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Matemáticas

2. Operaciones con números naturales Para empezar ¿Sabes qué fue la civilización maya? ¿Había muchos jefes en esa civilización? ¿Cómo era su dieta? ¿Necesitaban muchas calorías o no? ¿Y qué tiene todo esto que ver con los números naturales? Pues bien, con todo lo que vais a aprender en esta unidad, seréis capaces de relacionar a los mayas con el cálculo de kilocalorías y con el significado de la palabra jerarquía.

¿Sigues pensando en el gúgol? En esta nueva unidad veremos cómo se le pueden aplicar diferentes técnicas matemáticas para hacerlo más pequeño, más grande, presentarlo de maneras distintas, etc.

1— —

1. La suma y la resta La suma Ya sabemos qué son los números naturales y para qué sirven. Ahora vamos a entrenarnos en las operaciones que se pueden realizar con ellos. Empecemos con la suma. Sumar es juntar, unir, reunir, agregar, añadir. Los instrumentos que se necesitan para hacer una suma son los sumandos y el símbolo de la suma: +.

2— —

Al sumar debemos tener la precaución de sumar unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas, unidades de millar con unidades de millar y así sucesivamente. También, cuando sumamos números correspondientes a una magnitud, hay que recordar que el resultado se tiene que expresar como otro número de esa magnitud. Por ejemplo: •

Si sumamos 15 yogures + 20 yogures, el resultado es 35 yogures.

•

Si sumamos 6 metros + 5 metros, el resultado es 11 metros.

•

Si sumamos 11 euros + 22 euros, el resultado es 33 euros.

Actividades 1. A gratinar. Poneos por parejas y coged un reloj, un móvil o un cronómetro. Se trata de saber quién de los dos calcula más rápido haciendo las operaciones igual que en los ejemplos: PARTICIPANTE 1

Ejemplo:

a. 615 + 100 =

526 + 100 = 626

b. 715 + 100 = c. 815 + 100 =

TIEMPO:

d. 915 + 100 = e. 1015 + 100 = f.

1115 + 100 =

Ejemplo:

a. 470 + 200 =

126 + 200 = 326

b. 570 + 200 =

TIEMPO:

c. 670 + 200 = d. 770 + 200 = e. 870 + 200 = f.

970 + 200 =

Ejemplo:

a. 250 + 300 =

326 + 300 = 626

b. 350 + 300 =

TIEMPO:

c. 450 + 300 =

3— —

d. 550 + 300 = e. 650 + 300 = f.

750 + 300 =

Ejemplo:

a. 323 + 9 =

136 + 11 = 136 + 10 + 1 = 146 + 1 =147

b. 333 + 9 =

TIEMPO:

c. 343 + 9 = d. 353 + 9 = e. 363 + 9 = f.

373 + 9 =

Ejemplo:

a. 531 + 11 =

124 + 11 = 124 + 10 +1 = 134 + 1 =135

b. 541 + 11 =

TIEMPO:

c. 551 + 11 = d. 561 + 11 = e. 571 + 11 = f.

581 + 11 =

PARTICIPANTE 2

Ejemplo:

a. 726 + 100 =

526 + 100 = 626

b. 826 + 100 = c. 926 + 100 = d. 1026 + 100 =

TIEMPO:

e. 1126 + 100 = f.

1226 + 100 =

Ejemplo:

a. 169 + 200 =

126 + 200 = 326

b. 269 + 200 =

TIEMPO:

c. 369 + 200 = d. 469 + 200 = e. 569 + 200 = f.

669 + 200 =

Ejemplo:

a. 781 + 300 =

326 + 300 = 626

b. 881 + 300 =

TIEMPO:

c. 981 + 300 = d. 1081 + 300 =

4— —

e. 1181 + 300 = f.

1281 + 300 =

Ejemplo:

a. 445 + 9 =

136 + 11 = 136 + 10 + 1 = 146 + 1 =147

b. 455 + 9 =

TIEMPO:

c. 465 + 9 = d. 475 + 9 = e. 485 + 9 = f.

495 + 9 =

Ejemplo:

a. 531 + 11 =

124 + 11 = 124 + 10 +1 = 134 + 1 =135

b. 541 + 11 = c. 551 + 11 = d. 561 + 11 = e. 571 + 11 = f.

581 + 11 =

2. Resolved estas operaciones en vuestro cuaderno. a. 3485 + 2637 = b. 3792 + 2896 = c. 4709 + 3797 = d. 53 628 + 985 770 = e. 591 006 + 61 446 = f.

763 558 + 379 886 =

TIEMPO:

Truco de microondas

- Si con una regla mides un segmento de 76 centímetros y después añades 3 centímetros más, entonces, tienes que moverte 3 centímetros hasta llegar al 79. - Si ahora mides 3 centímetros y luego añades 76 centímetros más, también llegas al 79. Pero, ¿qué pensáis que resulta más sencillo? ¿Qué creéis que es más fácil, sumar 84 + 5 o 5 + 84? Cuando haya que sumar un número grande más otro pequeño, empieza por el grande.

