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TEOR´IA DE CONTROL

Didier Giraldo B. e Iv´ an Tabares G.

1997

TABLA DE CONTENIDO

PREFACIO xi 1 INTRODUCCION 1 1.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Sistema de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 Sistema de control escalar en lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.5 Sistema de control escalar en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.6 Problema b´asico de la Ingenier´ıa de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.7 Ejemplos de sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.8 Requerimientos de un sistema de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.9 Algunos tipos de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.9.1 Control adaptivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.9.2 Control ´optimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.9.3 Control digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.10 Ejemplo introductorio a los sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.11 Construcci´on del modelo matem´ atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.12 Linealizaci´ on del modelo matem´ atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.13 Selecci´ on de u (Estrategia de control) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.14 Acciones b´ asicas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.15 Efectos de la realimentaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.16 Efecto en la ganancia total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.17 Efecto en la estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.18 Efecto en la sensitividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.19 Efecto en la perturbaci´ on externa o ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS 25 2.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Modelos matem´aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Clasificaci´ on de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.1 Sistema determin´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.2 Sistema causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.3 Sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.4 Sistema invariante con el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 iii

iv 2.4 2.5 2.6

2.7 2.8 2.9

2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17

2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25

2.26

2.27

Ecuaciones de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.1 Matriz de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Una ecuaci´ on diferencial de n−´esimo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Sistemas mec´ anicos de traslaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.6.1 Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.6.2 Resorte traslacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.6.3 Amortiguador traslacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Un m´etodo para obtener la ecuaci´ on de estado y la de salida . . . . . . . . . 36 Otro m´etodo para obtener la ecuaci´ on de estado y la de salida . . . . . . . . 39 Sistemas mec´ anicos de rotaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.9.1 Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.9.2 Resorte rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.9.3 Amortiguador rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Circuito serie R-L-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Analog´ıa fuerza-torque-voltaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Circuito paralelo R-L-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Analog´ıa fuerza-torque-corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Ecuaciones de estado para circuitos el´ectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 M´etodo sistem´atico para obtener las ecuaciones de estado . . . . . . . . . . . . 57 Ecuaciones de estado con derivadas de las entradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Otras analog´ıas electromec´ anicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.17.1 Palancas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.17.2 El transformador ideal como an´ alogo de la palanca . . . . . . . . . . . . 64 2.17.3 El transformador como acoplador de impedancias . . . . . . . . . . . . . 64 2.17.4 La palanca como acoplador de elementos mec´ anicos . . . . . . . . . . . . 65 2.17.5 Sistemas acoplados de movimento rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.17.6 El engranaje como acoplador de elementos mec´ anicos . . . . . . . . . . 69 Linealizaci´ on de un modelo matem´ atico no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 El servomotor hidr´aulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Gobernador de velocidad de una turbina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Linealizaci´ on de las ecuaciones de estado no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Sistema de lazo cerrado sometido a una perturbaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Reducci´ on de diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.25.1 Sism´ ografo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.25.2 El servomotor bif´ asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.25.3 Motor de CC controlado en el inducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2.25.4 Motor de CC controlado en el campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Sensores de error en sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.26.1 Potenci´ometros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.26.2 Synchros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Ejemplos de control de posici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.27.1 Control de posici´ on con sensor de error potenciom´etrico . . . . . . . . 99 2.27.2 Control de posici´ on con synchros y motor DC . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.27.3 Control de posici´ on con synchros y motor bif´ asico . . . . . . . . . . . . 104

0.0 TABLA DE CONTENIDO 2.28 Sistemas de nivel de l´ıquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.29 Sistemas de nivel de l´ıquido con interacci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.30 Sistema de nivel de l´ıquidos no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.31 Sistemas neum´aticos o de presi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.32 Sistemas t´ermicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 SIMULACION Y SINTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 3.1 El Amplificador Operacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Algunos Circuitos con Amplificador Operacional . . . . . . . . . . . . . 3.1.1.1Amplificador con dos Fuentes de Entrada 3.1.1.2Sumador 3.1.1.3Integrador 3.1.1.4Derivador 3.1.1.5Filtro de un Polo 3.2 Elementos de C´alculo Anal´ogico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Soluci´on de ecuaciones diferenciales mediante la computadora anal´ ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Elementos b´ asicos de c´alculo anal´ ogico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Soluci´ on de ecuaciones diferenciales mediante la computadora anal´ ogica S´ıntesis de funciones de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Realizaci´on ”OBSERVER” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Generaci´ on de algunas funciones del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Escalamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Escalamiento en amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Escalamiento en tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Otras realizaciones para representar sistemas por ecuaciones de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Realizaci´on ”CONTROLLER” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Realizaci´on ”OBSERVABILITY” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3 Realizaci´on ”CONTROLLABILITY” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 ACCIONES BASICAS DE CONTROL 4.1 Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Clasificaci´ on de los controles autom´ aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Controles de dos posiciones o de SI-NO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Acci´ on de control proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Acci´ on de control integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Acci´ on de control proporcional integral (PI) . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Acci´ on de control proporcional y derivativo (PD) . . . . . . . . . . . . . 4.2.6 Acci´ on de control proporcional integral derivativo (PID) . . . . . . 4.2.6.1Algunas estructuras del controlador PID 5 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO 5.1 Estabilidad absoluta, estabilidad relativa y error estacionario . . . . . . . . 5.1.1 Estabilidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Error estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v 106 108 111 113 117

121 121 122 122 124 125 126 128 128 128 130

131 131 134 136 136 138 140 140 142 144 147 147 147 148 151 155 158 160 161 163 175 175 176 176

vi 5.1.3 Respuesta impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.1.4 Algunos teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.1.5 Sistema de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.1.5.1Respuesta al escal´on unitario 178 5.1.5.2Respuesta a la rampa unitaria 181 5.1.5.3Respuesta al impulso unitario 181 5.1.6 Sistema de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.1.6.1Caso subamortiguado o respuesta con 0 < ζ < 1 184 5.1.6.2Caso de amortiguamiento cr´ıtico o respuesta con ζ = 1 185 5.1.6.3Caso sobreamortiguado o respuesta con ζ > 1 186 5.1.6.4Respuesta oscilatoria o caso de amortiguamiento nulo, ζ=0 187 5.2 Especificaciones de respuesta transitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.2.1 Especificaciones de respuesta transitoria para sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 191 5.2.1.1Tiempo de crecimiento o tiempo de levante tr 191 5.2.1.2Tiempo de pico tp 192 5.2.1.3M´ aximo sobreimpulso Mp 193 5.2.1.4Tiempo de establecimiento ts 5.3 Sistemas de ´ordenes superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.3.1 Sistema de tercer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.3.2 Respuesta transitoria de sistemas mayor orden . . . . . . . . . . . . . . . 197 6 CRITERIOS DE ESTABILIDAD 199 6.1 Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 6.1.1 M´etodo de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 6.2 An´ alisis de estabilidad por cancelaci´ on de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.2.1 Explicaci´ on de la diferencia en comportamiento de las realizaciones de las Figs 6.3 y 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 6.3 Controlabilidad y observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 6.3.1 Aclaraci´ on sobre controlalibidad y observabilidad . . . . . . . . . . . . . 207 6.4 Control por realimentaci´ on de variables de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 6.5 Criterios algebraicos y frecuenciales de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6.5.1 Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6.5.2 Criterio de Routh y Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 6.6 Criterios frecuenciales de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 6.6.1 El principio del argumento o del ´angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 6.6.2 El criterio de Mikhailov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.6.3 El criterio de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 6.6.4 Regla de las transiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.6.5 Estabilidad seg´ un el diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 7 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA 235 7.1 Especificaciones en el dominio frecuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 7.2 Correlaci´ on entre respuestas transitoria y frecuencial para un sistema de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 7.3 Estabilidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 7.4 Margen de amplitud y margen de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

8

9

A B

0.0 TABLA DE CONTENIDO

vii

7.4.1 Margen de amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Margen de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3 Margen de amplitud y margen de fase en el lugar de Bode . . . . . 7.5 T´ecnicas de compensaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Compensador de adelanto de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2 Errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2.1Tipo Cero 7.5.2.2Tipo Uno 7.5.2.3Compensaci´ on con adelantor de fase 7.5.3 El compensador de atraso de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.3.1Compensaci´ on con atrasador de fase REALIMENTACION LINEAL DE LAS VARIABLES DE ESTADO 8.1 Realimentaci´ on de las variables de estado y controlabilidad de los modos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Algunas f´ ormulas para la ganancia de realimentaci´ on . . . . . . . . . 8.1.2 Importancia de la forma can´ onica ”CONTROLLER” . . . . . . . . . 8.1.3 Otras f´ ormulas para la ganancia de realimentaci´ on . . . . . . . . . . . . 8.1.4 F´ ormula de Mayne-Murdoch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.5 Realimentaci´ on del estado y los ceros de la funci´ on de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.6 Realizaciones no controlables y estabilizables . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.7 Reguladores, referencias diferentes de cero y seguimiento . . . . . . 8.1.7.1Referencias diferentes de cero 8.1.7.2Perturbaciones de entrada constante y realimentaci´on integral 8.1.7.3Observaciones finales ˜ DISENO DE OBSERVADORES ASINTOTICOS Y COMPENSADORES 9.1 Observadores asint´oticos para medida de los estados . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Un observador en lazo abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Un observador en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3 F´ ormulas para el vector de ganancias del observador . . . . . . . . . . 9.2 Observador y controlador combinados (compensadores). . . . . . . . . . . . . . 9.2.0.1Implementaci´on del observador 9.2.0.2Resumen 9.2.1 Perturbaciones constantes y realimentaci´ on integrativa . . . . . . . . TABLAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PROGRAMA MATLAB B.1 Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Entrando matrices simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3 Elementos de las matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.4 Declaraciones y variables del MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.5 Informaci´ on sobre el espacio de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.6 C´ omo terminar el programa y guardar el espacio de trabajo . . . . . . . . . B.7 N´ umeros y expresiones aritm´eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

240 242 243 247 247 250 251 251 253 258 260 265 266 267 268 270 271 272 272 273 273 275 278 279 279 280 281 282 283 287 287 287 293 297 297 297 298 299 300 300 301

viii B.8 B.9 B.10 B.11 B.12 B.13 B.14 B.15 B.16 B.17 B.18 B.19 B.20 B.21 B.22 B.23 B.24 B.25 B.26 B.27 B.28 B.29 B.30 B.31 B.32 B.33 B.34 B.35 B.36 B.37 B.38 B.39 B.40 B.41 B.42 B.43 B.44 B.45 B.46 B.47 B.48 B.49 B.50 B.51 B.52

Formato de salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operaciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Divisi´ on de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operaciones sobre arreglos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operaciones relacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operaciones l´ ogicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones matem´aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Manipulaci´on de vectores y matrices. Generaci´on de vectores. . . . . . . . Referencia a los elementos de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referencia a los elementos de una matriz usando vectores con ceros y unos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrices vac´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrices especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Construcci´on de matrices m´ as grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polinomios y procesamiento de se˜ nales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Procesamiento de se˜ nales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Filtraje de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones como funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integraci´ on num´erica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones no lineales y funciones de optimizaci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones de ecuaciones diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gr´aficos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gr´aficos en dos dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Creaci´ on de un gr´afico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estilos de l´ıneas, marcadores y colores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adici´ on de l´ıneas a un gr´afico existente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Datos complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El archivo tipo m ”peaks”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gr´aficos de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones especiales para gr´ aficas en dos dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . Gr´aficos en 3 dimensiones. Gr´aficos de l´ıneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ”Meshgrid”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pseudocolor en gr´aficas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gr´aficas en malla y superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algunas funciones para gr´aficos de prop´osito general. . . . . . . . . . . . . . . . Flujo de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lazos for. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lazos while. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Declaraciones if y break. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Archivos tipo m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Archivos ”script”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Archivos funci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ayuda en l´ınea para los archivos m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

302 303 303 304 304 304 305 306 306 307 308 309 309 310 310 311 311 312 313 314 315 315 316 317 317 318 319 320 320 321 321 326 327 328 330 331 333 334 334 336 336 337 337 338 339

0.0 TABLA DE CONTENIDO

ix

B.53 Comandos ”echo”, ”input”, ”keyboard”, y ”pause”. . . . . . . . . . . . . . . . . . B.54 Variables globales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.55 Cadenas de texto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.56 La funci´on ”eval”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.57 Como incrementar velocidad y memoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.58 Archivos de entrada y salida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C INTRODUCCION AL SIMULINK C.1 Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.2 Construcci´ on de un modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.3 Inicio de una simulaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D EJERCICIOS PROPUESTOS D.1 Del cap´ıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.2 Del cap´ıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.3 Del cap´ıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.4 Del cap´ıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.5 Del cap´ıtulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.6 Del cap´ıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.7 Del cap´ıtulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.8 Del cap´ıtulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.9 Del cap´ıtulo 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BIBLIOGRAF´ IA

339 340 340 341 342 343 345 345 346 349 361 361 362 368 369 373 375 380 383 384 387

PREFACIO

Este libro presenta un estudio del an´alisis y dise˜ no de sistemas de control de tiempo continuo. Su objetivo es servir como texto para un primer curso en sistemas de control. Se espera que el estudiante tenga conocimientos previos sobre ecuaciones diferenciales, an´ alisis vectorial-matricial, circuitos, mec´ anica, la variable compleja y la transformada de Laplace. Esta edici´on incluye una introducci´ on al programa MATLAB y a su herramienta SIMULINK, en los ap´endices B y C, de gran utilidad para el an´ alisis matem´ atico, la simulaci´ on y el dise˜ no de sistemas. En el ap´endice D se incluyen algunos problemas t´ıpicos. El cap´ıtulo 1 es una introducci´ on a los sistemas de control realimentados en el que se incluye el an´alisis y control de un p´endulo invertido. Se introducen los efectos de la realimentaci´ on. El cap´ıtulo 2 presenta la forma de modelar sistemas f´ısicos mec´anicos, el´ectricos, t´ermicos, de nivel de l´ıquido, etc. Los modelos se presentan en su forma b´ asica de ecuaciones diferenciales. Se pasan luego a su representaci´ on cl´ asica de funciones de transferencia y a la moderna del espacio de estado. Se linealizan sistemas no lineales alrededor de un punto de operaci´ on. El cap´ıtulo 3 se refiere a la simulaci´ on y s´ıntesis de funciones de transferencia utilizando el amplificador operacional y se presentan varias representaciones o realizaciones can´ onicas b´ asicas. Tambi´en se incluye el escalamiento en amplitud y tiempo. El cap´ıtulo 4 presenta las acciones b´ asicas de control utilizadas por la industria. El cap´ıtulo 5 se refiere al an´ alisis de las respuestas de un sistema en el tiempo. Se enfatiza el sistema de segundo orden para establecer las especificaciones de la respuesta transitoria. El cap´ıtulo 6 estudia diferentes criterios de estabilidad algebraicos y frecuenciales. Se enfatiza el criterio de Nyquist. El cap´ıtulo 7 trata sobre el dise˜ no de sistemas realimentados en el dominio de la frecuencia utilizando compensadores. En el cap´ıtulo 8 se estudia el m´etodo moderno del control por realimentaci´ on de variables de estado. El cap´ıtulo 9 es un complemento al cap´ıtulo 8 ya que trata sobre el dise˜ no de observadores asint´ oticos para estimar las variables de estado. xi

CAPITULO

1

INTRODUCCION

1.1

Objetivo

Dar algunas definiciones utilizadas en sistemas de control, presentar algunos ejemplos en forma puramente descriptiva y desarrollar un ejemplo introductorio en el cual se hace el an´ alisis, la linealizaci´ on y el esbozo del dise˜ no de un sistema de control. Se presentan, s´olo para sistemas est´ aticos, algunos de los efectos de la realimentaci´on en caracter´ısticas de los sistemas que la utilizan, tales como la estabilidad, la ganancia total y la sensitividad; y tambi´en los efectos en las perturbaciones externas o ruido.

1.2

Sistema

Es un modelo de un dispositivo o de un conjunto de ellos existentes en el mundo real (sistema f´ısico). En general, el estudio de sistemas f´ısicos consta de cuatro partes: modelaje, descripci´ on matem´atica, an´ alisis y dise˜ no. Para desarrollar el modelo de un sistema f´ısico es necesario un profundo conocimiento del mismo y de los rangos de operaci´ on. Una vez obtenido el modelo, el paso siguiente es la descripci´ on matem´atica, la cual se obtiene utilizando leyes f´ısicas. A partir de la anterior se puede hacer el an´ alisis cuantitativo que consiste en hallar las respuestas debido a la aplicaci´ on de ciertas se˜ nales de entrada; y el cualitativo que consiste en analizar ciertas propiedades tales como estabilidad, controlabilidad y observabilidad. Si la respuesta del sistema no es satisfactoria, el sistema debe ser mejorado u optimizado, ya sea ajustando ciertos par´ametros o en otros casos introduciendo compensadores.

1.3

Sistema de control 1

2 INTRODUCCION Es aquel cuyo fin es obtener varias respuestas deseadas (a partir de ciertas entradas)

Figura 1.1 Bloque que representa un sistema La Fig. 1.1 muestra un bloque que representa un sistema multivariable en el que se¤ £ t supone hay una descripci´on matem´atica entre las salidas, y = y1 y2 . . . yn ¤t £ y las entradas u = u1 u2 . . . um . Cuando m = n = 1 el sistema es escalar.

1.4

Sistema de control escalar en lazo abierto

Aquel que utiliza un controlador (un sistema) en cascada con el sistema a ser controlado (planta o proceso) para obtener la respuesta deseada, como se muestra en la Fig. 1.2.

Figura 1.2 Sistema de control escalar en lazo abierto

1.5

Sistema de control escalar en lazo cerrado

Aquel que utiliza una medida de la salida actual para compararla con la respuesta deseada, como se muestra en la Fig. 1.3. Un transductor es un dispositivo que convierte una se˜ nal a otra, generalmente el´ectrica. Ejemplos: potenci´ ometros, tacogeneradores, termocuplas, termistores, pres´ostatos, flotadores, etc.

1.6 Problema b´ asico de la Ingenier´ıa de Control 3

Figura 1.3 Sistema de control escalar con realimentaci´ on

1.6

Problema b´ asico de la Ingenier´ıa de Control

Figura 1.4 Estructura general de un sistema de control El problema b´ asico de la Ingenier´ıa de Control es determinar una entrada u =

4 INTRODUCCION £ ¤t u u2 . . . um (v´ease Fig. 1.4) de modo que imparta sobre la salida c = £ 1 ¤t c1 c2 . . . cp cierto comportamiento deseado. Un sistema de control se define como un servo si la salida c(t) es dise˜ nada para seguir lo m´ as cercanamente posible una se˜ nal de referencia dada r(t). Cuando la se˜ nal de referencia r(t) es constante se habla de un regulador mejor que un servo. Si el controlador es un ser humano, se dice que el sistema es controlado manualmente.

1.7

Ejemplos de sistemas de control

Ejemplo 1.1 Una lavadora puede ser el ejemplo de un sistema de control en lazo abierto, en donde la salida es el grado de limpieza actual y la referencia es el grado de limpieza deseado. V´ease Fig 1.5.

Figura 1.5 Sistema de control en lazo abierto

Ejemplo 1.2 La Fig. 1.6 muestra un sistema de control manual del nivel de l´ıquido en un tanque ya que el ser humano sensa la salida (nivel actual), la compara con el nivel deseado (se˜ nal de referencia) y abre o cierra la v´ alvula de entrada del l´ıquido dependiendo del resultado anterior.

Ejemplo 1.3 En el sistema de control en lazo cerrado de la Fig. 1.7 la se˜ nal resultante de la comparaci´ on (comparador) entre la de referencia y otra que es proporcional al nivel actual del l´ıqu´ıdo (salida) en el tanque (sensor de nivel) es la entrada al controlador o cerebro del sistema, el cual genera una se˜ nal (variable de control) que despu´es de ser amplificada en potencia (actuador) actua sobre la v´ alvula para variar el caudal de entrada al tanque. N´ otese que se pretende que la salida, despu´es de cierto tiempo, sea igual al nivel deseado.

1.7 Ejemplos de sistemas de control 5

Figura 1.6 Sistema de control manual

Figura 1.7 Sistema de control escalar en lazo cerrado Ejemplo 1.4 En la Fig. 1.8 las se˜ nales de salida de la planta (generador s´ıncrono mas el motor DC y la carga) son la magnitud del voltaje generado y la frecuencia (que

6 INTRODUCCION ´ es proporcional a la velocidad del motor DC). Estas despu´es de ser comparadas con se˜ nales de referencia son aplicadas a controladores, y sus salidas, que son amplificadas (actuadores) actuan sobre el campo del generador s´ıncrono y la armadura del motor DC, respectivamente. Obs´ervese que se pretende que las salidas, despu´es de cierto tiempo, sean iguales a la magnitud del voltaje generado y la frecuencia deseadas.

Figura 1.8 Sistema de control bivariable en lazo cerrado

Ejemplo 1.5 La Fig. 1.9 muestra el sistema de control en lazo cerrado de un sistema t´ermico. La variable que se desea controlar es la temperatura actual del agua a la salida del tanque y la se˜ nal de referencia es la temperatura deseada. La variable de control (salida del controlador) es la entrada al actuador, cuya salida manipula el flujo de vapor hacia el intercambiador de calor.

1.7 Ejemplos de sistemas de control 7

Figura 1.9 Sistema de control en lazo cerrado de un sistema t´ermico

Figura 1.10 Sistema de control en lazo cerrado multivariable

8 INTRODUCCION Ejemplo 1.6 En la Fig. 1.10 se muestra un sistema de control multivariable de una planta de generaci´ on t´ermica en el que las salidas del sistema son: ox´ıgeno (o) en la caldera, temperatura (t) y presi´ on (p) del vapor, y la magnitud y frecuencia del voltaje generado (v y f). En este caso el controlador es un computador digital. SO, ST, SP, SV y SF representan los sensores de ox´ıgeno, temperatura, presi´ on, voltaje y frecuencia, respectivamente. GV es el gobernador de velocidad de la turbina, A/D es el conversor an´ alogo-digital, D/A es el conversor digital-an´ alogo y a, c, y ai simbolizan el agua, el combustible y el aire que le entran a la caldera, respectivamente.

1.8

Requerimientos de un sistema de control

Aunque los requerimientos de un sistema de control dependen l´ ogicamente de los objetivos del dise˜ no, se pueden enunciar, en general, los siguientes:

1. Debe ser estable. 2. Las respuestas deben ser razonablemente r´ apidas y razonablemente amortiguadas. 3. Los errores (si los hay), se deben reducir a un m´ınimo tolerable.

1.9 1.9.1

Algunos tipos de control Control adaptivo

Es el que examina o identifica la planta para ajustar los par´ametros del controlador a valores o´ptimos. Es decir, se adapta a los cambios de la planta o cambios ambientales que afectan la misma.

1.9.2

Control o ´ptimo

Aquel cuya funci´ on objeto consiste en minimizar o maximizar variables tales como combustible, energ´ıa, tiempo, etc.

1.9.3

Control digital

Es aquel en el que el controlador es un microprocesador (computador digital) o un microcontrolador. La topolog´ıa t´ıpica de este tipo de control se muestra en la Fig. 1.11.

1.10 Ejemplo introductorio a los sistemas de control 9

Figura 1.11 Topolog´ıa t´ıpica de un sistema de control digital

1.10

Ejemplo introductorio a los sistemas de

control

Figura 1.12 El p´endulo invertido En la Fig. 1.12 la barra B es restringida a movimientos en el plano del papel y es balanceada sobre la parte superior del carro C.

10 INTRODUCCION El objetivo de control es mantener la barra verticalmente tanto como sea posible. La barra y el carro constituyen la planta o el sistema a ser controlado. La planta ser´ıa inestable sin la asistencia de la se˜ nal de control (fuerza de control) u. Esta no es una caracter´ıstica general de sistemas controlados; la raz´ on de este ejemplo es enfatizar que a´ un sistemas inestables pueden ser adecuadamente controlados. Para simplificar el an´ alisis, se supondr´a ausencia total de fuerzas perturbadoras predecibles. Para lograr el objetivo de control se instala un motor en el carro y a trav´es de engranajes se genera una fuerza u sobre las ruedas del carro. Esta soluci´ on es basada en la intuici´ on. Para sistemas m´as complejos la intuici´ on podr´ıa fallar. Consid´erese por ejemplo los sistemas de las Figs. 1.13 y 1.14.

Figura 1.13 Sistema no controlable de 2 barras

Figura 1.14 Sistema controlable de 2 barras

1.11 Construcci´on del modelo matem´ atico 11 El sistema de la Fig. 1.14 puede ser balanceado mientras que el sistema de la Fig. 1.13 no. Esto se debe a que el de la Fig. 1.14 es controlable y el de la Fig. 1.13 no. Los conceptos de controlabilidad y observabilidad, desarrollados por la teor´ıa de control moderno ser´an vistos posteriormente.

1.11

Construcci´ on del modelo matem´ atico

El modelo debe revelar c´ omo la salida del sistema, representada en este caso por la desviaci´ on angular φ, es afectada por la se˜ nal de control u. Para obtener el modelo matem´ atico, representado por un sistema de ecuaciones diferenciales, se necesita usar relaciones b´ asicas de la mec´anica cl´ asica aplicables a este sistema f´ısico.

Figura 1.15 Diagramas de cuerpo libre de la barra y el carro En la Fig. 1.15 las coordenadas de los centros de gravedad con respecto a un origen arbitrariamente escogido son:

1. Para el carro: posici´ on horizontal = y 2. Para la barra: posici´ on horizontal = y + L sen φ

12 INTRODUCCION

posici´ on vertical = L cos φ Si se toman momentos alrededor del centro de gravedad de la barra y sumando las fuerzas que actuan sobre el carro y la barra en direcciones vertical y horizontal, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: I

d2 φ = V L sen φ − HL cos φ dt2 V − mg = m H=m

d2 (L cos φ) dt2

d2 (y + L sen φ) dt2

(1.1) (1.2) (1.3)

d2 y (1.4) dt2 El momento de inercia de la barra I se calcula con respecto a su centro de gravedad y es I = 13 mL2 . El sistema de ecs. (1.1) a (1.4) se puede reescribir de la siguiente manera: u−H =M

..

I φ = V L sen φ − HL cos φ ..

.2

V − mg = −mL(φ sen φ + φ cos φ) ..

..

.2

H = m y + mL(φ cos φ − φ sen φ) ..

u−H =M y

(1.5) (1.6) (1.7) (1.8)

N´otese que estas u ´ltimas son ecuaciones diferenciales no lineales. Las 4 variables desconocidas son φ, y, V , H, suponiendo que u podr´ıa ser especificada. N´otese que este es un problema m´as de s´ıntesis que de an´ alisis puesto que se debe especificar una funci´ on adecuada para la se˜ nal de control u. Este problema no es simple y no tiene soluci´on u ´nica.

1.12

Linealizaci´ on del modelo matem´ atico

Aunque las ecs. (1.5) a (1.8) podr´ıan ser resueltas por simulaci´ on, ya sea con un computador an´alogo o con programas de simulaci´ on como el MATLAB, el PSI, el CC, u otro, se har´a por linealizaci´ on. Cualquier sistema de ecuaciones diferenciales no lineales puede ser linealizado si las variables dependientes son limitadas a peque˜ nas variaciones alrededor de un punto, llamado punto de operaci´ on.

1.13 Selecci´ on de u (Estrategia de control) 13 N´otese de las ecuaciones que la no linealidad aparece fundamentalmente en la variable φ. Consid´erese entonces s´olo relativas peque˜ nas desviaciones del a´ngulo φ: φ ¿ 1rad. Utilizando la expansi´on en series de Taylor: f (x) =

∞ X f (n) (xo )

n!

n=0

(x − xo )n

(1.9)

las funciones sen φ y cos φ se pueden expandir alrededor del punto φ = 0: sen φ = φ −

φ3 +··· ≈ φ 3!

φ2 + ··· ≈ 1 2! Reemplazando (1.10) y (1.11) en las ecuaciones (1.1) a (1.4) se obtiene: cos φ = 1 −

(1.10)

(1.11)

..

I φ = V Lφ − HL

(1.12)

V − mg = 0

(1.13) ..

..

H = m y + mL φ ..

u−H =M y

(1.14) (1.15)

Eliminando V y H del anterior sistema de ecuaciones se obtiene: ..

..

(I + mL2 ) φ + mL y − mgLφ = 0 ..

..

mL φ + (m + M ) y = u

1.13

(1.16) (1.17)

Selecci´ on de u (Estrategia de control)

Consideraciones:

1. El objetivo de control es mantener la barra verticalmente, la cual es una frase vaga, y por lo tanto se necesita un criterio m´ as espec´ıfico. Por ejemplo, restringir φ de modo que |φ| nunca exceda 1o , o que φ se aproxime a cero asint´oticamente. 2. La estrategia debe resultar en un sistema que pueda ser f´acilmente implementado con dispositivos f´ısicos.

14 INTRODUCCION 3. Seleccionar u tal que al ser reemplazada en (1.17) se pueda obtener la soluci´on de la salida del sistema. Para supervisar y controlar el a´ngulo φ se escoge la estructura del sistema como se muestra en la Fig. 1.16.

Figura 1.16 Estructura de control para el p´endulo invertido El sensor da informaci´on sobre φ la cual es realimentada a un transductor de potencia el cual genera la se˜ nal u para corregir la posici´ on del carro. N´ otese que esta estructura es del tipo lazo cerrado. Se tiene libertad en escoger la se˜ nal u(φ), es decir c´ omo reacciona el motor en respuesta a la se˜ nal del sensor φ. Se deben considerar limitaciones f´ısicas del sensor y del transductor. Se considerar´an cualidades din´ amicas de sistemas de control que se obtienen haciendo simples suposiciones acerca de las reacciones del transductor.

1.14

Acciones b´ asicas de control

(a) CONTROL PROPORCIONAL: La estrategia m´as simple de control se obtiene cuando el motor produce una fuerza proporcional a la desviaci´ on angular, es decir: u = K1 φ

(1.18)

donde K1 en el sistema MKS tiene dimensiones Newtons/Radi´ an. N´otese que se han despreciado los retardos en tiempo debidos al sensor y el motor; es decir, se ha supuesto que ellos responden instantaneamente, lo cual f´ısicamente no es posible. Sin embargo, la aproximaci´on es de naturaleza real´ıstica (las constantes de tiempo del sistema mec´ anico son mucho menores que las del el´ectrico).

1.14 Acciones b´ asicas de control 15 Reemplazando (1.18) en (1.17) y escribiendo de nuevo (1.16) se obtiene: ..

..

(I + mL2 ) φ + mL y − mgLφ = 0 ..

..

mL φ + (m + M ) y −K1 φ = 0

..

(1.19) (1.20)

Eliminando y de (1.19) y (1.20) se obtiene (1.21): ..

φ+

K1 − g(m + M) mLφ = 0 I(m + M) + mML2

(1.21)

K1 − g(m + M) mL I(m + M) + mML2

(1.22)

Definiendo: ω2 =

a=

K1 m+M

mL m+M Utiliz´ andolas en (1.21) y (1.19) se obtienen (1.25) y (1.26): b=

(1.23) (1.24)

..

φ + ω2φ = 0 ..

(1.25)

..

y = aφ − b φ

(1.26)

N´otese que φ es independiente de y, pero lo opuesto no es cierto. . . Se suponen las siguientes condiciones iniciales: y(0) = y (0) = φ (0) = 0, φ(0) = φo . Si se define la ganancia cr´ıtica, Kcr como: Kcr = g(m + M )

(1.27)

se pueden considerar los tres siguientes casos, cuyas respuestas se pueden obtener f´acilmente utilizando la Transformada de Laplace en las ecs (1.25) y (1.26):

i. K1 > Kcr (Ganancia supercr´ıtica)

y = φo

ii. K1 = Kcr (Ganancia cr´ıtica)

φ = φo cos ωt

(1.28)

a + bω 2 (1 − cos ωt) ω2

(1.29)

16 INTRODUCCION

φ = φo

(1.30)

a y = φo t2 2

(1.31)

φ = φo cosh |ω|t

(1.32)

a − b|ω|2 (cosh |ω|t − 1) |ω|2

(1.33)

iii. K1 < Kcr (Ganancia subcr´ıtica)

y = φo

Las respuestas φ para cada uno de los casos se muestran en la Fig. 1.17.

25 posición angular (grados)

20 15

iii ii

10 5

i

0 -5 -10 0

2

4 6 tiempo (segs)

8

10

Figura 1.17 Diferentes respuestas del p´endulo con acci´ on proporcional N´otese que este sistema de control proporcional tiene una respuesta inaceptable para valores muy bajos de K1 . El motor es demasiado d´ebil para corregir las desviaciones angulares, as´ı el a´ngulo crecer´ a indefinidamente hasta que la barra cae. Se dice entonces que el sistema es inestable.

1.14 Acciones b´ asicas de control 17 onicas (como las de Para K1 > Kcr , la barra y el carro desarrollan oscilaciones arm´ un p´endulo sin amortiguamiento). N´ otese que la barra no cae y se puede decir que el objetivo de control ha sido pobremente satisfecho. (b) CONTROL PROPORCIONAL MAS DERIVATIVO Las oscilaciones debidas al control proporcional se pueden amortiguar por medio del control derivativo. La presencia de oscilaciones no amortiguadas se debe al hecho de que el motor actua s´olo despu´es de que la desviaci´on angular ya ha ocurrido. Tiene sentido entonces hacer que el motor actue cuando las desviaciones est´en a punto de ocurrir; es decir, que la fuerza de control actue antes de que la desviaci´ on ocurra. Una . posible soluci´ on es hacer la fuerza de control u una combinaci´on lineal de φ y de φ: .

u = K1 φ + K2 φ

(1.34) .

Obviamente se requiere un sensor m´ as sofisticado que mida φ y φ o un medio de diferenciar la se˜ nal φ. La inclusi´ on de la derivada de una se˜ nal significa f´ısicamente que se est´ a h´abil para desarrollar un cierto grado de predicci´ o n de los valores futuros . de φ, ya que φ es una medida de la rata de cambio de φ dando una indicaci´on hacia donde tiende. Reemplazando (1.34) en (1.17) y escribiendo de nuevo (1.16) se obtiene: ..

..

(I + mL2 ) φ + mL y − mgLφ = 0 ..

..

..

(1.35)

.

mL φ + (m + M ) y −K1 φ − K2 φ = 0

(1.36)

Eliminando y de (1.35) y (1.36) se obtiene: ..

.

φ + 2α φ + ω 2 φ = 0

(1.37)

donde α=

ω2 =

1 mLK2 2 I(m + M) + mM L2 K1 − g(m + M) mL I(m + M) + mML2

Suponiendo las mismas condiciones iniciales anteriores y utilizando la Transformada de Laplace se puede resolver la ecuaci´ on diferencial (1.37) y su soluci´on es: √ p ω ω 2 − α2 −αt 2 2 ) (1.38) e sen( ω − α t + arctan φ = φo √ α ω 2 − α2 que es v´ alida para valores reales del radical y cuya forma de onda se muestra en la Fig. 1.18.

18 INTRODUCCION

posición angular (grados)

10 8 6 4 2 0 -2

0

2

4

6 8 tiempo (segs)

10

12

Figura 1.18 Respuesta del p´endulo correspondiente a la ec. (1.38)

posición angular (grados)

10 8 6

4 2 0 0

5

10

15

tiempo (segs) Figura 1.19 Respuesta del p´endulo correspondiente a la ec. (1.39) Cuando el t´ermino derivativo es grande en comparaci´ on con el t´ermino proporcional, el radical se hace imaginario y la respuesta del sistema en este caso es sobreamortiguada y dada por la ec. (1.39).

1.15 Efectos de la realimentaci´ on 19

h i √ √ p p φo 1 2 2 2 2 √ (α + α2 − ω2 )e−(α− α −ω )t − (α − α2 − ω2 )e−(α+ α −ω )t 2 α2 − ω 2 (1.39) Esta soluci´on, que se muestra en la Fig. 1.19, ocurre cuando α > |ω|. N´otese de las Figs. 1.17, 1.18 y 1.19 la superioridad de este u ´ltimo control sobre el control proporcional, para este caso particular. Es importante anotar que con la salida considerada, la posici´ on angular de la barra, el sistema no es observable (concepto que ser´ a visto posteriormente) y por lo tanto no todas las frecuencias naturales (que deciden la estabilidad del sistema) aparecen a la salida. Si se considera tambi´en como salida la posici´ on lineal del carro, y, se notar´a que el sistema es inestable, a´ un en lazo cerrado. Por lo tanto es necesario incluir otro controlador. Esta soluci´ on se plantea mediante simulaci´ on en el ap´endice C. Existen otras estrategias de control, lineales y no lineales, como por ejemplo el control ON-OFF, cuya ley de control se define por la ecuaci´ on (1.40). φ=

φ umax = umax sgn(φ) (1.40) |φ| El controlador propuesto en este ejemplo introductorio no se garantiza para otras condiciones que las supuestas en el an´alisis, es decir, para peque˜ nas (infinitesimales en el sentido estricto) perturbaciones. u=

1.15

Efectos de la realimentaci´ on

Hasta ahora se ha visto en los ejemplos, de manera simplificada, que la realimentaci´ on tiene como prop´osito reducir el error entre la entrada de referencia y la salida del sistema. Sin embargo, ´este es apenas uno de los prop´ositos de la realimentaci´on. Se mostrar´ a que ´esta tambi´en tiene efectos en caracter´ısticas del sistema como la estabilidad (como en el ejemplo introductorio), el ancho de banda, la ganancia total, la impedancia y la sensitividad. Por simplicidad, por ahora, se usar´ a la notaci´ on del sistema est´ atico.

Figura 1.20 Sistema con realimentaci´ on

20 INTRODUCCION En la Fig. 1.20 consid´erese que G y H son ganancias constantes. Por lo tanto:

c = Ge = G(r − b) = Gr − GHc

(1.41)

De (1.41) se obtiene la ganancia total M :

M=

1.16

G c = r 1 + GH

(1.42)

Efecto en la ganancia total

De (1.42) se nota que la realimentaci´ on afecta la ganancia G del sistema sin realimentaci´ on por un factor de (1 + GH). La cantidad GH podr´ıa incluir un signo menos; asi el efecto general de la realimentaci´ on podr´ıa incrementar o decrementar la ganancia. En un sistema de control pr´actico G y H son funciones de la frecuencia y por lo tanto la magnitud de 1 + GH podr´ıa ser mayor que 1 en un rango de frecuencia y menor que 1 en otro. Por eso la realimentaci´ on podr´ıa incrementar la ganancia del sistema en un rango de frecuencia pero decrementarla en otro.

1.17

Efecto en la estabilidad

De manera no rigurosa se puede decir que un sistema es inestable si su salida se incrementa sin acotamiento (en amplitud) cuando la entrada es acotada. N´otese de (1.42) que si GH = −1, la salida del sistema es infinita para cualquier entrada finita y entonces el sistema es inestable. Asi la realimentaci´ on podr´ıa hacer que un sistema que era originalmente estable, se vuelva inestable. Recu´erdese que solo se est´a tratando el caso est´atico y, en general, GH = −1 no es la u ´nica condici´ on para inestabilidad. En el ejemplo introductorio se mostr´o que una de las ventajas de incorporar realimentaci´ on es que se puede estabilizar un sistema inestable.

1.18 Efecto en la sensitividad 21

Figura 1.21 Sistema con doble lazo de realimentaci´ on Sup´ongase que el sistema realimentado de la Fig. 1.20 es inestable debido a que GH = −1. Si se introduce otro lazo de realimentaci´ on con ganancia F , como se muestra en la Fig. 1.21, la relaci´ on entrada-salida del sistema total es: G c = (1.43) r 1 + GH + GF N´otese que aunque las propiedades de G y H son tales que el sistema con el lazo de realimentaci´on interior es inestable, el sistema total puede ser estable si se selecciona adecuadamente la ganancia F del lazo de realimentaci´ on exterior. Recu´erdese que en la pr´actica GH es funci´ on de la frecuencia y la condici´ on de estabilidad del sistema en lazo cerrado depende de la magnitud y fase de GH. Es decir, la realimentaci´ on podr´ıa mejorar la estabilidad o empeorarla si no es adecuadamente aplicada.

1.18

Efecto en la sensitividad

Puesto que todos los elementos f´ısicos tienen propiedades que cambian con el ambiente y el tiempo, no se puede considerar siempre que los par´ametros de un sistema de control son completamente estacionarios durante toda su vida de operaci´on. Por ejemplo, la resistencia de los devanados de un motor el´ectrico cambia con el aumento de temperatura del motor durante su operaci´on. En general, un buen sistema de control debe ser muy insensitivo a variaciones en los par´ ametros pero sensitivo a los comandos de entrada. Se investigar´a el efecto que la realimentaci´ on tiene en la sensitividad a variaciones de par´ametros. Sup´ongase en la Fig. 1.20 a la ganancia G como un par´ametro que podr´ıa variar. La sensitividad de la ganancia total del sistema M debido a la variaci´ on en G se define como: M = SG

∂M M ∂G G

=

porcentaje de cambio en M porcentaje de cambio en G

(1.44)

22 INTRODUCCION en donde ∂M denota el cambio incremental en M debido al cambio incremental en G, ∂G. De (1.42): M = SG

1 ∂M G = ∂G M 1 + GH

(1.45)

De (1.45) se nota que si GH es una constante positiva, la magnitud de la funci´ on sensitividad se puede hacer arbitrariamente peque˜ na incrementando GH, con la condici´ on de que el sistema permanezca estable. L´ogicamente para el sistema en lazo abierto, G = 1. SG Recu´erdese que en la pr´ actica GH es funci´ on de la frecuencia. Asi la magnitud de 1 + GH podr´ıa ser menor que 1 sobre algunos rangos de frecuencia de modo que la realimentaci´on podr´ıa ser peligrosa para la sensitividad a variaci´ on de par´ametros en ciertos casos.

1.19

Efecto en la perturbaci´ on externa o ruido

Todos los sistemas f´ısicos est´ an sujetos a algunos tipos de se˜ nales extra˜ nas o ruido durante su operaci´on. Por ejemplo, voltajes en circuitos electr´ onicos debido al ruido t´ermico. Perturbaci´on externa, tal como el viento actuando sobre sobre una antena. Por esto, en el dise˜ no de un sistema de control se deben hacer consideraciones de modo que el sistema sea insensitivo a las perturbaciones y ruidos y sensitivo a los comandos de entrada. Aunque no se pueden sacar conclusiones generales, en muchas situaciones la realimentaci´on puede reducir el efecto del ruido o perturbaci´ on en el desarrollo del sistema.

Figura 1.22 Sistema con realimentaci´ on y ruido En la Fig. 1.22, n es la se˜ nal de ruido. Si no hay realimentaci´ on, H = 0, la salida es:

1.19 Efecto en la perturbaci´ on externa o ruido 23

c = G1 G2 e + G2 n

(1.46)

en donde e = r. La relaci´on se˜ nal a ruido SR de la salida se define como: salida debido a la se˜ nal G1 G2 e e = = G1 (1.47) salida debido al ruido G2 n n Para incrementar esta relaci´ on se debe incrementar la magnitud de G1 o e relativo a on. n. N´ otese que G2 no tendr´ıa efecto en esta relaci´ Con realimentaci´on, la salida del sistema debido a r y n actuando simultaneamente es: SR =

G2 G1 G2 r+ n (1.48) 1 + G1 G2 H 1 + G1 G2 H Comparando (1.48) con (1.46) se nota que la componente de la salida debida al ruido se reduce por el factor 1 + G1 G2 H si ´este es mayor que 1, pero la componente debido a la se˜ nal tambi´en es cambiada por la misma cantidad. La relaci´ on se˜ nal a ruido es ahora: c=

SR =

G1 G2 1+G1 G2 H r G2 1+G1 G2 H n

= G1

r n

(1.49)

que es la misma que sin realimentaci´ on. En este caso, la realimentaci´ on no tiene efecto directo en la relaci´ on se˜ nal a ruido del sistema de la Fig. 1.22. Sin embargo, la aplicaci´on de realimentaci´on sugiere una posibilidad de mejorarla bajo ciertas condiciones. Sup´ ongase que en el sistema de la Fig. 1.22, la magnitud de G1 se incrementa nal a G01 y r a r0 sin cambiar los otros par´ametros, de modo que la salida debida a la se˜ de entrada actuando sola tiene el mismo nivel que cuando no hay realimentaci´on. Es decir G01 G2 r0 = G1 G2 r 1 + G01 G2 H Con G1 incrementada a G01 , la salida debida al ruido actuando sola es e|n=0 =

(1.50)

G2 n (1.51) 1 + G01 G2 H la cual es m´ as peque˜ na que la salida debida a n cuando G1 no es incrementada. La relaci´ on se˜ nal a ruido es entonces c|r=0 =

SR =

G1 G2 r G2 1+G01 G2 H n

=

G1 r (1 + G01 G2 H) n

(1.52)

la cual es mayor que la del sistema sin realimentaci´ on por un factor de (1 + G01 G2 H). Existen otras configuraciones en los sistemas de control que permiten reducir los efectos de las perturbaciones y el ruido. La realimentaci´on en general tambi´en tiene efectos en caracter´ısticas de desarrollo tales como el ancho de banda, la impedancia, respuesta transitoria y respuesta frecuencial.

CAPITULO

2

MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

2.1

Objetivo

Se plantean modelos matem´aticos de sistemas mec´ anicos traslacionales y rotacionales, sistemas el´ectricos, hidr´ aulicos, neum´ aticos y t´ermicos.

2.2

Modelos matem´ aticos

Muchos sistemas din´amicos, independientemente de que sean mec´anicos, el´ectricos, t´ermicos, hidr´aulicos, neum´ aticos, qu´ımicos, econ´ omicos, biol´ogicos, etc. se pueden caracterizar por ecuaciones diferenciales las cuales se obtienen con base en leyes f´ısicas, como por ejemplo las leyes de Kirchhoff, las leyes de Newton, etc. Se puede definir un modelo matem´ atico como la descripci´ on matem´atica del comportamiento del sistema. Muchas veces en el an´ alisis de un sistema, inicialmente se obtiene un modelo matem´atico simple, como por ejemplo ignorando no linealidades y par´ametros distribuidos (como en el caso de l´ıneas de transmisi´ on el´ectrica), con el fin de obtener ecuaciones diferenciales lineales y de par´ ametros concentrados. Se debe tener en cuenta que a veces los modelos son v´ alidos en operaciones de baja frecuencia y no a frecuencias muy altas. Por ejemplo, al despreciar la masa de un resorte, su modelo es v´ alido a bajas frecuencias. Para altas frecuencias, su masa debe ser tenida en cuenta en el modelo. Otro ejemplo que ilustra como un dispositivo f´ısico se podr´ıa modelar con varios modelos es el de una bobina, como se muestra en la Fig. 2.1.

25

26 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

Figura 2.1 Diferentes modelos de una bobina Los modelos matem´aticos se pueden representar b´asicamente en dos formas: mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden, conocidas como ecuaciones de estado o mediante una ecuaci´on diferencial de n−´esimo orden. Sin embargo, esta u ´ltima queda restringida a sistemas con una sola entrada y una sola salida. Las funciones o matrices de transferencia se pueden obtener a partir de las anteriores, aunque ya esto implica que el sistema es lineal o ha sido linealizado. Antes de continuar con estos dos m´etodos se har´an las definiciones de lo que son sistemas determin´ısticos, lineales, invariantes con el tiempo y causales.

2.3

Clasificaci´ on de sistemas

Figura 2.2 Sistema con estado energ´etico inicial nulo Para las siguientes definiciones se supone que el sistema de la Fig. 2.2 no contiene fuentes independientes y que su estado energ´etico inicial es nulo antes de que la se˜ nal de entrada sea aplicada. La relaci´ on entre la entrada y la salida se indica a menudo simb´olicamente como:

y(t) = Lv(t)

(2.1)

en donde L es un operador que caracteriza el sistema. Podr´ıa ser funci´ on de v, y y t, podr´ıa incluir operaciones como diferenciaci´ on e integraci´ on y podr´ıa ser dado en lenguaje probabil´ıstico. La ecuaci´ on (2.1) expresa que hay una relaci´ on de causa y efecto entre v(t) y y(t).

2.3 Sistema lineal 27

2.3.1

Sistema determin´ıstico

Un sistema es determin´ıstico si para cada entrada v(t) hay una u ´nica salida y(t). En un sistema probabil´ıstico o no determin´ıstico hay varias posibles salidas, cada una con cierta probabilidad de ocurrencia para una entrada dada. Las entradas a un sistema podr´ıan ser funciones conocidas o funciones aleatorias. Las aleatorias, tales como el ruido, pueden ser descritas s´olo en un sentido estad´ıstico o probabil´ıstico. Si la entrada a un sistema determin´ıstico es una funci´ on aleatoria, la salida es no determin´ıstica.

2.3.2

Sistema causal

Un sistema es causal o no anticipativo si la salida actual no depende de valores futuros de la entrada. En tal caso, y(to ) est´a determinada completamente por las caracter´ısticas del sistema y por los valores de v(t) para t ≤ to . En particular, si v(t) ≡ 0 ∀ t ≤ to , entonces y(t) ≡ 0 ∀ t < to .

2.3.3

Sistema lineal

Si se supone que las respuestas del sistema de la Fig. 2.2 a dos entradas diferentes v1 (t) y v2 (t) son y1 (t) y y2 (t), respectivamente, y que α y β son dos constantes, se dice que el sistema es lineal si la respuesta a v(t) = αv1 (t) + βv2 (t) es y(t) = αy1 (t) + βy2 (t) para todos los valores de v1 , v2 , α y β. Esto se puede expresar simb´olicamente mediante la ecuaci´ on (2.2):

L[αv1 (t) + βv2 (t)] = αL[v1 (t)] + βL[v2 (t)]

(2.2)

La ecuaci´on (2.2) tambi´en se conoce como el principio de superposici´ on. La mayor´ıa de sistemas lineales lo son en solamente rangos restringidos de ope-raci´ on. As´ı por ejemplo, la se˜ nal de salida de un amplificador se puede saturar para niveles elevados de la se˜ nal de entrada. A esta no linealidad se le conoce como alinealidad por saturaci´on (v´ease la Fig. 2.3). Otro ejemplo lo constituyen los amortiguadores utilizados en sistemas mec´ anicos, los cuales pueden ser lineales para operaciones a baja velocidad y no lineales a altas velocidades (en este caso la fuerza es proporcional al cuadrado de la velocidad, como se muestra en la Fig. 2.4). Un u ´ltimo ejemplo es la alinealidad por zona muerta, la cual se puede presentar entre las posiciones angulares de un par de engranajes mec´anicos (v´ease la Fig. 2.5).

28 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

Figura 2.3 Alinealidad por saturaci´on

Figura 2.4 Alinealidad cuadr´ atica

Figura 2.5 Alinealidad por zona muerta

2.3.4

Sistema invariante con el tiempo

Un sistema es invariante con el tiempo si la relaci´ on entre la entrada y la salida es independiente del tiempo. Si la respuesta a v(t) es y(t), entonces la respuesta a

2.4 Matriz de transferencia 29 v(t−λ) es y(t−λ). En tal sistema, la amplitud y forma de la salida son independientes del tiempo en el cual la entrada es aplicada. Simb´ olicamente: L[v(t − λ)] = y(t − λ)

2.4

(2.3)

Ecuaciones de estado

Las ecuaciones de estado o la ecuaci´ on (matricial) de estado la constituye un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden, que describe completamente el comportamiento del sistema que se quiere modelar. Este m´etodo de plantear el modelo matem´atico de un sistema es muy importante porque puede ser aplicado a sistemas no lineales y sistemas multivariables. Matem´aticamente: x˙ = f (x, u, t)

(2.4)

en donde f es un funci´on vectorial no lineal.

Figura 2.6 Sistema multivariable Si el sistema es lineal, o se ha linealizado alrededor de un punto de operaci´on (demostraci´on que se har´ a posteriormente), la ecuaci´ on (2.4) se reduce a: x˙ = Ax+Bu

(2.5)

en donde A es de dimensiones n × n y se le conoce como matriz de realimentaci´ on, y B es de dimensiones n × m y se le conoce como matriz de entrada. Si el sistema ha sido completamente descrito mediante variables de estado, siempre ser´ a posible expresar las p salidas de inter´es (y) en funci´ on de ´ellas. As´ı se plantea la ecuaci´ on de salida: y = Cx+Du

(2.6)

en donde C es de dimensiones p × n y se le conoce como matriz de salida, y D es de dimensiones p × m y se le conoce como matriz directa.

30 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

2.4.1

Matriz de transferencia

Utilizando la transformada de Laplace en las ecuaciones (2.5) y (2.6) suponiendo que el estado energ´etico inicial es x(0− ), y organizando se obtienen: X(s) = (sI − A)−1 x(0− ) + (sI − A)−1 BU(s)

(2.7)

Y(s) = CX(s)+DU(s)

(2.8)

Reemplazando (2.7) en (2.8) se obtiene: Y(s) = C(sI − A)−1 x(0− ) + [C(sI − A)−1 B+D]U(s)

(2.9)

Como la matriz de transferencia (H(s)) se define suponiendo que el estado ener-g´etico inicial es nulo, y es aquella que relaciona Y(s) con U(s), entonces de (2.9) se obtiene: H(s) = C(sI − A)−1 B+D

2.5

(2.10)

Una ecuaci´ on diferencial de n−´ esimo orden

El m´etodo de plantear el modelo matem´ atico de un sistema mediante una ecuaci´ on diferencial de n−´esimo orden es u ´til en sistemas escalares. Si se utiliza la funci´ on de transferencia, adem´ as de servir en sistemas escalares, es para sistemas lineales o que han sido linealizados. Matem´aticamente: y (n) + a1 y(n−1) + · · · + an y = b0 u(m) + b1 u(m−1) + · · · + bm u

(2.11)

Utilizando la transformada de Laplace en (2.11) suponiendo condiciones iniciales nulas (y(0) = y (1) (0) = · · · = y(n−1) (0) = 0), se obtiene la funci´ on de transferencia: H(s) =

b0 sm + b1 sm−1 + · · · + bm s Y (s) = n U (s) s + a1 sn−1 + · · · + an s

(2.12)

La cual no depende de las condiciones iniciales ni del tipo de se˜ nal aplicada a la entrada. S´olo depende de los par´ ametros que caracterizan al sistema.

2.6

Sistemas mec´ anicos de traslaci´ on

Los elementos de sistemas mec´ anicos idealizados son la masa, el resorte y el amortiguador.

2.6 Resorte traslacional 31

2.6.1

Masa

Figura 2.7 Masa En la Fig. 2.7 se muestra el diagrama de un masa M que se ha aislado de un sistema m´as complejo del cual forma parte. u es la fuerza neta resultante actuando sobre ´ella y y su desplazamiento con respecto a una posici´on de equilibrio (es decir, cuando el sistema est´ a en reposo). Una fuerza de reacci´on fM se desarrolla, su sentido de referencia se muestra en la Fig. 2.7 y su expresi´ on es dada por la ecuaci´ on (2.13): d2 y (2.13) dt2 Es importante hacer notar que la masa en movimiento almacena energ´ıa y cuya ex˙ 2. presi´ on, la cual se puede demostrar f´acilmente, es E = 12 M (y) fM = M

2.6.2

Resorte traslacional

Figura 2.8 Resorte traslacional En la Fig. 2.8 se muestra el diagrama de un resorte con constante K que se ha aislado de un sistema m´as complejo del cual forma parte. El desplazamiento del extremo superior y y del extremo inferior yo se miden desde sus respectivas posiciones de equilibrio. Una fuerza restauradora es desarrollada debido a la propiedad el´ astica del resorte. Su sentido en el extremo superior se muestra en la Fig. 2.8 (en el inferior tiene el sentido opuesto al del superior) y su expresi´ on, seg´ un la ley de Hooke, es dada por la ecuaci´ on (2.14):

32 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

fK = K(y − yo )

(2.14)

Si el extremo inferior (podr´ıa denominarse como el extremo de referencia) est´ a en el origen del sistema de coordenadas, entonces en este caso fK = Ky. 2 Se puede demostrar que la energ´ıa almacenada por el resorte es E = 12 uK , en donde u es la fuerza neta en el extremo superior.

2.6.3

Amortiguador traslacional

Figura 2.9 Amortiguador traslacional En la Fig. 2.9 se muestra el diagrama de un amortiguador con coeficiente de fricci´on viscosa B que se ha aislado de un sistema m´as complejo del cual forma parte. Las posiciones y y yo de los extremos superior e inferior, respectivamente, se miden desde sus respectivas posiciones de equilibrio. Una fuerza de reacci´on se desarrolla, su sentido en el extremo superior se muestra en la Fig. 2.9 y su expresi´ on es dada por la ecuaci´ on (2.15): fB = B(

dy dyo − ) dt dt

(2.15)

Si el terminal de referencia, yo , es estacionario, entonces en este caso fB = B y. ˙ A diferencia de los dos elementos idealizados anteriores, el amortiguador es un dispositivo que transforma energ´ıa en calor, y se puede demostrar que la energ´ıa transformada en calor por unidad de tiempo (potencia P ) es dada por P = Bv2 , en donde v es la velocidad relativa de los extremos del amortiguador. Ejemplo 2.1 Para el sistema mec´ anico traslacional de la Fig. 2.10(a) plantear un on en reposo con peso modelo matem´ atico. u(t) es una fuerza externa, y1o es la posici´ y yo es la longitud del resorte sin peso (longitud natural del resorte).

2.6 Amortiguador traslacional 33

Figura 2.10 Sistema del ejemplo 2.1 Utilizando el diagrama de cuerpo libre de la Fig. 2.10(b) y aplicando la segunda ley de Newton se obtiene la ecuaci´on (2.16): Mg − B

d2 y1 dy1 + u(t) − K(y1 − yo ) = M 2 dt dt

(2.16)

N´otese que cuando el sistema est´ a en reposo con u(t) = 0, (2.16) se reduce a: Mg − 0 + 0 − K(y1o − yo ) = 0 de donde se obtiene (2.17): M g = K(y1o − yo )

(2.17)

Reemplazando (2.17) en (2.16) y organizando se obtiene: M

d2 y1 dy1 + K(y1 − y1o ) = u(t) +B 2 dt dt

(2.18)

Haciendo un cambio de variable con relaci´on a la posici´ on de equilibrio (n´otese en la Fig. 2.10 la convenci´ on utilizada para medir la posici´on de la masa con respecto a la posici´ on de equilibrio y) : y = y1 − y1o

(2.19)

d(y1 − y1o ) dy1 dy = = dt dt dt

(2.20)

34 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

d2 y1 d2 y = (2.21) dt2 dt2 Reemplazando (2.19), (2.20) y (2.21) en (2.18) se obtiene la ecuaci´ on diferencial que relaciona la posici´ on de la masa M desde la posici´ on de equilibrio (y) con la entrada (u(t)): dy d2 y + Ky = u(t) (2.22) +B 2 dt dt N´otese que si se escoge como referencia la posici´ on de equilibrio (sistema en reposo), el peso no interviene. M

Ejemplo 2.2 Plantear un conjunto de ecuaciones de estado y de salida del sistema del ejemplo anterior. El siguiente procedimiento para obtener las anteriores ecuaciones se generalizar´ a en la siguiente secci´ on. Dividiendo ambos miembros de (2.22) por M y tomando la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuaci´ on, suponiendo condiciones iniciales nulas (y(0) = y(0) ˙ = 0) se obtiene (2.23): K 1 B s+ )Y (s) = U (s) M M M de la cual se obtiene la funci´ on de transferencia del sistema: (s2 +

G(s) =

Y (s) = 2 U (s) s +

1 M B K Ms+ M

(2.23)

(2.24)

Se obtienen polinomios en el numerador y el denominador de G(s) con exponentes negativos. Por lo tanto se dividen tanto el numerador como el denominador por s2 en este caso particular y se obtiene: G(s) =

Y (s) = U (s) 1+

1 −2 Ms B −1 K −2 +M s Ms

(2.25)

De (2.25): Y (s) =

1+

1 −2 Ms U(s) B −1 K −2 +M s Ms

1+

B −1 Ms

(2.26)

Se define: E(s) ,

1 +

K −2 Ms

U (s)

(2.27)

De (2.27) se obtiene: E(s) = U (s) − Reemplazando (2.27) en (2.26):

B −1 K −2 s U(s) − s U (s) M M

(2.28)

2.7 Un m´etodo para obtener la ecuaci´ on de estado y la de salida 35

1 −2 s E(s) (2.29) M Utilizando la ecuaci´on (2.28) se obtiene la mayor parte del diagrama de bloques (´ util en simulaci´on de sistemas) de la Fig. (2.11), del cual se pueden obtener f´acilmente las ecuaciones de estado si se consideran como variables de estado las salidas de los integradores (x1 y x2 ). Y (s) =

Figura 2.11 Diagrama de bloques del ejemplo 2.2 N´otese del diagrama de bloques que: 1 X2 (s) = X1 (s) s

(2.30)

1 B 1 K X1 (s) − X2 (s)) (2.31) X1 (s) = E(s) = (U(s) − s s M M Multiplicando ambos miembros de las ecuaciones (2.30) y (2.31), utilizando la Transformada inversa de Laplace suponiendo condiciones iniciales nulas y escribiendo las ecuaciones en forma matricial se obtiene la ecuaci´on de estado (2.32): ¸ · B ¸ · ¸ ¸· · K 1 x1 x˙ 1 −M −M = + u(t) (2.32) 0 x˙ 2 x2 1 0 Con la ecuaci´on (2.29) se obtiene el resto del diagrama de bloques de la Fig. 2.11 y a su vez se obtiene la ecuaci´ on de salida: 1 X2 (s) M que en el dominio del tiempo y en forma matricial es: ¸ · ¤ x1 £ ¤ £ 1 0 + 0 u(t) y(t) = M x2 Y (s) =

(2.33)

(2.34)

36 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

2.7

Un m´ etodo para obtener la ecuaci´ on de estado

y la de salida Este m´etodo es v´ alido para sistemas escalares cuya funci´on de transferencia es conocida. Se supone que el grado del polinomio del numerador de la funci´on de transferencia es menor o igual que el del denominador. Sin p´erdida de generalidad, consid´erese: H(s) =

b0 sn−1 + b1 sn−2 + · · · + bn−1 Y (s) = U(s) sn + a1 sn−1 + · · · + an

(2.35)

b0 s−1 + b1 s−2 + · · · + bn−1 s−n Y (s) = U(s) 1 + a1 s−1 + · · · + an s−n

(2.36)

Dividiendo tanto el numerador como el denominador de H(s) por sn , se obtiene: H(s) = Se define:

E(s) = De donde:

1 + a1

s−1

1 U (s) + · · · + an s−n

E(s) = −a1 s−1 E(s) − a2 s−2 E(s) − · · · − an s−n E(s) + U (s)

(2.37)

(2.38)

De la ecuaci´on (2.38) se puede deducir parte del diagrama de bloques de la Fig. 2.12.

