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TAREA 2 –VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES

DANIELA LUCIA VARON PADILLA CODG.1005827620

TUTOR: JUAN PABLO YAGUARA

GRUPO: 100408_204

ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, CONTABLES, ECONÓMICAS Y DE NEGOCIOS UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD 2020

GUÍA DE ACTIVIDADES Y RÚBRICA DE EVALUACIÓN – TAREA 2 VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES Ejercicio 1: conceptualización de matrices, vectores y determinantes.

Ejercicio 2: Resolución de problemas básicos de vectores en ℝ3. Dados los vectores 𝒗⃗y 𝒘⃗, calcule: 1. La suma 𝒖⃗= 𝒗⃗+ 𝒘⃗. 2. La magnitud de 𝒖⃗. 3. La dirección de 𝒖⃗. 4. El ángulo formado por 𝒗⃗y 𝒘⃗. SOLUCIÓN A. 𝒗⃗= (4, −4, 5) y 𝒘⃗= (1, 5, 0). La suma de los vectores dados es igual a: u⃗ =⃗v +⃗ w u⃗ =( 4 ,−4 ,5 )+ ( 1, 5 , 0 ) u⃗ =(5 , 1 ,5) La magnitud del vector resultante es igual a:

|u⃗|=√ 52 +12+ 52=7.14

La dirección del vector resultante esta dada por el componente de cada vector sobre la magnitud α u⃗ =(

5 1 5 , , ) 7,14 7,14 7,14

El ángulo entre los vectores es determinado por: cos θ=

v⃗ ∙ ⃗ w |⃗v||⃗ w|

⃗v ∙ ⃗ w =( 4 ,−4 , 5 ) ∙ ( 1 ,5 , 0 ) =( 4−20+ 0 )=−16

|⃗v|= √4 2 −4 2+5 2=√ 57 |⃗ w|= √ 12 +52 +02= √26 θ=Co s−1

(

−16 =114.56 ° √ 57 √ 26

)

Ejercicio 3: Operaciones básicas entre vectores en ℝ3 Determine el producto cruz de los vectores 𝒖 = (−7, 9, −8); 𝒗 = (9, 3, −8) y luego, desarrollar las operaciones que se indiquen en el literal seleccionado. SOLUCIÓN 

El producto cruz de los vectores se calcula mediante la expresión:

i j k P .Cruz= −7 9 −8 = 9 −8 i− −7 −8 j+ −7 9 k 3 −8 9 −8 9 3 9 3 −8

|

||

| |

| |

|

P .Cruz=[ ( 9 )∗(−8 )−(−8 )∗( 3 ) ] i+ [ (−7 )∗(−8 )−(−8 )∗( 9 ) ] j+[ (−7 )∗( 3 ) −( 9 )∗( 9 ) ]k

P .Cruz= [−48 i−128 j−102 k ]



La operación indicada entre los vectores es igual a: 1 a ¿( 4 u+2 v) ∙( u−v) 2 Se realiza el producto de 4 por el vector u 4 (−7,9 ,−8 )=(−28 , 36 ,−32 ) Se realiza el producto de 2 por el vector v 2 ( 9,3 ,−8 )=( 18 , 6 ,−16 ) Se suman los dos resultados anteriores 4 u+2 v=¿) Se calcula el producto de ½ por el vector u 1 −7 9 (−7,9 ,−8 )= , ,−4 2 2 2

(

)

1 al vector resultante de u se≤resta el vector v 2

( −72 , 92 ,−4)−( 9,3 ,−8 ) 1 −25 3 ( u−v )=( , ,4 2 2 2 )

Finalmente se calcula el producto escalar de los vectores resultantes

( 12 u−v) −25 3 (−10 , 42 ,−48 ) ∙ ( , ,4 2 2 ) ( 4 u+2 v ) ∙

( 125+63−192 ) ( 4 u+2 v ) ∙

( 12 u−v)=−4

Ejercicio 4: Operaciones con matrices y determinantes. Dada las matrices: −2 1 −1 3 −2 0 3 1 0 A= 5 4 −5 B= −4 2 5 C= −5 2 5 4 −3 1 3 5 −3 5 −3 4

