiones claramente diferenciadas: una adyacente a la interfase donde el flujo es laminar y la otra claramente turbulenta. En la subcapa laminar el mecanismo de transporte de cualquiera de las tres propiedades es la difusión molecular y en la zona central totalmente turbulento. Basándose en esta descripción más detallada llegaron finalmente a la ecuación de analogía de Prandtl-Taylor. 𝑆𝑡 =

𝑓/2 1 + 5√(𝑓/2)(𝑃𝑟 − 1)

Obsérvese que para Pr = 1, esta ecuación se reduce a la analogía de Reynolds. Posteriormente Colburn aplicó el mismo desarrollo a las transferencias de masa y cantidad de movimiento llegando a la relación, 𝑘𝑐 𝑓/2 𝑆𝑡𝐴𝐵 = = 𝑉 1 + 5√(𝑓/2)(𝑆𝑐 − 1) Estas ecuaciones de analogía dan resultados satisfactorios para líquidos poco viscosos y gases con números de Prandtl y Schmidt moderados.

3.3. Analogías de Kárman y Sherwood Kármán dio un paso más a la hora de detallar el medio fluido a través del cual se produce la transferencia de cualquiera de las tres propiedades, considerando tres regiones: una capa laminar adyacente a la interfase, una región de transición donde los mecanismos de difusión molecular y turbulenta compiten y un núcleo turbulento donde predomina la difusión turbulenta. Apoyándose en el perfil universal de velocidades que lleva su nombre, von Kármán llegó finalmente a la siguiente ecuación de analogía, 𝑆𝑡 =

𝑓/2 1 + 5√(𝑓/2)[𝑃𝑟 − 1 + 𝑙𝑛(1 + 5𝑃𝑟)/6]

Sherwood obtuvo la ecuación correspondiente a las transferencias de masa y cantidad de movimiento. Se trata de una ecuación idéntica a esta última, en la que se sustituye St por StAB y Pr por Sc. 7

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4. Correlaciones empíricas y ecuaciones de analogía basadas en los factores j Existen multitud de correlaciones empíricas desarrolladas para estimar los coeficientes convectivos de transporte en diversas geometrías (placa plana, tubular, esférica, lechos de relleno, etc.) y diferentes condiciones de flujo (velocidad, temperatura, fluidos, componentes). Estas correlaciones son ecuaciones que relacionan los números adimensionales de Nusselt (Nu) y Sherwood (Sh) que contienen los coeficientes convectivos h y kC respectivamente, con los números adimensionales de Reynolds (Re), Prandtl (Pr) y Schmidt (Sc) : -

Número de Reynolds que expresa la relación entre el transporte convectivo de cantidad de 𝜌𝑉𝑑 movimiento y el difusivo molecular : 𝑅𝑒 = 𝜇

-

Número de Nusselt que expresa la relación entre el transporte convectivo de calor y el debido ℎ𝑑 a la conducción: 𝑁𝑢 = 𝑘 Número de Sherwood que expresa la relación entre el transporte convectivo de masa y el 𝑘 𝑑 difusivo molecular: 𝑆ℎ = 𝐷 𝑐

-

𝐴𝑚

En estas expresiones, k es la conductividad térmica del fluido a través del cual tiene lugar la transferencia (kW/mK) y d es una longitud característica del sistema en el que tiene lugar la transferencia. Así, d (m) puede ser diámetro de una esfera, el diámetro interno de un conducto o la longitud de una placa plana según cual sea la geometría del caso. Las restantes propiedades o variables que aparecen en esos números ya han sido identificadas previamente. Las correlaciones empíricas de transferencia de masa, calor y cantidad de movimiento obtenidas por diversos autores fueron reordenadas por Chilton y Colburn para expresar la analogía entre estos fenómenos en términos de los factores j para transferencia de masa (jD) y de calor (jH) definidos como,

𝑗𝐷 =

𝑆ℎ 𝑘𝑐 2/3 = 𝑆𝑐 𝑅𝑒𝑆𝑐 1/3 𝑉 [6]

𝑁𝑢 ℎ 𝑗𝐻 = = 𝑃𝑟 2/3 1/3 𝑅𝑒𝑃𝑟 𝜌𝑉𝑐𝑝

Nótese que en el caso de que los números de Schmidt y Prandtl fuesen iguales a 1 los factores j coinciden con los números de Stanton correspondientes.