Figura 2.12 Diagrama de bloques de la realizaci´ on ”Controller” Con (2.37) en (2.36) se obtiene:

2.7 Un m´etodo para obtener la ecuaci´ on de estado y la de salida 37

Y (s) = b0 s−1 E(s) + b1 s−2 E(s) + · · · + bn−1 s−n E(s)

(2.39)

Con la ecuaci´on (2.39) se obtiene la otra parte del diagrama de bloques de la Fig. 2.12. Si se definen las salidas de los integradores como las variables de estado, se puede deducir de la Fig. 2.12 las ecuaciones de estado y de salida:     

x˙ 1 x˙ 2 .. . x˙ n





    =  

−a1 1 .. .

−a2 0 .. .

0

···

y(t) =

£

b0

· · · −an ··· 0 .. .. . . 1 0

b1

    

· · · bn−1

x1 x2 .. . xn 

¤   





    +  

x1 x2 .. . xn

1 0 .. . 0



   u(t) 

    

(2.40)

(2.41)

Esta representaci´on es conocida como una simulaci´ on o realizaci´on can´onica llamada ”Controller”.

Ejemplo 2.3 Para el sistema mec´ anico traslacional de la Fig. 2.13 plantear un conjunto de ecuaciones que lo describa completamente y obtener la funci´ on de transferencia considerando como salida el desplazamiento y. La entrada al sistema es el desplazamiento u(t).

Figura 2.13 Sistema mec´anico traslacional del ejemplo 2.3 La Fig. 2.14 muestra los diagramas de cuerpo libre de las dos masas, en donde por simplicidad se ha supuesto que u > y > z.

38 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

Figura 2.14 Diagramas de cuerpo libre de M1 y M2 Aplicando la segunda ley de Newton a cada una de las masas se obtienen las ecuaciones (2.42) y (2.43), las cuales describen completamente el sistema. K1 (u − y) − K2 (y − z) − B1

dy d2 y = M1 2 dt dt

dz d2 z = M2 2 dt dt Reorganizando t´erminos se obtienen (2.44) y (2.45): K2 (y − z) − B2

(2.42) (2.43)

M1 y¨ + B1 y˙ + (K1 + K2 )y − K2 z = K1 u(t)

(2.44)

−K2 y + M2 z¨ + B2 z˙ + K2 z = 0

(2.45)

Aplicando la Transformada de Laplace a ambos miembros de las ecuaciones (2.44) y (2.45) suponiendo condiciones iniciales nulas se obtienen (2.46) y (2.47): [M1 s2 + B1 s + (K1 + K2 )]Y (s) − K2 Z(s) = K1 U (s)

(2.46)

−K2 Y (s) + [M2 s2 + B2 s + K2 ]Z(s) = 0

(2.47)

Manipulando algebr´ aicamente (2.46) y (2.47) se obtiene la funci´ on de transferencia: b3 Y (s) = 4 3 U (s) s + a1 s + a2 s2 + a3 s + a4 donde: b3 =

a1 =

a2 =

K1 M1 M2

M1 B2 + M2 B1 M1 M2

K2 M1 + (K1 + K2 )M2 + B1 B2 M1 M2

(2.48)

2.8 Otro m´etodo para obtener la ecuaci´ on de estado y la de salida 39

a3 =

B1 K2 + B2 (K1 + K2 ) M1 M2 a4 =

K1 K2 M1 M2

Utilizando ahora (2.40) y (2.41) f´ acilmente se pueden obtener las ecuaciones de estado y de salida.

2.8

Otro m´ etodo para obtener la ecuaci´ on de

estado y la de salida Este m´etodo es tambi´en v´ alido para un sistema escalar y se parte de que se conoce la ecuaci´ on diferencial que relaciona la entrada y la salida. Sea ´esta de la forma dada en la ecuaci´ on (2.49): y(n) + a1 y (n−1) + · · · + an−1 y (1) + an y = b0 u(n−1) + b1 u(n−2) + · · · + bn−2 u(1) + bn−1 u (2.49) Reorganizando (2.49) se obtiene: y (n) + [a1 y − b0 u](n−1) + · · · + [an−1 y − bn−2 u](1) = [bn−1 u − an y]

(2.50)

Integrando ambos miembros se obtiene: y(n−1) + [a1 y − b0 u](n−2) + · · · + [an−1 y − bn−2 u] =

Z

[bn−1 u − an y]dt = xn (2.51)

Reorganizando (2.51): y (n−1) + [a1 y − b0 u](n−2) + · · · + [an−2 y − bn−3 u](1) = xn + bn−2 u − an−1 y (2.52) Integrando (2.52):

y

(n−2)

(n−3)

+ [a1 y − b0 u]

+ · · · + [an−2 y − bn−3 u] =

Z

[xn + bn−2 u − an−1 y]dt = xn−1

Se repite el mismo proceso hasta que se finalmente se obtiene: Z y (1) + [a1 y − b0 u] = [x3 + b1 u − a2 y]dt = x2 y (1) = x2 + b0 u − a1 y

(2.53)

(2.54) (2.55)

40 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

y=

Z

[x2 + b0 u − a1 y]dt = x1

(2.56)

Las ecuaciones (2.56), (2.54), (2.53) y (2.51) se pueden implementar mediante el diagrama de bloques de la Fig. 2.15.

Figura 2.15 Realizaci´ on can´onica ”Observer” La simulaci´on o realizaci´ on can´onica de la Fig. 2.15 es conocida como la tipo ”Observer”. De dicho diagrama se pueden obtener f´acilmente las ecuaciones de estado y de salida, las cuales escritas en forma matricial son:    −a  1 · · · 0  x1   b0  1 x˙ 1 .  x   b  ..  x˙ 2   2  . ..  −a2 0  1       (2.57)  ..  +  ..  u(t)  ..  =  .  . .  .   . .. .. 1   .   .  . x˙ n xn bn−1 −an · · · 0 0   x1  x £ ¤ 2   (2.58) y(t) = 1 0 · · · 0  .   ..  xn De la ecuaci´ on diferencial (2.49) se puede obtener la funci´on de transferencia:

Y (s) b0 sn−1 + b1 sn−2 + · · · + bn−1 = (2.59) U(s) sn + a1 sn−1 + · · · + an que es la misma que se utiliz´ o en el m´etodo de la secci´ on anterior para obtener las ecuaciones de estado y de salida. H(s) =

2.9 Resorte rotacional 41

2.9

Sistemas mec´ anicos de rotaci´ on

Los elementos de sistemas mec´ anicos de rotaci´ on idealizados son la inercia, el resorte y el amortiguador.

2.9.1

Inercia

Figura 2.16 Inercia En la Fig. 2.16 se muestra el diagrama de un cuerpo con inercia J que se ha aislado de un sistema m´as complejo del cual forma parte. T es el torque neto resultante actuando sobre ´ella y θ su desplazamiento angular con respecto a una posici´ on de equilibrio (es decir, cuando el sistema est´ a en reposo). Un torque de reacci´ on TJ se desarrolla, su sentido de referencia se muestra en la Fig. 2.16 y su expresi´on es dada por la ecuaci´ on (2.60):

TJ = J

d2 θ dt2

(2.60)

Es importante hacer notar que un cuerpo con inercia en movimiento angular almacena ˙ 2. energ´ıa y cuya expresi´ on, la cual se puede demostrar f´ acilmente, es E = 12 J(θ)

2.9.2

Resorte rotacional

42 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Figura 2.17 Resorte rotacional En la Fig. 2.17 se muestra el diagrama de un resorte rotacional (un ejemplo puede ser un eje el´ astico) con constante K que se ha aislado de un sistema m´as complejo del cual forma parte. El desplazamiento angular del extremo derecho θ y del extremo izquierdo (extremo de referencia) θo se miden desde sus respectivas posiciones de equilibrio. Un torque de reacci´on se desarrolla debido a la propiedad el´astica del resorte. Su sentido en el extremo derecho se muestra en la Fig. 2.17 y su expresi´ on es dada por la ecuaci´on (2.61): TK = K(θ − θo )

(2.61)

Si el extremo de referencia es estacionario, entonces en este caso TK = Kθ. Se puede demostrar que la energ´ıa almacenada por el resorte rotacional es E = en donde T es el torque neto actuando en el extremo derecho.

2.9.3

1 T2 2 K,

Amortiguador rotacional

Figura 2.18 Amortiguador rotacional En la Fig. 2.18 se muestra el diagrama de un amortiguador rotacional con coeficiente de fricci´on viscosa B que se ha aislado de un sistema m´as complejo del cual forma parte. Las posiciones angulares θ y θo de los extremos derecho y de referencia (el izquierdo), respectivamente, se miden desde sus respectivas posiciones de equili-brio. Un torque de reacci´ on se desarrolla, su sentido en el extremo derecho se muestra en la Fig. 2.18 y su expresi´ on es dada por la ecuaci´ on (2.62): dθ dθo − ) (2.62) dt dt ˙ Si el extremo de referencia es estacionario, entonces en este caso TB = B θ. A diferencia de los dos elementos idealizados anteriores, el amortiguador rotacional es un dispositivo que transforma energ´ıa en calor, y se puede demostrar que la energ´ıa transformada en calor por unidad de tiempo (potencia P ) es dada por P = Bω 2 , en donde ω es la velocidad angular relativa de los extremos del amortiguador. TB = B(

2.10 Circuito serie R-L-C 43 Ejemplo 2.4 Para el sistema mec´ anico rotacional de la Fig. 2.19 hallar la ecuaci´ on . diferencial que relaciona a θ(t) con T (t) y la funci´ on de transferencia Tθ(s) (s)

Figura 2.19 Sistema mec´ anico rotacional del ejemplo 2.4 Utilizando el diagrama de cuerpo libre de la Fig. 2.19(b) y aplicando la segunda ley de Newton para sistemas mec´anicos rotacionales se obtiene la ecuaci´ on (2.63):

T (t) − B

d2 θ dθ − Kθ = J 2 dt dt

(2.63)

Organizando se obtiene la ecuaci´ on pedida:

J

d2 θ dθ + Kθ = T (t) +B dt2 dt

(2.64)

Transformando ambos miembros de la ecuaci´ on (2.64) suponiendo condiciones iniciales nulas se obtiene la funci´ on de transferencia:

G(s) =

2.10

θ(s) = 2 T (s) s +

Circuito serie R-L-C

1 J B K Js+ J

(2.65)

44 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

Figura 2.20 Circuito serie RLC Aplicando la segunda ley de Kirchhoff (de voltajes) a la u ´nica trayectoria cerrada del circuito de la Fig. 2.20 se obtiene la ecuaci´ on (2.66):

vi (t) = Ri + L

1 di + dt C

Z

idt

(2.66)

Utilizando la definici´ on de corriente el´ectrica como la variaci´ on por unidad de tiempo del flujo neto de carga a trav´es de la secci´on transversal de una puerta:

i=

dq dt

(2.67)

Reemplazando (2.67) en (2.66) se obtiene la ecuaci´ on diferencial (2.68):

L

2.11

1 d2 q dq + R + q = vi (t) dt2 dt C

(2.68)

Analog´ıa fuerza-torque-voltaje

Comparando las ecuaciones diferenciales (2.22), (2.64) y (2.68) de los sistemas f´ısicos correspondientes (mec´ anico traslacional de la Fig. 2.10, mec´ anico rotacional de la Fig. 2.19 y circuito el´ectrico de la Fig. 2.20) se nota que son de forma id´entica. Tales sistemas se denominan sistemas an´ alogos y los t´erminos que ocupan las posiciones correspondientes en las ecuaciones diferenciales se denominan magnitudes y variables an´alogas. Esto explica porqu´e se denomina la analog´ıa fuerza-torque-voltaje. La siguiente tabla hace un resumen de las analog´ıas:

2.11 Analog´ıa fuerza-torque-voltaje 45

Sist. mec´ anico traslacional

Sist. mec´ anico rotacional

Sistema el´ectrico

Fuerza u Velocidad lineal y˙ Desplazamiento lineal y Masa M Coef. fricci´ on viscosa B Constante del resorte K

Torque T Velocidad angular θ˙ Desplazamiento angular θ Inercia J Coef. fricci´on viscosa B Constante del resorte K

Voltaje v Corriente i Carga q Inductancia L Resistencia R Inverso capacitancia

1 C

Es posible entonces obtener circuitos el´ectricos an´ alogos a sistemas mec´ anicos traslacionales y rotacionales y utilizar todas las t´ecnicas de descripci´ on de redes para plantear modelos matem´ aticos para los sistemas mec´ anicos. El circuito el´ectrico an´ alogo a un sistema mec´ anico traslacional (rotacional) se puede obtener teniendo en cuenta la anterior tabla y notando que por cada masa (inercia) o punto que se desplace (rote) a cierta velocidad en el sistema mec´anico, habr´ a una malla en el circuito an´alogo. Si se supone, sin p´erdida de generalidad, que todas aquellas velocidades son positivas con respecto a la referencia, en el circuito se supone que todas las corrientes de malla tienen el mismo sentido. Ejemplo 2.5 Plantear un modelo matem´ atico para el sistema mec´ anico traslacional de la Fig. 2.21 utilizando la analog´ıa fuerza-torque-voltaje.

Figura 2.21 Sistema mec´anico traslacional del ejemplo 2.5 N´otese de la Fig. 2.21 que hay dos velocidades y˙1 y y˙2 que se suponen positivas con

46 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS respecto a la referencia. Por lo tanto, el circuito el´ectrico an´ alogo (Fig. 2.22) tendr´a dos mallas (1 y 2) cuyas corrientes i1 e i2 , ambas con el mismo sentido (horario en este caso), son an´alogas a las velocidades y˙ 1 y y˙ 2 , respectivamente. Utilizando la tabla de la analog´ıa fuerza-torque-voltaje se obtienen los elementos de circuito correspondientes a las masas, resortes y amortiguadores. Puesto que las masas M1 y M2 se mueven a las alogas velocidades y˙1 y y˙ 2 , entonces las corrientes netas a trav´es de las inductancias an´ correspondientes L1 y L2 son i1 e i2 y por lo tanto pertenecen a las mallas 1 y 2. As´ı mismo, como uno de los extremos de B1 y de K1 se mueve a la velocidad y˙ 1 y el otro extremo es fijo, entonces sus elementos de circuito an´ alogo R1 y C1 , respectivamente, pertenecen a la malla 1. N´ otese que R2 y C2 son elementos comunes a las mallas 1 y 2 (la corriente neta a trav´es de ellos es i1 − i2 , con sentido de referencia hacia arriba) ya que los extremos de sus an´ alogos, B2 y K2 , se mueven a las velocidades y˙1 y y˙ 2 (la velocidad relativa del extremo inferior con respecto al superior es y˙ 1 − y˙ 2 ). Finalmente, la fuerza externa p(t) tiene como an´ alogo en el circuito la fuente de voltaje v(t). N´ otese que con la polaridad mostrada de la fuente, si el estado energ´etico inicial se supone nulo, las corrientes i1 (o) e i2 (0) son positivas con los sentidos mostrados cuando v(0) > 0, lo cual coincide con que si p(0) > 0, y˙ 1 (0) y y˙ 2 (0) son positivas con los sentidos mostrados.

Figura 2.22 Circuito el´ectrico an´ alogo del ejemplo 2.5 Las siguientes son las magnitudes y variables an´alogas: L2 = M2 , L1 = M1 , R2 = B2 , R1 = B1 , C2 = K12 , C1 = K11 , v(t) = p(t), i2 = y˙ 2 , i1 = y˙ 1 . Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a cada una de las mallas del circuito de la Fig. 2.22 se obtienen las ecuaciones que lo describen: Z 1 di2 (i2 − i1 )dt + R2 (i2 − i1 ) + (2.69) v(t) = L2 dt C2 Z Z 1 1 di1 i1 dt + (i1 − i2 )dt + R2 (i1 − i2 ) + R1 i1 + (2.70) 0 = L1 dt C1 C2 Reemplazando las anteriores magnitudes y variables an´alogas en (2.69) y (2.70) se

2.11 Analog´ıa fuerza-torque-voltaje 47 obtienen las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema mec´ anico traslacional de la Fig. 2.21: p(t) = M2

0 = M1

dy2 dy1 d2 y2 − ) + K2 (y2 − y1 ) + B2 ( dt2 dt dt

dy1 dy2 d2 y1 dy1 + K1 y1 + K2 (y1 − y2 ) + B2 ( − ) + B1 2 dt dt dt dt

(2.71)

(2.72)

Ejemplo 2.6 Verificar que las ecuaciones (2.71) y (2.72) describen el comportamiento del sistema de la Fig. 2.21. La Fig. 2.23 muestra los diagramas de cuerpo libre de las dos masas, en los cuales se ha supuesto, por comodidad , que y2 > y1 y que y˙ 2 > y˙1 .

Figura 2.23 Diagramas de cuerpo libre de M1 y M2 Aplicando la segunda ley de Newton a cada una de las masas de la Fig. 2.23 se obtienen las siguientes ecuaciones: p(t) − B2 (

dy2 dy1 d2 y2 − ) − K2 (y2 − y1 ) = M2 2 dt dt dt

K2 (y2 − y1 ) + B2 (

dy2 dy1 dy1 d2 y1 − ) − B1 − K1 y1 = M1 2 dt dt dt dt

(2.73)

(2.74)

Reorganizando (2.73) y (2.74) se obtienen (2.71) y (2.72).

Ejemplo 2.7 Plantear un modelo matem´ atico para el sistema mec´ anico rotacional de la Fig. 2.24 utilizando la analog´ıa fuerza-torque-voltaje.

48 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

Figura 2.24 Sistema mec´ anico rotacional del ejemplo 2.7 N´otese de la Fig. 2.24 que hay dos velocidades angulares θ˙1 y θ˙2 que se suponen positivas con los sentidos mostrados. Por lo tanto, el circuito el´ectrico an´ alogo (Fig. 2.25) tendr´a dos mallas (1 y 2) cuyas corrientes i1 e i2 , ambas con el mismo sentido (horario en este caso), son an´ alogas a las velocidades θ˙1 y θ˙2 , respectivamente. Utilizando la tabla de la analog´ıa fuerza-torque-voltaje se obtienen los elementos de circuito correspondientes a las inercias, resortes y amortiguadores. Puesto que las inercias J1 y J2 se mueven a las velocidades θ˙1 y θ˙2 , entonces las corrientes netas a trav´es de las inductancias an´ alogas correspondientes L1 y L2 son i1 e i2 y por lo tanto pertenecen a las mallas 1 y 2. Como uno de los extremos de B1 y de B2 se mueve a la alogo R1 velocidad θ˙1 y el otro extremo es fijo, entonces sus elementos de circuito an´ y R2 , respectivamente, pertenecen a la malla 1. Asi mismo, uno de los extremos de B3 y de B4 se mueve a la velocidad θ˙2 y el otro extremo es fijo, entonces sus elemenotese tos de circuito an´ alogo R3 y R4 , respectivamente, pertenecen a la malla 2. N´ que C es un elemento com´ un a las mallas 1 y 2 (la corriente neta a trav´es de ´el es i1 −i2 , con sentido de referencia hacia abajo) ya que los extremos de su an´alogo, K, se mueven a las velocidades angulares θ˙1 y θ˙2 (la velocidad relativa del extremo izquierdo con respecto al derecho es θ˙1 − θ˙2 ). Finalmente, el torque externo T (t) tiene como an´alogo en el circuito la fuente de voltaje v(t). N´ otese que con la polaridad mostrada de la fuente, si el estado energ´etico inicial se supone nulo, las corrientes i1 (o) e i2 (0) son positivas con los sentidos mostrados cuando v(0) > 0, lo cual coincide con que si T (0) > 0, θ˙1 (0) y θ˙2 (0) son positivas con los sentidos mostrados.

Figura 2.25 Circuito el´ectrico an´ alogo del ejemplo 2.7

2.12 Circuito paralelo R-L-C 49 Las siguientes son las magnitudes y variables an´ alogas: 1 , v(t) = T (t), L2 = J2 , L1 = J1 , R4 = B4 , R3 = B3 , R2 = B2 , R1 = B1 , C = K ˙ ˙ i2 = θ2 , i1 = θ1 . Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a cada una de las mallas del circuito de la Fig. 2.25 se obtienen las ecuaciones que lo describen: Z 1 di1 + (i1 − i2 )dt (2.75) v(t) = (R1 + R2 )i1 + L1 dt C Z 1 di2 + (i2 − i1 )dt (2.76) 0 = (R3 + R4 )i2 + L2 dt C Reemplazando las anteriores magnitudes y variables an´alogas en (2.75) y (2.76) se obtienen las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema mec´ anico rotacional de la Fig. 2.24: T (t) = (B1 + B2 ) 0 = (B3 + B4 )

dθ1 d2 θ1 + M1 2 + K(θ1 − θ2 ) dt dt

dθ2 d2 θ2 + M2 2 + K(θ2 − θ1 ) dt dt

(2.77) (2.78)

Ejemplo 2.8 Verificar que las ecuaciones (2.77) y (2.78) describen el comportamiento del sistema de la Fig. 2.24. La Fig. 2.26 muestra los diagramas de cuerpo libre de las dos inercias

Figura 2.26 Diagramas de cuerpo libre de J1 y J2 Aplicando la segunda ley de Newton para sistemas rotacionales a cada una de las inercias de la Fig. 2.26 se obtienen las siguientes ecuaciones: T (t) − B1

dθ1 dθ1 d2 θ1 − B2 − K(θ1 − θ2 ) = M1 2 dt dt dt

dθ2 dθ2 d2 θ2 − B4 = M2 2 dt dt dt Reorganizando (2.79) y (2.80) se obtienen (2.77) y (2.78). −K(θ2 − θ1 ) − B3

(2.79) (2.80)

50 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

2.12

Circuito paralelo R-L-C

Figura 2.27 Circuito paralelo R-L-C Aplicando la primera ley de Kirchhoff (de corrientes) al u ´nico corte del circuito de la Fig. 2.27 se obtiene la ecuaci´ on (2.81): 1 is (t) = L

Z

edt +

e de +C R dt

(2.81)

Si se tiene en cuenta que el flujo concatenado por la inductancia es φ = Li, entonces el voltaje en los terminales de la inductancia es dado por:

e=

dφ dt

(2.82)

Utilizando (2.82) en (2.81) se obtiene la ecuaci´ on diferencial (2.83):

C

2.13

1 d2 φ 1 dφ + φ = is (t) + 2 dt R dt L

(2.83)

Analog´ıa fuerza-torque-corriente

Comparando las ecuaciones diferenciales (2.22), (2.64) y (2.83) de los sistemas f´ısicos correspondientes (mec´ anico traslacional de la Fig. 2.10, mec´ anico rotacional de la Fig. 2.19 y circuito el´ectrico de la Fig. 2.27) se nota que son de forma id´entica. Tales sistemas tambi´en se denominan sistemas an´ alogos y los t´erminos que ocupan las posiciones correspondientes en las ecuaciones diferenciales se denominan magnitudes y variables an´ alogas. De esta comparaci´ on se explica porqu´e se denomina la analog´ıa fuerza-torque-corriente. La siguiente tabla hace un resumen de las analog´ıas en este caso:

2.13 Analog´ıa fuerza-torque-corriente 51

Sist. mec´ anico traslacional

Sist. mec´ anico rotacional

Sistema el´ectrico

Fuerza u Velocidad lineal y˙ Desplazamiento lineal y Masa M Coef. fricci´ on viscosa B Constante del resorte K

Torque T Velocidad angular θ˙ Desplazamiento angular θ Inercia J Coef. fricci´on viscosa B Constante del resorte K

Corriente i Voltaje v Flujo φ Capacitancia C Conductactancia R1 Inverso inductancia

1 L

Nuevamente entonces se pueden obtener circuitos el´ectricos an´ alogos a sistemas mec´ anicos traslacionales y rotacionales y utilizar todas las t´ecnicas de descripci´on de redes (inclusive muchos teoremas que simplifican el an´ alisis) para plantear modelos matem´aticos para los sistemas mec´anicos. El circuito el´ectrico an´ alogo a un sistema mec´anico traslacional (rotacional) se puede obtener teniendo en cuenta la anterior tabla y notando que por cada masa (inercia) o punto que se desplace (rote) a cierta velocidad en el sistema mec´anico, habr´ a un nodo en el circuito an´alogo (adem´as del de referencia). Si se supone, sin p´erdida de generalidad, que todas aquellas velocidades son positivas con respecto a la referencia, en el circuito se supone que todos los nodos est´ an a mayor potencial con respecto al de referencia. Ejemplo 2.9 Plantear un modelo matem´ atico para el sistema mec´ anico traslacional de la Fig. 2.21 utilizando ahora la analog´ıa fuerza-torque-corriente. N´otese de la Fig. 2.21 que hay dos velocidades y˙ 1 y y˙ 2 que se suponen positivas con respecto a la referencia. Por lo tanto, el circuito el´ectrico an´ alogo (Fig. 2.28) tendr´a dos nodos (1 y 2) y el de referencia (0) cuyos voltajes con respecto al de referencia (llamados voltajes de nodo) e1 y e2 , son an´alogos a las velocidades y˙ 1 y y˙ 2 , respectivamente. Utilizando la tabla de la analog´ıa fuerza-torque-corriente se obtienen los elementos de circuito correspondientes a las masas, resortes y amortiguadores. Puesto que las masas M1 y M2 se mueven a las velocidades y˙ 1 y y˙2 , entonces los voltajes entre los terminales de las capacitancias an´ alogas correspondientes C1 y C2 son e1 y e2 y por lo tanto est´an conectadas entre los nodos 1 y referencia y 2 y referencia, respectivamente. As´ı mismo, como uno de los extremos de B1 y de K1 se mueve a la velocidad y˙ 1 y el otro extremo es fijo, entonces sus elementos de circuito an´alogo R1 y L1 , respectivamente, est´an conectados entre el nodo 1 y el de referencia. N´otese que R2 y L2 son elementos conectados entre los nodos 1 y 2 (la diferencia de potencial entre sus terminales es e1 − e2 , suponiendo el nodo 1 a mayor potencial con respecto al nodo 2) ya que los extremos de sus an´ alogos, B2 y K2 , se mueven a las velocidades y˙ 1 y y˙ 2 (la velocidad relativa del extremo inferior con respecto al alogo en el superior es y˙ 1 − y˙ 2 ). Finalmente, la fuerza externa p(t) tiene como an´ circuito la fuente de corriente i(t). N´otese que con el sentido mostrado de la fuente, si el estado energ´etico inicial se supone nulo, los voltajes de nodo e1 (o) y e2 (0) son positivos cuando i(0) > 0, lo cual coincide con que si p(0) > 0, y˙ 1 (0) y y˙ 2 (0) son positivas con los sentidos mostrados.

52 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

Figura 2.28 Circuito el´ectrico an´ alogo del ejemplo 2.9 Las siguientes son las magnitudes y variables an´alogas: C2 = M2 , C1 = M1 , R2 = B12 , R1 = B11 , L2 = K12 , L1 = K11 , i(t) = p(t), e2 = y˙ 2 , e1 = y˙ 1 . Aplicando la primera ley de Kirchhoff a los nodos 1 y 2 del circuito de la Fig. 2.28 se obtienen las ecuaciones que lo describen: Z Z e1 1 1 e1 − e2 de1 e1 dt + (e1 − e2 )dt + + + (2.84) 0 = C1 dt R1 L1 L2 R2 Z 1 de2 (e2 − e1 ) (e2 − e1 )dt + + (2.85) i(t) = C2 dt R2 L2

Reemplazando las anteriores magnitudes y variables an´alogas en (2.84) y (2.85) se obtienen las ecuaciones (2.72) y (2.71), respectivamente, que describen el comportamiento del sistema mec´ anico traslacional de la Fig. 2.21. Ejemplo 2.10 Plantear un modelo matem´ atico para el sistema mec´ anico rotacional de la Fig. 2.24 utilizando la analog´ıa fuerza-torque-corriente.

N´otese de la Fig. 2.24 que hay dos velocidades angulares θ˙1 y θ˙2 que se suponen positivas con los sentidos mostrados. Por lo tanto, el circuito el´ectrico an´ alogo (Fig. 2.29) tendr´a dos nodos (1 y 2) y el de referencia (0) cuyos voltajes de nodo e1 y e2 , son an´alogos a las velocidades θ˙1 y θ˙2 , respectivamente. Utilizando la tabla de la analog´ıa fuerza-torque-corriente se obtienen los elementos de circuito correspondientes a las inercias, resortes y amortiguadores. Puesto que las inercias J1 y J2 se mueven a las velocidades θ˙1 y θ˙2 , entonces los voltajes entre los terminales de las capacitancias an´alogas correspondientes C1 y C2 son e1 y e2 y por lo tanto est´an conectadas entre los nodos 1 y referencia y 2 y referencia, respectivamente. Como uno de los extremos de B1 y de B2 se mueve a la velocidad θ˙1 y el otro extremo es fijo, entonces sus an conectados entre el elementos de circuito an´alogo R1 y R2 , respectivamente, est´ nodo 1 y el de referencia. Asi mismo, uno de los extremos de B3 y de B4 se mueve a

2.13 Analog´ıa fuerza-torque-corriente 53 alogo la velocidad θ˙2 y el otro extremo es fijo, entonces sus elementos de circuito an´ an conectados entre el nodo 1 y el de referencia. N´ otese R3 y R4 , respectivamente, est´ que L es un elemento conectado entre los nodos 1 y 2 (la diferencia de potencial entre sus terminales es e1 −e2 , suponiendo el nodo 1 a mayor potencial con respecto al nodo 2) ya que los extremos de su an´ alogo, K, se mueven a las velocidades angulares θ˙1 ˙ y θ2 (la velocidad relativa del extremo izquierdo con respecto al derecho es θ˙1 − θ˙2 ). Finalmente, el torque externo T (t) tiene como an´ alogo en el circuito la fuente de corriente i(t). N´ otese que con el sentido mostrado de la fuente, si el estado energ´etico inicial se supone nulo, los voltajes de nodo e1 (o) y e2 (0) son positivos cuando i(0) > 0, lo cual coincide con que si T (0) > 0, θ˙1 (0) y θ˙2 (0) son positivas con los sentidos mostrados.

Figura 2.29 Circuito el´ectrico an´ alogo del ejemplo 2.10 Las siguientes son las magnitudes y variables an´alogas: 1 , i(t) = T (t), C2 = J2 , C1 = J1 , R4 = B14 , R3 = B13 , R2 = B12 , R1 = B11 , L = K ˙ ˙ e2 = θ2 , e1 = θ1 . Aplicando la primera ley de Kirchhoff a los nodos 1 y 2 del circuito de la Fig. 2.29 se obtienen las ecuaciones que lo describen: 1 de1 e1 + C1 + i(t) = (R1 + R2 ) dt L e2 1 de2 0= + C2 + (R3 + R4 ) dt L

Z

Z

(e1 − e2 )dt

(e2 − e1 )dt

(2.86)

(2.87)

Reemplazando las anteriores magnitudes y variables an´alogas en (2.86) y (2.87) se obtienen las ecuaciones (2.78) y (2.77), respectivamente, que describen el comportamiento del sistema mec´ anico rotacional de la Fig. 2.24. Ejemplo 2.11 Obtener un modelo matem´ atico que describa el comportamiento del sistema mec´ anico traslacional de la Fig. 2.30 utilizando la analog´ıa fuerza-torquecorriente.

54 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

Figura 2.30 Sistema mec´anico traslacional del ejemplo 2.11 Utilizando el mismo procedimiento de los dos ejemplos anteriores se obtiene el circuito el´ectrico an´ alogo que se muestra en la Fig. 2.31.

Figura 2.31 Circuito el´ectrico an´ alogo del ejemplo 2.11 Las par´ametros y variables an´ alogas son: Ci = Mi , i = 1, 2, 3 Rk = B1k , k = 1, 2 Lj = K1j , j = 1, 2, 3, 4

2.13 Analog´ıa fuerza-torque-corriente 55 i(t) = p(t), e1 = y˙ 1 , e2 = y˙ 2 , e3 = y˙3 Aplicando la primera ley de Kirchhoff a los nodos 1, 2 y 3 se obtienen las ecuaciones que describen el circuito de la Fig. 2.31: Z 1 e1 − e2 e1 − e3 (e1 − e2 )dt + e1 dt + + = i(t) (2.88) L3 R1 R2 Z Z 1 1 e2 − e1 de2 (e2 − e1 )dt + C2 (e2 − e3 )dt = 0 + + (2.89) R1 L3 dt L4 Z 1 e3 − e1 de3 C3 + =0 (2.90) (e3 − e2 )dt + dt L4 R2 Utilizando los par´ametros y variables an´alogas en las ecuaciones (2.88), (2.89) y (2.90) se obtienen las ecuaciones que describen el sistema de la Fig. 2.30: 1 1 de1 +( + ) C1 dt L1 L2

Z

M1 y¨1 + (K1 + K2 )y1 + K3 (y1 − y2 ) + B1 (y˙1 − y˙ 2 ) + B2 (y˙ 1 − y˙3 ) = p(t)

(2.91)

B1 (y˙ 2 − y˙ 1 ) + K3 (y2 − y1 ) + M2 y¨2 + K4 (y2 − y3 ) = 0

(2.92)

M3 y¨3 + K4 (y3 − y2 ) + B2 (y˙ 3 − y˙ 1 ) = 0

(2.93)

Ejemplo 2.12 Plantear un modelo matem´ atico para el sistema mec´ anico traslacional de la Fig. 2.13 utilizando la analog´ıa fuerza-torque-corriente. El circuito an´ alogo el´ectrico en este caso se muestra en la Fig. 2.32, en donde las magnitudes y variables an´ alogas son: ˙ e2 = z, ˙ C2 = M2 , C1 = M1 , R2 = B12 , R1 = B11 , L2 = K12 , L1 = K11 , v(t) = u(t), ˙ e1 = y.

Figura 2.32 Circuito el´ectrico an´ alogo del ejemplo 2.12 Aplicando la primera ley de Kirchhoff a los nodos 1 y 2 se obtienen las ecuaciones (2.94) y (2.95):

56 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

1 de1 e1 + + C1 R1 dt L1

Z

.

(e1 − u)dt ˙ +

1 de2 e2 + + C2 R2 dt L2

Z

1 L2

Z

(e1 − e2 )dt = 0

(e2 − e1 )dt = 0

(2.94)

(2.95)

Reemplazando los anteriores par´ ametros y variables an´ alogas en (2.94) y (2.95) se obtienen las ecuaciones (2.44) y (2.45), que describen el sistema mec´ anico de la Fig. 2.13.

2.14

Ecuaciones de estado para circuitos el´ ectricos

Se ver´ a un procedimiento sistem´ atico para asignar variables de estado y plantear las ecuaciones de estado para circuitos con par´ametros concentrados que pueden contener fuentes independientes de voltaje y de corriente. Si en una red el´ectrica se conocen las corrientes en todas las inductancias y los voltajes en todos los condensadores, entonces el comportamiento de la red est´ a completamente descrito. Por lo tanto es natural seleccionar como variables de estado las corrientes en todos los inductores y los voltajes en todos los capacitores en redes propias (que no son impropias). Una red impropia es aquella que contiene por lo menos una trayectoria cerrada (llamada impropia) compuesta u ´nicamente de condensadores y/o fuentes independientes de voltaje y/o un corte (llamado impropio) formado u ´nicamente por inductores (con o sin acoplamiento m´ utuo) y/o fuentes independientes de corriente. N´otese que al aplicar la segunda (primera) ley de Kirchhoff a cada trayectoria impropia (corte impropio) aparece una dependencia lineal entre los voltajes (corrientes) de los condensadores (inductancias) que forman parte de ´ella (´el). Por lo tanto, en una red impropia se deben escoger como variables de estado los voltajes en todos los condensadores, menos uno por cada trayectoria impropia (el correspondiente a cualquiera de los condensadores de la trayectoria impropia) y las corrientes en todas las inductancias, menos una por cada corte impropio (la correspondiente a cualquiera de las inductancias del corte impropio) para que el n´ umero de variables de estado sea m´ınimo (es decir, no haya variables de estado redundantes). Recu´erdese que un conjunto de cortes es m´ınimo si cada uno de ´ellos tiene una s´ ola rama.

2.15 M´etodo sistem´ atico para obtener las ecuaciones de estado 57

Figura 2.33 Circuitos impropios N´ otese que si en cualquiera de los circuitos impropios de la Fig. 2.33 se asignan los voltajes en todos los condensadores y las corrientes en todas las inductancias como variables de estado se ve que x1 (t) = x2 (t) ∀t. Obviamente hay una redundancia aqu´ı.

2.15

M´ etodo sistem´ atico para obtener las ecua-

ciones de estado

1. Hacer un gr´afico y seleccionar un a´rbol que se llamar´ a´ arbol normal, en donde las ramas de ´este se escogen en el siguiente orden: fuentes de voltaje, capacitores, resistencias, inductancias y fuentes de corriente. Por lo tanto, un a´rbol normal consiste de todas las fuentes de voltaje, el m´ aximo n´ umero permisible de capacitores (en el caso de una trayectoria impropia no todos los condensadores pueden formar parte del ´arbol), las resistencias y finalmente el n´ umero m´ınimo de inductancias. Generalmente no contiene fuentes de corriente 2. Asignar los voltajes en los condensadores que forman parte del a´rbol normal y las corrientes en las inductancias que corresponden a enlaces como variables de estado. Los voltajes en los condensadores que corresponden a enlaces y las corrientes en las inductancias que forman parte del a´rbol normal no son necesarios escogerlos como variables de estado. 3. Expresar los voltajes y corrientes a trav´es de todas las resistencias, todos los condensadores que correspondan a enlaces y todos los inductores que forman parte del ´arbol normal en funci´ on de las variables de estado y las entradas (fuentes independientes) mediante la aplicaci´on de la segunda y la primera ley de Kirchhoff

58 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS a los anillos (un anillo es una trayectoria cerrada que contiene un s´olo enlace) y cortes que contienen aquellos elementos. 4. Aplicar la segunda y la primera ley de Kirchhoff a cada anillo y cada corte que contiene cada elemento que ha sido asignado como variable de estado. Ejemplo 2.13 Plantear las ecuaciones de estado y de salida del circuito mostrado en la Fig. 2.34.

Figura 2.34 Circuito el´ectrico del ejemplo 2.13 Se obtiene el gr´ afico que se muestra en la Fig. 2.35, en donde el a´rbol es un ´arbol normal.

Figura 2.35 Gr´ afico del circuito de la Figura 2.34 ¤t £ ¤t £ = v2 v3 i7 Se escogen como variables de estado a x = x1 x2 x3 Se expresana v6 (y por lo tanto i6 ) e i4 (y por lo tanto v4 ) en funci´ on de las variables de estado y de las entradas, usando las leyes de Kirchhoff. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff en el anillo formado por los nodos 1-0-2-1 se obtiene:

2.15 M´etodo sistem´ atico para obtener las ecuaciones de estado 59

v6 = u1 (t) − x1

(2.96)

u1 (t) − x1 R1

(2.97)

Por lo tanto: i6 =

Aplicando la primera ley de Kirchhoff al corte c4 se obtiene: i4 = x3

(2.98)

v4 = R2 x3

(2.99)

Por lo tanto:

Ahora se obtienen las ecuaciones de estado. Aplicando la primera ley de Kirchhoff (plk) al corte c2 , usando (2.97) y organizando se obtiene (2.100). x˙ 1 = −

1 1 1 1 x1 − x3 + u1 (t) + u2 (t) R1 C1 C1 R1 C1 C1

(2.100)

Usando la primera ley de Kirchhoff en el corte c3 y organizando se obtiene (2.101). x˙ 2 =

1 x3 C2

(2.101)

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff (slk) en el enlace formado por los nodos 0-2-34-0 y organizando se obtiene (2.102). 1 R2 1 x1 − x2 − x3 (2.102) L L L Reescribiendo (2.100), (2.101) y (2.102) en forma matricial se obtiene la ecuaci´on de estado (2.103). x˙ 3 =



  − R11C1 x˙ 1  x˙ 2  =  0 1 x˙ 3 L

0 0 − L1

− C11

1 C2 − RL2



  x1   x2  +  x3

1 R1 C1

0 0

1 C1



0  0

·

u1 (t) u2 (t)

¸

(2.103)

La ecuaci´ on de salida se puede expresar f´acilmente en funci´ on de las variables de estado y las entradas como: .

y = v7 = L x3 = x1 − x2 − R2 x3 la cual escrita en forma matricial es: y=

£

1 −1 −R2

¤



 x1  x2  x3

(2.104)

60 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Ejemplo 2.14 Plantear las ecuaciones de estado y de salida del circuito mostrado en la Fig. 2.36. Las salidas son: el voltaje en el condensador C1 con la polaridad mostrada y la corriente a trav´es de la inductancia L2 con el sentido mostrado.

Figura 2.36 Circuito del ejemplo 2.14 La Fig. 2.37 muestra el gr´ afico orientado en donde se us´o el a´rbol normal.

Figura 2.37 Gr´ afico del circuito de la Figura 2.36

2.15 M´etodo sistem´ atico para obtener las ecuaciones de estado 61 ¤t £ ¤t £ = v2 v3 i6 Se escogen como variables de estado a x = x1 x2 x3 Como hay inductancias m´ utuamente acopladas, es conveniente plantear la ecuaci´on primitiva que relaciona los voltajes entre sus terminales y las derivadas temporales de las corrientes. Es decir, en este caso: ¸ · ¸ · di5 ¸ · L1 −M v5 dt = (2.105) di6 v6 −M L2 dt

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al anillo que contiene el enlace 7 y la primera ley de Kirchhoff a los cortes que contienen la ramas 5 y 4, respectivamente, se obtienen: v7 = x2 − x1

(2.106)

i5 = u2 + x3

(2.107)

i4 = x3

(2.108)

i7 = C2 (x˙ 2 − x˙ 1 )

(2.109)

v5 = L1 (u˙ 2 + x˙ 3 ) − M x˙ 3

(2.110)

v4 = Rx3

(2.111)

Por lo tanto:

Aplicando la plk a los cortes c2 y c3 y usando la ec. (2.109) se obtienen, respectivamente: C1 x˙ 1 − C2 (x˙ 2 − x˙ 1 ) − u2 − x3 = 0

(2.112)

C3 x˙ 2 + C2 (x˙ 2 − x˙ 1 ) + u2 = 0

(2.113)

.

.

Organizando (2.112) y (2.113) y resolviendo para x1 y x2 se obtienen: x˙ 1 =

C2 + C3 C3 x3 + u2 π1 π1

(2.114)

C1 C2 x3 − u2 π1 π1

(2.115)

x˙ 2 =

en donde π1 = C1 C2 + C1 C3 + C2 C3 . Aplicando la slk al anillo que contiene el enlace 6, usando las ecs. (2.105), (2.107) y (2.111) y organizando se obtiene: R 1 1 M − L1 . u2 x1 − x3 + u1 + π2 π2 π2 π2 en donde π2 = L1 + L2 − 2M . Reescribiendo las ecuaciones de estado en forma matricial: x˙ 3 = −

(2.116)

62 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

  0 x˙ 1  x˙ 2  =   0 x˙ 3 − π12 

0 0 0

C2 +C3 π1 C2 π1 2 −R π2

La ecuaci´ on de salida es:



  0 x1   x2 + 0 1 x3 π2

y=

2.16

·

1 0 0 0 0 1

¸

C3 π1 1 −C π1

0

 

·

 ¸ 0 u1 + 0 u2 0

 x1  x2  x3 

0 0 M−L1 π2

 

·

u˙ 1 u˙ 2

(2.117)

(2.118)

Ecuaciones de estado con derivadas de las

entradas Como se puede notar del ejemplo anterior (caso de un circuito impropio), a veces pueden aparecer en la ecuaci´ on matricial de estado la primera derivada de las entradas. Es decir, en forma general: x˙ = Ax+B1 u+B2 u˙

(2.119)

y = Cx+Du

(2.120)

Para evitar que estas derivadas de las entradas aparezcan en la ecuaci´ on de estado, se pueden redefinir las variables de estado de la siguiente manera: b , x − B2 u x

(2.121)

x˙ − B2 u˙ = Ax+B1 u

(2.122)

De (2.119):

Reemplazando (2.121) en (2.122): .

y organizando:

b = A[b x x + B2 u]+B1 u .

b = Ab x x + [B1 + AB2 ]u

(2.123)

y = Cb x + [CB2 + D]u

(2.124)

(2.123) es la nueva ecuaci´ on matricial de estado. La ecuaci´on de salida se obtiene reemplazando (2.121) en (2.120):

b. (2.124) es la ecuaci´ on de salida en funci´on de las nuevas variables de estado x

¸

2.17 El transformador ideal como an´ alogo de la palanca 63

2.17 2.17.1

Otras analog´ıas electromec´ anicas Palancas

Figura 2.38 Palanca ideal Consid´erese el sistema mec´ anico de la Fig. 2.38 el cual consta de una palanca ideal y un punto de apoyo. Sup´ongase que F1 (con el sentido mostrado) es una fuerza externa aplicada en el extremo de la izquierda y F2 (con el sentido mostrado) es la fuerza generada sobre alguna carga mec´anica, la cual no se muestra. La velocidad angular ω de la palanca que rota alrededor del punto de apoyo se puede expresar en funci´ on de las velocidades lineales de los extremos, v1 y v2 , de la siguiente manera: ω=

v1 v2 = d1 d2

de donde se obtiene la relaci´on entre las velocidades lineales: d1 v1 = v2 d2

(2.125)

Puesto que se ha supuesto que la palanca es ideal, entonces, aplicando el principio de conservaci´ on de la energ´ıa, la potencia entregada en el extremo izquierdo de la palanca (F1 v1 ) es igual a la potencia absorbida por la carga en el extremo derecho de la palanca (F2 v2 ). Matem´aticamente: F1 v1 = F2 v2 de donde se obtiene la relaci´on entre las fuerzas en los extremos: d2 F1 = F2 d1

(2.126)

64 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

2.17.2

El transformador ideal como an´ alogo de la palanca

Figura 2.39 El transformador ideal La Fig. 2.39 muestra el circuito de un transformador ideal, en el cual se satisfacen las siguientes relaciones: n1 e1 = =a e2 n2

(2.127)

n2 1 i1 = = i2 n1 a

(2.128)

en donde e1 y e2 (i1 e i2 ) son los voltajes (corrientes) con las polaridades (sentidos) mostradas entre (a trav´es de) los terminales de los devanados del primario y del secundario, respectivamente. a es la relaci´on del n´ umero de espiras del primario al secundario. Comparando las ecuaciones (2.127) con la (2.125) y la (2.128) con la (2.126) se puede establecer una analog´ıa entre la palanca y el transformador, en donde e1 y e2 (i1 e i2 ) on a = nn12 a dd12 . N´ otese que esta analog´ıa son an´alogos a v1 y v2 (F1 y F2 ) y la relaci´ usa la analog´ıa fuerza-corriente.

2.17.3

El transformador como acoplador de impedancias

Figura 2.40 El transformador con carga Consid´erese el transformador ideal mostrado en la Fig. 2.40, en donde la carga podr´ıa

2.17 La palanca como acoplador de elementos mec´anicos 65 ser una resistencia, un condensador, una inductancia o una combinaci´on de estos elementos.

a. Si se supone que la carga es una resistencia R, entonces: e2 = Ri2

(2.129)

Reemplazando (2.127) y (2.128) en (2.129) se obtiene (2.130): e1 = Req i1

(2.130)

en donde Req = a2 R, es una resistencia equivalente vista entre los terminales del primario.

b. Si la carga es una inductancia L, entonces: di2 dt Usando (2.127) y (2.128) en (2.131) se obtiene (2.132): e2 = L

(2.131)

di1 (2.132) dt = a2 L, es una inductancia equivalente vista entre los terminales del e1 = Leq

en donde Leq primario.

c. Si la carga es una capacitancia C, entonces: de2 dt Usando (2.127) y (2.128) en (2.133) se obtiene (2.134): i2 = C

(2.133)

de1 (2.134) dt = aC2 , es una capacitancia equivalente vista entre los terminales del i1 = Ceq

en donde Ceq primario.

2.17.4

La palanca como acoplador de elementos mec´ anicos

Consid´erese la palanca ideal de la Fig. 2.38, en donde la carga podr´ıa ser una masa, un resorte o un amortiguador, o cualquier conexi´on de estos elementos.

66 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

a. Si se supone que la carga conectada entre el extremo derecho de la Fig. 2.38 y la referencia es un amortiguador, con coeficiente de fricci´on viscosa B, entonces:

F2 = Bv2

(2.135)

Usando (2.125) y (2.126) en (2.135) se obtiene (2.136): F1 = Beq v1 ³

(2.136)

´2

en donde Beq = dd21 B, es el coeficiente de fricci´on viscosa del amortiguador equivalente en el extremo izquierdo de la palanca.

b. Si la carga es un resorte con constante K, conectado entre el extremo derecho de la Fig. 2.38 y la referencia, entonces:

F2 = K

Z

v2 dt

Usando (2.125) y (2.126) en (2.137) se obtiene (2.138): Z F1 = Keq v1 dt

(2.137)

(2.138)

³ ´2 en donde Keq = dd21 K, es la constante del resorte equivalente en el extremo izquierdo de la palanca.

c. Si la carga es una masa M en el extremo derecho de la palanca, entonces:

F2 = M

dv2 dt

(2.139)

Usando (2.125) y (2.126) en (2.139) se obtiene (2.140): F1 = Meq en donde Meq = palanca.

³

d2 d1

´2

dv1 dt

(2.140)

M, es la masa equivalente en el extremo izquierdo de la

2.17 La palanca como acoplador de elementos mec´anicos 67 Ejemplo 2.15 Para el sistema mec´ anico de la Fig. 2.41 hallar la ecuaci´ on diferencial que relaciona el desplazamiento de la masa M con la fuerza externa p(t). Suponer que la palanca es ideal.

Figura 2.41 Sistema mec´ anico del ejemplo 2.15 Se utilizar´a la analog´ıa fuerza-torque-corriente. El circuito el´ectrico an´ alogo se muestra en la Fig. 2.42.

Figura 2.42 Circuito el´ectrico an´ alogo del ejemplo 2.15 Las analog´ıas son: 1 , a = dd12 , i(t) = p(t), e = C = M, R = B1 , L = K Aplicando la plk en el nodo 1 se obtiene (2.141):

dy dt

e de + (2.141) dt R Reemplazando las analog´ıas en (2.141) se obtiene (2.142) que es la ecuaci´ on difeai(t) = c

68 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS rencial pedida: M

2.17.5

d2 dy d2 d2 y = p(t) +B 2 d1 dt d1 dt

(2.142)

Sistemas acoplados de movimento rotacional

Figura 2.43 Engranajes Consid´erese el sistema mec´ anico rotacional de la Fig. 2.43 el cual consta de un par de engranajes y alguna carga mec´ anica en el engranaje de la derecha, la cual no se muestra. Sup´ongase que T1 (con el sentido mostrado) es una torque externo aplicado en el engranaje de la izquierda y T2 (con el sentido mostrado) es el torque generado sobre la carga mec´ anica. La velocidad tangencial en el punto A de la Fig. 2.43, v, se puede expresar en funci´on de las velocidades angulares, ω1 y ω2 , de la siguiente manera: v = ω1 r1 = ω2 r2 donde r1 y r2 son los radios de los engranajes 1 y 2, respectivamente. Como la relaci´ on del n´ umero de dientes de los engranajes es proporcional a la relaci´ on de los radios respectivos, entonces: r2 N2 1 ω1 = = = ω2 r1 N1 N

(2.143)

Puesto que se ha supuesto que el acoplamiento es ideal, entonces, aplicando el principio de conservaci´ on de la energ´ıa, la potencia entregada en el eje del engranaje izquierdo (T1 ω1 ) es igual a la potencia absorbida por la carga conectada en el eje del engraje derecho (T2 ω2 ). Matem´aticamente: T1 ω1 = T2 ω2

2.17 El engranaje como acoplador de elementos mec´anicos 69 de donde se obtiene la relaci´on entre los torques: N1 T1 = =N T2 N2

(2.144)

Comparando las ecuaciones (2.127) con la (2.143) y la (2.128) con la (2.144) se puede establecer una analog´ıa entre el par de engranajes acoplados rotacionalmente y el transformador, en donde e1 y e2 (i1 e i2 ) son an´alogos a ω1 y ω2 (T1 y T2 ) y la 2 otese que esta analog´ıa usa la analog´ıa torque-corriente. relaci´ on a = nn12 a N1 = N N1 . N´

2.17.6

El engranaje como acoplador de elementos mec´ anicos

Consid´erese el engranaje ideal de la Fig. 2.43, en donde la carga podr´ıa ser una inercia, un resorte o un amortiguador, o cualquier conexi´ on de estos elementos.

a. Si se supone que la carga conectada en el engranaje 2 de la Fig. 2.43 y la referencia es un amortiguador rotacional, con coeficiente de fricci´ on viscosa B, entonces: T2 = Bω2

(2.145)

Usando (2.143) y (2.144) en (2.145) se obtiene (2.146): T1 = Beq ω1

(2.146)

2

en donde Beq = N B, es el coeficiente de fricci´on viscosa del amortiguador equivalente en el eje del engranaje 1.

b. Si la carga es un resorte rotacional con constante K, conectado en el engranaje 2 de la Fig. 2.43 y la referencia, entonces:

T2 = K

Z

ω2 dt

Usando (2.143) y (2.144) en (2.147) se obtiene (2.148): Z F1 = Keq v1 dt

(2.147)

(2.148)

en donde Keq = N 2 K, es la constante del resorte equivalente en el eje del engranaje 1.

c. Si la carga es una inercia J en el engranaje 2, entonces:

70 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

dω2 dt Usando (2.143) y (2.144) en (2.149) se obtiene (2.150): T2 = J

T1 = Jeq

dω1 dt

(2.149)

(2.150)

en donde Jeq = N 2 M, es la inercia equivalente en el eje del engranaje 1. Ejemplo 2.16 Plantear un conjunto linealmente independiente de ecuaciones diferenciales que describa completamente el comportamiento del sistema mostrado en la Fig. 2.44.

Figura 2.44 Sistema del ejemplo 2.16 Como se supone que la corriente de campo del motor es constante, entonces el voltaje inducido en la armadura del motor, e, y el torque generado por el mismo, Tm , son dados por: e = Km ωm = Km Tm = KT ia

dθm dt

(2.151) (2.152)

donde Km y KT son las constantes de voltaje y de torsi´on del motor, respectivamente. Aplicando la slk en la armadura del motor se tiene:

2.17 El engranaje como acoplador de elementos mec´anicos 71

dia +e (2.153) dt Utilizando la analog´ıa fuerza-torque-corriente, para el sistema mec´ anico rotacional se obtiene el circuito el´ectrico an´ alogo de la Fig. 2.45, en donde las analog´ıas son: 1 1 1 c Im = Tm , em = dθdtm , ec = dθ dt , R1 = B1 , R2 = B2 , Rc = Bc , 1 1 1 Rm = Bm , Lm = Gm , a = N , C1 = J1 , C2 = J2 , Cc = Jc u(t) = Ra ia + La

Figura 2.45 Circuito an´ alogo del sistema mec´anico rotacional del ejemplo 2.16 Si los elementos de circuito del lado derecho del transformador (secundario) se refieren al lado izquierdo del mismo (primario), el circuito de la Fig. 2.45 queda reducido al circuito simple de la Fig. 2.46.

Figura 2.46 Circuito reducido de la Figura 2.45 en donde: Ceq = C1 + Req =

C2 + Cc a2

a2 R1 R2 Rc R1 R2 + R1 Rc + a2 R2 Rc

(2.154) (2.155)

72 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Aplicando la plk a los nodos 1 y 2 del circuito de la Fig. 2.46 se obtienen: Z 1 em (em − aec )dt = Im + Rm Lm Z 1 d(aec ) aec + + Ceq (aec − em )dt = 0 Req dt Lm

(2.156) (2.157)

Reemplazando las analog´ıas, (2.154) y (2.155) en (2.156) y (2.157) se obtienen: Bm

1 dθm + Gm (θm − θc ) = Tm dt N

(2.158)

1 dθc d2 θc 1 1 [B1 + N 2 (Bc + B2 ) + [J1 + N 2 (Jc + J2 ) 2 + Gm ( θc − θm ) = 0 (2.159) N dt N dt N Las ecuaciones (2.151), (2.152), (2.153), (2.158), y (2.159) constituyen el modelo matem´atico que describe completamente el comportamiento del sistema de la Fig. 2.44.

