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• Vanesa Campo Difilippo

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TALLER III (PROBABILIDAD Y VARIABLES ALEATORIAS) ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL 1. Las tuercas producidas por cierta máquina se clasifican de dos maneras: 𝐴: la tuerca cumple con las especificaciones y 𝐵: La tuerca no cumple con las especificaciones. Se seleccionan al azar tres de estas tuercas. Si las clasificaciones son independientes, el encuentre el espacio muestral para este experimento 2. Cada muestra de cuatro hipotecas residenciales está clasificada como tasa fija (F ) o tasa variable (V ). a) ¿Cuáles son los 16 resultados en el espacio muestral S ?. Realice la representación en diagrama de árbol. b) ¿Qué resultados están en el evento en que exactamente tres de las hipotecas seleccionadas son de tasa fija? c) ¿Qué resultados están en el evento en que las cuatro hipotecas son del mismo tipo? d) ¿Qué resultados están en el evento en que a lo sumo una de las cuatro es una hipoteca de tasa variable? e) ¿Cuál es la unión de eventos en los incisos c) y d) y cuál es la intersección de estos dos eventos? f) ¿Cuáles son la unión e intersección de los dos eventos en los incisos b) y c)? 3. En una encuesta sobre preferencias de los canales de T.V., 7, 9 y 13 se obtuvo la siguiente información: 55 Encuestados ven el canal 7, 15 Sólo ven el canal 7 y el canal 9, 33 Ven el canal 7 y el canal 13, 3 Sólo ven el canal 13, 25 Ven los tres canales, 46 Ven el canal 9, 6 No ven T.V, 2 Sólo ven el canal 13 y el canal 9. Realice el diagrama de Venn y calcule: a) La cantidad de personas encuestadas. b) La probabilidad de que las personas que ven sólo el Canal 9. 4. La probabilidad de que un estudiante repita Matemáticas I es 0.85, de que repita Geometría es 0.7, de que repita sólo Matemáticas I es 0.25. Calcule la probabilidad de no repetir alguna de las dos materias 5. Se analizan 50 unidades de poli carbonato plástico para determinar su resistencia a las rayaduras y a los golpes. Se encuentra que 44 unidades presentan alta resistencia a las rayaduras, 42 presentan alta resistencia a los golpes y 40 presentan alta resistencia a las rayaduras y a los golpes. Si se elige al azar una de estas unidades, calcule la probabilidad de que presente alta resistencia respecto a solo una de las dos características analizadas. 6. Considere seleccionar al azar un estudiante en cierta universidad y que A denote el evento en que el individuo seleccionado tenga una tarjeta de crédito Visa y que B sea el evento análogo para la tarjeta MasterCard. Suponga que P(A)=0.5, P(B)= 0.4 y P(A ∩ B) = 0.25. a) Calcule la probabilidad de que el individuo seleccionado tenga por lo menos uno de los dos tipos de tarjetas (es decir, la probabilidad del evento A∪B).} b) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo seleccionado no tenga ningún tipo de tarjeta?

Mg. Liliana Carolina Molina Blanco

TALLER III (PROBABILIDAD Y VARIABLES ALEATORIAS) ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL 7. Una compañía de seguros ofrece cuatro diferentes niveles de deducible, ninguno, bajo, medio y alto, para sus tenedores de pólizas de propietario de casa y tres diferentes niveles, bajo, medio y alto, para sus tenedores de pólizas de automóviles. La tabla adjunta da proporciones de las varias categorías de tenedores de pólizas que tienen ambos tipos de seguro. Por ejemplo, la proporción de individuos con deducible bajo de casa como deducible bajo de carro es 0.06 (6% de todos los individuos).