4.1. Correlaciones empíricas y factores j para flujo por el interior de tuberías A partir de experiencias llevadas a cabo en una columna de pared mojada y en tuberías de diversos materiales que se disolvían en la corriente de fluido, Guilliland y Sherwood obtuvieron la siguiente correlación, 𝑆ℎ = 0,023𝑅𝑒 0,8 𝑆𝑐 1/3

2.000 ≤ 𝑅𝑒 ≤ 300.000

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0,6 ≤ 𝑆𝑐 ≤ 2.500

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En Sh y Re, d es el diámetro interno de la tubería. Esta correlación se puede escribir también en la forma, 𝑗𝐷 = 0,023𝑅𝑒 −0,2

[7]

usando la definición de factor jD presentada anteriormente. Análogamente, para la transferencia de calor entre la pared interna de un tubo y el fluido que circula por su interior se obtuvo experimentalmente la correlación 𝑗𝐻 = 0,023𝑅𝑒𝑓−0,2

0,6 < Pr < 100

10.000 < 𝑅𝑒 < 300.000

donde el subíndice f indica que las propiedades físicas involucradas en el número de Reynolds han de evaluarse a la temperatura media de película (media aritmética entre la interfase y el seno del fluido). Por otro lado, para flujo turbulento a través de tuberías lisas y 30.000 < Re < 1.000.000, se obtuvo experimentalmente, 𝑓 = 0,046𝑅𝑒 −0,2 Combinando las expresiones anteriores se obtienen las siguientes ecuaciones de analogía de Chilton y Colburn 𝑗𝐷 = 𝑗𝐻 =

𝑓 2

4.2. Correlaciones empíricas y factores j para placas planas Aplicando la teoría de la capa límite, Blausius obtuvo la siguiente expresión para flujo laminar sobre una placa plana y Sc=1 𝑆ℎ = 0,664𝑅𝑒 1/2

𝑅𝑒 ≤ 200.000

En esta correlación la longitud característica es d = L la longitud de la placa y V=V∞ es la velocidad del fluido en un punto alejado de la placa no perturbado por la presencia de la misma. Por otro lado, aplicando al análisis aproximado de von Kárman para flujo turbulento sobre una placa plana se ha obtenido: 𝑆ℎ = 0,036𝑅𝑒 4/5 Para números de Sc comprendidos entre 0,6 y 2.500 y números de Pr entre 0,6 y 100 se pueden usar las siguientes correlaciones expresadas en términos de factores j:

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𝑗𝐷 = 𝑗𝐻 = 0,664𝑅𝑒 −1/2 (𝑙𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟) 𝑗𝐷 = 𝑗𝐻 = 0,036𝑅𝑒 −0,2 (𝑡𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡𝑜)

4.3. Correlaciones empíricas y factores j para esferas En este caso la analogía entre los tres fenómenos no es completa debido a que la fuerza de resistencia al flujo considerada en la evaluación del coeficiente de resistencia está compuesta por la resistencia de fricción y la resistencia de forma, y esta última no tiene su "análoga" en transferencia de masa o calor. Sigue satisfaciéndose, sin embargo, la analogía completa entre estos dos fenómenos de transporte y por tanto puede escribirse, 𝑗𝐷 = 𝑗𝐻 ≠

𝑓 2

Existen muchas correlaciones experimentales que confirman esta analogía. Entre ellas están las que se presentan a continuación. Para la transferencia desde esferas a través de líquidos se puede usar la ecuación de Garner y Suckling 𝑆ℎ = 2 + 0,95𝑅𝑒 0,5 𝑆𝑐 1/3

100 < 𝑅𝑒 < 700

1200 < 𝑆𝑐 < 1525

[9]

Para la transferencia en gases y números de Reynolds moderados se puede emplear la correlación de Frössling, 𝑆ℎ = 2 + 0,552𝑅𝑒 0,5 𝑆𝑐 1/3

2 < 𝑅𝑒 < 800

0,6 < 𝑆𝑐 < 2,7

[10]

Posteriormente Steinberger y Treybal modificaron ligeramente la ecuación de Frössling para ampliar el rango de números de Reynolds, 𝑆ℎ = 2 + 0,552𝑅𝑒 0,53 𝑆𝑐 1/3

1.500 < 𝑅𝑒 < 12.000

0,6 < 𝑆𝑐 < 1,85

Para mayores números de Reynolds se puede emplear la ecuación de analogía, 𝑗𝐷 = 𝑗𝐻 = 0,37𝑅𝑒 −0,4

20 ≤ 𝑅𝑒 ≤ 100.000

En estas correlaciones la longitud característica es, obviamente, el diámetro de la esfera y la velocidad del fluido la que existe en un punto alejado de la superficie de la esfera V∞.