2.18

Linealizaci´ on de un modelo matem´ atico no

lineal Sup´ongase que se tiene la funci´ on f (x, y, z) y se desea expandir en series de Taylor alrededor del punto (x0 , y0 , z0 ) = P0 . Entonces: ∞ X ∂k f (x − x0 )k ∂ k f (y − y0 )k ∂ k f (z − z0 )k + k |P0 + k |P0 ] f(x, y, z) = f(x0 , y0 , z0 )+ [ k |P0 ∂x k! ∂y k! ∂z k! 1 (2.160) Sea:

∆x , x − x0 , ∆y , y − y0 , ∆z , z − z0 , ∆f , f(x, y, z) − f(x0 , y0 , z0 )

(2.161)

Despreciando t´erminos de orden superior a uno y utilizando las definiciones (2.161) en (2.160) se obtiene: ∆f ≈ Kx ∆x + Ky ∆y + Kz ∆z

(2.162)

en donde: ∂f ∂f ∂f |P0 , Ky = |P0 , Kz = |P ∂x ∂y ∂z 0 Sup´ongase ahora que se tiene la ecuaci´ on diferencial no lineal (2.164): Kx =

F (x, x(1) , · · · , x(m) , y, y (1) , · · · , y (n) ) = 0

(2.163)

(2.164)

2.18 Linealizaci´ on de un modelo matem´atico no lineal 73 (1)

(m)

(1)

(n)

y el punto de operaci´ on P0 = (x0 , x0 , · · · , x0 , y0 , y0 , · · · , y0 ). Obviamente el punto de operaci´on debe satisfacer la ecuaci´ on diferencial (2.163) y por lo tanto: (1)

(m)

(1)

(n)

F (x0 , x0 , · · · , x0 , y0 , y0 , · · · , y0 ) = 0

(2.165)

en donde: (k)

x0 =

∂kx ∂ky (k) | |P , y = P ∂tk 0 0 ∂tk 0

Expandiendo en series de Taylor (2.164) y despreciando t´erminos de orden superior a uno: (1)

(m)

(1)

(n)

F (x, x(1) , · · · , x(m) , y, y (1) , · · · , y (n) ) = F (x0 , x0 , · · · , x0 , y0 , y0 , · · · , y0 ) + α (2.166) en donde:

α=

∂F ∂F ∂F ∂F ∂F |P ∆x+ (1) |P0 ∆x(1) +· · ·+ (m) |P0 ∆x(m) + |P ∆y+· · ·+ (n) |P0 ∆y(n) ∂x 0 ∂y 0 ∂x ∂x ∂y (2.167)

y: dk x dk ∆x dk y dk ∆y (k) = , ∆y = ∆ = (2.168) dtk dtk dtk dtk Reemplazando (2.164) y (2.165) en (2.166) y usando (2.168) se obtiene la ecuaci´ on diferencial linealizada alrededor del punto P0 : ∆x(k) = ∆

d∆x dm ∆x d∆y dn ∆y + · · · + Km + · · · + d = d ∆y + d 0 1 n dt dtm dt dtn

(2.169)

K0 =

∂F ∂F ∂F |P , K1 = |P , · · · , Km = |P ∂x 0 ∂x(1) 0 ∂x(m) 0

(2.170)

d0 = −

∂F ∂F ∂F |P , d1 = − (1) |P0 , · · · , dn = − (n) |P0 ∂y 0 ∂y ∂y

(2.171)

K0 ∆x + K1 donde:

y:

Ejemplo 2.17 Linealizar la ecuaci´ on diferencial no lineal (2.172) alrededor de un punto de operaci´ on que se supone conocido, P0 . x2 ( En este caso:

dx 2 dy 1 d2 y ) + 2x = y3 2 + (1 + y2 )( )2 + dt dt dt y

(2.172)

74 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

F (x, x(1) , y, y (1) , y(2) ) = x2 (x(1) )2 + 2x − y 3 y (2) − (1 + y 2 )(y (1) )2 −

1 y

Por lo tanto la ecuaci´on linealizada es: K0 ∆x + K1

d∆x d∆y d2 ∆y = d0 ∆y + d1 + d2 dt dt dt2

(2.173)

en donde: K0 = [2x(x(1) )2 + 2] |P0 , K1 = [2x2 x(1) ] |P0 d0 = [3y 2 y (2) + 2y(y (1) )2 − y12 ] |P0 , d1 = [2(1 + y 2 )y (1) ] |P0 , d2 = [y 3 ] |P0

2.19

El servomotor hidr´ aulico

Figura 2.47 El servomotor hidr´aulico Como ejemplo de un sistema f´ısico no lineal se considera el servomotor hidr´ aulico, cuyo modelo matem´ atico se linealiza alrededor de un punto de operaci´on conocido, alvula piloto es P0 . El funcionamiento descriptivo del sistema consiste en que si la v´ desplazada hacia la derecha, aceite a presi´ on entra por el lado derecho del pist´on de potencia y el aceite del lado izquierdo del mismo va hacia el drenaje. La diferencia de presi´ on a ambos lados del pist´on de potencia produce el desplazamiento de ´este hacia la izquierda. El aceite retorna, recibe nuevamente presi´ on por una bomba y vuelve a circular al sistema. Cuando el pist´ on piloto se desplaza hacia la izquierda, el pist´on de potencia se mueve hacia la derecha. Se determinar´a la funci´ on de transferencia,

2.19 El servomotor hidr´aulico 75 despu´es de ser linealizado obviamente el sistema, considerando como salida el cambio en el desplazamiento de la carga mec´anica, ∆y, y como entrada el cambio en el desplazamiento de la v´alvula piloto, ∆x.

x4

x4

x3

Q2

Q1

x3

x2

x2

x1

x1

P1

Ps

P2

Figura 2.48 Curvas no lineales de Q1 y Q2 La Fig. 2.48 muestra curvas no lineales de los caudales, Q1 y Q2 , en funci´ on de las alvula piloto, x. Las presiones P1 y P2 , respectivamente y del desplazamiento de la v´ expresiones matem´aticas no lineales son: p Q1 = Kd x Ps − P1

(2.174)

p Q2 = Kd x P2

(2.175)

∆Q1 = K1 ∆x − K2 ∆P1

(2.176)

∆Q2 = K3 ∆x + K4 ∆P2

(2.177)

Linealizando (2.174) y (2.175):

donde: √ √ dx K1 = [Kd Ps − P1 ] |P0 , K2 = 2√K | , K3 = [Kd P2 ] |P0 , K4 = 2K√dPx |P0 Ps −P1 P0 2 Puesto que el caudal se define como el cambio de volumen por unidad de tiempo, entonces: Q1 = Q2 = y por lo tanto:

dy d(Ay) =A dt dt

76 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

∆Q1 = ∆Q2 = A

d∆y dt

(2.178)

La fuerza que actua sobre la masa M , con sentido de derecha a izquierda, debida al pist´on de potencia es: F = A(P1 − P2 ) y por lo tanto: ∆F = A(∆P1 − ∆P2 )

(2.179)

Reemplazando (2.178) en (2.176) y (2.177) y despejando M P1 y M P2 en (2.179) se obtiene (2.180): ∆F = Kx ∆x − Ky

d∆y dt

(2.180)

Haciendo el diagrama de cuerpo libre de M y aplicando la segunda ley de Newton se obtiene: F −B

d2 y dy =M 2 dt dt

y por lo tanto: ∆F − B

d2 ∆y d∆y =M dt dt2

(2.181)

Reemplazando (2.180) en (2.181) se obtiene la ecuaci´ on diferencial que relaciona M x y M y: M

d2 ∆y d∆y = Kx ∆x + (B + Ky ) 2 dt dt

(2.182)

Usando la transformada de Laplace en (2.182), suponiendo condiciones iniciales nulas, se obtiene la funci´on de transferencia pedida: K ∆Y (s) = ∆X(s) s(T s + 1)

(2.183)

Kx M donde K = B+K y T = B+K y y Si la constante de tiempo T es muy peque˜ na, o despreciable, entonces el servomotor hidr´aulico en este caso se comporta como un integrador con ganancia K:

K ∆Y (s) = ∆X(s) s

(2.184)

2.20 Gobernador de velocidad de una turbina 77

2.20

Gobernador de velocidad de una turbina

Figura 2.49 Gobernador de velocidad de una turbina N´otese que si Pref , la potencia de referencia, aumenta, el punto A baja, C sube, D sube, abriendo la v´ alvula piloto, lo que hace bajar E y abre m´as la v´ alvula de aguja. La turbina se acelera y ω = Kf aumenta. Al aumentar la velocidad las masas m se separan y el punto B baja, C y D bajan. Cuando se consigue el estado estacionario la v´ alvula piloto se cierra. Asimismo, con Pref constante, si la turbina es cargada, baja la velocidad ω = Kf , las masas se acercan subiendo los puntos B, C y D. La v´ alvula piloto se abre y E baja, abriendo m´ as la v´ alvula de aguja, incrementando la velocidad de la turbina, la que hace bajar B, C y D. En el equilibrio (nuevo) se vuelve, entonces, a cerrar la v´ alvula piloto. Si se considera la palanca A-B-C: Xc = f(XA , XB ) Linealizando: ∆Xc =

∂F ∂F |X =const ∆XA + |X =const ∆XB ∂XA B ∂XB A b a+b ∆XB ∆Xc = − ∆XA + a a

78 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Puesto que ∆XB ∝ ∆f y ∆XA ∝ ∆Pref entonces: ∆Xc = K1 ∆f − K2 ∆Pref

(2.185)

Asimismo para la palanca C-D-E: ∆XD = K3 ∆XC + K4 ∆XE Si se considera la funci´on de transferencia simple del servomotor entonces: Z ∆XE = −K5 ∆XD dt

(2.186)

(2.187)

Transformando (2.187) y utilizando (2.186) : ∆XE (s) = −

1+

K3 K4 ∆Xc (s) 1 K4 K5 s

(2.188)

Con (2.185) en (2.188): ∆XE (s) = donde: 3 K2 KG = KK , TG = 4

1 K4 K5 ,

R=

KG 1 (∆Pref (s) − ∆f (s)) 1 + TG s R

(2.189)

K2 K1 .

Figura 2.50 Concatenaci´ on simple del gobernador de velocidad con la turbina, generador y area de potencia La Fig. 2.50 muestra una concatenaci´on simple del gobernador de velocidad con la turbina, generador y area de potencia, en donde los modelos para la turbina-generador y el area de potencia se han escogido de primer orden. ∆PG y ∆PD son los incrementos de la potencia generada y la demandada por los usuarios, respectivamente.

2.21 Linealizaci´ on de las ecuaciones de estado no lineales 79

2.21

Linealizaci´ on de las ecuaciones de estado no

lineales Sea el conjunto de ecuaciones de estado no lineales: x˙ = f (x, u, t)

(2.190)

en donde x y u son vectores (columna) que contienen las variables de estado (n) y las entradas al sistema (p), respectivamente; y f es una funci´ on vectorial no lineal de x, u y t. La representaci´on de un sistema no lineal y/o variante con el tiempo mediante ecuaciones de estado es una gran ventaja sobre el m´etodo de la funci´ on de transferencia, ya que este u ´ltimo se define estrictamente solo para sistemas lineales e invariantes con el tiempo. Sea la trayectoria nominal de operaci´ on (punto de operaci´on) denotada por x0 (t), la on de estado no cual corresponde a la entrada nominal u0 (t). Expandiendo la ecuaci´ lineal (2.190) en series de Taylor alrededor del punto de operaci´on y despreciando los t´erminos de orden superior a uno:

x˙ i (t) = fi (x0 , u0 ) +

n X ∂fi (x, u) j=1

∂xj

|x0 ,u0 (xj − x0j ) +

p X ∂fi (x, u)

∂uj

j=1

|x0 ,u0 (uj − u0j ) (2.191)

en donde i = 1, 2, · · · , n. Se definen: ∆xi , xi − x0i , ∆uj , uj − u0j , ∆x˙ i , x˙ i − x˙ 0i

(2.192)

x˙ 0i = fi (x0 , u0 )

(2.193)

Adem´ as:

Reemplazando (2.192) y (2.193) en (2.191): ∆x˙ i =

n X ∂fi (x, u) j=1

∂xj

|x0 ,u0 ∆xj +

p X ∂fi (x, u) j=1

∂uj

|x0 ,u0 ∆uj

(2.194)

La cual se puede reescribir en forma matricial como: ∆x˙ = A∗ ∆x+B ∗ ∆u

(2.195)

en donde: 

∂f1 ∂x1 ∂f2 ∂x1

  A∗ =   ···

∂fn ∂x1

∂f1 ∂x2 ∂f2 ∂x2

···

∂fn ∂x2

··· ··· ··· ···

∂f1 ∂xn ∂f2 ∂xn



   ··· 

∂fn ∂xn

x0 ,u0

(2.196)

80 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS 

∂f1 ∂u1 ∂f2 ∂u1

  B∗ =   ···

∂fn ∂u1

∗

∗

∂f1 ∂u2 ∂f2 ∂u2

···

∂fn ∂u2

··· ··· ··· ···

∂f1 ∂up ∂f2 ∂up



   ··· 

∂fn ∂up

(2.197)

x0 ,u0

N´otese que A y B son evaluados en el punto nominal. Se ha linealizado el sistema no lineal (2.190) alrededor del punto nominal de operaci´ on. Sin embargo, en general, aunque la ec. (2.195) es lineal, A∗ y B ∗ podr´ıan contener elementos que var´ıan con el tiempo. Ejemplo 2.18 La Fig. 2.51 muestra el diagrama de un sistema de suspensi´ on magn´etico de una bola met´ alica. El objetivo del sistema es controlar la posici´ on de la bola ajustando la corriente en el electroim´ an mediante el voltaje de entrada e(t). Plantear un modelo matem´ atico mediante ecuaciones de estado y linealizarlo alrededor del punto de equilibrio y0 (t) = Y0 = constante.

Figura 2.51 Sistema de suspensi´ on magn´etico de una bola Las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema se pueden obtener aplicando la segunda ley de Newton a la bola y la segunda ley de Kirchhoff al circuito el´ectrico: Mg −

d2 y i2 =M 2 y dt

e(t) = Ri + L

di dt

Si se definen las variables de estado como :x1 = y, x2 = estado del sistema son: dx1 = x2 dt

(2.198) (2.199) dy dt ,

x3 = i, las ecuaciones de

(2.200)

2.22 Diagramas de bloques 81

1 x23 dx2 =g− dt M x1

(2.201)

R dx3 1 = − x3 + e(t) dt L L

(2.202)

Se determina el punto nominal de operaci´ on. Puesto que y0 (t) = x01 (t) = Y0 = 2 (t) y0 (t) cons tan te, entonces x02 (t) = dx01 = 0. Adem´ as, como d dt = 0, reemplazando 2 dt √ ´este en (2.198) se obtiene i0 (t) = x03 (t) = MgY0 . Utilizando el punto nominal de operaci´on y linealizando las ecs. de estado no lineales se obtiene (2.203):     1 0 ∆x1 q0  g 0 −2 MY0   ∆x2  +  0  ∆e(t) 1 ∆x3 0 −R L

  0 ∆x˙ 1 g  ∆x˙ 2  =   Y0 ∆x˙ 3 0 

(2.203)

L

Ejemplo 2.19 Sea el sistema no lineal de ecuaciones:

x˙ 1 = −

1 x22 (t)

(2.204)

x˙ 2 = x1 (t)u(t)

(2.205)

on a Linealizarlas alrededor de la trayectoria nominal [x01 (t), x02 (t)] que es la soluci´ las ecuaciones con las condiciones iniciales x1 (0) = x2 (0) = 1 y la entrada u(t) = 0. Integrando (2.205), x2 (t) = x2 (0) = 1 e integrando (2.204), x1 (t) = −t + 1. Es decir, la trayectoria nominal alrededor de la cual las ecs.(2.204) y (2.205) ser´an linealizadas ∂f1 ∂f2 ∂f1 1 = ∂x = ∂f es descrita por x01 (t) = −t + 1 y x02 (t) = 1. Como ∂x ∂u = 0, ∂x2 = 1 2 ∂f2 ∂f2 2 , = u(t), ∂u = x1 (t) y evaluando estas en el punto de operaci´ on se obtienen x32 (t) ∂x1 las ecuaciones pedidas: ·

∆x˙ 1 ∆x˙ 2

¸

=

·

0 2 0 0

¸·

∆x1 ∆x2

¸

+

·

0 1−t

¸

∆u(t)

(2.206)

(2.206) es un conjunto de ecs. de estado lineales con coeficientes variables con el tiempo.

2.22

Diagramas de bloques

82 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

Figura 2.52 Sistema de lazo cerrado La Fig. 2.52 muestra un diagrama de bloques general de un sistema en lazo cerrado. Se define la funci´ on de transferencia directa como C(s) on E(s) = G(s), y la funci´ de transferencia en lazo abierto como B(s) otese que si E(s) = Wla (s) = G(s)H(s). N´ la funci´on de transferencia de realimentaci´ on es la unidad (H(s) = 1), la funci´ on de transferencia en lazo abierto y la directa son iguales. Para el sistema en lazo cerrado se tiene: C(s) = G(s)E(s) = G(s)[R(s) − B(s)] = G(s)[R(s) − H(s)C(s)] de la cual se halla la funci´ on de transferencia en lazo cerrado: G(s) C(s) = Wlc (s) = R(s) 1 + G(s)H(s)

2.23

(2.207)

Sistema de lazo cerrado sometido a una

perturbaci´ on

Figura 2.53 Sistema de lazo cerrado sometido a una perturbaci´on La respuesta del sistema lineal de la Fig. 2.53 debido a ambas entradas, r(t) y u(t) se puede obtener utilizando superposici´on:

2.24 Reducci´ on de diagramas de bloques 83 a. Sup´ongase N (s) = 0, entonces la respuesta debida a R(s), CR (s), se puede obtener usando (2.207):

G1 (s)G2 (s) CR (s) = R(s) 1 + G1 (s)G2 (s)H(s)

(2.208)

b. Se supone ahora R(s) = 0, entonces la respuesta debida a N (s), CN (s), tambi´en se puede obtener usando (2.207):

G2 (s) CN (s) = N (s) 1 + G1 (s)G2 (s)H(s)

(2.209)

Usando superposici´on la respuesta del sistema es:

C(s) = CR (s) + CN (s) =

G2 (s) [G1 (s)R(s) + N (s)] 1 + G1 (s)G2 (s)H(s)

(2.210)

Suponiendo que | G1 (s)G2 (s)H(s) |À 1, se puede notar que la respuesta debido a la 1 R (s) ' H(s) referencia es aproximadamente independiente de G1 (s) y G2 (s) ya que CR(s) . Si adem´ as, | G1 (s)H(s) |À 1, se ve que el efecto de perturbaci´ on se aten´ ua consider1 N (s) ' G1 (s)H(s) → 0. ablemente ya que CN(s)

2.24

Reducci´ on de diagramas de bloques

La reducci´on de un diagrama de bloques complicado a uno m´as simple se puede llevar a cabo utilizando los diagramas equivalentes que se muestran en la Fig. 2.54.

84 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

Figura 2.54 Diagramas equivalentes

Ejemplo 2.20 Reducir el diagrama de bloques de la Fig. 2.55 y obtener la funci´ on de transferencia.

Figura 2.55 Diagrama de bloques del ejemplo 2.20 Las Figuras 2.56 y 2.57 muestran las diferentes etapas para la reducci´on del diagrama FG F GH de bloques en donde A = 1−F GI , B = 1−F GI+GHJ .

2.24 Reducci´ on de diagramas de bloques 85

Figura 2.56 Reducci´ on parcial del diagrama de la Fig. 2.55

Figura 2.57 Reducci´ on final del diagrama del ejemplo 2.20 Finalmente entonces la funci´ on de transferencia es:

86 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

F GH C(s) = R(s) 1 − F GI + GHJ + F GH

(2.211)

Ejemplo 2.21 Reducir el mismo diagrama de bloques de la Fig. 2.55 de otra manera.

La Fig. 2.58 muestra las diferentes etapas para la reducci´ on del diagrama de bloques GH I de otra manera, en donde D = 1+GHJ − 1. , E=H

Figura 2.58 Otra manera de reducir el diagrama de la Fig. 2.55 Finalmente se obtiene la misma funci´ on de transferencia dada por la ec. (2.211).

2.25

Ejemplos

2.25 El servomotor bif´asico 87

2.25.1

Sism´ ografo

Figura 2.59 Diagrama esquem´ atico de un sism´ografo El sism´ ografo b´asicamente indica el desplazamiento de su envoltura con respecto al espacio inercial. xi es el desplazamiento de la envoltura o gabinete con respecto al espacio inercial o referencia, x0 es el desplazamiento de la masa m con respecto a la referencia. y = x0 − xi es el desplazamiento de la masa m con respecto al gabinete. Haciendo el diagrama de cuerpo libre de la masa m y aplicando la segunda ley de Newton: x0 B(x˙ i − x˙ 0 ) + K(xi − x0 ) = m¨ y haciendo cambio de variable, x0 = y + xi , se obtiene: m¨ y + B y˙ + Ky = −mx˙ i Utilizando Laplace y suponiendo condiciones iniciales nulas se obtiene la funci´ on de transferencia: ms2 Y (s) =− 2 Xi (s) ms + Bs + K

(2.212)

Si el rango de frecuencias de inter´es es relativamente alto de modo que para s = jω se p tiene que mω 2 À (Bω)2 + K 2 (desigualdad que sirve para el dise˜ no del sism´ografo) |Y (jω)| entonces de (2.212) se obtiene que |X ' 1. Asi entonces se obtiene a la salida i (jω)| (y) una se˜ nal cuya forma de onda es igual al desplazamiento de entrada (xi ). Este dispositivo tambi´en puede ser utilizado como aceler´ ometro ya que s2YX(s) = i (s) Y (s) a(s)

−

m ms2 +Bs+K .

88 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

2.25.2

El servomotor bif´ asico

Figura 2.60 El servomotor bif´asico

Voltaje

Ec(t)

ec(t)

Torque

Tiempo

T(t)

Tiempo

Figura 2.61 Curvas de voltaje de control y torque del servomotor bif´asico con velocidad constante Muy utilizado en servomecanismos de instrumentaci´ on y control. Es un motor con rotor jaula de ardilla y en el estator tiene dos devanados en cuadratura, llamados fase de control (cuyo voltaje entre sus terminales ec (t) = Ec (t) sen ωt, generalmente se usa como se˜ nal de control) y fase de referencia (su voltaje es ef (t) = E cos ωt). Como la mayor´ıa de sistemas f´ısicos, el servomotor bifsico es un dispositivo no lineal, lo cual se refleja fundamentalmente en la relaci´ on entre el torque generado, T , con la velocidad angular, ωm , y el voltaje Ec (t). La Fig. 2.60 muestra una curva t´ıpica, dada por los

2.25 Motor de CC controlado en el inducido 89 fabricantes, de esta relaci´ on y la Fig. 2.61 muestra que, para una velocidad angular constante, el torque generado por el motor T (t) es proporcional a Ec (t). Se supone nal de alimentaci´ on sen ωt. que las variaciones de Ec (t) son lentas comparadas con la se˜ un punto de operaci´ on P0 : Asi pues T = T (ωm , ec ) y linealizando alrededor de alg´

∆T

∂T ∂T |P0 ∆ωm + |P ∆ec ∂ωm ∂Ec 0 d2 ∆θ d∆θ d∆θ = −k1 + k2 ∆ec = J +B dt dt2 dt =

(2.213)

Organizando (2.213) se obtiene la ecuaci´on diferencial (2.214): d2 ∆θ d∆θ = k2 ∆ec + (B + k1 ) (2.214) dt2 dt Usando Laplace en (2.214) con condiciones iniciales nulas se obtiene la funci´ on de transferencia: J

K ∆θ(s) = ∆Ec (s) s(1 + τ s) donde K =

k2 B+k1

2.25.3

Motor de CC controlado en el inducido

yτ=

(2.215)

J B+k1 .

Figura 2.62 Motor de CC controlado por la armadura Aplicando la slk en el circuito de armadura: dia (2.216) dt en donde ea , el voltaje inducido en la armadura es dado por ea = Ka φωm , siendo ωm la velocidad angular del motor y φ el flujo en el entrehierro, el cual se supondr´a v − ea = Ra ia + La

90 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS proporcional a la corriente de campo, que en este caso se supone constante. Por lo tanto: ea = Ke ωm

(2.217)

Asimismo, el torque generado por el motor es dado por τ = Kb φia . Por lo tanto: τ = Kτ ia

(2.218)

Con el diagrama de cuerpo libre de la inercia J y utilizando la sln: τ − τL = j

dωm + Bωm dt

(2.219)

on en la carga. en donde τL es el torque de perturbaci´ Transformando las ecs. (2.216) a la (2.219) con condiciones iniciales nulas y organiz´ andolas se obtienen: Ia (s) =

1 (V (s) − Ea (s)) Ra + La s

(2.220)

Ea (s) = Ke ωm (s)

(2.221)

τ (s) = Kτ Ia (s)

(2.222)

ωm (s) =

1 (τ (s) − τL (s)) Js + B

(2.223)

Figura 2.63 Diagrama de bloques del motor de CC controlado por el inducido Con las ecs. (2.220) a la (2.223) se obtiene el diagrama de bloques de la Fig. 2.63 del motor de cc controlado por el inducido.

2.25 Motor de CC controlado en el campo 91

2.25.4

Motor de CC controlado en el campo

Figura 2.64 Motor de CC controlado en el campo En este caso se supone que el voltaje aplicado a la armadura es constante. Aqu´ı no se supondr´a, como sucede a veces, que la corriente de armadura es constante (conectando una resistencia alta en serie con la armadura) ya que esto no es estrictamente cierto. El comportamiento del sistema es descrito con las siguientes ecuaciones: V = Ra ia + La

dia + ea dt

ea = K0 φω = K1 if ω

τ = K0 φia = K1 if ia

τ =j

dω + Bω dt

vf = Rf if + Lf

dif dt

las cuales despu´es de ser linealizadas alrededor de un punto de operaci´on se convierten en: ∆V = 0 = Ra ∆ia + La

d∆ia + ∆ea dt

∆ea = Kf ∆if + Kω ∆ω

92 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

∆τ = K2 ∆if + Kω ∆ia

∆τ = j

d∆ω + B∆ω dt

∆vf = Rf ∆if + Lf

d∆if dt

y utilizando la transformada de Laplace en ´ellas con condiciones iniciales nulas: ∆If (s) =

1 ∆Vf (s) Rf + Lf s

∆Ia (s) = −

1 ∆Ea (s) Ra + La s

∆Ea (s) = Kf ∆If (s) + Kω ∆ω(s) ∆τ (s) = K2 ∆If (s) + Kω ∆Ia (s) ∆ω(s) =

1 ∆τ(s) Js + B

de las cuales se puede obtener el diagrama de bloques de la Fig. 2.65.

Figura 2.65 Diagrama de bloques del motor de CC controlado en el campo Utilizando reducci´on de diagramas de bloques en la Fig. 2.65 o mediante la manipulaci´ on algebr´aica de las u ´ltimas cinco ecuaciones se puede obtener la funci´on de transferencia:

2.26 Potenci´ometros 93

Kω )(Ra + La s) (K2 − RKaf+L ∆ω(s) as = 2 ∆Vf (s) (Rf + Lf s)[La Js + (Ra J + La B)s + (Ra B + Kω2 )]

(2.224)

Consid´erese como entrada un escal´on unitario, es decir ∆vf (t) = us (t), por lo tanto ∆Vf (s) = 1s . Partiendo de que el sistema es estable entonces el cambio en velocidad en estado estacionario, ∆ωss , se puede calcular utilizando el teorema del valor final: ∆ωss = lim ∆ω(t) = lim s∆ω(s). En este caso da: t→∞

s→0

K K

∆ωss

f ω )Ra (K2 − R a = Rf (Ra B + Kω2 )

de donde se puede notar que si:

f Kω na de modo que (K2 − KR ) < 0, entonces ∆ω(s) < 0, es decir la a. Ra es peque˜ a velocidad decrece con el aumento de vf .

Kf Kω ) > 0, entonces ∆ω(s) > 0, es decir la b. Ra es grande de modo que (K2 − R a velocidad crece con el aumento de vf .

Si la inductancia de armadura es despreciable, entonces la funci´ on de transferencia se reduce a: −Kf Kω + K2 −Kf Kω + Ra K2 ∆ω(s) Ra ' = ∆Vf (s) (Rf + Lf s)(Ra Js + Ra B + Kω2 ) (Rf + Lf s)(Js + B +

2 Kω Ra )

(2.225)

y si la resistencia en el circuito de armadura se hace grande (conectando una resistencia alta en serie): ∆ω(s) K2 ' ∆Vf (s) (Rf + Lf s)(Js + B)

2.26

(2.226)

Sensores de error en sistemas de control

Como se sabe, en sistemas de control a menudo es necesario comparar varias se˜ nales en cierto punto de un sistema. Por ejemplo, la comparaci´ on de la entrada de referencia con la variable controlada, que es llamada la se˜ nal de error. En t´erminos de componentes f´ısicos, un sensor de error puede ser un simple potenci´ ometro o una combinaci´ on de ellos, un engranaje diferencial, un transformador, un amplificador diferencial, un synchro, etc. Se considerar´an algunos de ellos.

94 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

2.26.1

Potenci´ ometros

Un potenci´ ometro es un transductor electromec´ anico que convierte una se˜ nal mec´ anica en una se˜ nal el´ectrica. La entrada al dispositivo es en forma de desplazamiento mec´ anico, sea traslacional o rotacional. Cuando se aplica un voltaje entre los terminales fijos del potenci´ ometro, el voltaje de salida que se mide entre el terminal variable y tierra es proporcional al desplazamiento de entrada, linealmente o de acuerdo a alguna relaci´on no lineal. Potenci´ometros rotatorios son disponibles comercialmente en forma de una o m´ ultiples revoluciones. El material comunmente es alambre o pl´astico conductor. Este u ´ltimo es preferible para control de precisi´ on.

Figura 2.66 Potenci´ ometros En la Fig. 2.66a se tiene el modelo de un potenci´ ometro rotatorio lineal. Este dispositivo se puede usar para indicar la posici´on absoluta de un sistema o la posici´on relativa de dos salidas mec´anicas. Entonces el voltaje de salida e(t) ser´a proporcional a la posici´on del eje θc (t). Es decir e(t) = Ks θc (t), en donde Ks es una constante de proporcionalidad. Un arreglo m´ as flexible se obtiene usando dos potenci´ ometros conectados en pa-ralelo como se muestra en la Fig. 2.66b. En este caso se permite la comparaci´on de dos posiciones de ejes localizados remotamente. El voltaje de salida se toma entre los terminales variables de los dos potenci´ ometros y es dado por e(t) = Ks [θ1 (t) − θ2 (t)].

2.26 Potenci´ometros 95

Figura 2.67 Control de posici´ on con motor DC

Referencia E e(t)

ea(t)

pos. carga Tiempo

Figura 2.68 Ondas t´ıpicas del motor DC La Fig. 2.67 muestra el diagrama esquem´ atico simplificado de un t´ıpico sistema de control de posici´ on con motor DC. En la Fig. 2.68 se muestran formas de onda t´ıpicas on unitario. N´ otese que todas las se˜ nales del sistema para cuando θr (t) es un escal´ son demoduladas. En la terminolog´ıa del control, una se˜ nal DC se refiere a una se˜ nal no modulada. Por otro lado, una se˜ nal AC se refiere a aquella que es modulada por un proceso de modulaci´ on.

96 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

Figura 2.69 Control de posici´ on con motor bif´asico AC

Referencia v(t) error posición

e(t) pos. carga

Tiempo

Figura 2.70 Ondas t´ıpicas del motor bif´ asico AC La Fig. 2.69 muestra un sistema de control que sirve esencialmente al mismo prop´osito que el de la Fig. 2.67, excepto que prevalecen las se˜ nales AC. El voltaje aplicado al detector de error es sinusoidal. La frecuencia de esta se˜ nal es usualmente mucho m´as alta que la de la se˜ nal que est´ a siendo transmitida a trav´es del sistema. Se˜ nales t´ıpicas del sistema de control AC se muestran en la Fig. 2.70. v(t) = E sen ωc t es llamada nal de e-rror es e(t) = Ks θe (t)v(t), en la portadora cuya frecuencia es ωc . La se˜ donde θe (t) = θr (t) − θL (t), es la diferencia entre el desplazamiento de entrada y el

2.26 Synchros 97 nal desplazamiento de la carga. Para la se˜ nal θe (t) de la Fig. 2.70, e(t) es una se˜ modulada con portadora suprimida ya que no contiene la frecuencia original portadora. Por ejemplo, si θe (t) = sen ωs t, en donde normalmente ωs ¿ ωc , entonces, usando relaciones trigonom´etricas, e(t) = 12 Ks E[cos(ωc − ωs )t − cos(ωc + ωs )t]. Por eso, e(t) no contiene a ωc o ωs , sino a ωc + ωs y ωc − ωs . Cuando la se˜ nal modulada se transmite a trav´es del sistema, el motor actua como un demodulador, de modo que el desplazamiento de la carga ser´a de la misma forma que la se˜ nal DC antes de modulaci´ on.

2.26.2

Synchros

Son muy confiables. B´ asicamente un synchro es un dispositivo rotatorio que opera con el mismo principio que un transformador y produce una correlaci´on entre una posici´ on angular y un voltaje o conjunto de ellos. Los synchros son dispositivos AC y hay muchos tipos de ellos. Aqu´ı s´olo se discuten el synchro transmisor y el synchro transformador de control. El synchro transmisor. Los devanados de su estator est´an conectados en Y. El rotor es de polos salientes con un solo devanado. Su diagrama esquem´ atico se muestra en la Fig. 2.71.

Figura 2.71 El synchro transmisor Un voltaje AC monof´asico, ec = ER sen ωc t, se aplica al rotor a trav´es de dos anillos deslizantes. Se puede demostrar que las magnitudes de los voltajes en los terminales del estator son: √ ES1 S2 = 3KER sen(θ + 240◦ ) (2.227) ES2 S3 =

√ 3KER sen(θ + 120◦ )

ES3 S1 =

√

3KER sen θ

(2.228) (2.229)

98 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS en donde θ es la posici´on del rotor relativa alguna referencia. Por lo tanto, un synchro transmisor sirve para identificar posiciones angulares. El synchro transformador de control. Un detector de error por synchros involucra el uso de dos: el transmisor y el transformador de control como se muestra en la Fig. 2.72.

Figura 2.72 Detector de error por synchros B´asicamente el principio de operaci´on del synchro transformador de control es id´entica a la del trasmisor, excepto que el rotor es de forma cil´ındrica de modo que el flujo en el entrehierro es uniformemente distribuido alrededor del rotor. Esta cualidad es esencial para un transformador de control ya que los terminales del rotor son conectados usualmente a un amplificador o un dispositivo el´ectrico similar, de modo que ´este vea una impedancia constante. Cuando los voltajes (2.227) a (2.229) se aplican a los correspondientes terminales del estator del transformador de control, la amplitud del voltaje en su rotor es funci´ on del seno de la diferencia entre los ´angulos de los ejes del transmisor y del transformador de control. Naturalmente el detector de error s´ıncrono es un dispositivo no lineal. Sin embargo, para peque˜ nas desviaciones angulare de hasta 15◦ en la vecindad de las 2 posiciones nulas del seno, el voltaje del rotor del del transformador de control es aproximadamente proporcional a la diferencia de posici´on. Por eso, para peque˜ nas desviaciones angulares, la funci´ on de transferencia del detector de error s´ıncrono se E = θEe , en donde E es un voltaje de puede aproximar por una constante Ks = θr −θ L error en voltios, θr y θL son las posiciones de los ejes del transmisor y del transformador de control en radianes, respectivamente, θe es el error de las posiciones de los ejes en rads. y Ks es la sensitividad del detector de error en voltios/rad. Se debe hacer notar que la se˜ nal de error en los terminales del rotor del transformador nal de control cuando el voltaje aplicado al rotor del transmisor es ER sen ωc t, es una se˜ modulada de portadora suprimida, e(t) = Ks θe (t) sen ωc t.

2.27 Control de posici´ on con sensor de error potenciom´etrico 99

Figura 2.73 Control de posici´on con motor bif´asico La Fig. 2.73 muestra un diagrama simplificado de un sistema de control de posici´ on empleando un detector de error s´ıncrono. El rotor del transformador de control se conecta al eje controlado y el rotor del transmisor se conecta al eje de entrada de referencia.

2.27

Ejemplos de control de posici´ on

Los siguiente tres ejemplos tienen como objetivo el control de una posici´on angular.

2.27.1

Control de posici´ on con sensor de error potenciom´ etrico

Figura 2.74 Control de posici´ on con sensor de error potenciom´etrico y motor DC En la Fig. 2.74 Jm y Bm son: el momento de inercia y el coeficiente de fricci´on 1 on del n´ umero de dientes de los viscosa del motor, respectivamente, n = N N2 , es la relaci´ on del motor engranajes primario y secundario, Km es la constante de voltaje y de torsi´ (iguales en el sistema MKS), K1 es la ganancia del detector de error potenciom´etrico,

100 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS KA es la ganancia del amplificador, r, c, y θ1 son los desplazamientos angulares de los ejes de referencia, de salida (en la carga) y del motor, respectivamente. Las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema son: e = K1 (r − c) va = KA e va − ea = Ra ia + La

dia dt

ea = Km ω1 τ = Km ia τ = Jeq

dω1 + Beq ω1 dt

1 ω1 = c˙ n en donde Jeq = (Jm + n2 JL ) y Beq = (Bm + n2 BL ). Transformando las ecuaciones con condiciones iniciales nulas se obtienen: E(s) = K1 (R(s) − C(s)) Va (s) = KA E(s) Ia (s) =

1 (Va (s) − Ea (s)) Ra + La s Ea (s) = Km ω1 (s) τ (s) = Km Ia (s)

ω1 (s) =

1 τ(s) Beq + Jeq s

C(s) =

n ω1 (s) s

2.27 Control de posici´ on con synchros y motor DC 101 Con estas ecuaciones se puede obtener el diagrama de bloques que se muestra en la Fig. 2.75.

Figura 2.75 Diagrama de bloques del sistema de la Fig. 2.74 Utilizando reducci´on de diagramas de bloques o mediante manipulaci´ on de las ecuaciones transformadas se puede obtener la funci´ on de transferencia, la cual, en el caso de despreciar la inductancia de armadura, es: K1 KA Km n C(s) = 2 2 )s + K K K n R(s) Ra Jeq s + (Ra Beq + Km 1 A m

2.27.2

Control de posici´ on con synchros y motor DC

Figura 2.76 Control de posici´ on con synchros y motor DC

102 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Puesto que la se˜ nal de error del detector de error s´ıncrono es modulada, ec = K(θi − θ0 ) cos ωc t, y se desea usar un motor DC, es necesario entonces demodular el error, para lo cual se utiliza el circuito de la Fig. 2.77a, en donde vr = V cos ωc t.

Figura 2.77 Demodulador y circuitos equivalentes on a la Como se supone que las variaciones del error, θr − θL , son lentas con relaci´ portadora, el an´alisis del circuito se puede hacer en dos partes:

a. Cuando θr − θL > 0 y vr > 0. En este caso, como los transistores P y Q quedan en saturaci´ on y corte, respectivamente, el circuito de la Fig. 2.77b es equivalente al de la Fig. 2.77a sin considerar el condensador. En el circuito de la Fig. 2.77c se usa una red equivalente Thevenin en donde: 2 (2R1 +R2 ) 2 y eT h = − 2(RR ec . Por lo tanto: RT h = R2(R 1 +R2 ) 1 +R2 ) v0 =

R ec 2R1 + R2

Asi, si ec > 0 ⇒ v0 > 0, y si ec < 0 ⇒ v0 < 0, lo cual justifica parte de las gr´aficas de la Fig.2.78.

b. Cuando θr − θL > 0 y vr < 0. En este caso los transistores P y Q quedan en corte

2.27 Control de posici´ on con synchros y motor DC 103 y saturaci´ on, respectivamente. Haciendo un an´ alisis como en el caso anterior se obtiene: R ec 2R1 + R2 Asi, si ec > 0 ⇒ v0 < 0, y si ec < 0 ⇒ v0 > 0, lo cual justifica otra parte de las gr´aficas de la Fig.2.78. v0 = −

Vr ec Vo Vr ec Vo Tiempo

Figura 2.78 Se˜ nales del demodulador El condensador en el circuito de la Fig. 2.77a sirve como filtro para obtener a la salida del demodulador una se˜ nal DC que es proporcional al error de las posiciones angulares θr − θL .

Figura 2.79 Diagrama de bloques de la Figura 2.76

104 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS La Fig. 2.79 muestra el diagrama de bloques correspondiente al sistema de la Fig. 2.76, en donde Kθ es la ganancia del detector de error s´ıncrono, KDM representa la acci´ on del demodulador y KT G es la ganancia del tacogenerador de im´an permanente.

2.27.3

Control de posici´ on con synchros y motor bif´ asico

Figura 2.80 Control de posici´ on con synchros y motor bif´asico La Fig. 2.80 muestra el control de posici´ on angular utilizando detector de error sincr´ onico y motor bif´ asico. El tacogenerador en este caso es AC. Sus voltajes de referencia, al igual que el aplicado al rotor del synchro transmisor son de la misma frecuencia angular. La inercia y coeficiente de fricci´ on viscosa equivalentes en el eje del motor son: ³ ´2 ³ ³ ´2 ³ ´2 ´2 N4 N2 N1 N1 N4 N2 N1 1 J + J , y B = B + B + Bt Jme = Jm + N c t me m c N2 N5 N3 N2 N2 N5 N3 N2 La funci´ on de transferencia del motor bif´ asico que se encontr´ o anteriormente es: Km θm (s) = E2 (s) s(1 + Tm s) Las siguientes ecuaciones, de una vez en el dominio de s, completan el conjunto que describe el sistema de la Fig. 2.80: θe (s) = θr (s) − θt (s) E(s) = Ks θe (s)

2.28 Sistemas de nivel de l´ıquido 105

Ea (s) = E(s) − Et (s)

E2 (s) = AEa (s)

θc (s) =

θt (s) =

N1 θm (s) N2

N4 N2 θc (s) N5 N3

Et (s) = Kt sθt (s) Con estas ecuaciones se puede obtener el diagrama de bloques de la Fig. 2.81.

Figura 2.81 Diagrama de bloques del sistema de la Fig. 2.80 La funci´ on de transferencia, que se puede obtener por manipulaci´on algebraica de las ecuaciones o por reducci´on del diagrama de bloques, es: Ks AKm n1 θc (s) = 2 θr (s) Tm s + (1 + AKm Kt n2 )s + Ks AKm n2 donde n1 =

2.28

N1 N2

y n2 =

N4 N2 N5 N3 .

Sistemas de nivel de l´ıquido

106 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

Figura 2.82 Sistema de nivel de l´ıquido Dependiendo de si el flujo del l´ıquido es turbulento o laminar, lo cual se mide con el n´ umero de Reynolds, el sistema se describe mediante ecuaciones diferenciales no lineales o lineales, respectivamente. En el sistema de nivel de l´ıquido (sistema hidr´ aulico) de la Fig. 2.82a, A es el promedio de la secci´ on transversal del tanque, Qi es el caudal (volumen por unidad de tiempo) a la entrada y Q0 es el caudal a la salida. Naturalmente el volumen (V ) del l´ıquido en el tanque, suponiendo una secci´ on transversal constante, es funci´on del nivel del mismo, H. Es decir: V = f(H) Cuando ocurre un peque˜ no cambio en el nivel con respecto al valor del punto de operaci´ on, entonces: ∂f (H) |P0 ∆H = A∆H (2.230) ∂H N´otese que el l´ıquido en el tanque almacena energ´ıa. Si se considera que el volumen del l´ıquido en el tanque y el nivel en el sistema hidr´ aulico tienen como an´ alogos el´ectricos a la carga el´ectrica (q) en un condensador y la diferencia de potencial (voltaje e), respectivamente, entonces, puesto que q = Ce e, donde Ce es la capacitancia el´ectrica, y comparando con la ec. (2.230) se define la capacitancia del tanque como C , A y por lo tanto (2.230) se puede reescribir como (2.231): ∆V =

∆V = C∆H

(2.231)

Adem´ as, como la diferencia entre el caudal que le entra al tanque y el que le sale es la variaci´on del volumen del l´ıquido en el tanque, entonces: dV dt Asi si Qi − Q0 > 0, entonces el volumen aumenta y vicerversa. De (2.232): Qi − Q0 =

(2.232)

2.28 Sistemas de nivel de l´ıquido 107

d∆V (2.233) dt Es importante notar que puesto que la corriente el´ectrica se define como i , dq dt , entonces el an´ alogo del caudal es la corriente el´ectrica. Con (2.231) en (2.233): ∆Qi − ∆Q0 =

d∆H (2.234) dt Consid´erese el caudal a la salida Q0 , el cual como se muestra en la Fig. 2.82b puede ser una funci´on no lineal del nivel H, es decir Q0 = Q0 (H). Linealizando alrededor del punto de operaci´on: ∆Qi − ∆Q0 = C

∂Q0 (H) |P0 ∆H (2.235) ∂H Como se sabe, la resistencia el´ectrica Re se define por Re , ei y con ∆Q0 an´alogo a i y ∆H an´alogo a e, entonces de (2.235) se define la resistencia de la v´ alvula a la ∆H ´ . Esta es la pendiente de la curva mostrada en la Fig. 2.82b. salida como R , ∆Q 0 Por lo tanto, reescribiendo (2.235): ∆Q0 =

1 ∆H (2.236) R Con (2.236) en (2.234) y organizando se obtiene la ecuaci´on diferencial que relaciona un cambio en el caudal de entrada con un cambio en el nivel del sistema de la Fig. 2.82a: ∆Q0 =

C

1 d∆H + ∆H = ∆Qi dt R

(2.237)

La funci´ on de transferencia es: R ∆H(s) = (2.238) ∆Qi (s) RCs + 1 Si se considera como salida el caudal a trav´es de la v´ alvula de salida y como ∆Q0 (s) = 1 ∆H(s), entonces: R 1 ∆Q0 (s) = ∆Qi (s) RCs + 1

(2.239)

Figura 2.83 Circuito el´ectrico an´ alogo al sistema de nivel de l´ıquido de la Fig. 2.82a

108 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Teniendo en cuenta las analog´ıas el´ectricas descritas en esta secci´ on, se puede obtener el circuito el´ectrico an´ alogo del sistema de nivel de l´ıquido de la Fig. 2.82a como se muestra en la Fig. 2.83. En la Fig. 2.83 las analog´ıas son: Ce = C, Re = R, e = ∆H, i = ∆Qi , i0 = ∆Q0 . Aplicando la plk al nodo superior del circuito de la Fig. 2.83 se obtiene: i = Ce e˙ +

1 e Re

(2.240)

Reemplazando las analog´ıas en (2.240) se obtiene nuevamente la ecuaci´ on diferencial (2.237). La siguiente tabla hace un resumen de las analog´ıas consideradas en esta secci´on. Sistema hidr´aulico

Sistema el´ectrico

Nivel, ∆H Caudal, ∆Q Resistencia hidr´ aulica, R Capacitancia hidr´ aulica, C

Voltaje, e Corriente, i Resistencia el´ectrica, Re Capacitancia el´ectrica, Ce

2.29

Sistemas de nivel de l´ıquido con interacci´ on

Figura 2.84 Sistema de nivel de l´ıquido con interacci´ on La Fig. 2.84 muestra dos tanques conectados a trav´es de una v´ alvula. Se plantear´ a un modelo matem´ atico linealizado y se obtendr´a la funci´ on de transferencia, considerando como entrada una variaci´on del caudal Q, ∆Q, y como salida la variaci´ on en el caudal Q2 , ∆Q2 . Para el tanque de la izquierda:

2.29 Sistemas de nivel de l´ıquido con interacci´ on 109

Q − Q1 =

dV1 dt

Entonces: ∆Q − ∆Q1 =

d∆V1 d∆H1 = C1 dt dt

(2.241)

Como Q1 = Q1 (H1 − H2 ), entonces: 1 (∆H1 − ∆H2 ) R1 Similarmente para el tanque de la derecha: ∆Q1 =

Q1 − Q2 = ∆Q1 − ∆Q2 =

(2.242)

dV2 dt

d∆V2 d∆H2 = C2 dt dt

(2.243)

y como Q2 = Q2 (H2 ), entonces: ∆Q2 =

1 ∆H2 R2

(2.244)

Suponiendo condiciones iniciales nulas y transformando (2.241) a (2.244) se obtienen: ∆H1 (s) =

1 [∆Q(s) − ∆Q1 (s)] C1 s

(2.245)

∆Q1 (s) =

1 [∆H1 (s) − ∆H2 (s)] R1

(2.246)

∆H2 (s) =

1 [∆Q1 (s) − ∆Q2 (s)] C2 s

(2.247)

1 ∆H2 (s) R2

(2.248)

∆Q2 (s) =

Figura 2.85 Diagrama de bloques del sistema de la Fig. 2.84

110 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Con las ecuaciones (2.245) a (2.248) se puede obtener el diagrama de bloques que se muestra en la Fig. 2.85 y a partir de ´este o mediante reducci´on de diagrama de bloques se obtiene la funci´ on de transferencia:

1 ∆Q2 (s) = 2 ∆Q(s) R1 C1 R2 C2 s + (R1 C1 + R2 C2 + R2 C1 )s + 1

(2.249)

El circuito el´ectrico an´ alogo al sistema hidr´aulico de la Fig. 2.84 es el que se muestra en la Fig. 2.86.

Figura 2.86 Circuito el´ectrico an´ alogo al sistema hidr´ aulico de la Fig. 2.84 Las ecuaciones que describen el circuito de la Fig. 2.86, de una vez en el dominio de s, y que se obtienen aplicando la plk en dos nodos son:

∆Q(s) = C1 s∆H1 (s) +

0 = C2 s∆H2 (s) +

1 [∆H1 (s) − ∆H2 (s)] R1

1 1 ∆H2 (s) + [∆H2 (s) − ∆H1 (s)] R2 R1

(2.250)

(2.251)

on de ∆Q(s) y teniendo en cuenta de las cuales se puede obtener ∆H2 (s) en funci´ 2 (s) , que resulta ser la misma funci´ on de que ∆Q2 (s) = R12 ∆H2 (s) se obtiene ∆Q ∆Q(s) transferencia obtenida anteriormente y dada por la ec. (2.249).

2.30

Sistema de nivel de l´ıquidos no lineal

2.30 Sistema de nivel de l´ıquidos no lineal 111

Figura 2.87 Sistema hidr´ aulico √ √ otese que En el sistema hidr´aulico de la Fig. 2.87, Q1 = K1 H1 , Q2 = K2 H2 . N´ la secci´ on transversal del tanque esf´erico var´ıa con el nivel de su l´ıquido, es decir su capacitancia hidr´ aulica no es constante. El caudal u es la entrada al sistema. Se plantear´ an las ecuaciones de estado no lineales que describen el comportamiento del sistema.

Figura 2.88 Tanque esf´erico de la Fig. 2.87 En el tanque esf´erico de la Fig. 2.88 consid´erese el diferencial de volumen mostrado,

112 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS dv. Matem´ aticamente: i h ¡ ¢ dv = π r2 − (r − H)2 dH = π 2rH − H 2 dH

Es decir, el volumen en el tanque esf´erico para un nivel determinado H2 es:

V2

Z

H2

¢ ¡ π 2rH − H 2 dH 0 µ ¶ H23 2 = π rH2 − 3 =

(2.252)

Para el tanque superior de la Fig. 2.87: u − Q1 = A

dH1 dt

(2.253)

Q1 − Q2 =

dV2 dt

(2.254)

y para el tanque esf´erico:

Las ecuaciones no lineales (2.255) y (2.256) son dadas:

Reemplazando (2.252) en (2.254):

Q1 = K1

p H1

(2.255)

Q2 = K2

p H2

(2.256)

Q1 − Q2 = πH2 (2r − H2 )

dH2 dt

(2.257)

Con (2.255) en (2.253) y con (2.255) y (2.256) en (2.257) se obtienen las ecuaciones de estado no lineales que describen el comportamiento del sistema de la Fig. 2.87:

2.31

K1 p 1 dH1 =− H1 + u dt A A

(2.258)

h p p i dH2 1 = K1 H1 − K2 H2 dt πH2 (2r − H2 )

(2.259)

Sistemas neum´ aticos o de presi´ on

2.31 Sistemas neum´aticos o de presi´ on 113

Figura 2.89 Sistema neum´atico En el sistema neum´ atico de la Fig. 2.89 se tiene una restricci´ on o v´ alvula y una c´ amara de gas. Q es el flujo de gas (masa por unidad de tiempo), Pi es la presi´on amara. Ya que el flujo de entrada (antes de la restricci´on) y P0 es la presi´on en la c´ de gas a trav´es de la restricci´on, con el sentido mostrado, es funci´on, en general no lineal, de la diferencia de presiones Pi − P0 , entonces: Q = Q(Pi − P0 ) la cual despu´es de ser linealizada alrededor del punto de operaci´on Pop , se obtiene: ∆Q =

∂Q |P (∆Pi − ∆P0 ) ∂(Pi − P0 ) op

(2.260)

Si se considera al flujo de gas an´alogo a la corriente el´ectrica, i, y la diferencia de presi´ on an´aloga a la diferencia de potencial, e, teniendo en cuenta la definici´ on de resistencia el´ectrica, Re = ei , entonces la resistencia al flujo de gas R, de (2.260) se define como: R=

∆Pi − ∆P0 = ∆Q

1 ∂Q ∂(Pi −P0 ) |Pop

Por lo tanto (2.260) se puede reescribir como: 1 (∆Pi − ∆P0 ) (2.261) R Consid´erese la ley de los gases ideales, cuya expresi´ on matem´atica es dada por: ∆Q =

¯ R p = T (2.262) ρ m en donde p es la presi´on absoluta, v el volumen espec´ıfico del gas, ρ su densidad, m ¯ la constante universal de los gases y T la temperatura absoluta. su peso molecular, R Si se supone que el gas en la c´ amara de la Fig. 2.89 est´ a bajo ciertas condiciones, como por ejemplo volumen y temperatura constantes, y se var´ıa la presi´ on a la cual est´a sometido, entonces su densidad (ρ) var´ıa, y puesto que M = V ρ, entonces la masa M tambi´en var´ıa. Por lo tanto en el sistema de la Fig. 2.89, M = M(P0 ), y linealizando alrededor del punto de operaci´on: pv =

114 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

∂M |P ∆P0 (2.263) ∂P0 op Ya que el flujo de gas es variaci´ on de masa por unidad de tiempo, Q = dM dt , y puesto que, como se dijo antes, Q es an´ a logo a la corriente el´ e ctrica, i, entonces la masa R R M = Qdt tiene como an´alogo a la carga el´ectrica, qe = idt. Asi entonces, se puede definir la capacitancia neum´atica C de la c´ amara del gas como: ∆M =

∆M = C∆P0 ∂M |Pop . en donde en el punto de operaci´ on C = ∂P 0 Como:

(2.264)

d∆M (2.265) dt Con (2.261) y (2.264) en (2.265) se obtiene la ecuaci´on diferencial lineal que relaciona un cambio en la presi´on de la c´ amara del gas con un cambio en la presi´on de entrada: ∆Q =

1 d∆P0 1 + ∆P0 = ∆Pi (2.266) dt R R y utilizando la transformada de Laplace con condiciones iniciales nulas se obtiene la funci´ on de transferencia: C

1 ∆P0 (s) = (2.267) ∆Pi (s) RCs + 1 Teniendo en cuenta las analog´ıas el´ectricas descritas en esta secci´ on, se puede obtener el circuito el´ectrico an´ alogo del sistema neum´atico de la Fig. 2.89 como se muestra en la Fig. 2.90 y obtener la misma funci´on de transferencia de la ec. (2.267).

Figura 2.90 Circuito el´ectrico an´ alogo del sistema de la Fig. 2.89 La siguiente tabla hace un resumen de las analog´ıas consideradas en esta secci´on. Sistema neum´atico

Sistema el´ectrico

Presi´on, ∆P Flujo, ∆Q Resistencia neum´ atica, R Capacitancia neum´ atica, C

Voltaje, e Corriente, i Resistencia el´ectrica, Re Capacitancia el´ectrica, Ce

2.31 Sistemas neum´aticos o de presi´ on 115 Ejemplo 2.22 Para el sistema neum´ atico de la Fig. 2.91 plantear un conjunto de ecuaciones en el dominio de s que describa el comportamiento del sistema en funci´ on on en las entradas de los cambios de presi´ on ∆P01 y ∆P02 . Los cambios de presi´ atica de la i-´esima v´ alvula y Ci es la son ∆Pi1 y ∆Pi2 . Ri es la resistencia neum´ capacitancia neum´ atica de la i-´esima c´ amara.

Figura 2.91 Sistema neum´atico del ejemplo 2.22 La Fig. 2.92 muestra el circuito el´ectrico an´ alogo del sistema neum´atico de la Fig. 2.91, de una vez transformado, es decir en el dominio de s.

Figura 2.92 Circuito el´ectrico an´ alogo del sistema de la Fig. 2.91 Aplicando la plk a los nodos 1 y 2 del circuito de la Fig 2.92 se obtiene el conjunto de ecuaciones que se desea: 1 1 [∆P01 (s) − ∆Pi1 (s)] + C1 s∆P01 (s) + [∆P01 (s) − ∆P02 (s)] = 0 R1 R3 1 1 [∆P02 (s) − ∆P01 (s)] + C2 s∆P02 (s) + [∆P02 (s) − ∆Pi2 (s)] = 0 R3 R2

116 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Ejemplo 2.23 En el sistema neum´ atico de la Fig. 2.93 A es la secci´ on transversal de cada fuelle, K es la constante del resorte, Kg es la constante de los gases ideales y Ri es la resistencia al flujo del gas en cada una de las restricciones, i = 1, 2. Obtener la funci´ on de transferencia considerando como entrada un cambio en la presi´ on P0 , on z, ∆z. Suponer conocido el punto de ∆P0 , y como salida un cambio en la posici´ operaci´ on, la temperatura en los fuelles constante y que el gas es ideal.

Figura 2.93 Sistema neum´atico del ejemplo 2.23 Se supone que la presi´ on del gas en el fuelle de la izquierda es Pi y en el de la derecha Pf . Por lo tanto A(Pf − Pi ) = Kz, y linealizando: A(∆Pf − ∆Pi ) = K∆z

(2.268)

1 ∆M˙ i = (∆P0 − ∆Pi ) R1

(2.269)

1 ∆M˙ f = (∆P0 − ∆P2 ) R2

(2.270)

Los flujos de gas a trav´es de las restricciones de la izquierda, M˙ i , y de la derecha, on, P0 − Pi y P0 − Pf . Es M˙ f , son funciones de las respectivas diferencias de presi´ decir, M˙ i = M˙ i (P0 − Pi ) y M˙ f = M˙ f (P0 − Pf ), las cuales despu´es de ser linealizadas se convierten en:

Aplicando la ley de los gases ideales en cada uno de los fuelles se obtienen: Pi Vi = Kg Mi Ti

Pf Vf = Kg Mf Tf las cuales al ser linealizadas se reducen a:

2.32 Sistemas t´ermicos 117

∆Mi = C1 ∆Pi + C2 ∆Vi

(2.271)

∆Mf = C3 ∆Pf + C4 ∆Vf

(2.272)

Reemplazando ∆Vi = ∆Vf = A∆z en (2.271) y (2.272): ∆Mi = C1 ∆Pi + C2 A∆z

(2.273)

∆Mf = C3 ∆Pf + C4 A∆z

(2.274)

Suponiendo condiciones iniciales nulas, transformando (2.269) y (2.270) y reemplazando en ´ellas (2.273) y (2.274) despu´es de ser tambi´en transformadas se obtienen: ∆Mi (s) =

1 [∆P0 (s) − ∆Pi (s)] = C1 ∆Pi (s) + C2 A∆z(s) R1 s

(2.275)

∆Mf (s) =

1 [∆P0 (s) − ∆Pf (s)] = C3 ∆Pf (s) + C4 A∆z(s) R2 s

(2.276)

Despejando ∆Pi (s) y ∆Pf (s) de (2.275) y (2.276) respectivamente: ¸ · R1 s 1 ∆P0 (s) − C2 A∆z(s) ∆Pi (s) = R1 C1 s + 1 R1 s

(2.277)

¸ · R2 s 1 ∆P0 (s) − C4 A∆z(s) R2 C3 s + 1 R2 s

(2.278)

∆Pf (s) =

Con (2.277) y (2.278) en (2.268) despu´es de ser transformada y organizando se halla la funci´ on de transferencia pedida: b0 s + b1 ∆z(s) = 2 ∆P0 (s) a0 s + a1 s + a2 en donde: b0 = A (R1 C1 + R2 C3 ) , b1 = 2A, a0 = KR1 R2 C1 C3 + AR1 R2 C1 C4 − AR1 R2 C2 C3 a1 = KR1 C1 + KR2 C3 + AR2 C4 − AR1 C2 , a2 = K

2.32

Sistemas t´ ermicos

Si se supone que la temperatura de un cuerpo es uniforme, entonces un peque˜ no n´ umero de sistemas t´ermicos pueden ser representados por ecuaciones diferenciales lineales. Se considerar´a espec´ıficamente un calentador de agua como ejemplo de un t´ıpico sistema t´ermico.

118 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

Figura 2.94 Sistema t´ermico En la Fig. 2.94 el mezclador tiene como fin uniformizar la temperatura del l´ıquido en el tanque. Se definen las siguientes variables: Q˙ i : flujo de calor que entra (por ejemplo en calor´ıas/segundo) Q˙ h : flujo de calor producido por la resistencia Q˙ c : calor almacenado por unidad de tiempo Q˙ 0 : flujo de calor que sale Q˙ l : calor perdido a trav´es del aislante por unidad de tiempo Tt : temperatura en el tanque y del l´ıquido que sale Te : temperatura en el exterior La relaci´ on fundamental de sistemas t´ermicos en equilibrio establece que el calor as las p´erdidas de adicionado al sistema (Qi + Qh ) es igual al calor almacenado m´ calor (Qc + Q0 + Ql ). Por lo tanto: Q˙ i + Q˙ h = Q˙ c + Q˙ 0 + Q˙ l y linealizada: ∆Q˙ i + ∆Q˙ h = ∆Q˙ c + ∆Q˙ 0 + ∆Q˙ l

(2.279)

El calor almacenado en el tanque es funci´ on de la temperatura del l´ıquido, Qc = Qc (Tt ). Por lo tanto: ∂Qc |P ∆Tt (2.280) ∂Tt 0 Si se considera que el calor almacenado en el tanque es an´alogo a la carga el´ectrica (qe ) en un condensador y la temperatura es an´aloga al voltaje (e), entonces teniendo ∆Qc =

2.32 Sistemas t´ermicos 119 on (2.280), en cuenta la definici´ on de capacitancia el´ectrica, qe = Ce e, y la ecuaci´ c | .Por lo tanto, (2.280) se puede se define la capacitancia t´ermica como C = ∂Q P 0 ∂Tt reescribir como ∆Qc = C∆Tt , la cual despu´es de ser derivada es: ∆Q˙ c = C∆T˙t

(2.281)

on del par´ametro denominado capacidad cal´orica El flujo de calor que sale, Q˙ 0 , es funci´ atica-mente: espec´ıfica, c, del caudal, M˙ , y de la temperatura del l´ıquido, Tt . Matem´ Q˙ 0 = cM˙ Tt

(2.282)

la cual despu´es de ser linealizada alrededor del punto de operaci´on es: ∆Q˙ 0 = cTt0 ∆M˙ + cM˙ 0 ∆Tt

(2.283)

El flujo de calor perdido a trav´es del aislante depende de la diferencia de temperaturas en el tanque y en el exterior. Es decir, Q˙ l = Q˙ l (Tt − Te ). Linealizando alrededor del punto de operaci´ on: ∆Q˙ l =

∂ Q˙ l |P (∆Tt − ∆Te ) ∂(Tt − Te ) 0

(2.284)

Como el flujo de calor es variaci´ on de calor por unidad de tiempo, entonces aqu´el es an´ alogo a la corriente el´ectrica y teniendo en cuenta la definici´ on de resistencia el´ectrica, Re = ei , entonces de (2.284) se puede definir la resistencia t´ermica de h i−1 ˙l | . Por lo tanto (2.284) se puede reescribir: aislamiento R = ∂(T∂tQ P 0 −Te ) 1 ∆Q˙ l = (∆Tt − ∆Te ) R

(2.285)

Con (2.281), (2.283) y (2.285) en (2.279) y organizando: µ ¶ d∆Tt 1 1 ˙ + cM0 + C ∆Tt = ∆Q˙ i + ∆Q˙ h + ∆Te − cTt0 ∆M˙ dt R R

(2.286)

Si se supone que no hay cambios en el caudal, es decir ∆M˙ = 0, ni cambios en la temperatura en el exterior, es decir ∆Te = 0, entonces (2.286) se reduce a: C

µ ¶ d∆Tt 1 + cM˙ 0 + ∆Tt = ∆Q˙ i + ∆Q˙ h dt R

(2.287)

que es la ecuaci´ on diferencial que relaciona un cambio en la temperatura en el tanque con cambios en Q˙ i y en Q˙ h .