Suponga que se elige al azar un individuo que posee ambos tipos de pólizas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo tenga un deducible de auto medio y un deducible de casa alto? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo tenga un deducible de casa bajo y un deducible de auto bajo? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo se encuentre en la misma categoría de deducibles de casa y auto? d) Basado en su respuesta en el inciso c), ¿cuál es la probabilidad de que las dos categorías sean diferentes? e) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo tenga por lo menos un nivel deducible bajo? f) Utilizando la respuesta del inciso e), ¿cuál es la probabilidad de que ningún nivel deducible sea bajo? 8. Para satisfacer la demanda de los granjeros de utilizar pinos blancos jóvenes como protección contra el viento, los empleados del servicio forestal tomaron muestras de los granjeros del estado. Hallaron que el 30 % había adquirido árboles del servicio forestal en años anteriores, el 40 % había anticipado el pedido de árboles para el año siguiente, el 10% había adquirido árboles en el pasado y anticipado el pedido de árboles para el año siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que un granjero seleccionado aleatoriamente haya adquirido árboles en el pasado o haya anticipado el pedido para el año siguiente? ¿Cuál es la probabilidad de que un granjero seleccionado aleatoriamente haya adquirido árboles en el pasado, pero no haya realizado ningún pedido por adelantado para el año siguiente? 9. En una encuesta a 100 personas acerca de sus preferencias de bebidas marca A, B y C. Se obtuvieron los siguientes resultados: 24 beben C, 9 sólo beben B, 7 beben sólo C y B, 43 no beben estas marcas, 8 sólo beben C y A, 6 beben las tres marcas y 13 beben B y A. Con la información entregada construya un diagrama de Venn Euler y luego Calcule la probabilidad de escoger una persona al azar que: a) bebe sólo A b) bebe a lo menos dos de estas marca Mg. Liliana Carolina Molina Blanco

TALLER III (PROBABILIDAD Y VARIABLES ALEATORIAS) ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL c) bebe B 10. Se ha determinado que el 62 % de todos los servicios sanitarios está financiado por fundaciones privadas, que el 70 % se financia por medio de cooperativas de empresarios y trabajadores, y que el 50 % se financia tanto por fundaciones privadas como por medio de cooperativas de empresarios y trabajadores. ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente elegido al azar sea atendido por unos servicios sanitarios que dependan financieramente de una fundación privada o de una cooperativa de empresarios y trabajadores? ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente elegido al azar sea atendido por unos servicios sanitarios financieramente dependientes de una cooperativa de empresarios y trabajadores, pero no de una fundación privada?

11. En un parque natural se detectan tres plagas. El 25% de los árboles tienen la enfermedad A, el 20% la B y el 30% la C. El 12% la A y la B, el 10% la A y la C, el 11% la B y la C y el 5% tienen las tres enfermedades. Calcular las probabilidades siguientes: a) Un árbol tenga alguna de las enfermedades b) Un árbol tenga la enfermedad A pero no la B c) Un árbol tenga la enfermedad B y C pero no la A 12. En una investigación se examinó el fracaso para mantener reducidos los riesgos de SIDA en un estudio de consumo de drogas intravenosas en la ciudad de Nueva York. La siguiente tabla muestra a los sujetos del estudio, en referencia cruzada; por estado de reducción de riesgos y número de compañeros sexuales en un mes promedio:

a) Si se selecciona a un individuo al azar, ¿Cuál la probabilidad de que este individuo no haya iniciado ninguna reducción de riesgo? b) Si se selecciona a un individuo al azar, y este ha tenido más de un compañero sexual, ¿Cuál es la probabilidad de que haya mantenido la reducción de riesgo? c) Si se selecciona aleatoriamente a un individuo, ¿Cuál es la probabilidad de que no haya tenido compañeros sexuales y que no haya mantenido la reducción de riesgo? d) Si se selecciona al azar a un individuo, ¿Cuál es la probabilidad de que haya tenido un compañero sexual o no haya iniciado la reducción de riesgo? 13. A un centenar de mujeres casadas se les preguntó que método de control natal preferían. La siguiente tabla muestra las 100 respuestas clasificadas en referencia cruzada por nivel educativo y método de control. Mg. Liliana Carolina Molina Blanco

TALLER III (PROBABILIDAD Y VARIABLES ALEATORIAS) ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL

Encuentre las siguientes probabilidades:

