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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS, GRÁFICAS Y PROBLEMAS TAREA 3: DERIVADAS – CÁLCULO DIFERENCIAL 100410

TAREA 3 DERIVADAS Y GRAFICAS

ADRIANA MARCELA OLIVA QUINA COD: 1113622577

CALCULO DIFERENCIAL TUTOR: DIEGO FERNANDO VASCO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA INGENIERIA INDUSTRIAL CEAD PALMIRA MAYO 2019

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A continuación, se presentan los ejercicios y gráficas y problemas asignados para el desarrollo de Tarea 2, en este grupo de trabajo:

1. Asignación Estudiante 4

EJERCICIOS UNIDAD 3 Calcular la Primera Derivada de las Siguientes Funciones 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) A 𝑦= cos⁡(2𝑥)

ⅆ ⅆ ⅆ sen(2𝑥) cos(2𝑥) ∗ ⅆ𝑥 (sen(2𝑥)) − sen(2𝑥) ∗ ⅆ𝑥 (cos(2𝑥)) = ⅆ𝑥 cos(2𝑥) cos 2 (2𝑥) Las derivadas quedan así: ⅆ ⅆ (sen(2𝑥)) = cos(2𝑥) ∗ ( (2𝑥)) ⅆ𝑥 ⅆ𝑥 La otra derivada se opera asi ⅆ ⅆ (cos(2𝑥)) = − sen(2𝑥) ∗ (2𝑥) ⅆ𝑥 ⅆ𝑥 La derivada faltantes dan como resultado este valor ⅆ (2𝑥) = 2 ⅆ𝑥 Agrupando me queda 2 ∗ cos2 (2𝑥) + ⁡⁡⁡2 ∗ sen2(2⁡x) cos2 (2𝑥) Hay que recordar que: 2(sen2 (2𝑥) + cos2 (2𝑥)) = 2(1) = 2 Lo que me lleva a la siguiente simplificación: 2 ∗ cos2 (2𝑥) + ⁡⁡⁡2 ∗ sen2(2⁡x) 2 = cos2 (2𝑥) cos 2 (2𝑥) Además

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1 = sec⁡(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑥) Reemplazando se tiene: El valor final es: 𝑓´(𝑥) = 2 ∗ sec 2 (2𝑥)

2. Asignación Estudiante 4

B

EJERCICIOS UNIDAD 3 Calcular la Primera Derivada de las Siguientes Funciones 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(cos(𝑥 2 + 2))

La derivada planteada y realizada a través de la derivada del producto que: ⅆ ⅆ (sen(cos(𝑥 2 + 2))) = ( (cos(𝑥 2 + 2))) cos⁡(cos⁡(𝑥 2 + 2)) ⅆ𝑥 ⅆ𝑥 La derivada a realizar es la siguiente ⅆ ⅆ (cos(𝑥 2 + 2)) = − [ (𝑥 2 + 2)] ∗ sen⁡(𝑥 2 + 2) ⅆ𝑥 ⅆ𝑥 Esta derivada es: ⅆ 2 ⅆ 2 ⅆ (𝑥 + 2) = 𝑥 + 2 = 2𝑥 ⅆ𝑥 ⅆ𝑥 ⅆ𝑥 Al reemplazar el valor de cada derivada me queda: 𝑓´(𝑥) = −(2x) ∗ cos(cos(𝑥 2 + 2)) ∗ sen⁡(𝑥 2 + 2)

1. Asignación Estudiante 4

EJERCICIOS UNIDAD 3 Calcular la derivada implícita de la Siguiente función C 𝑥 2 𝑦 3 + 𝑦 2 − 3𝑥 = 𝑥 + 𝑦

𝑥 2 𝑦 3 + 𝑦 2 − 3𝑥 = 𝑥 + 𝑦 Se plantea la derivada de la siguiente forma ⅆ 2 ⅆ 2 3 ⅆ ⅆ (𝑦 ) + (𝑥 𝑦 ) − 3 (𝑥) = (𝑥 + 𝑦) ⅆ𝑥 ⅆ𝑥 ⅆ𝑥 ⅆ𝑥

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Se resuelven las derivadas directas −3