120 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

Figura 2.95 Circuito el´ectrico an´ alogo al sistema de la Fig. 2.94 La Fig. 2.95 muestra un circuito el´ectrico an´ alogo al sistema t´ermico de la Fig. 2aloga a las p´erdidas 94. N´ otese que cM˙ 0 es el inverso de una resistencia el´ectrica an´ a la salida, y si la fuente de voltaje ∆Te se despreciara, estar´ıa en paralelo con la resistencia an´ aloga a la resistencia t´ermica de aislamiento. ∆Q˙ i y ∆Q˙ h son an´alogas a dos fuentes de corriente conectadas en paralelo suministrando energ´ıa al circuito. C representa la capacitancia t´ermica del l´ıquido en el tanque. La siguiente tabla hace un resumen de las analog´ıas consideradas en esta secci´on. Sistema t´ermico

Sistema el´ectrico

Temperatura, ∆T Flujo de calor, ∆Q Resistencia t´ermica, R Capacitancia t´ermica, C

Voltaje, e Corriente, i Resistencia el´ectrica, Re Capacitancia el´ectrica, Ce

CAPITULO

3

SIMULACION Y SINTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA El amplificador operacional, la computadora digital, el microprocesador o el microcontrolador se pueden utilizar no solo para simular sistemas sino tambi´en para sintetizar funciones de transferencia tales como filtros activos, controladores y compensadores en un sistema de control

3.1

El Amplificador Operacional

Es un amplificador directamente acoplado de muy alta ganancia, alta impedancia de entrada y baja impedancia de salida al cual se le a˜ nade realimentaci´on para obtener diferentes funciones de transferencia. La Fig. 3.1(a) muestra su representaci´on. Tiene dos entradas: una inversora (−) y otra no inversora (+). Si el voltaje entre (+) y (−) es mas positivo en (−), la salida es negativa como se muestra en el modelo de la Fig. 3.1(b). Cuando se utiliza realimentaci´ on negativa el voltaje entre (+) y (−) es pr´acticamente nulo y las corrientes de entrada a ambos terminales tambi´en se pueden despreciar. Un amplificador operacional ideal ser´ıa aquel que tuviese impedancia de entrada infinita, impedancia de salida cero, amplificaci´ on de voltaje sin realimentar infinita, ancho de banda infinito y balance perfecto. Un amplificador real, como el LM741, tiene, como valores t´ıpicos, impedancia de entrada 2M, impedancia de salida 75 Ohm, ganancia de voltaje sin realimentar 200000, el ancho de banda depende de la configuraci´ on y el desbalance es imperfecto pero peque˜ no. Sin embargo, si se realimenta negativamente su comportamiento es muy cercano al ideal.

121

122 SIMULACION Y SINTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

Figura 3.1 S´ımbolo y modelo

3.1.1

Algunos Circuitos con Amplificador Operacional

Con el amplificador operacional se pueden obtener amplificadores inversores y noinversores de signo, sumadores, integradores, derivadores, filtros activos, y en general cualquier funci´ on de transferencia. Algunos circuitos b´asicos son los siguientes: 3.1.1.1 Amplificador con dos Fuentes de Entrada La Fig. 3.2 muestra un amplificador operacional con dos entradas v1 (s) y v2 (s) con realimentaci´on negativa , desde la salida v0 (s) al terminal inversor (-) a trav´es de la 0 impedancia Z (s).

Figura 3.2 Amplificador con dos entradas N´ otese que:

3.1 Sumador 123

v1 (s) − v(−) v0 (s) − v(−) + = i(−) ' 0 Z(s) Z 0 (s)

(3.1)

Adem´ as como v(+) − v(−) ' 0 y v(+) = v2 (s): ! Ã 0 0 Z (s) Z (s) v1 (s) + 1 + v2 (s) v0 (s) = − Z(s) Z(s)

0

(3.2)

0

Si v2 (s) = 0, con impedancias resistivas Z (s) = R y Z(s) = R:

0

R v0 (s) =− v1 (s) R

(3.3)

0

0

que es un amplificador inversor de ganancia − RR . Con R = R se tiene un inversor de signo para el cual v0 (s) = −v1 (s). Por otro lado, si en (3.2) v1 (s) = 0, con impedancias resistivas:

0

R v0 (s) =1+ v2 (s) R

(3.4)

con lo que se tiene un amplificador no-inversor de signo cuya ganancia es siempre 0 mayor que la unidad. Un caso particular, pero muy u ´til, es aquel para el cual R = 0 y R = ∞, llamado seguidor de voltaje, porque: v0 (s) =1 v2 (s)

(3.5)

Este es un amplificador de ganancia unitaria positiva que se caracteriza por tener una alt´ısima impedancia de antrada y una muy baja impedancia de salida lo que lo hace muy u ´til para acoplar un circuito de alta impedancia de salida con otro cuya impedancia de entrada sea relativamente baja.

124 SIMULACION Y SINTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 3.1.1.2

Sumador

Figura 3.3 Sumador Como se muestra en la Fig. 3.3, ya que v(−) ' v(+) = 0, i1 = 0 vn v0 · · ·, in = R ei =R 0 : n

v1 −v(−) R1

=

v1 v2 vn v0 + +···+ + 0 = i(−) ' 0 R1 R2 Rn R

v1 R1 , i2

=

v2 R2 ,

(3.6)

As´ı: v0 = −

Ã

0

0

0

R R R v1 + v2 + · · · + vn R1 R2 Rn

!

=−

n X

k=1

Ã

0

R vk Rk

!

(3.7)

donde vk (con k = 1, 2 · · · n) y v0 son funciones del tiempo t. 0 R de las entradas La salida v0 es el negativo de la suma ponderada por las ganancas R k 0 vk . Si R1 = R2 = · · · = Rn = R la salida es directamente el negativo de la suma de las se˜ nales de entrada:

v0 = −

n X

k=1

vk

(3.8)

3.1 Derivador 125 3.1.1.3

Integrador

Figura 3.4 Integrador Un circuito que produce la integral de las entradas se muestra en la Fig. 3.4. Se v1 , utiliza un condensador C en la realimenteci´ on. Como v(−) ' v(−) = 0, i1 = R 1 0 v2 vn dv0 i2 = R2 , · · ·, in = Rn e i = C dt :

v2 vn dv0 v1 = i(−) ' 0 + +···+ +C R1 R2 Rn dt

(3.9)

¶ n Z µ X 1 vk dt + v0 (0+ ) v0 = − Rk C

(3.10)

de donde:

k=1

donde v0 (0+ ) es la condici´ on inicial o valor de v0 en el tiempo t = 0+

126 SIMULACION Y SINTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 3.1.1.4

Derivador

Figura 3.5 Derivador La Fig. 3.5 muestra un circuito derivador con una entrada. En este caso como v(−) ' v(+) = 0 : C

dv1 v0 + = i(−) ' 0 dt R

(3.11)

y as´ı el voltaje de salida es:

v0 = −RC

dv1 dt

(3.12)

Es decir, la salida es proporcional a la derivada de la entrada. Este uso no es recomendable porque amplifica el ruido. Esto es, si v1 contiene una componente de ruido v1R = V1Rm sen(ωt), la componente de ruido a la salida, v0R, es:

v0R = −RC

d (V1Rm sen(ωt)) = −RCωV1Rm cos(ωt) dt

(3.13)

Con f la frecuencia en Hertzios, el factor ω = 2πf en la amplitud RCωV1Rm amplifica considerablemente el ruido, especialmente, si ω es de alta frecuencia. Es preferible deteriorar un poco la funci´on derivadora filtr´ andola, por ejemplo, con el circuito de la Fig 3.6:

3.1 Filtro de un Polo 127

Figura 3.6 Derivador filtrado Como v(−) ' v(+) = 0 :

v0 (s) v1 (s) = i(−) ' 0 1 + R R1 + Cs

(3.14)

la funci´ on de transferencia del derivador filtrado es:

1 v0 (s) = (−RCs) v1 (s) 1 + R1 Cs

(3.15)

La parte (−RCs) corresponde a la funci´ on derivadora y :

G (s) =

1 1 + R1 Cs

es la parte filtrante con frecuencia de corte o ancho de banda

(3.16)

1 R1 C

rad/seg.

128 SIMULACION Y SINTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 3.1.1.5

Filtro de un Polo

Figura 3.7 Filtro de un polo Un filtro de un polo se puede obtener con el circuito de la Fig. 3.7: Sumando corrientes con v(−) ' 0 : v1 (s) v0 (s) + + Csv0 (s) = i(−) ' 0 R1 R2

(3.17)

de donde: R2 v0 (s) =− v1 (s) R1

µ

1 1 + R2 Cs

¶

2 que es un filtro de ganancia − R R1 y frecuencia de corte o ancho de banda

3.2 3.2.1

(3.18)

1 R2 C

rad/seg.

Elementos de C´ alculo Anal´ ogico Soluci´ on de ecuaciones diferenciales mediante la com-

putadora anal´ ogica Un elemento b´asico de la computadora anal´ ogica es el integrador (Fig. 3.8):

3.2 Soluci´ on de ecuaciones diferenciales mediante la computadora anal´ogica 129

Figura 3.8 Circuito integrador b´asico on Donde ei es la entrada que se integra y VIC = −e0 (0) sirve para establecer la condici´ inicial. La Tabla 3.1 resume la operaci´ on del circuito integrador b´asico dependiendo de las posiciones de los conmutadores S1 y S2 : Tabla 3.1 Modos de operaci´ on del integrador b´asico. Modo del integrador

C´omputo o c´ alculo

”HOLD” (Sostenimiento)

Posici´ on de los conmutadores

Circuito resultante

130 SIMULACION Y SINTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

Modo del integrador

Posici´ on de los conmutadores

Circuito resultante

”RESET” (Reposici´on) Con referencia a la Tabla 3.1, para obtener la condici´ on inicial e0 (0) = −VIC se utiliza el circuito de reposici´ on. Despu´es de lo cual se puede utilizar el circuito de c´ alculo. Si se desea congelar la soluci´ on se utiliza el circuito de sostenimiento.

3.2.2

Elementos b´ asicos de c´ alculo anal´ ogico

La Tabla 3.2 muestra algunos elementos b´ asicos de c´ alculo utilizados en la computadora anal´ogica. Tabla 3.2 Algunos elementos de c´ alculo anal´ogico Ciruito

S´ımbolo

Operaci´on b´asica

e0 = a ei 0 t, si kt < 1, simulaci´ Sea por ejemplo la ecuaci´ on: .

v x1 =

dvx1 = 3vx2 dt

Al escalarla en tiempo queda: dvx1 = kt 3vx2 (3.45) dtc Esto equivale en general a multiplicar las ganancias de todas las entradas a los integradores por kt . Algunos computadores anal´ogicos disponen de un condensador adicional que es 10 o´ 100 veces menor que el utilizado normalmente. Con ´esto se puede obtener la soluci´ on en forma repetitiva para observar la respuesta en un osciloscopio y hacer ajustes de par´ ametros, por ejemplo los de un controlador, r´ apidamente. En el caso del ejemplo se tendr´ıa con un condensador 100 veces menor: ·

vx1 = 300vx2 · vx2 = −300vx1

(3.46)

lo que dar´ıa como soluci´ on vx1 = 10 sen (300t), que es la misma soluci´ on con una frecuencia 100 veces mayor. En general el proceso de escalamiento exige tantear, especialmente cuando no se conocen previamente los valores m´ aximos de las variables. Si se expresa el comportamiento din´ amico del sistema mediante ecuaciones de estado, un posible punto de inicio para seleccionar los factores de escala, es hacer que los coeficientes de las ecuaciones escaladas est´en en el rango 0 a ±10. Por ejemplo, para un sistema de dos ecuaciones de estado: x1

·

= a11 x1 + a12 x2 + b1 u

·

= a21 x1 + a22 x2 + b2 u

x2 con

x1 = k1 v1 x2 = k2 v2 u = ku vu se tiene ·

v1 ·

v2

µ µ ¶ ¶ k2 ku = (a11 ) v1 + a12 v2 + b1 vu k1 k1 µ µ ¶ ¶ k1 ku = a21 v1 + (a22 ) v2 + b2 vu k2 k2

140 SIMULACION Y SINTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA Si todos los coeficientes: ¯ ¯ ¯ kj ¯ ¯ |aijv | = ¯aij ¯¯ para i = 1, 2, j = 1, 2 ki ¯ ¯ ¯ ku ¯ |biu | = ¯¯bi ¯¯ para i = 1, 2 ki

son menores que 10, al hacer la primera simulaci´ on se puede determinar cuales variables superan 10 voltios para cambiar las escalas correspondientes. Ejercicio Hacer un escalamiento previo de las ecuaciones de estado: ·

x1 ·

x2 ·

x3

= 0.5x1 − 20x2 − 5x3 + 3u = 0.6x1 = 80x2

con: u = 20 sen (2π0.1) t de tal manera que todos los coeficientes de las variables escaladas est´en en el rango 0 a ±10.

3.6

Otras realizaciones para representar sistemas

por ecuaciones de estado 3.6.1

Realizaci´ on ”CONTROLLER”

Sea la funci´ on de transferencia. b1 s2 + b2 s + b3 y (s) = 3 u (s) s + a1 s2 + a2 s + a3

(3.47)

Definiendo: ¢ ¡ y (s) = b1 s2 + b2 s + b3 z (s)

¢ ¡ u (s) = s3 + a1 s2 + a2 s + a3 z (s)

(3.48)

donde z (s)es una variable auxiliar, que no afecta la funci´ on de trasferencia original: ¡ 2 ¢ b1 s + b2 s + b3 z (s) y (s) = 3 (3.49) u (s) (s + a1 s2 + a2 s + a3 ) z (s) En el dominio del tiempo:

3.6 Realizaci´ on ”CONTROLLER” 141

2

y = b1 ddt2z + b2 dz dt + b3 z (3.50) u=

d3 z dt3

2 + a1 ddt2z

+ a2 dz dt

+ a3 z

Definiendo

x3 x2 x1

= z dz = dt d2 z = dt2

(3.51)

As´ı: d3 z . = x1 dt2 Lo que permite obtener las ecuaciones de estado: .

x1 . x2 . x3

= −a1 x1 − a2 x2 − a3 x1 + u = x1 = x2

(3.52)

con la ecuaci´on de salida: y = b1 x1 + b2 x2 + b3 x3

(3.53)

Las matrices Ac , Bc , Cc y Dc para la realizaci´ on tipo ”CONTROLLER”, son: 

−a1 Ac =  1 0 Cc =

£

b1

b2

−a2 0 1 b3

¤

 −a3 0  0



 1 Bc =  0  0 Dc = 0

Tabla 3.4 Matrices de la realizaci´ on ”CONTROLLER” Esta realizaci´on puede ser representada en diagrama de bloques como se muestra en la Fig 3.17. Note que Ac = At , Bc = C t y Cc = B t , donde t indica transpuesto. A, B y C son las matrices de la realizaci´on ”OBSERVER”. As´ı, la realizaci´ on ”CONTROLLER” es dual de la ”OBSERVER”.

142 SIMULACION Y SINTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

Figura 3.17 Diagrama de bloques de la realizaci´ on ”CONTROLLER”

3.6.2

Realizaci´ on ”OBSERVABILITY”

La funci´ on de transferencia: b1 s2 + b2 s + b3 y (s) = 3 u (s) s + a1 s2 + a2 s + a3

(3.54)

d2 y dy d2 u dy d3 y − a + b3 u − a = −a y + b + b2 1 2 3 1 3 2 2 dt dt dt dt dt

(3.55)

w1 = y . w2 =y .. w3 =y

(3.56)

puede ser escrita:

Llamando:

.

...

Como w3 = y : .

..

.

w3 = −a1 w3 − a2 w2 − a3 w1 + b1 u +b2 u +b3 u . w2 = w3 . w1 = w2

(3.57)

z }| { • ¡ .¢ · w3 − b1 u = −a1 w3 − a2 w2 − a3 w1 + b2 u +b3 u

(3.58)

de donde:

definiendo

.

z3 = w3 − b1 u .

w3 = z3 + b1 u Reemplazando 3.59:

(3.59)

3.6 Realizaci´ on ”OBSERVABILITY” 143

.

.

z 3 = −a1 z3 − a2 w2 − a3 w1 + (b2 − a1 b1 ) u +b3 u . . w2 = z3 + b1 u . w1 = w2

(3.60)

de donde: }|

z

{

•

(z3 − (b2 − a1 b1 ) u) = −a1 z3 − a2 w2 − a3 w1 + b3 u z }| { •

(w2 − b1 u) = z3 •

w1

(3.61)

= w2

definiendo: x3 x2 x1

= z3 − (b2 − a1 b1 ) u = w2 − b1 u = w1

z3 w2 y

= x3 + (b2 − a1 b1 ) u = x2 + b1 u = w1 = x1

(3.62)

se obtiene:

y reemplazando en (3.61): .

x1 . x2 . x3

= x2 + b1 u = x3 + (b2 − a1 b1 ) u = −a3 x1 − a2 x2 − a1 x3 + [b3 − a2 b1 − a1 (b2 − a1 b1 )] u

(3.63)

= b1 = b2 − a1 b1 = b3 − a2 b1 − a1 (b2 − a1 b1 )

(3.64)

Llamando: β1 β2 β3

las matrices Aob , Bob , Cob y Dob son:

Aob



0 = 0 −a3

Cob =

£

1 0 −a2

1 0 0

¤

 0 1  −a1

Bob

 β1 =  β2  β3 

Dob = 0

Tabla 3.5 Matrices para la realizaci´ on ”OBSERVABILITY”

144 SIMULACION Y SINTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA La matriz Bob se puede tambi´en calcular mediante:

Bob

  1 β1 =  β2  =  a1 β3 a2 

0 1 a1

−1   0 b1 0   b2  1 b3

(3.65)

La realizaci´on ”OBSERVABILITY” puede ser representada en un diagrama de bloques como se muestra en la Fig 3.18.

Figura 3.18 Diagrama de bloques para la realizaci´ on ”OBSERVABILITY”

3.6.3

Realizaci´ on ”CONTROLLABILITY”

La realizaci´on ”CONTROLLABILITY” es dual de la ”OBSERVABILITY”. Las matrices Aco , Bco , Cco y Dco son:

Aco

 0 0 −a3 =  1 0 −a2  0 1 −a1

Cco =



£

β2

β1

β3

¤

Bco



 1 = 0  0

Dco = 0

Tabla 3.6 Matrices para la realizaci´ on ”CONTROLLABILITY” donde Cco se puede calcular mediante:

Cco =

£

β1

β2

β3

¤

=

£

b1

b2

b3

¤



1 a1  0 1 0 0

−1 a2 a1  1

(3.66)

3.6 Realizaci´ on ”CONTROLLABILITY” 145 El diagrama de bloques de la realizaci´on ”CONTROLLABILITY” se muestra en la Fig 3.19.

Figura 3.19 Diagrama de bloques para la realizaci´ on ”CONTROLLABILITY”

CAPITULO

4

ACCIONES BASICAS DE CONTROL

4.1

Introducci´ on

Un control autom´atico, Fig.4.1, compara el valor efectivo de salida (c) de una planta con el valor deseado (r), determina la desviaci´ on (e) y produce una se˜ nal de control (m) que reduce la desviaci´on a cero o a un valor peque˜ no. La forma en que el control autom´ atico produce la se˜ nal de control (m) recibe el nombre de acci´ on de control. En este cap´ıtulo se presentan las acciones de control b´ asicas usadas comunmente en los controles autom´ aticos industriales y sus efectos en el funcionamiento de un sistema.

Figura 4.1 Sistema controlado

4.2

Clasificaci´ on de los controles autom´ aticos

Los sistemas de control autom´ atico se clasifican seg´ un su acci´ on de control: 1. Controles de dos posiciones (todo-nada, si-no, on-off). 2. Controles proporcionales.

147

148 ACCIONES BASICAS DE CONTROL 3. 4. 5. 6.

Controles Controles Controles Controles

4.2.1

integrales. proporcionales e integrales (PI). proporcionales y derivativos (PD). proporcionales, integrales y derivativos (PID).

Controles de dos posiciones o de SI-NO

Figura 4.2 Control de dos posiciones Aqu´ı el controlador tiene solamente dos posiciones fijas. Son generalmente dispositivos el´ectricos en donde habitualmente hay una v´alvula accionada por un solenoide el´ectrico. Tambi´en los controles neum´aticos proporcionales con muy altas ganancias act´ uan como controles de 2 posiciones. Si m (t) es la salida del controlador y e (t) es la se˜ nal de error actuante: m(t) =

½

M1 , M2 ,

e(t) > 0 e (t) < 0

(4.1)

Generalmente M2 = −M1 ´o M2 = 0.

Figura 4.3 Brecha diferencial o hist´eresis El rango en que e(t) se debe desplazar antes de que se produzca la conmutaci´on se

4.2 Controles de dos posiciones o de SI-NO 149 llama brecha diferencial o hist´eresis, Fig 4.3. La brecha diferencial hace que la salida del control m (t) mantenga su valor hasta que la se˜ nal de error actuante haya pasado del valor cero. Debe notarse que la brecha diferencial evita la acci´ on excesivamente frecuente del mecanismo de SI-NO.

Figura 4.4 Control SI-NO de un tanque alvula de entrada se cierra y con Con referencia a la Fig 4.4, cuando h = h2 la v´ h = h1 , se abre.

Figura 4.5 An´ alogo el´ectrico de un tanque La ecuacion diferencial que relaciona la salida h con la entrada, qi, sin considerar el controlador se puede obtener del an´ alogo el´ectrico de la Fig 4.5:

C

h dh + = qi (t) dt R

(4.2)

Consid´erese ahora el controlador de dos posiciones en el cual la v´alvula de entrada o qi (t) = 0. est´a abierta o cerrada. Entonces qi (t) = Q ´ La respuesta del sistema se muestra en la Fig.4.6:

150 ACCIONES BASICAS DE CONTROL

Figura 4.6 Respuesta del nivel de un tanque con control SI-NO con brecha diferencial h (t) se obtiene de (4.2) con:

h (0) = 0 h (t1 ) = h2 h (t2 ) = h1

qi (t) = Qu (t) qi (t) = 0 qi (t) = Qu (t − t2 )

para 0 ≤ t ≤ t1 para t1 ≤ t ≤ t2 para t2 ≤ t ≤ t3

(4.3)

La Fig.4.7 muestra el diagrama de bloques del sistema:

Figura 4.7 Diagrama de bloques de un tanque con control SI-NO De la respuesta del sistema, h (t) se ve que se puede reducir la amplitud de la oscilaci´ on de la salida si se reduce la brecha diferencial. Esto, sin embargo, aumenta la cantidad de conmutaciones por minuto y reduce la vida u ´til de los componentes mec´ anicos.

4.2 Acci´ on de control proporcional 151

4.2.2

Acci´ on de control proporcional

Figura 4.8 Acci´ on de control proporcional En este caso, Fig 4.8, la se˜ nal de control m (t) es proporcional al error e (t): m (t) = KP e (t)

(4.4)

donde KP es la ganancia proporcional, o´: M (s) = KP E (s)

(4.5)

Con el fin de estudiar los efectos de la acci´ on de control proporcional en el comportamiento de un sistema consid´erese la Fig 4.9:

Figura 4.9 Control proporcional de una planta con perturbaci´on As´ı: E R C N C N Si en (4.6) KP >> 1:

= = =

1 , 1 + KP G1 G2 G2 , 1 + KP G1 G2 KP G1 G2 , 1 + KP G1 G2

con N (s) = 0 con R (s) = 0 con N (s) = 0

(4.6)

152 ACCIONES BASICAS DE CONTROL

1 E ≈ →0 R KP G1 G2 1 C ≈ →0 (4.7) N KP G1 C → 1 R Pero si G1 (s) G2 (s) tiene varios polos, se podr´ıa tener problemas de estabilidad, dependiendo de la ubicaci´ on en el plano complejo de los polos de la funci´on de transferencia. Ejemplo 4.1 Control proporcional de un sistema de primer orden.

Figura 4.10 Control proporcional de un tanque Para la Fig 4.10: R ∆H (s) = ∆Qi (s) RCs + 1 El diagrama de bloques del control proporcional se muestra en la Fig 4.11:

Figura 4.11 Diagrama de bloques de un tanque con control proporcional

(4.8)

4.2 Acci´ on de control proporcional 153 Debido al control proporcional ∆Qi (s) = K (∆R (s) − ∆H (s)), donde K es la ganancia proporcional. As´ı: KR

KR KR ∆H (s) = RCs+1 = = KR ∆R (s) RCs + 1 + KR T s + 1 + KR 1 + RCS+1

(4.9)

donde T = RC. Sup´ongase que: ∆r (t) = u (t)

(4.10)

con u (t) la funci´ on escal´on unitaria: u(t) =

½

1, 0,

t>0 t 0, m (t) crece e (t) aumenta y e (t) = r (t) − c (t) disminuye. Si e (t) < 0, m (t) disminuye, e (t) disminuye y e (t) = r (t) − c (t) aumenta. Si e (t) = 0, m (t) es constante la cual mantiene la salida deseada de la planta. El integrador Ks podr´ıa afectar grandemente la estabilidad del sistema. El control integrativo es bueno para plantas muy estables.

156 ACCIONES BASICAS DE CONTROL En el control proporcional de una planta cuya funci´on de trasferencia no posee un integrador 1s , hay un error en estado de r´egimen o corrimiento en la respuesta a una entrada escal´ on. Este corrimiento se puede eliminar si se incluye la acci´on de control integral. En el control integral de una planta, la se˜ nal de control, m (t) en cada instante es el area bajo la curva de la se˜ ´ nal de error actuante e (t) hasta ese momento. m (t) puede ser diferente a cero cuando e (t) = 0 como se muestra en la Fig.4.15.

Figura 4.15 Se˜ nales de error y de control integrativo Lo anterior es imposible en el caso del control proporcional pues una se˜ nal de control no nula requiere una se˜ nal de error actuante como se muestra en la Fig.4.16.

Figura 4.16 Se˜ nal de error y de control proporcional Se hace notar que la acci´ on de control integral, si bien elimina el efecto de corrimiento o error de estado de r´egimen, puede llevar a una respuesta oscilatoria que, aunque amortiguada, podr´ıa ser indeseable, Fig 4.17. Si la planta posee muchos polos, la acci´ on de control integral puede inestabilizar totalmente el sistema.

4.2 Acci´ on de control integral 157

Figura 4.17 Algunas respuestas no aceptables Ejemplo 4.2 Control integral de un sistema de primer orden.

Figura 4.18 Control integral de un tanque Para la Fig 4.18 con controlador integrativo se puede obtener el diagrama de bloques de la Fig 4.19:

Figura 4.19 Diagrama de bloques del control integrativo de un tanque Las funciones de transferencia para la salida y para el error son:

158 ACCIONES BASICAS DE CONTROL

KR ∆H (s) = ∆R (s) R (s2 + s + KR) ¡ ¢ R s2 + s ∆E (s) = ∆R (s) RCs2 + s + KR N´otese que los polos est´ an ubicados en: s µ ¶2 K 1 1 ± − s1,2 = − 2RC 2RC C

(4.22) (4.23)

(4.24)

y con K > 0 el sistema es estable. Si K/C > (1/2RC)2 s1,2

1 ±j =− 2RC

s

K − C

µ

1 2RC

¶2

(4.25)

se presentan oscilaciones pero es estable. El error de estado de r´egimen, o error est´atico, para una entrada escal´on unitario ∆r (t) = u (t) o ∆R (s) = S1 se puede obtener aplicando el teorema del valor final: ¡ ¢ s RCs2 + s 1 · =0 (4.26) ∆ess = lim s∆E (s) = lim 2 s→0 s→0 RCs + s + KR s Por lo tanto, el control integral del sistema de nivel de liquido elimina el error de estado de r´egimen en la respuesta a la entrada escal´ on.

4.2.4

Acci´ on de control proporcional integral (PI)

Figura 4.20 Control proporcional e integrativo Para la Fig 4.20: ³ ´ KI KP s + K KI M (s) P = KP + = (4.27) E (s) s s Este tipo de control combina las caracter´ısticas de los anteriores controles. KP ayuda a corregir m´ as r´apidamente el error. KsI elimina totalmente el error. Con este tipo de controlador, las condiciones de estabilidad se mejoran con respecto al control integral puro. Note que el controlador PI tambi´en puede ser interpretado como un controlador integrativo con un cero ubicado en:

4.2 Acci´ on de control proporcional integral (PI) 159

KI (4.28) KP El cero mejora las condiciones de estabilidad, como se ver´ a en la siguiente secci´on. s=−

Ejemplo 4.3 Control proporcional e integral. Consid´erese el sistema de la Fig.4.21 con un controlador proporcional e integral:

Figura 4.21 Ejemplo con control proporcional e integrativo Para este sistema: ¢ ¡ 1 1 KP + KsI s(Js+f ) s(Js+f ) ¢ ¢ ¡ ¡ · R (s) + N (s) C (s) = 1 1 1 + KP + KsI s(Js+f 1 + KP + KsI s(Js+f ) ) E (s) = o: ´ C (s) =

¡ 1 + KP + Js3

1

¢

1 s(Js+f ) ¢ KI 1 s s(Js+f )

¡ 1 + KP +

N (s)

(4.30)

KP s + KI s R (s) + 3 N (s) 2 2 + fs + KP s + KI Js + f s + KP s + KI

(4.31)

KI s

1 s(Js+f)

R (s) −

(4.29)

s s2 (Js + f) R (s) − 3 N (s) 3 2 2 Js + f s + KP s + KI Js + f s + KP s + KI Con los escalones c (t) = u (t) y n (t) = No u (t): E (s) =

(4.32)

R (s) = 1s N (s) = Nso

(4.33)

Css = lim c (t) = lim sC (s) = 1 + 0 × No

(4.34)

ess = e (t) = lim sE (s) = 0

(4.35)

t→∞

s→0

s→0

(4.34) y (4.35) muestran que: a) la salida alcanza exactamente el valor unitario del escal´on y b) el error estacionario es nulo, a pesar de la perturbaci´on presente. Ejercicios

160 ACCIONES BASICAS DE CONTROL a) Con KI = 0 (controlador proporcional) calcule ess con los escalones: n(t) = No u (t) y r (t) = u (t) . b) Si r (t) = t u (t) y n (t) = No u (t) encuentre ess . c) Con r(t) = u (t) y n (t) = No u (t) obtenga mss = lim m (t) . t→∞ d) ¿ Si KP = 0, es el sistema estable ?

4.2.5

Acci´ on de control proporcional y derivativo (PD)

Figura 4.22 Controlador proporcional-derivativo En este caso: M (s) = KP + KD s E (s)

(4.36)

A la acci´ on proporcional se le a˜ nade la acci´ on derivativa que aumenta la se˜ nal m de tal manera que si el error crece r´ apidamente, m ser´ a grande ayudando a corregir el error en forma m´as efectiva. Es como un efecto anticipativo que impide un crecimiento brusco de error.

a)

b)

Figura 4.23 Se˜ nal de control b) cuando el error a) crece linealmente En la Fig 4.23, por ejemplo, la se˜ nal de control m (t) crece mas r´ apidamente a mayor pendiente de la se˜ nal de error e (t). El control PD es un controlador estabilizante. La acci´ on de control derivativo tiene la desventaja de amplificar las se˜ nales de ruido. Ejemplo 4.4 Control proporcional derivativo.

4.2 Acci´ on de control proporcional integral derivativo (PID) 161 Considere el sistema (Fig 4.24) de una carga inercial con controlador PD.

Figura 4.24 Ejemplo con control proporcional-derivativo Para este sistema:

(KP + KD s) C (s) KP + KD s = 2 = 2 R (s) Js + KD s + KP Js + KD s + KP

(4.37)

Si KP > 0 y TD > 0 las raices de Js2 + KD s + KP = 0 tienen parte real negativa, y el sistema es estable. Si r(t) = u(t), una posible respuesta oscilatoria amortiguada, c(t), se muestra en la Fig 4.25. Si KD se aumenta la amplitud de las oscilaciones disminuye.

Figura 4.25 Una posible respuesta del sistema de la Fig. 4.24 Ejercicio Para el sistema anterior, encontrar c(t) si r(t) = u(t) y el controlador es proporcional u ´nicamente. ¿ Es estable el sistema ?

4.2.6

Acci´ on de control proporcional integral derivativo (PID)

La Fig 4.26 muestra la combinaci´ on de los anteriores controles:

162 ACCIONES BASICAS DE CONTROL

Figura 4.26 Controlador proporcional integral derivativo As´ı: KI KI + KP s + KD s2 M (s) = KP + + KD s = (4.38) E (s) s s La Fig 4.27 b) muestra la se˜ nal de control m (t) cuando el error e (t) crece linealmente:

Figura 4.27 Se˜ nal de control b) cuando el error a) var´ıa linealmente con el tiempo ua en el transitorio, ya que al final, el KP aumenta la rapidez de respuesta y solo act´ t´ermino KsI elimina el error, ganando completo control de la planta. El t´ermino KD s act´ ua para ayudar a la estabilidad. 2 on de adelanto, entonces: N´otese que H (s) = eT s = 1 + T s + (T2!s) + · · · es una funci´ y (t) = $−1 (H (s) X (s)) = x (t + T )

(4.39)

(4.39) define un sistema anticipativo (no causal), f´ısicamente imposible. El numerador de la funci´on de trasferencia del PID, (KI + KP s + KD s2 ), en (4.38), tiene una similitud con la funci´on de adelanto. El PID es ampliamente utilizado por la industria donde se encuentran t´erminos propios tales como: on proporcional (”proportional action”). KP = acci´ KI = acci´ on de reposici´ on (de respuesta a cero) (”reset action”). s KD s = acci´ on de crecimiento por unidad de tiempo (”rate action”). Esta terminolog´ıa proviene primordialmente del ´area qu´ımica donde se habla de control de procesos en lugar de control de sistemas.

4.2 Algunas estructuras del controlador PID 163 Adem´as las constantes se definen como bandas. Por ejemplo, proporcional en porcentaje.

1 KP

100% es la banda

Ejercicio

Figura 4.28 Selecci´ on de controlador Para la Fig. 4.28 suponga ∆Qi = 0 y que ocurre una perturbaci´ on n (t) = no u (t) (escal´ on) Determine el error en estado estacionario si: i (s) a) El controlador es de tipo proporcional: ∆Q ∆E(s) = KP . b) El controlador es de tipo integral:

∆Qi (s) ∆E(s)

=

KI s .

Figura 4.29 Selecci´ on de Gc (s) Para la Fig 4.29 seleccionar el tipo de controlador, Gc (s), que podr´ıa usarse de modo que el sistema sea estable y que un par perturbador constante, n (t) = no u (t), no produzca modificaci´ on en la velocidad en estado estacionario de r´egimen, es decir, que el error en estado estacionario sea cero. 4.2.6.1 Algunas estructuras del controlador PID La Fig 4.30 muestra el controlador PID cl´ asico:

164 ACCIONES BASICAS DE CONTROL

Figura 4.30 Controlador PID cl´asico Cuya ley de control es:

u = KP e + KI

Z

edt + KD

de dt

(4.40)

La Fig 4.31 muestra otra estructura del controlador PID:

Figura 4.31 PID con derivada de la salida Esta estructura es muy utilizada. En lugar de derivar el error se deriva la salida. Con esto se evita que la planta responda a cambios bruscos de la se˜ nal de referencia r. La ley de control correspondiente es:

u = KP e + KI

Z

edt − KD

dy dt

(4.41)

Otra estructura, menos utilizada que la anterior, se muestra en la Fig 4.32. En ´esta la acci´ on de control proporcional se toma tambi´en de la salida en lugar de la se˜ nal de error e.

4.2 Algunas estructuras del controlador PID 165

Figura 4.32 Otra estructura del PID La ley de control correspondiente es: Z dy u = KI edt − KP y − KD dt

(4.42)

Ejemplo 4.5 Ejemplo de un PID. La Fig 4.33 muestra un controlador PID hidromec´ anico para un sistema de nivel de l´ıquido:

Figura 4.33 PID hidromec´anico N´otese que: z1

=

z2

=

a1 h b a2 h b

(4.43) (4.44)

166 ACCIONES BASICAS DE CONTROL z3

=

a3 h b

(4.45)

Como la carga del serromotor hidr´aulico (SMH) es despreciable, entonces: K1 K1 a2 H (s) · z2 (s) = · s b s

z6 (s) =

(4.46)

Del amortiguador y el resorte: ¡. . ¢ B z3 − z 4 = Kz4

Transformando (4.44): z4 (s) =

a3 Bs τs · z3 (s) = · H (s) Bs + k τs + 1 b

(4.47)

(4.48)

en donde τ = B/K. El desplazamiento de la v´alvula es: z=

d3 d4 z5 + z6 d3 + d4 d3 + d4

(4.49)

z5 =

d1 d2 z1 + z4 d1 + d2 d1 + d2

(4.50)

Adem´as:

con (4.47) en (4.46) y luego usando (4.40),(4.43) y (4.45) se obtiene: z (s) = KP · H (s) +

KI s H (s) + KD H (s) s τs + 1

(4.51)

donde:

KP

=

KI

=

KD

=

d4 d1 a1 (d3 + d4 ) (d1 + d2 ) b d3 K1 a2 (d3 + d4 ) b d4 d2 τa3 (d3 + d4 ) (d1 + d2 ) b

(4.52)

Entonces el caudal de entrada se puede calcular como qi = −Ci z, donde Ci es una constante. Ejemplo 4.6 El telescopio del transbordador espacial. El telescopio para seguir estrellas y asteroides de transbordador espacial se puede modelar como una masa M = 100 Kg. Est´a suspendido por medio de actuadores magn´eticos que producen una fuerza u (t). El cable que le suministra energ´ıa el´ectrica se modela como un resorte de constante K = 1 N ew/m, Fig 4.34a.

4.2 Algunas estructuras del controlador PID 167

Figura 4.34 Ejemplo 4.6 Dise˜ ne un controlador PID tal que el error ess = e (∞) para una entrada rampa r (t) = t u (t) sea 0.01 y que tenga un par de polos complejos como se muestra en la Fig.4.34c adem´ as del tercer polo real.

Figura 4.35 Diagrama del cuerpo libre a) y de bloques b) para el ejemplo 4.6 De la Fig 4.35a: u − Kz = M

d2 z dt2

(4.53)

Transformando (4.53) se obtiene la funci´on de transferencia de la planta: 1 Z (s) = U (s) M s2 + K

(4.54)

KD s2 + KP s + KI Z (s) = R (s) M s3 + KD s2 + (KP + K) s + KI

(4.55)

¡ ¢ s Ms2 + K E (s) = R (s) Ms3 + KD s2 + (KP + K) s + KI

(4.56)

De la Fig 4.35b:

y,

Con ess = 0.01 para R (s) =

1 s2

(rampa r (t) = t u (t)):

168 ACCIONES BASICAS DE CONTROL

ess

¡ ¢ s Ms2 + K 1 E (s) = 2 s Ms3 + KD s2 + (KP + K) s + KI # " ¢ ¡ s Ms2 + K = lim sE (s) = lim s × 2 s→0 s→0 s [Ms3 + KD s2 + (KP + K) s + KI ]

(4.57)

(4.58)

de donde: ess =

K = 0.01 KI

(4.59)

As´ı, KI = 100. (4.55) se puede escribir: KD 2 KP KI Z (s) M s + M s+ M = R (s) s3 + KMD s2 + (KPM+K) s +

KI M

(4.60)

El polinomio caracter´ıstico del sistema es: KI KD 2 (KP + K) s + s+ M M M que de acuerdo con la ubicaci´on de polos de la Fig 4.34c es: Ã √ √ !Ã √ √ ! 2 2 2 2 A (s) = s + +j s+ −j (s + p) 2 2 2 2 A (s) = s3 +

(4.61)

(4.62)

o: ´ A (s) = s3 + de donde:

³√ ´ ³ √ ´ 2 + p s2 + 1 + 2p s + p

p = √ 2+p = √ 1 + 2p =

KI =1 M KD M KP + K M

As´ı:

KD KP Ejemplo 4.7 PID neum´ atico.

³ √ ´ = 100 1 + 2 ³ √ ´ = 100 1 + 2 − 1

(4.63)

(4.64)

4.2 Algunas estructuras del controlador PID 169

Figura 4.36 PID neum´atico √ √ Con P1 constante, ϕin = K1 P1 − P2 , ϕ0 = K2 x P2 , P0 = −K y, Kg constante de los gases ideales y con la temperatura T de los fuelles constante, el sistema de la Fig 4.36 se comporta como un controlador PID.

Figura 4.37 Diagrama de cuerpo libre para puntos de masa cero De las Figs. 4.37a y b: Ac ∆P2 Kf ∆z + Af ∆Pi

= Kc ∆y = Af ∆PD

(4.65) (4.66)

de donde: ∆y

=

∆z

=

Ac ∆P2 Kc Af (∆PD − ∆Pi ) Kf

(4.67) (4.68)

170 ACCIONES BASICAS DE CONTROL Adem´as: 1 (∆e − ∆z) 2 ∆P0 − ∆Pi = R1 ∆P0 − ∆PD = R2 ∆P2 = − Rin

(4.69)

∆x = ∆ϕi ∆ϕD ∆ϕin

(4.70) (4.71) (4.72)

donde: 1 K1 =− √ Rin 2 P1 − P20 Tambi´en: ∆ϕ0 = Kx ∆x + Kp2 ∆P2

(4.73)

donde: Kx Kp2

p = K2 P20 K2 x0 √ = 2 P20

Para la presi´on de salida: ∆P0 = −K∆y

(4.74)

La diferencia de flujos es: ϕin − ϕ0 =

dM2 dt

donde M2 es la masa de gas en el volumen V2 . Con la ley de los gases P2 υ 2 = Kg T con υ2 = temperatura absoluta: M2 ∆M2

V2 M2 ,

el volumen espec´ıfico y T la

P2 V2 Kg T = C2 ∆P2 + Kv2 ∆V2 =

Donde la capacitancia C2 y la constante Kv2 son: C2

=

Kv2

=

V20 Kg T P20 Kg T

4.2 Algunas estructuras del controlador PID 171 suponiendo T constante. Con ∆V2 = Ac ∆y: ∆ϕin − ∆ϕ0 = C2 De la misma manera, como ϕi =

∆ϕi ∆ϕD

dMi dt

d∆P2 d∆y + Kv2 Ac dt dt

y ϕD =

(4.75)

dMD dt :

µ ¶ d∆z d∆ Pi + Kvi Af − dt dt d∆ PD d∆z + KV D Af = CD dt dt = Ci

(4.76) (4.77)

donde: Ci = KVgi0T VD0 CD = K gT

Kvi = KPgi0T PD0 KV D = K gT

Con (4.72), (4.73) y (4.67) en (4.75) y utilizando la transformada de Laplace con condiciones iniciales nulas: K2 ∆P2 (s) =− ∆x (s) 1 + τ2 s donde:

K2 τ2

= =

1 Rin

Kx + Kp2

C2 + 1 Rin

Kv2 A2c Kc

+ Kp2

Generalmente la constante de tiempo τ2 es muy peque˜ na y: ∆P2 (s) ' −K2 ∆x (s)

(4.78)

adem´as: K2 >> 1 Con (4.70) y (4.68) en (4.76) y transformando: 0

(τi s + 1) ∆Pi (s) = ∆P0 (s) + τD s ∆PD (s)

(4.79)

Con (4.71) y (4.68) en (4.77) y transformando: 0

(τD s + 1) ∆PD (s) = ∆P0 (s) + τi s ∆Pi (s) donde:

(4.80)

172 ACCIONES BASICAS DE CONTROL

³ ´ K Af τi = Ci + vi R1 Kf ³ 2 ´ K D Af τD = CD + VK R2 f

0

τD = 0

τi =

Kvi A2f R1 Kf KV D A2f R2 Kf

De (4.79) y (4.80): ´ ³ 0 1 + τD + τD s

∆Pi (s) =

∆ (s) ³ ´ 0 1 + τi + τi s

∆PD (s) =

∆ (s)

∆P0 (s)

∆P0 (s)

(4.81) (4.82)

donde: "

# A2f ∆ (s) = Ci CD + (Ci KV D + CD KV i ) s2 + (τi + τD ) s + 1 Kf Con (4.69), (4.78), (4.67), (4.74), (4.81), (4.82) y (4.68) se obtiene el diagrama de bloques:

Figura 4.38 Diagrama de bloques del PID neum´ atico Como: ´i h ³ ´i h ³ 0 0 1 + τi + τi − 1 + τD + τD = Ci R1 − CD R2 0

La Fig 4.38 se puede dibujar, con K =

1 2

Ac (−K2 ) K (−K) : c

(4.83)

4.2 Algunas estructuras del controlador PID 173

Figura 4.39 Diagrama de bloques simplificado 0

donde K >> 1 porque K2 >> 1. As´ı: KI ∆P0 (s) ' Kp + + KD s ∆e (s) s donde:

KP

=

KI

=

KD

=

Kf (τi + τD ) Af (Ci R1 − CD R2 ) Kf Af (Ci R1 − CD R2 ) h i A2 Kf Ci CD + Kff (Ci KV D + CD Kvi ) Af (Ci R1 − CD R2 )

(4.84)

CAPITULO

5

RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO El objetivo de este cap´ıtulo es obtener la respuesta temporal de los sistemas a se˜ nales aperi´ odicas tales como el escal´on, la rampa,etc.

5.1

Estabilidad absoluta, estabilidad relativa y

error estacionario La caracter´ıstica m´ as importante del comportamiento din´ amico de un sistema de control es la estabilidad absoluta, concepto que se ver´ a posteriormente. Por ahora es suficiente saber que un sistema es estable si las ra´ıces del polinomio b(s) caracter´ıstico o denominador de la funci´ on de transferencia del sistema H (s) = a(s) tienen parte real negativa. Lo cual significa que los valores de s que satisfacen la ecuaci´ on caracter´ıstica a(s) = 0, esto es, las raices de a (s) , deben estar ubicadas en el semiplano complejo izquierdo. Un sistema est´ a en equilibrio si, en ausencia de perturbaci´ones o de entradas de referencia, la salida se mantiene en el mismo estado. Un sistema de control lineal invariante en el tiempo, es estable si finalmente la salida retorna a un estado de equilibrio cuando el sistema es sometido a una perturbaci´on o a una se˜ nal de entrada acotada. Una funci´ on f (t) es acotada si f (t) < M1 , para −∞ < t < ∞. En otras palabras, considere el sistema de la Fig 5.1:

175

176 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

Figura 5.1 Funci´ on de transferencia de un sistema H (s) es estable si: $−1 (x (s)) = x (t) < M1 ,

−∞ < t < ∞

produce una salida acotada: $−1 (y (s)) = y (t) < M2 ,

5.1.1

−∞ < t < ∞

Estabilidad relativa

El hecho de que todos los polos de H (s) queden en el semiplano complejo izquierdo de s no garantiza caracter´ısticas satisfactorias de respuesta transitoria. Esta podr´ıa presentar excesivas oscilaciones o ser muy lenta. Para garantizar una respuesta transitoria r´ apida y bien amortiguada, los polos de H (s) deben quedar en una zona como la mostrada en la Fig 5.2:

Figura 5.2 Regi´ on recomendada para la ubicaci´ on de polos

5.1.2

Error estacionario

Ya que un sistema f´ısico de control generalmente tiene elementos que almacenan energ´ıa, su salida no puede seguir inmediatamente a la entrada sino que presenta una respuesta transitoria antes de alcanzar un estado estacionario. Si la salida del sistema de control en estado estacionario no coincide exactamente con

5.1 Algunos teoremas 177 la se˜ nal deseada, llamada se˜ nal de referencia o entrada, se dice que el sistema tiene un error estacionario, el cual indica la exactitud del sistema. Es importante analizar en los sistemas de control la respuesta transitoria, el tiempo necesario para alcanzar el estado estacionario, y el error en este estado.

5.1.3

Respuesta impulsiva

Para el sistema de la Fig 5.1: y (s) = H (s) x (s)

(5.1)

El diagrama correspondiente en el dominio del tiempo se muestra en la Fig 5.3:

Figura 5.3 Diagrama de bloques en el dominio del tiempo del sistema de la Fig 5.1 donde h (t) es la respuesta impulsiva del sistema, o respuesta a un impulso unitario δ (t). Note que si x (t) = δ (t), entonces x (s) = 1, y: y (s) = H (s) = $ (h (t))

(5.2)

La respuesta impulsiva h (t) es la respuesta de un sistema lineal a una entrada impulso unitario con condiciones iniciales iguales a cero. As´ı la transformada de Laplace de la respuesta impulsiva h (t) es la funci´ on de transferencia del sistema H (s) . Si el sistema es causal, x (t) = 0 para t < 0, entonces: Z t Z t h (τ ) x (t − τ ) dτ = h (t − τ ) x (τ ) dτ (5.3) y (t) = x (t) ~ h (t) = 0

0

La funci´ on de transferencia y la respuesta impulsiva de un sistema lineal invariante en el tiempo contienen la misma informaci´ on sobre la din´amica del sistema. En la pr´actica se puede considerar como un impulso, a un pulso de entrada con muy corta duraci´ on en comparaci´ on con las constantes significativas del sistema.

5.1.4

Algunos teoremas

En las siguientes consideraciones se suponen condiciones iniciales nulas. 1. Por la f´ ormula de Leibniz d dα

Z

u1 (α)

f (x, α) = f (u1 , α)

u0 (α)

du1 du0 − f (u0 , α) + dα dα

Z

u1 (α)

u0 (α)

∂ [f (x, α)] dx ∂α

(5.4)

Aplic´ andola a (5.3) : dy (t) = h (t) x (0) + dt

Z

t 0

∂ [h (τ ) x (t − τ)] dτ ∂t

(5.5)

178 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Como x (0) = 0 : dy (t) = dt

Z

t

h (τ )

0

∂x (t − τ ) dτ ∂t

(5.6)

(5.6) indica que si la respuesta de un sistema lineal a .una entrada x (t) es y (t), . entonces la respuesta a la derivada de la entrada x (t) es y (t). 2. Cambiando la variable t por λ en (5.3): y (λ) =

Z

λ

h (τ ) x (λ − τ ) dτ

0

(5.7)

integrando (5.7): Z

t

y (λ) dλ =

0

Z tZ 0

λ

h (τ) x (λ − τ) dτ dλ =

0

Z

t

h (τ )

0

Z

0

λ

x (λ − τ) dλ dτ

(5.8)

Con λ = t : Z

0

λ

x (λ − τ) dλ =

Z

t

x (t − τ ) dt

0

(5.9)

As´ı (5.8) tambi´en puede ser escrita: Z

0

t

y (t) dt =

Z

t

h (τ)

0

Z

0

t

x (t − τ) dt dτ

(5.10)

(5.10) indica que la respuesta de un sistema lineal a la integral de la entrada x (t) es la integral de la salida y (t) . Pruebas similares se pueden hacer para derivadas de m´ as alto orden e integrales m´ ultiples. Los anteriores resultados son muy u ´tiles. Sup´ongase por ejemplo que se conoce la respuesta de un sistema cuando la entrada es un impulso δ (t). Es decir se conoce h (t) = $−1 (H (s))R . Rt t As´ı, como u (t) = 0− δ (τ ) dτ , entonces y (t) = 0− h (τ ) dτ. Rt Rt Asimismo, si x (t) = 0− u (t) dτ , entonces la nueva salida es y2 (t) = 0− y (τ ) dτ. Adem´ as, si se conoce la respuesta de un sistema lineal a la funci´ on escal´ on u (t), f´acilmente obtenible en pr´ actica, la respuesta impulsiva se puede obtener derivando la respuesta al escal´ on.

5.1.5

Sistema de primer orden

Se analizar´ an las respuestas de un sistema de primer orden, o de un solo polo, a entradas tales como el escal´ on unitario, rampa unitaria e impulso unitario suponiendo condiciones iniciales nulas. 5.1.5.1 Respuesta al escal´ on unitario Un sistema de primer orden se muestra en la Fig 5.4:

5.1 Respuesta al escal´ on unitario 179

Figura 5.4 Sistema de primer orden Para este sistema: K K

P KP K Y (s) s = H (s) = 1+T = K K P R (s) 1 + T s + KP K 1 + 1+T s

o: ´ KP K Y (s) = H (s) = R (s) 1 + KP K donde:

K1

=

T1

=

µ

1 1 + T1 s

¶

=

K1 1 + T1 s

(5.11)

KP K 1 + KP K T 1 + KP K

Con un escal´on unitario: r (t) = u (t) =

½

1 t>0 ⇒ R (s) = t 1 Si ζ > 1 la ubicaci´ on del par de polos reales correspondientes est´a dada por (5.36). Con: p 1 − ζ2 sin jθ cos jθ

p = j ζ2 − 1 = j senh θ = cosh θ

y utilizando (5.32):

c (t) =

(

−ζωn t

1−e

"

ζ

p ζ2 − 1

#) ´ ³p ´ ³p ζ 2 − 1ωn t + cosh ζ 2 − 1ωn t senh u (t)

(5.37)

5.1 Respuesta oscilatoria o caso de amortiguamiento nulo, ζ = 0 187 c (t) tambi´en se puede reescribir como (5.38):

c (t) =

· −s1 t ¸) e−s1t t e ωn − u (t) 1+ p s1 s2 2 ζ2 − 1

(

(5.38)

donde:

s1 s2

´ ³ p ζ + ζ 2 − 1 ωn ´ ³ p = ζ − ζ 2 − 1 ωn =

Si s1 >> s2 , la respuesta debido a s1 se puede despreciar ya que al t´ermino que apidamente que el correspondiente a s2 . Es decir, la involucra a s1 cae mucho mas r´ respuesta es similar a la de un sistema de primer orden con un solo polo ubicado en −s2 . La respuesta correspondiente sobre el caso sobreamortiguado se muestra en la Fig 5.13:

Figura 5.13 Respuesta sobreamortiguada de un sistema de segundo orden 5.1.6.4 Respuesta oscilatoria o caso de amortiguamiento nulo, ζ = 0 on es: Si ζ = 0, hay un par de polos complejos ubicados en λ1,2 = ±jωn y la soluci´

c (t) = {1 − cos ωn t} u (t) cuya gr´ afica se muestra en la Fig 5.14:

(5.39)

188 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

Figura 5.14 Respuesta oscilatoria de un sistema de segundo orden La Fig 5.15 resume los casos vistos:

Figura 5.15 Diferentes respuestas de un sistema de segundo orden N´otese que en todos los casos, excepto para la respuesta oscilatoria (ζ = 0), el error en estado estacionario es cero, ess = 0. Dos sistemas de segundo orden con el mismo ζ, pero diferente ωn tienen el mismo sobreimpulso y el mismo diagrama oscilatorio mostrado anteriormente. Un sistema subamortiguado con 0.5 < ζ < 0.8 se aproxima al valor final mas r´apidamente que uno con amortiguamiento cr´ıtico o sobreamortiguado. Entre los sistemas que responden sin oscilaci´ on, el amortiguado cr´ıticamente presenta la respuesta mas r´apida. Un sistema sobreamortiguado siempre es lento en responder a cualquier entrada.

5.2 Especificaciones de respuesta transitoria 189

5.2

Especificaciones de respuesta transitoria

Como se dijo antes, sistemas con almacenamiento de energ´ıa no pueden responder instant´aneamente y presentan transitorios siempre que se les somete a entradas de referencia o perturbaciones. La entrada escal´ on, facil de generar, es frecuentemente usada para especificar las caracter´ısticas de funcionamiento de un sistema de control. Adem´as, como se vi´ o anteriormente, si se conoce la respuesta de un sistema a una entrada escal´on, en principio es posible calcular la respuesta a cualquier entrada. Obviamente la respuesta transitoria de un sistema depende de las condiciones iniciales. Sin embargo, para poder comparar f´acilmente las caracter´ısticas de la respuesta transitoria de diversos sistemas, se acostumbra suponer que las condiciones iniciales son cero. Cuando la respuesta transitoria presenta oscilaciones amortiguadas es habitual dar las especificaciones mostradas en la Fig 5.16:

Figura 5.16 Especificaciones para un sistema con respuesta subamortiguada Las especificaciones son las siguientes:

1 Tiempo de retardo, td . El tiempo que la respuesta tarda en alcanzar por primera vez la mitad del valor final.

190 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO 2 Tiempo de crecimiento, tr . El requerido para que la respuesta crezca del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Se utilizar´ a esta u ´ltima especificaci´ on (0 al 100%) en c´alculos posteriores.

3 Tiempo de pico o de sobrepaso, tp . El requerido por la respuesta para alcanzar el primer pico del sobreimpulso o sobrepaso.

4 Maximo sobreimpulso o sobrepaso, Mp . Este se define en forma porcentual mediante (5.40): Mp =

e (tp ) − e (∞) × 100% e (∞)

(5.40)

y es un indicativo de la estabilidad relativa del sistema.

5 Tiempo de establecimiento o de soluci´ on, ts . Tiempo requerido por la respuesta para alcanzar y mantenerse dentro de determinado rango alrededor del valor final. Este rango generalmente se especifica en porcentaje absoluto del valor final (habitualmente 5% ´o 2%). El tiempo de establecimiento se relaciona con la constante de tiempo m´ as grande del sistema. El criterio para la fijaci´ on del porcentaje de error a usar depende de los objetivos del dise˜ no del sistema en cuesti´ on. N´otese que si se especifican td , tr , tp , ts , y Mp , virtualmente queda determinada la forma de la respuesta. Para un sistema sobreamortiguado no se aplican los t´erminos tiempo pico y m´aximo sobreimpulso. Para sistemas con error estacionario para entradas escal´on, el error se debe mantener dentro de un nivel porcentual espec´ıfico. Comentarios. Excepto donde no se toleren oscilaciones, se desea una respuesta transitoria suficientemente r´apida y suficientemente amortiguada. Para sistemas de segundo orden el rango recomendado para ζ es: 0.4 < ζ < 0.8. Para ζ < 0.4 el sobrepaso es excesivo y para ζ > 0.8 la respuesta es lenta. Se ver´ a posteriormente que Mp y tr est´an en conflicto entre s´ı. Es decir, si Mp decrece, tr aumenta y viceversa.

5.2 Tiempo de pico tp 191

5.2.1

Especificaciones de respuesta transitoria para sistemas

de segundo orden Se obtendr´ an el tiempo de crecimiento, tiempo pico, m´ aximo sobrepaso y tiempo de establecimiento de sistemas de segundo orden obtenidos del sistema (5.24). Los valores se obtendr´an en t´erminos de ζ y ωn y se supondr´a que el sistema es subamortiguado (ζ < 1). 5.2.1.1 Tiempo de crecimiento o tiempo de levante tr Utilizando el criterio de 0 al 100%, c (tr ) = 1. Reemplazando en (5.33):

de donde:

e−ζωn tr c (tr ) = 1 = 1 − p sen (ωd tr + θ) 1 − ζ2

(5.41)

sen (ωd tr + θ) = 0

(5.42)

(ωd tr + θ) = π, 2π, 3π, · · ·

(5.43)

As´ı:

El primer cruce de c (t) con el valor unitario o 100% ocurre cuando (ωd tr + θ) = π. Por lo tanto: tr =

π−θ π−θ =p ωd 1 − ζ 2 ωn

(5.44)

N´otese que para un valor peque˜ no de tr , ωn debe ser grande. 5.2.1.2 Tiempo de pico tp Con (5.33) cuando t = tp , la pendiente es cero:

de donde:

o: ´

¯ ζωn dc (t) ¯¯ =p e−ζωn tp sen (ωd tp + θ) ¯ dt t=tp 1 − ζ2 p 1 − ζ 2 ωn −ζωn tp − p e cos (ωd tp + θ) = 0 1 − ζ2 ζ sen (ωd tp + θ) p = cos (ωd t + θ) 1 − ζ2 p 1 − ζ2 tan (ωd tp + θ) = ζ

As´ı:

(5.45)

(5.46)

192 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

−1

ωd tp + θ = tan

! Ãp 1 − ζ2 = θ + πn ζ

n = 0, 1, · · ·

(5.47)

El primer pico ocurre cuando n = 1 : π π =p ωd 1 − ζ 2 ωn

tp =

5.2.1.3 Este es:

(5.48)

M´ aximo sobreimpulso Mp

Mp = c (tp ) − 1

(5.49)

Utilizando (5.32) se tiene: Ã

−ζωn tp

sen ωd tp cos ωd tp + p 1 − ζ2

c (tp ) − 1 = −e Pero de (5.48) ωd tp = π y:

−ζωn tp

Mp = −e o: ´

ζ

Ã

ζ

sen π cos π + p 1 − ζ2 − √ ζπ

Mp = e−ζωn tp = e

1−ζ 2

!

!