14. Solo una de cada 1000 personas padece de una cierta enfermedad rara, para la cual se ha creado una prueba de diagnóstico. La prueba es tal que si un individuo tiene la enfermedad, la prueba lo confirma el 95% de las veces, mientras que si el individuo no la tiene, la prueba lo confirmará el 98% de las veces. Si una persona es sometida a la prueba y resulta positiva, calcule la probabilidad de que en realidad tenga la enfermedad. 15. Cuatro individuos han respondido a una solicitud de un banco de sangre para donaciones de sangre. Ninguno de ellos ha donado antes, por lo que sus tipos de sangre son desconocidos. Suponga que sólo se desea el tipo O+ y sólo uno de los cuatro tiene ese tipo. Si los donadores potenciales se seleccionan en orden aleatorio para determinar su tipo de sangre, ¿cuál es la probabilidad de que el tercer donante tenga el tipo de sangre O+? 16. Una compañía que fabrica cámaras de video produce un modelo básico y un modelo de lujo. Durante el año pasado, 40% de las cámaras vendidas fueron del modelo básico. De aquellos que compraron el modelo básico, 30% adquirieron una garantía ampliada, en tanto que 50% de los que compraron el modelo de lujo también lo hicieron. Si sabe que un comprador seleccionado al azar tiene una garantía ampliada, ¿qué tan probable es que él o ella tengan un modelo básico? 17. Solo una de cada 1000 personas padece de una cierta enfermedad rara, para la cual se ha creado una prueba de diagnóstico. La prueba es tal que si un individuo tiene la enfermedad, la prueba lo confirma el 99% de las veces, mientras que si el individuo no la tiene, la prueba lo confirmará el 98% de las veces. Si una persona es sometida a la prueba, la probabilidad de que esta indique que tiene la enfermedad es

18. La probabilidad de que un estudiante conozca la respuesta correcta a una pregunta de opción múltiple es p. Si el no conoce la respuesta a la pregunta, puede escoger una de k posibles

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TALLER III (PROBABILIDAD Y VARIABLES ALEATORIAS) ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL respuestas al azar. Si el estudiante responde correctamente la pregunta, calcule la probabilidad de que no sepa la respuesta 19. Una cadena de tiendas de video vende tres marcas diferentes de reproductores de DVD. De sus ventas de reproductores de DVD, 50% son de la marca 1 (la menos cara), 30% son de la marca 2 y 20% son de la marca 3. Cada fabricante ofrece 1 año de garantía en las partes y mano de obra. Se sabe que 25% de los reproductores de DVD de la marca 1 requieren trabajo de reparación dentro del periodo de garantía, mientras que los porcentajes correspondientes de las marcas 2 y 3 son 20% y 10%, respectivamente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un comprador seleccionado al azar haya adquirido un reproductor de DVD marca 1 que necesitará reparación mientras se encuentra dentro de garantía? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un comprador seleccionado al azar haya comprado un reproductor de DVD que necesitará reparación mientras se encuentra dentro de garantía. c) Si un cliente regresa a la tienda con un reproductor de DVD que necesita reparación dentro de garantía, ¿cuál es la probabilidad de que sea un reproductor de DVD marca 1? ¿Un reproductor de DVD marca 2? ¿Un reproductor de DVD marca 3? 20. Incidencia de una enfermedad rara. Sólo 1 de 1000 adultos padece una enfermedad rara para la cual se ha creado una prueba de diagnóstico. La prueba es tal que cuando un individuo que en realidad tiene la enfermedad, un resultado positivo se presentará en 99% de las veces mientras que en individuos sin enfermedad el examen será positivo sólo en un 2% de las veces. Si se somete a prueba un individuo seleccionado al azar y el resultado es positivo, ¿cuál es la probabilidad de que el individuo tenga la enfermedad? 21. Una compañía que fabrica cámaras de video produce un modelo básico y un modelo de lujo. Durante el año pasado, 40% de las cámaras vendidas fueron del modelo básico. De aquellos que compraron el modelo básico, 30% adquirieron una garantía ampliada, en tanto que 50% de los que compraron el modelo de lujo también lo hicieron. Si sabe que un comprador seleccionado al azar tiene una garantía ampliada, ¿qué tan probable es que él o ella tengan un modelo básico?

22. Considere el siguiente sistema, el cual funciona si existe una trayectoria de izquierda a derecha en funcionamiento.

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TALLER III (PROBABILIDAD Y VARIABLES ALEATORIAS) ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL Las 5 válvulas funcionan de manera independiente, cada una con probabilidad de falla k. La probabilidad de que el circuito funcione es 23. Considere el sistema de componentes conectados como en la figura adjunta. Los componentes 1 y 2 están conectados en paralelo, de modo que el subsistema trabaja si y sólo si 1 o 2 trabaja; como 3 y 4 están conectados en serie, qué subsistema trabaja si y sólo si 3 y 4 trabajan. Si los componentes funcionan independientemente uno de otro y 𝑃(𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎) = 0.9, calcule P(el sistema trabaja).

24. Remítase a las suposiciones manifestadas en el ejercicio 11 y responda la pregunta planteada allí para el sistema de la figura adjunta. ¿Cómo cambiaría la probabilidad si ésta fuera un subsistema conectado en paralelo al subsistema ilustrado en la figura que se presenta a continuación?