3. Trabajad esta actividad en grupos de dos y discutid si las siguientes operaciones son correctas o no. ¿Sabéis por qué son incorrectas? ¿Hay una única razón o lo sabéis por varios motivos? a. 3485 + 37 = 3523 b. 3792 + 96 = 3887 c. 4709 + 97 = 4805

Truco de microondas

- Vamos a aprender a sumar, por ejemplo, 14 + 12 usando un nuevo truco. 14 = 10 + 4, ¿verdad?, y 12 = 10 + 2, ¿sí? - Entonces, 14 + 12 = 10 + 4 + 10 + 2. ¿Vamos bien? Pero esa suma la podemos hacer así: 14 + 12 = 10 + 10 + 4 + 2 = 20 + 6 = 26 - Entonces, a veces conviene separar los números grandes en decenas y unidades. Y, después, sumar las decenas y luego sumar las unidades.

4. En una finca recogen 22 945 kg de nueces, 17 844 kg de almendras y 6799 kg de avellanas. ¿Cuántos kilos de frutos secos recogen aproximadamente? ¿Cuánto te da si sumas primero y después aproximas? ¿Y si aproximas primero y después sumas? En grupos de 4, discutid sobre las dos formas de resolver la actividad y sus resultados. a. 45 000 kg b. 47 600 kg c. 48 000 kg d. 50 000 kg

5— —

Truco de microondas

- ¿Qué es más fácil? ¿Sumar 9 + 7 o sumar 10 + 6? ¿Cuánto dan las dos sumas? - ¿Y qué es más sencillo? ¿Sumar 8 + 5 o sumar 10 + 3? ¿Cuánto dan ambas sumas? - ¿Qué prefieres sumar, 12 + 6 o 10 + 8? ¿Y qué escogerías sumar, 11 + 5 o 10 + 6? Si en una suma ves que un número está cerca de diez, puedes romper el otro para llegar a diez.

6— —

6. Poneos en grupos de 3 y discutid diferentes maneras de resolver el siguiente problema: Pablo ha comprado una vaca frisona, un arcón congelador y una yogurtera. En total ha gastado 1367 €. Si la frisona le ha costado 997 € y el arcón 304 €, ¿cuánto le ha costado la yogurtera? 7. La furgoneta de reparto del supermercado hoy ha repartido 654 yogures. Ayer repartió 176 yogures y anteayer, 96 menos que hoy. ¿Cuántos yogures ha repartido entre los tres días? 8. Una familia gasta 155 € al mes en fruta, 235 € al mes en pescado y 538 € al mes en carne: a. ¿Cuánto gasta en total al mes en la compra? b. Si el padre y la madre ganan 1200 € cada uno, ¿cuáles son los ingresos mensuales? c. ¿Cuánto dinero les queda para otros gastos?

Truco de microondas

- ¿Qué es más fácil? ¿Sumar 7 + 9 o sumar 8 + 8? ¿Cuánto dan las dos sumas? - ¿Y qué es más sencillo? ¿Sumar 20 + 20 o sumar 21 + 19? ¿Cuánto dan ambas sumas? Si en una suma dos sumandos son parecidos, busca cómo doblarlos y luego ajustas la suma.

9. Mutchas Kanastas, jugador de baloncesto, en la temporada 2011–2012 anotó 1999 puntos. En la siguiente temporada encestó 706 canastas de dos, 380 tiros libres y 71 triples. Y en la temporada 2013– 2014 consiguió 7 puntos menos que en la temporada anterior. a. ¿Cuántos puntos ha anotado entre las tres temporadas?

b. ¿Cuántos puntos menos anotó Kanastas en la temporada 2013–2014 que en la temporada 2011– 2012?

Las propiedades de la suma En Matemáticas es muy importante saber en qué orden se tienen que hacer las operaciones.

Propiedades de la suma •

Propiedad conmutativa de la suma. El orden en el que se sumen los sumandos no cambia el resultado final: 3 + 6 = 6 + 3 = 9.

•

Propiedad asociativa de la suma. Cuando se suman tres o más números, el resultado es el mismo, no influye la forma en que se agrupan los sumandos. Es decir: 2 + (4 + 6) = (2 + 4) + 6 = (2 + 6) + 4 = 12.

•

Elemento neutro de la suma. Si a cualquier número le sumamos cero, el resultado de la suma es el mismo número: 5 + 0 = 0 + 5 = 5.

7— —

Actividades 1. Calcula e indica qué propiedad de la suma se usa en cada apartado. a. 584 + 5 = 5 + ____ = b. 8325 + 2323 + 334 = 8325 + ( ____ + 334) = c. 3045 + 9 = ____ + 3045 = 2. Relaciona cada operación con la propiedad que se está utilizando en cada caso para calcular: 54 + 35 + 83. Conmutativa ● Asociativa ● Elemento neutro a. 35 + 54 + 83

...

b. (54 + 35) + 83 c. 54 + 0 + 83 + 35 d. 54 + (35 + 83) e. 54 + (83 + 35) + 0

La resta Fields Calculote utiliza muchas veces la resta. Restar es sacar, reducir. Para restar, las herramientas que se necesitan son el minuendo, el sustraendo y el símbolo de la resta: –.

El minuendo es el mayor de los dos ingredientes y es el número que se va a reducir. El sustraendo es el número que resta, es decir, cuánto le vamos a sacar al minuendo. Además, para que la resta salga bien, ocurre lo mismo que con la suma: hay que restar unidades del minuendo menos unidades del sustraendo, decenas del minuendo menos decenas del sustraendo, centenas del minuendo menos centenas del sustraendo, etc. También hay que fijarse en que el minuendo esté encima del sustraendo. Sabemos que lo estamos haciendo bien si el número de arriba es mayor que el de abajo. Cuando en una resta una cifra del minuendo sea menor que la del sustraendo, no nos podemos olvidar de sumarle 1 a la cifra siguiente del sustraendo.