ⅆ (𝑥) = −3 ⅆ𝑥

Además ⅆ 2 ⅆ (𝑦 ) = 2 (𝑦) ∗ 𝑦 ⅆ𝑥 ⅆ𝑥 Me va quedando esta forma ⅆ 2 3 ⅆ (𝑥 𝑦 ) + 2𝑦 ′ (𝑥)𝑦 − 3 = (𝑥 + 𝑦) ⅆ𝑥 ⅆ𝑥 Ahora la derivada a evaluar es la primera ⅆ 2 3 ⅆ ⅆ 2 3 (𝑥 𝑦 ) = 𝑥 2 (𝑦 3 ) + (𝑥 )𝑦 ⅆ𝑥 ⅆ𝑥 ⅆ𝑥 Donde cada derivada me da: ⅆ 3 ⅆ (𝑦 ) = 3 (𝑦)𝑦 2 ⅆ𝑥 ⅆ𝑥 ⅆ 2 (𝑥 ) = 2𝑥 ⅆ𝑥 Agrupando la expresión me queda que: −3 + 3

ⅆ ⅆ (𝑦)𝑦 2 𝑥 2 + (2𝑥)𝑦 3 + 2𝑦𝑦 ′ (𝑥) = (𝑥 + 𝑦) ⅆ𝑥 ⅆ𝑥

Finalmente ⅆ 2 (𝑥 ) = 2𝑥 ⅆ𝑥 ⅆ (𝑦) = 𝑦´(𝑥) ⅆ𝑥 Ahora ⅆ (𝑥) = 1 ⅆ𝑥 −3 + 2𝑥𝑦 3 + 2𝑦𝑦 ′ (𝑥) + 3𝑥 2 𝑦 2 𝑦 ′ (𝑥) = 1 + La última derivada me da:

ⅆ (𝑦) ⅆ𝑥

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ⅆ (𝑦) = 𝑦´(𝑥) ⅆ𝑥 Se reemplaza en la ecuación anterior y queda: −3 + 2𝑥𝑦 3 − 𝑦 ′ (𝑥) + 2𝑦𝑦 ′ (𝑥) + 3𝑥 2 𝑦 2 𝑦 ′ (𝑥) − 1 = 0 Agrupando términos se llega a: (3𝑥 2 𝑦 2 + 2𝑦 − 1)𝑦 ′ (𝑥) = −2𝑥𝑦 3 + 4 Al despejar se llega a la respuesta 𝑦

′ (𝑥)

−2𝑥𝑦 3 + 4 = 2 2 3𝑥 𝑦 + 2𝑦 − 1

1.

Asignación Estudiante 4

EJERCICIOS UNIDAD 3 Resolver la derivada de orden superior solicitada. D 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 3) 𝑓 ′′ (𝑥) =?

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 3) (sen(2𝑥 + 3))´ = cos(2𝑥 + 3) ∗ (2𝑥 + 3)´ 2(𝑥)´ + (3)´ = 2 𝑓´(𝑥) = 2 ∗ (cos⁡(2𝑥 + 3)) Por otro lado 2(cos(2𝑥 + 3))´ (cos(2𝑥 + 3))´ = 2(sen(3 + 2𝑥) ∗ (−(2𝑥 + 3)´)) (2𝑥 + 3)´ = 2 𝑓´´(𝑥) = −4(sen⁡(2𝑥 + 3)) Por ultimo −4(sen(2𝑥 + 3))´ = −4 cos(2𝑥 + 3) (2𝑥 + 3)´ (2𝑥 + 3)´ = (2𝑥)´ + (3)´ = 2 La respuesta es: 𝑓´´´(𝑥) = −8cos⁡(2𝑥 + 3)

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3. Asignación Estudiante 4

EJERCICIOS UNIDAD 3 E

Resolver el límite por L`Hoppital 4𝑥 4 + 5𝑥 3 + 2𝑥 3 + 𝑥 2 𝑥 3 + 4𝑥 2 + 𝑥

4𝑥 4 + 5𝑥 3 + 2𝑥 3 + 𝑥 2 lim 𝑥→2 𝑥 3 + 4𝑥 2 + 𝑥 Se aplica el límite lim  

𝑥→2

4𝑥 4 + 5𝑥 3 + 2𝑥 3 + 𝑥 2 22 + 7(2)3 + 4(2)4 = 𝑥 3 + 4𝑥 2 + 𝑥 2 + 4(2)2 + 23

Se reducen los términos y se llega al siguiente valor 22 + 7(2)3 + 4(2)4 4 + 7 ∗ 8 + 4(2)4 62 = = 2 + 4(2)2 + 23 2 + 16 + 8 13 Como no se presenta ningún tipo de indeterminación o asíntota pues se aplica el límite de forma directa.

