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• Luis Libardo Lopez Luna

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Tarea 2. En el siguiente problema debe completar cuadrados para obtener la cónica en la forma canónica (comprobar con Geogebra):

a) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑦 + 2𝑦 − 15 = 0 𝑥 2 + 8𝑦 + 𝑦 2 − 15 = 0 𝑥 2 + 𝑦 2 + 8𝑦 = 15 Para completar cuadrados con respecto a y agregamos 16 a ambos lados de la igualdad 𝑥 2 + (𝑦 2 + 8𝑦 + 16) = 15 + 16 Resolviendo esto nos queda 𝑥 2 + (𝑦 + 4)2 = 15 + 16 𝑥 2 + (𝑦 + 4)2 = 31 Ahora utilizamos la ecuación del circulo con radio r y centro (a, b), (𝑥 + 𝑎)2 + (𝑦 + 𝑏)2 = 𝑟 2 remplazamos estos valores (𝑥 + 0)2 + (𝑦 + 4)2 = √31 Por lo tanto las propiedades del circulo son (a,b)=(0,4),r=√31

b) 2𝑦 2 − 2𝑥 − 2𝑦 + 9 = 0 Para resolver esta ecuación utilizamos la ecuación de la parábola 4𝑝(𝑥 − ℎ) = (𝑦 − 𝑘)2

2𝑥 = 2𝑦 2 − 2𝑦 + 9 Dividimos por 2 toda esta ecuación y nos queda 2𝑥 2𝑦 2 2𝑦 9 = − + 2 2 2 2

Nos queda 𝑥 = 𝑦2 − 𝑦 +

9 2

Utilizamos la siguiente formula que dice

𝑥 2 + 2𝑎 + 𝑎2 𝑦2 − 𝑦 +

9 2

2𝑎 = −1 𝑎=−

1 2

1 1 2 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑎 = − 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 (− ) 𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 2 2 9 1 2 1 2 𝑥 = 𝑦 − 𝑦 + + (− ) + (− ) 2 2 2 2

1 2 1 2 9 𝑥 = 𝑦 − 𝑦 + (− ) − (− ) + 2 2 2 2

1 2 1 9 𝑥 = (𝑦 − ) − + 2 4 2 1 2 17 𝑥 = (𝑦 − ) + 2 4 Despejando esto nos queda 17 1 2 𝑥− = (𝑦 − ) 4 2 Rescribiendo en la formula estándar 17 1 2 𝑥− = (𝑦 − ) 4 2

Rescribiendo la formula estándar 1 17 1 2 4 ∗ (𝑥 − ) = (𝑦 − ) 4 4 2 Por lo tanto, las propiedades de la parábola son

17 1 1 (ℎ, 𝑘) = ( , ) , 𝑝 = 4 2 4

𝐶). 𝑥 2 + 𝑦 2 − 16𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0 Para resolver esta ecuación utilizamos la ecuación del circulo con radio r y centro (a, b), (𝑥 + 𝑎)2 + (𝑦 + 𝑏)2 = 𝑟 2 Primero completamos los cuadrados 𝑥 2 − 16𝑥 + 64 + 𝑦 2 + 2𝑦 + 1 = 64 (𝑥 − 8)2 + (𝑦 + 1)2 = 64 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑠𝑜𝑛. (𝑎, 𝑏) = (8, −1), 𝑟 = 8

𝑒). 5𝑥 2 + 9𝑦 2 + 20𝑥 − 36𝑦 − 369 = 0 Para resolver esta ecuación utilizamos la ecuación de la elipse con centro fuera del origen, centro (h, k) y a, b son los semiejes mayor o menor (𝑥 + ℎ)2 (𝑦 + 𝑘)2 + =1 𝑎2 𝑏2 5𝑥 2 + 9𝑦 2 + 20𝑥 − 36𝑦 − 369 = 0 Primeramente, factorizamos los términos semejantes 5(𝑥 2 + 4𝑥) + 9(𝑦 2 − 4𝑦) = 369

5𝑥 2 + 20𝑥 + 20 − 36𝑦 + 9𝑦 2 + 36 = 369 + 20 + 36 5(𝑥 2 + 4𝑥 + 4) + 9(𝑦 2 − 4𝑦 + 4) = 425 5(𝑥 2 + 4𝑥 + 4) 9(𝑦 2 − 4𝑦 + 4) 425 + = 9∗5 9∗5 9∗5 2 2 (𝑦 (𝑥 + 4𝑥 + 4) − 4𝑦 + 4) 425 + = 9 5 9∗5 (𝑥 + 2)2 (𝑦 − 2)2 425 + = 9 5 9∗5 (𝑥 + 2)2 (𝑦 − 2)2 85 + = 9 5 9 85 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑜 9

1 1 85 (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 2)2 = 9 5 9

1 1 85 (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 2)2 = 9 5 9 1 1 85 9 (𝑥 + 2)2 + 5 (𝑦 − 2)2 = 9 85 85 85 9 9 9 1 425 (𝑦 − 2)2 = 1 (𝑥 + 2)2 + 85 9 (𝑥 + 2)2 (𝑦 − 2)2 + =1 425 85 9 (𝑥 + 2)2 (𝑦 − 2)2 + =1 √85 425 √ 9 2 (𝑦 − 2)2 (𝑥 + 2) + =1 5√17 √85 3 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑠𝑜𝑛: 5√17 (ℎ, 𝑘) = (2, −2), 𝑎 = √85, 𝑏 = 3

𝐹). 25𝑥 2 + 16𝑦 2 + 150𝑥 + 128𝑦 − 1119 = 0

Para resolver esta ecuación utilizamos la ecuación de la elipse con centro fuera del origen, centro (h, k) y a, b son los semiejes mayor o menor (𝑥 + ℎ)2 (𝑦 + 𝑘)2 + =1 𝑎2 𝑏2 25𝑥 2 + 16𝑦 2 + 150𝑥 + 128𝑦 − 1119 = 0 Primeramente, factorizamos los términos semejantes

25𝑥 2 + 150𝑥 + 16𝑦 2 + 128𝑦 − 1119 = 0 25(𝑥 2 + 6𝑥) + 16(𝑦 2 + 8𝑦) = 1119 25(𝑥 2 + 6𝑥 + 9) + 16(𝑦 2 + 8𝑦 + 16) = 1119 25(𝑥 2 + 6𝑥 + 9) + 16(𝑦 2 + 8𝑦 + 16) = 1119 + 225 + 256 25(𝑥 2 + 6𝑥 + 9) + 16(𝑦 2 + 8𝑦 + 16) = 1600 25(𝑥 + 3)2 + 16( 𝑦 + 4)2 = 1600 Dividimos todo esto entre 400 25(𝑥 + 3)2 16( 𝑦 + 4)2 1600 + = 400 400 400 (𝑥 + 3)2 ( 𝑦 + 4)2 + =4 16 25 1 1 (𝑥 + 3)2 + 25 ( 𝑦 + 4)2 = 4 16 1 16

4 1 64

2

(𝑥 + 3) +

1 25

4 1

dividimos todo esto entre 4

4

( 𝑦 + 4)2 = 4

(𝑥 + 3)2 + 100 ( 𝑦 + 4)2 = 1

(𝑥 + 3)2 ( 𝑦 + 4)2 + =1 64 100 (𝑥 + 3)2 ( 𝑦 + 4)2 + =1 (8)2 (10)2 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑠𝑜𝑛:

(ℎ, 𝑘) = (−3, −4), 𝑎 = 8, 𝑏 = 10