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Departamento de Ciencias Básicas ÁREA Matemáticas

Coordinación Curricular

ASIGNATURA: CÁLCULO INTEGRAL

CÓDIGO: CB01015

TALLER II CORTE Objetivos / competencias 1. Formula, compara y ejercita procedimientos y algoritmos propios de la Matemática. 2. Plantea, analiza, resuelve, y argumenta problemas en contextos de la disciplina o reales, mediante modelos matemáticos. 3. Reconoce fortalezas y debilidades a nivel actitudinal y cognitivo, para potencializar la confianza en sí mismo, logrando avanzar en su formación profesional, a través de la matemática. 4. Identifica objetivos comunes permitiendo la asignación de responsabilidades que conlleven a la producción colectiva de resultados, mediante el trabajo en equipo. INTRODUCCIÓN En esta actividad se presentan ejercicios y problemas de integral definida. Es importante verificar las respuestas de los ejercicios de este taller con software libre o aplicaciones para celulares de manera individual o grupal (aprendizaje colaborativo).

TEMARIO A. Integration by Parts In problems 1 through 9, find the indicated integral.

CLASSWORK 1. 2.

∫(3 − 2𝑥 )𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 ln 𝑦 ∫ 3 𝑑𝑦

3.∫ 𝑧

𝑦

√1 − 𝑧 𝑑𝑧

HOMEWORK 𝑦

∫ 𝑦 𝑒 2 𝑑𝑦 5. ∫ 𝑧 ln 𝑧 2 𝑑𝑧 6. ∫(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)6 𝑑𝑥 4.

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TUTORIAL 7. 8. 9.

∫ 𝑦 3 𝐿𝑛𝑦 𝑑𝑦 ∫ 𝑥 𝑒 2𝑥+1 𝑑𝑥 𝑡 ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡

10. Plantee la integral que determina el área de la región sombreada,

evalúela y concluya el valor de dicha región.

B. Trigonometric integrals In problems 11 through 16, find the indicated integral.

CLASSWORK 11. 12.

∫ 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑐𝑜𝑠 3𝑦 𝑠𝑒𝑛2 𝑦 𝑑𝑦

HOMEWORK 13.

∫ 𝑡𝑎𝑛4 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐 2𝑥 𝑑𝑥

14.

∫ 1−𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃

𝑐𝑜𝑠 3 𝜃

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TUTORIAL 15. ∫ 𝑠𝑒𝑛2 16. ∫

𝑐𝑜𝑠 3 𝜃 𝑠𝑒𝑛2 𝜃

𝑥 6

𝑑𝑥

𝑑𝜃

C. Trigonometric Substitution Integrals In problems 17 through 24, find the indicated integral.

CLASSWORK 17.

dt

∫ √t2 +16

18.∫ √𝟒 − 𝒙𝟐 19.

𝒅𝒙

𝒅𝒚

∫ √𝒚𝟐

+𝟗

HOMEWORK 20. ∫

𝑑𝑥 𝑥 √𝑥 2 −2

21. ∫ 22.

𝑥2

(9−𝑥 2 )3/2 𝑑𝑥

∫ √𝑥2 −4𝑥+13

TUTORIAL 𝟔𝒅𝒕 23. ∫ (𝟗𝒕𝟐 +𝟏)𝟐 𝑥2 24. ∫ 2 𝑑𝑥 (𝑥 −1)5/2

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D. Arc Length

Find the lengths of the curves in Exercises 25–31. CLASSWORK 3

26.

1

𝑦 = 2𝑥 2 from 𝑥 = to 𝑥 = 7.

25.

4−𝑦

2/3

3

, 0 ≤ 𝑦 ≤ 8.

27.

HOMEWORK 3 2

𝑦 = 1 + 6𝑥 from 𝑥 = 0 to 𝑥 = 1. 29. 𝑥 = √36 − 𝑦 2 , 0 ≤ 𝑦 ≤ 8. 28.

30.

𝑥3 3

+ 𝑥2 + 𝑥 +

1 4𝑥+4

, 𝑥 ∈ [0,2].

TUTORIAL 3 2 29. 𝑦 = 𝑥 3 + 4, 1 ≤ 𝑥 ≤ 27. 2 1 𝑥 −𝑥 ) 30. 𝑦 = (𝑒 + 𝑒 , from 𝑥 = 0 to 𝑥 2 𝑦3 1 31. 𝑥 = + from 𝑦 = 1 to 𝑦 = 3. 3 4𝑦

= 1.

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E. Additional problems 32. Growth of Bacteria in a culture Suppose the rate of growth of bacteria in a Petri dish is given by, where is a given in hours and is given in thousands of bacteria per hour. If a culture starts with 10000 bacteria, find a function that gives the number of bacteria in the Petri dish at any time. ¿How many bacteria are in the dish after 2 hours? 33. (Crecimiento de árboles). Después de 𝑥 años de trasplantado, un árbol crece a una razón de 1 +

1 (𝑥+1)2

metros por año. Transcurridos dos años, alcanza una

altura de 5 metros ¿Qué altura tenía cuando fue trasplantado? 34. En cierto suburbio de los ángeles, el nivel del ozono 𝑳 (𝒕) a las 7:00 a.m es 0,25 partes por millón (ppm). El pronóstico del clima para las siguientes 12 horas anuncia que el nivel del ozono t horas después de las 7:00 a.m. Cambiará a la razón de

𝐿(𝑡) =

0.24−0.03𝑡 √36+16𝑡−𝑡 2

partes por millón por hora (ppm)

a) Expresar el nivel del ozono 𝑳 (𝒕) como una función de t. ¿cuándo se presentara el nivel más alto del ozono?¿ qué nivel alcanza dicho nivel?. b) Utilizar la calculadora grafica para representar 𝑳 (𝒕), y las funciones trace y zoom para responder las preguntas del literal a. luego, determinar en que otro momento el nivel del ozono será igual al de las 11:00 a.m. 35. (Depreciación) el valor de la reventa de determinada maquinaria industrial decrece a una razón dependiente de su edad. Cuando la maquinaria tiene t 𝑡

años, la razón a la que cambia su valor es de −960 𝑒 −5 dólares por año. a) Expresar el valor de la maquinaria en términos de su edad y valor inicial. b) Si la maquina originalmente costo US$5.200. ¿cuál será su valor cuando tenga 10 años?