Propiedades de la resta •

Propiedad fundamental de la resta. Si sumamos o restamos un mismo número al minuendo y al sustraendo, el resultado final de la resta no varía: 11 – 7 = 6 – 2 porque 6 = 11 – 5 y 2 = 7 – 5.

La resta no es conmutativa: 6 – 3 ≠ 3 – 6. •

Elemento neutro de la resta. Si a cualquier número le restamos cero, el resultado de la resta es el mismo número: 5 – 0 = 5.

Actividad 1. Recuerda los trucos que sabes de la suma y calcula estas operaciones:

8— —

A. 1345 – (499 + 501) = a. 345 b. 344 c. 343

d. 445

B. (655 – 257) + 202 = a. 610 b. 590 c. 602

d. 600

C. 245 + (245 – 191) = a. 199 b. 299 c. 399

d. 499

D. (245 + 245) – 191 = a. 199 b. 299 c. 399

d. 499

El chef Lambón os reta

En la unidad anterior conocimos el primer paso del método científico que es diseñar un experimento. Lo descubrimos a través del mundo de la cocina, en el cual pensamos qué plato queremos cocinar. Y en matemáticas este primer paso, cuando tenemos una actividad que resolver, es saber qué nos pide el enunciado de la actividad, qué dato debemos obtener. ¡Pero la primera fase aún no ha concluido! En matemáticas, cuando tenemos un problema que resolver, debemos saber qué datos conocemos y cuáles no. Pues a lo largo de esta unidad, tendréis que “ensayar” esta primera etapa. Os reto a que resolváis las cuestiones que os iré planteando.

Actividades 1. Poneos por parejas y coged un reloj, un móvil o un cronómetro. Se trata de saber quién de los dos calcula más rápido haciendo las operaciones igual que en los ejemplos: PARTICIPANTE 1

Ejemplo:

a. 1115 – 100 =

626 – 100 = 526

b. 1015 – 100 = c. 915 – 100 = d. 815 – 100 = e. 715 – 100 = f.

615 – 100 =

TIEMPO:

9— —

Ejemplo:

a. 970 – 200 =

326 – 200 = 126

b. 870 – 200 =

TIEMPO:

c. 770 – 200 = d. 670 – 200 = e. 570 – 200 = f.

470 – 200 =

Ejemplo:

a. 750 – 300 =

626 – 300 = 326

b. 650 – 300 =

TIEMPO:

c. 550 – 300 = d. 450 – 300 = e. 350 – 300 = f.

250 – 300 =

10 — —

Ejemplo:

a. 323 – 9 =

136 + 9 = 136 + 10 - 1 = 126 + 1 = 127

b. 333 – 9 =

TIEMPO:

c. 343 – 9 = d. 353 – 9 = e. 363 – 9 = f.

373 – 9 =

Ejemplo:

a. 531 – 11 =

124 – 11 = 124 – 10 – 1 = 114 – 1 = 113

b. 541 – 11 =

TIEMPO:

c. 551 – 11 = d. 561 – 11 = e. 571 – 11 = f.

581 – 11 =

PARTICIPANTE 2

Ejemplo:

a. 1126 – 100 =

626 – 100 = 526

b. 1026 – 100 = c. 926 – 100 = d. 826 – 100 = e. 726 – 100 = f.

626 – 100 =

TIEMPO:

Ejemplo:

a. 769 – 200 =

326 – 200 = 126

b. 669 – 200 =

TIEMPO:

c. 569 – 200 = d. 469 – 200 = e. 369 – 200 = f.

269 – 200 =

Ejemplo:

a. 1281 – 300 =

626 – 300 = 326

b. 1181 – 300 =

TIEMPO:

c. 1081 – 300 = d. 981 – 300 = e. 881 – 300 = f.

781 – 300 =

11 — —

Ejemplo:

a. 495 – 9 =

136 + 9 = 136 + 10 - 1 = 126 + 1 = 127

b. 485 – 9 =

TIEMPO:

c. 475 – 9 = d. 465 – 9 = e. 455 – 9 = f.

445 – 9 =

Ejemplo:

a. 581 – 11 =

124 – 11 = 124 – 10 – 1 = 114 – 1 = 113

b. 571 – 11 =

TIEMPO:

c. 561 – 11 = d. 551 – 11 = e. 541 – 11 = f.

531 – 11 =

2. Poneos por parejas y discutid si las siguientes operaciones son correctas o no. ¿Sabes por qué son incorrectas? ¿Hay una única razón o lo sabes por varios motivos? a. 3485 – 3523 = 37 b. 4709 – 4805 = 97 3. Haz las siguientes operaciones en tu cuaderno: a. 168 – 123 = b. 123 + 45 = c. 987 – 65 = d. 922 + 65 = •

¿Aparece el resultado del apartado a en el apartado b?

•

¿Aparece el resultado del apartado c en el apartado d?

•

¿Eres capaz de ver alguna relación entre esas operaciones?

Microondas para todos

- Cuando un cocinero quiere saber si le sale bien un plato, lo que hace es probarlo. Hace una prueba. ¿Qué nombre le pondrías a una operación que sirva para saber si una resta que acabas de hacer está bien?

