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TAREA 2 - SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS Y PLANOS

TUTOR: OSCAR IVAN ALVAREZ

ELABORADO POR: Andres felipe GRUPO: 208046_367

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAUNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA INGENIERIA ELECTRÓNICA AGUAZULCASANARE NOVIEMBRE 06 DE 2019 INTRODUCCIÓN

Mediante la realización de este trabajo se reconocerá la importancia de los conceptos matemáticos elementales sobre sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos, expresando soluciones a problemas básicos que impliquen el uso de los mismos, justificando sus procedimientos y resultados. De esta manera permitirá al estudiante resolver correctamente problemas en situaciones frecuentes, a través del desarrollo de los diferentes ejercicios establecidos en esta actividad.

Ejercicio 1: Conceptualización de sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos. Descripción Del Ejercicio 1

a) Qué es un sistema de ecuaciones lineales y a qué corresponden sus

variables,

coeficientes y valores independientes.

Solución:

Ejercicio 2: Aplicación de conceptos de sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas básicos. Descripción Del Ejercicio 2

2.1. Resuelva de entre los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, el que le corresponda según el ítem (a, b, c, d ó e) seleccionado, empleando el método de reducción de Gauss-Jordan. Valide su resultado graficando en Geómetra* el punto de intersección de las rectas que describen cada ecuación. Debe relacionar el pantallazo de la comprobación y todo el procedimiento de reducción explicándolo paso a paso. a) 2𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = −17 𝑥 − 2𝑦 + 6𝑧 = 35 2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = −14 Solución: Empleamos el método de reducción de Gauss-Jordan, para resolver el sistema de ecuaciones, llevando a cabo la reducción por renglones. 1 2 1 −4 −17 1 2 1 (1 −2 6 | 35 ) 𝑅1 ∗ → (1 −2 2 2 3 −5 −14 2 3 1 2 5 0 −2 (0 2 1

1 1 2 0 1 (0 0

17 −2 − 1 2 2 | 87 𝑅2 ∗ (− ) → 0 8 2 5 (0 −1 3 ) 17 −2 − 2 1 5 16| −87 𝑅3 ∗ → − 5| 5 0 27 27 189 (0 5 5 )

1 2 1 2

17 −2 − 2 𝑅2 − 𝑅1 6 | 35 ) 𝑅3 − 2𝑅1 −5 −14 17 −2 − 2 16| −87 𝑅3 − 2𝑅2 → − 5 5 −1 3 )

1 2

17 −2 − 2 16 16| −87 𝑅2 + 𝑅3 → 1 − 5 5 5 0 1 7 )

17 1 1 2 −2 − 2 1 (0 1 0 | ) 𝑅1 + 2𝑅3 → (0 5 0 0 1 7 0

11 1 2 0| 2 ) 𝑅1 − 1 𝑅2 → 1 0 5 2 0 1 7

1 0 03 (0 1 0|5) 0 0 17 Se tiene que: 𝑥 = 3 ; 𝑦 = 5; 𝑧 = 7

COMPROBACIÓN EN GEOGEBRA

2.2. Formule (no resuelva) el sistema de ecuaciones que describe cada uno de los siguientes escenarios, acorde al ítem (a, b, c, d, e) que viene trabajando: a) Una empresa de tecnología elabora 3 productos diferentes A, B y C, los cuales se constituyen con los componentes x, y, z. Si el producto A requiere 2 componentes ‘x’, 5 componentes ‘y’, y 6 componentes ‘z’, B requiere 3, 4 y 7 respectivamente, y C necesita 6, 3 y 1 respectivamente, y a su vez, la compañía desea construir 100 productos A, 120 de B y 90 de C, ¿cuál es el sistema de ecuaciones que permitiría encontrar la cantidad de componentes x, y, z necesarios para lograr esa producción total?

Solución: Sea: 2𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 100 3𝑥 + 4𝑦 + 7𝑦 = 120 6𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 90

Ejercicio 3: Aplicación de conceptos de rectas en R3 en la solución de problemas básicos. Descripción Del Ejercicio 3 Defina las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas, de las siguientes rectas, y grafíquelas con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab): a) De la recta que pasa por los puntos P= (2,7,8) y Q= (3,4,7).

