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Tarea 1(b) - Sistemas de Comunicaciones

3 de abril de 2013 Enunciado Considerando la f´ ormula que representa la dependencia del ´ındice de refracci´on a la longitud de onda (n = n(λ)), dada por Sellmeier es: s X Gk λ2 n= 1+ (1) λ2 − λ2k k

donde, para una fibra ´ optica de SiO2 los coeficientes son: G1 = 0.696750

λ1 = 0.06900 µm

G2 = 0.408218

λ2 = 0.115662 µm

G3 = 0.890815

λ3 = 9.900559 µm

y para una fibra ´ optica de Si los coeficientes son: G1 = 10.6684

λ1 = 0.3015 µm

G2 = 0.0030

λ2 = 1.1347 µm

G3 = 1.5413

λ3 = 1104.0 µm

Se pide: a) Generar un gr´ afico del ´ındice de refracci´on de fase n en funci´on de la longitud de onda, para el siguiente rango: 0.2 µm ≤ λ ≤ 2 µm para ambas fibras. b) Use la expresi´ on del ´ındice de refracci´on grupal N y grafique ´este para ambas fibras y el mismo rango espectral de (a). c) Use la expresi´ on y grafique para ambas fibras el coeficiente de dispersi´on Dm para el siguiente rango: 0.8 µm ≤ λ ≤ 1.6 µm. Usando la expresi´on obtenida, demuestre a qu´e longitud de onda el coeficiente Dm es cero, para ambas fibras.

Desarrollo a) En la figura 1 se muestran los gr´aficos de los ´ındices de refracci´on de fase para ambas fibras, en ´estas se observa que para 0.2 µm ≤ λ ≤ 2 µm los coeficientes de refracci´on disminuyen al aumentar la longitud de onda y por lo tanto, seg´ un la ley de Snell, el ´angulo cr´ıtico aumenta aumentar´a con la longitud de onda. El salto que se observa en la figura 1(b), para λ ≈ 0.3 µm se debe a que el valor obtenido de n es complejo y solo se gr´afica la parte real que es cero. La discontinuidad 1

1.58

60

1.56

50 1.54

40

n

n

1.52 1.5

30

1.48

20 1.46

10 1.44 1.42 0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

0 0.2

2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

λ [µm]

λ [µm]

(a) Fibra de SiO2

(b) Fibra de Si

Figura 1: ´Indice de refracci´on de fase para fibras de SiO2 y Si. que se observa para λ ≈ 1.1 µm, se debe a que al evaluar la ecuaci´on Sellmeier se realiza una divisi´ on por λ2 − λ22 lo que da por resultado un valor de n → ±∞. Adem´ as cualquier interpretaci´on de ´este gr´afico (para la fibra de Si) en dominios de λ cercanos a alg´ un λk carece de sentido, ya que la ecuaci´on de Sellmeier se deduce de una ecuaci´ on m´ as general bajo la hip´otesis de que λ es distante de los valores de λk (Handbook of Optics, 3rd Ed, Vol 4). b) Derivando la ecuaci´ on (1) se obtiene dn = dλ

P

k

2

2Gk λ(λ2 −λ2k )−2Gk λ3 (λ2 −λ2k )2

q P 1+ k

G k λ2 λ2 −λ2k

P Gk λ2k λ k (λ2 −λ 2 )2 λ X Gk λ2k k = −q = − P λ2 n (λ2 − λ2k )2 1 + k λG2 k−λ 2 k

(2)

k

entonces el ´ındice de refracci´ on grupal es N =n−λ

dn λ2 X Gk λ2k =n+ dλ n (λ2 − λ2k )2 k

Los gr´ aficos del ´ındice de refracci´on grupal para ambas fibras se muestran en la figura 2. 1.85

18000

1.8

16000

1.75

14000 12000

1.7

N

N

10000

1.65

8000

1.6 6000

1.55 4000

1.5

0.2

2000

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

0 0.2

2

λ [µm]

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

λ [µm]

(a) Fibra de SiO2

(b) Fibra de Si

Figura 2: ´Indice de refracci´on grupal para fibras de SiO2 y Si.

2

1.8

2

c) Al derivar la ecuaci´ on (2) se obtiene X Gk λ2 n − λ dn Gk λ2k λX d d2 n dλ k − = − dλ2 n2 dλ (λ2 − λ2k )2 (λ2 − λ2k )2 n k

k

N X Gk λ2k 4λ2 X Gk λ2k =− 2 + n n (λ2 − λ2k )2 (λ2 − λ2k )3 k

k

En el gr´ afico de la figura 3(a) se observa que para λ ≈ 1.276 µm el coeficiente de dispersi´ on del material ser´ a aproximadamente cero. Para la fibra de Si, al hacer un zoom alrededor de Dm (λ)|λ=1.1347 µm se encuentra un λ0 tal que Dm (λ0 ) = 0 pero esto se debe la divisi´ on por cero comentada en la parte (a) que causa un cambio de signo en el coeficiente de dispersi´on. 11

x 10 7

20

6

0

5

i ps nm·km

−20

Dm = 0 λ = 1.276 µm

h Dm

3

h

−40

4

Dm

ps nm·km

i

40

−60

2

−80

1

−100

0

−120 0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

−1 0.8

1.6

λ [µm]

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

λ [µm]

(a) Fibra de SiO2 .

(b) Fibra de Si

Figura 3: Coeficiente de dispersi´on del material para fibras de SiO2 y Si. Al calcular

dN dλ

se obtiene dN d2 n = −λ 2 dλ dλ

lo que junto con los gr´ aficos de la parte (b) permiten concluir que al menos para la fibra de SiO2 al usar una longitud de onda λ = 1.276 µm se obtiene el m´ınimo ´ındice de refracci´ on grupal.

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