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• Soco Sánchez Romero

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TEMA 0: PROBABILIDAD 1. EL AZAR COMO FUENTE DE VARIABILIDAD EN LOS DATOS ESTADÍSTICOS. Los posibles resultados de un fenómeno o experimento pueden ser de dos tipos: • Determinísticos: si el resultado siempre es el mismo al repetirlo en las mismas condiciones. Ejemplo: tiempo de caída de una piedra lanzada desde 10 m. • Aleatorios: cuando no es posible predecir el resultado porque interviene una causa incontrolada a la que denominamos azar. Ejemplo: lanzar un dado y observar el resultado. Así, un experimento aleatorio realizado bajo las mismas condiciones puede dar lugar a distintos resultados. El conjunto de todos esos posibles resultados se denomina espacio muestral y se suele denotar con la letra griega Ω. Ejemplo: Experimento de lanzar un dado y observar el resultado. Resultados posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Espacio muestral: Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6} 2. EL CONJUNTO DE LAS PARTES DE UN CONJUNTO Sea Ω un espacio muestral asociado a un experimento, se define el conjunto de las partes de Ω, y se denota P(Ω) aquel formado por todos sus subconjuntos, es decir, P (Ω) = { A / A ⊂ Ω} . El interés de esta estructura radica en que cada subconjunto A se puede considerar asociado a la realización de ciertos resultados que puede proporcionar el experimento. Ejemplos: Si Ω={1, 2} entonces P (Ω) = {φ , {1} , {2} , {1, 2}}

Si Ω={1, 2, 3} entonces P (Ω) = {φ , {1} , {2} , {3} , {1, 2} , {1,3} , {2,3} , {1, 2,3}} Obsérvese que φ ∈ P(Ω) y Ω ∈ P(Ω) . φ se denomina conjunto vacío y Ω conjunto total. Operaciones y propiedades. Sea Ω y consideremos P(Ω). Si A, B ŒP(Ω) se definen las siguientes operaciones entre subconjuntos las cuales están asociadas a las estructuras semánticas “y”, “ó” y a la negación de enunciados:

1. Intersección de subconjuntos: A ∩ B={w/ wŒA y wŒB}. 2. Unión de subconjuntos: A ∪ B={w/ wŒA ó wŒB}. 3. Complementario de un subconjunto Ac = {w / w ∉ A} (también se utiliza la notación A )

Intersección

Unión

Complementario

Veamos las principales propiedades: Tema 0: Probabilidad

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a)

( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) (asociatividad de ∩ ) ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) (asociatividad de ∪ )

b)

A ∩ B = B ∩ A (conmutatividad de ∩ ) A ∪ B = B ∪ A (conmutatividad de ∪ )

c)

A ∩ φ = φ (absorción de φ respecto de ∩ ) A ∪ Ω = Ω (absorción de Ω respecto de ∪ )

d)

A ∩ Ω = A (Ω es el elemento neutro respecto de ∩ ) A ∪ φ = A (φ es el elemento neutro respecto de ∪ )

e)

A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) ( ∩ es distributiva respecto a ∪ ) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) ( ∪ es distributiva respecto a ∩ )

Ω

Ω

f)

( A ∩ B)c = Ac ∪ B c , ( A ∪ B)c = Ac ∩ B c (leyes del complementario o de De Morgan)

g)

(A )

h)

A ∩ Ac = φ , A ∪ Ac = Ω

c c

=A

Además, se define la operación diferencia como: A − B = A ∩ B c y está constituido por los elementos de A que no pertenecen a B. 3. ESPACIO PROBABILIZABLE. ESPACIO PROBABILÍSTICO Cuando se estudia un fenómeno aleatorio, un determinado resultado puede ocurrir o no. Así y en lo sucesivo entenderemos como probabilidad una medida de la certeza con la que se cree que un acontecimiento aleatorio va a ocurrir, y los subconjuntos del espacio muestral a los que se asigna probabilidad se denominarán sucesos. Los sucesos constituidos por un solo elemento de Ω se llaman sucesos elementales. Además, Ω es el suceso seguro, y φ el suceso imposible.

