Taller 1: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Henry Steven Rueda Corredor ´ Algebra Lineal Universidad Nacional de Colombi
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Taller 1: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Henry Steven Rueda Corredor ´ Algebra Lineal Universidad Nacional de Colombia March 14, 2020
1. Considere las siguientes matrices: 1 2 3 A= 2 1 5 1 0 B = 2 1 3 −2 De ser posible calcule: (a) (2A)T (b) (A − B)T (c) (3B T − 2A)T (d) (3AT − 5B T )T (e) (−A)T (f) −AT 2. Demuestre (a) La suma y la diferencia de dos matrices triangulares superiores es una matriz triangular superior (b) Si A es una matriz triangular superior, entonces AT es triangular inferior 3. Multiplicaci´on y 1 2 x 6 , determine x y y. (a) Sean A = B = x. Si AB = 3 −1 2 8 1 1
(b) Si A es una matriz de tama˜ no 6 x 8 y AB es una matriz de tama˜ no 6 x 9. ¿Cu´al es el tama˜ no de la matriz B? 5 0 3 4 6 5 (c) Encuentre B tal que AB = C. Si A = yC= . −1 2 0 1 3 5 5 0 (d) Sea A = determine el valor de κ para el cual A es una ra´ız del 2 κ polinomio f (x) = x2 − 25 1 1 x y (e) Si A = yB= encuentre x, y, z, w tal que A y B con0 1 z w muten (f) Un proyecto de investigaci´on nutricional tiene como base de estudio a adultos y ni˜ nos de ambos sexos de la siguiente manera: Adultos Ni˜ nos Hombres 80 120 Mujeres 100 200 El n´ umero de gramos diarios de prote´ınas, grasa y carbohidratos que consume cada ni˜ no y adulto est´a dado por: Prote´ınas Grasa Carbo. Adultos 20 20 20 Ni˜ nos 10 20 30 i. ¿Cu´antos gramos de prote´ınas ingieren diariamente todos los hombres, tanto adultos como ni˜ nos? ii. ¿Cu´antos gramos de grasas consumen a diario todas las mujeres, tanto ni˜ nas como adultas? 4. (a) Sean p y q enteros no negativos, y sea A una matriz cuadrada. Demuestre que : Ap Aq = Ap + q (b) Demuestre que si A y B son matrices diagonales de n x n AB = BA cosθ senθ (c) Sea A = −senθ cosθ i. Determine A2 y A3 ii. Determine Ak donde k es un entero positivo (d) Una matriz A = [aij ] es antisim´etrica si AT = −A. Demuestre que A es antisim´etrica si y s´olo si aij = −aji (e) Si A es una matriz de n x n demuestre que: 2
i. A + AT es sim´etrica ii. A − AT es antisim´etrica (f) ¿Si A y B son matrices ortogonales, entonces AB es ortogonal? (g) ¿Si A y B son idempotentes y conmutan, entonces AB es idempotente? 5. Sistema de ecuaciones (a) Determine todas las soluciones, si las hay, del sistema lineal dado en cada caso i.
ii.
iii.
iv.
x + y + 2z + 3w = 13 x − 2y + z + w = 8 3x + y + z − w = 1 x+y+z =1 x + y − 2z = 3 2x + y + z = 2 x + 2y + 3z = 0 x+y+z =0 5x + 7y + 9z = 0 2x − y + z + w − t = 0 3x + y − 2z + 2t = 0 x − y + z + 2w = t
(b) Determine todos los valores de a para los cuales el sistema i. Tiene u ´nica soluci´on ii. Tiene infinitas soluciones iii. Es inconsistente i.
ii.
x+y−z =2 x + 2y + z = 3 x + y + (a2 − 5)z = a x+y+z =2 2x + 3y + 2z = 5 2x + 3y + (a2 − 1)z = a + 1 3
iii.
x+y =3 x + (a2 − 8)y = a
iv.
(a − 1)x − 2y + 2z = 0 −x + ay − 2z = 0 −x − y + (a − 1)z = 0 1 1 0 3 5 −2 ,B= ,C = yD= (c) Dadas las matrices A = 2 −1 2 1 1 3 2 1 24 −12 . Demuestre que la matriz H = es una combinaci´on −7 3 23 17 lineal de las matrices A, B, C, D. (d) Demuestre que los valores de λ para los que el sistema es homog´eneo tiene soluci´on no trivial (a − λ)x + by = 0 cx + (d − λ)y = 0 satisfacen la ecuaci´on (a − λ)(d − λ) − bc = 0 6. Inversa de una matriz 1 1 0 (a) Encuentre todos los valores de a para los cuales la matriz A = 1 0 0 1 2 a tiene inversa. 1 1 1 (b) Sea A−1 = 1 1 2. Encuentre A. 1 −1 1 (c) Encuentre la inversa de las siguientes matrices 1 3 i. A = 2 4 1 2 1 ii. B = 1 3 2 1 0 1 1 1 1 1 1 3 1 2 iii. A = 1 2 −1 1 5 9 1 6
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(d) Demostrar que si una matriz cuadrada satisface A2 − 3A + I = 0, entonces: A−1 = 3I − A cosθ senθ (e) Demuestre que la matriz A = es uno singular y calcule −senθ cosθ su invera (f) Demuestre que si Anxn es sim´etrica y no singular, entonces A−1 es sim´etrica
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