TDC

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UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Industrias ILN-222 Gestión Energética II Profesores: Cecilia Farías Ayudantes: Felipe Monroy Resumen Ecuación Unidimensional de la Conducción de Calor en distintas Geometrías

(

)

̇

Donde:      

ρ es la densidad del material. es el calor especifico del material. es la conductividad térmica del material. corresponde al radio de la esfera o el cilindro, en caso de pared plana suele remplazarse por una x. ̇ es el calor que genera el material. es 0 cuando es pared plana, 1 cuando es cilindro y 2 cuando es una esfera.

Otras ecuaciones importantes: ̇  

Donde r es la normal a la superficie isotérmica en un punto (puede ser x en caso de pared plana o radio en otros casos) A es el área de conducción de calor normal a la dirección de este. (Superficie Isotérmica) ̇





̇

Cuando existe generación de calor uniforme se puede sacar el termino de la integral como constante.

UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Industrias ILN-222 Gestión Energética II Profesores: Cecilia Farías Ayudantes: Felipe Monroy Propiedades Importantes: La conductividad térmica en un punto en la realidad siempre depende de la temperatura en que se encuentra ese punto, pero para la mayoría de los problemas se supondrá como constante, por lo tanto aparece el concepto de difusividad térmica que representa la velocidad con que se propaga el calor a través del material.

Pudiendo modificarse la ecuación general de la conducción de calor: (



Régimen estacionario:



Sin generación de calor: ̇

̇

)

Condiciones de Borde mas Utilizadas: Se conoce temperatura de alguno de los extremos:  

( (

) )

Existe un flujo de calor conocido:  ̇

Evaluado en ese punto. Es necesario siempre respetar la dirección del flujo de calor.



Si existe frontera aislada:



SI hay simetría térmica

(

)

Convección en frontera:  

(

Primer Extremo:

) (

Segundo Extremo:

[ )

( [ (

)]

)

]

Radiación en Frontera:  

(

Primer Extremo:

) (

Segundo Extremo:

Interface:  

(

) (

( )

) (

(

[ )

)

[ (

)

) ] ]

UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Industrias ILN-222 Gestión Energética II Profesores: Cecilia Farías Ayudantes: Felipe Monroy Ejercicios: 1.- Fluye agua por un tubo a una temperatura promedio de . Los radios interior y exterior del tubo son y , respectivamente. La superficie exterior del tubo esta envuelta con un calentador eléctrico delgado que consume 300 W por m de longitud del tubo. La superficie expuesta del calentador esta fuertemente aislada, de modo que todo el calor generado en él se transfiere al tubo. El calor se transfiere de la superficie interior del tubo al agua por convección con un coeficiente de transferencia de calor de . Si se supone conductividad térmica constante y transferencia unidimensional de calor, exprese la formulación matemática (la ecuación diferencial y las condiciones de frontera) de la conducción de calor en el tubo durante una operación estacionaria. No resuelva. 2.- Considere una pared plana grande de espesor L=0.06m y conductividad térmica k=1.2W/m°C en el espacio. La pared esta cubierta con losetas de porcelana blanca que tienen una emisividad de y una absortividad solar de , como se muestra en la figura. La superficie interior de la pared se mantiene a en todo momento, en tanto la exterior esta exppuesta a la radiación solar que incide a razón de ̇ . La superficie exterior también esta perdiendo calor por radiación hacia el espacio profundo que esta a 0 K. Determine la temperatura de la superficie exterior de la pared y la razón de transferencia de calor a través de la pared cuando se alcanzan las condiciones estacionarias de operación. Resumen Resistencias Térmicas Para simplificar el proceso de transferencia de calor existe una analogía que lo compara a un sistema de corriente eléctrica con resistencias. A continuación se presenta esta analogía para placas planas. Como bien es sabido, para una pared, la velocidad de TDC de conducción se puede expresar como ̇ reacomoda esta ecuación se obtiene:

̇

y si definimos

. Si se

como la Resistencia Térmica de

Conducción se obtiene ̇ Tal como se aprecia en la imagen de la derecha, se puede hacer una comparación con un sistema eléctrico, donde la velocidad de TDC vendría siendo la corriente, la resistencia térmica es el equivalente a la resistencia eléctrica y la diferencia de temperaturas es el análogo a la diferencia de voltajes. Cabe destacar que también se puede realizar este ejercicio con la convección, ya que si se define

como la Resistencia Térmica de Convección se obtiene la

misma expresión anterior ( ̇ sistema eléctrico, por ejemplo:

). Gracias a esto se pueden representar sistemas complejos de TDC como un

UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Industrias ILN-222 Gestión Energética II Profesores: Cecilia Farías Ayudantes: Felipe Monroy A partir de este concepto todo sistema térmico de TDC se puede reducir a un sistema de resistencias. Cabe destacar, que al igual que en un sistema eléctrico, existen casos en que las resistencias se encuentren en paralelo, como por ejemplo las imágenes que se encuentran a la derecha.

