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TEMA 19.DETERMINANTES. PROPIEDADES. APLICACIÓN AL 1 CALCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ OPOSICIONES DE MATEMATICAS

TEMA 19 DETERMINANTES. PROPIEDADES. APLICACIÓN AL CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ. INDICE SISTEMATICO 1. INTRODUCCION.

Elsa Puente Gutiérrez

TEMA 19.DETERMINANTES. PROPIEDADES. APLICACIÓN AL 2 CALCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ OPOSICIONES DE MATEMATICAS 1. INTRODUCCION El concepto de determinante es posible introducirlo de diferentes formas: Por medio de aplicaciones multilineales alternadas, por inducción o mediante sumas de n! sumandos para un determinante de orden n. El tema se va a desarrollar utilizando la primera forma, ya que es la más rigurosa de las tres. Tiene como ventaja sobre las otras que nos permite relacionar diversos conceptos y presentar de forma sencilla pero rigurosa las propiedades de los determinantes. Hemos de destacar que a lo largo del tema la letra K denotará un cuerpo conmutativo con característica de dos. 2.

DEFINICION

Entendemos por determinante de orden n una cierta función de

n2

cantidades

dispuestas formando cuadrado, con la apalabra determinante nos referimos tanto al símbolo como al desarrollo que indica,

Det (A) =

A las cantidades

aij

| A|

|aij|

=

=

|

a11 a 12 a21 a 22 … … a n1 an 2

|

… a1 n … a2 n … … … ann

que aparecen en el determinante las denominamos elementos,

a la disposición en horizontal de los elementos se les denomina fila y a la disposición en vertical de los elementos se les denomina columna, y así las notación

se encuentra en la fila i y en la columna j (en principio

formada por los elementos que van desde el

aij , denota que el elemento

aij ≠ a ji ), mientras que a la línea

a11 , hasta el

ann

se le denomina diagonal

principal. El determinante

|B|

formado por los

columnas de un determinante

| A|

b2 ,

elementos comunes de cualesquiera b filas y

de grado n, es el menor de orden b de

| A|

; y al

determinante de orden n – b formado por los elementos que quedan cuando se quitan de

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| A|

las b filas y columnas que contienen un menor

|B|.

menor complementario de

|B|

Si los números de las filas y las columnas de

contienen un menor de orden b son, respectivamente

entonces

(−1)i +i +i +,… ,+i + j + j +,… .,+ j 1

2

3

b

1

2

constituyen lo que se denomina

b

i 1 i 2 i 3 , … ,i b

y

veces el menor complementario de

nombre de complemento algebraico de

|B|.

| A|

, que

j 1 j 2 ,… . , j b ,

|B|

recibe el

Los menores complementarios se suelen

denominar simplemente menores y los complementarios algebraicos se les denomina adjuntos, expresándose el menor del elemento aij por Bij y su adjunto por Aij, luego Aij =

(1)i + j M ij.

Por tanto dada una matriz cuadrada de orden n, cuyos elementos pertenecen al cuerpo K, es decir A 

M n (K), se denomina determinante de A, | A|, al número definido por:

n

n

j=1

i=1

| A|=∑ aij A ij =∑ aij A ij

Es decir, por la suma de los productos del los elementos de una fila o una columna por sus respectivos adjuntos. Esto nos indica una dependencia de un determinante de orden n de n determinantes de orden n-1., cada uno de los cuales, depende, a su vez, de n-1 determinantes de orden n-2 y continuando este razonamiento

tenemos que en el desarrollo final solo

determinantes de orden 2 o de orden 3 que pueden fácilmente resolverse por los procedimientos que mas adelante se exponen. Se llega al mismo desarrollo independientemente de la fila ola columna que se haya escogido lo que viene planteado por el siguiente teorema: “Si los elementos de una fila o una columna se multiplican por sus respectivos adjuntos y después se suman, el resultado es el mismo para todas las filas y para todas las columnas. Este teorema queda demostrado por el método de inducción tanto si lo aplicamos a filas como si lo aplicamos a columnas. 2.1 Propiedades de los determinantes. 

El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su



transpuesta. Si se intercambian dos filas o dos columnas de un determinante, el determinante cambia solo se signo, manteniendo constante su valor absoluto.

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TEMA 19.DETERMINANTES. PROPIEDADES. APLICACIÓN AL 4 CALCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ OPOSICIONES DE MATEMATICAS 

Si en un determinante multiplicamos todos los elementos de una fila o de una columna por un cierto valor constante, el valor del determinante queda multiplicado por ese valor.

De esta propiedad podemos extraer dos colorarios: 1.

Un factor común de todos los elementos de una fila (o de una columna) de un

determinante puede ser extraído como un factor multiplicador del determinante. 2. Un determinante con dos filas o dos columnas proporcionales es igual a cero.  Si en un determinante una de sus filas o columnas puede expresarse como la suma de dos sumandos, el determinante será igual a la suma de los determinantes constituidos con cada uno de los sumandos que constituyen la fila o columna.

4. RANGO DE UNA MATRIZ 4.1Definicion de rango de una matriz Dado una matriz A 

M mxn y tomemos una submatriz de K filas y K columnas (K ≤

m; K ≤ n), que constituye un determinante de orden, al que llamaremos menor de orden K de la matriz, definiendo el rango de la matriz como el orden del mayor de sus menores no nulos. 4.2 Transformaciones elementales de una matriz Se llaman transformaciones elementales de una matriz a aquellas que podemos realizar entre sus filas y sus columnas de modo que el rango de la matriz permanezca inalterable. Las transformaciones elementales son las siguientes:    

Transposición de la matriz. Intercambio de filas o intercambio de columnas. Multiplicación de los elementos de una fila o de una columna por un escalar no nulo. Suma a los elementos de una fila de los componentes de otra fila multiplicados por un escalar (análogamente con columnas). 4.3 Teorema: constancia del rango de una matriz en las transformaciones El rango de una matriz no varia en las transformaciones lementales.

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