Necesariamente hemos de dar formalismo al concepto de suceso. Así, si A y B son dos sucesos que van a tener una cierta probabilidad es lógico y conveniente que los subconjuntos A ∪ B , A ∩ B y Ac también deban ser sucesos y por tanto tengan asignada una probabilidad. Es decir, las operaciones unión, intersección y paso al complementario aplicadas a sucesos deben dar lugar también a sucesos. En Matemáticas eso se expresa diciendo que el conjunto o colección de los sucesos debe ser cerrado respecto a tales operaciones, dando lugar a esta definición formal: Definición: Sea a una colección de partes de Ω. Se dice que a es una σ -álgebra si se cumplen las siguientes dos propiedades: Tema 0: Probabilidad

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1.

Si A ∈ a entonces Ac ∈ a .

⎛∞ ⎞ 2. Si A1 , A2 ,... An ,... ∈ a entonces ∪ An ∈ a , donde por definición w ∈ ⎜ ∪ An ⎟ si w pertenece a n =1 ⎝ n =1 ⎠ alguno de los An que constituyen dicha unión. ∞

Ejemplos: • Si Ω es un conjunto cualquiera entonces • •

a = P(Ω) es una σ -álgebra. Si Ω es un conjunto cualquiera entonces a = {φ, Ω} es una σ -álgebra. Si Ω ={1, 2, 3} entonces a1 = {φ, {1}, {2,3}, Ω} es una σ -álgebra, pero a2 = {φ, {1}, {2,3},

{2}, Ω} no es una σ -álgebra, ¿por qué? • Sea Ω el espacio muestral asociado al experimento número de veces que hay que lanzar una moneda hasta obtener una primera cara, de modo que Ω ={1, 2, 3, 4, ...} ¿Cúal es el subconjunto A de Ω asociado al enunciado semántico la primera cara se obtiene en un número impar de lanzamientos?

Sea Ω un espacio muestral y a un σ -álgebra de partes de Ω entonces se dice que el par (Ω, a ) es un espacio probabilizable (significa que sobre a se puede definir una probabilidad). 4. ENFOQUE HISTÓRICO DE LA PROBABILIDAD (LAPLACE) Que en un experimento aleatorio se tenga especificado el espacio muestral y los sucesos que se pueden distinguir no significa de ningún modo que necesariamente esté especificada la probabilidad para esos sucesos. Por ejemplo, si se lanza un dado equilibrado entonces la probabilidad del suceso {1}, es decir, “obtener un 1”, es 1/6; pero si el dado está cargado esto ya no tiene por qué ser así. Así que la pregunta es ¿cómo deben asignarse las probabilidades a los sucesos?

Esto es algo a lo que en principio no se puede contestar si no se dispone de información adecuada. Es por ello que salvo que se diga expresamente lo contrario inicialmente nos limitaremos a estudiar aquellos casos en que Ω es finito y en los que existe una simetría física que indica que cada suceso elemental debe tener la misma probabilidad que los demás de ocurrir, es decir, cuando antes de realizar el experimento no hay motivo para inclinarse por ninguno de ellos. En tales casos, si A es un suceso es razonable definir su probabilidad como: n º de sucesos elementales favorables a A (regla de Laplace, 1812) P ( A) = n º de sucesos elementales de Ω Ejercicio: Indicar cuales son los espacios muestrales de los siguientes experimentos, y calcúlense las probabilidades de los sucesos que se indican en cada caso: 1) Experimento: lanzar un dado equilibrado una vez. Suceso: A= “obtener un nº par”. 2) Experimento: lanzar una moneda equilibrada tres veces. Suceso: A= “obtener dos caras consecutivas”. Tema 0: Probabilidad