= Mp

(5.50)

= e−ζωn tp

(5.51)

Existen diferentes criterios integrales para establecer lo que podr´ıa llamarse el valor optimo de la raz´ ´ on de amortiguaci´ on ζ. R∞ Uno de ellos se llama criterio ITAE el cual minimiza la integral J = 0 |e| tdt, integral del valor absoluto del error multiplicado por el tiempo, que trata de penalizar la magnitud del error y la duraci´on del mismo. Utilizando este criterio con e (t) = r (t) − c (t) se obtiene ζ = 0.707. R∞ Otro criterio es el ISE que minimiza la integral J = 0 e2 dt, o integral del cuadrado del error. Este criterio no penaliza la duraci´on de error. Con el ISE se obtiene ζ = 0.5. Existen otros criterios de optimizaci´on. Sin embargo, el valor de ζ = 0.7 corresponde al valor cercano al ´optimo con respecto a varios de ellos. Para ζ = 0.7, el sistema de segundo orden tiene una respuesta r´apida a la entrada escal´on con un sobrepaso de aproximadamente el 4.3%. on de la raz´on de amorLa Fig 5.17 muestra una gr´afica del sobrepaso Mp en funci´ tiguaci´ on ζ para el sistema de segundo orden:

5.2 Tiempo de establecimiento ts 193

Figura 5.17 Sobrepaso en funci´on de la raz´ on de amortiguaci´ on Obs´ervese que para ζ = 0.4 el sobrepaso es del 25.4%, mientras que para ζ > 0.707 es menor del 4.3%. 5.2.1.4 Tiempo de establecimiento ts De (5.51) Mp = e−ζωn tp . As´ı, se puede constru´ır una curva envolvente de sobrepasos (5.52):

Mp (t) = e−ζωn t

(5.52)

que es una curva exponencial tal que:

Mp (t) < 2%

para t > 4T =

4 ζωn

As´ı, se puede aceptar que el transitorio de c (t) est´a a menos del 2% del valor final para el tiempo ts , o tiempo de establecimiento dado por (5.53):

ts =

4 ζωn

N´otese que la constante de tiempo de las envolventes es

(5.53)

1 ζωn ,

Fig 5.18:

194 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

Figura 5.18 Curvas envolventes de sobrepaso Obs´ervese que para el mismo ωn y ζ < 1, el tiempo de establecimiento para un sistema muy levemente amortiguado, es mayor que para un sistema adecuadamente amortiguado. Sin embargo, como el valor de ζ generalmente es determinado por un requerimiento de m´ aximo sobreimpulso permitido, el tiempo de establecimiento ts est´a determinado principalmente por la frecuencia natural no amortiguada ωn . Es decir, la duraci´ on del per´ıodo transitorio puede ser variada sin modificar el m´ aximo sobrepaso, ajustando ωn . Entonces, para tener una respuesta r´apida, ωn debe ser grande, y para limitar el on de amortiguaci´ on ζ no debe ser demasiado peque˜ na. m´aximo sobrepaso Mp , la relaci´ Ejercicio. ω2

n on impulso, hallar c (t) : 1. Con C(s) 2 y r (t) = δ (t), la funci´ R(s) = s2 +2ζωn s+ωn para ζ = 0, ζ < 1, ζ = 1 y ζ > 1. Hacer gr´ aficos y comparar. 2.

Figura 5.19 Sistema de segundo orden Para el sistema de la Fig 5.19, hallar el error en estado estacionario ess cuando r (t) = t u (t) en funci´ on de ζ y ωn .

Ejemplo 5.1 C´ alculo de algunos par´ ametros.

5.2 Tiempo de establecimiento ts 195

Figura 5.20 Sistema para el ejemplo 5.1 Para el sistema de la Fig 5.20, hallar los valores de ganancia K y la constante de realimentaci´on de velocidad Kh de manera que el m´aximo sobrepaso en la respuesta al escal´on unitario sea 0.2 y el tiempo de pico de 1 segundo. Con estos valores de K y Kh hallar el tiempo de crecimiento y el de establecimiento. El sistema anterior es de segundo orden: K ωn2 C (s) = 2 = 2 R (s) s + (1 + KKh ) s + K s + 2ζωn s + ωn2 donde: ωn 2ζωn ζ

√ = K = 1 + KKh 1 + KKh √ = 2 K

De (5.51):

Mp ζπ

As´ı:

p 1 − ζ2

− √ ζπ

= e

1−ζ 2

= 0.2

= 1.61

ζ = 0.456 De (5.48): tp = As´ı:

π π =p =1 ωd 1 − ζ 2 ωn

ωd = 3.14 Adem´ as:

y

ωn = 3.53

(5.54)

196 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

K Kh

= ωn2 = 12.5 2ζωn − 1 = 0.178 = K

De (5.44): tr = Como: −1

θ = tan

π−θ ωd

! Ãp 1 − ζ2 = 1.10 ζ

entonces: tr =

π − 1.10 = 0.65seg 3.14

y para el criterio de 2%: ts =

4 = 2.48 seg ζωn

Ejercicio. Resolver el ejemplo anterior con un sobrepaso del 3%, con un tiempo de soluci´ on de 1 segundo. Calcule K, Kr , tr y tp

5.3 5.3.1

Sistemas de o ´rdenes superiores Sistema de tercer orden

Consid´erese el sistema (5.55): ωn2 p C (s) = 2 R (s) (s + 2ζωn s + ωn2 ) (s + p)

(5.55)

Si r (t) = u (t) o R (s) = 1s , se puede obtener c (t), (5.56), con 0 < ζ < 1: e−ζωn t × c (t) = 1 − 2 βζ (β − 2) + 1 ( ) £ 2 ¤ p p βζ ζ (β − 2) + 1 p βζ 2 (β − 2) cos 1 − ζ 2 ωn t + sen 1 − ζ 2 ωn t 1 − ζ2 ept (5.56) − 2 βζ (β − 2) + 1

5.3 Respuesta transitoria de sistemas mayor orden 197 donde β = ζωpn Obs´ervese que como: ¢ ¡ 2 βζ 2 (β − 2) + 1 = ζ 2 (β − 1) + 1 − ζ 2 > 0

entonces el coeficiente del t´ermino e−pt es siempre negativo. Por lo tanto el efecto del polo real situado en s = −p en la respuesta al escal´on unitario es reducir el m´aximo sobrepaso y podr´ıa aumentar el tiempo de establecimiento. Si el polo real est´a ubicado a la derecha de los polos complejos conjugados, hay tendencia a una respuesta lenta y el sistema se comporta como uno sobreamortiguado al cual los polos complejos conjugados a˜ naden ondulaciones a la curva de respuesta.

5.3.2

Respuesta transitoria de sistemas mayor orden

Para el sistema dado por (5.57): b0 sm + b1 sm−1 + · · · + bm C (s) = R (s) a0 sn + a1 sn−1 + · · · + an

(5.57)

si no hay polos repetidos, entonces: C (s) = q Q R (s)

K·

j=1

(s + pj ) ·

m Q

(s + zi )

i=1 r Q

k=1

(5.58) (s2 + 2ζk ωk s + ωk2 )

donde q + 2r = n. on escal´ on, Por descomposici´ on en fracciones parciales de (5.58) con R (s) = S1 , funci´ se obtiene (5.59): p q r X bk (s + ζk ωk ) + ck ωk 1 − ζk2 a X aj c (s) = + + (5.59) s j=1 s + pj s2 + 2ζk ωk s + ωk2 k=1

Si se antitransforma (5.59), c (t) se puede expresar:

c (t) = a+

q X j=1

+

r X

aj e−pj t +

r X

bk e−ζk ωk t cos ωk

k=1

ck e−ζk ωk t sen ωk

k=1

q 1 − ζk2 t

q 1 − ζk2 t

para t ≥ 0

(5.60)

Si todos los polos est´an en el semiplano complejo izquierdo: css = lim c (t) = a t→∞

Consid´erese que el sistema es estable. Entonces los polos que est´ an ubicados lejos del eje jω tienen partes reales negativas grandes y por lo tanto los t´erminos exponenciales en c (t) que corresponden a esos polos caen muy r´apidamente a cero ya que el tiempo de establecimiento depende de la distancia horizontal de los polos al eje jω.

198 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO La curva de respuesta de un sistema estable de orden superior a una entrada escal´on unitario es la suma de cierto n´ umero de curvas exponenciales y curvas senoidales amortiguadas. Algunas respuestas se muestran en la Fig 5.21.

a)

b)

c)

Figura 5.21 Algunas respuestas de sistemas de orden superior En la Fig 5.21a la respuesta corresponde a un par de polos complejos conjugados dominantes. Su comportamiento es similar al de uno de segundo orden. En la Fig 5.21b se nota la presencia de un polo real dominante, ya que se asemeja a la respuesta de un sistema de primer orden sobre el que se superpone la respuesta de un par de polos complejos conjugados menos dominantes. La Fig 5.21c muestra la respuesta de un par de polos complejos dominantes sobre la que se superpone la respuesta de otro par de polos complejos menos dominantes.

CAPITULO

6

CRITERIOS DE ESTABILIDAD

6.1

Introducci´ on

Un sistema con funci´ on de transferencia W (s) es estable si todos sus polos est´an en el semiplano complejo izquierdo. Consid´erese el sistema de lazo cerrado de la Fig 6.1, con una entrada y una salida:

Figura 6.1 Sistema realimentado donde: y (s) G (s) = W (s) = u (s) 1 + G (s) H (s)

(6.1)

Cualquier sistema como el (6.1) puede ser descrito mediante las variables de estado x (t): .

x (t) = Ax (t) + Bu (t)

(6.2)

llamada ecuaci´ on de estado. La ecuaci´ on de salida est´ a dada por (6.3): y (t) = Cx (t) + Du (t) 199

(6.3)

200 CRITERIOS DE ESTABILIDAD En general D = 0, ya que D 6= 0 implica conexi´ on directa entre entrada y salida. Transformando (6.2) y (6.3), con D = 0: sx (s) = Ax (s) + Bu (s) y (s) = Cx (s)

(6.4)

o: ´ −1

x (s) = (sI − A)

Bu (s)

(6.5)

con (6.5) en (6.4): y (s) = C (sI − A)−1 Bu (s)

(6.6)

Para el caso SISO, una entrada una salida (6.6) se puede escribir: G (s) b (s) C [adj (sI − A)] B y (s) = C (sI − A)−1 B = = = u (s) det (sI − A) 1 + G (s) H (s) a (s)

(6.7)

donde adj (sI − A) es la matriz adjunta de (sI − A). El sistema es estable si los ceros de a (s) = det (sI − A) est´an en el semiplano complejo izquierdo, donde det significa determinante. Cuando el grado del polinomio a (s) = det (sI − A) = sn + a1 sn−1 + · · · + an , es de orden mayor que 3, las ra´ıces no se pueden calcular, en general, anal´ıticamente. Por lo tanto, en estos casos se debe recurrir a m´etodos iterativos para encontrar las ra´ıces como por ejemplo el m´etodo de Newton-Raphson, etc.

6.1.1

M´ etodo de Newton-Raphson

Con a (s) = 0, la ecuaci´ on caracter´ıstica de un sistema, entonces: ∆a (s) '

da (s) ∆s ds

Si sk es el valor de s en la k-´esima iteraci´ on y sk+1 en la siguiente, entonces ∆a (s) = a (sk+1 ) − a (sk ) y ∆ (s) = sk+1 − sk . As´ı: a (sk+1 ) − a (sk ) ' a0 (sk ) (sk+1 − sk )

(6.8)

donde: a0 (sk ) =

¯ da (s) ¯¯ ds ¯s=sk

Si en la iteraci´on k+1 se est´ a muy cerca de una ra´ız, entonces a (sk+1 ) ' 0 y (6.8) se puede escribir: sk+1 = sk −

a (sk ) a0 (sk )

(6.9)

6.2 An´ alisis de estabilidad por cancelaci´ on de polos 201 que es la f´ ormula iterativa de Newton-Raphson. Para aplicar (6.9), se escoge un valor inicial arbitrario s1 y se calcula s2 , y as´ı sucesivamente. El algoritmo se puede detener cuando:

|sk+1 − sk | < ²

donde ² es un valor positivo peque˜ no. Ejercicio. Hallar las ra´ıces de a (s) = s3 + 9s2 + 25s + 25 usando el m´etodo de Newton-Raphson. Escoger como valor inicial s1 = −1 + j. Sin embargo, existen criterios de estabilidad que permiten determinar si un sistema es estable o no, sin necesidad de tener que encontrar las ra´ıces del polinomio a (s), como por ejemplo el criterio de estabilidad de Routh y Hurwitz.

6.2

An´ alisis de estabilidad por cancelaci´ on de polos

Consid´erese un sistema con funci´on de trasferencia Hf (s) = Fig 6.2:

1 s−1

el cual es inestable,

Figura 6.2 Compensaci´ on serie o cascada Sup´ongase que para estabilizarlo se precede Hf (s) con un compensador Hc (s) = para lograr la funci´ on de transferencia total:

Hf (s) Hc (s) =

(s − 1) 1 1 · = (s − 1) (s + 1) s+1

estable?

s−1 s+1

(6.10)

En (6.10) se hizo una cancelaci´ on de un polo con un cero, lo cual le da, aparentemente, estabilidad al sistema. Como se ver´ a a continuaci´ on, esta t´ecnica no funciona. Para ver porqu´e, consid´erese la realizaci´ on que se muestra en la Fig 6.3:

202 CRITERIOS DE ESTABILIDAD

Figura 6.3 Realizaci´ on para la Fig 6.2 Ejercicio. Verificar que las realizaciones de la Fig 6.3 tienen las funciones de trasferencia mostradas. Con x1 y x2 como variables de estado, las ecuaciones de estado son: ¸· ¸ · ¸ · . ¸ · x1 −1 0 x1 −2 . = + v (6.11) x2 1 1 1 x2

y la ecuaci´on de salida es:

y=

£

0 1

¤

·

x1 x2

¸

Obs´ervese que la ecuaci´ on caracter´ıstica obtenida de las ecuaciones de estado es: · ¸ s+1 0 det (sI − A) = det = (s + 1) (s − 1) = 0 (6.12) −1 s − 1 (6.12) muestra claramente la presencia de una ra´ız s = 1 ubicada en el plano complejo derecho y por lo tanto el sistema es inestable. Como puede verse (6.10) y (6.12) se contradicen. Sin embargo el resultado obtenido de (6.12) es enteramente correcto. Una manera de ver mas claramente el origen de esta contradicci´ on es obtener la respuesta del sistema incluyendo las condiciones iniciales. De (6.11): .

x1 = −x1 − 2v con las condiciones iniciales: x1 (0) = x10

y

x2 (0) = x20

y transformando: sx1 (s) − x10

= −x1 (s) − 2v (s) 2 x10 x1 (s) = − v (s) (s + 1) (s + 1)

de donde:

6.2 An´ alisis de estabilidad por cancelaci´ on de polos 203

x1 (t) = x10 e−t − 2e−t ~ v (t) Adem´ as: .

x2 = x1 + x2 + v (t) sx2 (s) − x2 (0) = x1 (s) + x2 (s) + v (s) (s − 1) x2 (s) = x20 + x1 (s) + v (s) de donde: x2 (s) = y (s) =

x10 v (s) x20 + + s − 1 (s − 1) (s + 1) (s + 1)

y antitransformando: x2 (t) = y (t) = x20 et +

¢ x10 ¡ t e − e−t + e−t ~ v (t) 2

(6.13)

Obs´ervese que si el estado energ´etico inicial es cero, la funci´on de transferencia es 1 etico inicial se s+1 como es de esperarse. Sin embargo, a menos que el estado energ´ pueda mantener en cero, y (t) crecer´ a sin l´ımite. Como es evidente, es dif´ıcil mantener x10 = x20 = 0. (6.13) muestra claramente que el sistema es inestable. Por lo tanto, el m´etodo de cancelaci´on de polos y ceros es totalmente insatisfactorio. A veces se argumenta que la inestabilidad es debida a la cancelaci´ on inexacta de polos y ceros. F´ısicamente la cancelaci´ on exacta es imposible debido a la variaci´on en los valores de los componentes. Sin embargo, la raz´ on de la inestabilidad es mucho m´ as profunda. El hecho es que, a´ un con una cancelaci´on perfecta, si alg´ un valor inicial es diferente de cero, el sistema es inestable. Ahora consid´erese el sistema de la Fig 6.4:

Figura 6.4 Compensador Hc (s) adelante de Hf (s) En la Fig 6.4, Hc (s) est´a despu´es de Hf (s). Desde el punto de vista de manejo matem´atico de diagramas de bloques la funci´ on de transferencia, de la Fig 6.4 es completamente equivalente al de la Fig 6.2.

204 CRITERIOS DE ESTABILIDAD

Figura 6.5 Realizaciones para la Fig 6.4 Sin embargo, si se considera la realizaci´ on de la Fig 6.5, la ecuaci´ on de estado y la de salida son: ¸· ¸ · ¸ · . ¸ · x1 1 0 x1 1 . = + v (6.14) x2 −2 −1 0 x2 ¸ · £ ¤ x1 (6.15) y= 1 1 x2 De (6.14):

.

x1 . x2

= x1 + v = −2x1 − x2

y transformando: sx1 (s) − x10 = x1 (s) + v (s) (s − 1) x1 (s) = x10 + v (s) de donde: x1 (s) = Adem´ as:

v (s) x10 + s−1 s−1

(6.16)

sx2 (s) − x20 = −2x1 (s) − x2 (s) (s + 1) x2 (s) = x20 − 2x1 (s) lo cual da: x2 (s) =

2x10 2v (s) x20 − − s + 1 (s + 1) (s − 1) (s + 1) (s − 1)

(6.17)

Observando (6.16) y (6.17) se nota que ambas variables de estado son inestables, sin embargo reemplaz´ andolas en (6.15) se obtiene:

6.3 Controlabilidad y observabilidad 205

x10 x20 v (s) + + s+1 s+1 s+1 Antitransformando (6.18) se obtiene (6.19): y (s) =

(6.18)

y (t) = (x10 + x20 ) e−t + e−t ~ v (t)

(6.19)

N´otese que ahora el sistema es estable en lo que toca a y (t), a´ un si el estado energ´etico inicial es diferente de cero. Sin embargo, la realizaci´ on de la Fig 6.5 es todav´ıa internamente inestable ya que x1 (t) y x2 (t) tienen t´erminos que crecen como et . La conclusi´ on de las anteriores discusiones es que el comportamiento interno de una realizaci´ on podr´ıa ser mas complicada que lo que indica su comportamiento externo. N´otese que la estabilidad determinada mediante las ra´ıces de det (sI − A) = 0 no falla. El comportamiento interno es determinado por las frecuencias naturales de la realizaci´ on sin se˜ nal de entrada, las cuales en el ejemplo anterior son s = +1, −1. Sin embargo, debido a la cancelaci´ on, no todos los modos correspondientes, o frecuencias naturales, aparecer´ an en la funci´ on de transferencia total. En otras palabras, ya que la funci´on de transferencia es definida con condiciones iniciales nulas, podr´ıa no mostrar todos los modos de la realizaci´on actual del sistema. Para un an´ alisis completo, se necesita hacerle un buen seguimiento a todos los modos, aquellos mostrados expl´ıcitamente por la funci´ on de transferencia y los escondidos. Esto es posible si se es cuidadoso en los c´ alculos de la funci´ on de transferencia. Sin embargo, fue la ecuaci´ on de estado la que di´o claridad con respecto al problema.

6.2.1

Explicaci´ on de la diferencia en comportamiento de las

realizaciones de las Figs 6.3 y 6.5 El modo inestable et en la Fig 6.3 es observable, aparece a la salida, pero no es controlable porque la entrada externa v (t) no puede afectarla directamente, mientras as detallados por en la Fig 6.5 el modo et es controlable pero no observable. An´alisis m´ variables de estado permiten predecir esta diferencia en comportamiento sin c´ alculos expl´ıcitos. Estabilidad externa podr´ıa no ser equivalente a estabilidad interna, excepto para realizaciones m´ınimas. Una realizaci´on con matrices A, B, C es m´ınima si es controlable y observable.

6.3

Controlabilidad y observabilidad

Una realizaci´on {A, B, C} es controlable si y solo si la matriz: Co =

£

B

AB

· · · An−1 B

¤

llamada matriz de controlabilidad tiene rango total, es decir, no es singular. Esto quiere decir que si una realizaci´on es controlable, entonces: det Co 6= 0

realizaci´ on controlable

206 CRITERIOS DE ESTABILIDAD Una realizaci´on {A, B, C} es observable si y solo si la matriz: 

  Ob =  



C CA .. . CAn−1

   

llamada matriz de observabilidad tiene rango total, es decir, no es singular. Esto quiere decir que si una realizaci´on es observable, entonces: det Ob 6= 0

realizaci´ on observable

Ejemplo 6.1 Controlabilidad y observabilidad. Para la realizaci´ on de la Fig 6.3 las matrices A, B, y C son:

A=

·

−1 0 1 1

¸

B=

·

−2 1

¸

C=

£

0 1

¤

y las matrices de controlabilidad y observabilidad se pueden calcular de la manera siguiente:

Co Ob

·

−2 1

·

−1 0 1 1

¸·

−2 1

¸¸

·

−2 2 = = 1 −1   · ¸ 0 1 · ¸ 0 1  £ ¤  −1 0 = = 0 1 1 1 1 1

¸

Como det Co = 0 y det Ob = −1 esta realizaci´on es observable pero no controlable. Para la realizaci´ on de la Fig 6.5 las matrices A, B, y C son: A=

·

1 0 −2 −1

¸

B=

·

1 0

¸

C=

£

1 1

¤

Calculando Co y Ob se obtiene:

Co Ob

¸ · ¸¸ · ¸ 1 0 1 1 1 = −2 −1 0 0 −2   · ¸ 1 1 · ¸ 1 1  £ ¤  = 1 0 = 1 1 −1 −1 −2 −1 =

·

1 0

·

Como det Co = −2 y det Ob = 0 esta realizaci´on es controlable pero no observable.

6.4 Control por realimentaci´ on de variables de estado 207

6.3.1

Aclaraci´ on sobre controlalibidad y observabilidad

Figura 6.6 Representaci´ on de un sistema con variables de estado Con referencia a la Fig 6.6, un sistema es observable si dados u (t) y y (t) se puede determinar x (t). Un sistema es controlable si es posible encontrar una se˜ nal de control u (t) de modo que el estado x (t0 ) pueda ser llevado a un estado deseado x (tf ).

6.4

Control por realimentaci´ on de variables de

estado Sup´ongase que el sistema de la Fig 6.6 es inestable. Si el sistema es controlable entonces los polos o valores propios se pueden reubicar utilizando realimentaci´ on de variables de estado como en la Fig 6.7 de tal manera que resulte estable.

Fig 6.7 Control por realimentaci´ on de variables de estado Como, con D = 0:

.

x (t) = Ax (t) + Bu (t) y (t) = Cx (t)

(6.20) (6.21)

208 CRITERIOS DE ESTABILIDAD Ya que: u (t) = r (t) − K x (t)

donde:

(6.22)

K = (k1 , k2 , · · ·kn ) Con (6.22) en (6.20) se tiene: .

x (t) = Ax (t) + B (r (t) − K x (t)) . x (t) = (A − BK) x (t) + Br (t)

(6.23)

Transformando (6.23) con condiciones iniciales cero: sx (s) = (A − BK) x + Br (s) (sI − A + BK) x (s) = Br (s) de donde:

Con (6.24) en (6.21):

x (s) = (sI − A + BK)−1 Br (s)

(6.24)

C adj (sI − A + BK) B r (s) det (sI − A + BK) De (6.25) se observa que ahora la ecuaci´ on caracter´ıstica es: y (s) = C (sI − A + BK)−1 Br (s) =

(6.25)

a (s) = det (sI − A + BK) = (s − s1 ) · · · (s − sn ) = 0

(6.26)

K = qnt · α (A)

(6.27)

(6.26) indica que los nuevos valores propios o polos s1 , · · ·, sn se pueden ubicar seleccionando las componentes de la matriz K si el sistema es controlable. Si el sistema no es controlable significa que algunos valores propios no se pueden reubicar, lo cual no ser´ıa problema si son estables. Se dice entonces que un sistema es ESTABILIZABLE si todos los valores propios no estables, aquellos con parte real positiva, se pueden reubicar arbitrariamente utilizando realimentaci´on de variables de estado. Una f´ormula para determinar K es la siguiente:

qnt

· 01] Co−1

donde α (s) es el polinomio caracter´ıstico deseado y = [00 · · es la u ´ltima fila de Co−1 . Tambi´en se puede demostrar que la realimentaci´ on por variables de estado no afecta los ceros de la funci´ on de transferencia, a menos, por supuesto, que sean cancelados por una escogencia especial del polinomio α (s) . Obs´ervese que el orden del sistema no se incrementa como ocurre en el caso de usarse otros tipos de controladores, PID, por ejemplo. Sin embargo, generalmente se hace necesario utilizar un integrador en serie con la se˜ nal de error para eliminar el error est´atico, lo cual aumenta el orden del sistema en una unidad.

6.5 Introducci´ on 209

6.5

Criterios algebraicos y frecuenciales de

estabilidad 6.5.1

Introducci´ on

Una planta inestable puede formar parte de un sistema de control estable. Este, de todas maneras, tiene que ser estable para poder ser utilizado. Una planta es estable si la parte real de cada polo de la funci´on de transferencia es negativa.

a)

b)

Figura 6.8 Sistema de control en lazo cerrado Si se tiene el sistema de control de la Fig 6.8a, Y1 es la salida indirectamente controlada on de y, Y es la se˜ nal directamente controlada. Wl−a (s) = G (s) H (s) se llama funci´ transferencia de lazo abierto, y es la ganancia de lazo. El an´ alisis de esta funci´on conduce a la determinaci´ on de la estabilidad del sistema en lazo cerrado. H (s) puede ser la funci´ on de transferencia de un transductor, o una realimentaci´on especial que trata de disminuir el error o mejorar la estabilidad, o ambas. Entonces, para an´alisis de estabilidad se considera como entrada X y como salida Y , la variable directamente controlada. La estabilidad es una caracter´ıstica propia de un sistema y no depende de la escogencia de la se˜ nal de salida. on de transferencia en lazo En la Fig 6.8b se muestra la funci´ on Wl−a (s), o funci´ abierto, definida por (6.28): Wl−a (s) =

K (s) Y (s) = E (s) D (s)

(6.28)

donde K (s), y D (s) son polinomios en s. Wl−a (s) es estable si las ra´ıces de D (s), esto es, aquellos valores de s que satisfacen la ecuaci´ on caracter´ıstica (6.29): D (s) = 0

(6.29)

tienen parte real negativa. Cuando se cierra el lazo, como en la Fig 6.8b la funci´ on de transferencia, en lazo cerrado, Wl−c (s) es: Wl−c (s) =

Wl−a (s) Y (s) = X (s) 1 + Wl−a (s)

(6.30)

210 CRITERIOS DE ESTABILIDAD o: ´ B (s) K (s) = K (s) + D (s) A (s) donde el polinomio caracter´ıstico de Wl−c (s) es:

(6.31)

Wl−c (s) =

A (s) = K (s) + D (s) (6.32) Para estabilidad es necesario entonces que los polos de Wl−c (s) est´en en el plano complejo izquierdo, o que las ra´ıces de: A (s) = 0 (6.33) tengan parte real negativa. Esta condici´on fu´e extendida por A.M. Lyapunov, en 1892, para ecuaciones linealizadas de plantas no lineales. Las ra´ıces se pueden calcular anal´ıticamente para ecuaciones hasta de tercer grado. No hay m´etodo anal´ıtico para mayor grado, solo m´etodos iterativos, o m´etodos de ensayo y error. Sin embargo, no es necesario conocer las ra´ıces, ya que solo se necesita saber el signo de sus partes reales. Las reglas para conocer la ubicaci´ on de las ra´ıces respecto al eje imaginario se llaman criterios de estabilidad. Existen varios tipos de criterios: algebraicos y frecuenciales.

6.5.2

Criterio de Routh y Hurwitz

Sea la ecuaci´ on caracter´ıstica de un sistema: A (s) = an sn + an−1 sn−1 + · · · + a1 s + a0 = 0 Se construye la siguiente tabla: sn n−1

s sn−2 sn−3 sn−4 .. . s0

¯ ¯ an ¯ ¯ an−1 ¯ ¯ b1 ¯ ¯ b2 ¯ ¯ c1 ¯ ¯ .. ¯ . ¯ ¯ . ¯ ..

an−2 an−3 b3 b4 c3 .. . .. .

an−4 an−5 b5 b6 c5 .. . .. .

an−6 an−7 b7 b8 c7 .. . .. .

(6.34)

··· ··· ··· ··· ···

Tabla 6.1 Criterio de Routh y Hurwitz donde:

b1 = −

b3 = −

·

an an−1

·

an an−1

an−2 an−3

an−1

an−4 an−5

an−1

¸ ¸

b2 = −

b4 = −

·

an−1 b1

·

an−1 b1

an−3 b3 b1

an−5 b5 b1

¸ ¸

c1 = −

c3 = −

·

b1 b2

·

b1 b2

b3 b4

¸

b5 b6

¸

b2

b2

6.5 Criterio de Routh y Hurwitz 211 El criterio es el siguiente: Para que el sistema sea estable es necesario que todas las constantes de la primera columna sean positivas. Esto es: an , an−1 , b1 , b2 , c1 · · · > 0 En caso de inestabilidad, el n´ umero de ra´ıces en el plano complejo derecho es igual al n´ umero de cambios de signo. Ejemplo 6.2 . Con: A (s) = s6 + 6s5 + 21s4 + 44s3 + 62s2 + 52s + 100 = 0 la tabla de Routh y Hurwitz es: s6 s5 s4

−

s3 s2 s1 s0

−

1 6¸ · 1 21 6 44 6

= 13.67

20.6 48 ¸ · 20.6 8.10 48 100 48

−

21 44¸ · 1 62 6 52

62 52

100 0

100

0

8.10 100

0 0

0 0

0

0

0

0

0

0

6

= −34.8

100

= 53.33

Como el primer elemento de la fila s1 es negativo, el sistema es inestable. Hay dos cambios de signo, + − +, lo cual indica dos polos en el plano complejo derecho. Ejemplo 6.3 . Con: A (s) = s5 + s4 + 4s3 + 4s2 + 2s + 1 = 0 la tabla es: s5 s4 s3 s2 s1 s0

1 1 ² 4²−1 ² −²2 +4²−1 4²−1

1

² ²

4 4 1 =1 0 0

2 1 0 0 0 0

212 CRITERIOS DE ESTABILIDAD de la cuarta fila (s2 ) es negativo (−). El primer Cuando ² → 0+ el primer ¡elemento ¢ 1 elemento de la quinta fila s es 1. Hay dos cambios de signo, dos ra´ıces en el plano complejo derecho. Ejemplo 6.4 . Para la ecuaci´ on caracter´ıstica: A (s) = s3 + 10s2 + 16s + 160 = 0 la tabla es: s3 s2 s1 0

s

1 10 0 20 160

16 160 0 0 0

→ F (s) = 10s2 + 160 = 0 ← F 0 (s) = 20s

Cuando aparece una fila con ceros, como la de s1 , se deriva la ecuaci´ on correspondiente 0 a la fila inmediatamente superior. Los coeficientes de F (s) reemplazan los ceros. Ceros en una fila indican: 1) Pares de ra´ıces, complejas o reales, de signo opuesto. 2) Pares de ra´ıces imaginarias en el eje imaginario. En el caso de este ejemplo, estas ra´ıces se obtienen de la ecuaci´ on F (s) = 10s2 + 160 = 0. De donde el par de ra´ıces correspondiente es: r 160 = ±j4 s1,2 = ±j 10 Esto significa que el sistema est´ a en el l´ımite de estabilidad. La respuesta ser´a oscilatoria de amplitud constante, en lo que respecta al par de polos ±j4. Ejercicio. Determinar la estabilidad de un sistema con ecuaci´ on caracter´ıstica: A (s) = s5 + 4s4 + 8s3 + 8s2 + 7s + 4 = 0 Ejemplo 6.5 . Para el polinomio caracter´ıstico: A (s) = a4 s4 + a3 s3 + a2 s2 + a1 s + a0 la tabla es: s4 s3 s2 s1 s0

a4 a3

a2 a3 −a1 a4 = a3 a1 x−a3 a0 x a0

x

a2 a1 a0 0 0

a0 0 0 0 0

6.5 Criterio de Routh y Hurwitz 213 Para estabilidad: a4 > 0, a3 > 0, a0 > 0 (x > 0) a2 a3 > a1 a4 a1 x > a3 a0 N´otese que siendo a3 , a0 y x mayores que cero, a1 > 0. Si a1 > 0, de a2 a3 > a1 a4 , a2 > 0 porque a3 , a1 y a4 > 0. En Resumen: a4 , a3 , a2 , a1 , a0 > 0 y adem´ as: x > 0 ´o a2 a3 > a1 a4 y a1 x > a3 a0 En general, si alguno de los coeficientes ai , de la ecuaci´on caracter´ıstica A (s) = 0, es negativo, ai < 0, el sistema es inestable y no es necesario hacer la prueba de Routh y Hurwitz. El criterio se usa solo si los ai > 0. Debe tenerse en cuenta que ai > 0 no indica estabilidad. Ejercicio.

Figura 6.9 Sistema del ejercicio Para el sistema mostrado en la Fig 6.9, demuestre que para estabilidad en lazo cerrado: ¶ µ 1 1 1 + + (T1 + T2 + T3 ) − 1 K< T3 T2 T1 En resumen, si la ecuaci´ on caracter´ıstica de un sistema es: A (s) = an sn + an−1 sn−1 + · · · + a1 s + a0 = 0 donde todos los coeficientes son n´ umeros reales, para que en esta ecuaci´on no existan ra´ıces con la parte real positiva es necesario pero no suficiente que:

214 CRITERIOS DE ESTABILIDAD 1) Todos los coeficientes del polinomio tengan el mismo signo. 2) Ninguno de los coeficientes sea nulo. Para sistemas reales los polos complejos siempre son pares conjugados y todos los coeficientes de la ecuaci´ on caracter´ıstica son n´ umeros reales. Si la ecuaci´ on contiene funciones exponenciales de s, como ocurre en el caso de un sistema con retardo, el criterio de Routh-Hurwitz no puede aplicarse. Otra limitaci´ on del criterio de Routh-Hurwitz es que solo facilita informaci´ on sobre la estabilidad absoluta del sistema. El que un sistema resulte estable por la prueba de Routh no es suficiente, pues interesa adem´ as saber el grado de estabilidad, o sea, en otras palabras, cu´an cerca del eje imaginario del plano s est´an situadas las ra´ıces. Por otra parte, si el sistema es inestable, la prueba de Routh no nos proporciona indicaci´ on alguna sobre como podemos establilizarlo. Para estudiar la estabilidad relativa de un sistema de control, se debe aplicar el criterio de Nyguist o el m´etodo del lugar de las ra´ıces.

6.6 6.6.1

Criterios frecuenciales de estabilidad El principio del argumento o del a ´ngulo

Si A (s) = an sn + an−1 sn−1 + · · · + a1 s + a0 , entonces, por factorizaci´ on: A (s) = an (s − p1 ) (s − p2 ) · · · (s − pn−1 ) (s − pn )

(6.35)

donde pi (i = 1, 2, · · ·, n) son las ra´ıces de A (s) = 0. Con s = jω : A (jω) = an (jω − p1 ) (jω − p2 ) · · · (jω − pn−1 ) (jω − pn )

(6.36)

Figura 6.10 Principio del a´ngulo o del argumento donde (jω − pi ) es el vector trazado desde pi al punto jω sobre el eje imaginario como se muestra en la Fig 6.10. Si ω var´ıa entre −∞ y +∞, el a´ngulo o arg (jω − p1 ) var´ıa entre − π2 y + π2 en sentido antihorario, esto es positivamente, y el cambio del a´ngulo es:

6.6 El criterio de Mikhailov 215

∆ arg (jω − p1 )= −∞→ω→∞

π ³ π´ − − =π 2 2

Pero el a´ngulo o arg (jω − p3 ) var´ıa entre − π2 y + π2 pero en sentido horario, o sea negativamente, esto es: h π ³ π ´i − − ∆ arg (jω − p3 )= − = −π 2 2 −∞→ω→∞ Por eso: ∆ arg A (jω)= lπ − mπ = (l − m) π

(6.37)

−∞→ω→∞

donde: l, es el n´ umero de polos en el plano complejo izquierdo. m, es el n´ umero de polos en el plano complejo derecho. Ya que n = l + m, l = n − m, entonces: ∆ arg A (jω)= (n − 2m) π

(6.38)

−∞→ω→∞

Por lo tanto, si no hay polos en el plano derecho, entonces m = 0 y: ∆ arg A (jω)= nπ

(6.39)

−∞→ω→∞

6.6.2

El criterio de Mikhailov

Figura 6.11 Criterio de Mikhailov Para sistemas realizables, o reales, por cada polo complejo p2 existe su conjugado p∗2 . As´ı, si ω var´ıa entre 0 e ∞ (0 → ω → ∞), entonces:

216 CRITERIOS DE ESTABILIDAD

∆ arg A (jω) = ∆ arg (jω − p1 ) + ∆ arg (jω − p2 ) + ∆ arg (jω − p∗2 ) 0→ω→∞ ´ hπ i hπ i ³π´ ³π −0 + − (−α) + − (α) = 3 ∆ arg A (jω) = 2 2 2 2 0→ω→∞ seg´ un la Fig 6.11. As´ı, las ecuaciones (6.38) y (6.39) pueden ser escritas: ∆ arg A (jω)= 0→ω→∞

½

n π2 (n − 2m) π2

si el sistema es estable si el sistema es inestable

(6.40)

La ecuaci´on (6.40) constituye el criterio de Mikhailov: Un sistema es estable si al variar ω entre 0 e ∞, el a´ngulo o argumento de A (jω) cambia n π2 , esto es, n cuadrantes positivamente. Con n, grado de A (s) .

a)Sistemas estables

b)Sistemas inestables

Figura 6.12 Gr´ aficos de A(jω) para el criterio de Mikhailov La Fig 6.12a muestra varios casos estables. N´ otese, por ejemplo, que la curva para n = 3 gira 3 π2 radianes alrededor del origen. La Fig 6.12b corresponde a sistemas inestables. Por ejemplo, para n = 4, el giro entre a0 y 1, alrededor del origen es π2 ; entre a0 y 2 es π2 + β; entre a0 y 3 es π2 , porque el giro entre 2 y 3 es (−β); entre a0 y 4 es 0 porque el giro entre 3 y 4 es − π2 . Finalmente, el giro entre 4 y 5 (para ω → ∞) es (−γ) + (γ), dando un giro neto de cero. Como: ∆ arg A (jω)= (n − 2m) 0→ω→∞

π =0 2

con n = 4, ⇒ m = 2. Hay dos polos en el semiplano complejo derecho. Ejemplo 6.6 .

6.6 El criterio de Mikhailov 217

Figura 6.13 Sistema del ejemplo 6.6 Para la Fig 6.13: Wl−a (s) =

K (1 + T1 s) (1 + T2 s) (1 + T3 s)

con T1 = 2 seg, T2 = 0.5 seg y T3 = 0.1 seg, determine el valor m´ aximo que puede on de transferencia en lazo cerrado, sea estable. tener K para que Wl−c (s), la funci´ As´ı: Wl−c (s) =

K Wl−a (s) = 1 + Wl−a (s) (1 + 2s) (1 + 0.5s) (1 + 0.1s) + K

y el polinomio caracter´ıstico es: A (s) = (1 + 2s) (1 + 0.5s) (1 + 0.1s) + K = 0.1s3 + 1.25s2 + 2.6s + (1 + K) ¤ £ ¤ £ = (1 + K) − 1.25ω 2 + j 2.6ω − 0.1ω 3

Como n = 3, para que el sistema Wl−c (s) sea estable, la curva de A (jω) debe girar alrededor del origen 3 π2 radianes, como se muestra en la fig 6.14:

Figura 6.14 Gr´ afico de A(jω) estable Para ω = 0: A (jω)|ω=0 = 1 + K Las frecuencias para las cuales A (jω) corta el eje imaginario se obtienen haciendo la parte real cero:

218 CRITERIOS DE ESTABILIDAD

Re A (jω)|ω=ω π 2

lo que da: ω π2

¯ = 0 = (1 + K) − 1.25ω 2 ¯ω=ω π 2 r 1+K = 1.25

Como ω π2 debe ser real, para asegurar el cruce, es necesario que 1 + K > 0, esto es: K > −1. Las frecuencias para las cuales A (jω) corta el eje real se obtienen haciendo la parte imaginaria cero: Im A (jω)|ω=ω0 ,ωπ lo que da:

¤¯ £ = 0 = ω 2.6 − 0.1ω 2 ¯ω=ω ,ω 0 π ½ ω0 = 0√ ωπ = 26

Obs´ervese que en el criterio de Mikhailov se descartan las frecuencias negativas. Para estabilidad, el punto A debe estar a la izquierda del origen, para que el giro neto sea 3 π2 radianes. Es decir: U (ωπ ) = Re A (jωπ ) = (1 + K) − 1.25ωπ2 < 0 de donde: K < 31.5 Adem´as n´otese que, para estabilidad: ³ ´ ¢ ¡ = ω π2 2.6 − 0.1ω 2π2 > 0 Im A jω π2

2.6 − 0.1ω 2π2

es decir

K

1+K < 26 1.25 < 31.5, el mismo resultado anterior. > 0 → ω 2π2 =

En resumen, este sistema es estable si −1 < K < 31.5. Ejercicio. Con el mismo sistema del Ejemplo 6.6, graficar las curvas de Mikhailov para a) K = 40 y b) K = −5. Para cada caso calcular el n´ umero de polos inestables.

6.6.3

El criterio de Nyquist

Figura 6.15 Sistema b´asico para el criterio de Nyquist

6.6 El criterio de Nyquist 219 En la Fig 6.15, con la definici´ on dada por (6.28): Wl−a =

K (s) D (s)

(6.41)

donde K (s) y D (s) son polinomios en s, se tiene: Wl−c (s) =

Wl−a = 1 + Wl−a

Wl−a D(s)+K(s) D(s)

(6.42)

Se define la funci´ on F (s) con (6.43): D (s) + K (s) = 1 + Wl−a (s) (6.43) D (s) F´ısicamente es dif´ıcil encontrar funciones de transferencia en las cuales el grado de K (s) sea mayor que el de D (s). Si el grado de D (s) es n y el de K (s) es r, esto implica que el grado de [D (s) + K (s)] es n. Resumiendo: F (s) =

si n ≥ r grado de D (s) = n grado de K (s) = r entonces grado de [D (s) + K (s)] = n

(6.44)

Caso 1: Wl−a estable. Entonces por el criterio de Mikhailov: ∆ arg D (jω)= n 0→ω→∞

π 2

si Wl−a es estable

(6.45)

Para que el sistema sea estable en lazo cerrado: ∆ arg [D (jω) + K (jω)]= n 0→ω→∞

π 2

si Wl−c es estable

(6.46)

y: ∆ arg F (jω)=∆ arg [1 + Wl−a (jω)]= ∆ arg 0→ω→∞

0→ω→∞

0→ω→∞

·

D (jω) + K (jω) D (jω)

¸

de donde: ∆ arg F (jω)= ∆ arg [D (jω) + K (jω)] − ∆ arg D (jω)= n 0→ω→∞

0→ω→∞

0→ω→∞

π π −n =0 2 2

Asi: Un sistema en lazo cerrado es estable si la variaci´ on del ´ angulo de F (jω) = 1 + Wl−a (jω) es cero cuando ω cambia entre cero e infinito. Dicho de otra manera, un sistema en lazo cerrado es estable, si F (jω) =1 + Wl−a (jω) no enlaza el punto 0 + j0, el origen, dado 0→ω→∞

0→ω→∞

que Wl−a (s) sea estable.

(6.47)

220 CRITERIOS DE ESTABILIDAD

a) Criterio aplicado a 1 + Wl−a (jω)

b) Criterio aplicado a Wl−a (jω)

Figura 6.16 Criterio de Nyquist En la Fig 6.16a se muestra el gr´ afico 1 + Wl−a (jω) de dos sistemas. En la curva I el a´ngulo va desde cero a un m´aximo negativo, regresa a cero, va hasta un m´ aximo positivo y regresa a cero. El cambio en ´angulo neto resulta ser cero y por lo tanto es estable. En la Fig 6.16a, curva II, el a´ngulo de 1 + Wl−a (jω) tiene un cambio neto de −2π radianes 6= 0, y as´ı, II es inestable. En la Fig 6.16b se ha graficado Wl−a (jω), que es el mismo gr´afico de F (jω) = 1 + Wl−a (jω) pero desplazado una unidad hacia la izquierda ya que Wl−a (jω) = F (jω) − 1. N´ otese que la curva I, estable, no enlaza el punto −1 + j0, mientras que la curva II, inestable, s´ı lo hace. De esta manera, el criterio de Nyquist aplicado a la funci´ on Wl−a (jω), se puede reformular: 0→ω→∞

Un sistema es estable en lazo cerrado, si el lugar geom´etrico de Wl−a (jω), con ω variando desde 0 a ∞, no enlaza el punto −1 + j0, dado que Wl−a (s) sea estable, con 0 → ω → ∞. En otras palabras, si Wl−a (s) es estable, afica de Wl−a (jω), llamada curva de Nyquist, Wl−c (s) ser´a estable si la gr´ no enlaza el punto −1 + j0, con 0 → ω → ∞.

Ejemplo 6.7 .

Sea:

Wl−a (s) =

K (1 + T1 s) (1 + T2 s) (1 + T3 s)

cuyo gr´ afico Wl−a (jω), para diferentes valores de K, se ve en la Fig 6.17:

6.6 El criterio de Nyquist 221

Figura 6.17 Diagrama de Nyquist de Wl−a (s) del ejemplo 6.7 Existe un valor l´ımite de K, KLIM , para el cual el sistema en lazo cerrado empieza a ser inestable. Wl−a (jω) puede ser escrito: Wl−a (jω) = |Wl−a (jω)| α (ω) donde: |Wl−a (jω)| =

K q q q 1 + (ωT1 )2 1 + (ωT2 )2 1 + (ωT3 )2

y, α (ω) = − tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 − tan−1 ωT3

As´ı α (0) = 0 y α (∞) = − 3π 2 mientras que |Wl−a (jω)| decrece cuando 0 → ω → ∞. Con T1 , T2 , y T3 positivos, Wl−a es estable. As´ı para que el sistema en lazo cerrado sea estable es necesario que: Wl−a (jωπ ) > −1 Siendo ωπ la frecuencia de cruce por 180◦ , cuando Im Wl−a (jω) = 0. Como: Wl−a (jω) = =

K (1 + jωT1 ) (1 + jωT2 ) (1 + jωT3 ) K 1 − (T1 T2 + T1 T3 + T2 T3 ) ω 2 + jω(T1 + T2 + T3 − T1 T2 T3 ω2 )

en ω = ωπ la parte imaginaria es cero, por lo tanto: T1 + T2 + T3 − T1 T2 T3 ωπ2 de donde:

ωπ

= 0 r T1 + T2 + T3 = T1 T2 T3

222 CRITERIOS DE ESTABILIDAD Entonces: Wl−a (jωπ ) =

K 2 +T3 ) 1 − (T1 T2 + T1 T3 + T2 T3 ) (T1T+T 1 T2 T3

> −1

(6.48)

on (6.48) se puede N´otese que Wl−a (jωπ ) < 0 o (−Wl−a (jωπ )) > 0. As´ı, la condici´ tambi´en escribir: −Wl−a (jωπ ) < 1 Esto es: K 2 +T3 ) −1 (T1 T2 + T1 T3 + T2 T3 ) (T1T+T 1 T2 T3

1 T2 T3

Caso 2: Wl−a (s) inestable. En este caso: Wl−a (s) = K(s) D(s) tiene m polos en el plano derecho, esto es: D (s) tiene m ra´ıces en el plano derecho, y (n − m) ra´ıces en el plano izquierdo. Por el criterio de Mikhailov: π con Wl−a (s) inestable ∆ arg D (jω)= (n − 2m) 2 0→ω→∞ Para que el sistema en lazo cerrado sea estable, con: Wl−c (s) =

Wl−a (s) Wl−a (s) Wl−a (s) = D(s)+K(s) = 1 + Wl−a (s) F (s) D(s)

ser´a necesario que: ∆ arg [D (jω) + K (jω)]= n 0→ω→∞

π 2

con Wl−c (s) estable

o: ´ ∆ arg F (jω)=∆ arg [D (jω) + K (jω)] − ∆ arg D (jω)= n 0→ω→∞

0→ω→∞

0→ω→∞

π π − (n − 2m) 2 2

6.6 El criterio de Nyquist 223 o sea:

∆ arg F (jω)=∆ arg [1 + Wl−a (jω)]= 0→ω→∞

0→ω→∞

m (2π) 2

con

½

Wl−a (s) inestable Wl−c (s) estable

(6.49)

Consecuentemente: Un sistema, Wl−c (s), es estable en lazo cerrado, si el diagrama de Nyquist con 0 → ω → ∞ de Wl−a (jω) enlaza m 2 veces el punto −1 + j0, donde m es el n´ umero de polos de la funci´ on de transferencia en lazo abierto, o ganancia de lazo, Wl−a (s), situados en el plano derecho, esto es, con Wl−a (s) inestable. En otras palabras: Si Wl−a (s) es inestable con m polos en el plano derecho, para que Wl−c (s) sea estable Wl−a (jω) debe enlazar el punto −1 + j0, m 2 veces. Ejemplo 6.8 .

Figura 6.18 Diagrama de Nyquist estable para Wl−a (s) inestable con m = 2 Si por ejemplo Wl−a (s) tiene dos polos, m = 2, en el plano derecho y Wl−a (jω) es como se muestra en la Fig 6.18 el sistema en lazo cerrado Wl−c (s) es estable porque el vector F (jω) gira m 2 (2π) = 2π radianes alrededor del punto −1 + j0. Ejemplo 6.9 . Sup´ongase que se tiene la funci´ on de transferencia de un sistema inestable en lazo abierto:

224 CRITERIOS DE ESTABILIDAD

Wl−a (s) =

K (T1 s − 1) (1 + T2 s)

Se puede aplicar Routh y Hurwitz al denominador de Wl−a (s) para determinar cuantas ra´ıces hay en el plano complejo derecho. Es decir, para determinar m. En este caso no es necesario ya que los polos de Wl−a (s) est´an ubicados en s1 = T11 y s2 = − T12 . Con T1 y T2 mayores que cero s1 est´a ubicado en el plano complejo derecho. Entonces m = 1, y el lugar geom´etrico de Nyquist o gr´afica de la funci´ on: Wl−a (jω) = debe enlazar el punto −1 + j0, −1 + j0 debe ser +π radianes. Consid´erese varios casos: a) K > 1 y T1 < T2 .

1 2

K (jωT1 − 1) (1 + jωT2 )

vez para ser estable. Es decir, el giro alrededor de

Figura 6.19 Caso K > 1 y T1 < T2 N´otese que: Wl−a (j0) = −K < −1 con K > 1 Adem´as:

Esto es:

ωT1 − tan−1 ωT2 arg Wl−a (jω) = − tan−1 −1 ¢ ¡ = − π − tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 arg Wl−a (jω) = −π + tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 < −π porque con T1 < T2 :

Para ω → ∞ :

(tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 ) < 0

6.6 El criterio de Nyquist 225

Wl−a (jω) → 0 w→∞

arg Wl−a (jω)

=

ω→∞

−π +

π π − = −π 2 2

As´ı, F (jω) gira −π rad. alrededor de −1 + j0, lo que indica inestabilidad. Entonces el caso K > 1 y T1 < T2 es inestable en lazo cerrado. b) K < 1 y T1 > T2 .

Figura 6.20 Caso K < 1 y T1 > T2 N´otese que: Wl−a (j0) = −K > −1 con K < 1 Adem´as: arg Wl−a (jω) = −π + tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 > −π

porque con T1 > T2 :

(tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 ) > 0

Para ω → ∞ : Wl−a (jω) → 0 arg Wl−a (jω) = −π ω→∞

El giro neto de F (jω) es cero alrededor de −1 + j0. As´ı, el caso K < 1, T1 > T2 es inestable. c) K > 1 y T1 > T2 .

226 CRITERIOS DE ESTABILIDAD

Figura 6.21 Caso K > 1 y T1 > T2 N´otese que: Wl−a (j0) = −K < 1 con K > 1 Adem´ as: arg Wl−a (jω) = −π + tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 > −π porque con T1 > T2 :

(tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 ) > 0

Para ω → ∞ : Wl−a (jω) → 0 arg Wl−a (jω) = −π ω→∞

As´ı F (jω) gira +π radianes alrededor de −1 + j0. Entonces, el caso K > 1 y T1 > T2 es estable en lazo cerrado. Ejemplo 6.10 .

Figura 6.22 Posibles casos del Nyquist del ejemplo 6.10

6.6 El criterio de Nyquist 227 Para el sistema (6.50): Wl−a (s) =

K (T1 s − 1) (1 + T2 s) (1 + T3 s)

(6.50)

con K > 1 Wl−a (j0) = −K < −1 Adem´as: con:

½

tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 − tan−1 ωT3 > 0 para 0 < ω < ωπ

arg Wl−a (jω) = −π + tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 − tan−1 ωT3 > −π Para ω → ∞ : |Wl−a (jω)| → 0 y

arg Wl−a (jω)

=

ω→∞

−π +

3π π π π − − =− 2 2 2 2

Entonces Wl−a (jω) cruza 180◦ para terminar en − 3π 2 en ω = ∞. (2π) = +π radianes alrededor de −1 + j0 Como m = 1, entonces F (jω) debe girar m 2 para que el sistema en lazo cerrado, Wl−c (s), sea estable. La curva II de la Fig 6.22 gira −π, mientras que la I, +π. As´ı, I es estable y Wl−a (jωπ ) debe estar a la derecha de −1 + j0. Por lo tanto: Wl−a (jωπ ) > −1 ´ o

− Wl−a (jωπ ) < 1

Como: Wl−a (jω) =

− [1

+ ω 2 (T1 T2

K + T1 T3 − T2 T3 )] + jω [T1 − T2 − T3 − ω2 T1 T2 T3 ]

ωπ se obtiene haciendo la parte imaginaria cero, esto es: T1 − T2 − T3 − ωπ2 T1 T2 T3 de donde ωπ

= 0 r T1 − T2 − T3 = T1 T2 T3

As´ı:

−Wl−a (jωπ ) = =

K 1 + ωπ2 (T1 T2 + T1 T3 − T2 T3 ) K 1+

(T1 −T2 −T3 ) T1 T2 T3

(T1 T2 + T1 T3 − T2 T3 )

0. K(jω) . O sea el fasor jω − p0 , contribuye con −π/2 al a´ngulo de (jω−p 0 )D1 (jω) As´ı, para que el diagrama de Nyquist quede completo, debe cerrarse con un arco de radio infinito que gira −π/2, tal como se muestra en la Fig 6.23a. correspondiente a la l´ınea punteada. Este arco se denomina complemento en infinito. Si se tienen dos polos en el origen, ν = 2, cada uno contribuye con −π/2. O sea, que el complemento en infinito son 2/4 de c´ırculo, o´ −π radianes. Como, en el an´ alisis, se consider´ o que el polo en el origen est´a desplazado una distancia infinitesimal β a la izquierda, entonces se est´ a partiendo de la base de que todos los polos de Wl−a (s) est´an en el plano complejo izquierdo. As´ı, se puede aplicar al caso Wl−a (s) estable. Por eso, en la Fig 6.23a: El sistema I es estable, porque el punto −1 + j0 no es encerrado por el diagrama de Nyquist. El II, es inestable porque −1 + j0 es encerrado por el lugar geom´etrico. Se pueden establecer, as´ı, las siguientes reglas: a) Un sistema de control con integradores, estable en lazo abierto, m´as bien marginalmente estable, es estable en lazo cerrado, si el diagrama de Nyquist de Wl−a (jω) con su complemento en infinito no encierra el punto −1 + j0. b) Un sistema de control con integradores, inestable en lazo abierto, es estable en lazo cerrado, si el diagrama de Nyquist de Wl−a (jω), con su complemento en infinito, encierra el punto umero de polos de Wl−a (s) en −1 + j0, m 2 veces, donde m es el n´ el plano complejo derecho.

Figura 6.24

c) Si Wl−a (s) tiene polos, sobre el eje imaginario, el complemento en infinito se hace con −π radianes, media circunferencia. N´ otese que al recorrer el eje imaginario hay que rodear el polo por la derecha dando un giro adicional de +π radianes, Fig 6.24, lo cual corresponde a un giro de −π radianes, en Wl−a (jω).

Ejemplo 6.11 . Sea el sistema: Wl−a (jω) = entonces:

K s (1 + T1 s) (1 + T2 s)

230 CRITERIOS DE ESTABILIDAD

Wl−a (jω) = =

K s (1 + jωT1 ) (1 + jωT2 ) K −ω 2 (T1 + T2 ) + jω (1 − ω 2 T1 T2 )

(6.55)

As´ı:

|Wl−a (jω)| =

K q q ω 1 + (ωT1 )2 1 + (ωT2 )2

arg Wl−a (jω) = −90◦ − tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2

con K > 0

Para ω = 0: |Wl−a (j0)| = ∞ arg Wl−a (j0) = −π/2 Para ω = ∞: |Wl−a (j∞)| = 0 arg Wl−a (j∞) = −3π/2 El diagrama de Nyquist correspondiente, con su complemento en infinito, se muestra en la Fig 6.25.

Figura 6.25 Diagrama de Nyquist del ejemplo 6.11 Con T1 y T2 mayores que cero Wl−a (s) no tiene polos en el plano complejo derecho, m = 0. Para estabilidad, el diagrama de Nyquist no debe enlazar el punto −1 + j0. El cruce con el eje de 180◦ debe estar a la derecha de este punto. As´ı la curva I de la Fig 6.25 es estable.

6.6 El criterio de Nyquist 231 Los cortes con el eje real se pueden obtener haciendo la parte imaginaria de Wl−a (jω) cero en (6.55), esto es: ¢ ¡ ω 1 − ω 2 T1 T2 = 0 ½ lo que da ω =

0 √ 1 T1 T2

As´ı la frecuencia de cruce por π radianes, ωπ es: 1 ω = ωπ = √ T1 T2 y: Wl−a (jωπ ) = −

ωπ2

KT1 T2 K =− (T1 + T2 ) T1 + T2

Para estabilidad: Wl−a (ωπ ) > 1 ´o − Wl−a (ωπ ) < 1 lo que da: KT1 T2 0, Fig 6.26a: ½ − tan−1 ωT1 para 0 ≤ ω < 1 arg Wl−a (jω) = para ω > 1 −π − tan−1 ωT1 Entonces Wl−a → ∞, cuando ω → 1, con un ´angulo − tan−1 1 × T1 . Luego Wl−a (jω) gira −π radianes, complemento en infinito, y el a´ngulo ser´a −π − tan−1 ωT1 , terminando en − 3π 2 en ω = ∞. Como m = 0 el diagrama de Nyquist no debe enlazar el punto −1 + j0. As´ı, el diagrama de la Fig 6.26a es inestable. Si K < 0 : ½ −π − tan−1 ωT1 para 0 ≤ ω < 1 arg Wl−a (jω) = para ω > 1 −2π − tan−1 ωT1 Cuando ω → 1, Wl−a → ∞, con a´ngulo −π − tan−1 1 × T1 . Luego el diagrama gira −π radianes, complemento en infinito, como se muestra en la Fig 6.26b, y el a´ngulo ser´a −2π − tan−1 ωT1 . De los diagramas de la Fig 6.26b, I es estable porque no encierra el punto −1 + j0. Para este diagrama K > −1. Asi K no puede ser positivo ni inferior a cero. La condici´ on de estabilidad es, entonces −1 < K < 0.

6.6.4

Regla de las transiciones

Figura 6.27 Regla de las transiciones Con referencia a la Fig 6.27, en general, si se consideran las transiciones sobre el eje real, para el intervalo (−∞, −1), positivas del plano superior al inferior, cuando ω

6.6 Estabilidad seg´ un el diagrama de Bode 233 aumenta, y negativas del plano inferior al superior, tambi´en cuando ω aumenta, el sistema es estable si la suma algebraica del n´ umero de transiciones es igual a m 2 , donde m es el n´ umero de polos de la funci´ on de transferencia en lazo abierto Wl−a (s), en el plano complejo derecho. Sup´ongase m = 2, para la Fig 6.27. El n´ umero de transiciones a la izquierda de = 1, luego el sistema en lazo cerrado Wl−c (s), es estable. −1 + j0 es 2 − 1 = 1 y m 2 N´otese que el giro neto alrededor de −1+j0 es 2π = m 2 (2π) con m = 2, lo que verifica el resultado, en este caso particular. Si el diagrama arranca a la izquierda de −1 + j0, se considera − 12 transici´on si lo hace on si lo hace hacia abajo. hacia arriba, y + 12 transici´ Adem´as, debe tenerse en cuenta las transiciones del complemento en infinito si ´este toca la regi´ on (−∞, −1). Ejercicio Por el m´etodo de las transiciones determinar la estabilidad de Wl−c (s) para: Wl−a (s) = con:

K (1 + T1 s) s (T2 s − 1)

T1 , T2 > 0 y K > 0

6.6.5

Estabilidad seg´ un el diagrama de Bode

a) Diagrama de Bode

b) Curva de Nyquist correspondiente

Figura 6.28 Regla de las transiciones para el diagrama de Bode Ya que cuando |Wl−a (jω)| > 1, |Wl−a (jω)|dB = 20 log |Wl−a (jω)| > 0, el intervalo (−∞, −1) est´ a asociado con valores positivos de |Wl−a |dB . La l´ınea −π en el diagrama de Nyquist est´a asociada, en el Bode, con los a´ngulos −π, −3π, 5π, · · ·. As´ı, el intervalo (−∞, −1) corresponde a |Wl−a (jω)|dB > 0 y ϕ (ω) = arg Wl−a (jω) = −π, −3π, −5π, · · ·. De esta manera, el criterio de Nyquist aplicado al diagrama de Bode puede ser formulado:

234 CRITERIOS DE ESTABILIDAD Un sistema de control, en lazo cerrado, es estable si la suma algebraica del n´ umero de transiciones positivas y negativas de la curva de fase de Wl−a (jω), ϕ (ω) con las l´ıneas −π, −3π, −5π, · · ·, cuando la curva de amplitud en decibelios |Wl−a (jω)|dB del sistema en lazo abierto es positiva, |Wl−a (jω)|dB > 0 ´o umero de polos |Wl−a (jω)| > 1, es igual a m 2 , donde m es el n´ de Wl−a (s) en el plano complejo derecho. Las transiciones son (+) positivas cuando ϕ (ω) aumenta positivamente. Negativas en el caso contrario.