12 — —

¿Crees que esta actividad puede tener dos soluciones? 5. En su duodécimo cumpleaños, Catuxa colocó 12 velas en su tarta. ¿Cuántas velas más colocará en su vigésimo quinto cumpleaños? 6. Sergei tiene 67 rublos y su hermano Sharunas 35 rublos menos. Su padre le da 20 rublos a cada uno. ¿Cuántos rublos tiene ahora cada uno? ¿Cuánto dinero más tiene Sergei que Sharunas antes de recibir los 20 rublos? ¿Y después?

El chef Lambón os reta

¿En qué país crees que viven Sergei y Sharunas? Si los hermanos se fuesen a vivir a París, ¿qué moneda utilizarían?

Comprando. A veces en una tienda te dan muchas monedas en el cambio. ¡Vamos a evitarlo! a. Si lo que compras te cuesta 11 € y pagas con 16 €, ¿cuánto te tienen que devolver? ¿Y si pagaras con 15 €? ¿Cuándo te devuelven menos monedas? b. Si tienes que recargar el móvil con 24 € y quieres que te devuelvan un billete de 10 €, ¿cuánto dinero tendrías que darle al dependiente que te atiende?

2. La multiplicación Multiplicar es sumar una cantidad consigo misma varias veces. Y para hacer una multiplicación se necesitan los factores y el símbolo de la multiplicación: x.

13 — —

Así que, si tenemos un grupo de 3 yogures y le añadimos otro grupo exactamente igual, entonces tendremos 6 yogures. Es decir, 3 x 2 = 6.

Si aumentamos con otro grupo de otros 3 yogures, tendremos 9 yogures. Es decir, 3 x 3 = 9.

Y si a esos 3 grupos les unimos 97 grupos más, tendríamos 100 grupos de 3 yogures, ¿cuántos yogures habría en total?

Tendríamos 300 yogures porque 3 x 100 = 300. Hacer una multiplicación es más rápido que hacer cien sumas. Para usar esta técnica lo único que hay que saber es las tablas de multiplicar.

Actividades 1. Poneos por parejas y coged un reloj, un móvil o un cronómetro. Se trata de saber quién de los dos calcula más rápido haciendo las operaciones igual que en los ejemplos. JUGADOR 1

Ejemplo:

a. 11 x 10 =

26 x 10 = 260

b. 12 x 10 =

TIEMPO:

c. 13 x 10 =

14 —

d. 14 x 10 =

—

e. 15 x 10 = f.

16 x 10 =

Ejemplo:

a. 74 x 100 =

26 x 100 = 2600

b. 75 x 100 =

TIEMPO:

c. 76 x 100 = d. 77 x 100 = e. 78 x 100 = f.

79 x 100 =

Ejemplo:

a. 50 x 1000 =

26 x 1000 = 26 000

b. 60 x 1000 =

TIEMPO:

c. 70 x 1000 = d. 80 x 1000 = e. 90 x 1000 = f.

100 x 1000 =

JUGADOR 2

Ejemplo:

a. 210 x 10 =

26 x 10 = 260

b. 220 x 10 = c. 230 x 10 = d. 240 x 10 = e. 250 x 10 =

TIEMPO:

f.

260 x 10 =

Ejemplo:

a. 0 x 100 =

26 x 100 = 2600

b. 1 x 100 =

TIEMPO:

c. 2 x 100 = d. 3 x 100 = e. 4 x 100 = f.

5 x 100 =

Ejemplo:

a. 55 x 1000 =

26 x 1000 = 26 000

b. 65 x 1000 =

TIEMPO:

c. 75 x 1 000 = d. 85 x 1000 = e. 95 x 1000 = f.

105 x 1000 =

4. Trabajad esta actividad en grupos de dos e inventad un problema en el que uséis los siguientes datos y el resultado sea 354 euros: a. Arde Lucus b. Patrimonio de la Humanidad c. 2 personas d. 3 noches en el Hotel Magnífico de Lugo e. 59 € cada noche Resolved el problema para comprobar que todo está correcto.

Propiedades de la multiplicación Fields Calculote nos va a enseñar algunos trucos para hacer multiplicaciones más fácilmente. Además, también nos explicará cómo combinar el producto con la suma y la resta para que conozcamos más trucos.

15 — —

Propiedades de la multiplicación •

Propiedad conmutativa de la multiplicación. Esta propiedad indica que el orden de los factores no cambia el resultado del producto: 3x6=6x3

•

Propiedad asociativa de la multiplicación. Esta propiedad nos dice que para multiplicar tres o más números, el producto es el mismo sin importar cómo se agrupan los factores: 2 x (4 x 6) = (2 x 4) x 6 = (2 x 6) x 4

•

Elemento neutro de la multiplicación. Si multiplicamos cualquier número por 1, el resultado de la multiplicación es el mismo número: 5x1=5

16 —

Actividades

—

3. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla y une con flechas los resultados iguales. ¿Se parece al ejercicio anterior? 6x7x8=

(9 x 2) x 3 =

8 x (4 x 5) =

9 x (2 x 3) =

8x4x5=

(6 x 7) x 8 =

(8 x 4) x 5 =

6 x (7 x 8) =

9x2x3=

Propiedades de la multiplicación •

Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Para multiplicar un número por una suma, hay que multiplicar el número por el primer sumando y, después, sumarle el producto del número por el segundo sumando.

•

Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la resta. Para multiplicar un número por una resta, hay que multiplicar el número por el minuendo y, después, restarle el producto del número por el sustraendo.

Actividades

2. Resuelve estas operaciones: 3×1+3×8

...