Solución: Sea: 𝑃 = (2,7,8) 𝑦 𝑄 = (3,4,7) La ecuación vectorial de la recta es (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑄 + 𝑡𝑣 Determinamos el vector director (𝑣) 𝑣 = (2,7,8) − (3,4,7) 𝑣 = (−1,3,1) Reemplazamos (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3,4,7) + 𝑡(−1,3,1) Para obtener la ecuación paramétrica realizamos lo siguiente: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3,4,7) + (−𝑡, 3𝑡, 𝑡) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3 − 𝑡, 4 + 3𝑡, 7 + 𝑡) Se tiene: 𝑥 =3−𝑡 𝑦 = 4 + 3𝑡 𝑧 = 7+𝑡

La ecuación simétrica de QP 𝑡=

𝑥 − 𝑥0 𝑦 − 𝑦0 𝑧 − 𝑧0 ,𝑡 = ,𝑡 = 𝑣1 𝑣2 𝑣3

𝑡=

𝑥−3 𝑦−4 𝑧−7 ,𝑡 = ,𝑡 = −1 3 1

−𝑥 + 3 =

𝑦−4 = 𝑧−7 3

GRAFICA EN GEOGEBRA

Ejercicio 4. Aplicación de la teoría de planos en la solución de problemas básicos. Descripción Del Ejercicio 4 Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de Geogebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab): a) ¿Son paralelos los siguientes planos 1:2x-4y+10z=5 y 2:6x-12y+30z=15? Justifique su respuesta empleando un producto cruz. Grafique ambos planos.

Solución: Para que los planos sean paralelos debe ser 1 ∥ 2 ⇔ 1x2 = 0

Sea: 𝑖 𝑗 1x2 = |2 −4 6 −12

𝑘 10| 30

1x2 = ((−4)(30) − (10)(−12))i − ((2)(30) − (10)(6))j + ((2)(−12) − (−4)(6))k 1x2 = (0,0,0) = 0 Respuesta: Los planos son paralelos GRÁFICA EN GEOGEBRA

Ejercicio 5. Sustentación individual de la actividad en video.

Descripción Del Ejercicio 5 Cada estudiante debe realizar un video muy corto (de 2 minutos máximo), en el cual aparezca sustentando los aspectos claves de la temática que trató en el mapa conceptual que elaboró en el punto 1. No requiere emplear ninguna proyección, lo importante es que se vea el estudiante a la hora de su explicación.

Solución: TABLA ENLACE VIDEO EXPLICATIVO. No Grupo

Enlace video explicativo

208046_367

https://youtu.be/IXDa2sJS28o

Ejercicio 6. Aplicación de la teoría de rectas, planos y reducción de sistemas lineales, en un caso teórico práctico. Ejercicio grupal.

Descripción Del Ejercicio 6 A continuación, se presentan las ecuaciones de 2 planos. Debe emplearse un producto cruz para verificar si dichos planos son paralelos, y en caso de no serlo, deben establecerse las ecuaciones paramétricas que describan la recta que se forma en la intersección de éstos. 1:5x-7y+3z=15 2:9x+2y+3z=5

Solución: Para que los planos sean paralelos debe ser 1 ∥ 2 ⇔ 1x2 = 0 Sea: 𝑖 𝑗 𝑘 1x2 = |5 −7 3| 9 2 3

1x2 = ((−7)(3) − (3)(2))i − ((5)(3) − (3)(9))j + ((5)(2) − (−7)(9))k 1x2 = (27, −42,73) Para paramétrica realizamos lo siguiente: Sea: 𝑃 = (5, −7,3) 𝑦 𝑄 = (9,2,3) Determinamos el vector director (𝑣) 𝑣 = (9,2,3) − (5, −7,3) 𝑣 = (4,9,0) Reemplazamos (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (4,9,0) + 𝑡(4,9,0) Para obtener la ecuación paramétrica realizamos lo siguiente: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (9,2,3) + (4𝑡, 9𝑡, 0) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (9 + 4𝑡, 2 + 9𝑡, 3 + 0) Se tiene: 𝑥 = 9 + 4𝑡 𝑦 = 2 + 9𝑡 𝑧 = 3 + 0𝑡 Sea 𝑡 = 1 𝑥 = 9 + 4(1) ⟶ 𝑥 = 13 𝑦 = 2 + 9(1) ⟶ 𝑦 = 11 𝑧 = 3 + 0(1) ⟶ 𝑧 = 3 𝑅 = (13,11,3)

GRAFICA EN GEOGEBRA

CONCLUSIONES  Se logró reconocer la importancia que tiene cada una de las temáticas planteadas tales como sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos, lo cual fortaleció los conocimientos mediante el desarrollo de cada uno de los ejercicios planteados para esta actividad.  Se comprendió la importancia que tienen cada uno de los temas vistos, como herramienta fundamental para tener un exitoso proceso de aprendizaje durante el desarrollo de esta materia.  Se aprendió a utilizar y a dominar la herramienta Geogebra, la cual es muy útil, puesto que nos permite realizar diferentes tipos de actividades, en este caso gráficas relacionadas a planos y rectas.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS  Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 68 a 79. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=77&docID =10584265&tm=1468967325440  Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 164 a 182. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7081  Vargas, J. (2015). Sistemas de ecuaciones lineales: Matriz inversa. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7191  Amaya, H. (2016). Sistemas [Video]. Universidad Nacional de http://hdl.handle.net/10596/7192

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