Con esta reducción de los sistemas de TDC también se reducen los cálculos, de tal forma que todo queda simplificado en ̇ . (Obs: implica la sumatoria de las Resistencias independientes, el cálculo se realiza de la misma forma que en un sistema eléctrico, para resistencias en serie



y para resistencias en paralelo



Un problema siempre presente es que nada es ideal. Por ejemplo, en las construcciones, la unión entre dos materiales sólidos no es perfecta (ya que los materiales no son perfectamente lisos), es decir, la unión entre éstos deja espacios vacíos, que generalmente quedan llenos de aire. Para representar estos “vacíos” se creó el concepto de Resistencia de Contacto. Este concepto representa ese vacío como una resistencia térmica por convección adicional en el sistema. La figura (a) representa una situación ideal, mientras que la figura (b) representa las situaciones reales.

Coeficiente Global de Transferencia de Calor Se define como el Coeficiente Global de TDC y equivale al inverso de la multiplicación entre la Resistencia térmica y el área de transferencia, es decir:

De esta forma la velocidad de TDC se expresa: ̇

Ejercicios 1. Considere una ventana de vidrio de 1.2 [m] de ancho y 2 [m] de largo cuyo espesor es de 6 [mm] y la conductividad térmica es k=0.78 [W/m°C]. Determine la velocidad de TDC estacionaria a través de esta ventana de vidrio y la temperatura de su superficie interior, para un día de invierno cuya temperatura exterior es de -5 °C y la temperatura en el centro del cuarto es de 24 °C. Tome los coeficientes de TDC por convección sobre las superficies interior y exterior de la ventana como hint=10 [W/m2°C] y hext=25 [W/m2°C] y considere despreciable pérdidas por Radiación.

UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Industrias ILN-222 Gestión Energética II Profesores: Cecilia Farías Ayudantes: Felipe Monroy 2. Se va a construir una pared de 10 [in] de espesor, 30 [ft] de largo y 10 [ft] de alto, usando ladrillos sólidos (k=0.4 [Btu/h ft°F]) con una sección transversal de 7 [in] x 7 [in]; o bien, ladrillos de idéntico tamaño con nueve orificios cuadrados llenos de aire en reposo (k=0.015 [Btu/ h ft°F]) que tienen 9 [in] de largo y una sección transversal de 1.5 [in] x 1.5 [in]. Se tiene una capa de mezcla (k=0.1 [Btu/h ft°F]) de 0.5 [in] de espesor entre los ladrillos adyacentes, sobre los cuatro lados y sobre los dos lados dela pared (tal cual como muestra la figura). La casa se mantiene a 80 °F y la temperatura ambiente en el exterior es de 30 °F. Si los coeficientes de TDC en las superficies interior y exterior de la pared son 1.5 y 4 [Btu/h ft2°F] respectivamente, determine la velocidad de TDC a través de a) La pared construida de ladrillos sólidos b) La pared construida de ladrillos con orificios llenos de aire

3. Se tiene un alambre de 2mm de diámetro y 10 m de largo está firmemente envuelto con una cubierta de plástico de 1mm de espesor cuya conductividad térmica es (

) . Las mediciones eléctricas indican que por el alambre pasa una corriente

de 10 A y se tiene una caída de voltaje de 8 V a lo largo del mismo si el alambre aislado está expuesto a un medio a

con un coeficiente

.

a) Determine la temperatura en la interfase del alambre y la cubierta de plástico en operación estacionaria. b) determine si al duplicar el espesor de la cubierta de plástico se incrementará o decrecerá esta temperatura en la interfase. c) determine el espesor del plástico que minimiza la temperatura en la interfase. Hint: el espesor que minimiza la temperatura en la interfase es aquel que maximiza la trasferencia de calor. d) repita el ejercicio pero ahora en vez de alambre considere una resistencia esférica de 5mm de diámetro. ¿Cuál es su radio crítico? ¿Cuál debe ser el espesor de la aislación que maximice la transferencia de calor?