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3) Experimento: de una urna donde hay 3 bolas blancas y 2 negras se extraen dos bolas simultáneamente. Suceso: A= “extraer una bola de cada color”. Cuando se dan las condiciones para definir la probabilidad de acuerdo con la Regla de Laplace lo único que hace falta es contar casos, y para ello es válida la siguiente regla general (que algunos autores denominan principio multiplicativo): Cuando el proceso consta de varios pasos y cada paso que se da es determinante para el resultado final, el número de resultados distintos a que se puede llegar es el producto de las decisiones que es posible tomar en cada uno de los pasos (y decimos que un paso es determinante cuando decisiones distintas en ese paso conducen necesariamente a resultados distintos en el proceso). Este principio multiplicativo se puede visualizar utilizando los diagramas en árbol. Ejemplos: 1) Se dispone de pintura de 4 colores: A (azul), B (blanco), R (rojo) y V (verde); y se desea pintar una bandera de tres franjas verticales de izquierda a derecha. ¿Cuántas banderas distintas pueden obtenerse si: i) los colores no pueden repetirse; y ii) los colores sí se pueden repetir. Como se ve en este diagrama en árbol para el primer caso, existen 4 × 3 × 2 = 24 posibilidades, puesto que cada elección de color es determinante (si por ejemplo una bandera es azul a la izquierda y otra blanca a la izquierda, entonces las banderas son diferentes independientemente de los restantes colores), y el diagrama sería análogo si los colores se pudiesen repetir, con la única diferencia de que entonces habría 4 × 4 × 4 = 64 casos. 2) ¿Cuántas mezclas de tres colores distintos pueden obtenerse con las pinturas anteriores? ¿Y mezclas de dos colores distintos? Ahora la situación ha cambiado, cada selección no es determinante y por ejemplo da lo mismo elegir primero el azul y luego el blanco que viceversa; y así si son tres los colores que se eligen hay varias ramas del árbol de arriba que conducen al mismo resultado, por ejemplo la rama ABR y la ARB ahora deben ser consideradas iguales. En general este ejemplo ilustra una situación muy frecuente en la práctica: dada una colección de m objetos, ¿de cuantas formas pueden extraerse n objetos distintos de forma que el orden de la elección no importe? Ese total viene dado por el número combinatorio n factores

⎛m⎞ ⎛ m ⎞ m ⋅ (m − 1) ⋅ ...(m − n + 1) y que son las formas de elegir n objetos entre m de ⎜ ⎟ cuyo valor es ⎜ ⎟ = n! ⎝n⎠ ⎝n⎠ ⎧ los objetos no se repiten . Aplicando esto la solución es inmediata: forma que ⎨ ⎩no cuenta el orden en la eleccion ⎛ m ⎞ ⎛ 4 ⎞ 4⋅ 3 ⋅ 2 m=4 colores y mezclas de n=3 colores: posibles mezclas ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = =4 ⎝ n ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3 ⋅ 2 ⋅1 Tema 0: Probabilidad

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⎛ m ⎞ ⎛ 4 ⎞ 4⋅3 m=4 colores y mezclas de n=2 colores: posibles mezclas ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = = 2⋅3 = 6 ⎝ n ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 ⋅1

Los números combinatorios son enteros, y además cumplen las siguientes propiedades: ⎛m⎞ ⎛m⎞ ⎛m⎞ ⎛m⎞ ⎛ m ⎞ 1 , 1 , = m , = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ (propiedad útil para abreviar cálculos) ⎝1⎠ ⎝0⎠ ⎝m⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ m−n ⎠ ⎛ 7 ⎞ 7⋅6⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 Ejemplo: ⎜ ⎟ = = 7 ⋅ 3 = 21 ⎝ 5 ⎠ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 ⎛ 7 ⎞ 7⋅6 ⎜ ⎟ = 2 ⋅1 = 7 ⋅ 3 = 21 ⎝2⎠

}

⎛7⎞ ⎛7⎞ ⎜ 5 ⎟ = ⎜ 2 ⎟ ya que 5+2=7. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Luego en la práctica cuando en una cadena de decisiones no cuenta el orden hay que agrupar esos pasos utilizando el concepto de número combinatorio. Ejercicios: Sea el experimento de sacar simultáneamente 3 cartas de una baraja española (40 cartas de 4 palos –oros, copas, bastos y espadas- de 10 cartas). ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener? Calcúlense las probabilidades de los sucesos A1: “obtener 3 oros”, A2: “no obtener ningún oro”, A3: “obtener 2 oros y 1 espada”, A4: “obtener cartas de exactamente dos palos”, A5: “obtener 2 cartas con el mismo número y la restante de un número distinto” y A6: “obtener 3 cartas con el mismo número”. 5.- PROBABILIDAD: FUNDAMENTACIÓN AXIOMÁTICA GENERAL (Kolmogorov, 1933)