CAPITULO

7

SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

7.1

Especificaciones en el dominio frecuencial

1) Ancho de Banda: AB. Con: C (jω) Wl−a (jω) = = M (ω) ejφm (ω) (7.1) R (jω) 1 + Wl−a (jω) Se define el ancho de banda, AB, como la frecuencia a la cual |M (jω)| vale el 70.7% del nivel a frecuencia cero o 3dB por debajo del nivel de frecuencia nula, como se muestra en la Fig 7.1. M (jω) =

Figura 7.1 Ancho de banda 235

236 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA N´otese que AB indica las caracter´ısticas de filtraje de ruido del sistema y da tambi´en una medida de las propiedades de la respuesta transitoria. Si AB es grande, las se˜ nales de alta frecuencia pasan a la salida, es decir, la respuesta transitoria tiene un tiempo de subida, o de levante, r´ apido. Por el contrario, si AB es peque˜ na, solo pasar´an las se˜ nales de baja frecuencia y, por consiguiente, la respuesta temporal ser´ a lenta. 2) Factor de pico o de resonancia: Mv . Es el valor m´ aximo de |M (jω)|. Es un indicativo de la estabilidad relativa del sistema. Posteriormente se ver´ a que a valores altos de Mv corresponden amplios sobrepasos en la respuesta temporal. Normalmente se admite que 1.1 < Mv < 1.5, para buenos resultados. 3) Frecuencia de resonancia: ωv . Es la frecuencia para la cual se produce el pico de resonancia. Otros factores importantes en la medida de la estabilidad relativa de un sistema de control son el margen de amplitud y el margen de fase. Estos conceptos se ver´ an mas adelante.

7.2

Correlaci´ on entre respuestas transitoria y

frecuencial para un sistema de segundo orden

Figura 7.2 Sistema de segundo orden Para el sistema de la Fig 7.2: C (s) ωn2 = 2 R (s) s + 2ζωn s + ωn2 Con s = jω se tiene:

donde:

C (jω) =³ R (jω) 1−

ω2 2 ωn

1 ´

+ j2ζ ωωn

= M (ω) ejϕ(ω)

(7.2)

7.2 Correlaci´ on entre respuestas transitoria y frecuencial para un sistema de segundo orden 237

M (ω) =

r³ 1− −1

ϕ (ω) = − tan

ω2 2 ωn

Ã

1 ´2

³ ´2 + 2ζ ωωn ! ω

2ζ ωn

1−

ω2 2 ωn

(7.3)

(7.4)

El pico de resonancia es el valor m´ aximo de M (ω), que se puede calcular minimizando su denominador. Esto es, M (ω) es m´aximo si (7.5) es m´ınimo: µ ¶2 µ ¶2 ω2 ω D2 (ω) = 1 − 2 + 2ζ (7.5) ωn ωn Derivando (7.5): ¯ dD2 (ω) ¯¯ dω ¯ω=ωv

µ ¶µ ¶ µ ¶ µ ¶¯ ω2 2ω ω 2ζ ¯¯ 2 1− 2 − 2 + 2 2ζ ωn ωn ωn ωn ¯ω=ωv µ ¶ ω2 = − 1 − 2v + 2ζ 2 = 0 ωn =

de donde: ωv = ωn 2

p 1 − 2ζ 2

(7.6) √1 2

= 0.707. Cuando ζ > 0.707 Observe que ωv existe si 1 − 2ζ > 0, esto es, si: ζ < no hay resonancia y M (ω) < 1, como se muestra en la Fig 7.3.

Figura 7.3 Respuesta frecuencial de un sistema de segundo orden Con (7.6) en (7.3): 1 1 = p Mv = q 2 2ζ 1 − ζ2 (2ζ 2 ) + 4ζ 2 (1 − 2ζ 2 )

(7.7)

La Fig 7.4 muestra la correlaci´ on existente entre el pico de resonancia Mv y el m´ aximo sobrepaso Mp .

238 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Figura 7.4 correlaci´ on entre Mv y Mp . Obs´ervese que Mp y Mv est´an relacionados. Si Mv aumenta, tambi´en lo hace Mp . Recu´erdese que si ζ aumenta, Mp disminuye y el transitorio se suaviza. Lo mismo se puede decir del factor o pico de resonancia Mv .

7.3

Estabilidad relativa

Evidentemente del diagrama de Nyquist se logra una buena idea de margen de estabilidad de un sistema. Es decir: 1) ¿ Si el sistema es estable, en qu´e grado lo es ? 2) ¿ Y si no es suficientemente estable, o es inestable, c´ omo puede mejorarse la condici´ on de estabilidad del sistema ? La primera pregunta es un problema de an´alisis, mientras que la segunda es un problema de dise˜ no, s´ıntesis o proyecto. La Fig 7.5 muestra el concepto de estabilidad relativa de un sistema en lazo cerrado Wl−c (s) mediante los lugares de Nyquist de Wl−a (jω) para un sistema de tercer orden, con cuatro valores distintos de la ganancia K, suponiendo Wl−a (s) estable. El lugar Wl−a (jω) en la Fig 7.5a enlaza el punto −1 + j0 por lo cual Wl−a (s) es inestable y la respuesta a un escal´on unitario crece con el tiempo. En la Fig 7.5b, Wl−a (jω) pasa por el punto cr´ıtico −1 + j0 y el sistema est´a entre la estabilidad y la inestabilidad, por lo tanto la respuesta a un escal´on unitario es una oscilaci´ on senoidal sostenida. Los lugares Wl−a (jω) en las figuras 7.5c y d no enlazan el punto cr´ıtico. oximo al punto cr´ıtico, y Sin embargo, el lugar Wl−a (jω) de la Fig 7.5c pasa mas pr´ por consiguiente, la respuesta del sistema a un escal´ on unitario ser´ a mas oscilante y con un sobrepaso mas pronunciado que el mostrado en la Fig 7.5d, correspondiente a un lugar de Nyquist mas alejado de −1 + j0.

7.4 Margen de amplitud y margen de fase 239

a)

b)

c)

d) Figura 7.5 Grados de estabilidad de un sistema Cuantitativamente, la distancia entre el lugar Wl−a (jω) y el punto −1 + j0 da una medida de la estabilidad relativa del sistema en lazo cerrado. Mas espec´ıficamente, el margen de amplitud y el marge de fase se utilizan generalmente para determinar el grado de estabilidad relativa de un sistema de control.

7.4

Margen de amplitud y margen de fase

240 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

figura 7.6 Margen de amplitud y margen de fase

7.4.1

Margen de amplitud

Es una medida de la proximidad del punto de fase cr´ıtica al punto cr´ıtico, punto B en la Fig 7.6. Con ω = ωcp la frecuencia en el punto de fase cr´ıtica:

α = |Wl−a (jωcp )| y el margen de amplitud en dB del sistema se define como:

Margen de amplitud en dB = 20 log

1 1 = 20 log |Wl−a (jωcp )| α

(7.8)

Obs´ervese en la Fig 7.6 que si la ganancia en lazo abierto se aumenta hasta que |Wl−a (jωcp )| = 1 el margen de amplitud vale 0 dB. Por otro lado, para un sistema de segundo orden el lugar Wl−a (jω) no corta el eje real negativo, y por lo tanto |Wl−a (jωcp )| = 0 y entonces el margen de amplitud es infinito, en decibelios, como se muestra en la Fig 7.7. La interpretaci´on f´ısica del margen de amplitud es la siguiente: El margen de amplitud es la ganancia en decibelios que se puede a˜ nadir a la cadena en lazo abierto antes de que el sistema alcance la inestabilidad. Si Wl−a (jω) pasa por el punto −1 + j0 el margen de amplitud vale 0 dB lo que implica que la ganancia de la cadena ya no puede aumentarse sin provocar la inestabilidad.

7.4 Margen de amplitud 241

Figura 7.7 Lugar de Nyquist de un sistema de segundo orden Para un sistema de segundo orden, el corte con el eje negativo |Wl−a (jωcp )| es cero y el margen de amplitud es infinito; es decir que, te´ oricamente, el valor de la ganancia de la cadena puede aumentarse hasta infinito antes de que se produzca la inestabilidad. Cuando el lugar Wl−a (jω) enlaza el punto cr´ıtico, |Wl−a (jωcp )| > 1 y el margen de amplitud en dB se hace negativo. Un margen de amplitud negativo corresponde a un sistema inestable siempre y cuando Wl−a (s) sea estable. Ya que si Wl−a (s) es inestable, con m polos en el plano derecho, Wl−a (jω) debe enlazar m 2 veces el punto 0→ω→∞

cr´ıtico para que Wl−c (s) sea estable. En general, el margen de amplitud es una de las varias formas esenciales empleadas para indicar la estabilidad relativa de un sistema. Te´oricamente, un sistema con un amplio margen de amplitud debe ser m´ as estable que otro con un margen de amplitud menor. Sin embargo, esta afirmaci´ on no siempre es cierta. En la pr´actica, el margen de amplitud por si solo no da indicaci´ on suficiente de la estabilidad relativa del sistema. Por ejemplo, los dos lugares Wl−a (jω) de la Fig 7.8 tienen el mismo margen de amplitud, infinito.

Figura 7.8 Lugares de Nyquist de dos sistemas con igual margen de amplitud pero con distinta estabilidad relativa

242 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA Sin embargo, el lugar A corresponde a un sistema mas estable que el lugar B ya que con cualquier peque˜ no cambio en alg´ un par´ametro del sistema, es posible que el lugar B pase por el punto −1 + j0 o lo enlace.

Figura 7.9 Lugares de Nyquist de dos sistemas con igual margen de amplitud pero con diferente grado de estabilidad relativa Los dos lugares Wl−a (jω) de la Fig 7.9 tienen tambi´en el mismo margen de amplitud, pero el sistema correspondiente a la curva A representa ciertamente un sistema mas estable. Para definir adecuadamente la estabilidad relativa de un sistema, se utiliza el margen de fase para diferenciar el grado de estabilidad de casos como los de las figuras 7.8 y 7.9.

7.4.2

Margen de fase

Figura 7.10 Margen de fase

7.4 Margen de amplitud y margen de fase en el lugar de Bode 243 El margen de fase mide la proximidad del punto de ganancia cr´ıtica al punto cr´ıtico. Se define como el ´angulo que debe girarse el lugar de Nyquist de Wl−a (jω) para que el punto |Wl−a (jωcg )| = 1 del lugar pase por el punto cr´ıtico −1 + j0. La Fig 7.10 muestra que el margen de fase es el a´ngulo que el radio vector unidad forma con el eje real negativo en el plano Wl−a (jω). Entonces: Margen de fase, M.F. = γ = α − 180◦ = arg Wl−a (jωcg ) − 180◦ = 180◦ + θ

(7.9)

donde ωcg es la frecuencia de la ganancia cr´ıtica. Algunos valores recomendables de dise˜ no son: M.A. = 12dB, M.F.= 60◦ . Ejercicio. Dado: Wl−a (s) =

K (1 + s) (1 + 2s) (1 + 3s)

a) Dibuje el lugar de Nyquist de Wl−a (jω) y determine los l´ımites de K para que el sistema en lazo cerrado Wl−c (s) sea estable. b) Suponga K = 5. Determine la frecuencia correspondiente al punto de fase cr´ıtica ωcp y el margen de amplitud en dB y el margen de fase. c) Hallar el valor de K para que el margen de amplitud del sistema sea igual a 20 dB.

7.4.3

Margen de amplitud y margen de fase en el lugar de Bode

Con Wl−a (s) el procedimiento para obtener el margen de amplitud y el margen de fase a partir del lugar de Bode, Fig 7.11, es el siguiente: 1) Construir el lugar de Bode de

|Wl−a (jω)| K

y de arg Wl−a (jω) en funci´ on de ω.

2) Para obtener el margen de amplitud, se determina en primer lugar el punto en que arg Wl−a (jω) corta el eje de −180◦ , punto de fase cr´ıtica. El margen de amplitud (jω)| para K = 1 es el valor que toma la curva de amplitud |Wl−a en dB, en el punto K de fase cr´ıtica, Fig 7.11. Para cualquier otro valor de K el margen de ampitud es simplemente el margen de amplitud para K = 1 menos el valor de K en dB, 20 log K. Si la curva de fase no corta nunca el eje de −180◦ permaneciendo por encima, el sistema es siempre estable; por ejemplo, en un sistema de segundo orden la fase tiende a −180◦ asint´oticamente cuando ω → ∞. 3) Para obtener el margen de fase, se determina en primer lugar el punto en que la (jω)| curva |Wl−a en dB corta al eje de 0 dB, es decir, el punto de ganancia cr´ıtica. K El ´angulo entre la curva de fase en el punto de ganancia cr´ıtica, arg Wl−a (jωcg ) y el eje de −180◦ es el margen de fase para K = 1 . Para cualquier otro valor de K, el margen de fase se obtiene desplazando el eje de 0 dB a −K en dB y siguiendo el procedimiento que se acaba de indicar.

244 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Figura 7.11 M´argenes de fase y de amplitud en el diagrama de Bode Ejercicios. 1) La configuraci´ on de polos y ceros de una funci´ on de transferencia en lazo cerrado Wl−c (s) viene dada en la Fig P7.1a.

a)

b) Figura P7.1

a) Calcular la banda pasante del sistema, o ancho de banda, AB. b) Se a˜ nade un cero como indica la Fig P7.1b. ¿ C´ omo queda modificada la AB ? c) Se a˜ nade a la configuraci´ on de la Fig P7.1b un polo sobre el eje real negativo, pero a una distancia del origen 10 veces mayor que la del cero.

7.4 Margen de amplitud y margen de fase en el lugar de Bode 245 ¿ C´omo queda afectado el AB? 2) La especificaci´ on dada para un servosistema de segundo orden es que el sobrepaso m´aximo de la respuesta a un escal´ on unitario no exceda del 25%. ¿ Cu´ales son los valores l´ımites correspondientes del coeficiente de amortiguamiento y del factor de resonancia Mv ? 3) La funci´ on de transferencia en lazo cerrado de un servosistema es: Wl−c (s) =

1 C (s) = R (s) (1 + 0.01s) (1 + 0.05s + 0.01s2 )

a) Trazar la curva de respuesta en frecuencia del sistema en lazo cerrado. b) Determinar el factor de resonancia Mv y la frecuencia de resonancia ωv del sistema. c) Determinar el coeficiente de amortiguamiento ζ y la frecuencia propia no amortiguada ωn del sistema de segundo orden que produce el mismo Mv y la misma ωv que el sistema original. 4) La funci´ on de transferencia en lazo abierto de un servosistema con realimentaci´ on unitaria es: Wl−a (s) =

K (1 + T s) s (1 + s) (1 + 0.01s)

Determinar el menor valor posible de T para que el sistema tenga un margen de amplitud infinito. 5) La funci´ on de transferencia en lazo abierto de un servosistema con realimentaci´ on unitaria es: Wl−a (s) =

K s (1 + 0.1s) (1 + s)

a) Determinar el valor de K para que el factor de resonancia Mv del sistema sea igual a 1.4. b) Determinar el valor de K para que el margen de amplitud del sistema sea de 20dB. c) Determinar el valor de K para que el margen de fase del sistema sea de 60◦ . 6) Use el criterio de estabilidad de Nyquist para determinar si los sistemas con las siguientes funciones de transferencia de lazo abierto son estables:

a)

Wl−a (s) =

b)

Wl−a (s) =

c)

Wl−a (s) =

d)

Wl−a (s) =

10 (1 + s) (1 + 2s) (1 + 3s) 10 s (1 + s) (1 + 10s) 10 s2 (1 + 0.1s) (1 + 0.2s) 2 2 s (1 + 0.1s) (1 + 10s)

246 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

7)

Figura P7.2 Determine la estabilidad de los sistemas cuyos lugares geom´etricos de Wl−a (jω) se muestran en las figuras P7.2a, b y c. Suponga que Wl−a (s) no tiene polos en el semiplano derecho. 8) Para un sistema de segundo orden: Wl−a (s) =

16 s (2 + s)

a) Grafique el diagrama de Bode. b) Determine Mv y ωv . 9) Repita el problema 8 cuando: a)

Wl−a (s) =

b)

Wl−a (s) =

60 (1 + 0.5s) s (1 + 5s) 60 (1 + s) s2 (1 + 0.1s)

10) Dado. Wl−a (s) =

as + 1 s2

hallar a tal que el margen de fase sea 45◦ . 11) Trazar los diagramas polares de: Wl−a (s) =

K (Ta s + 1) (Tb s + 1) s2 (T1 s + 1)

para los dos casos siguientes: a) b)

Ta T1

> T1 > 0, > Ta > 0,

Tb > T1 > 0 T1 > Tb > 0

7.5 Compensador de adelanto de fase 247 12)

Figura P7.3 Determine el valor cr´ıtico de Kh respecto a la estabilidad del sistema de lazo cerrado de la Fig P7.3. Recuerde que Wl−a (s) = G (s) H (s) . 13)

Figura P7.4 Sea el sistema que se muestra en la Fig P7.4. Hallar el valor cr´ıtico de K respecto a estabilidad, utilizando el criterio de Nyquist.

7.5

T´ ecnicas de compensaci´ on

Se refiere al uso de redes de adelanto, atraso y adelanto-atraso combinadas para reformar la respuesta frecuencial de lazo abierto, Wl−a (jω), a fin de conseguir estabilidad relativa aceptable y error disminuido.

7.5.1

Compensador de adelanto de fase

Consid´erese el circuito de la Fig 7.12. Para este circuito: V(+)

=

R2 V1 R2 V1 ¢= ¡ 1 R 1 R2 + R1 // Cs R2 + R11+Cs1

(7.10)

Cs

V(−)

=

R3 V2 R3 + R4

Como V(+) ' V(−) : R3 R2 V1 = V2 R1 R R2 + 1+R 3 + R4 1 Cs

(7.11)

248 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Figura 7.12 Compensador de adelanto de fase de donde:

Llamando:

(1 + R1 Cs) R2 R3 + R4 V2 ´ ·³ · = Gc (s) = V1 R3 (R1 + R2 ) 2 1 + R1R+R R Cs 1 2

Av0

=

α = T1 T2

= =

ω1

=

ω2

=

α =

(7.12)

R3 + R4 R3 R2 ω1 T2 T2 ω1 = T1 ω2

(7.12) se puede expresar: Gc (s) = Av0 α

1+ 1 + T1 s = Av0 α 1 + T2 s 1+

s ω1 s ω1

(7.13)

Con s = (jω) : 1 + j ωω1 1 + j ωω2

(7.14)

ω ω − tan−1 >0 ω1 ω2

(7.15)

Gc (jω) = Av0 α y la fase de Gc (jω) es: ϕc (jω) = tan−1 porque con ω1 < ω2 : ω ω > ω1 ω2

7.5 Compensador de adelanto de fase 249 Entonces es un circuito que puesto en cascada con una planta puede servir para adelantar fase y mejorar la estabilidad relativa. N´otese tambi´en que: ³ ´³ ´ ´ ³ 2 1 + j ωω1 1 − j ωω2 1 + ωω1 ω2 + j ωω1 − ωω2 = Gc (jω) = Av0 α ³ ´2 ³ ´2 1 + ωω2 1 + ωω2

de donde:

tan ϕc (ω) =

³

ω ω1

−

1+

ω ω2

ω2 ω1 ω2

´

(7.16)

Figura 7.13 Diagrama de Bode del compensador de adelanto de fase Para obtener el m´aximo adelanto de fase ϕcm se deriva (7.16): ¯ d tan ϕc (ω) ¯¯ ¯ dω

= ω=ωm

=

³

1 ω1

−

d  dω 1+

µ

´  ω  2

1 ω2

ω ω1 ω2

ω=ω

h im h i¯ ¶ 1 + ω2 − ω 2ω ¯¯ ω1 ω2 ω1 ω2 ¯ 1 1 − ¯ h i2 ¯ 2 ω1 ω2 ¯ 1 + ωω1 ω2

=0 ω=ωm

250 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

O sea: 1+

2 ωm ω2 −2 m =0 ω1 ω2 ω1 ω2

de donde: √ ω1 ω2

ωm =

(7.17)

El m´aximo adelanto de fase ocurre en el medio geom´etrico de las dos frecuencias de quiebre ω1 y ω2 . El diagrama de Bode se muestra en la Fig 7.13. Con (7.17) en (7.16):

tan ϕcm

=

sin ϕcm

=

Tambi´en:

³

ωm ω1

−

1+

ωm ω2

2 ωm ω1 ω2

´

=

³√

ω1 ω2 ω1

´ √ ω1 ω2 ω2 ω1 ω2 ω1 ω2

−

1+

=

1−α √ 2 α

(1 − α) 1−α 1−α q =√ = 2 + 4α √ 2 1+α 2 1 − 2α + α (1 − α) + (2 α)

α=

1 − sin ϕcm 1 + sin ϕcm

Reemplazando (7.17) en (7.14): v u ³ ´2 s u u 1 + ωωm1 1+ |Gc (jω)|ω=ωm = Av0 αu ³ ´2 = Av0 α t 1+ 1 + ωωm2

(7.18) (7.19)

(7.20)

ω2 ω1 ω1 ω2

r Av0 α ω2 = Av0 α = √ ω1 α

Entonces:

1 |Gc (jω)|ω=ωm dB = 20 log (Av0 α) + 20 log √ α

(7.21)

como se muestra en la Fig 7.13.

7.5.2

Errores

Al dise˜ nar un compensador no solo se busca mejorar la estabilidad relativa, sino tambi´en, disminuir el error, en lo posible. El compensador de adelanto al mejorar la estabilidad permite aumentar la ganancia del sistema en lazo abierto lo cual disminuye el error. Para mejorar a´ un m´as el sistema, en lo que respecta al error, se puede utilizar un compensador de atraso de fase, como se ver´a posteriormente. Consid´erese, por ejemplo, el sistema mostrado en la Fig 7.14:

7.5 Tipo Uno 251

Figura 7.14 Sistema en lazo cerrado donde E es la se˜ nal de error E = R − C, la cual es: 1 R (s) 1 + Wl−a (s)

E (s) =

(7.22)

El error est´atico se define por: ess = lim e (t) = lim sE (s) = lim t→∞

s→0

s→0

sR (s) 1 + Wl−a (s)

(7.23)

Dependiendo de cuantos integradores tenga una planta se puede hacer una clasificaci´ on por tipos de integraci´ on: 7.5.2.1 Tipo Cero Una planta tipo cero es aquella que no tiene integradores, por ejemplo: Kp Wl−a (s) =

r Q

(1 + Ti s)

1

n Q

(7.24)

(1 + Tj s)

1

Se puede analizar el error est´ atico para diferentes se˜ nales de entrada: atico es: a) Escal´ on. Si R (s) = Rs0 , el error est´

ess y

=

ess % =

s Rs0 R0 = s→0 1 + Wl−a (s) 1 + Kp 1 ess · 100 = · 100% R0 1 + Kp lim

(7.25)

As´ı el error disminuye con la ganancia del sistema en lazo abierto Kp . A mayor ganancia menor error. b) Rampa. Si R es una rampa: r (t) = R1 t, entonces R (s) = Rs21 ess = lim

s→0

s · Rs21 =∞ 1 + Wl−a (s)

As´ı, un sistema tipo cero tiene error finito para entrada escal´ on, pero infinito para rampa, par´abola, etc. 7.5.2.2 Tipo Uno Una planta tipo uno tiene un integrador. Por ejemplo:

252 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Kv

r Q

(1 + Ti s)

1

Wl−a (s) = s

n Q

(7.26)

(1 + Tj s)

1

Los errores est´aticos para diferentes se˜ nales de entrada son: a) Escal´ on. Con R (s) = Rs0 : ess = lim

s→0

b) Rampa. R (s) =

R1 s2

s Rs0 =0 1 + Wl−a (s)

:

ess

=

ess % =

lim

s→0

s · Rs21 R1 = 1 + Wl−a (s) Kv

1 · 100% Kv

c) Par´ abola. Si R es una par´ abola: r (t) =

R2 2 2 t ,

En este caso:

entonces R (s) =

R2 s3 .

ess = ∞

As´ı, un sistema tipo uno sigue un escal´ on con error cero, una rampa con error finito, pero no sigue una par´abola, c´ ubica, etc. Analizando sistemas de tipo mayor, dos integradores o mas, se puede elaborar la siguiente tabla: Error Se˜ nal→ Escal´on R0 Rampa Ri t Par´abola R22 t2 C´ ubica R3!3 t3 R0 ∞ ∞ ∞ 0 1+Kp R1 ∞ ∞ 1 0 Kv Tipo R1 ∞ 2 0 0 Ka R3 3 0 0 0 Kc Tabla 7.1 Errores est´aticos seg´ un el tipo y la se˜ nal de entrada Kp , Kv , Ka y Kc son las ganancias de las plantas, que de acuerdo al tipo de la planta reciben diferentes nombres: Kp Kv Ka Kc

: : : :

constante constante constante constante

de de de de

error error error error

de de de de

posici´ on. velocidad. aceleraci´ on. veloaceleraci´ on.

Para todos los casos de error finito puede notarse que el error es tanto menor cuanto mayor sea la ganancia de la planta.

7.5 Compensaci´on con adelantor de fase 253 7.5.2.3 Compensaci´ on con adelantor de fase Diferentes metodolog´ıas se han planteado para el dise˜ no o s´ıntesis del compensador de adelanto. Procedimiento 1: 1. Determinar la ganancia en lazo abierto para la especificaci´ on de error dada. 2. Usando la ganancia K as´ı determinada, evaluar el margen de fase del sistema no compensado. 3. Calcular el adelanto de fase ϕc requerido para obtener el margen de fase deseado naden unos 5◦ ya que la frecuencia del cruce cambia mas aproximadamente 5◦ . Se le a˜ al insertar el compensador. 4. Determinar α de: 1 − sin ϕcm con ϕcm ≤ 60◦ α= 1 + sin ϕcm ϕcm ≤ 60◦ para que ω1 y ω2 no queden excesivamente separadas. 5. Suponer Av0 = α1 , entonces Av0 · α = 1. As´ı, el aumento de ganancia en ω = ωm ser´a 20 log √1α . Para que ωm = ωcgn , la nueva frecuencia de cruce, ser´ a necesario buscar un punto de |Wl−a (jω)| tal que |Wl−a (jω)|dB = 20 log |Wl−a (jω)| = −20 log √1α . Entonces selecci´ onese ω = ωcgn la frecuencia para la cual |Wl−a (jω)|dB = −20 log √1α . Esta nueva frecuencia ser´a tambi´en ωm = ωcgn . 6. Calcular las frecuencias de quiebre del compensador: r q √ ω1 ω12 √ 2 = αω2 = √ ωm = ω1 ω2 = αω2 = α α de donde:

ω1 ω2

√ αωm ωm = √ α =

7. Evaluar el margen de fase del sistema con el compensador y chequear la ganancia en ωcgn que debe ser 1,o cero dB. alculo se Chequear el margen de ganancia |Wl−a |dB compensado = −MG donde este c´ hace cuando ϕ compensado = −180◦ . ϕ compensado = {ϕ no ompensado + ϕc } en ω = ωcp donde ϕ compensado = −180◦ . ametros del circuito de las f´ ormulas para T1 y 8. Calcular T1 = ω11 , T2 = ω12 y los par´ T2 en t´erminos de R1 , R2 y C. Algunos par´ametros se pueden escoger libremente. Procedimiento 2: Este opera en forma un poco inversa al anterior. 1. Seleccionar una frecuencia ωcgn tal que el adelanto de fase exigido al compensador ϕcm no sobrepase 60◦ . A fin de satisfacer el requerimiento de margen de fase en el sistema compensado: γ = 180◦ + ϕNC + ϕcm | en ω=ωcgn

254 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA donde ϕNC es la fase del sistema no compensado en ω = ωcgn , la nueva frecuencia de cruce. ϕcm 2. Calcular α = 1−sin 1+sin ϕcm . Calcular el compensador. 3. Calcular la ganancia en dB del sistema no compensado en ωcgn : |Wl−a (jω)|dB = 20 log |Wl−a (jω)|ω=ωcgn La ganancia del compensador en ωcg = ωm es: √ α |Gc (jω)|ω=ωm = Av0 √ = Av0 α α Para que el sistema compensado cruce por cero dB en ωcg = ωm es necesario entonces que: ¡ √ ¢ 20 log Av0 α = − |Wl−a (jω)|ω=ωcgn dB

o tambi´en:

1 20 log Av0 = 20 log √ − |Wl−a (jω)|ω=ωcgn dB α 4. Calcular el error est´atico del sistema con el compensador inclu´ıdo. Si excede la especificaci´ on, el dise˜ no es correcto. Si no, proc´edase a intercalar adem´ as un compensador de atraso para mejorar las condiciones de error. 5. Verificar el margen de fase y la ganancia en ωcgn . Calcular el margen de ganancia MG = − |Wl−a (jω)|ω=ωcf dB donde ωcf es la frecuencia a la cual: ϕcompensado = ϕno compensado + ϕc = −180◦ Ejemplo 7.1 . Para el sistema de la Fig 7.15: otese que: se especifica Kv = 20, γ = 50◦ y M G = 10dB, por lo menos. N´ Wl−a (s) =

2K K 20 4K ¢ ¢ = ¡s v ¢ = ¡ = ¡s s (s + 2) s 2 +1 s 2 +1 s 1 + 2s

Figura 7.15 Sistema del ejemplo 7.1 As´ı K = 10. La Fig 7.16 muestra el diagrama de Bode para este sistema.

7.5 Compensaci´on con adelantor de fase 255

Figura 7.16 Bode de Wl−a (jω) del ejemplo 7.1 Procedimiento 1 El Bode de amplitud es: |Wl−a | dB

20 = 20 log q ¡ ¢2 ω 1 + ω2

= 20 log 20 − 20 log ω − 20 log Para bajas frecuencias:

r

1+

³ ω ´2 2

|Wl−a | dB ≈ 20 log 20 − 20 log ω = 26 − 20 log ω o sea: Y1 dB Y1 dB

= 26 − 20 log ω = 0 en ω = 20

La primera frecuencia de quiebre es 2, para el t´ermino 1+1 s . 2 dB dB : −20 dec. del t´ermino A partir de ω = 2 el Bode cae con −40 dec. t´ermino 1+1 s . Esto es Y2 dB = Y20 − 40 log ω. 2

En ω

= 2:

Y2 dB = 20

1 s

dB y −20 dec. del

256 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA Y20 = 20 + 40 log 2 = 32dB Y2 dB = 32 − 40 log ω

por lo tanto: As´ı:

Y2 dB = 0 cuando 32 − 40 log ω = 0. Esto es para: ω = 1032/40 = 6.3 rad/seg La fase del sistema no compensado es: ϕ (ω) = −90◦ − tan−1 En ω

ω 2

= 6.3, ϕ (6.3) = −90◦ − tan−1

6.3 = −162.4◦ 2

As´ı, γv = 180◦ − 162.4◦ = 17.6◦ , que es el margen de fase no compensado. El margen de fase pedido es γn = 50◦ , entonces: = 50◦ − 17.6◦ + 5◦ = 37.4◦ = ϕcm = ϕm 1 − sin ϕm 1 − sin 37.4◦ de donde: α= = = 0.244 1 + sin ϕm 1 + sin 37.4◦ ϕc

Se puede seleccionar ωcgn de la siguiente manera: se calcula 1 1 |Wl−a | dB = −20 log √ = −20 log √ = −6.13dB α 0.244 y se busca un ω tal que |Wl−a | dB = −6.13dB. Ya que: Y2 dB entonces ωcgn

= −40 log ω + 32 = −6.13 = 8.98 = ωm

As´ı: ω1 =

√

αωm = 4.44rad/seg

El compensador con Av0 =

1 α

y ω2 =

ωm = 18.18rad/seg α

es: Gc (s) =

s 1 + 4.44 s 1 + 18.18

Chequeo Con compensador: ϕcomp = −90◦ − tan−1 En ω = 8.98:

ω ω ω + tan−1 − tan−1 2 4.44 18.18

7.5 Compensaci´on con adelantor de fase 257

ϕcomp γn |Wl−a |dB

= −130◦ = 180◦ − 130◦ = 50◦  q ¡ ω ¢2 1 + 4.44 20  = 20 log  q ¡ ω ¢2 · q ¡ ¢2 1 + 18.18 ω 1 + ω2

= −0.18dB

ω=8.98

|Wl−a |dB deber´ıa ser cero. Esto indica que ωcgn est´a un poco a la izquierda de 8.98. los −0.18dB. Como Av0 α = 1 Podr´ıa reajustarse Av0 de tal manera que¡ compense ¢ = 1.02 en lugar de 1 y en este caso: para el dise˜ no se puede escoger Av0 α = 0.18 20 Av0 =

1.02 = 4.18 α

C´ alculo de los par´ ametros 1 De T1 = R1 C = ω11 , R1 = 4.44C , y con C = 1µf, arbitrario, entonces R1 = 225KΩ. R2 Con α = R1 +R2 = 0.244, y R1 = 225KΩ, entonces R2 = 73KΩ. 4 Con Av0 = R3R+R = 4.18 y con R3 = 10KΩ, arbitrario, se obtiene R4 = 32KΩ. 3

Margen de ganancia Se busca ωcf esto es cuando ϕcomp = −180◦ . Pero note que el sistema no compensado ten´ıa ϕ = −90◦ − tan−1 ω2 > −180◦ Como el compensador adelanta fase, entonces ϕcomp > −180◦ para toda frecuencia excepto en ωcf = ∞. La fase del compensador en ∞ es ϕc (∞) = 0 y ϕcomp (∞) = −90 − 90 = −180◦ . O sea ωcf = ∞. Pero en ∞, |Wl−a |comp dB = −∞. As´ı, on. MG = − |Wl−a |comp dB = ∞, lo que excede la especificaci´ Procedimiento 2 Como ϕ = −90◦ −tan−1 ω2 , si se selecciona ω = ωcgn = 10, entonces ϕ (10) = −168.7◦ . Para γn = 50◦ la fase del sistema compensado debe ser ϕcomp = −180◦ +50◦ = −130◦ . As´ı, el compensador debe suministrar ϕc = 168.7◦ − 130◦ = 38.7◦ < 60◦ . Entonces: α = |Wl−a (jωcgn )|dB

1 − sin 38.7 = 0.231 1 + sin38.7 

20  = 20 log  q ¡ ω ¢2 ω 1+ 2

= −8.13dB

ω=ωcgn

As´ı:

1 20 log Av0 = 20 log √ − |Wl−a (jωcgn )|dB = 14.49dB α entonces: Av0

= 10

14.49 20

= 5.3

258 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA ω1

=

ω2

=

√

0.231 · 10 = 4.81 10 √ = 20.81 0.231

Y el compensador es: Gc (s) = 5.3 · 0.231 ·

s 1 + 4.81 s 1 + 20.81

El sistema en lazo abierto compensado es: Wl−a (s) = 5.3 · 0.231 · Como:

s 1 + 4.81 20 ¢ · ¡ s 1 + 20.81 s 1 + 2s

ω ω ω − tan−1 = −90◦ − tan−1 + tan−1 2 4.81 20.81 q ¡ ω ¢2 1 + 4.81 20 |Wl−a (jω)| = 5.3 · 0.231 · q ¡ ω ¢2 · q ¡ ¢2 1 + 20.81 ω 1 + ω2 ϕcomp

entonces:

ϕcomp (10) γ |Wl−a (j10)| |Wl−a (j10)|dB

= = = =

−130◦ 180◦ − 130◦ = 50◦ 0.9985 20 log 0.9985 = −0.013dB ≈ 0

no tiene Para bajas frecuencias la ganancia es Kv = 5.3 · 0.231 · 20 = 24.5. Este dise˜ un Kv mayor que el especificado y por lo tanto el error est´atico es menor: ess % =

7.5.3

1 · 100 = 4.1% Kv

El compensador de atraso de fase

En la Fig 7.17:

V(+)

=

V(−)

=

1 R2 + Cs 1 + R2 Cs V1 V1 = 1 1 + (R1 + R2 ) Cs R2 + Cs + R1 R3 V2 R3 + R4

(7.27) (7.28)

7.5 El compensador de atraso de fase 259

Figura 7.17 Compensador de atraso de fase Como V(+) ' V(−) : Gc (s) =

R3 + R4 1 + R2 Cs V2 (s) = · V1 (s) R3 1 + (R1 + R2 ) Cs

(7.29)

O sea:

Gc (s) = Av0

1+ 1 + T2 s = Av0 1 + T1 s 1+

s ω2 s ω1

(7.30)

donde: T1 = (R1 + R2 ) C > T2 T2 = R2 C

ω1 = ω2 =

1 T1 1 T2

T1 = βT2 β=

ω2 = R1 +R2 R2

βω1

Con T1 > T2 , ω1 < ω2 . As´ı, ocurre primero el quiebre del polo. Adem´as: ϕc = tan−1

ω ω − tan−1 40◦ |Wl−a (j0.47)| = 0.889

264 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA |Wl−a (j0.47)| deber´ıa ser 1. Para corregir ´esto se puede tomar Av0 = R3 +R4 R3 . Con esto, si R3 = 100K, R4 = 13K.

1 0.889

= 1.13 =

Margen de ganancia Por tanteos, en ω = 1.31 ϕcomp = −179.8◦ ≈ 180◦ y |Wl−a |dB = −14.8dB. Entonces el margen de ganancia es MG = 14.8dB que excede la especificaci´ on. Ejemplo 7.3 . Para el sistema compensado con adelantador de fase, por el procedimiento 2, se obtuvo el sistema compensado, en lazo abierto: Wl−a (s) = 5.3 · 0.231 ·

s 1 + 2.41 20 ¢ · ¡ s 1 + 20.81 s 1 + 2s

con un Kv = 24.5. Se desea cambiar el Kv a 100 perdiendo solo 5◦ de margen de fase, esto es γn = 45◦ . Como el sistema ya tiene 50◦ en ωcgn = 10 se puede introducir un compensador de atraso que atrase 5◦ en ωcgn = 10 rad seg . 100 La ganancia adicional requerida es Av0 = 24.5 = 4.1. Se escoge entonces β = Av0 para no producir atenuaci´ on a altas frecuencias, esto es β = 4.1. La fase del compensador es entonces: ϕc = tan−1

ω ω ω βω − tan−1 − tan−1 = tan−1 ω2 ω1 ω2 ω2

que contribuye con la fase: ϕc (ωcg ) = tan−1

ωcg βωcg − tan−1 ω2 ω2

Con β = 4.1, tanteando valores de ω2 en la ecuaci´ on: ϕc (10) = tan−1

10 4.1 · 10 − tan−1 = −5◦ ω2 ω2

se obtiene: ω2 =

rad 10 = 1.16 8.6 seg

As´ı: ω1 =

1.16 rad ω2 = = 0.283 β 4.1 seg

Y el sistema compensado resulta: s s 1 + 2.41 1 + 1.16 20 ¢ Wl−a (s) =4.1 · · 5.3 · 0.231 · · ¡ s s 1 + 0.283 1 + 20.81 s 1 + 2s | {z } | {z } Atraso

Adelanto

CAPITULO

8

REALIMENTACION LINEAL DE LAS VARIABLES DE ESTADO Introducci´ on Unas de las primeras aplicaciones de las variables de estado en sistemas lineales fue la de realimentarlas para reubicar los valores propios de un sistema dado. Los polos y los valores propios coinciden en sistemas m´ınimos, aquellos que son controlables y observables. En lugar de realimentar y (t), salida de un sistema, y sus derivadas o realimentar y (t) a trav´es de un compensador, lo adecuado es hacerlo a trav´es del estado x (t) de una realizaci´on del sistema ya que, despu´es de todo, el estado resume toda la informaci´on actual del sistema. Por eso, cualquier operaci´on que pueda ser hecha . con y (t), y (t), etc. , se debe poder realizar con los estados y, lo m´as importante, cualquier operaci´ on que no se pueda hacer con los estados, probablemente no puede ser hecha en ninguna otra forma general. La realimentaci´ on de las variables de estado puede ser usada para modificar las frecuencias naturales del sistema y, en particular, hacerlas todas estables, siempre y cuando la realizaci´ on usada para definir los estados del sistema £sea controlable por realimentaci´ o n de las variables de estado, es decir, la ¤ matriz C = B AB · · · An−1 B de la realizaci´on {A, B, C} no es singular. La utilidad de este resultado depende de la habilidad para obtener los estados, lo cual ser´a considerado m´ as adelante. Por claridad de discusi´ on y por razones pedag´ogicas, se tratar´an por ahora, el problema de la determinaci´ on de los estados y el de la realimentaci´ on de ellos separadamente. Por el momento se supone que, por alg´ un medio, los estados son disponibles. Recuerde que para obtener los estados, si el sistema es observable, se necesita conocer no solonla salida y (t) y sus derivadas sino tambi´en la eno . trada u (t) y, en general, se necesita y (t) , y (t) , · · · ,y (n−1) (t) ,u (t) , · · · ,u(n−1) (t) . Por eso, se esperar´ıa que una configuraci´ on deseable de realimentaci´ on involucre la salida y algunas de sus derivadas y la entrada y algunas de sus derivadas. Se puede obtener entonces compensadores que permitan reubicar arbitrariamente los polos, garantizar estabilidad interna de la configuraci´ on total y mantener el grado del poli265

266 REALIMENTACION LINEAL DE LAS VARIABLES DE ESTADO nomio del denominador de la funci´ on de transferencia total igual al del sistema original. Si no hay restricci´ on en este u ´ltimo, el uso directo de la entrada no es necesario.

8.1

Realimentaci´ on de las variables de estado y

controlabilidad de los modos Considere el siguiente problema. Se da la realizaci´on: .

x (t) = Ax (t) + Bu (t) y (t) = Cx (t)

(8.1)

con el polinomio caracter´ıstico: a (s) = det (sI − A) = sn + a1 sn−1 + · · · + an

(8.2)

Si se especifica una funci´ on de transferencia de la forma: H (s) =

b1 sn−1 + · · · + bn b (s) = n a (s) s + a1 sn−1 + · · · + an

(8.3)

Se supondr´ a que {A, B, C} es alguna realizaci´on con n estados de esta funci´ on de transferencia. Se desea modificar el sistema dado, mediante el uso de realimentaci´on de las variables de estado, para obtener un nuevo sistema con valores propios especificados, o en otras palabras, para obtener un polinomio caracter´ıstico deseado. Es decir: α (s) = sn + α1 sn−1 + · · · + αn

(8.4)

Figura 8.1 Realizaci´ on modificada por realimentaci´ on de las variables de estado En la Fig 8.1, la se˜ nal de control u (t) se obtiene, utilizando realimentaci´ on por variables de estado, mediante la ecuaci´ on:

8.1 Algunas f´ ormulas para la ganancia de realimentaci´ on 267

u (t) = v (t) − Kx (t) con K = [K1 · · · Kn ]

(8.5)

en donde v (t) es la nueva entrada externa. El uso de −K x (t) en lugar de K x (t) es puramente convencional, ya que la realimentaci´ on es usualmente negativa. Con esta realimentaci´on se tiene la realizaci´ on (8.6): .

x (t) = (A − BK) x (t) + Bv (t) y (t) = Cx (t) que tiene el polinomio caracter´ıstico: aK (s) = det (sI − A + BK)

(8.6)

(8.7)

El objetivo es escoger K de modo que aK (s) = α (s) . Hay muchas maneras de determinar K, algunas de las cuales ser´an presentadas aqu´ı.

8.1.1

Algunas f´ ormulas para la ganancia de realimentaci´ on

Se deducir´ a la f´ormula de Bass y Gura que usa la siguiente identidad: det [In − P Q] = det [Im − QP ]

(8.8)

en donde In e Im son matrices identidad de dimensiones n × n y m × m, respectivamente, y P y Q son matrices de dimensiones n × m y m × n, respectivamente. De (8.7): aK (s) = det (sI − A + BK) io n h = det (sI − A) I + (sI − A)−1 BK i h = det (sI − A) det I + (sI − A)−1 BK

(8.9)

Usando la identidad (8.8) en (8.9):

de donde:

h i aK (s) = a (s) 1 + K (sI − A)−1 B

(8.10)

aK (s) − a (s) = a (s) K (sI − A)−1 B

(8.11)

Ambos lados de (8.11) son polinomios en s, y por lo tanto K se puede encontrar igualando los coeficientes que corresponden a iguales potencias de s. Para hacerlo se utilizar´ a la f´ ormula (8.12): (sI − A)−1

=

¡ ¢ 1 {sn−1 I + sn−2 (A + a1 I) + sn−3 A2 + a1 A + a2 I + · · · + a (s) ¡ ¢ +s An−2 + a1 An−3 + · · · + an−2 I ¡ ¢ +s◦ An−1 + a1 An−2 + · · · + an−1 I } (8.12)

268 REALIMENTACION LINEAL DE LAS VARIABLES DE ESTADO Con (8.12) en (8.11) se obtiene: α1 − a1 = KB,

α2 − a2 = KAB + a1 KB,

α3 − a3 = KA2 B + a1 KAB + a2 KB

y asi sucesivamente. Reescribi´endolas en forma matricial: ¤ £ KB, KAB + a1 KB, · · · , KAn−1 B + a1 KAn−2 B + · · · + an−1 KB   1 a1 a2 · · · an−1  0 1 a1 · · · an−2     ..  £ ¤ 2 n−1  1 ··· .  = K B, AB, A B, · · · , A B  0 0   . . .  .. ...  .. .. a1  0 0 ··· 0 1

α−a =

α − a = K C At

(8.13)

en donde: α = [α1 α2 · · · αn ] a = [a1 a2 · · · an ] ¤ £ C = B, AB, · · · , An−1 B

y A es una matriz Toeplitz triangular inferior con primera columna: t

[1 a1 · · · an−1 ]

(8.14)

K = (α − a) At C −1

(8.15)

Puesto que A es nosingular, se puede resolver (8.13) para hallar K para α y a arbitrarios, si y solo si C es nosingular. Se ha probado entonces que mediante realimentaci´ on de las variables de estado se pueden reubicar arbitrariamente los valores propios de ª © una realizaci´on {A, B, C}, si y solo si C = B, AB, · · · , An−1 B es no singular. Entonces la ganancia de realimentaci´ on requerida se puede calcular como: (8.15) es conocida como la f´ ormula de Bass-Gura para determinar K. La reubicaci´on de valores propios por realimentaci´on de las variables de estado ha sido llamada controlabilidad de modos. Not´ese de (8.15) que cambios grandes en los coeficientes de a (s) necesitar´ a, en general, valores m´ as grandes en las ganancias del vector K, con consecuentes dificultades en la implementaci´ on y operaci´ on (alejamiento del punto de operaci´on a una regi´ on no lineal, distorsi´ on en el transitorio, favorecimiento del ruido, etc). Note tambi´en que grandes valores de K podr´ıan ser debidos a que C es cercanamente singular.

8.1.2

Importancia de la forma can´ onica ”CONTROLLER”

Para controlabilidad de los estados, la forma can´ onica ”CONTROLLABILITY”, para la cual C = I es la m´ as conveniente. Tambi´en es u ´til para calcular K de (8.15); sin

8.1 Importancia de la forma can´onica ”CONTROLLER” 269 embargo, es posible encontrar una forma m´as simple. Recuerde que para la forma can´onica ”CONTROLLER” {Ac , Bc , Cc }, en donde Ac es una matriz ”companion” con [−a1 , −a2 , · · · , −an ] como primera fila, Bc tiene como primer elemento uno y los dem´as ceros, Cc−1 = At . Si se reemplaza ´esta en (8.15) se obtiene(8.16). Kc = α − a

(8.16)

Otra derivaci´ on de (8.16) se obtiene observando que, debido a la forma especial de Bc . 

− (a1 + Kc1 ) − (a2 + Kc2 ) · · · − (an + Kcn )  1 0 0   1 Ac − Bc Kc =   .. ..  . 0 . 0 1 0

la cual est´a todav´ıa en forma ”CONTROLLER”, y por lo tanto:

      

det (sI − Ac + Bc Kc ) = sn + (a1 + Kc1 ) sn−1 + · · · + (an + Kcn )

(8.17)

(8.18)

De (8.18) se obtiene inmediatamente (8.16). Lo anterior sugiere que una manera de resolver el problema para una realizaci´on general {A, B, C} es convertirla primero en una forma ”CONTROLLER” por medio de un cambio adecuado de variables: x (t) = T xc (t) con det T 6= 0

(8.19)

Con (8.19) en (8.1) se obtiene: A = T Ac T −1 B = T Bc

(8.20)

Se puede demostrar que si la nueva realizaci´on, en este caso tipo ”CONTROLLER”, es controlable, entonces: T = C Cc−1 Por lo tanto: ¡ ¢ aK (s) = det (sI − A + BK) = det sI − T Ac T −1 + T Bc K ª © = det T [sI − Ac + Bc KT ] T −1 = det T det (sI − Ac + Bc KT ) det T −1 As´ı:

(8.21)

270 REALIMENTACION LINEAL DE LAS VARIABLES DE ESTADO

aK (s) = det (sI − Ac + Bc KT ) KT = Kc

(8.22) (8.23)

Con (8.16), (8.21), sabiendo que Cc = A−t y reemplazando en (8.23), se obtiene de nuevo (8.15).

8.1.3

Otras f´ ormulas para la ganancia de realimentaci´ on

(8.15) es una f´ormula para K en t´erminos de los coeficientes del polinomio carcter´ıstico viejo y del nuevo. La siguiente es la f´ormula de Ackerman: K = qnt α (A)

(8.24)

en donde α (s) es el polinomio caracter´ıstico deseado, y qnt = [0 · · · 01] C −1

(8.25)

la u ´ltima fila de C −1 . (8.24) es u ´til algunas veces para an´alisis te´ oricos. Note que no se requiere un conocimiento expl´ıcito del polinomio original a (s) = det (sI − A) . Para demostrar (8.24) se supondr´a que se tiene una realizaci´ on tipo ”CONTROLLER”, en cuyo caso: t α (Ac ) Kc = α − a = qc,n

(8.26)

la u ´ltima fila de α (Ac ), porque: t qc,n

= [0 · · · 01] C −1 = [0 · · · 01] At  1 a1 · · · an−1  0 1 · · · an−2  = [0 · · · 01]  . . ..  .. .. . 0

Puesto que:

0

···

1



   = [0 · · · 01] 

+ · · · + αn I α (Ac ) = Anc + α1 An−1 c

(8.27)

y del teorema de Cayley-Hamilton que establece que cada matriz cuadrada, Ac en este caso, satisface su ecuaci´ on caracter´ıstica: a (s) = sn + a1 sn−1 + · · · + an = 0 + · · · + an I = 0 a (Ac ) = Anc + α1 An−1 c Entonces:

8.1 F´ ormula de Mayne-Murdoch. 271

Anc = − (8.28) en (8.27) y se obtiene:

n X

ai An−i c

(8.28)

i=1

n X (αi − ai ) An−i α (Ac ) = c

(8.29)

i=1

La propiedad de desplazamiento de las matrices ”companion” establece que: eti Ac = eti−1 2 ≤ i ≤ n et1 Ac = [−a1 − a2 · · · − an ]

(8.30)

en donde eti denota el vector fila [00 · · · 010 · · · 0] con el i ´esimo elemento igual a uno. Si la u ´ltima columna de la matriz ”companion” es − [an · · · a1 ]t , la propiedad de desplazamiento es de la forma:

A ei = ei+1 i = 1 2···n − 1

(8.31)

Utilizando (8.29) y la anterior propiedad en (8.24) se obtiene (8.32):

Kc

n X = etn α (Ac ) = (αi − ai ) etn An−i c i=1

= (α1 − a1 ) et1 + (α2 − a2 ) et2 + · · · + (αn−1 − an−1 ) etn−1 + (αn − an ) etn = [α1 − a1 α2 − a2 · · · αn−1 − an−1 αn − an ] O sea: Kc = α − a

(8.32)

que era lo que se quer´ıa demostrar. Note que (8.32) es la misma ecuaci´ on (8.16).

8.1.4

F´ ormula de Mayne-Murdoch

Ganancias de realimentaci´ on en t´erminos de los valores propios En muchos problemas son especificados los valores propios del sistema y, por prop´ ositos num´ericos, a veces es preferible trabajar directamente con ellos, al menos cuando son distintos. Suponga que A es diagonal con valores propios {λ1 · · · λn } y que las ra´ıces deseadas on (8.10) se obtiene: son {µ1 · · · µn }. De la ecuaci´ n

X Ki bi aK (s) = 1 + K (sI − A)−1 B = 1+ a (s) (s − λi ) i=1

(8.33)

272 REALIMENTACION LINEAL DE LAS VARIABLES DE ESTADO De (8.33) se nota que una regla para obtener Ki es expandir en fracciones parciales aK (s) ermino (s − λi )−1 por bi . a(s) y dividir el coeficiente del t´ M´as expl´ıcitamente, se multiplica ambos lados de (8.33) por (s − λi ) y se hace s = λi para obtener (8.34): Q (λi − µJ ) J (8.34) Ki bi = Q (λi − λJ ) J6=i

(8.34) muestra claramente que la ganancia de realimentaci´ on se incrementa a medida que aumenta la separaci´on entre los polos de lazo abierto y de lazo cerrado, |λi − µJ |. F´ ormulas expl´ıcitas para cuando A no es diagonalizable tambi´en se pueden obtener, aunque son de menos importancia.

8.1.5

Realimentaci´ on del estado y los ceros de la funci´ on de

transferencia Se ha demostrado que mediante realimentaci´on del estado se puede cambiar el denominador de la funci´ on de transferencia de a (s) a cualquier polinomio, m´ onico, α (s) del mismo grado. Se estudiar´a ahora el efecto sobre los ceros. Una manera simple es suponer que la realizaci´on es de tipo ”CONTROLLER”, {Ac , Bc , Cc }, en donde Ac es la matriz ”companion” con primer fila − [a1 · · · an ], Bct = [10 · · · 0] y Cc contiene los coeficientes de b (s), Cc = [b1 b2 · · · bn ] . Note que despu´es de realimentar el estado la realizaci´on es {Ac − Bc Kc , Bc , Cc }, la cual es todav´ıa del tipo ”CONTROLLER” y por lo tanto la funci´on de transferencia es: b (s) Y (s) = V (s) α (s) Es decir, la realimentaci´ on del estado no afecta los ceros de la funci´ on de transferencia, a menos, por supuesto, que sean cancelados por la escogencia apropiada del nuevo polinomio del denominador α (s). Por lo tanto, aqu´ella resuelve el problema de los ceros ubicados indeseablemente (limitaciones en las caracter´ısticas de fase y de atraso del sistema).

8.1.6

Realizaciones no controlables y estabilizables

Modos controlables e incontrolables. Suponga que se tiene una realizaci´on tipo diagonal y con todos los valores propios diferentes. .

x = Λx + Bu Λ = diag {λ1 · · · λn } ,

λi 6= λJ

F´ acilmente se puede demostrar que esta realizaci´on es controlable si y solo si cada uno de los elementos de B es diferente de cero. Si, por ejemplo, b1 = b3 = 0, entonces

8.1 Referencias diferentes de cero 273 la entrada est´a desacoplada de los correspondientes modos λ1 y λ3 , y por lo tanto, ninguna realimentaci´on puede afectarlos. Por eso, en una realizaci´on diagonal no controlable ciertos valores propios no se pueden reubicar, o en otras palabras, no pueden ser afectados por realimentaci´on del estado. Si estos modos son estables, entonces, en muchas situaciones, no es importante que no puedan ser afectados. Sin embargo, si son inestables, habr´ a problemas. Una realizaci´on es estabilizable si todos los valores propios inestables se pueden reubicar arbitrariamente por realimentaci´on de las variables de estado. Una realizaci´ on diagonal es estabilizable si y solo si los {bi } correspondientes a los inestables {λi } son diferentes de cero, es decir, si los modos inestables son todos controlables. Puesto que una realizaci´on {A, B} © con ªmatriz ”CONTROLLABILITY” C de rango r se puede transformar en el par A, B , en donde:

A=

·

Ac 0

|{z} r

©

A12 Ac

¸

|{z}

B=

·

Bc 0

¸

}r }n − r

n−r

ª entonces A, B , y por lo tanto {A, B} ser´a estabilizable si y solo si todos los valores propios de Ac tienen parte real negativa.

8.1.7

Reguladores, referencias diferentes de cero y seguimiento

Se ha demostrado que, dada una realizaci´ on {A, B, C} que es controlable, utilizando realimentaci´on de las variables de estado, u = −K x + v, se puede obtener una realizaci´ on {A − BK, B, C} con det (sI − A + BK) arbitrario. Este resultado se utiliza generalmente en problemas de regulaci´ on, en donde las condiciones iniciales difeon y la realirentes de cero, x (0) = x0 6= 0, provienen de alguna perturbaci´ mentaci´ on −K x se usa para restablecer el estado a cero a una velocidad determinada por los valo-res propios de A − BK. Un decaimiento bastante r´apido se puede obtener moviendo los valores propios lejos del eje imaginario en el semiplano complejo izquierdo, SCI, pero a un precio que tiene que ser pagado en t´ermino de alta energ´ıa del control, K grande, incremento en el ancho de banda del sistema en lazo cerrado y por lo tanto el incremento en la sensitividad al ruido, etc. As´ı, debe de haber un compromiso en la reubicaci´ on de los valores propios. Aqu´ı, sin embargo, se tratar´an algunos problemas que pueden ser tratados con peque˜ nas modificaciones a la soluci´on del problema del regulador. 8.1.7.1 Referencias diferentes de cero En el problema del regulador, el objetivo es regresar el estado x a cero, y por eso la entrada externa v es tomada como cero. Si se supone, sin embargo, que se desea tener: y (t) = Cx (t) → yd t→∞

274 REALIMENTACION LINEAL DE LAS VARIABLES DE ESTADO un valor deseado diferente de cero, en el estado estaen donde yd , o comando, es alg´ cionario, de la combinaci´ on C x (t) . Esto se puede lograr usando un comando de entrada constante vd tal que: .

x = 0 = (A − BK) xd + B vd yd = Cxd = −C (A − BK)−1 B vd = HK (0) vd en donde HK (s) es la funci´ on de transferencia en lazo cerrado: HK (s) = C (sI − A + BK)−1 B Note que (A − BK)−1 existe ya que K se escoge, presumiblemente, para que los valores propios de A − BK tengan partes reales suficientemente negativas, y en particular, ning´ un valor propio de A − BK es cero. Por lo tanto vd se puede determinar con la ecuaci´on: −1 vd = HK (0) yd

con la condici´ on de que HK (0) 6= 0, es decir, la funci´ on de transferencia en lazo cerrado no debe tener ceros en el origen. Pero, como se demostr´ o antes, los ceros de HK (s) son los mismos de la funci´on de transferencia original H(s). Por lo tanto, el comando de entrada vd se puede determinar si y solo si: H (0) = −CA−1 B 6= 0 Una vez encontrado vd , la respuesta del sistema se puede hallar, utilizando superposici´ on, como la suma de las soluciones a los casos: = vd , x (0) = xd = 0, x (0) = x0 − xd

1) v 2) v

As´ı, la respuesta, o salida del sistema, y(t), se puede expresar como: y (t) = yd + C x ˜ (t) en donde: . ˜

˜

x (t) = (A − BK) x (t)

con ˜

˜

x (0) = x0 − xd

Observe que x (t) → 0 a una velocidad determinada por los valores propios de t→∞ A − BK y, por lo tanto, y (t) → yd a esa misma rata. t→∞ Si el comando yd es cambiado,de manera suficientemente lenta, el anterior esquema puede desarrollar un trabajo razonable de seguimiento.