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Ejemplo 1. Una gota de agua inicialmente a 30ºC se deja caer en el seno de aire estacionario a 30ºC, 1 bar y un 30% de humedad relativa. Después de recorrer una cierta distancia la gota tiene un diámetro de 1 mm, una velocidad de 4 m/s y una temperatura de 20ºC. Se pide: a) Explicar que le ocurre a la gota y dibujar los perfiles de temperatura y fracción molar de vapor de agua en el gas en dirección radial b) Calcular la velocidad de vaporización de la gota en ese momento en g/h. c) Determinar si la gota seguirá enfriándose o no. Datos: -

Densidad del aire a 25ºC: ρ = 1,16 kg/m3 Viscosidad del aire a 25ºC: μ = 1,85·10-5 kg/m s Conductividad térmica del aire a 25ºC: k = 0,0256 W/mK Difusividad del vapor en aire a 25ºC: DAm = 0,249 cm2/s Presión de vapor del agua a 20 y a 30ºC: 0,023 y 0,042 bar respectivamente Calor latente de vaporización del agua a 20ºC: λ = 2453 kJ/kg Calor específico del aire: cP = 1,03 kJ/kg K

Solución: a) Inicialmente la gota está a la misma temperatura que el aire y no intercambia calor con él. Sin embargo como el aire no está saturado de vapor de agua xA0-xA es mayor que cero y desde el primer momento la gota comienza a vaporizarse con lo que se enfría ya que el calor latente de vaporización se obtiene de calor sensible de la propia gota. Así pues, en su caída la gota disminuye de tamaño y se enfría. Eventualmente llega un momento en que el calor que recibe la gota por convección es igual al que requiere para vaporizarse y la temperatura alcanza un valor constante que es la temperatura húmeda del gas. No obstante, a partir de ese momento, la gota continuaría vaporizándose y terminaría por desparecer. b) La velocidad de vaporización es el flujo NA0 por el área de la superficie de la esfera. Asumiendo que la contribución del término convectivo inducido es despreciable NA0 es, 𝑁𝐴0 = 𝑘𝐶 𝑐(𝑥𝐴0 − 𝑥𝐴∞ ) La fracción molar en la interfase es la de equilibrio con el agua líquida a T0 = 20ºC 𝑥𝐴0 =

𝑝𝐴𝑠 (𝑇0 ) = 0,023 𝑝

La fracción molar en un punto alejado donde la humedad relativa es del 30% es la correspondiente a una presión parcial de vapor de agua que es un 30% de la presión de saturación a T∞ = 30ºC 𝑥𝐴∞

0,3𝑝𝐴𝑠 (𝑇∞ ) = = 0,013 𝑝 11

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La concentración molar c en el aire se puede estimar bien mediante la ecuación de un gas ideal asumiendo una temperatura igual a la de película, esto es, a Tf = (T0 + T∞)/2=25ºC 𝑐=

𝑝 𝑅(𝑇𝑓 + 273,16)

= 0,041 𝑘𝑚𝑜𝑙/𝑚3

Para emplear una correlación de transferencia de masa se requiere calcular previamente los números de Re y Sc y comprobar que están dentro de los rangos de validez. Las propiedades del aire húmedo que aparecen involucradas en la correlación se estimarán a la temperatura media de la película. 𝑅𝑒 =

1,16 · 4 · 0,001 = 251,3 1,85 · 10−5

𝑆𝑐 =

1,85 · 10−5 = 0,64 1,16 · 2,49 · 10−5

Aplicando la correlación de Frössling resulta 𝑆ℎ = 2 + 0,552 · 252,30,5 0,641/3 = 9,54 El coeficiente de transferencia de masa es entonces 𝑘𝐶 =

𝑆ℎ𝐷𝐴𝑚 = 0,24 𝑚/𝑠 𝑑

El flujo de vaporización es 𝑁𝐴0 = 𝑘𝐶 (𝑥𝐴0 − 𝑥𝐴∞ ) = 2,53 · 10−3 𝑘𝑚𝑜𝑙/𝑠 La velocidad de vaporización de la gota es entones 𝑊𝐴0 = (𝜋𝑑 2 )𝑘𝐶 (𝑥𝐴0 − 𝑥𝐴∞ ) = 7,95 · 10−9 𝑘𝑚𝑜𝑙/𝑠 Expresando este resultado en g/h resulta una velocidad de vaporización de 0,52 g/h. c) Para determinar si la gota se seguirá enfriando o no es necesario estimar el calor que se requiere para vaporizar la gota a esa velocidad y compararlo con el calor que recibe la gota por convección desde el aire a 30ºC. El calor que requiere la gota es 𝑞𝑣𝑎𝑝 = 𝑀𝐴 𝑁𝐴0 𝜆 = 18 · 2,53 · 10−3 · 2453 = 111,8 𝑘𝐽/𝑚2 𝑠 El calor que recibe la gota por convección es h (T∞-T0). Para estimar h se empleará la ecuación de analogía de Chilton. El factor jD es 𝑗𝐷 =

𝑘𝐶 2/3 0,24 𝑆𝑐 = 0,642/3 = 0,044 𝑉∞ 4

El número de Prandtl es

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𝑃𝑟 =

1,85 · 10−5 · 1,03 = 0,74 0,0256 · 10−3

Por la ecuación de analogía, jH = jD . De la definición de jH se tiene ℎ = 𝑉∞ 𝜌𝑐𝑝 𝑗𝐻 𝑃𝑟 −2/3 = 0,26 𝑘𝐽/𝑚2 𝑠𝐾 El flujo de calor que recibe la gota al estar el aire a mayor temperatura es 𝑞𝑐𝑜𝑛 = 0,26(30 − 20) = 2,56 𝑘𝐽/𝑚2 𝑠𝐾 Como qcon < qvap la gota seguirá enfriándose, no ha alcanzado aún la temperatura húmeda del aire.