Definición: Una probabilidad P definida sobre un espacio probabilizable (Ω, a ) es cualquier aplicación que a cada suceso A le asigna un número real P ( A) cumpliéndose las siguientes propiedades (denominadas axiomas de Kolmogorov): 1)

P( A) ≥ 0

2)

P(Ω)=1

3)

Si A1, A2, A3,... son sucesos con Ai ∩ Aj = φ cuando i ≠ j entonces P ( ∪ Ai ) = ∑ P( Ai )

para cualquier suceso A

Ai disjunto con A j

∞

∞

i =1

i =1

La propiedad 3 se denomina aditividad numerable e indica que la probabilidad de la unión disjunta de sucesos debe ser la suma de las probabilidades de cada suceso. Nótese que la definición de probabilidad según Laplace es un caso particular de esta definición mucho más general. Sea Ω un espacio muestral, a un σ -álgebra de partes de un conjunto Ω y P una medida de probabilidad entonces se dice que el (Ω, a ,P) es un espacio probabilistico (significa que sobre a hay definida una probabilidad). Como consecuencia de la definición se tiene las siguientes propiedades: Tema 0: Probabilidad

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1)

P(φ)=0

dem: 1= P(Ω)= P(Ω ∪ φ) = P(Ω)+P(φ)= 1+P(φ) ⇒ P(φ)=0. Prop. 3

Prop. 2

2)

c

P(A )=1-P(A)

dem: Ω = A ∪ Ac ⇒ 1= P(Ω)= P(A)+P(Ac) ⇒ P(Ac)= 1- P(A). union disjunta

3)

∀A P ( A) ≤ 1

dem: P(Ac)= 1- P(A) y como P(Ac) ≥ 0 (Prop. 1) ⇒ P(A) ≤ 1.

4)

Si A ⊂ B entonces P(A) ≤ P(B)

dem: Sea C= B-A (zona sombreada)

P(B)= P(A)+P(C) ⇒ P(B) ≥ P(A) Prop. 3

P(C) ≥ 0

Ω 5)

P(A ∪ B)= P(A)+P(B)-P(A ∩ B).

6)

La propiedad anterior de la unión se puede generalizar: dados tres sucesos A1 , A2 y A3 , entonces

Ω

P ( A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = P( A1 ) + P( A2 ) + P( A3 ) − P ( A1 ∩ A2 ) − P ( A1 ∩ A3 ) − P ( A2 ∩ A3 ) + P ( A1 ∩ A2 ∩ A3 )

Se puede apreciar en el dibujo que cuando se contabiliza la probabilidad P ( A1 ∪ A2 ∪ A3 ) entonces la probabilidad de las zonas rellenas más claras se está contabilizando dos veces, por lo que hay que restarla; y que finalmente la probabilidad de la zona más obscura hay que volverla a añadir. Y más en general puede probarse por inducción que para n sucesos la fórmula de la unión es como sigue: P ( A1 ∪… ∪ An ) = P ( A1 ) + … + P ( A3 ) − ( P ( A1 ∩ A2 ) + P ( A1 ∩ A3 ) + … + P ( An − 2 ∩ An ) + P ( An −1 ∩ An ) ) + sucesos de uno en uno

sucesos de dos en dos

+ P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) + P( A1 ∩ A2 ∩ A4 ) + … + P( An − 2 ∩ An −1 ∩ An ) − … + (−1) n −1 P( A1 ∩…∩ An ) . sucesos de tres en tres

los n sucesos

6. PROBABILIDAD CONDICIONADA: INDEPENDENCIA DE DOS SUCESOS Idea: el conocimiento que un suceso B ha ocurrido puede modificar la probabilidad de ocurrencia de otro suceso A.