3 × (3 + 5) (2 + 7) × 3 3x3+2x3 (3 + 2) x 3 3. Haced grupos de tres y resolved de dos formas diferentes los siguientes problemas: a. Antón vende al mes 300 yogures de fresa y 600 yogures de macedonia. ¿Cuántos yogures habrá vendido en total después de 6 meses? b. Antón lleva los yogures a sus clientes en su furgoneta de lunes a sábado. Para eso, por la mañana, recorre 43 km y, por la tarde, 28 km. ¿Cuántos kilómetros recorre a la semana? c. Los yogures de fresa los vende a 6 € la docena y los de macedonia a 6 € la decena. ¿Cuánto dinero gana con la venta de los yogures al acabar el mes?

El chef Lambón os reta

Resuelve en tu cuaderno estas cuestiones: •

Si tengo 10 paquetes de galletas de 32 galletas cada uno y quiero saber cuántas galletas tengo, lo que tengo que hacer es 1. sumar todas las galletas que tiene cada paquete. b. multiplicar 10 x 32.

•

Si quiero saber cuánto medimos entre todos los alumnos que hay en la clase, lo que tengo que hacer es 1. medir mi altura y multiplicarla por el número de compañeros que tengo en clase.

17 — —

b. pedir a cada uno de mis compañeros que me diga cuánto mide y sumar la altura de todos.

3. Múltiplos Completa este cuadro en tu cuaderno: Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

2x2=4

5 x 2 = 10

8 x 2 = 16

a. 2 x 3 =

a. 5 x 3 =

a. 8 x 3 =

b. 2 x 4 =

b. 5 x 4 =

b. 8 x 4 =

c. 2 x 5 =

c. 5 x 5 =

c. 8 x 5 =

d. 2 x 6 =

d. 5 x 6 =

d. 8 x 6 =

e. 2 x 7 =

e. 5 x 7 =

e. 8 x 7 =

f.

f.

f.

2x8=

5x8=

8x8=

Además de repasar las tablas de multiplicar, estás calculando múltiplos. Los múltiplos de 2 son todos los números que se obtienen multiplicando 2 por otro número natural. Por ejemplo: 4 es múltiplo de 2 porque 4 = 2 x 2 18 es múltiplo de 2 porque 18 = 2 x 9 202 es múltiplo de 2 porque 202 = 2 x 101 Los múltiplos de un número se obtienen al multiplicar ese número por los números naturales.

Microondas para todos

- ¿Crees que están relacionadas las palabras multiplicar y múltiplo? - ¿Tendrá algo que ver la tabla de multiplicar del 3 con los múltiplos de 3? - ¿Cómo calcularías los múltiplos de 3?

18 — —

Actividades

3. En grupos, responded a las siguientes preguntas: a. ¿Un número puede ser múltiplo de 2 y de 3 al mismo tiempo? ¿Y múltiplo de 2, de 3 y de 5? b. ¿Cuál creéis que es el número más pequeño que es múltiplo, a la vez, de 2 y de 3? ¿Y el más pequeño múltiplo de 2, 3 y 5? c. ¿Pensáis que decir que el 6 es el mínimo común múltiplo de 2 y de 3 es verdadero? ¿Por qué?

Microondas para todos

19 — —

- 32 no es múltiplo de 5 porque no hay ningún número natural que al multiplicarlo por 5 dé 32, ¿correcto? - ¿Se os ocurre una forma rápida para averiguar si un número es múltiplo de otro?

4. La división Veamos ahora la técnica inversa a la multiplicación: la división. Dividir es repartir, hacer grupos iguales. Si tenemos muchos yogures y queremos hacer montones de yogures iguales, solo hay que dividir el total de yogures entre el número de yogures que queremos que haya en cada montón. Además, la división nos dice si, después de hacer los grupos, sobran yogures o no.

Para dividir hay que dominar perfectamente las tablas de multiplicar. Para hacer una división necesitamos el dividendo, el divisor, el cociente, el resto y el símbolo de la división, que es :.

•

El dividendo es la cantidad total que se va a repartir.

•

El divisor es el número de elementos que tiene cada grupo.

•

El cociente es el número de grupos que se pueden hacer.

•

El resto es el número de elementos que sobraron después de hacer el reparto y que no son suficientes para formar un grupo nuevo.

Repartos exactos Una división se llama exacta cuando el resto es igual a 0. Por ejemplo, en 10 : 2 el dividendo es 10, el divisor es 2, el cociente es 5 y el resto es 0. Por lo tanto, 10 : 2 es una división exacta.

20 — —

Propiedad de la división exacta En una división exacta, si multiplicamos o dividimos el dividendo y el divisor por el mismo número, el cociente no varía. 10 : 2 = 5 Si multiplicamos el dividendo (10) y el divisor (2) por 3, resulta 30 : 6. Si dividimos el dividendo (10) y el divisor (2) entre 2, resulta 5 : 1. El resultado sigue siendo 5.

Actividades 1. Marca la opción correcta para cada una de estas operaciones. A. ¿Cuál de estas divisiones tiene el mismo cociente que 65 : 5? 1. 210 : 10 b. 268 : 15 c. 260 : 20 d. 134 : 25 B. ¿Cuál es el resto de la división 67 : 5? 1. 1 b. 2 c. 3 d. 4 C. ¿Entre qué número debes dividir 6390 para que la división sea exacta? 1. 22 b. 16 c. 100 d. 45 D. Resuelve la división 6462 : 24. ¿Cuál de las siguientes divisiones es equivalente? 1. 3231 : 12 b. 2154 : 9 c. 12 321 : 52 d. 2080 : 8

Repartos inexactos

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Microondas para todos

- Completemos según el ejemplo: •

alcanzable → inalcanzable

•

formal → ……………………….