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Graficas 2. Realizar las Gráficas en GeoGebra de acuerdo con el Contenido “Derivadas en GeoGebra” comprobando el Concepto de Derivada Estudiante 4

𝑓(𝑥) =

𝑡𝑎𝑛2 (𝑥) 2

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2. Realizar las Gráficas en GeoGebra de acuerdo con el Contenido “Derivadas en GeoGebra” comprobando el Concepto de Derivada Estudiante 4

𝑓(𝑥) =

4𝑥 3𝑥 2

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3. PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Problemas

Asignación A

Sea la función 𝑓(𝑥) = ⁡

Calcule los máximos Calcular mínimos Calcular puntos de inflexión Determinar los puntos críticos

4𝑥 4 −8𝑥 2 −12 3

a) b) c) d)



3

a) b) c) d)

Estudiante 4

Sea la función 𝑓(𝑥) = ⁡

4𝑥 4 −8𝑥 2 −12

Calcule los máximos Calcular mínimos Calcular puntos de inflexión Determinar los puntos críticos

Para calcular los puntos máximos se deriva la función dada de tal manera que se logre identificar los puntos críticos luego se caracterizan para ser máximos o mínimos con la segunda derivada evaluada en los puntos encontrados: 4𝑥 4 − 8𝑥 2 − 12 𝑓(𝑥) = ⁡ 3 𝑓 ′ (𝑥) =

1 [16𝑥 3 − 16𝑥] 3

1 𝑓 ′ (𝑥) = [16𝑥 3 − 16𝑥] = 0 3 1 [16𝑥 3 − 16𝑥] = 0 3 16𝑥 3 − 16𝑥 = 0 𝑥(𝑥 2 − 1) = 0 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) = 0 Puntos obtenidos: 𝑥=0

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𝑥 = −1 𝑥=1 Clasificación de puntos máximos y mínimos:

𝑓 ′′ (𝑥) =

1 [48𝑥 2 − 16] 3

Concavidad hacia abajo 1 16 𝑓 ′′ (0) = [48(0)2 − 16] = − 3 3 Concavidad hacia arriba: 𝑓 ′′ (−1) = 𝑓 ′′ (1) =

1 32 [48(−1)2 − 16] = 3 3 1 32 [48(1)2 − 16] = 3 3

Para obtener los puntos de inflexión se busca la segunda derivada de la función y se evalúan los puntos encontrados en el anterior literal: 𝑓 ′′ (𝑥) =

1 [48𝑥 2 − 16] = 0 3

[48𝑥 2 − 16] = 0 48𝑥 2 = 16 𝑥2 = 𝑥1 =

1 √3

1 3

; ⁡𝑥2 = −

1 √3

;⁡

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3. PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Problemas

Asignación B Estudiante 4

Una finca posee un tanque en forma de cono en el cual se vierte agua a razón de 0.23 metros cúbicos por minuto. El tanque tiene una altura de 3.66 metros y un radio de 183cm. Calcule que tan rápido se está elevando el nivel del agua, cuando el tanque tienen un llenado inicial de 1.22 metros.

Una finca posee un tanque en forma de cono en el cual se vierte agua a razón de 0.23 metros cúbicos por minuto. El tanque tiene una altura de 3.66 metros y un radio de 183cm. Calcule que tan rápido se está elevando el nivel del agua, cuando el tanque tienen un llenado inicial de 1.22 metros. Datos: ℎ = 3.66⁡𝑚 𝑟 = 1.83⁡𝑚 ⅆ𝑉 𝑚3 = 0.23 ⅆ𝑡 𝑚𝑖𝑛 𝑑ℎ

Calcular 𝑑𝑡 cuando ℎ = 1.22⁡𝑚⁡ 1 𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ 3 Se necesita expresar el radio del cono en función de la altura, para llegar a esta solución se emplea la ecuación de la recta, teniendo que ℎ= ℎ=

ℎ2 − ℎ1 𝑟 𝑟2 − 𝑟1

3.66 − 0 ℎ 𝑟→𝑟= 1.83 − 0 2

Luego de tener el valor del radio se sustituye en la ecuación general de volumen: 1 ℎ 2 𝑉 = 𝜋( ) ℎ 3 2 𝑉=

1 ℎ2 𝜋( )ℎ 3 4

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𝑉=

1 ℎ3 𝜋[ ] 3 4

Se deriva con respecto al tiempo y se despeja el diferencial requerido para dar respuesta al ejercicio evaluando los valores dados: ⅆ𝑉 1 3 2 ⅆℎ = 𝜋[ ℎ ] ⅆ𝑡 3 4 ⅆ𝑡 ⅆ𝑉 ⅆℎ ⅆ𝑡 = 1 3 ⅆ𝑡 𝜋 [ ℎ2 ] 3 4 ⅆℎ 0.23 = ⅆ𝑡 1 𝜋 [3 (1.22)2 ] 3 4 ⅆℎ = 0.196752⁡𝑚 ⅆ𝑡