25. El siguiente sistema funciona si existe una trayectoria de izquierda a derecha en funcionamiento. Este sistema consta de 4 válvulas que funcionan de manera independiente con probabilidad de falla que aparece en cada recuadro. Calcule la probabilidad de que el sistema no funcione

Variables aleatorias Discretas Mg. Liliana Carolina Molina Blanco

TALLER III (PROBABILIDAD Y VARIABLES ALEATORIAS) ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL 26. Un experimento psicológico consiste en colocar en fila 5 cubos de igual tamaño pero de diferente color. La persona es vendada para que no puede influenciar en la manera como se colocan los cubos. Suponga que se tienen dos cubos de color rojo y 3 de color verde. Defina X: Número de bloques verdes entre los dos rojos. Calcule la probabilidad de que 27. Considere un juego en el que se relaciona una palabra a tres figuras escondidas detrás de unos paneles. La persona asigna al azar las tres palabras a las tres figuras. Si por cada acierto la persona recibe $200 y por cada desacierto paga $100 (gana -$100), calcule el valor esperado de sus ganancias 28. Seis lotes de componentes están listos para ser enviados por un proveedor. El número de componentes defectuosos en cada lote escomo sigue: Lote

1

2

3

4

5

6

Número de defectuosos

0

2

0

1

2

0

Uno de los lotes es seleccionado al azar para ser enviado a un cliente en particular. Sea X la variable aleatoria: Número de defectuosos en el lote seleccionado. Calcule • Encuentre la f.m.p • La probabilidad de que P(X=1). • La probabilidad de que el lote tenga máximo un defectuoso. 29. Un negocio de computadoras, que atiende pedidos por correo, tiene 6 líneas telefónicas. Sea de

el número de líneas en uso en un momento específico. La distribución de probabilidad esta dada por:

• •

0

1

2

3

4

5

6

En otro caso

0.10

0.15

0.20

0.25

0.20

0.06

0.04

0

Calcule La probabilidad de que por lo menos 3 líneas estén en uso en un momento dado. Calcule la esperanza y la varianza

30. Una compañía proveedora de productos químicos tiene actualmente en existencia 100 ejemplares de cierto producto, que vende a clientes en lotes de 5 libras. Sea por un cliente seleccionado al azar y suponga que

el número de lotes ordenados

tiene la siguiente distribución acumulada:

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TALLER III (PROBABILIDAD Y VARIABLES ALEATORIAS) ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL 0

0.2

0.45

0.67

0.84

1

Calcule la probabilidad de que el número de lotes ordenados por un cliente sea mínimo uno, pero menos de cuatro 31. Una pequeña farmacia solicita ejemplares de una revista de noticias para su revistero. Sea la variable aleatoria que indica la demanda semanal (en revistas) de la farmacia. La función de distribución acumulada de

es:

Calcule el valor esperado del número de revistas demandado y la varianza. 32. Sea X una variable aleatoria con distribución acumulada dada por:

0

0.3

0.40

0.45

0.60

1

Calcule la probabilidad de que

33. Una moneda no cargada es lanzada 4 veces. Sea X: número de caras menos número de sellos. Calcule la probabilidad de que

(obtener más caras que sellos)

34. La calificación media de un examen de Física es de 62 puntos sobre 100 posibles, con una desviación estándar de 10. El profesor sospecha que el examen fue difícil y decide hacer un ajuste de las calificaciones del tipo

, donde

es la calificación obtenida en

el examen, de tal manera que el valor esperado de las calificaciones ajustadas,

, sea

70 con una desviación estándar de 8. Para lograr esto, encuemtre los los valores de y que el profesor debe tomar 35. Una moneda no cargada es lanzada 4 veces. Sea X: número de caras menos número de sellos. Calcule la probabilidad de que

(obtener más caras que sellos) es

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TALLER III (PROBABILIDAD Y VARIABLES ALEATORIAS) ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL 36. Se tienen dos bolsas idénticas 1 y 2. La bolsa 1 contiene 4 bolas blancas y 3 negras, la bolsa 2 contienen 3 blancas y 5 negras. Una persona saca al azar bolas de cada bolsa de manera alternada hasta completar 3 bolas. Si empieza sacando de la bolsa 1, calcule la probabilidad de ajustar 2 bolas blancas y una negra

37. Sea

una

Si

38. Si

variable

aleatoria

tal

que

, el valor esperado de

,

y

.

será

y

esperado de

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, calcule el valor