•

posible → ……………………….

•

exacto → ………………………..

- ¿Qué será una división inexacta?

22 — —

Una división es inexacta cuando el resto es distinto de 0. A este tipo de división también la llamamos división entera. Por ejemplo: 10 : 3 = 3 y resto 1 El dividendo es 10, el divisor es 3, el cociente es 3 y el resto es 1. Por lo tanto, 10 : 3 es una división inexacta.

Propiedad de la división inexacta o división entera En una división inexacta, si multiplicamos o dividimos el dividendo y el divisor por el mismo número, el resto queda multiplicado o dividido por ese mismo número. En esta división, 10 : 3 = 3 y resto 1. Si multiplicamos el dividendo (10) y el divisor (3) por 4, resulta 40 : 12 = 3 y el resto es 4.

Actividades

Microondas para todos

¿Recordáis qué son los múltiplos de un número? - Si tuvierais que inventar 5 divisiones equivalentes a 6 : 3 aumentando siempre el numerador y el denominador, ¿cuál creéis que sería la forma más fácil de obtenerlas? - Si tuvierais que inventar 5 divisiones equivalentes a 512 : 243 disminuyendo siempre el numerador y el denominador, ¿cuál creéis que sería la forma más fácil de obtener esas divisiones?

2. Discutid en grupos de cuatro la solución del siguiente problema: David tiene 142 huevos. Los coloca en cartones de media docena y le sobran 4. Si en lugar de tener 142 huevos tuviera la mitad, ¿le sobraría el doble?

Lo más importante al repartir es… Para saber si hemos hecho bien una división hay que usar la siguiente fórmula:

Propiedad fundamental de la división En cualquier división se cumple que: Dividendo = (divisor x cociente) + resto

Comprobemos que es así: •

10 : 3 = 3 y de resto 1. Entonces, 3 x 3 = 9. Y si a 9 le sumamos 1, da 10.

•

40 : 6 = 6 y de resto 4. ¿Se cumplirá la fórmula anterior? 6 x 6 = 36. Y si a 36 le sumamos 4, nos da 40.

Actividades DIVIDIENDO

DIVISOR

COCIENTE

RESTO

6

64

1

456

8

317

9 12

0

14

4

23 — —

3. Haced grupos de tres y resolved de dos formas diferentes los siguientes problemas. A. Para repartir los yogures, Antón recorre cada año 20 448 km: 1. ¿Cuántos kilómetros recorre cada mes? ¿Y cada semana? b. Si reparte de lunes a sábado, ¿cuántos kilómetros recorre de media cada día? B. Cada día Antón llena su furgoneta con 120 yogures. 1. ¿Podría hacer lotes de 7 yogures sin que le sobrara ningún yogur? b. ¿Y lotes de 6? c. ¿Cuántos lotes distintos podría hacer de tal forma que no le sobrara ninguno? C. Si con los 120 yogures Antón hiciera lotes de 14 yogures: 1. ¿Cuántos lotes completos podría hacer? ¿Cuántos yogures le sobrarían? b. Si en vez de 120 yogures llevara 60 yogures en lotes de 7, ¿cuántos lotes completos podría hacer? ¿Y cuántos le sobrarían? c. ¿Y cuántos necesitaría para completar un lote más si llevase 240 yogures en cartones de 28?

5. Divisores Resuelve estas operaciones en tu cuaderno. Ejemplo:

a. 900 : 2 =

9000 : 10 = 900

b. 900 : 3 = c. 900 : 4 = d. 900 : 5 = e. 900 : 9 = f.

900 : 450 =

Ejemplo:

a. 10 000 000 : 100 =

10 000 000 : 10 = 1 000 000

b. 10 000 000 : 1000 = c. 10 000 000 : 10 000 = d. 10 000 000 : 100 000 = e. 10 000 000 : 1 000 000 = f.

10 000 000 : 10 000 000 =

Ejemplo:

a. 6720 : 6 =

6720 : 2 = 3360

b. 6720 : 7 = c. 6720 : 8 =

24 — —

d. 6720 : 10 = e. 6720 : 42 = f.

6720 : 48 =

De nuevo, puede que tengas la sensación de que estás repasando las divisiones. Es cierto. Pero, además, estás calculando divisores. Los divisores de 6720 son todos los números entre los que se puede dividir 6720 de manera que esa división sea exacta. Por ejemplo: 2 es un divisor de 6720 porque 6720 : 2 = 3360 y de resto 0. 10 es un divisor de 6720 porque 6720 : 10 = 672 y de resto 0. 48 es un divisor de 6720 porque 6720 : 48 = 140 y de resto 0. Los divisores de un número son todos los números que dividen a ese número dando como resto de la división cero.

25 — —

Microondas para todos

- Actor es el que actúa; productor es el que produce, ¿qué será un divisor? - Los múltiplos se obtienen multiplicando. ¿Cómo se obtienen los divisores?

Actividades

3. En parejas, dad respuesta a las cuestiones que se plantean a continuación. a. ¿Dos números diferentes pueden tener al mismo tiempo como divisores al 2 y al 3? ¿Y al 2, al 3 y al 5 a la vez? b. ¿Cuál creéis que es el mayor número divisor, a la vez, de 10 y de 30? c. ¿Pensáis que decir que el 10 es el máximo común divisor de 10 y de 30 es verdadero? ¿Por qué?

