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• SERGIO ALONSO JIMENEZ SAENZ

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TRABAJO CONJUNTO ASIGNATURA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA TALLER UNIDAD CUATRO

ELABORADO POR

UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS ÁREA ESTADÍSTICA TUNJA 2019

49. Un embarque de cinco automóviles extranjeros contiene dos que tienen ligeras manchas de pintura. Si una agencia recibe tres de estos automóviles al azar, liste los elementos del espacio muestral S con las letras B y N para “manchado” y “no manchado”, respectivamente; luego a cada punto muestral asigne un valor x de la variable aleatoria X que representa el número de automóviles que la agencia compra con manchas de pintura. Las posibilidades son:

 Para cero automóviles manchados X=0 (NNN)  Para 1 automóvil manchado y dos sin manchas X=1 (tres posibles lugares, el primero, el segundo o el tercero en el caso del manchado) (BNN) (NBN) (NNB)  Para 2 automoviles manchados y uno sin mancha X=2 automoviles manchados (tres posibles lugares para el único no manchado, el primero, el segundo o el tercero) (NBB) (BNB) (BBN) Por tanto uniendo los 7 casos posibles obtenemos el espacio muestral: R/ El espacio muestral será S={ NNN , BNN , NBN , NNB , NBB , BNB , BBN }

50) La distribución de probabilidad de X, el número de imperfecciones por 10 metros de una tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme, está dada por:

Encuentre el número promedio de imperfecciones en 10 metros de esta tela

𝑈 = (0 ∗ 0,41) + (1 ∗ 0,37) + (2 ∗ 0,16) + (3 ∗ 0,05) + (4 ∗ 0,01) 𝑈 = 0,88

R/ El promedio de imperfecciones en 10 metros de este tipo de tela será de 0,88

51) Las tres tablas que aparecen a continuación muestran variables aleatorias y sus probabilidades. Sin embargo, sólo una constituye en realidad una distribución de probabilidad:

a) ¿Cuál de ellas es? Existen tres columnas y para ello se debe sumar las probabilidades que en este caso será sus f(x), el valor de la sumatoria para toda probabilidad sería igual a 100 en porcentaje o hasta uno, en tanto por uno, para este ejercicio se tomara como la última opción. A continuación se verificara cual es la tabla correcta  Tabla 1 = (0,3+0,3+0,2+0,4)= 1,2  Tabla 2 = (0,1+0,3+0,2+0,4)= 1,0  Tabla 3 = (0,5+0,3-0,2+0,4)= 1,0 R/ La respuesta correcta es Tabla 2, ya que su probabilidad es de 1. La tabla 1 queda descartada ya que se excede y la tabla 3 aunque arroja una probabilidad de 1, presenta una incoherencia al arrojar una probabilidad negativa, exactamente en f(x)= -0,2

b) Con la distribución de probabilidad correcta, calcule la probabilidad de que X sea:  Exactamente 15 R/ Una probabilidad de 0,2  No mayor de 10 0,1+0,3= 0,4 R/ Una probabilidad de 0,4  Mayor que 5 0,3+0,2+0,4= 0,9 R/ Una probabilidad de 0,9 52) La función de densidad de las mediciones codificadas del diámetro de paso de los hilos de un encaje es:

Encuentre el valor esperado de X

1

4 𝑋 𝐿𝑛4 𝐸(𝑋) = ∫ ∗ 𝑑𝑥 = 𝜋 1+𝑋2 𝜋 0

𝐸(𝑋) = 0,4413

R/ El valor esperado de X es de 0,4413

53)

54) Una variable aleatoria continua X que puede tomar valores entre x = 2 y x = 5 tiene una función de densidad dada por

Encuentre: 4 2(1+𝑥)

a) P(X  4)= ∫2

27

4

(1+𝑥)^2

𝑑𝑥 =

∮2 =

27

16 27

R/ 0,593

4 2(1+𝑥) 27

b) y b) P(3  X  4) = ∫3

𝑑𝑥 =

(1+𝑥)^2 27

4

1

∮3 = 3

R/ 0,333

55. Determine el valor c de modo que cada una de las funciones siguientes pueda servir como distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X.

3

∑ 𝑐(𝑥2 + 4)) = 1 𝑥=0

c{(02 + 4}+c{(12 + 4}+c{(22 + 4}+c{(32 + 4}=1 R/ c=

1

30

3

∑ 𝑓(𝑥) = 1 ∀𝑥

C=

1

= 0,1

10

R/ 0,1

56. Tres alumnos tienen entrevistas programadas para empleo durante vacaciones en el Instituto de Investigaciones. En cada caso, el resultado de la entrevista será que les ofrezcan un empleo o que no se lo ofrezcan. Los resultados experimentales se definen en función de los resultados de las tres entrevistas.

Oferta laboral= T; Ninguna laboral = N Estudiante 1 Estudiante 2 Estudiante3 a) Construya el espacio muestral e indique los valores que toma la variable aleatoria En total arrojaria un conjunto de 8 combinaciones posibles tal como se muestra a continuacion: R/ S={ (T T T), (T T N), (T N T), (T N N), (N T T), (N T N), (N N T), (N N N).

b) Sea X={Número de ofertas de trabajo}. R/ X es una variable aleatoria discreta, ya que esta solo puede tomar cuatro valores, los cuales pueden ser 0,1,2 y 3.

c) X={Número de ofertas laborales} Y={Número de estudiantes con ninguna oferta laborales }

1 2 3 4 5 6 7 8

T T T T N N N N

Estudiante 1 T T N N T T N N

Estudiante 2 T N T N T N T N

Estudiante3 X=3 Y=0 X=2 Y=1 X=2 Y=1 X=1 Y=2 X=2 Y=1 X=1 Y=2 X=1 Y=2 X=0 Y=3

d) Encuentre la distribución acumulada de la variable aleatoria antes mencionada Teniendo en cuenta los literales anteriores se determino que existen 8 posibilidades y que era una variable aleatoria discreta, cada posibilidad va a obtener ½ de posibilidades de ser seleccionado o no y a continuacion se explica como: -

Opcion 1: Ningun seleccionado a oferta laboral y existe una combinacion para ello:

(N N N)= (½*½*½)= 1/8 -

Opcion 2: 1 seleccionado a oferta laboral y existen 3 combinaciones: (T N N)+(N T N)+ (N N T)= (½*½*½)+ (½*½*½)+ (½*½*½)= 3/8

-

Opción 3: 2 Seleccionados a oferta laboral y existen 3 combinaciones:

(T T N)+ (T N T)+(N T T)= (½*½*½)+ (½*½*½)+ (½*½*½)= 3/8 -

Opción 4: 3 seleccionados a opciones laborales

(T T T)= (½*½*½)= 1/8

FUNCION DE PROBABILIDAD Xi Pi 0 1/8 3/8 1 3/8 2 3 1/8

R/ Por lo tanto la funcion de distribucion acumulada se expresa de la siguiente manera

0

X