Ejemplo 2 El termómetro húmedo es un instrumento que se emplea para medir la humedad del aire. La temperatura que marca un termómetro, cuyo bulbo está rodeado de una gasa permanentemente humedecida con agua, es la temperatura húmeda del aire en contacto con aquel. La humedad del aire se puede deducir a partir de esa temperatura húmeda. Se pide: a) Demostrar que la "ecuación" del termómetro húmedo es: (𝑥𝐴0 − 𝑥𝐴 ) ℎ = (𝑇 − 𝑇0 ) 𝑘𝑥 𝜆 donde:

 = calor latente molar de vaporización del agua xA0 = humedad de equilibrio (fracción molar) con agua líquida a la temperatura T0 (temperatura húmeda) xA = humedad del aire (fracción molar) T = temperatura (seca) del aire b) Estimar el valor de h/kx sabiendo que para el sistema aire-agua a temperatura ambiente Pr = 0,74 Sc = 0,64 Calor específico del aire = 1,03 kJ/kg K

Peso molecular del aire = 29 Calor latente del agua = 2453 kK/kg

Solución: a) Este ejemplo está muy relacionado con el anterior ya que la temperatura húmeda es la temperatura de régimen permanente que adquiere el agua que humedece el bulbo termométrico cuando se iguala el calor que por convección llega desde el gas con el absorbido para vaporizar el agua. La gasa absorbe 13

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continuamente agua líquida y pierde continuamente agua por vaporización. Igualando el calor que llega a la interfase que está a la temperatura Tw con el calor requerido para vaporizar resulta ℎ(𝑇∞ − 𝑇𝑤 ) = 𝑘𝑥 (𝑥𝐴𝑤 − 𝑥𝐴∞ )𝜆 donde λ es el calor molar latente de vaporización. Reordenando se llega a la ecuación del enunciado. b) Aplicando la analogía de Chilton-Colburn, jH = jD y teniendo en cuenta que kx = c kC resulta, 𝜌𝑐𝑝 𝑆𝑐 2/3 ℎ = ( ) 𝑘𝑥 𝜆 𝑐𝜆 𝑃𝑟 Ahora bien, /c = M, es el peso molecular del aire húmedo que se puede aproximar en este caso sin mucho error por el de aire seco, M = 29. Por otro lado, el calor molar de vaporización del agua es 2453 (kcal/kg)·18 (kg/kmol) = 44154 kJ/kmol. Sustituyendo valores en la expresión anterior se obtiene, ℎ = 6,0 · 10−4 𝐾 −1 𝑘𝑥 𝜆

4.4. Factores j para flujo perpendicular a cilindros En este caso, la analogía entre los tres fenómenos tampoco es completa (jD = jH  f /2). Una correlación muy utilizada para flujo externo perpendicular a un cilindro infinito es, jD = 0,281 Re -0,4

400 < Re < 25.000

0,6 < Sc < 2,6

En esta correlación la longitud característica es el diámetro del cilindro y la velocidad del fluido la que existe en un punto alejado de la superficie V∞.

4.5. Factores j para lechos fijos y fluidizados Los lechos fijos y fluidizados de partículas a través de los cuales se hace pasar un fluido, se utilizan en numerosas equipos industriales, tales como reactores catalíticos, secaderos, recuperadores de calor y adsorbedores. Para lechos fijos de esferas, atravesadas por líquidos, Wilson y Geankoplis propusieron, 𝑗𝐷 =

1,09 𝜀 𝑅𝑒 2/3

𝑅𝑒 =

𝑑𝐺 𝜇

para 0,0016 < Re < 55

165 < Sc < 70.600

0,35 <  < 0,75

donde  es la porosidad del lecho, d el diámetro de las esferas que lo componen y G=ρv el flujo superficial de líquido, esto es, el caudal másico dividido por la sección transversal del lecho. 14

Tema 3. Transferencia convectiva de masa

Para la transferencia de masa y calor entre un gas y un lecho de esferas, Gupta y Thodos recomiendan, 𝑗𝐷 = 𝑗𝐻 =

2,06 𝜀 𝑅𝑒 0,575

95 ≤ 𝑅𝑒 ≤ 2453

[11]

Para transferencia de masa en lechos fluidizados de esferas con una corriente líquida o gas, Gupta y Thodos obtuvieron la ecuación, 𝜀𝑗𝐷 = 0,01 +

0,863 − 0,483

1 ≤ 𝑅𝑒 ≤ 2140

𝑅𝑒 0,58

[12]