(

) (

) (

)

Calcular el determinante de la matriz que resulta de la operación 𝑨 ∗ 𝑩. Luego, desarrolle las operaciones según su literal. SOLUCIÓN 

Producto de las matrices A y B, para ello se multiplican las matrices dado que sus dimensiones lo permiten (3x3) (3x3) y se obtiene como resultado un matriz 3x3

−2 1 −1 3 −2 0 −13 1 8 AB= 5 4 −5 −4 2 5 = −16 −27 35 4 −3 1 3 5 −3 27 −9 −18

(



)(

)(

Se calcula el determinante de la matriz resultante

)

−13 1 8 Det −16 −27 35 =−13 −27 35 −1 −16 35 +8 −16 −27 −9 −18 27 −18 27 −9 27 −9 −18

(

)

|

| |

| |

|

Det =−10413+657+6984=−2772



Se calcula la operación indicada respetando el orden de las operaciones a ¿ AT ∙ BT +C



Para ellos es necesario calcular la traspuesta de las matrices A y B −2 5 4 3 −4 3 T AT = 1 4 −3 B = −2 2 5 −1 −5 1 0 5 −3

(



) (

Luego se realiza el producto de las dos matrices traspuestas

AT ∙ B T −2 5 4 3 −4 3 −16 38 7 1 4 −3 ∗ −2 2 5 = −5 −11 32 −1 −5 1 0 5 −3 7 −1 −31

(

)(



)(

)

Al resultado del producto se le suma la matriz C

AT ∙ B T +C −16 38 7 3 1 0 −5 −11 32 + −5 2 5 7 −1 −31 5 −3 4

(

)

)(

)

−13 39 7 A ∙ B +C= −10 −9 37 12 −4 −27 T

T

(

)

Ejercicio 5: resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes. En cada caso halle la matriz inversa mediante los siguientes métodos: 1 0 3 A= 1 0 2 4 −1 6

(

 

(

)

El método de Gauss-Jordán. El método de gauss jordan se lleva a cabo con relación a la matriz identidad y la realización de operaciones elementales

1 0 31 0 0 1 0 20 1 0 4 −1 6 0 0 1

| ) fila 2: f 2−f 1

(

1 0 3 1 0 0 0 0 −1 −1 1 0 0 −1 −6 −4 0 1

|

fila 3 :f 3−4 f 1

) Intercambio f 2con f 3

(

1 0 3 1 0 0 0 −1 −6 −4 0 1 0 0 −1 −1 1 0

|

)

fila 2: (−1 ) f 2

fila 3 : (−1 ) f 3

1 0 31 0 0 0 1 6 4 0 −1 0 0 1 1 −1 0

( |

) fila 1: f 1−3 f 3

1 0 0 −2 3 0 0 1 0 −2 6 −1 0 0 1 1 −1 0

( | (

−2 3 0 A−1= −2 6 −1 1 −1 0  

fila 2: f 2−6 f 3

)

)

El método de los determinantes. El método de determinante consiste en encontrar la inversa de la matriz mediante la expresión 1 Adj ( A )T | A|

A−1= 

Para ello se calcula la traspuesta de la matriz adjunta

2 −3 0 T ( ) Adj A = 2 −6 1 −1 1 0

(



)

Seguidamente se calcula el determinante 1

0 3 0 2 −0 1 2 + 3 1 0 0 2 =1 −1 6 4 6 4 −1 4 −1 6

|

| A|= 1

|

|

| | | |

|

| A|=1 ( ( 0 ) ( 6 )− (2 )(−1 ) ) −0+3 ( ( 1 )(−1 )−( 0 ) ( 4 ) )=2+0−3=−1 

Finalmente se plantea la expresión de la inversa:

2 −3 0 −2 3 0 1 A = 2 −6 1 = −2 6 −1 −1 −1 1 0 1 −1 0 −1

(

)[

]