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• FelipeDiaz

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˜ UNIVERSIDAD ANTONIO NARINO Matem´aticas Especiales Taller N◦ 2: Funciones complejas, l´ımites, continuidad, derivabilidad y analiticidad Grupo de Matem´aticas Especiales

Objetivos 1. Determinar la existencia de l´ımites de funciones de variable compleja. En caso de que existan calcularlos y en caso contrario justificar la no existencia de los mismos. 2. A partir de la definici´on de continuidad y de resultados conocidos determinar la continuidad de algunas funciones de variable compleja. 3. Determinar cu´ando una funci´on dada es derivable a partir de la definici´on y de resultados conocidos. 4. Estudiar la derivabilidad y analiticidad de funciones de variable compleja a partir de las ecuaciones de Cauchy-Riemann, e identificar los puntos singulares y regulares de tales funciones.

Ejercicios 1. Si f (z) = z 2 , probar que l´ım f (z) = z02 . z→z0

2. Determine la existencia de los siguientes l´ımites. En caso de que existan h´allelos, en caso contrario justifique la no existencia. a) b)

3z 4 − 2z 3 + 8z 2 − 2z + 5 c) z→i z−i l´ım (z 3 − 4z + 6) l´ım

z→1−i

1

(z − i)(z + 4) z→−4i z2 + 1 l´ım

d)

l´ım√

z→1+i

e)

h)

i)

z3 + 8 4 2 3 z + 4z + 16

f)

z2 − z + 1 − i z→1+i z 2 − 2z + 2

g)

l´ım

z2 + 1 z→i z 6 + 1 ¶ µ z−1−i 2 l´ım z→1+i z 2 − 2z + 2 l´ım

(

z 2 z 6= z0 z→z0 0 z = z0 ( z 2 + 2z z 6= i l´ım f (z), si f (z) = z→i 3 + 2i z=i l´ım f (z) si f (z) =

3. Encontrar los puntos de discontinuidad de f (z) =

z2 + 4 . z − 2i

z es continua en todos los puntos dentro y +1 sobre el c´ırculo unidad |z| = 1 excepto en cuatro puntos, y determinar esos puntos.

4. Demostrar que f (z) =

z4

5. Hallar todas las discontinuidades de las siguientes funciones. 3z − 2 + 2z + 2 2 2z + 4 b) f (z) = 4 z − 16

a) f (z) =

z2

6. Mediante la definici´on, encontrar la derivada de las siguientes funciones. a) f (z) = 2z 3 − 2z + 1.

c) f (z) = 3z −2 2z − i d ) f (z) = z + 2i

b) f (z) = 2z 3 + iz 7. Demostrar que

d ¡ 2 ¢ z z¯ existe en ninguna parte. dz

8. Usando la definici´on demostrar que a) b)

l´ım Re z = Re z0

c)

z→z0

l´ım z¯ = z0

z→z0

2

z¯2 =0 z→0 z l´ım

9. Hallar f 0 (z) cuando a) f (z) = 4z 3 + 3z − 6

c) f (z) =

2z − 6 3 , z 6= 2 (3 − 4z) 4

b) f (z) = (2 − 6z 5 )8

d ) f (z) =

(1 + 3z 5 )7 z3

10. Verifique que f 0 (z) no existe en ning´ un punto si a) f (z) = z¯

d ) f (z) = 2x + ixy 2

b) f (z) = Re z

e) f (z) = z − z¯

c) f (z) = Im z

f)

f (z) = ex e−iy

11. Verificar las ecuaciones de Cauchy-Riemann para  2  z¯ si z 6= 0 f (z) = z 0 si z = 0 12. Verificar que las siguientes funciones son enteras.

a) f (z) = 3x + y + i(3y − x) c) f (z) = (z 2 − 2)e−x e−iy b) f (z) = e−y sin x − ie−y cos x 13. Probar que las siguientes funciones son anal´ıticas en ning´ un punto. c) f (z) = ey eix

a) f (z) = xy + iy b) f (z) = 2xy + i(x2 − y 2 )

14. Determinar los puntos singulares de las siguientes funciones. 3x + 1 z(z 2 − 4) 5z + 4 b) f (z) = 3 z + 6z − 2

a) f (z) =

c) f (z) =

3 (z − 1)(z 2 − 9)(z 2 + 2z − 7)

3