Ejemplo 3 Un lecho de partículas esféricas de ácido benzoico es atravesado por una corriente de agua. El ácido benzoico se disuelve en el agua de forma que ésta sale con una cierta concentración ácido benzoico. Se pide calcular la altura de lecho que se requiere para que el agua salga con una concentración igual al 90% de la de saturación. Datos: -

Diámetro del lecho: d = 10 cm Porosidad del lecho: ε = 0,4 Caudal de agua a T = 21ºC: QL = 2,75 l/s Diámetro de las bolas de ácido benzoico: dp = 5 mm Difusividad del ácido benzoico en agua a 21ºC: DAm = 0,00077 mm2/s Viscosidad del agua a 21ºC: μ = 0,001 kg/m s

Solución: El flujo medio de disolución a lo largo del lecho es 𝑁𝐴0 = 𝑘𝑐 (𝑐𝐴0 − 𝑐𝐴 )𝑚𝑙 Donde cA0 es la solubilidad del benzoico en agua que no se conoce. La concentración de ácido disuelto a la entrada es nula (cA1=0) y a la salida es cA2 = 0,9 cA0. Sustituyendo estos valores en la expresión de la fuerza impulsora media logarítmica resulta (𝑐𝐴0 − 𝑐𝐴 )𝑚𝑙 =

0,9𝑐𝐴0 = 0,391𝑐𝐴0 𝑙𝑛(1/(1 − 0,9))

La velocidad superficial de circulación del agua a través del lecho es 𝑣=

𝑄𝐿 2,75 · 10−3 = = 0,35 𝑚/𝑠 𝜋𝑑 2 /4 3,14 · 0,12 /4

El número de Reynolds de partícula es 15

Tema 3. Transferencia convectiva de masa

𝑅𝑒𝑝 =

𝜌𝑣𝑑𝑝 1000 · 0,35 · 0,005 = = 1751 𝜇 0,001

Sustituyendo valores en la correlación de Gupta y Thodos se obtiene jD = 0,054. El número de Schmidt es 𝑆𝑐 =

𝜇 0,01 = = 1299 𝜌𝐷𝐴𝑚 1000 · 7,7 · 10−10

El coeficiente de transferencia de masa es entonces 𝑘𝐶 = 𝑗𝐷 𝑣𝑆𝑐 −2/3 = 1,58 · 10−4 𝑚/𝑠

El área de interfase (superficie de las esferas) por unidad de volumen de lecho es 𝑎=

6(1 − 𝜀 ) = 720 𝑚2 /𝑚3 𝑑𝑝

Por otro lado, igualando el flujo de ácido a la salida con el que se ha disuelto a lo largo del tubo resulta 0,9𝑐𝐴0 𝑄𝐿 = 𝑁𝐴0 𝑎(𝜋𝑑 2 /4)𝑍 En esta ecuación la única incógnita es la altura de lecho Z ya que los términos de cA0 en un lado y otro de la ecuación se cancelan. Sustituyendo resulta 2,75 · 10−3 · 0,9𝑐𝐴0

𝑍= 1,58 ·

10−4

0,12 · 0,391𝑐𝐴0 · 720 · (3,14 · 4 )

= 7,9 𝑚

4.6. Correlaciones para torres empacadas Las torres de relleno o empacadas (“packed columns”) son equipos cilíndricos verticales que contienen un relleno aleatorio de partículas con una forma específica (anillos Rashing, anillos Pall, monturas Intalox y otros) o un relleno estructurado para crear una elevada area de interfase entre una corriente líquida y una corriente de gas que intercambian materia. Este tipo de torres se emplean en operaciones de absorción, stripping y destilación. Se han publicado decenas de correlaciones empíricas para calcular los coeficientes tanto para la fase líquida como para la fase gas y para los diferentes tipos de relleno. Incluso algunas de las publicadas son específicas de la operación que se lleva a cabo en la columna empacada (destilación, absorción). Muchas de estas correlaciones no son fáciles de usar ya que requieren datos de numerosas propiedades tanto del material de relleno como de los fluidos en contacto. En este apartado se incluyen dos correlaciones para la fase líquida y otras dos para la fase gas que son muy fáciles de usar.

16

Tema 3. Transferencia convectiva de masa

4.6.1. Correlaciones para la fase líquida De entre las muchas propuestas la más usada probablemente es 𝑆ℎ = 25𝑅𝑒 0,45 𝑆𝑐 0,5 En esta correlación las propiedades involucradas (μ, ρ, DAm) son obviamente las del líquido, d es el tamaño nominal del cuerpo de relleno y la velocidad V que aparece en el número de Reynolds es la velocidad superficial. Otra que probablemente es mejor es 𝑘(

𝜌 1/3 𝑉𝜌 0,67 −0,5 (𝑎𝑑 )0,4 ) = 0,0051 ( ) 𝑆𝑐 𝜇𝑔 𝑎𝜇

[13]

donde a (m-1) es el área de superficie del relleno por unidad de volumen y g es la constante de gravitación (9,8 m/s2).