8.1 Perturbaciones de entrada constante y realimentaci´on integral 275 8.1.7.2 Perturbaciones de entrada constante y realimentaci´ on integral Suponga que en el modelo del sistema se tiene un vector de perturbaci´on w constante, pero desconocido.As´ı, el sistema se puede desribir mediante las ecuaciones: .

x = Ax + Bu + w, y = Cx

x (0) = x0

Si se usa realimentaci´on de las variables de estado, u (t) = −K x (t), para estabilizar el sistema original, la presencia de w producir´ a un valor de estado estacionario diferente de cero. Este valor se puede reducir incrementando K; sin embargo, este procedimiento tiene l´ımites debido a los efectos de saturaci´ on y ruido. Un m´etodo razonable podr´ıa ser tratar de estimar el descononido w de alguna manera y usar esta estimaci´on para cancelar la perturbaci´ on. Los efectos de vectores de perturbaci´ on constantes, a menudo, se pueden eliminar utilizando realimentaci´on integral del error. As´ı, se introduce una variable de estado adicional: q˙ (t) = y y se usa la realimentaci´ on: u (t) = Kx (t) − Kq q (t)

ley de control

Figura 8.2 Realimentaci´ on de las variables de estado y la integral de la salida El sistema aumentado en lazo cerrado es: ¸· ¸ · ¸ · . ¸ · x A − BK −BKq x w . = + q C 0 q 0 Si {K, Kq } se escogen de modo que el sistema sea estable, entonces el valor de y en el estado estacionario ser´ a cero, ya que de la segunda ecuaci´ on anterior: 0 = Cx (∞) = y (∞)

276 REALIMENTACION LINEAL DE LAS VARIABLES DE ESTADO Es importante notar que el error de estado estacionario es llevado a cero sin conocer la perturbaci´on w. Adem´ as, n´otese que usando un comando de entrada vd , o referencia, en adici´on a la realimentaci´ on integrativa se puede obtener un valor de estado estacionario y (∞) deseado. Ejemplo 8.1 .

Figura 8.3 Ejemplo En la l´ınea que conecta el centro de la tierra con el centro de la luna, hay un punto L1, Fig 8.3, en donde la fuerza de atracci´ on de la tierra sobre un sat´elite (en una o´rbita alrededor de la tierra con el mismo per´ıodo que la o´rbita de la luna) es exactamente igual a la fuerza de atracci´ on de la luna m´ as la fuerza centr´ıfuga. Sin embargo, este punto de equilibrio es inestable como se ver´ a. Despu´es se demostrar´a que usando realimentaci´on del estado, a trav´es de un peque˜ no motor de reacci´ on, un sat´elite en ese punto puede ser estabilizado. Las ecuaciones din´amicas para peque˜ nas desviaciones del punto de equilibrio se puede demostrar que son: ..

.

x −2ω y −9ω2 x = 0 .. . y +2ω x +4ω2 y = u en donde: x perturbaci´ on de la posici´ on radial. y perturbaci´ on de la posici´ on acimutal. 2 u = F/mω F fuerza del motor en la direcci´ on y, m masa del sat´elite 2π ω = rad. d´ıa−1 29 1) Con u = 0, demostrar que el punto de equilibrio es inestable. 2) Para estabilizar el sistema, usar realimentaci´ on de las variables de estado: .

.

u = −K1 x − K2 x −K3 y − K4 y

8.1 Perturbaciones de entrada constante y realimentaci´on integral 277 Determinar los Ki de modo que el sistema en lazo cerrado tenga los polos en s = −3ω, s = −4ω, y s = (−3 ± j3) ω. 3) Dise˜ nar un controlador con la anterior realimentaci´ on y con un comando de referencia para la posici´ on y. 4) Explicar porqu´e un controlador como el anterior para la posici´ on x no puede ser dise˜ nado para el sat´elite. Soluci´ on: .

.

1) Utilizando como variables de estado x, x, y, y , entonces: 

0  9ω 2 A=  0 0

1 0 0 −2ω

0 0 0 −4ω 2

La ecuaci´on caracter´ıstica es:

 0 2ω   1  0



 0  0   B=  0  1

a (s) = det (sI − A) = s4 − ω2 s2 − 36ω 4 cuyas ra´ıces se determinan con: √ ¢ ¡ √ ω2 1 ± 145 ω 4 + 144ω 4 = s = 2 2 Por lo tanto, los valores propios son: 2

ω2 ±

{±ω2.35,

±jω2.55}

y el sistema es claramente inestable. 2) Como ¡el sistema es controlable, ya que la matriz de controlabilidad C ∗ (A, B) es no ¢ singular det C ∗ = −36ω4 , se puede reubicar los valores propios por realimentaci´on de las variables de estado. El polinomio caracter´ıstico deseado es: α (s) = (s + 3ω) (s + 4ω) (s + 3ω + j3ω) (s + 3ω − j3ω) = s4 + 13ωs3 + 72ω 2 s2 + 198ω 3 s + 216ω 4 Utilizando la f´ormula de Bass-Gura, por ejemplo, ´o por comparaci´ on de coeficientes con el polinomio det (sI − A + BK) se obtiene: K4 = 13ω

K3 = −28ω 2

K2 = 50.5ω

K1 = 157.5ω2

3) Como la salida es y, entonces: C = [0 0 1 0] Calculando: HK (0) = −C (A − BK)−1 B = −

1 24ω 2

278 REALIMENTACION LINEAL DE LAS VARIABLES DE ESTADO Por lo tanto: −1 (0) yd = −24ω 2 yd vd = HK

y la soluci´ on por realimentaci´ on, ley de control, es: u (t) = −Kx − 24ω2 yd en donde: £ K = 157.5ω 2

50.5ω

− 28ω 2

4) En este caso la salida ser´ıa x, y entonces:

13ω

¤

C = [1 0 0 0] −1 Si se calcula −C (A − BK) B = 0 para todo K. As´ı, es imposible encontrar una entrada vd para ajustar cualquier valor deseado de x.

8.1.7.3 Observaciones finales La escogencia de un conjunto de valores propios deseados, depende de criterios de funcionamiento de dise˜ no tales como el tiempo de crecimiento, tiempo de establecimiento, el m´ aximo sobrepaso, la magnitd m´ axima de las se˜ nales, etc. Aunque estos criterios sean precisamente especificados, no hay respuesta simple al problema propuesto. Una manera de proceder es por simulaci´on en el computador. Por supuesto el conjunto de valores propios obtenidos no ser´a u ´nico. La u ´nica manera sistem´atica conocida para las ganancias de realimentaci´ on, y consecuentemente un conjunto u ´nico de valores propios es minimizando el ´ındice de desarrollo cuadr´ atico: Z ∞h i t t x (t) Qx (t) + u (t) Ru (t) dt J= 0

K se puede determinar resolviendo la ecuaci´ on algebraica de Riccati. Sin embargo, no existe ninguna regla espec´ıfica para escoger las matrices Q y R en el anterior ´ındice cuadr´atico. Esta metodolog´ıa est´a fuera del alcance de este libro. Una de las ventajas de la t´ecnica propuesta en este cap´ıtulo es que el procedimiento consiste de dos pasos independientes. El primero supone que todas las variables de estado est´an disponibles para prop´ositos de realimentaci´ on. Naturalmente esto es impr´actico ya que implicar´ıa conseguir un gran n´ umero de sensores. La suposici´ on de la disponibilidad de las entradas meramente permiten proceder con el primer dise˜ no, que se llamar´ a ley de control. El paso restante consiste en dise˜ nar un ”estimador” u ”observador asint´otico” el cual permite estimar todo el vector de estado. El controlador final, o compensador, consistir´ a de la combinaci´on de la ley de control y el estimador, en donde la ley de control se basa en los estados estimados en lugar de los estados actuales, o reales.

CAPITULO

9

˜ DE OBSERVADORES DISENO ASINTOTICOS Y COMPENSADORES Si una realizaci´on {A, B, C} es controlable, entonces la realimentaci´on de las variables de estado puede reubicar los valores propios de A a donde se desee. Se discutir´ a el problema de obtener los estados de la realizaci´ on conociendo u ´nicamente la entrada u y la salida y del sistema. Si el sistema es observable, mediante diferenciaci´ on se pueden calcular los estados. Est´a t´ecnica es por supuesto impr´ actica y se desarrollar´ a un estimador de estado m´as real´ıstico conocido como observador asint´ otico. Su nombre es debido a que los estados se pueden obtener u ´nicamente con un error tal que tiende a cero a una rata exponencial deseada. Se ver´ a que las ecuaciones de dise˜ no para el controlador no se afectan por el hecho de que se usen los estados aproximados en lugar de los verdaderos. Se ver´a adem´as que la configuraci´ on total del observador-controlador es internamente estable. Sin embargo, el uso de los estados estimados en lugar de los verdaderos para realimentaci´ on, podr´ıa conducir en general a un deterioro de la respuesta transitoria.

9.1

Observadores asint´ oticos para medida de los

estados Se desea determinar los estados de la realizaci´ on:

.

x (t) = Ax (t) + Bu (t) , x (0−) = x0 y (t) = Cx (t) , t > 0− 279

280 DISENO DE OBSERVADORES ASINTOTICOS Y COMPENSADORES suponiendo conocidos y (t) y u (t) . Si se conocen A, B, C, y (t) y u (t) se puede simular el sistema y usar como entrada a u (t). El problema sin embargo es que no se conoce el estado energ´etico inicial (e.e.i) x (0−) = x0 . Se puede demostrar que con u (t) = 0, t ≤ 0− : h it O.x (0−) = y (0−) , · · · , y (n−1) (0−) © ª de la cual podr´ıa hallarse x (0−) si se da y (0−) , · · · , y (n−1) (0−) como parte del problema.

9.1.1

Un observador en lazo abierto.

Si se simula el sistema {A, B, C} con el e.e.i correcto y se excita con la entrada {u (t) , t > 0−}, se puede obtener {x (t) , t > 0−}. Observe que es una estrategia en lazo abierto y es susceptible, por lo tanto, a perturbaciones y no hay medio para compensar por algunos errores.

Figura 9.1 Sistema original y simulaci´ on Suponga que el e.e.i de la simulaci´ on tiene un ligero error; es decir se tiene x ˆ0 , x0 +ζ, kζk 1 | · A {z p

Aˆp = V ∗ D.ˆ p/V , para otros valores de p donde: [V, D] = eig (A)

B.12

Funciones matriciales

MATLAB considera expresiones como exp (A) y sqrt (A) como operaciones sobre cada uno de los elementos de la matriz. Se pueden calcular tambi´en funciones trascendentales matriciales, tales como la matriz exponencial y la matriz logaritmo, las cuales se definen solo para matrices cuadradas (son generalmente dif´ıciles de calcular). Una funci´ on matem´atica trascendental se interpreta como una funci´on matricial si se adiciona una m al nombre de la funci´ on, ejemplo: expm (A) y sqrtm (A). Hay 3 definidas expm, logm y sqrtm. Otras funciones matriciales elementales incluyen: poly, polinomio caracter´ıstico. det, determinante. trace, la traza, y otras.

B.13

Operaciones sobre arreglos

Esto se refiere a operaciones aritm´eticas sobre cada elemento de una matriz. 0 Un punto (.) precediendo un operador (∗, \, /, ˆ, ) indica una operaci´on sobre arreglos.

B.15 Operaciones l´ ogicas

305

Para suma y resta, las operaciones sobre arreglos y sobre matrices son las mismas, as´ı + y − se pueden considerar como operaciones sobre matrices o arreglos. .∗ denota la multiplicaci´ on de arreglos. Ejemplo B.11 . Si: x = [1 2 3] ;

y = [4 5 6] ;

entonces: z = x. ∗ y = [4 10 18] A ./B y A .\B dan los cocientes de los elementos individuales. Ejemplo B.12 . z = x.\y = [4.0000 2.5000 2.0000] .ˆ denota potencias de arreglos. Ejemplo B.13 . Para el x y y anterior: z = x.ˆy = [1 32 729] z = x.ˆ2 = [1 4 9] (el exponente es un escalar) z = 2.ˆ [x y] = [2 4 8 16 32 64] (la base es un escalar)

B.14

Operaciones relacionales

Se dispone de 6 operadores relacionales para comparar 2 matrices de iguales dimensiones. < menor que. mayor que. >= mayor o igual que. == igual. ˜ = no igual. MATLAB compara los pares de elementos correspondientes. El resultado es una matriz con unos y ceros, en donde uno representa ”cierto” y cero ”falso”. Ejemplo B.14 . 2 + 2 ∼= 4 es simplemente cero

306 PROGRAMA MATLAB

B.15

Operaciones l´ ogicas

Los operadores &, | y ∼ son los operadores l´ogicos ”Y ”, ”O” y ”N O”. C = A & B es una matriz cuyos elementos son unos en donde A y B tengan elementos diferentes de cero, y ceros en donde cualquiera tenga un cero. A y B deben tener las mismas dimensiones, a menos que una sea un escalar. Un escalar puede operar con otro escalar o una matriz. C = A | B es una matriz cuyos elementos son unos en donde A o B tengan elementos diferentes de cero, y ceros en donde ambas tengan ceros. A y B deben tener las mismas dimensiones, a menos que una sea un escalar. B =∼ A es una matriz cuyos elementos son unos en donde A tiene ceros y ceros en donde A tiene elementos diferentes de cero. Las funciones any y all son u ´tiles con operaciones l´ogicas. any (x) retorna 1 si cualquiera de los elementos de x son diferentes de cero, retorna cero de otra manera. all (x) retorna 1 s´ olo si todos los elementos de x son diferentes de cero. Estas funciones son u ´tiles particularmente en declaraciones como: if all (A < 0.5) haga algo end Si los argumentos de any y all son matrices, retorna un vector fila con el resultado para cada columna. Para las siguientes funciones relacionales y l´ ogicas: any, all, find, exist, isnan, isinf , f inite, isempty, isstr, isglobal, issparse, usar help para saber que hacen.

B.16

Funciones matem´ aticas

Un conjunto de funciones matem´ aticas elementales se aplican a los arreglos. Ejemplo B.15 . A = [1 2 3; 4 5 6] · ¸ −1 1 −1 B = cos (pi ∗ A) = 1 −1 1

MATLAB incluye todas las funciones trigonom´etricas y exponenciales: sin, cos, tan, asin, acos, atan, atan2, sinh, cosh, tanh, asinh, acosh, atanh. Incluye estas funciones elementales: abs, angle, sqrt, real, imag, conj, round, fix, floor, ceil, sign, rem, gcd, lcm, exp, log, log10. Algunas funciones especiales suministran capacidades m´as avanzadas: bessel, beta, gamma, rat, erf , erf inv, ellipk, ellipj. As´ı como las funciones elementales, las especiales tambi´en operan sobre arreglos cuando los argumentos son matrices.

B.18 Referencia a los elementos de una matriz

B.17

307

Manipulaci´ on de vectores y matrices

Generaci´ on de vectores. La declaraci´on x = 1 : 5 genera un vector fila que contiene los n´ umeros de 1 a 5 con incrementos unitarios. Es decir: x=12345 Se pueden usar incrementos diferentes a la unidad: y = 0 : pi/4 : pi resulta en: y = 0.0000 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416 Los incrementos tambi´en pueden ser negativos: z = 6 : −1 : 1 da: z=654321 La notaci´on (:) permite la generaci´ on f´acil de tablas. Para obtener una tabla en forma vertical se traspone el vector fila obtenido de la notaci´ on (:), se calcula una columna de los valores de una funci´ on y luego se forma la matriz de las 2 columnas. Ejemplo B.16 . 0

x = (0.0 : 0.2 : 3.0) ; y = exp (−x) . ∗ sin (x) ; [x y] produce: ans =

0.0000 0.2000 .. .

0.0000 0.1627 .. .

3.0000

0.0070

Otras funciones para generar vectores son: logspace, la cual genera vectores uniforme y logar´ıtmicamente espaciados, y linspace, la cual permite especificar el n´ umero de puntos, mejor que el incremento: k = linspace (−pi, pi, 4) k = −3.1416

− 1.0472 1.0472 3.1416

308 PROGRAMA MATLAB

B.18

Referencia a los elementos de una matriz

Los elementos individuales de una matriz se pueden referenciar indicando su posici´on en par´entesis. Por ejemplo A (i, j) se refiere al elemento de la i-´ esima fila, j-´ esima columna. Un ´ındice puede ser un vector. Si x y v son vectores, entonces x (v) es: [x (v (1)) , x (v (2)) , · · · , x (v (n))] En matrices, vectores como ´ındice permiten el acceso a submatrices contiguas y no contiguas. Por ejemplo sup´ ongase que A es una matriz de 10×10, enotnces A (1 : 5, 3) especif´ıca la submatriz de 5×1 (vector columna) que contiene los primeros 5 elementos en la tercera columna de A. As´ı mismo, A (1 : 5, 7 : 10) es la submatriz de 5×4 cuyos elementos son las primeras 5 filas y las u ´ltimas 4 columnas de A. Usar (:) (”colon”) en lugar de un ´ındice indica todas las correspondientes filas o´ columnas. Por ejemplo A (:, 3) es la tercera columna de A y A (1 : 5, :) contiene las primeras 5 filas de A. Efectos sofisticados se obtienen referenciando submatrices en ambos lados de una declaraci´on de asignaci´ on. Ejemplo B.17 . A (:, [3 5 10]) = B (:, 1 : 3) reemplaza la tercera, quinta y decima columnas de A con las 3 primeras columnas de B. En general, si v y w son vectores cuyos elementos son enteros, entonces A (v, w) es la matriz obtenida tomando los elementos de A con ´ındices fila de v e ´ındices columna de w. As´ı A (:, n : −1 : 1) invierte las n columnas de A. Ejemplo B.18 . v = 2 : 2 : n; w = [3 1 4 1 6] ; A (v, w) A (:) en el lado derecho de una declaraci´on de asignaci´ on denota todos los elementos de A pero organizados en un vector columna. Ejemplo B.19 . A = [1 2 ; 3 4 ; 5 6]

B.21 Matrices especiales

309

b = A (:) resulta en: 

   b=   

1 3 5 2 4 6

       

A (:) en el lado izquierdo de una declaraci´on de asignaci´ on denota una matriz con las mismas dimensiones de A pero con el nuevo contenido de lado derecho de la asignaci´on. Por ejemplo, la matriz A anterior es de 3 × 2, A (:) = 11 : 16 es ahora:   11 14 A =  12 15  13 16

B.19

Referencia a los elementos de una matriz

usando vectores con ceros y unos Se pueden usar vectores con ceros y unos, creados generalmente de operaciones relacionales, para referirse a submatrices. Si A es una matriz de dimensiones m × n y L es un vector de longitud m de ceros y unos, entonces A (L, :) especifica las filas de A en donde los elementos de L son diferentes de cero. x = x (x 100 ; x = x (L, :) ; reemplaza x con aquellas filas de x cuya tercera columna es mayor que 100.

B.20

Matrices vac´ıas

La declaraci´on x = [ ] asigna una matriz de dimensi´ on 0 × 0 a x. El uso subsecuente de esta matriz no conduce a una condici´ on de error, propaga matrices vac´ıas. La funci´ on exist sirve para probar la existencia de una matriz, y la funci´on isempty sirve para indicar si una matriz es vac´ıa. Una manera eficiente de remover filas y columnas de una matriz es asignarles una matriz vac´ıa. Ejemplo B.20 .

310 PROGRAMA MATLAB

A (:, [2 4]) = [] borra las columnas 2 y 4 de A.

B.21

Matrices especiales

Una colecci´ on de funciones generan matrices especiales del a´lgebra lineal y en procesamiento de se˜ nales: compan, diag, gallery, hadamard, hankel, hilb, toeplitz, vander, etc. Ejemplo B.21 . Para generar la matriz ”companion” asociada con el polinomio: s3 − 7s + 6 p = [1 0 − 7 6] A = compan (p) genera:



 0 7 −6 A= 1 0 0  0 1 0

Los valores propios de A son las ra´ıces del polinomio: t

eig (A) = [−3 2 1]

Otras funciones que generan matrices son: zeros, ones, rand, randn, eye, linspace, logspace, meshgrid (usar help para m´as detalles).

B.22

Construcci´ on de matrices m´ as grandes

Se pueden formar matrices mas grandes de matrices peque˜ nas, delimit´ andolas coni h 0 corchetes, [ y ]. Por ejemplo, si A es cuadrada, C = A A ; ones (size (A)) A.ˆ2 crea una matriz dos veces el tama˜ no de A. Las dimensiones de las matrices m´ as peque˜ nas deben ser consistentes. Otras funciones que manipulan matrices son: rot90, f liplr, flipud, diag, tril, triu, etc. La funci´ on size devuelve un vector con dos elementos: el n´ umero de filas y el n´ umero de columnas de una matriz. La funci´ on length devuelve la longitud de un vector.

B.24 Polinomios y procesamiento de se˜ nales

B.23

311

Funciones matriciales

Factorizaci´ on triangular : la funci´ on lu factoriza una matriz cuadrada con el producto de dos matrices esencialmente triangulares. Para obtener las dos matrices utilizar: [L, u] = lu (A) Factorizaci´ on ortogonal : la funci´ on qr, u ´til para matrices cuadradas y rectangulares, expresa la matriz como el producto de una matriz ortonormal y una matriz superior. Las dos matrices se obtienen con: [Q, R] = qr (A) Descomposici´ on en valores singulares: la asignaci´ on [U, S, V ] = svd (A) produce los tres factores en esta descomposici´on (”singular value decomposition”). Las matrices U y V son ortogonales y la matriz S es diagonal. Los elementos de la diagonal de S son los valores singulares de A. Vectores y valores propios: la asignaci´ on [x, D] = eig (A) retorna en los elementos de la diagonal de D los valores propios de A y en las columnas de x los correspondientes vectores propios.

B.24

Polinomios y procesamiento de se˜ nales

Representaci´ on de polinomios. MATLAB los representa como vectores fila que contienen los coeficientes ordenados por potencias descendientes. Si:   1 2 3 A= 4 5 6  7 8 0

su ecuaci´on caracter´ıstica se calcula con:

p = poly (A) p = [1 − 6 − 72 − 27] que es la representaci´ on del polinomio s3 − 6s2 − 72s − 27. Las ra´ıces de esta ecuaci´ on son: r = roots (p) 

 12.1229 r =  −5.7345  −0.3884

312 PROGRAMA MATLAB Estas ra´ıces son, por supuesto, los mismos valores propios de la matriz A. Tambi´en se pueden obtener el polinomio original con poly : p2 = poly (r)

p2 = [1 − 6 − 72 − 27] Sea a (s) = s2 + 2s + 3 y b (s) = 4s2 + 5s + 6. El producto de los dos polinomios es la convoluci´ on de los coeficientes. a = [1 2 3] ;

b = [4 5 6]

c = conv (a, b)

c = [4 13 28 27 18] Se usa deconvoluci´ on para dividir polinomios: [q, r] = deconv (c, a)

q = [4 5 6]

r = [0 0 0 0 0] Otras funciones polinomiales son: poly, roots, polyval (evaluaci´ on polinomial), polyvalm (evaluaci´ on de un polinomio matricial), residue (expansi´ on en fracciones parciales), polyder, polyfit.

B.25

Procesamiento de se˜ nales

En procesamiento de se˜ nales, los vectores pueden contener datos de se˜ nales muestradas ´ secuencias. Para sistemas con m´ o ultiples entradas, cada fila de una matriz correponde a un punto de muestra con los ”canales” distribuidos a lo largo de las columnas de la matriz. Algunas funciones para el procesamiento de se˜ nales son: abs, angle, conv, cov, deconv, f ft, if f t. La herramienta ”signal processing” del MATLAB suminitra muchas funciones para el procesamiento de se˜ nales.

B.27 Funciones como funci´on

B.26

313

Filtraje de datos

La funci´ on y = f ilter (b, a, x) filtra los datos del vector x con el filtro descrito por los vectores a y b. Los datos filtrados son devueltos en el vector y. La ecuaci´on de diferencia del filtro es: y (n) = b (1) x (n) + b (2) x (n − 1) + · · · + b (nb ) x (n − nb + 1) + −a (2) y (n − 1) − · · · − a (na ) y (n − na + 1) o la funci´ ´ on de transferencia z : b (1) + b (2) z −1 + · · · + b (nb ) z −(nb −1) Y (z) = H (z) = x (z) 1 + a (2) z −1 + · · · + a (na ) z −(na −1)

Por ejemplo, para encontrar y graficar la respuesta al impulso (con n puntos) de un filtro digital: x = [1 zeros (1, n − 1)] ; y = filter (b, a, x) ; plot (y,0 o0 ) la funci´ on freqz retorna la respuesta frecuencial de filtros digitales. La respuesta frecuencial es H (z) evaluada alrededor del c´ırculo unitario en el plano complejo, z = ejω . Se puede usar freqz para encontrar y graficar la respuesta frecuencial con n puntos. [h, w] = f reqz (b, a, n) ; mag = abs (h) ; phase = angle (h) ; semi log y (w, mag) plot (w, phase) La herramienta ”signal processing” incluye numerosas funciones para el dise˜ no de filtros digitales. Sabiendo algunas t´ecnicas de dise˜ no de filtros, muchos m´etodos son posibles. Por ejemplo, las t´ecnicas de la transformaci´on bilineal y el mapeo de polos y ceros convierten prototipos en el dominio s al dominio z. ff t (x) es la transformada discreta de Fourier del vector x. ff t (x, n) es la transformada discreta de Fourier del vector x con n puntos. Si x es una matriz, f ft (x) es la transformada r´ apida de Fourier de cada columna de x. if f t (x) es la transformada r´ apida inversa del vector x.

314 PROGRAMA MATLAB

B.27

Funciones como funci´ on

Una clase de funciones en MATLAB no trabaja con matrices num´ericas, si no con funciones matem´ aticas. Estas funciones como funci´ on incluyen: a) Integraci´on num´erica. b) Ecuaciones no lineales y optimizaci´ on. c) Soluci´ on de ecuaciones diferenciales. MATLAB representa funciones matem´aticas declar´ andolas como funci´ on en archivos tipo m. Por ejemplo, la funci´ on: f (x) =

1 1 + −6 2 (x − 0.3) + 0.01 (x − 0.9)2 + 0.04

se puede generar en MATLAB creando un archivo tipo m llamado humps.m con las siguientes declaraciones: f unction y = humps (x)

y = 1./ ((x − .3) .ˆ2 + .01) + 1./ ((x − .9) .ˆ2 + .04) − 6; Una gr´afica de esa funci´ on es, por ejemplo: x = −1 : .01 : 2; plot (x, humps (x) ,0 w0 )

100 80 60 40 20 0 -20 -1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Figura B.1 Gr´ afica de la funci´ on ”humps”

2

B.30 Funciones de ecuaciones diferenciales.

B.28

315

Integraci´ on num´ erica

El area bajo la curva f (x) se puede calcular num´ericamente integrando f (x) . La funci´ on que se usa es quad ´o quad8. Por ejemplo, para integrar la funci´ on definida en humps.m desde 0 hasta 1 : q = quad (0 humps0 , 0, 1) q = 29.8583 N´otese que el primer argumento de la funci´ on quad es el nombre del archivo, que contiene la funci´ on matem´atica, entre comillas simples.

B.29

Ecuaciones no lineales y funciones de

optimizaci´ on fmin m´ınimo de una funci´on de una variable. fmins m´ınimo de una funci´on multivariable. fzero cero de una funci´ on de una variable. Ejemplo B.22 . xm = f min (0 humps0 , .5, 1) xm = 0.6370 es el m´ınimo de la funci´ on definida en humps.m en la regi´on 0.5 a 1. El valor de la funci´ on en el m´ınimo es: y = humps (xm) y = 11.2528 xz1 = fzero (0 humps0 , 0) localiza el cero cerca a x = 0, es decir: xz1 = −0.1316 y: xz2 = fzero (0 humps0 , 1) localiza el cero cerca a x = 1, es decir: xz2 = 1.2995 La herramienta ”optimization” del MATLAB contiene varias funciones de funciones para ecuaciones no lineales y optimizaci´ on.

316 PROGRAMA MATLAB

B.30

Funciones de ecuaciones diferenciales

Las funciones para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias son: ode23 m´etodo de Runge-Kutta de orde 2/3. ode45 m´etodo de Runge-Kutta de orde 4/5. Sea la ecuaci´ on diferencial de Vander Pol: ¡ ¢ .. x + x2 − 1 x˙ + x = 0

Reescribi´endola como ecuaciones de estado:

¡ ¢ x˙ 1 = x1 1 − x22 − x2 x˙ 2 = x1 El primer paso es crear una funci´ on en un archivo tipo m con estas ecuaciones diferenciales. Si el archivo es llamado vdpol.m, entonces debe contener: f unction xdot = vdpol (t, x)

xdot = zeros (2, 1) ;

xdot (1) = x (1) . ∗ (1 − x (2) .ˆ2) − x (2) ; xdot (2) = x (1) ; Para simular la ecuaci´ on diferencial definida en vdpol.m en el intervalo 0 ≤ t ≤ 20, se usar´a ode23. to = 0 ; tf = 20;

0

xo = [0 0.25] ; % condiciones iniciales

[t, x] = ode23 (0 vdpol0 , to, tf, xo)

plot (t, x,0 w0 )

B.32 Gr´aficos en dos dimensiones.

317

3 2 1 0 -1 -2 -3 0

5

10

15

20

Figura B.2 Gr´ aficas de las variables de estado de la ecuaci´ on de Vander Pol Para trabajar con ecuaciones diferenciales o´ simulaci´ on, el MATLAB tiene otra herramienta especializada llamada ”Simulink”, la cual se estudiar´a en detalle posteriormente.

B.31

Gr´ aficos

El sistema de gr´ aficos del MATLAB suministra una variedad de t´ecnicas sofisticadas para presentar y visualizar datos. Este sistema utiliza objetos gr´aficos, tales como l´ıneas y superficies, los cuales se pueden controlar con los valores de las propiedades de los objetos. Sin embargo, ya que el MATLAB implementa un rico conjunto de funciones gr´ aficas de alto nivel (en 2 y 3 dimensiones), la mayor´ıa de las veces no es necesario accesar estos objetos gr´ aficos a bajo nivel. Se describir´a como usar las capacidades gr´aficas de alto nivel del MATLAB para presentar los datos.

B.32

Gr´ aficos en dos dimensiones

Existe una variedad de funciones para presentar datos como gr´aficos en dos dimensiones. Cada una acepta entradas en forma de vectores o matrices y autom´ aticamente escalan los ejes para acomodar los datos de entrada. plot crea una gr´afica de vectores o´ columnas de matrices. loglog crea una gr´afica usando escalas logar´ıtmicas en ambos ejes. semilogx crea una gr´afica usando una escala logar´ıtmica para el eje x y una escala lineal para el eje y. semilogy grafica con escala logar´ıtmica para el eje y y escala lineal para el x. Se pueden adicionar t´ıtulos, etiquetas de ejes, cuadr´ıculas y texto al gr´ afico usando:

318 PROGRAMA MATLAB title adiciona un t´ıtulo al gr´afico. xlabel adiciona una etiqueta al eje x. ylabel adiciona una etiqueta al eje y. text muestra una cadena de caracteres en la localizaci´ on que se especifique. gtext coloca texto en el gr´ afico usando el rat´on (”mouse”). grid habilita la cuadr´ıcula. ginput permite leer valores del gr´ afico con el rat´on.

B.33

Creaci´ on de un gr´ afico

Si y es un vector, plot (y) produce un gr´afico lineal de los elementos de y contra el ´ındice de los elementos de y. Si se especifican dos vectores como argumentos, plot (x, y) produce un gr´afico de y contra x. Tambi´en se pueden especificar m´ ultiples conjuntos de datos y definir el color y estilo de l´ınea para ser usado con cada conjunto de datos. Ejemplo B.23 . t = 0 : pi/100 : 2 ∗ pi; x = sin (t) ; y1 = sin (t + .25) ; y2 = sin (t + .5) ; plot (x, y1,0 r−0 , x, y2,0 g − −0 ) plot genera un gr´afico de y1 contra x y y2 contra x en los mismos ejes. El primer conjunto de datos ser´ıa graficado con una l´ınea s´olida roja y el segundo conjunto con una l´ınea discontinua verde. Con el fin de mostrar las gr´aficas, en lugar del comando anterior se usar´a: plot (x, y1,0 w−0 , x, y2,0 w − −0 ) el cual permite ver las gr´ aficas en la pantalla con fondo negro y las curvas blancas. Sin embargo al importarlas a este texto los dos colores anteriores se intercambian. Las siguientes declaraciones le adicionan un t´ıtulo al gr´afico y etiquetas a los ejes: title (0 f ase0 ) ¢ ¡ xlabel 0 x = sen (t)0

B.34 Estilos de l´ıneas, marcadores y colores.

319

¡ 0¢ ylabel 0 y = sen (t+)

Los resultados de este ejemplo se muestran en la Fig. B.3. fase 1

y=sen(t+)

0.5

0

-0.5

-1 -1

-0.5

0 x=sen(t)

0.5

1

Figura B.3 Resultados del ejemplo B.23

B.34

Estilos de l´ıneas, marcadores y colores

En la declaraci´ on plot (x, y, s), s es una cadena de 1, 2 ´o 3 caracteres (entre comillas simples) para especificar el estilo de l´ınea y colores en la gr´ afica. Los caracteres usados se muestran en la siguiente tabla: s´ımbolo y m c r g b w k

color amarillo f ucsia cyan rojo verde azul blanco negro

s´ımbolo • ◦ x + ∗ − .. −. −−

color punto c´ırculo x m´ as estrella continua punteada raya − punto discont´ınua

si no se especifica un color, la funci´ on plot autom´aticamente usa los colores de arriba. Para una l´ınea, el color por defecto es amarillo, ya que ´este es el color m´as visible sobre un fondo negro. Para m´ ultiples l´ıneas, la funci´ on plot utiliza en forma c´ıclica

320 PROGRAMA MATLAB los 6 primeros colores de la tabla. Los s´ımbolos •, ◦, x, + y ∗ son marcadores escalables.

B.35

Adici´ on de l´ıneas a un gr´ afico existente

Se pueden adicionar l´ıneas a un gr´afico existente utilizando el comando hold. Cuando se usa la declaraci´on hold on, MATLAB no remueve las l´ıneas existentes y se pueden adicionar nuevas l´ıneas en los ejes actuales. Sin embargo, los ejes se pueden reescalar si los nuevos datos est´ an fuera del rango de los datos anteriores. Por ejemplo, utilizando los mismos datos del ejemplo anterior: plot (x,0 w−0 ) ;

plot (y1,0 w − −0 ) ;

hold on ;

plot (y2,0 w − .0 ) ;

hold of f

Estas declaraciones producen un gr´afico con tres curvas como se muestra en la Fig. B.4.

1

0.5

0

-0.5

-1 0

50

100

150

200

250

Figura B.4 Gr´aficas de x, y1, y2 del ejemplo B.23

B.36

Datos complejos

Cuando los argumentos de plot son complejos, la parte imaginaria es ignorada excepto cuando el argumento de plot es uno s´olo. En este caso, se obtiene una gr´ afica de la parte real contra la parte imaginaria. As´ı, plot (z), en donde z es un vector o´ una matriz de complejos, es equivalente a plot (real (z) , imag (z)) .

B.38 Gr´ aficos de matrices.

321

Ejemplo B.24 . plot (eig (randn (20, 20)) ,0 x0 ) Esta gr´afica se muestra en la Fig. B.5.

4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5

0

5

Figura B.5 Gr´ afica del ejemplo B.24 Para graficar m´as de una matriz compleja, se deben tomar expl´ıcitamente las partes reales e imaginarias.

B.37

El archivo tipo m ”peaks”

Futuros ejemplos usan el archivo tipo m llamado peaks para generar una matriz de datos. Los datos se basan en una funci´on de dos variables que tiene m´aximos y m´ınimos: ³x ´ 2 2 2 2 2 2 1 − x3 − y5 e−x −y − e−(x+1) −y f (x, y) = 3 (1 − x)2 e−x −(y+1) − 10 5 3 El archivo peaks crea una matriz que contiene los valores de la funci´ on para valores de x y y en el rango de −3 a 3. Los valores de x var´ıan a lo largo de las columnas y los de y a lo largo de las filas. Se puede espec´ıficar el tama˜ no de la matriz cuadrada pas´andole un argumento a peaks. Ejemplo M = peaks (20) ; crea una matriz de datos de 20 × 20. Si se omite el argumento de entrada, por defecto el tama˜ no es 49.

B.38

Gr´ aficos de matrices

La funci´ on plot puede tomar un solo argumento matricial: plot (Y ) .

322 PROGRAMA MATLAB Ella dibuja una curva por cada columna de Y . El eje x corresponde al ´ındice de las filas, 1 : m, en donde m es el n´ umero de filas en Y . Por ejemplo, plot (peaks,0 w−0 ) produce un gr´ afico con 49 curvas. V´ease Fig. B.6.

10

5

0

-5

-10 0

10

20

30

40

50

Figura B.6 Resultado de plot(peaks,0 w−0 ) Esta gr´afica es una vista desde la superficie peaks mirando a lo largo del eje x (es on = 0◦ ). decir, una vista desde el azimuth = 90◦ y elevaci´ La funci´ on plot tambi´en acepta dos vectores o dos matrices como argumentos. Por ejemplo, plot (peaks, rot90 (peaks) ,0 w−0 ) . V´ease Fig. B.7.

10

5

0

-5

-10 -10

-5

0

5

10

Figura B.7 Resultado de plot(peaks, rot(peaks),0 w−0 )

B.38 Gr´ aficos de matrices.

323

En general, si plot es usada con dos argumentos y si X ´ o Y tienen m´as de una fila o´ columna, entonces: a) Si Y es una matriz y x es un vector, plot (x, Y ) grafica sucesivamente las filas o´ columnas de Y contra el vector x, usando diferentes colores ´o tipos de l´ıneas para cada una. La orientaci´on por filas o´ columnas se selecciona dependiendo del n´ umero de elementos en x. Es decir, si x tiene m elementos y Y es m × n entonces se grafican las columnas de Y contra x; y si x tiene n elementos y Y es m × n se grafican las filas de Y contra x. Si Y es cuadrada, se grafican las columnas. b) Si X es una matriz y y es un vector, plot (X, y) grafica cada fila o columna de X contra el vector y. Ejemplo B.25 . y = 1 : 49;

plot (peaks, y,0 w−0 )

V´ease Fig. B.8.

50 40 30

20 10 0 -10

-5

0

5

10

Figura B.8 Resultados del ejemplo B.25 c) Si X y Y son matrices del mismo tama˜ no, plot (X, Y ) grafica las columnas de X contra las columnas de Y. Se puede usar la funci´ on plot con m´ ultiples pares de argumentos matriciales: plot (X1 , Y1 , X2 , Y2 , · · ·) Cada par X −Y es graficado generando m´ ultiples curvas. Los diferentes pares pueden ser de dimensiones diferentes. Ejemplo B.26 . Almacenar en un archivo tipo m la siguiente matriz:

324 PROGRAMA MATLAB weather =

[30 31 38 49 59 68 74 72 65 55 45 34

4.0 3.7 4.1 3.7 3.5 2.9 2.7 3.7 3.4 3.4 4.2 4.9]

con el nombre mweather.m. Las declaraciones: temp = weather (:, 1) ;

precip = weather (:, 2) ;

despu´es de usar la declaraci´ on mweather, almacena las columnas de temperatura y precipitaci´ on en vectores individuales. Graficar la temperatura contra el n´ umero del mes y la precipitaci´on contra el n´ umero del mes en la misma ventana, utilizando plot y subplot: subplot (2, 1, 1) ; plot (temp) subplot (2, 1, 2) ; plot (precip)

80 60 40 20 0

2

4

6

8

10

12

2

4

6

8

10

12

5 4 3 2 0

Figura B.9 Gr´ aficas del ejemplo B.26 La Fig. B.9 muestra las dos curvas. Las siguientes declaraciones producen un gr´ afico como se muestra en la Fig. B.10 que muestra la relaci´on entre temperatura y precipitaci´on mes a mes:

B.39 Funciones especiales para gr´aficas en dos dimensiones.

325

mes = [0 Ene0 ;0 F eb0 ;0 M ar0 ;0 Abr0 ; ... 0 M ay 0 ;0 Jun0 ;0 Jul0 ;0 Ago0 ; ... 0 Sep0 ;0 Oct0 ;0 N ov0 ;0 Dic0 ]; plot (temp, precip,0 wo0 ) axis ([28 80 2.5 5.2]) text (temp, precip, mes) xlabel (0 temp0 ) ylabel (0 precip0 ) title (0 Boston0 )

Boston 5

Dic

precip

4.5 4

Ene

Mar

Nov Abr

Feb 3.5

Ago Oct

May

3

Sep Jun Jul

2.5

30

40

50

60

70

80

temp

Figura B.10 Relaci´ on entre temperatura y precipitaci´ on cada mes La declaraci´on axis en el ejemplo anterior adiciona espacio extra al gr´ afico, definiendo expl´ıcitamente el escalamiento de los ejes a valores mayores que el rango de datos. Esto permite que el texto permanezca dentro de los l´ımites del cuadro del gr´ afico.

326 PROGRAMA MATLAB

B.39

Funciones especiales para gr´ aficas en dos

dimensiones bar crea una gr´afica de barras. compass crea una gr´afica de a´ngulos y magnitudes de n´ umeros complejos con flechas emanando desde el origen. errorbar crea una gr´afica con barras de error. feather crea una gr´afica de a´ngulos y magnitudes de n´ umeros complejos con flechas emanando desde puntos igualmente espaciados a lo largo de un eje horizontal. fplot evalua una funci´ on y grafica los resultados. hist crea un histograma. polar crea una gr´afica en coordenadas polares. quiver crea una gr´afica de un gradiente u otro campo vectorial. rose crea un histograma de ´angulos. stairs crea una gr´afica similar a una de barras, pero sin las l´ıneas internas. fill dibuja un pol´ıgono y lo llena con colores s´ olidos o´ interpolados. Ejemplo B.27 . Crear la funci´on: f unction y = f ofx (x) y = cos (tan (pi ∗ x)) ; con el nombre f of x.m. Despu´es, dentro del MATLAB correr: f plot (0 fof x0 , [0 1]) para graficar la funci´ on correspondiente en el intervalo (0, 1) . Esta gr´afica se puede comparar con la que se obtiene de la siguiente manera: x = (0 : 1/2000 : 1)0 ; plot (x, cos (tan (pi ∗ x))) Los dos gr´aficos se pueden ver, como se muestra en la Fig. B.11, en la misma ventana as´ı: subplot(2, 1, 1); x = (0 : 1/2000 : 1)0 ; plot (x, cos (tan (pi ∗ x)))

B.40 Gr´ aficos en 3 dimensiones. Gr´ aficos de l´ıneas.

327

subplot (2, 1, 2) ; f plot (0 f of x0 , [0 1])

1

0

-1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1

0

-1 0

Figura B.11 Gr´ aficos del ejemplo B.27 La funci´ on f plot tiene la ventaja de que muestrea la funci´ on a intervalos m´ as cercanos en la regi´on en donde la rata de cambio es mayor, generando as´ı una figura m´as precisa cerca a x = 0.5 en este caso particular.

B.40

Gr´ aficos en 3 dimensiones. Gr´ aficos de l´ıneas.

El an´alogo tridimensional a la funci´ on plot es plot3. Si x, y, z son 3 vectores de la misma longitud, plot3 (x, y, z) genera una l´ınea que pasa a trav´es de los puntos cuyas coordenadas son los elementos de x, y, z y luego produce una proyecci´ on bidimensional de esa l´ınea en la pantalla. Ejemplo B.28 . t = 0 : pi/50 : 10 ∗ pi; plot3 (sin (t) , cos (t) , t) ;

328 PROGRAMA MATLAB produce una figura como la de un resorte. V´ease Fig. B.12.

40 30 20 10 0 1 1 0

0 -1

-1

Figura B.12 Figura del ejemplo B.28 Tambi´en se pueden usar matrices en lugar de vectores: plot3 (X, Y, Z, S). Se grafican las lineas obtenidas de las columnas de X, Y, Z. S es lo mismo que en la funci´ on plot. O tambi´en se pueden combinar los gr´aficos definidos por las cu´adruples (x, y, z, s) : plot3 (x1, y1, z1, s1, x2, y2, z2, s2, · · ·) en donde todas las xi, yi y zi son vectores ´o matrices y las si cadenas como en la funci´ on plot.

B.41

”Meshgrid”

MATLAB define una superficie en forma de malla mediante las coordenadas z de puntos por encima de una cuadr´ıcula rectangular en el plano x − y. La gr´ afica se forma uniendo puntos adyacentes con l´ıneas rectas. Estas superficies son u ´tiles para visualizar matrices que son demasiado grandes para mostrar en forma num´erica, o´ para graficar funciones de dos variables. El primer paso para mostrar (en pantalla) una funci´on de dos variables, z = f (x, y) , es generar dos matrices X y Y que consisten de filas repetidas y columnas repetidas, respectivamente, sobre el dominio de la funci´ on. Despu´es se usan estas matrices para evaluar y graficar la funci´ on. La funci´ on meshgrid transforma el dominio especificado por dos vectores, x y y, en matrices X y Y . Luego se usan estas matrices para evaluar funciones de dos variables. Las filas de X son copias del vector x, y las columnas de Y con copias del vector y. Es importante notar que si x tiene m elementos, y tiene n elementos, entonces X es

B.41 ”Meshgrid”.

329

de dimensi´ on n × m y Y tambi´en. Ejemplo B.29 . que produce la superficie popularmente conocida Considere la funci´ on sinc (r) = sin(r) r como el ”sombrero” como se muestra en la Fig. B.13. Se evaluar´a esta funci´ on para el rango de x entre −8 y 8, y y entre −10 y 10. : x = −8 : 0.5 : 8; y = −10 : 0.5 : 10; [X, Y ] = meshgrid (x, y) R = sqrt (X.ˆ2 + Y.ˆ2) + eps; Z = sin (R) ./R; mesh (x, y, Z)

1 0.5 0 -0.5 10 10 0

0 -10

-10

Figura B.13 Superficie del ejemplo B.29 Las funciones contour y contour3 sirven para generar gr´aficas de contorno (de nivel) en 2 y 3 dimensiones, respectivamente.

330 PROGRAMA MATLAB Ejemplo B.30 . contour (peaks, 20)

contour3 (peaks, 20) Usar el comando help para m´as informaci´ on.

B.42

Pseudocolor en gr´ aficas

´ pcolor (Z) muestra en cada punto Z(i, j) un color. Este se determina de un mapa de colores con un ´ındice (n´ umero) obtenido escalando el valor del elemento Z(i, j) de la matriz Z. El mapa de colores es una matriz con tres columnas que especifica la intensidad de las tres componentes de video, rojo, verde y azul. El comando para el mapa de colores es colormap(map), donde map es una matriz con cualquier n´ umero de filas y tres columnas. La intensidad de los colores se puede especificar en el rango 0.0 a 1.0. Ejemplo [0 0 0] es negro y [1 1 1] es blanco. Los objetos gr´aficos que usan pseudocolor (objetos SURFACE y PATCH), los cuales son creados con las funciones mesh, surf , y pcolor, mapean una matriz de color, C, cuyos valores est´an en el rango [Cm´ın, Cm´ ax], a un arreglo de ´ındices, K, en el rango [1, m] . Los valores de Cm´ın y Cm´ ax son min (min (C)) y max (max (C)), o son especificados por caxis. El mapeo es lineal, con Cm´ın mapeando el ´ındice 1 y Cm´ ax el ´ındice m. Los ´ındices son luego usados con colormap para determinar el color asociado con cada elemento de la matriz. Usar help color para ver mapas de colores ya predefinidos, tales como hsv, gray, hot, cool, bone, copper, pink, etc. Ejemplo B.31 . z = peaks ;

colormap (bone)

pcolor (z) Las funciones contour y pcolor muestran esencialmente la misma informaci´ on sobre la misma escala. De hecho, a veces es u ´til superponer las dos. Para eliminar las l´ıneas de la cuadr´ıcula en el gr´ afico pcolor se debe cambiar el modo ”shading” a f lat. Para usar l´ıneas negras para todos los contornos, especificar 0 k0 para su color.

B.43 Gr´aficas en malla y superficie.

331

Ejemplo B.32 . colormap (hot) pcolor(peaks) shading f lat hold on contour(peaks, 20,0 k0 ) hold of f El MATLAB tambi´en maneja la funci´on image que es similar a pcolor. Ambas producen figuras bidimensionales con valores de brillo o´ color proporcionales a los elementos de una matriz dada. Sin embargo, image est´a dise˜ nada para mostrar fotograf´ıas, pinturas, etc., mientras pcolor es dise˜ nada para visualizar objetos matem´aticos m´ as abstractos. Usar help para m´as informaci´ on.

B.43

Gr´ aficas en malla y superficie

mesh y surf muestran superficies en tres dimensiones. Si Z es una matriz cuyos elementos Z(i, j) definen la altura de una superficie sobre una cuadr´ıcula inferior (i, j), entonces mesh (Z) genera una vista de la superficie en malla y a colores. Similarmente surf (Z) genera una vista de la superficie con cuadril´ ateros en malla de color constante, delineados con l´ıneas negras. La funci´ on shading permite eliminar las l´ıneas en malla o escoger interpolaci´ ´ on en el ”shading”. Cuando mesh (Z) y surf (Z) se usan con una sola matriz como argumento, este argumento especifica tanto la altura como el color de la superficie. Ejemplo B.33 . mesh (peaks) surf (peaks) Con dos matrices como argumentos, las declaraciones mesh (Z, C) y surf (Z, C) especifican independientemente el color usando el segundo argumento. As´ı como con pcolor (C), los valores de C se escalan y se utilizan como ´ındices en el mapa actual de color.

332 PROGRAMA MATLAB Ejemplo B.34 .

C

= del2 (peaks) ; % funci´ on que calcula el laplaciano discreto de % cualquier matriz.

surf (peaks, C) ; % renglones con curvaturas similares se dibujan en el colormap (hot) % mismo color. Se pueden eliminar partes de una superficie con datos tipo NaN , ya que estos no son graficados. Esto crea huecos en la superficie en la localizaci´ on correspondiente. Llenando elementos de la matriz de color con datos tipo N aN se obtienen regiones de la superficie invisibles. Ejemplo B.35 . p = peaks ; p (30 : 40, 20 : 30) = nan ∗ p (30 : 40, 20 : 30) ; mesh (peaks, p) La Fig. B.14 muestra la superficie del ejemplo B.35.

10 5 0 -5 -10 60 60

40

40

20

20 0

0

Figura B.14 Superficie del ejemplo B.25 Usar help sobre las funciones surf c, meshz, surf l para m´as informaci´ on.

B.44 Algunas funciones para gr´aficos de prop´osito general.

B.44

333

Algunas funciones para gr´ aficos de prop´ osito

general La funci´on view permite especificar el a´ngulo desde el cual se ve un gr´ afico tridimensional. Se debe especificar el azimuth y la elevaci´on del punto desde donde se quiere ver, con respecto al origen de los ejes como se muestra en la Fig. B.15. El formato de la funci´ on es: view(azimuth, elevaci´ on). Como ejemplo se puede utilizar la matriz peaks para ver su superficie desde varios puntos.

Figura B.15 Convenci´ on para los ´angulos azimuth y elevaci´ on La funci´ on axis permite seleccionar el escalamiento, orientaci´ on y relaci´ on de ejes de los gr´ aficos. Generalmente, el MATLAB encuentra el m´aximo y el m´ınimo de los datos a graficar y escoger una caja apropiada para el gr´ afico (l´ımites). Los l´ımites de los ejes se pueden cambiar as´ı: axis ([xm´ın xm´ ax ym´ın ym´ ax zm´ın zm´ ax]) Para gr´aficos bidimensionales se omiten los u ´ltimos dos argumentos. axis (0 auto0 ) retorna al escalamiento por defecto. v = axis guarda el escalamiento de los ejes en el vector v. axis (axis) congela el escalamiento a los l´ımites actuales. axis (0 ij 0 ) cambia el origen del sistema de coordenadas as´ı: el origen queda en la esquina superior izquierda, el eje i es vertical y se numera de arriba hacia abajo, y el eje j es horizontal y se numera de izquierda a derecha. Estos son llamados ejes matriciales.

334 PROGRAMA MATLAB axis (0 xy 0 ) pone los ejes en el modo caartesiano (por defecto). on ancho-altura del gr´afico y la relaci´ on axis (0 square0 ) y axis (0 equal0 ) afectan la relaci´ entre las escalas de los ejes x y y. axis manipula el objeto axes, el cual es un objeto gr´ afico. subplot (m, n, p) divide la ventana de la pantalla para m × n subgr´aficos y escoge el gr´ afico p como el actual. Los gr´ aficos se numeran a lo largo de la fila, luego la segunda, etc. Usar la funci´on figure sin argumentos abre una nueva ventana. figure (N) hace la figura N la figura actual. Usar help para informaci´on sobre la funci´ on moviein, movie. La funci´ on ginput permite usar el mouse o las teclas de direcci´ on para escoger puntos en un gr´afico. Ella retorna las coordenadas de la posici´ on del ”se˜ nalador”, ya sea cuando el bot´on del mouse o una tecla se presiona. Las cualidades gr´aficas discutidas hasta ahora comprenden la interfase a alto nivel del sistema gr´ afico del MATLAB. Sin embargo, este sistema tambi´en suministra un conjunto de funciones a bajo nivel que permiten crear y manipular l´ıneas, superficies y otros objetos gr´aficos que el MATLAB usa para producir gr´aficos sofisticados. Para m´as informaci´ on referirse a la gu´ıa del usuario del MATLAB (p´ags 2-101 a 2-123).

B.45

Flujo de control

MATLAB tiene declaraciones de flujo de control como las encontradas en la mayor´ıa de los lenguajes de computador. Esto permite que el MATLAB sea utilizado como un lenguaje de programaci´ on de alto nivel.

B.46

Lazos f or

La forma general para el lazo f or es: f or

v = expresi´ on declaraciones

end La expresi´on es actualmente una matriz. Las columnas de la matriz se asignan una a una a la variable v y luego son ejecutadas las declaraciones. Una manera m´ as clara de lograr lo mismo es as´ı: E = expresi´ on ; [m, n] = size (E) ; for J = 1 : n v = E (: , J) ; declaraciones end Usualmente, expresi´ on es algo como m : i : n, que es una matriz con una sola fila,

B.47 Lazos while.

335

y por lo tanto sus columnas son escalares. En este caso especial, el lazo f or de MATLAB es como los lazos F OR o DO de otros lenguajes. Ejemplo B.36 . Graficar la respuesta al escal´on unitario de un sistema de segundo orden con frecuencia on de amortiguamiento variando desde 0 hasta 1. natural 1 rad seg y relaci´ t = 0 : 0.5 : 19.5; r = 0.05 : 0.05 : 1.0; n = 1; % numerador de la FT f or j = 1 : 1 : 20 d = [1 2 ∗ r (j) 1] ; % denominador de la FT Y (:, j) = step (n, d, t) ; % respuesta al escal´on % unitario end mesh (r, t, Y ) hold on ylabel (0 tiempo0 ) xlabel (0 amortiguamiento0 ) zlabel (0 respuesta0 ) view (60, 30) La Fig. B.16 muestra los resultados del ejemplo B.36.

Respuesta

2 1.5 1 0.5 0 0 0.5 Amortiguamiento

1

0

5

10

15

Tiempo

Figura B.16 Resultados del ejemplo B.36

B.47

Lazos while

20

336 PROGRAMA MATLAB Su forma general es: while expresi´on declaraciones end Las declaraciones se ejecutan repetidamente siempre y cuando todos los elementos en la matriz expresi´ on sean diferentes de cero. La matriz expresi´on es casi siempre una expresi´ on relacional 1 × 1, en este caso expresi´ on 6= 0 corrsponde a true (cierto). Cuando la matriz expresi´ on no es un escalar, se puede reducir usando las funciones any y all. Ejemplo B.37 . Este ejemplo encuentra el primer entero n para el cual n! es un n´ umero de 100 d´ıgitos. n = 1; while prod (1 : n) < 1.0 e 100 ; n = n + 1; end n

B.48

Declaraciones if y break

Ejemplo B.38 . Se muestra como un c´alculo se puede dividir en tres casos, dependiendo del signo y la paridad de n : umero positivo = 0 ); n = input(0 Entre un n´ % Datos por teclado If n < 0 disp (0 Es negativo 0 ) parid elseif

rem (n, 2) == 0 disp (0 Es par 0 )

else disp (0 Es impar 0 ) end Debe archivarse como archivo tipo m con el nombre parid.m. Ejemplo B.39 . Se lee un n´ umero positivo por teclado. Si es par se divide por 2, si es impar se multiplica por 3 y se le suma 1. Se repite el proceso hasta que el entero llega a 1. ¿Existe alg´ un entero para el cual el proceso no termina?.

B.50 Archivos ”script”.

337

while 1 n = input(0 Entre n > 0.0 ); if n 1 if rem(n, 2) == 0 n = n/2; else end;

n = 3 ∗ n + 1;

end; end;

B.49

Archivos tipo m

MATLAB puede ejecutar secuencias de comandos que son almacenados en un archivo. Los archivos de disco que contienen declaraciones del MATLAB son llamados archivos m porque tienen un tipo de archivo con .m como la u ´ltima parte del nombre del archivo (la extensi´ on). Por ejemplo, un archivo llamado bessel.m contiene declaraciones del MATLAB que evaluan las funciones de Bessel. Un archivo m consiste de una secuencia de declaraciones normales del MATLAB, las cuales posiblemente incluyan referenc´ıas a otros archivos m. Un archivo m se puede llamar a si mismo recursivamente y se puede crear usando un editor de texto o un procesador de palabra. Dos tipos de archivos m se pueden usar: los que automatizan secuencias de comandos (archivos ”script”) y las funciones que hacen m´as extensible el MATLAB. Gran parte de la potencia del MATLAB consiste en que permite crear nuevas funciones que resuelven problemas espec´ıficos del usuario. Ambos tipos de archivo son ordinariamente archivos de texto ASCII.

B.50

Archivos ”script”

Cuando un archivo de estos es invocado, MATLAB simplemente ejecuta los comandos encontrados en el archivo. Las declaraciones operan globalmente sobre los datos en el espacio de trabajo. Estos archivos son u ´tiles para desarrollar an´ alisis, resolver problemas o dise˜ nar largas secuencias de comandos que se vuelven dif´ıciles de manejar interactivamente. Ejemplo B.40 .

338 PROGRAMA MATLAB El archivo llamado ”fibno.m” contiene los siguientes comandos: % Este es un archivo para calcular % los n´ umeros de F ibonacci. f = [1 1] ; i = 1; while f (i) + f (i + 1) < 1000 f (i + 2) = f (i) + f (i + 1) i=i+1 end plot (f ) Escribiendo f ibno causa que es el MATLAB ejecute los comandos. Calcula los primeros 16 n´ umeros de F ibonacci y crea una gr´ afica. Despu´es de que la ejecuci´ on del archivo est´ a completa, las variables f e i permanecen en el espacio de trabajo. Los ”demos” del MATLAB son buenos ejemplos de como usar estos archivos para desarrollar tareas m´ as complicadas. Cuando se invoca el MATLAB, autom´aticamente ejecuta un archivo llamado ”matlabrc.m”,el cual corre el archivo ”startup.m”, si ´este existe, en el cual se pueden entrar constantes f´ısicas, factores de conversi´on, o cualquier otra cosa que se quiera predefinir en el espacio de trabajo.

B.51

Archivos funci´ on

Un archivo m que contiene la palabra ”function” al comienzo de la primera l´ınea es un archivo funci´ on. Este difiere del ”script” en que se le pueden pasar argumentos, y las variables definidas y manipuladas dentro del archivo son locales a la funci´on y no operan globalmente en el espacio de trabajo. Los archivos funci´ on son u ´tiles para extender el MATLAB, es decir, crear nuevas funciones del MATLAB utilizando su propio lenguaje. Ejemplo B.41 . El archivo ”media.m” con las siguientes declaraciones es una funci´ on: function [med, desv] = media (x) % Retorna el valor medio y la desviaci´on est´andar de los elementos del vector x. % Retorna un vector fila que contiene el valor medio y la desviaci´ on est´andar % de cada columna cuando x es una matriz. [m, n] = size (x) ; if m == 1 m=n; end med = sum (x) /m; desv = sqrt (sum (x.ˆ2) /m − med.ˆ2) ; Se puede utilizar con: z = 1 : 99;

B.53 Comandos ”echo”, ”input”, ”keyboard”, y ”pause”.

339

[me, de] = media (z) lo cual resulta en: me = 50

de = 28.5774 N´ otese que: 1) La primera l´ınea declara el nombre ”function”, los argumentos de entrada x (si es m´ as de uno, se separan por comas) y los argumentos de salida, med y desv. 2) El s´ımbolo ” % ” indica que el resto de la l´ınea es un comentario y debe ser ignorada. 3) Las primeras pocas l´ıneas documentan el archivo M y la muestra cuando se escribe ”help media ”. 4) Las variables m, n, med y desv son locales a la funci´ on media y no existen en el espacio de trabajo despu´es de que media ha terminado (o si exist´ıan previamente, permanecen sin cambiar). 5) El vector z que conten´ıa los enteros de 1 a 99 fu´e pasado o copiado en media en donde llega a ser una variable local llamada x.

B.52

Ayuda en l´ınea para los archivos m

Se puede crear ayuda en l´ınea para los archivos m entrando texto en una o m´as l´ıneas de comentario, empezando con la segunda l´ınea del archivo. As´ı cuando se entra help media (ver ejemplo anterior), las l´ıneas 2, 3 y 4 se muestran. Son las primeras l´ıneas contiguas de comentarios. El sistema de ayuda ignora las l´ıneas que aparecen posteriores a cualquier declaraci´on ejecutable o a´ un una l´ınea en blanco.

B.53

Comandos ”echo”, ”input”, ”keyboard”, y

”pause” Normalmente mientras un archivo m se ejecuta, los comandos en el archivo no se muestran en la pantalla. El comando echo hace que los archivos m se vean en la medida que se ejecutan, lo cual es u ´til para depuraci´on o para demostraciones. La funci´ on input obtiene entrada del usuario. As´ı: n = input (0 Entre un entero0 )

340 PROGRAMA MATLAB muestra el mensaje ”Entre un entero”, espera y luego asigna a n el valor o expresi´on entrada por el teclado. La funci´ on keyboard invoca el teclado del computador como un ”script”. Cuando se usa en archivos m es u ´til para depuraci´ on o para modificar variables durante la ejecuci´ on. El comando pause hace que un procedimiento pare y espere que el usuario presione cualquier tecla antes de continuar. pause (n) pausa durante n segundos antes de continuar.