Ejemplo 1 (de cambio en la valoración de una probabilidad cuando existe información adicional): Una urnas contiene tres bolas numeradas del 1 al 3 y sea el experimento consistente en sacar primero una bola y después, sin devolver la anterior, extraer una segunda bola. Sean los sucesos A= “el número de la primera bola es el 1”, B= “el número de la segunda bola es el 2”. Sin más información: P ( A) = 1/ 3 = 0.333 (probabilidad a priori de A), pero si se sabe que se ha verificado B entonces la probabilidad de A debe cambiar y evaluarse como P ( A / B ) = 1/ 2 = 0.5 (probabilidad condicionada de A incorporando la información de que se ha verificado B) Tema 0: Probabilidad

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Ejemplo 2 (conexión entre la probabilidad condicionada y la probabilidad de la realización conjunta de dos sucesos): Supongamos que en un país el 47% de la población son varones y que el 60% de los varones son aficionados al fútbol. En estas condiciones, si se escoge una persona cualquiera de ese país, ¿cuál será la probabilidad de que sea varón y de que le guste el fútbol? Intuitivamente se razona que el porcentaje de la población que cumple ambas condiciones es el 60% del 47%, (28’2%), de modo que si identificamos porcentajes con probabilidad y consideramos los sucesos A: “ser aficionado al fútbol” y B: “ser varón” se tendría establecido que P ( B) = 0´47 , que P( A / B) = 0´6 y se habría calculado P ( A ∩ B) aplicando que P ( A ∩ B) = P( B) ⋅ P( A / B ) = 0´47 ⋅ 0´6 = 0´282 . Es decir, se ha asumido intuitivamente la relación P ( A ∩ B ) = P ( B ) ⋅ P ( A / B ) y si de ahí se despeja entonces se obtiene la siguiente definición formal de probabilidad condicionada: P( A ∩ B) P( A / B) = P( B) Y como interpretación alternativa puede pensarse que según la definición anterior P(A/B) es la proporción de probabilidad de A que también está en B frente a la probabilidad total de B. Obsérvese además que P(A/B) no se puede definir si P(B) =0. Ω Definición: Dos sucesos A y B son independientes si P(A ∩ B)= P(A) ⋅ P(B).

Propiedades: 1) Si P(B)>0 entonces A, B son independientes sii (si y solo si) P(A/B)= P(A). (hacer como ejercicio) ⎧⎪ Ac , B son independientes (hacer como ejercicio) 2) Si A, B son independientes entonces también ⎨ c c ⎪⎩ A , B son independientes Ejercicios: Se lanza un dado equilibrado dos veces y sean los sucesos A: “sacar par en la 1ª tirada”, B: “la suma de las dos tiradas es 7”. Se pide: a) Comprobar que A y B son independientes. b) Sea C el suceso “el número de la 1ª tirada es mayor que el de la 2ª”. Calcúlese P(C) y P(C/A). ¿Son A y C independientes? La definición de independencia se puede generalizar a cualquier colección finita o infinita de sucesos

{ A1 , A2 ,…} , y así en general se dice que los sucesos de esa colección son independientes (o con más precisión, mutuamente independientes) si se verifica que seleccionando cualquier cantidad de sucesos diferentes de tal colección la probabilidad de la intersección es siempre igual al producto de las probabilidades de los sucesos seleccionados. También, se dice que los sucesos

{ A1 , A2 ,…}

son independientes dos a dos cuando las parejas de

sucesos son siempre independientes. Por ejemplo, para el caso de una colección de 3 sucesos Tema 0: Probabilidad

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{ A1 , A2 , A3}

la

independencia

P ( A1 ∩ A2 ) = P ( A1 ) ⋅ P ( A2 ) ,

implicaría

que

se

deben

P ( A1 ∩ A3 ) = P( A1 ) ⋅ P( A3 ) ,

verificar

todas

las

relaciones

P ( A2 ∩ A3 ) = P( A2 ) ⋅ P( A3 )

y

P ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = P( A1 ) ⋅ P( A2 ) ⋅ P( A3 ) , mientras que la independencia dos a dos solamente exige que se verifiquen las tres primeras. Claramente la independencia global implica la independencia dos a dos, aunque lo contrario no es cierto, como se va a ver en el siguiente contraejemplo. Contraejemplo: Sea el experimento consistente en lanzar dos veces una moneda equilibrada y consideremos los siguientes sucesos: A1= “el primer lanzamiento es cara”, A2= “el segundo lanzamiento es cara”, A3= “los dos lanzamientos son distintos”. Se tiene que