4.6.2. Correlaciones para la fase gas Para la fase gas, una correlación simple muy usada es 𝑆ℎ = 1,2(1 − 𝜀 )0,36 𝑅𝑒 0,64 𝑆𝑐 1/3 en la que, obviamente las propiedades involucradas son las de la fase gas, d vuelve a ser el tamaño nominal del relleno y ε es la porosidad del lecho. Otra correlación que, probablemente, es mejor es la siguiente 𝑘𝐶 𝑉𝜌 0,70 1/3 = 3,6 ( ) 𝑆𝑐 (𝑎𝑑 )−2,0 𝑎𝐷𝐴𝑚 𝑎𝜇

[14]

No obstante, si se conociesen valores de los coeficientes volumétricos de transferencia de masa para el gas kCGa y para el líquido kCLa siendo a la superficie específica del relleno (100-1000 m2/m3), estos valores podrían usarse para estimar los coeficientes en otras condiciones de operación o incluso otras especies que se transfieran usando las siguientes relaciones, 𝑘𝐶𝐺 𝑎 ∝ 𝐷𝐺0,67 (𝐺/𝜌𝐺 )0,8 (𝐿/𝜌𝐿 )0,5 𝑘𝐶𝐿 𝑎 ∝ 𝐷𝐿0,5 (𝐿/𝜌𝐿 )0,75 donde L (kg/m2s) y G (kg/m2s) son los caudales másicos de líquido y gas por m2 de sección transversal de torre, DL y DG (m2/s) son las difusividades del componente que se transfiere a través de la fase líquida y de la fase gas respectivamente y ρL y ρG las densidades de la fase líquida y de la fase gas.

17

Tema 3. Transferencia convectiva de masa

4. Teoría de la película de Lewis y Withman En este apartado se trata el modelo de la película que es el modelo más simple de transferencia convectiva de masa que ayuda a interpretar el significado físico de los coeficientes de transporte. Además, este modelo permite tratar de forma sencilla casos en los que el componente que se transfiere no solo se difunde sino que además reacciona con algún otro componente del fluido. Sin embargo, estos casos de difusión con reacción química simultánea quedan fuera del alcance de este texto aunque hay operaciones de separación (absorción con reacción química) en las que se provoca que haya reacción química para mejorar la separación. La teoría o modelo de la película se basa en considerar que toda la resistencia al transporte convectivo de masa entre una interfase y un fluido que circula en régimen turbulento, está concentrada en una película estacionaria de espesor  adyacente a la interfase (Figura 4). Consecuentemente, toda la caída de concentración o fuerza impulsora, se establece únicamente a través de la película; fuera de ella el gradiente concentración es nulo ya que al no haber resistencia tampoco se requiere fuerza impulsora. Se trata de una película ficticia, toda vez que este modelo no se corresponde con la realidad física en la que existe una capa límite en la que el fluido se mueve respecto de la interfase. El componente que se transfiere entre una interfase y el seno de un fluido turbulento deberá atravesar esa capa límite compuesta de una subcapa laminar que se mueve lenta y paralelamente a la interfase, una región de transición laminar-turbulenta y una región turbulenta. En la primera el único mecanismo de transporte en dirección perpendicular a la interfase es la difusión molecular mientras que en las otras dos interviene además la difusión turbulenta, un mecanismo mucho más efectivo como ya se sabe. La mayor parte de la resistencia se concentra, consecuentemente, en la subcapa laminar. El espesor de la película ficticia del modelo de la película ha de ser algo mayor que el de la subcapa laminar tal como se muestra en la Figura 4, ya que la resistencia que opone a la transferencia de masa por difusión molecular en esa película debe ser igual a la que oponen las tres regiones citadas que realmente existen. Es necesario insistir en que la existencia de las subcapas laminar y turbulenta están avaladas por medidas experimentales precisas, aunque sus espesores varíen de una situación a otra y no sea siempre fácil distinguir donde acaba una y comienza otra, o lo que es lo mismo, cuanto ocupa la región de transición. Esto depende de las condiciones de operación, especialmente el régimen de circulación, las propiedades del fluido y la geometría del sistema. Asumiendo que la transferencia a través de la película estacionaria sólo tiene lugar en la dirección z perpendicular a la interfase, que no hay reacción química y que las propiedades físicas y de transporte son constantes, la ecuación de conservación de A en régimen permanente es, 𝑁𝐴0 = 𝑁𝐴𝑧 = 𝑐𝑡𝑒. Como en la película de espesor  la transferencia de masa tiene lugar únicamente por difusión molecular se puede usar la ley de Fick. Asumiendo despreciable la contribución convectiva inducida, el flujo en la interfase es 𝑁𝐴0 = 𝑁𝐴𝑧 = −𝑐𝐷𝐴𝑚