6. Jerarquía de las operaciones

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Para cocinar cachelos don Lambón nos dice que primero hay que echar el agua, después las patatas y, finalmente, la sal. Es decir, para que el plato salga bien, es importantísimo que los ingredientes vayan en un orden determinado. Fields Calculote nos indica que en Matemáticas ocurre lo mismo. Cuando hay operaciones combinadas hay que seguir un orden: primero se hacen unas operaciones y después, otras. Y si no respetamos esos turnos, las cuentas fallarán. A ese orden de hacer las cuentas se le llama jerarquía de las operaciones, y es la siguiente:

Jerarquía de las operaciones combinadas Cuando vayamos a realizar operaciones combinadas, el orden de las operaciones que hay que seguir es: •

primero hay que resolver los paréntesis,

•

después hay que hacer las multiplicaciones y las divisiones,

•

y, al final, hay que calcular las sumas y las restas.

¿Qué ocurre si no respetamos esos turnos? En 3 x 7 + 5, si hiciéramos primero la suma, resultaría: 3 x 7 + 5 = 3 x 12 = 36. Sin embargo, la forma correcta de operar es: 3 x 7 + 5 = 21 + 5 = 26. Está claro que 36 ≠ 26. En la actividad 2 del apartado 1, se conseguía la pista si se resolvía bien 4 + 3 x (8 – 6). Para conseguirlo hay que respetar la jerarquía de las operaciones:

4 + 3 x (8 – 6) = 4 + 3 x 2 = 4 + 6 = 10 Otro ejemplo. Para resolver (3 + 2 x 4) x 2 primero hay que fijarse en el paréntesis. Como dentro del paréntesis hay una suma y una multiplicación el orden de operaciones a ejecutar es: •

primero la multiplicación que está dentro del paréntesis,

•

después, al resultado de la multiplicación, hay que sumarle 3,

•

y, por último, el resultado de la suma hay que multiplicarlo por 2. Es decir, (3 + 2 x 4) x 2 = (3 + 8) x 2 = 11 x 2 = 22

Actividades 1. Copia estas operaciones en tu cuaderno y coloca los paréntesis en el lugar adecuado para que estas igualdades sean ciertas: a. 456 – 235 – 125 = 96 b. 456 – 235 – 125 = 346

27 — —

c. 327 + 435 – 281 = 481 d. 953 – 325 + 197 = 825 e. 250 + 352 – 188 = 414 ..

3. Copiad estas opciones en vuestro cuaderno y relacionad cada frase con su expresión matemática: 6 x 12 – 4 ● 50 : 17 + 0,2 ● 20 + 0,1 x 30 ● 5 + 4 x 2 = 5 + 8 = 13 5 tiros libres más 4 canastas son 13 puntos. He comprado 6 docenas de huevos y se me han roto 4. ¿Cuántos no se han roto? Si en España viven 50 millones de personas y se repartieran por todas las autonomías, ¿cuántos millones de personas vivirían en cada comunidad si después les sumáramos los 0,2 millones de Ceuta y Melilla? 3

En la factura del agua se paga un mínimo de 20 € más 0,1 € por m consumido. Si este mes se han gastado 3

30 m , ¿cuánto debo pagar? 4. Resuelve este problema en tu cuaderno. Juan tiene 3 cajas con 12 lechugas cada una, y su hermana, 2 cajas con 6 lechugas cada una. ¿Cuántas lechugas tienen entre los dos? 5. Resuelve este problema en tu cuaderno. Un avión realiza 5 viajes diarios con 148 pasajeros en cada uno. Si cada billete cuesta 59 €, ¿cuánto dinero recauda la compañía en un día? 6. Resuelve este problema en tu cuaderno. Mariana va a comprar una tablet por 453 €. El vendedor le rebaja 35 €. Si Mariana paga con billetes de 50 €, ¿qué cambio recibirá?

7. Resuelve este problema en tu cuaderno. En un supermercado hay 40 cajas de natillas. Cada caja contiene 25 paquetes, y cada paquete, 6 envases de natillas. ¿Cuántos envases quedan en el supermercado si se venden 12 paquetes? Escribe todos los cálculos en una sola expresión. 8. Resuelve este problema en tu cuaderno. Escoge la receta que más te guste y calcula cuántas Kcal se ganan al comer 100 g, 500 g o 1 kg de ese plato.

7. Al cierre ¿Qué has aprendido? Copia y completa en tu cuaderno una tabla como esta y valora tu trabajo. ¿He aprendido algún truco para sumar números naturales?

...

¿Soy más rápido haciendo sumas y restas?

...

¿Aplico bien la propiedad distributiva de la multiplicación?

...

¿Domino las propiedades fundamentales de la división?

...

¿Aplico la jerarquía de las operaciones igual que lo hacía Napoleón (http://es.wikipedia.org/wiki/Napole %C3%B3n_Bonaparte) con sus ejércitos?

...

28 — —

Evalúate Te mostramos a continuación algunas actividades para evaluarte. Dispones de tres intentos para superar cada actividad.

Refuerza

Amplía 1. Para repasar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números naturales puedes visitar estas páginas y escoger el apartado que quieras: Suma y resta en Khan Academy (https://www.khanacademy.org/ math/arithmetic/addition-subtraction) y Multiplicación y división en Khan Academy (https://es.khanacademy.org/math/arithmetic/ multiplication-division).