{ A1 , A2 , A3}

son

independientes dos a dos pero que no son mutuamente independientes ya que es fácil obtener que: 1 1 1 1 1 1 P ( A1 ) = , P( A2 ) = , P( A3 ) = , P ( A1 ∩ A2 ) = , P ( A1 ∩ A3 ) = , P ( A2 ∩ A3 ) = , P ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 0 . 2 2 2 4 4 4 Luego en este caso sí hay independencia entre cualquier par de sucesos pero los tres sucesos no son mutuamente independientes. Dado un espacio probabilistico donde está definida una probabilidad P, se cumple que cualquier probabilidad condicionada a un suceso A que se construya a partir de P también verifica los axiomas de Kolmogorov, es decir, puede comprobarse sin dificultad que se cumple: 1) P ( B / A) ≥ 0 para cualquier suceso B 2) P(Ω / A)=1 3) Para B1, B2, B3,...tales que

Bi ∩ B j = φ

∞

∞

i =1

i =1

cuando i ≠ j entonces P(( ∪ Bi ) / A) = ∑ P( Bi / A)

disjuntos o incompatibles

Esto significa que la probabilidad condicionada cumplirá también todas las propiedades usuales de una probabilidad y que en particular se verifica la relación P ( B C / A) = 1 − P( B / A) . Con el fin de enfatizar que la probabilidad condicionada es simplemente una nueva probabilidad adaptada a una nueva situación (la de conocer que se ha verificado un suceso A) a veces puede ser conveniente utilizar la notación PA ( B ) para refererirnos a dicha probabilidad condicionada, y así la propiedad 2) de arriba se ∞

∞

i =1

i =1

escribiría PA (Ω) = 1 , la 3) se escribiría PA ( ∪ Bi ) = ∑ PA ( Bi ) , etc. Sin embargo, y salvo algunos casos particulares, no existen propiedades que relacionen dos probabilidades condicionadas distintas, ni tan siquiera cuando los dos sucesos que se utilizan para condicionar son A y AC , y así por ejemplo en general no habrá relación entre el valor de P ( B / AC ) y el de P( B / A) . 7. PROBABILIDAD TOTAL. FÓRMULA DE BAYES

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Teorema de la probabilidad total (TPT): Sean H1, H2, ..., Hn sucesos que constituyen una partición de

Ω , es decir, disjuntos dos a dos y con

n

∪H

i

= Ω . Supongamos además que

i =1

n

P ( H i ) > 0, ∀i = 1,..., n . Entonces P ( A) = ∑ P ( H i ) ⋅ P ( A / H i ), ∀A i =1

Demostración: A= (A ∩ H1) ∪ (A ∩ H2) ∪ ... ∪ (A ∩ Hn) donde esta unión es disjunta por ser disjuntos los Hi. Luego P(A)= P(A ∩ H1)+P(A ∩ H2)+...+P(A ∩ Hn)= P(H1) ⋅ P(A/ H1)+...+ P(Hn) ⋅ P(A/ Hn) por la definición de probabilidad condicionada. Ejercicio: Una urna contiene 1 bola roja, 2 amarillas y 3 verdes. El experimento consiste en sacar dos bolas en estas condiciones: se extrae una 1ª bola y se mira su color; se eliminan de la urna las bolas de ese color y se saca una 2ª bola. Descríbase el espacio muestral y calcular las probabilidades de cada color para la 2ª bola. Fórmula de Bayes Sean H1,

...,

Hn una partición de Ω con P ( H i ) > 0, ∀i y sea A un suceso con

probabilidad no nula. Entonces para un Hj cualquiera de la partición su probabilidad a posteriori P( A / H j ) ⋅ P( H j ) valdrá P ( H j / A) = n ∑ P( A / H i ) ⋅ P( H i ) i =1