18

𝑑𝑥𝐴 𝑑𝑧

Tema 3. Transferencia convectiva de masa

Subcapa laminar

Región de transición

Capa límite turbulenta

cA0 o xA0

NA0 cA o xA

Película z=

z=0

Figura 4. Modelo de la película

Como el flujo es constante, integrando esta ecuación diferencial con las condiciones de contorno, z=0 z=

xA = xA0 xA = xA

se obtiene una expresión para el flujo de A en la interfase, 𝑁𝐴0 =

𝑐𝐷𝐴𝑚 (𝑥𝐴0 − 𝑥𝐴 ) 𝛿

y el coeficiente de transferencia de masa será, 𝑘𝑥 =

𝑐𝐷𝐴𝑚 𝛿

También se puede escribir kC=DAm/δ .De acuerdo con esta teoría, el coeficiente de transferencia es proporcional a la difusividad molecular. Por otro lado, cuanto mayor sea la velocidad del fluido respecto de la interfase menor es la resistencia que opone éste a la transferencia convectiva de A y, por tanto, menor debe ser el espesor de esa película ficticia. Obsérvese que el modelo de la película no es predictivo ya que el espesor de la película sólo podría determinarse, caso que se requiera, calculando previamente el coeficiente de transferencia mediante correlaciones empíricas o medidas experimentales.

5. Transferencia convectiva de masa entre dos fases fluidas En los apartados precedentes se ha estudiado la transferencia convectiva de masa entre una interfase y el seno de un fluido. En este apartado se estudia la transferencia de masa entre dos fases fluidas separadas por una interfase. Este es el tipo de transferencia de masa que se da en operaciones de separación tales como la absorción, la destilación y la extracción con disolventes. 19

Tema 3. Transferencia convectiva de masa

La velocidad de transferencia de masa entre dos fases fluidas se expresará en términos de unos nuevos coeficientes llamados coeficientes globales de transferencia de masa. Estos coeficientes se interpretarán a la luz de la teoría de la doble película.

5.1. Teoría o modelo de la doble película (Figura 5) De acuerdo con este modelo se asume que a ambos lados de la interfase existen sendas películas de fluido estacionario o en régimen laminar en donde se concentra toda la resistencia a la transferencia de masa entre las dos fases. Consecuentemente, se asume que no hay resistencia a través de la propia interfase lo que significa, por otro lado, que en la interfase se dan condiciones de equilibrio de fases. Asimismo, más allá de las dos películas, los gradientes de concentración en los senos de ambas fases son nulos. Aunque el modelo que a continuación se desarrolla se refiere a la transferencia de masa entre un gas y un líquido también es aplicable a la transferencia entre dos líquidos inmiscibles (extracción con disolventes). Considérese pues la transferencia de masa de un componente A entre una fase gas G, donde la fracción molar del componente A es y y una fase líquida L donde dicha fracción molar se expresa como x. Nótese que, de aquí en adelante, para simplificar la notación no se incluirá el subíndice A en las expresiones de fracción molar. La condición de equilibrio en la interfase se obtiene a través de la ley de Henry, 𝑦0 = 𝐻𝐴 (𝑇0 )𝑥0

[15]

donde HA(T0) es la constante de Henry para la solubilidad de A evaluada a la temperatura de la interfase que suele ser muy parecida a la temperatura media de la fase líquida ya que la conductividad térmica de un líquido es muy superior a la de un gas. Nótese que el subíndice 0 hace referencia a la interfase. La figura 5 muestra cómo han de ser cualitativamente los perfíles de fracción molar en ambas películas en los dos casos posibles: transferencia desde la fase gas hacia la líquida (absorción) y transferencia desde la fase líquida a la fase gas (desorción o “stripping”). Una extracción líquidolíquido puede asimilarse a una absorción en la que G hace el papel de la solución a tratar o fase refinado y L el papel del disolvente de extracción o fase extracto.

Figura 5. Transferencia interfásica de masa

20

Tema 3. Transferencia convectiva de masa

La ecuación de transferencia a través de la película de gas será entonces, 𝐺 𝑁𝐴0 = 𝑘𝑦 (𝑦0 − 𝑦)

donde y0 es la fracción molar de A en la interfase. En el caso de una absorción NA0G tendrá signo negativo, ya que la transferencia se produce desde el seno del fluido gas hacia la interfase. Reordenando se puede escribir, 1 𝐺 𝑁 = (𝑦0 − 𝑦) 𝑘𝑦 𝐴0

[16]

De igual forma, para la película líquida podrá escribirse, 𝐿 𝑁𝐴0 = 𝑘𝑥 (𝑥0 − 𝑥 )

y,

1 𝐿 𝑁 = (𝑥 0 − 𝑦 ) 𝑘𝑥 𝐴0

[17]

donde x0 es la fracción molar de A en la interfase pero del lado de la fase líquida. En el caso de una absorción NA0L tendrá signo positivo, ya que la transferencia se produce desde la interfase hacia el seno del fluido. En la interfase no hay ni acumulación de A ni destrucción o generación de este componente (no hay reacción química). En consecuencia, es claro que se deberá satisfacer, 𝐺 𝐿 𝑁𝐴0 = −𝑁𝐴0

Teniendo en cuenta este resultado, al dividir miembro a miembro las ecuaciones [16] y [17] se obtiene, 𝑦0 − 𝑦 𝑘𝑥 =− 𝑥0 − 𝑥 𝑘𝑦 cuya interpretación gráfica se muestra en la Figura 6.