B.54

Variables globales

Generalmente cada funci´on del MATLAB, definida por un archivo m, tiene sus propias variables locales, las cuales son separadas de aquellas de otras funciones, de aquellas del espacio de trabajo y de aquellas de archivos ”script”. Sin embargo, si varias funciones y posiblemente el espacio de trabajo, declaran todas un nombre particular como global, entonces todos comparten una copia u ´nica de esa variable. Cualquier asignaci´on a esa variable, en cualquier funci´ on, es disponible a todas las otras funciones que la declaran global. El formato es: global Nombrevariable1 Nombrevariable2 ... En las funciones esta declaraci´ on se puede hacer despu´es de las primeras l´ıneas de comentario.

B.55

Cadenas de texto

Las cadenas de texto se entran en MATLAB delimitadas por comillas simples. Por ejemplo: s = 0 Hola0 resulta en: s = Hola El texto se almacena en un vector, un caracter por elemento. En este ejemplo: size (s)

ans = 14 indica que s tiene cuatro elementos. Los caracteres son almacenados como sus valores ASCII y abs muestra estos valores:

B.56 La funci´on ”eval”.

341

abs (s)

ans = 72 111 108 97 la funci´ on setstr permite mostrar el vector como texto en lugar de mostrar los valores ASCII. disp muestra el texto en la variable. Otras funciones u ´tiles son: isstr la cual detecta caracteres, y strcmp, la cual compara cadenas de caracteres. El uso de corchetes concatena variables de texto en cadenas mas largas: s = [s,0 amigos0 ]

s = Hola amigos Valores num´ericos son convertidos a caracteres con sprintf , num2str, int2str. Los valores num´ericos son a veces concatenados para poner t´ıtulos en gr´aficos que incluyen valores num´ericos: f = 70; c = (f − 32) /1.8; title ([0 la temperatura del cuarto es 0 , num2str (c) , 0 grados C 0 ])

B.56

La funci´ on ”ev al”

La funci´ on eval trabaja con variables de texto para implementar una poderosa facilidad al estilo macro. eval (t) hace que el texto contenido en t sea evaluado. Si CADENA es el texto fuente para cualquier expresi´ on o declaraci´ on del MATLAB, entonces: t = 0 CADENA0 ; codifica el texto en t. Escribir t imprime el texto (en pantalla) y eval (t) hace que el texto sea interpretado, como una declaraci´ on o como un factor en una expresi´on. Ejemplo B.42 .

342 PROGRAMA MATLAB

t = 0 1/ (i + j − 1)0 ; f or i = 1 : n f or

j=1:n a (i, j) = eval (t) ;

end end genera la matriz del Hilbert de orden n. Se puede usar eval e input para escoger una de varias tareas definidas en archivos m. Ejemplo B.43 . En este ejemplo los archivos m tienen los nombres : resist.m, induct.m y conden.m. elementos = [0 resist0 ; 0 induct0 ; 0 conden0 ] ; K = input (0 Escoja n´ umero de elemento : 0 ) ;

eval (elementos (K, :)) N´otese que el n´ umero de columnas en elementos implica que cada fila debe tener el mismo n´ umero de caracteres. Ejemplo B.44 . En este ejemplo se muestra como eval puede usar el comando load para cargar 10 archivos de datos numerados secuencialmente: nombre ar = 0 misdatos0 ; f or i = 1 : 10 eval ([ 0 load 0 , nombre ar, int2str (i)]) end

B.57

Como incrementar velocidad y memoria

Para obtener la m´axima velocidad del MATLAB, se debe hacer el esfuerzo de vectorizar los algoritmos en los archivos m. Siempre que sea posible, convertir lazos f or y while a operaciones con vectores o matrices. Ejemplo B.45 . Una manera de obtener el seno de 1001 n´ umeros desde el 1 hasta 10 es:

B.58 Archivos de entrada y salida.

343

i = 0; for t = 0 : .01 : 10 i = i + 1; y (i) = sin (t) ; end Una versi´ on con vectores del mismo c´ odigo es: t = 0 : .01 : 10 ; y = sin (t) ; si no se puede vectorizar un pedazo de c´ odigo, los lazos f or se pueden acelerar preubicando los vectores en los cuales los resultados son almacenados. Por ejemplo, al incluir la primer declaraci´ on que usa la funci´ on zeros, el lazo f or se ejecuta mas r´apido en: y = zeros (1, 100) ; for i = 1 : 100 end

¢ ¡ y (i) = det X ˆ i ;

Si no se preubican vectores, el interpretador del MATLAB debe cambiar el tama˜ no del vector y a un elemento m´as grande cada vez en el lazo de iteraci´ on. Si el vector es prelocalizado, se elimina este paso y ejecuta m´as r´apido. El esquema de prelocalizaci´ on tiene un segundo beneficio: usa memoria m´ as eficientemente. Durante una sesi´on del MATLAB, la memoria tiende a fragmentarse. Aunque se haya dejado mucha memoria libre, podr´ıa no haber suficiente espacio contiguo para sostener una variable grande. As´ı, preubicaci´ on ayuda a reducir la fragmentaci´on.

B.58

Archivos de entrada y salida

Las funciones de archivos de entrada y salida del MATLAB permiten leer datos, directamente en el MATLAB, que han sido guardados en otro formato, o escribir datos generados en el MATLAB en formatos requeridos por otro programa o dispositivo. Las funciones leen y escriben archivos en formato de texto y archivos de datos binario. Estas funciones son basadas en las funciones de archivos de entrada y salida del lenguaje C. Informaci´ on adicional se puede encontrar en la gu´ıa del usuario del MATLAB.

APENDICE

C

INTRODUCCION AL SIMULINK

C.1

Introducci´ on

El SIMULINK es una herramienta del MATLAB que permite simular sistemas tanto lineales como no lineales interactuando con el usuario de una manera gr´ afica. una vez se est´e dentro del MATLAB. Para entrar al programa se escribe simulink Se presenta un pantallazo con varias ventanas (cajas) que contienen los diferentes bloques de simulaci´on. Estas ventanas son: ”sources” (fuentes), ”sinks” (sumideros), ”discrete” (discretos), ”linear” (lineales), ”nonlinear” (no lineales), ”connections” (conexiones) y ”extra” (extras).

Sources

Sinks

Discrete

Linear

Nonlinear Connections

Extras

SIMULINK Block Library (Version 1.3c)

Figura C.1 Librer´ıas del Simulink Una sesi´ on t´ıpica comienza por definir un modelo o traer un modelo ya definido y luego se procede al an´ alisis del modelo. Los modelos se crean y editan principalmente con comandos manejados por el ”mouse”. Despu´es de definir un modelo se puede analizar escogiendo opciones de los men´ us del SIMULINK o entrando comandos en la ventana de comandos del MATLAB. El progreso de una simulaci´ on se puede ver mientras est´a corriendo, y los resultados finales se pueden hacer disponibles en el a´rea de trabajo del MATLAB cuando la simulaci´ on est´ a completa.

345

346 INTRODUCCION AL SIMULINK

C.2

Construcci´ on de un modelo

La definici´ on de un sistema en el SIMULINK es como la representaci´ on del sistema en diagramas de bloques, en donde ´estos son copiados de las librer´ıas de bloques del SIMULINK (las anteriores ventanas) o las que se contruyan. La librer´ıa est´andar se organiza en varios subsistemas, agrupando bloques de acuerdo a su comportamiento, por ejemplo ”sources” contiene bloques para generar se˜ nales. Se pueden abrir presionando dos veces el bot´on izquierdo (doble click) del mouse. Los bloques que all´ı se presentan se pueden copiar donde se desee, por ejemplo en el modelo que se est´e creando, se˜ nalizandolos con el bot´on izquierdo del mouse y arrastr´ andolo (sin soltar el bot´on). Un sistema nuevo se puede abrir seleccionando ”new” del men´ u ”file”, a lo cual aparece una ventana vac´ıa. La mayor´ıa de los bloques se pueden abrir para mostrar sus par´ametros en ventanas ´ separadas. Estas permiten controlar el comportamiento del bloque modificando los valores de sus par´ametros. Por ejemplo, el bloque ”signal generator” (generador de se˜ nales) del subsistema ”sources” tiene como par´ ametros la forma de onda, amplitud y frecuencia. Otro bloque importante del subsistema ”sources” es el denominado ”from workspace” (del espacio de trabajo) el cual sirve para recibir en el SIMULINK cualquier se˜ nal o se˜ nales que se deseen del MATLAB en una matriz cuya primer columna tiene los instantes de tiempo y las dem´ as columnas las se˜ nales correspondientes. Signal Source Library 12:34 Clock

Signal Generator

Digital Clock 1 Constant

Sine Wave

Step Input

untitled.mat

[T,U]

From File

Random Number

Repeating Sequence

Pulse Generator

From Workspace Chirp Signal

Band-Limited White Noise

Figura C.2 Librer´ıa de ”sources” El subsistema ”sinks” contiene bloques que en general son utilizados como salidas:

C.2 Construcci´ on de un modelo

347

osciloscopios (”scope”) graficadores (”graph”) y un bloque llamado ”to workspace” (al espacio de trabajo) el cual sirve para mandar las se˜ nales (respuestas, por ejemplo) que se deseen de la simulaci´on al espacio de trabajo en una matriz, en donde cada columna corresponde a cada respuesta o salida, y las filas al ´ındice de cada instante de simulaci´ on. Para enviar el vector que contiene los intantes de tiempo al MATLAB, se puede usar el bloque ”clock” del subsistema ”sources” conectado al bloque ”to workspace”.

Signal Sinks Library yout To Workspace Scope untitled.mat Graph

To File

STOP Auto-Scale Stop Simulation Graph

XY Graph

Hit Crossing

Figura C.3 Librer´ıa de ”sinks” En general, los bloques tienen entradas (en el bloque se representa con > apuntando hacia el mismo) y salidas (se presenta con > saliendo del bloque). Para conectar la salida de un bloque a la entrada de otro, se presiona el bot´ on izquierdo del mouse en cualquiera de los terminales anteriores y se arrastra hacia el otro. Al conectarsen se dibuja una linea que los une, los > desaparecen y una flecha en la linea indica la direcci´ on del flujo de datos. Si se quiere borrar o editar una linea se selecciona con el mouse en cualquier lugar de ella. Todos los vertices son se˜ nalados con peque˜ nos cuadrados s´olidos. Una vez que la l´ınea es seleccionada se puede eliminar del modelo presionando la tecla ”delete”. La simulaci´on de un sistema f´ısico en el SIMULINK depende del modelo matem´ atico que se tenga. Por ejemplo, un sistema lineal descrito mediante una funci´on de transferencia se puede simular usando el bloque ”transf er f cn” del subsistema ”linear”. Tambi´en se puede usar el bloque ”state − space” de la misma librer´ıa, cuando el modelo es dado mediante las ecuaciones de estado y de salida. O si se tiene un conjunto de ecuaciones que describe el comportamiento del sistema se pueden simular usando todos los bloques disponibles tanto en al librer´ıa ”linear” (integradores, sumadores, ganancias, derivadores, etc.) como en la ”nonlinear” (saturaci´on, rel´es, productos, funciones de variables, valor absoluto, zona muerta, etc.).

348 INTRODUCCION AL SIMULINK Nonlinear Library

Linear Library + + Sum

Gain

Sign

Inner Product

Quantizer

du/dt Derivative

1/s Integrator 1

.

K

1.317

Matrix Gain

Slider Gain

1 s+1 Transfer Fcn

(s-1) s(s+1) Zero-Pole

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

Relay

*

Abs Abs

>=

f(u) Fcn

Saturation

Dead Zone Coulombic Rate Limiter Friction

Product

Relational Operator

Backlash

Look-Up Table

2-D Look-Up Table

AND Logical Combinatorial Operator Logic system S-Function

Switch

MATLAB Function

1/s

MATLAB Fcn

Reset Integrator 1/s

Memory

State-Space

a) ”Linear”

Transport Limited Variable Delay Transport Delay Integrator

b) ”Nonlinear”

Figura C.4 Subsistemas ”linear” y ”nonlinear” del Simulink Cuando se tienen varias se˜ nales que se quieren ver en una misma gr´ afica por ejemplo, se puede usar un bloque ”mux” que est´ a en la librer´ıa ”connections” el cual sirve para multiplexar sus entradas en un u ´nico vector a la salida. Tambi´en est´a en la misma librer´ıa el bloque ”demux” el cual separa un vector con varias se˜ nales en se˜ nales escalares (demultiplexa). Otros dos bloques de esta librer´ıa son: ”inport”, el cual suministra un enlace a una entrada externa y para linealizaci´ on; tambi´en tiene el ”outport”, que suministra un enlace a una salida externa y sirve tambi´en para linealizaci´ on. Connections Library 1 Inport 1 Outport Mux Mux Demux Demux

Figura C.5 Librer´ıa de ”connections” Si el sistema que se quiere simular es digital, se pueden usar los bloques de la librer´ıa ”discrete”: ”unit delay” (retardo unitario), ”discrete transfer fcn” (funci´ on de

C.3 Inicio de una simulaci´ on

349

tranferencia discreta), ”discrete state space” (ecuaciones estado y de salida discretas), etc. Cada uno de los bloques discretos tiene un muestrador interno a su entrada y un retenedor de orden cero en su salida. Cuando bloques discretos se mezclan con bloques an´alogos (continuos), la salida entre tiempos de muestreo de los bloques discretos es mantenida constante. Las entradas a los bloques discretos son actualizadas u ´nicamente en los instantes de muestreo. El tiempo de muestreo se da en el campo del tiempo de muestreo de la caja de di´alogo del bloque.

Discrete-Time Library 1/z Unit Delay 1 1+2z -1 Filter

(z-1) z(z-0.5) Discrete Zero-Pole 1 z+0.5 Discrete Transfer Fcn

x(n+1)=Ax(n)+Bu(n) y(n)=Cx(n)+Du(n) Discrete State-Space

Zero-Order Hold

First-Order Hold

1 z-1 Discrete-Time Discrete-Time Integrator Limited Integrator

Figura C.6 Librer´ıa de ”discrete”

C.3

Inicio de una simulaci´ on

Una simulaci´ on puede ser iniciada desde la l´ınea de comandos del MATLAB o del men´ u del SIMULINK: ”simulation”. Todos los m´etodos usan los mismos argumentos y par´ametros. A. Simulaci´ on desde el men´ u ”simulation”. La simulaci´on se puede arrancar seleccionando ”start” del men´ u ”simulation”. Los par´ametros de la simulaci´ on se pueden ajustar seleccionando ”parameters” en el men´ u ”simulation”. En los campos que all´ı aparecen se pueden entrar n´ umeros o expresiones legales del MATLAB, por ejemplo, las variables tini, tf in, pasomin, pasomax y tol las cuales se pueden definir en el espacio de trabajo del MATLAB. V´ease Fig. C.7.

350 INTRODUCCION AL SIMULINK

Figura C.7 Panel de control del Simulink Las variables de retorno [t, x, y] son usadas para poner el tiempo, las trayectorias del estado y de la salida en el espacio de trabajo del MATLAB. Los tiempos de inicio y de parada de la simulaci´ on son ajustados en las variables tini y tf in. Los par´ ametros de integraci´ on tol, pasomin y pasomax controlan el error local relativo, el m´ınimo y m´aximo intervalos de integraci´ on de la simulaci´on. Correr una simulaci´ on desde el men´ u permite desarrollar ciertas operaciones interactivamente durante una simulaci´on: a) Cambiar los par´ametros de un bloque, siempre y cuando no cause un cambio en el n´ umero de estados, entradas o salidas para ese bloque. b) Cambiar cualquiera de los par´ametros de simulaci´on, excepto las variables de retorno y el tiempo de inicio. c) Cambiar el algoritmo de simulaci´on. d) Cambiar el tiempo de muestreo para bloques discretos. e) Simular otro sistema al mismo tiempo. f) Seleccionar una l´ınea para ver su salida en un ”osciloscopio flotante”, el cual consiste de un bloque ”scope” desconectado. Este muestra la salida de cualquier l´ınea que se seleccione. B. Simulaci´ on desde la l´ınea de comandos del MATLAB. Cualquier simulaci´ on que se corra desde el men´ u tambi´en se puede correr desde la l´ınea de comandos. Por ejemplo, para configurar una simulaci´ on con par´ametros id´enticos a los descritos en el ejemplo anterior y mostrados en la Fig C.7, se debe usar el comando:

[t, x, y] = linsim(0 modelo0 , [tini, tf in] , ...

C.3 Inicio de una simulaci´ on

351

xo, [tol, pasomin, pasomax]); en donde ”modelo” es el nombre del diagrama del sistema y linsim es una de las t´ecnicas de integraci´ on. Las condiciones iniciales, que no se pueden ajustar desde el men´ u de ”simulation”, se definen en el vector xo. Estas condiciones iniciales prevalecen sobre las condiciones iniciales ajustadas en los bloques, a menos que xo sea una matriz vac´ıa. La simulaci´on desde la l´ınea de comandos tiene las siguientes ventajas: a) Se puede definir las condiciones iniciales, las cuales prevalecen sobre las definidas en los bloques. b) Si no se especifican los argumentos del lado izquierdo del comando de simulaci´on, autom´aticamente se grafican las salidas o, cuando no hay salidas, las trayectorias del estado. c) Entradas externas se pueden especificar usando una variable extra ut, la cual va al final de los par´ ametros del comando de simulaci´ on. ut puede ser una cadena de caracteres o una tabla de valores. Por ejemplo ut = 0 sin0 o ut = 0 ones (2, 1) ∗ sin (3 ∗ t + 2)0 . Si es una tabla, la primer columna debe ser un vector con los tiempos en orden ascendente. d) Una simulaci´ on se puede correr desde un archivo M permitiendo que par´ametros en los bloques sean cambiados interactivamente. e) Para peque˜ nos modelos, la simulaci´ on se ejecuta m´as r´apido. Todos los algoritmos de integraci´ on tienen id´entica sintaxis de modo que los diferentes m´etodos se pueden seleccionar simplemente cambiando el nombre de la funci´ on: euler, rk23, rk45, linsim, adams y gear. La velocidad y precisi´on con las cuales se pueden resolver las ecuaciones diferenciales no s´olo dependen de los par´ametros del intervalo de integraci´ on y el error relativo si no tambi´en del algoritmo que se escoja. Estas rutinas se pueden usar para una variedad de problemas: linsim usa un m´etodo que extrae la din´ amica lineal de un sistema dejando u ´nicamente la din´amica no lineal del sistema para ser simulado. Este m´etodo trabaja muy bien cuando el sistema a ser simulado es relativamente lineal, y se pueden tomar intervalos grandes de integraci´ on. Por esto es necesario limitar el m´aximo intervalo de integraci´ on si se quieren puntos de salida razonablemente espaciados. El m´etodo de euler es un m´etodo de intervalo u ´nico el cual simplemente multiplica las derivadas por el tama˜ no del intervalo para producir la actualizaci´ on del estado. Se incluye por razones hist´ oricas. Se deben tomar intervalos de integraci´ on mucho m´as peque˜ nos que los de los otros m´etodos para lograr la misma precisi´ on y, por ´esto, no se recomienda para la mayor´ıa de problemas. Los m´etodos de Runge-Kutta, rk23 y rk45, son m´etodos buenos de prop´osito general que trabajan bien para un buen rango de problemas. Aunque rk45 es generalmente m´as r´apido y preciso que rk23, produce menos puntos de salida; por eso rk23 podr´ıa ser preferido para gr´aficas ”suaves”. Son los mejores m´etodos cuando el sistema a ser simulado tiene discontinuidades. adams y gear son m´etodos predictores-correctores que trabajan bien con problemas en donde las trayectorias de estado son suaves. El m´etodo de gear es fundamentalmente para sistemas con mezcla de din´ amicas r´ apida

352 INTRODUCCION AL SIMULINK y lenta. Estos m´etodos no trabajan bien cuando el sistema es discontinuo. Todos los m´etodos son de intervalo de integraci´on variable, el cual se ajusta continuamente de modo que se mantenga el error relativo. Los m´etodos, excepto gear y adams, se pueden convertir a m´etodos de intervalo fijo haciendo que los intervalos m´ınimo y m´aximo sean iguales. linsim y euler son m´etodos de intervalo u ´nico: un nuevo punto de salida se genera a cada intervalo de tiempo. rk23 y rk45 son m´etodos de Runge-Kutta que toman intervalos intermedios entre los puntos generados por las trayectorias de salida. Las rutinas de adams y gear son m´etodos predictores-correctores los cuales toman un n´ umero variable de puntos para generar un punto de salida. Todos los algoritmos de integraci´ on (excepto euler) podr´ıan tomar pasos hacia atr´as en el tiempo cuando el error de predici´ on calculado es mayor que el error relativo. En este caso el intervalo de integraci´ on es reducido pero nunca por debajo del intervalo m´ınimo; por eso, es posible producir resultados imprecisos si cualquiera, el error relativo o el m´ınimo intervalo de integraci´ on, son demasiado grandes. Sistemas puramente discretos se pueden simular usando cualquiera de los m´etodos de integraci´ on; no hay diferencia en las soluciones. Para lograr puntos de salida que reflejen u ´nicamente los instantes de muestreo, se debe ajustar el m´ınimo intervalo de integraci´ on a un valor mayor que el m´ aximo tiempo de muestreo. Ejemplo C.1 . Este ejemplo sirve para simular el control por realimentaci´on de variables de estado de la planta constituida por el p´endulo invertido considerado en el Cap´ıtulo 1, cuya descripci´ on matem´atica es dada por las ecuaciones (1.16) y (1.17). Referirse tambi´en al art´ıculo de los autores ”Frecuencias escondidas en sistemas lineales”, en la revista Scientia et Technica, No. 5 de Abril de 1997. Si se definen las variables de estado como: ˙ x3 = y, x4 = y˙ x1 = φ, x2 = φ, entonces el modelo matem´ atico mediante    x˙ 1 0 1 0  x˙ 2   a21 0 0  =  x˙ 3   0 0 0 x˙ 4 a41 0 0

en donde:

a21 b2

variables de estado es:     x1 0 0     0    x2  +  b2  u 1   x3   0  0 x4 b4

(m + M )mgL (mL)2 g , a41 = , d d mL I + mL2 , b4 = , d = (m + M)I + mML2 = − d d =

La Fig. C.8 muestra el diagrama del Simulink para el control del p´endulo invertido, el cual es archivado con el nombre ”sipend”.

C.3 Inicio de una simulaci´ on

Reloj

353

ti Tiempo u Señal de Control x' = Ax+Bu x y = Cx+Du Vector de Estado Péndulo Invertido K Ganancias de Realimentación

Figura C.8 Diagrama del Simulink para el control del p´endulo invertido N´otese de la Fig. C.8 que: 1) La planta se simula con el bloque ”state − space”, ya que su modelo matem´ atico es dado mediante ecuaciones de estado y de salida. 2) La realimentaci´on de las variables de estado se hace a trav´es del bloque ”matrix gain” de la librer´ıa ”linear”. 3) Las variables que se quieren observar (control y estado) se env´ıan al espacio de trabajo en un bloque ”to workspace” ( Vector de Estado) para ser graficados con un archivo tipo m o un programa que usa comandos del MATLAB que se muestra m´as adelante. Los instantes de simulaci´on, contenidos en el bloque ”clock”, tambi´en son enviados al espacio de trabajo para ser usados en las gr´aficas de los resultados. El programa que maneja la simulaci´on, pide las ganancias por las cuales se deben multiplicar las variables de estado, calcula las matrices A y B y grafica los resultados es el siguiente: ´ % PENDULO INVERTIDO % Se piden las ganancias de realimentaci´ on k1=input(’Ganancia de realimentaci´on para x1, k1 = ’) k2=input(’Ganancia de realimentaci´on para x2, k2 = ’) k3=input(’Ganancia de realimentaci´on para x3, k3 = ’) k4=input(’Ganancia de realimentaci´on para x4, k4 = ’) % Par´ametros del p´endulo invertido m=0.05;M=0.5;g=9.8;L=1; I=m*Lˆ2/3;delta=(m+M)*I+m*M*Lˆ2; % Se calculan las matrices A y B

354 INTRODUCCION AL SIMULINK A=[0 1 0 0;(m+M)*m*g*L/delta 0 0 0;0 0 0 1;-(m*L) ˆ2*g/delta 0 0 0]; B=[0;-m*L/delta;0;(I+m*L ˆ2)/delta]; % Vector de ganancias del controlador k=[-k1 -k2 -k3 -k4]; % Se simula el sistema en lazo cerrado. % Todas las condiciones iniciales son nulas, excepto el a´ngulo inicial % del p´endulo que es 10 grados linsim(’sipend’,[0,10],[pi/18;0;0;0],[0.001,0.01,0.01]) % Se grafica la posici´ on angular del p´endulo figure(1) plot(ti,x(:,1)*180/pi,’w-’) ylabel(’pos. angular del p´endulo, grados’);xlabel(’segs.’) grid on % Se grafica el desplazamiento del carro figure(2) plot(ti,x(:,3),’w-’) ylabel(’desplazamiento del carro, metros’);xlabel(’segs.’) grid on % Se grafica la fuerza de control figure(3) plot(ti,u,’w-’) ylabel(’fuerza de control, Newtons’);xlabel(’segs.’) grid on Los resultados del control con k1 = 65, k2 = 24, k3 = k4 = 0, es decir sin realimentar y y y˙ se muestran en las Figuras C.9 y C.10. N´ otese que aunque la posici´ on angular es controlada, el desplazamiento del carro es inestable.

pos. angular del péndulo, grados

10 8 6

4 2 0 0

2

4

6

8

segs.

Figura C.9 Posici´ on angular del p´endulo

10

C.3 Inicio de una simulaci´ on

355

desplazamiento del carro, metros

7 6 5 4 3 2 1 0 0

2

4

6

8

10

segs.

Figura C.10 Desplazamiento del carro Los resultados del control realimentando todas las variables de estado con k1 = 65, k2 = 24, k3 = 8, k4 = 11, se muestran en las Figuras C.11 y C.12. N´ otese que ahora la posici´ on angular y el desplazamiento del carro est´an completamente controlados.

pos. angular del péndulo, grados

10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 0

2

4

6

8

segs.

Figura C.11 Posici´ on angular del p´endulo

10

356 INTRODUCCION AL SIMULINK

desplazamiento del carro, metros

0.5 0.4 0.3

0.2 0.1 0 0

2

4

6

8

10

segs.

Figura C.12 Desplazamiento del carro Ejemplo C.2 . Este ejemplo sirve para simular el control ´optimo usando realimentaci´ on de las variables de estado estimadas de una planta (motor DC y su ”drive”) por medio de un observador asint´ otico (V´ease Cap´ıtulo 9). Referirse al art´ıculo de los autores ”Dise˜ no de un controlador ´optimo que utiliza un observador asint´otico para realimentar las variables de estado estimadas”, en la revista Scientia et Technica, No. 4 de Octubre de 1996. El criterio de optimizaci´ on consiste en minimizar el ´ındice cuadr´ atico: Z ∞ [xt Qx + ut Ru]dt J= 0

para lo cual se utiliza la funci´ on ”lqr” (”linear quadratic regulator”) de la herramienta ”Control” del MATLAB. Las matrices ponderantes Q y R que restringen respectivamente, las variables de estado y de control, se escogen como:   1 0 .01 0  0 .1 .01 0   Q=  .01 .01 .01 .01  0 0 .01 100 R = .01 Puesto que se introduce un integrador con el fin de eliminar el error de estado estacionario, la planta es de cuarto orden y su modelo matem´ atico mediante ecuaciones de estado es descrito por las matrices:

C.3 Inicio de una simulaci´ on

357



 −.1653 .2879 0 0  −11.55 −3.414 .9177 0   A2 =   0 0 −12.3 0  −1 0 0 0 

 0  0  £ ¤  B2 =   147.5  , C2 = 1 0 0 0 0

Puesto que el observador es reducido, ya que no es necesario estimar la salida del integrador porque se tiene acceso a ´ella, en la determinaci´ on de las ganancias del observador se utilizan: la traspuesta de la matriz A1 que se obtiene eliminando en A2 la cuarta fila y la cuarta columna, y la traspuesta de [1 0 0] que se obtiene de C2 eliminando la cuarta columna.

Señal de control u estadore x' = Ax+Bu Demux y = Cx+Du Al espacio de SaturaciónModelo del Demux2 trabajo3 motor Salida y Error de x' = Ax+Bu Mux x4 control 1/s y = Cx+Du + I1 S2 Referencia Ganancias deMux1 realimentación ti Vector de estado Reloj Al espacio de estimado trabajo2 + x' = Ax+Bu Mux S1 y = Cx+Du Demux Error del Mux2 Observador Demux1 observador asintótico Mux estado espacio de Mux Altrabajo1

Figura C.13 Diagrama de simulaci´ on del ejemplo C.2 La Fig. C.13 muestra el diagrama de simulaci´ on del sistema total. N´ otese que el bloque ”state − space” es usado 3 veces para: simular la planta, el observador asint´otico y las ganancias de realimentaci´ on. Se usan multiplexores para reunir varias se˜ nales en un s´olo vector, y demultiplexores para separar las se˜ nales de vectores. Se usan los bloques ”to workspace” para enviar varias se˜ nales y el tiempo al espacio de trabajo con el fin de graficar algunas variables.

358 INTRODUCCION AL SIMULINK Otros bloques utilizados son: ”saturation” de la librer´ıa ”nonlinear”, un sumador y un integrador de la librer´ıa ”linear” y el bloque ”step” de la librer´ıa ”sources” para generar la se˜ nal de referencia: un escal´on de amplitud 8.15 voltios. El siguiente es el programa que carga las matrices Q, R, A2 , B2 y C2 , utiliza de la herramienta ”Control” las funciones ”lqr” que se usa para optimizar y ”ac ker ” que sirve para hallar tanto las ganancias de realimentaci´on de las variables de estado como las ganancias del observador asint´ otico cuando los polos respectivos son dados. Usa el m´etodo de integraci´ on ”rk45” y grafica los resultados. ´ ´ ´ % CALCULO OPTIMO DE LAS GANANCIAS DE REALIMENTACION % POR VARIABLES DE ESTADO PARA EL MODELO DEL MOTOR ´ % SE CARGAN Q Y R OPTIMOS load qroptim % SE CARGA PRIMERO EL MODELO DEL MOTOR load modmotor ´ K1, % SE CALCULAN LAS GANANCIAS DE REALIMENTACION ´ % USANDO EL REGULADOR LINEAL CUADRATICO [K1,S,E]=lqr(A2,B2,Q,R); K1 ´ % SE CALCULAN LAS GANANCIAS DEL OBSERVADOR ASINTOTICO L ´ % UTILIZANDO LA FORMULA DE ACKERMAN. ´ EN EL VECTOR Po. % SUS POLOS ESTAN Po=[-10;-20;-30]; L1=acker(A1’,[1;0;0],Po); L=L1’ % SE SIMULA EL SISTEMA EN LAZO CERRADO CON EL SIMULINK. % EL PROGRAMA SE LLAMA lqrnue33. rk45(’lqrnue33’,[0,4],[],[0.001,0.01,0.01]) % SE GRAFICAN LAS VARIABLES DE ESTADO ESTIMADAS, LAS REALES, ˜ % LA SENAL DE CONTROL Y EL ERROR DEL OBSERVADOR. for j=1:3 figure(j) plot(ti,estado(:,j),’w-’) hold on plot(ti,estadore(:,j),’w-’) grid on hold off xlabel(’segs.’) pause end for j=4:5 figure(j) plot(ti,estado(:,j),’w-’) grid on xlabel(’segs.’) pause end

C.3 Inicio de una simulaci´ on 10 8 6

4 2 0

0

1

2 segs.

3

4

Figura C.14 Variables de estado x1 y xo1

80 60 40

20 0 -20

0

1

2 segs.

3

4

Figura C.15 Variables de estado x2 y xo2

150 100 50 0 -50 -100 0

1

2 segs.

3

4

Figura C.16 Variables de estado x3 y xo3

359

360 INTRODUCCION AL SIMULINK 10 8 6

4 2 0 0

1

2 segs.

3

4

Figura C.17 Se˜ nal de control u

5 4 3 2 1 0 -1 0

1

2 segs.

3

4

Figura C.18 Error del observador En las Figuras C.14 a la C.18 se muestran las variables de estado estimadas comparadas con las reales, la se˜ nal de control y el error del observador. N´ otese como a pesar de que el estado energ´etico inicial de la planta [4.075 2.5 60] es totalmente diferente del estado inicial del observador [0 0 0], en menos de medio segundo las variables de estado estimadas convergen asint´oticamente a las reales y la salida del sistema, x1 , alcanza el estado estacionario en aproximadamente 3.5 segundos, haciendo seguimiento perfecto de la se˜ nal de referencia, que en este caso es de 8.15 voltios.

APENDICE

D

EJERCICIOS PROPUESTOS

D.1

Del cap´ıtulo 1

D.1.1 Consid´erese el mismo sistema (planta) del ejemplo introductorio (el p´endulo invertido) y sup´ ongase que se desea controlar no s´ olo la posici´on angular sino la posici´ on horizontal tambi´en, utilizando una estrategia de control en donde la fuerza (se˜ nal) de control u es proporcional a φ y y, es decir, u = K1 φ + K2 y. Plantear el conjunto de ecuaciones linealmente independiente que describe el comportamiento de este sistema de control, suponiendo que el transductor responde instantaneamente. D.1.2 Trabajar´ıa el sistema del ejemplo introductorio si en lugar del control proporcionalderivativo se usara control derivativo puro?. D.1.3 Sobre un carro de masa M hay dos p´endulos invertidos de longitudes l1 y l2 y con masas en sus extremos del mismo valor e igual a m, como se muestra en la Fig. D.1. Para valores peque˜ nos de Θ1 y Θ2 , demostrar que las ecuaciones de movimiento son:

•

Mv •

m(v

•• −li Θi )

= mgΘ1 + mgΘ2 + u = −mgΘi , i = 1, 2

en donde v es la velocidad del carro y u es una fuerza externa aplicada al mismo. 361

362 EJERCICIOS PROPUESTOS

Figura D.1 Sistema del problema D.1.3.

D.2

Del cap´ıtulo 2

Figura D.2 Sistema del ejercicio D.2.1.

D.2 Del cap´ıtulo 2

363

D.2.1 Un an´alogo simple del cuerpo humano para estudios de vibraci´on se considera como una interconexi´on de masas, resortes y amortiguadores como se muestra en la Figura D.2. Plantear un conjunto de ecuaciones linealmente independiente que lo describa completamente.

Figura D.3 Sistema del ejercicio D.2.2.

D.2.2 Para el sistema mec´ anico traslacional de la Figura D.3 plantear las ecuaciones de estado y de salida.

Figura D.4 Sistema mec´anico rotacional del problema D.2.3.

364 EJERCICIOS PROPUESTOS D.2.3 Plantear un modelo matem´atico que describa completamente el comportamiento del sistema mec´ anico rotacional de la Figura D.4.

Figura D.5 P´endulo del problema D.2.4.

D.2.4 Plantear un conjunto de ecuaciones de estado que describa el comportamiento del sistema del p´endulo da la Figura D.5. Sup´ ongase que cuando el p´endulo est´a vertical, no hay fuerza del resorte; tambi´en, que θ es peque˜ no. El momento de inercia de m con respecto al punto A es ml2 .

Figura D.6 Sistema mec´anico del problema D.2.5.

D.2 Del cap´ıtulo 2

365

D.2.5 Para el sistema mec´ anico de la Figura D.6, hallar la ecuaci´ on diferencial que relaciona la posici´on de la masa M1, y(t), con la entrada u(t).

Figura D.7 Circuito el´ectrico del problema D.2.6.

D.2.6 Describir el comportamiento del circuito el´ectrico de la Figura D.7 mediante variables de estado. Hallar las matrices A, B, C y D y la matriz de transferencia.

Figura D.8 Circuito el´ectrico del ejercicio D.2.7.

D.2.7 Para el circuito el´ectrico de la Figura D.8: R = 2Ω, C1 = 1f, C2 = 12 f, L1 =

366 EJERCICIOS PROPUESTOS M = 1h y L2 = 2h. a. Plantear las ecuaciones de estado y de salida. b. Obtener la funci´ on de transferencia a partir de las matrices A, B, C y D del resultado anterior.

Figura D.9 Motor del problema D.2.8.

ea = Ka φ ω

τ = Ka φ ia

φ=

K1 if 1 + b if

D.2.8 El sistema de la Fig. D.9 est´a trabajando en un punto de operaci´on Po conocido. Una peque˜ na desviaci´on ∆vf del voltaje vf ocurre en un instante determinado y como consecuencia el punto de operaci´on se afecta. Considerando como salida del sistema el cambio ∆ω de la velocidad angular ω, obtener: a. El diagrama de bloques. b. La funci´ on de transferencia

∆ω(s) ∆vf (s) ,

por reducci´ on de diagrama de bloques.

D.2 Del cap´ıtulo 2

367

Figura D.10 Sistema del problema D.2.9. D.2.9 La Figura D.10 muestra el diagrama esquem´ atico del sistema de control de una bola en suspensi´on. La bola de acero se suspende en el aire por la fuerza electromagn´etica generada por el electroim´ an, la cual es directamente proporcional al cuadrado de la relaci´ on yi con constante de proporcionalidad K. El objetivo de control es mantener la bola de metal suspendida en la posici´ on nominal de equilibrio controlando la corriente en el im´ an con el voltaje e(t). La resistencia L , en donde L es una constante. de la bobina es R y la inductancia es L(y) = y(t) a. Sea E el valor nominal de e(t). Encontrar los valores nominales de y(t), i(t) y dy(t) dt en equilibrio (punto de operaci´on). b. Definir las variables de estado como x1 = i, x2 = y, x3 = dy(t) dt y encontrar las ecuaciones de estado no lineales. c. Linealizar las ecuaciones de estado anteriores alrededor del punto de equilibrio.

Figura D.11 Sistema de nivel de l´ıquido del ejercicio D.2.10.

368 EJERCICIOS PROPUESTOS

D.2.10 En el sistema de nivel de l´ıquido de la Figura D.11, A = 15m, B = 10m, H = 25m √ y q = 2h en el sistema MKS. a. Hallar la ecuaci´ on diferencial no lineal que relaciona a h con u(t). b. Linealizar la anterior alrededor del punto de operaci´on, suponiendo que en ´este, m3 y h(t) |Po = Ho = 16m. u(t) |Po = Uo = 2 seg

Figura D.12 Sistema del ejercicio D.2.11. q: caudal en Kg/seg., A: a´rea del pist´ on (m2 ), ζ: densidad del aceite (Kg/m3 ), R: N.seg resistencia al flujo en la restricci´on ( m 2 .Kg ), K: constante del resorte (N/m)

D.2.11 Para el sistema de la Figura D.12 hallar la funci´ on de transferencia

D.3

Y (s) U (s) .

Del cap´ıtulo 3

D.3.1 Hacer un diagrama de c´ omputo an´alogo para generar la funci´ on 20 t e−t . Se debe tener en cuenta que: i.no haya saturaci´on en ninguno de los amplificadores operacionales; ii. s´ olo de dispone de voltajes D.C.; iii. el voltaje de polarizaci´on de los amplificadores operacionales es ±15 voltios; iv. el n´ umero de amplificadores

D.4 Del cap´ıtulo 4

369

operacionales sea m´ınimo.

Figura D.13 Sistema de nivel de l´ıquido del ejercicio D.3.2. u(t): variable de control, n(t): perturbaci´ on, R1 = R3 = 3, R2 = 1, C1 = 23 , C2 = 13 .

D.3.2 Para el sistema de nivel de l´ıquido de la Figura D.13: a. Obtener un circuito el´ectrico an´ alogo y plantear las ecuaciones de estado. b. Hacer un diagrama de c´omputo an´alogo para simular las ecuaciones anteriores sin usar m´as de 3 amplificadores operacionales.

D.3.3 Las ecuaciones de estado y de salida de un sistema son, respectivamente:     −1 −2 −2 2 • x =  0 −1 1  x +  0  u 1 0 −1 1 y=

£

1 1 0

¤

x

Hacer el diagrama de c´ omputo an´alogo para una realizaci´ on tipo ”observer” sin usar mas de 5 amplificadores operacionales.

D.4

Del cap´ıtulo 4

370 EJERCICIOS PROPUESTOS D.4.1 La funci´ on de transferencia de una planta es:

100 C(s) = 2 U (s) s + 10s + 100

Dise˜ nar un controlador proporcional-integral (PI) de modo que cuando la referencia sea una rampa unitaria, el error de estado estacionario sea 0.01. Justificar el valor seleccionado para cada ganancia del PI.

Figura D.14 Sistema t´ermico del ejercicio D.4.2.

D.4.2 La temperatura x(t) en el horno el´ectrico de la Figura D.14 es descrita por la ecuaci´ on diferencial:

dx(t) = −2x(t) + u(t) + w2 (t) dt en donde u(t) es la se˜ nal de control y w2 (t) es una perturbaci´on debido a las p´erdidas por calor. Se desea que la temperatura x(t) siga la se˜ nal de referencia w1 (t). Encontrar las ganancias proporcional Kp e integral Ki de un controlador proporcional-integral (PI) de modo que todas las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica en lazo cerrado est´en en -10. Hallar las respuestas de x(t) para t ≥ 0 cuando w1 (t) = us (t) y w2 (t) = −us (t) on unitario. Bosquejar las con condiciones iniciales nulas, en donde us (t) es el escal´ respuestas.

D.4 Del cap´ıtulo 4

371

Figura D.15 Sistema del ejercicio D.4.3. R1 = R2 = R3 = 1, C1 = C2 = 1. y: salida (nivel), u: variable de control (caudal), n: perturbaci´ on (nivel). D.4.3 a. Obtener las ecuaciones de estado y de salida del sistema de la Figura D.15 y su matriz de transferencia. b. Determinar valores y/o condiciones en las ganancias de un controlador tipo PI, de modo que el error de estado estacionario para una se˜ nal de referencia rampa unitaria sea 0.01. Hacer un diagrama de bloques del sistema en lazo cerrado.

Figura D.16 Sistema del ejercicio D.4.4.

372 EJERCICIOS PROPUESTOS 1 1 Ra = 10Ω, La ≈ 0, Ki = constante de torque = 10 oz-in/A, Ka = 50, n = N N2 = 100 , Kb = constante de fem inducida = 0.0706 v/rad/seg, Ks = 1 v/ft, JL = inercia de la carga = 10 oz-in-seg2 , Jm = inercia del rotor = 0.005 oz-in-seg2 , A = a´rea del tanque on del motor y la carga despreciables. = 50 ft2 , R = 0.02 seg/ft2 . Fricci´

D.4.4 En el sistema de la Figura D.16, el n´ umero de v´ alvulas conectadas al tanque de reserva es N = 8. Todas las v´ alvulas tienen las mismas caracter´ısticas y son controladas simult´ aneamente por θc . As´ı, el caudal de entrada qi (t) es Ki .N.θc (t), donde Ki = 10 ft3 /(seg-rad). a. Definir las variables de estado de la planta como x1 = h, x2 = θm , x3 = dθdtm . Siendo la variable de control ei (t), plantear las ecuaciones de estado de la planta (sin el controlador). b. Hallar la funci´on de transferencia de la planta y del sistema en lazo cerrado (incluyendo el controlador), suponiendo un controlador tipo proporcional con ganancia Kp . Hacer un diagrama de bloques. c. Determinar la estabilidad del sistema y el error de estado estacionario para una referencia rampa unitaria si Kp es: i. 1.0, ii. 2.0.

D.4.5 El modelo matem´ atico de una planta que se quiere controlar es el siguiente:

•

x1 • x2

= −2 x2 (t) = −2 u(t)

donde u(t) es la se˜ nal de control y la salida es y(t) = x1 (t). Las siguientes son las consideraciones para el dise˜ no del control: a. No se admiten oscilaciones (ni siquiera amortiguadas) en la salida cuando la referencia es un escal´ on. b. El error de estado estacionario para una referencia escal´ on debe ser nulo. c. La magnitud de todos los polos en lazo cerrado debe ser 2. Para cada uno de los siguientes controladores justificar porqu´e si o porqu´e no lo selecciona y haga el dise˜ no respectivo: i. Proporcional ii. Proporcional-derivativo. iii. Proporcional-integral.

D.5

Del cap´ıtulo 5

D.5 Del cap´ıtulo 5

373

Figura D.17 Modelo del ejercicio D.5.1. D.5.1 Un modelo muy simple del sistema de realimentaci´on que un estudiante utiliza para controlar sus notas se muestra en la Figura D.17, en donde: Td es el tiempo disponible, Te es el tiempo para estudiar, Tx es el tiempo para actividades extracurriculares, N representa las notas y K1 es un efecto proporcional en las notas. Algunos valores t´ıpicos de los par´ ametros ser´ıan K1 = 1, τ1 = 1 mes, y τ2 = 12 mes. El esfuerzo en eliminar actividades extracurriculares se refleja en la ganancia K2 , para lo cual determinado estudiante podr´ıa tener K2 = 12 . a. Calcular la respuesta del sistema a un incremento en escal´ on en el tiempo disponible. Cu´antos meses transcurren antes de que el incremento en tiempo disponible resulte en notas mejores. Usar el tiempo pico para esta estimaci´ on. amenes m´as dif´ıciles. b. Una perturbaci´on en escal´on, D(s) = D s , ocurre debido a ex´ Usando el tiempo de establecimiento, determinar el tiempo necesario para alcanzar el estado estacionario. Determinar el efecto en estado estacionario sobre las notas debido a la perturbaci´on escal´ on de magnitud D. c. Repetir a. y b. para un estudiante cuya dedicaci´on a actividades extracurriculares se refleja con K2 = 2.

Figura D.18 Sistema del problema D.5.2.

374 EJERCICIOS PROPUESTOS

D.5.2 En determinadas misiones espaciales los astronautas deben abandonar la nave y operar en el espacio. Para permitir que las extremidades del astronauta est´en libres es necesario proveer un sistema de control que no las utilice. Por esta raz´ on se propone un controlador por voz cuyo diagrama simplificado se muestra en la Figura D.18, en donde: R es la posici´ on deseada, E es un comando por voz, T es el torque, V es velocidad y y es la posici´ on en metros. El controlador (Jet a gas) opera por comando de voz y puede ser representado aproximadamente por una ganancia proporcional K2 . La inercia del hombre y el equipo es J = 25 Kg-m2 . a. Determinar la ganancia necesaria K3 para que el error en estado estacionario sea 1 cm. con una se˜ nal de entrada rampa unitaria. b. Con esa ganancia K3 , determinar l´ımites en la ganancia K1 K2 para restringir el m´aximo sobreimpulso al 10%.

D.5.3 La funci´ on de transferencia de un sistema es: ωn2 C(s) = 2 R(s) s + 2ζωn s + ωn2 Con r(t) = δ(t), la funci´ on impulso, hallar c(t) para cuando: ζ = 0, ζ < 1, ζ = 1 y ζ > 1. Hacer gr´ aficos y comparar.

Figura D.19 Sistema del ejercicio D.5.4.

D.5.4 Para el sistema de la Figura D.19, hallar el error en estado estacionario ess cuando r(t) = t u(t) en funci´ on de ζ y ωn . D.5.5 Resolver el ejemplo 5.1 con un sobrepaso del 3%, con un tiempo de soluci´ on de 1 segundo. Calcular K, Kr , tr y tp .

D.6 Del cap´ıtulo 6

D.6

375

Del cap´ıtulo 6

D.6.1 Para cada uno de los sistemas de las Figuras 6.3 y 6.5, determinar, en caso de ser posible, las ganancias de un controlador que utiliza realimentaci´ on de las variables de estado, de modo que todas las frecuencias naturales del sistema en lazo cerrado est´en ubicadas en -10.

Figura D.20 Circuito del ejercicio D.6.2.

D.6.2 a. Existir´ a alguna funci´ on u(t) tal que las corrientes en todas las inductancias y los voltajes en todos los condesadores de la Figura D.20 puedan ser llevados desde ciertos valores iniciales (arbitrarios) a otros tambi´en arbitrarios? Justificar. b. Determinar la estabilidad interna del sistema de la Figura D.20.

Figura D.21 Circuito del ejercicio D.6.3.

376 EJERCICIOS PROPUESTOS

D.6.3 Suponer que y(t) y u(t) son dadas para el sistema de la Figura D.21. Ser´ a posible determinar las corrientes en todos lss inductancias y los voltajes en todos los condensadores en cualquier instante t? Justificar. D.6.4 Utilizando el criterio de Routh y Hurwitz, determinar la estabilidad de un sistema con ecuaci´on caracter´ıstica: A(s) = s5 + 4s4 + 8s3 + 8s2 + 7s + 4

Figura D.22 Sistema del problema D.6.5.

D.6.5 Para el sistema mostrado en la Figura D.22, demostrar, utilizando el criterio de Routh y Hurwitz, que para estabilidad en lazo cerrado:

K 0, y derivativa, Kd > 0, de un controlador PD de modo que el sistema sea estable en lazo cerrado. Utilizar el criterio de estabilidad de Nyquist.

D.6 Del cap´ıtulo 6

377

Figura D.23 Sistema del ejercicio D.6.7.

D.6.7 Para el sistema de la Figura D.23:

GC (s) = 1 + TD (s) K GP (s) = s2 (1 + T1 s)

donde K, T1 , TD > 0. Utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist, establecer condiciones sobre K, T1 y TD para que el sistema sea estable.

D.6.8 Por el m´etodo de las transiciones determinar la estabilidad de Wl−c (s), para 1 s) Wl−a (s) = K(1+T s(T2 s−1) , con K, T1 , T2 > 0. Establecer condiciones. D.6.9 Se tiene una planta cuyo funci´ on de transferencia es:

Gp (s) =

1 s2 (1 + T1 s)(1 + T2 s)

donde T1 , T2 > 0. Utilizar el criterio de estabilidad de Nyquist para hallar todas las condiciones, si las hay, de modo que el sistema en lazo cerrado sea estable cuando el controlador es de tipo: a. Proporcional con ganancia K > 0. b. Proporcional-derivativo con funci´on de transferencia K(1 + Td s); K, Td > 0.

378 EJERCICIOS PROPUESTOS

Figura D.23 Sistema del ejercicio D.6.10.

D.6.10 En el sistema de la Figura D.23:

GC (s) = 1 + Td s K GP (s) = 2 s (1 + T1 s) donde K, T1 , Td > 0. Usando el criterio de estabilidad de Nyquist, establecer condiciones sobreK, T1 , y Td para que el sistema sea estable.

Figura D.24 Sistema del problema D.6.11.

D.6.11 En el sistema de la Figura D.24:

G1 (s) = K(s + 3) 1 G2 (s) = (s2 + 4)(s − 2) H(s) = s + 2

D.6 Del cap´ıtulo 6

379

Utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist, establecer condiciones en la ganancia K > 0, para que el sistema sea estable.

D.6.12 La funci´ on de transferencia en lazo abierto de un sistema es: Wl−a (s) =

K(s − 1) s(s + 1)

Utilizar el criterio de estabilidad de Nyquist para encontrar condiciones en K de modo que el sistema sea estable en lazo cerrado. Mostrar todos los posibles lugares geom´etricos o de Nyquist.

D.6.13 Bosquejar el lugar de Nyquist de Wl−a (s) = K(s−1) (s+1)2 , K > 0, y determinar los l´ımites de K para que el sistema en lazo cerrado sea estable. Usar el criterio de Nyquist. D.6.14 Las ecuaciones de estado y de salida de un sistema son, respectivamente:    −1 −2 −2 2 x =  0 −1 1  x +  0  u 1 0 −1 1 •



y=

£

1 1 0

¤

x

Utilizar realimentaci´ on de las variables de estado para transferir los modos del sistema a -1, -2 y -2. Dibujar un diagrama de bloques para las anteriores ecuaciones y luego adicionar la realimentaci´ on requerida.

D.6.15 Un sistema es descrito por la siguiente ecuaci´on matricial de estado y de salida:    1 0 0 1 x =  −1 0 4  x+ 0  u 0 −1 −2 0 •



y=

£

1 2 1

¤

x

a. En caso de ser posible, determinar las ganancias en la realimentaci´ on de las variables de estado de modo que la funci´ on de transferencia del sistema en lazo cerrado muestre un s´olo polo en -4.

380 EJERCICIOS PROPUESTOS b. Es m´ınimo el sistema en lazo cerrado?. Justificar.

Figura D.25 Sistema de nivel de l´ıquido del ejercicio D.6.16.

D.6.16 La Figura D.25 muestra un sistema de nivel de l´ıquido que se quiere controlar, en donde: n es una perturbaci´ on incontrolable, u es la variable de control y C1 = C2 = 1, R1 = R2 = R3 = 12 . La t´ecnica a utilizar es por realimentaci´on de las variables de estado (h1 y h2 ) m´as realimentaci´on de la integral del error a trav´es de una ganancia, ya que se desea que la salida (h2 ) siga, en el estado estacionario, a la referencia que es una se˜ nal tipo escal´ on. Dise˜ nar el controlador de modo que las frecuencias naturales del sistema en lazo cerrado est´en ubicadas en −10 ± j y −10. Hacer un diagrama de bloques donde se muestren expl´ıcitamente la planta y la estructura completa del controlador. S´ olo deben aparecer ganancias, sumadores e integradores.

D.7

Del cap´ıtulo 7

D.7.1 La configuraci´ on de polos y ceros de una funci´on de transferencia en lazo cerrado Wl−c (s) viene dada en la Fig D.26a.

D.7 Del cap´ıtulo 7

a)

381

b)

Figura D.26 Polos y ceros del ejercicio D.7.1. a. Calcular la banda pasante del sistema, o ancho de banda, AB. b. Se a˜ nade un cero como indica la Fig D.26b. ¿ C´ omo queda modificado el AB ? c. Se a˜ nade a la configuraci´ on de la Fig D.26b un polo sobre el eje real negativo, pero a una distancia del origen 10 veces mayor que la del cero.¿ C´omo queda afectado el AB?

D.7.2 La especificaci´ on dada para un servosistema de segundo orden es que el sobrepaso m´aximo de la respuesta a un escal´ on unitario no exceda del 25%. Determinar los valores l´ımites correspondientes del coeficiente de amortiguamiento ζ y del factor de resonancia Mv . D.7.3 La funci´ on de transferencia en lazo cerrado de un servosistema es:

Wl−c (s) =

1 C (s) = R (s) (1 + 0.01s) (1 + 0.05s + 0.01s2 )

a. Trazar la curva de respuesta en frecuencia del sistema en lazo cerrado. b. Determinar el factor de resonancia Mv y la frecuencia de resonancia ωv del sistema. c. Determinar el coeficiente de amortiguamiento ζ y la frecuencia propia no amortiguada ωn del sistema de segundo orden que produce el mismo Mv y la misma ωv que el sistema original.

D.7.4 La funci´ on de transferencia en lazo abierto de un servosistema con realimentaci´on unitaria es: Wl−a (s) =

K (1 + T s) s (1 + s) (1 + 0.01s)

Determinar el menor valor posible de T para que el sistema tenga un margen de amplitud infinito.

382 EJERCICIOS PROPUESTOS

D.7.5 La funci´ on de transferencia en lazo abierto de un servosistema con realimentaci´on unitaria es: Wl−a (s) =

K s (1 + 0.1s) (1 + s)

a. Determinar el valor de K para que el factor de resonancia Mv del sistema sea igual a 1.4. b. Determinar el valor de K para que el margen de amplitud del sistema sea de 20dB. c. Determinar el valor de K para que el margen de fase del sistema sea de 60◦ .

D.7.6 Usar el criterio de estabilidad de Nyquist para determinar si los sistemas con las siguientes funciones de transferencia de lazo abierto son estables:

a.

Wl−a (s) =

b.

Wl−a (s) =

c.

Wl−a (s) =

d.

Wl−a (s) =

10 (1 + s) (1 + 2s) (1 + 3s) 10 s (1 + s) (1 + 10s) 10 s2 (1 + 0.1s) (1 + 0.2s) 2 s2 (1 + 0.1s) (1 + 10s)

D.7.7 Para un sistema de segundo orden: Wl−a (s) =

16 s (2 + s)

a. Graficar el diagrama de Bode. b. Determinar Mv y ωv .

D.7.8 Repetir el problema D.7.7 cuando:

a.

Wl−a (s) =

60 (1 + 0.5s) s (1 + 5s)

D.8 Del cap´ıtulo 8 b.

Wl−a (s) =

383

60 (1 + s) s2 (1 + 0.1s)

D.7.9 Dado: Wl−a (s) =

as + 1 s2

hallar a tal que el margen de fase sea 45◦ .

D.7.10 La funci´ on de transferencia de una planta es: Gp (s) =

10 s(s + 4)

Dise˜ nar un compensador en atraso tal que el coeficiente de error est´atico de velocidad Kv sea 50 seg−1 , margen de fase 40◦ y margen de ganancia de por lo menos 10 db.

D.7.11 La funci´ on de transferencia de una planta es: Gp (s) =

K s(0.1s + 1)(s + 1)

Dise˜ nar un compensador en adelanto tal que el margen de fase sea 45◦ , el margen de ganancia no sea menor a 8 db y el coeficiente de error est´ atico de velocidad Kv sea 4 seg−1 .

D.8

Del cap´ıtulo 8

D.8.1 La funci´ on de transferencia de un sistema es: G(s) =

(s − 1)(s + 2) (s + 1)(s − 2)(s + 3)

¿Ser´a posible cambiarla a: Gn (s) =

(s − 1) (s + 2)(s + 3)

384 EJERCICIOS PROPUESTOS utilizando realimentaci´on de las variables de estado?. Si la respuesta es afirmativa, explicar c´ omo.

D.8.2 Las matrices {A, B, C} de un sistema en lazo abierto son: 

   1 0 0 1 £ ¤ A =  −1 0 4  , B =  0  , C = 1 4 3 0 −1 4 0

Dise˜ nar un controlador, que utiliza realimentaci´on de las variables de estado, de modo que la funci´ on de transferencia del sistema en lazo cerrado muestre s´ olo dos polos en el eje imaginario con ω = 1 rad/seg. y con un comando de referencia para la salida.

D.8.3 Las matrices {A, B, C} de un sistema en lazo abierto son: 

   1 0 0 1 £ ¤ A =  −1 0 4  , B =  0  , C = 1 1 2 0 −1 4 0

Dise˜ nar un controlador, con realimentaci´ on de las variables de estado y con comando de referencia, de modo que la salida del sistema responda como uno de primer orden y que alcance pr´ acticamente el estado estacionario en 1 segundo.

D.9

Del cap´ıtulo 9

D.9.1 Las ecuaciones aproximadas del movimiento de un globo son:

•

θ

•

v •

h

1 θ+u τ1 1 1 = − v + σθ + ω τ2 τ2 = −

= v

donde θ es la desviaci´ on (variaci´ on) en la temperatura del aire del globo con relaci´ on a la temperatura de equilibrio, u es proporcional a la variaci´ on en calor adicionado al aire del globo (control), v es la velocidad vertical, h es la variaci´on en la altura

D.9 Del cap´ıtulo 9

385

desde la altura de equilibrio y ω es la velocidad vertical del viento supuesta constante (perturbaci´ on). a. ¿Pueden θ, v, h y ω ser observadas por una medida continua de h?. Suponer que u es la entrada. b. Es el sistema completamente controlable por u?. Es el sistema completamente controlable por ω?.

D.9.2 Las ecuaciones de estado y de salida de una planta son: ¸ · ¸ 0 1 0 z+ u 1 0 −1 £ ¤ 1 0 z =

•

z

=

y

·

a. Obtener las frecuencias naturales del sistema. b. Suponer que se tiene acceso a las variables de estado z y dise˜ nar un controlador por realimentaci´ on de ´ellas (u = −Kz), de modo que los polos del £sistema en lazo ¤t cerrado queden ubicados en −0.5 ± j0.5. Con el estado inicial z(0) = −0.6 0.35 y con referencia cero, graficar z1 = y, z2 y la se˜ nal de control u = −Kz. c. Dise˜ nar un observador cuyos modos est´en ubicados en −1 ± j1. (Notar que son m´as r´apidos que los polos deseados en lazo cerrado, pero suficientemente lentos para ver claramente su efecto en la respuesta del sistema). d. Hacer el diagrama de bloques donde se muestre todo el sistema: la planta y el compensador completo (observador m´ as realimentaci´ on de las variables de estado estimadas). e. Con el estado inicial dado anteriormente y con el estado inicial de las variables £ ¤t ∧ ∧ ∧ ∧ y con referencia cero, graficar z 1 , z 2 y u = −K z, estimadas z (0) = 0 0 preferiblemente sobre las curvas del punto b. (z1 , z2 y u = −Kz, respectivamente).

D.9.3 Las ecuaciones de estado de un oscilador arm´onico no amortiguado son:

•

x1 (t)

= x2 (t)

• x2

= −ωo2 x1 (t) + u(t)

(t)

nar un compensador con Utilizando una observaci´on de la velocidad, y = x2 , dise˜ observador y realimentaci´ on del estado para controlar la posici´ on x1 . Colocar los polos del controlador por realimentaci´on del estado en s = −ωo ± jωo y ambos polos del observador en s = −ωo .

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