Demostración: Se verifica P( H j / A) =

P( A ∩ H j ) P( A)

. Pero P(A ∩ Hj)= P(Hj) P(A/ Hj) por la misma n

definición de probabilidad condicionada, y además P(A)=

∑ P( A / H ) ⋅ P( H ) i =1

i

i

por el TPT. Basta

sustituir ambas expresiones en la fórmula inicial para concluir la demostración. La interpretación del teorema de Bayes nos permite el calculo de probabilidades después de haber sido realizado un experimento (probabilidades a posteriori), basándose en el conocimiento de la ocurrencia de ciertos eventos que dependan del evento estudiado, o sea, se parte de probabilidades conocidas antes de efectuar el experimento (probabilidades a priori), las cuales son afectadas por las probabilidades propias del experimento (las que aparecen durante la ocurrencia del evento). Ejemplos: 1) En el ejemplo anterior de la urna, si la 2ª bola fue roja calcular la probabilidad de que la 1ª fuese amarilla. 2) Un 3% de una población está afectada de cierto virus. Un test analítico aplicado a las personas da positivo con probabilidad 0.99 si el paciente está afectado, y resultado negativo con probabilidad 0.94 Tema 0: Probabilidad

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si el paciente no está afectado. Si en una persona el test da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que dicha persona esté afectada por el virus? 8. PROBABILIDADES GEOMÉTRICAS Y SUBJETIVAS. Probabilidades geométricas: Cuando se lleva a cabo un experimento aleatorio, la construcción de un modelo probabilístico adecuado a dicho experimento es un problema en general complejo al que en principio es imposible dar una respuesta totalmente satisfactoria excepto en casos muy especiales como el de la simetría (ver regla de Laplace). No obstante existen otras situaciones para la que también hay un criterio concreto de asignación de probabilidades. Así, sea un espacio muestral el cual tiene una medida geométrica finita (por medida aquí entendemos la longitud de segmentos cuando el espacio muestral es un subconjunto de la recta real, el área cuando es un subconjunto del plano o el volumen cuando estamos en el espacio tridimensional) y suponemos que la probabilidad de un suceso es directamente proporcional a su medida. Es estos casos la probabilidad m( A) de cualquier suceso A queda determinada por la fórmula P ( A) = , donde m es la medida m(Ω)

correspondiente a la geometría a la que nos estemos refiriendo. Estas probabilidades son un caso particular de las probabilidades uniformes (la probabilidad está repartida por igual a lo largo de todo el espacio muestral). Ejemplos: 1) Sea Ω el cuadrado del plano determinado por sus vértices (0,0), (1,0), (0,1) y (1,1), y como experimento el consistente en seleccionar con probabilidad uniforme un punto ( x, y ) dentro de ese x ⎧ ⎫ cuadrado. Evalúese la probabilidad del suceso A = ⎨( x, y ) ∈ Ω / < y < 2 x ⎬ 3 ⎩ ⎭ 2) Se considera el intervalo Ω = [1, 4´5] y como experimento el consistente en seleccionar con probabilidad uniforme un número dentro de ese intervalo. Evalúese la probabilidad de obtener un número mayor que 3. Probabilidad subjetiva: Algunos filósofos y teóricos de la Ciencia opinan que la evaluación de probabilidades es, con matizaciones, una expresión de ciertas creencias o percepciones personales. Uno de los principales defensores de este punto de vista fue el británico del siglo XIX Augustus de Morgan, quien pensaba que la probabilidad se refería a un estado de la mente, al grado de certidumbre o de incertidumbre que caracteriza nuestras opiniones. En otras palabras: la probabilidad mide la confianza que a un individuo particular le merece una proposición concreta, por lo que entonces la probabilidad es subjetiva y no está unívocamente determinada. El austríaco De Finetti analizó con detalle este enfoque allá por 1937, y posteriormente el estadounidense Savage impulsó dicha corriente del pensamiento en los años 50 del siglo XX. Ejercicio: Pensar algún ejemplo.

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