Busca en Internet otras páginas en las que puedas practicar estas operaciones con números naturales y compáralas con la anterior. ¿Cuál te gusta más? ¿Por qué? Cuenta a tus compañeros qué páginas crees que vale la pena visitar. 2. Trabajad esta actividad en grupos de dos o tres e investigad qué sistema utilizaban los mayas para multiplicar. Para ayudaros aquí tenéis estos enlaces: •

Multiplicación de los mayas en YouTube (https://www.youtube.com/results?search_query=multiplicaci%C3%B3n+mayas)

•

Multiplicacion de los mayas en Google (https://www.google.es/?gws_rd=ssl#q=multiplicacion%20mayas)

3. Trabajad esta actividad en grupos de cuatro e intentad resolver estos acertijos: a. Es fácil expresar el número 24 por medio de tres ochos: 8 + 8 + 8. ¿Podéis hacer lo mismo usando otras tres cifras iguales? b. Es fácil expresar el número 30 con tres cincos: 5 x 5 + 5. ¿Puedes escribir el 30 como resultado de operaciones en las que se usen otras tres cifras iguales?

29 — —

Glosario + Signo de la suma. Se lee “más”.

– Signo de la resta. Se lee “menos”.

× Signo de la multiplicación. Se lee “por”.

: Signo de la división. Se lee “entre”.

Ábaco Instrumento que sirve para hacer sumas, restas y multiplicaciones. Consiste en un cuadro de madera con barras verticales por las que corren bolas agujereadas.

Cociente Número de grupos que se pueden hacer.

Dividendo Cantidad total que se va a repartir entre varios grupos iguales.

Dividir Repartir, hacer grupos iguales.

Divisor Número que divide. Es la cantidad de elementos que tiene cada uno de los grupos en los que se reparte la cantidad total.

Divisores de un número Todos los números que dividen a ese número.

Elemento neutro de la multiplicación Es el 1. Porque si multiplicamos cualquier número por 1, el resultado de la multiplicación es el mismo número.

Elemento neutro de la resta Es el 0. Porque si a cualquier número le restamos 0, el resultado de la resta es el mismo número.

Elemento neutro de la suma Es el 0. Porque si a cualquier número le sumamos 0, el resultado de la suma es el mismo número.

30 — —

Espolvorear Esparcir sobre algo.

Factores Cada uno de los números que aparecen en una multiplicación.

Gratinar Aplicarle mucho calor a un alimento para que la parte externa se ponga crujiente y dorada.

Ingreso Cantidad de dinero que se gana.

Jerarquía Orden establecido de personas o cosas.

Magnitud Cualquier cualidad que se puede medir.

Media La media, o promedio, es el número que se obtiene sumando todos los datos que tenemos y, a continuación, dividiendo el resultado de esa suma entre la cantidad total de datos.

Minuendo Número al que se le va a restar algo. Tiene que ser mayor que el sustraendo.

Multiplicar Sumar una cantidad consigo misma varias veces.

Múltiplos de un número Números que se obtienen al multiplicar ese número por todos los números naturales.

Propiedad asociativa de la multiplicación Al multiplicar tres o más números, el producto es el mismo sin importar cómo se agrupan los factores.

Propiedad asociativa de la suma Al sumar varios números, el resultado es el mismo sin importar cómo se agrupen los sumandos.

Propiedad conmutativa de la multiplicación El orden de factores no cambia el resultado de la multiplicación.

31 — —

Propiedad conmutativa de la suma El orden de los sumandos no afecta al resultado.

Propiedad de la división exacta En una división exacta, si se multiplica o divide el dividendo y el divisor por el mismo número, el cociente no varía.

Propiedad de la división inexacta En una división inexacta, si se multiplica o divide el dividendo y el divisor por el mismo número, el resto queda multiplicado o dividido por ese mismo número.

Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la resta Para multiplicar un número por una resta hay que multiplicar el número por el minuendo y, después, restarle el producto del número por el sustraendo.

Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma Para multiplicar un número por una suma hay que multiplicar el número por el primer sumando y, después, sumarle el producto del número por el segundo sumando.

Propiedad fundamental de la división Dividendo = (divisor × cociente) + resto.

Propiedad fundamental de la resta Si sumamos o restamos la misma cantidad al minuendo y al sustraendo, el resultado final de la resta no cambia.

Restar Sacar, reducir, quitar.

Resto Elementos que sobran después de hacer el reparto y que no son suficientes para formar un grupo nuevo.

Sumandos Cada uno de los números que intervienen en una suma.

Sumar Juntar, unir, reunir, agregar, añadir.

Sustraendo Cantidad que se le resta al minuendo. Tiene que ser menor que este.

Tablas de multiplicar Tablas en las que se recogen los 10 primeros múltiplos de un número.

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Tamizar Depurar, elegir con cuidado.

Enlaces Naturales, decimales y fracciones (http://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/sites/ espazoAbalar/files/datos/1355732893/contido/naturales.html)

Operaciones on–line (http://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/ datos/1337155701/contido/mategz_enteiros/mategz.html)

La unidad seguida de ceros (http://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/ sites/espazoAbalar/files/datos/1327924928/contido/unidad_seguida_ceros/ La_unidad_seguida_ceros.html)

Multiplicación de números naturales: el parque de atracciones (http:// www.edu.xunta.es/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1302506620/contido/ index.html)

La división: guía turística de mi localidad (http://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/ sites/espazoAbalar/files/datos/1304059322/contido/index.html)

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