[18]

y Pendiente -kx/ky

y0

Pendiente HA

y*

x

x0

x*

Figura 6. Fuerzas impulsoras en transferencia interfásica de masa 21

Tema 3. Transferencia convectiva de masa

Si se satisface la ley de Henry en todo el intervalo de fracciones molares involucrado, la curva de equilibrio será una recta de pendiente HA en el plano y-x. Conocidas las fracciones molares medias en las dos fases en contacto x e y, y los coeficientes de transferencia de masa, se pueden calcular las fracciones molares en la interfase haciendo uso de las ecuaciones [15] y [18].

5.2. Coeficientes globales de transferencia de masa Los coeficientes que se han manejado hasta ahora son coeficientes individuales, ya que se refieren únicamente al transporte de masa entre una interfase y el seno de un fluido. Con estos coeficientes, la evaluación del flujo de masa requiere conocer o calcular previamente la fracción molar del componente en la interfase. Por otro lado, y por la misma razón, la evaluación experimental de estos coeficientes obliga a conocer o a medir dicha fracción molar interfacial. Para evitar tener que operar con concentraciones en la interfase se emplean los coeficientes globales de transferencia de masa. Las ecuaciones que definen estos coeficientes globales son, 1 𝐺 𝑁 = (𝑦 ∗ − 𝑦 ) 𝐾𝑦 𝐴0

[19]

1 𝐿 𝑁 = (𝑥 ∗ − 𝑥 ) 𝐾𝑥 𝐴0

[20]

donde, y* = x* = Ky = Kx =

fracción molar de A de equilibrio con una fracción molar de A en la fase líquida x, esto es, y*=HAx (ver Figura 6). fracción molar de A de equilibrio con una fracción molar de A en fase gas y, esto es, x* =y/HA (ver Figura 6). coeficiente global de transferencia referido a la fase gas. coeficiente global de transferencia referido a la fase líquida.

La figura 6 muestra también la interpretación gráfica de las variables y* y x*. La fuerza impulsora global referida a la fase gas (y* y) puede expresarse en la forma siguiente, 𝑦 ∗ − 𝑦 = (𝑦0 − 𝑦) + (𝑦 ∗ − 𝑦0 ) Ahora bien, el segundo sumando se puede escribir en términos de la fuerza impulsora individual para la fase líquida, 𝑦 ∗ − 𝑦0 = 𝐻𝐴 (𝑥 − 𝑥0 ) Consiguientemente, 𝑦 ∗ − 𝑦 = (𝑦0 − 𝑦) + 𝐻𝐴 (𝑥 − 𝑥0 )

22

[21]

Tema 3. Transferencia convectiva de masa

Haciendo uso de las ecuaciones [16], [17] y [19], se pueden eliminar las fuerzas impulsoras en la ecuación [21], 1 𝐺 1 𝐺 𝐻𝐴 𝐿 𝑁𝐴0 = 𝑁 − 𝑁 𝐾𝑦 𝑘𝑦 𝐴0 𝑘𝑥 𝐴0 Ahora bien, como NA0G =  NA0L, simplificando se tiene, 1 1 𝐻𝐴 = + 𝐾𝑦 𝑘𝑦 𝑘𝑥

[22]

Si en lugar de realizar el análisis en relación con la fase gas se hubiera hecho para la fase líquida, el resultado alcanzado habría sido, 1 1 1 = + 𝐾𝑥 𝐻𝐴 𝑘𝑦 𝑘𝑥

[23]

y es fácil deducir que 𝐾𝑥 = 𝐾𝑦 𝐻𝐴 . 5.3. Concepto de etapa o resistencia controlante De acuerdo con las expresiones anteriores ([19] y [22]), el flujo de A medido en la interfase es, 𝐺 𝑁𝐴0 = 𝐾𝑦 (𝑦 ∗ − 𝑦) =

𝑦∗ − 𝑦 1 𝐻𝐴 𝑘𝑦 + 𝑘𝑥

[24]

Obsérvese que el flujo de A es igual a la fuerza impulsora global dividida por la resistencia global, suma de la resistencia que opone la película de gas (1/ky) y de la que opone la película de líquido (HA/kx). Si el gas es muy soluble en la fase líquida (HA (T0)