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• Jaime Andrés Aragón Giraldo

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Estudiante 5, ejercicio 15: 15. El chorro de agua que sale de la manguera con que riegas un jardín sigue una trayectoria que puede modelarse con la ecuación x2 – 10x +20y -15 = 0, con las unidades en metros. ¿Cuál es la máxima altura que alcanza el chorro de agua? Solución: Máxima altura que alcanza el chorro de agua: La ecuación que sigue la trayectoria es una parábola, si se reduce se puede saber el valor del vértice que es la máxima altura de esta función. Completando cuadrados para la variable y se dejan los términos de x de lado contrario de la ecuación a los términos de y, no se puede olvidar que es necesario sumar el cuadrado hallado también al lado contrario de la igualdad para no alterarla: x 2 – 10 x=−20 y+ 15 x 2 – 10 x +25=−20 y +15+25 x 2 – 10 x +25=−20 y +40 Se factorizan ambos lados de la ecuación, a la izquierda se factoriza el trinomio cuadrado perfecto y a la derecha se factoriza sacando como factor común -20: ( x−5)2=−20 ( y−2) Así se llega a la fórmula de una parábola que recordemos es: ( x−h)2=4 p( y −k ) Donde (h , k ) representa el vértice de la misma, para nuestro caso, h = 5 y k = 2, por lo tanto el vértice es: V (5,2) Por lo que la altura máxima que alcanza es 2 metros. El foco de la parábola está dado por 4p, se halla igualando 4p con el valor que encontrado en la ecuación que es -20: 4 p=−20 −20 p= 4 p=−5

Dado que p es negativo, nuestra parábola abre hacia abajo. Gráfica en GeoGebra

Conclusión: Ya que la función no está acotada, se asume que el chorro parte desde y = 0 y x = -1.3245, por lo tanto, a 6.3245 metros del punto de salida del chorro se alcanza la altura máxima de 2 metros, y finalmente cae a 12.649 metros desde donde parte el chorro, estos datos son hallados gracias a la gráfica, aplicando zoom hasta llegar a un valor que se puede considerar altamente aproximado.