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• Diana Blanco

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1. El campo de direcciones de

aparece en la figura

(a) Bos que je la curva solución que pasa por . A partir de este bosquejo, escriba la ecuación para la solución. (b) Bosque je la curva solución que pasa por . (c) ¿Qué puede decir acerca de la solución en la parte (b) cuando ? ¿Y cuando ?

2. Encuentre una ecuación diferencial autónoma de la forma

cuyo retrato de

fase sea:

3. La ecuación diferencial autónoma

donde

es una constante positiva

de proporcionalidad y es la aceleración debida a la gravedad, es un modelo de la velocidad de un cuerpo de masa que está cayendo bajo la influencia de la gravedad. Como el término – representa la resistencia del aire, la velocidad de un cuerpo que cae desde una gran altura no aumenta sin límite a medida que aumenta el tiempo . Utilice un retrato fase de la ecuación diferencial para encontrar la velocidad limitante, o terminal, del cuerpo. Explique su razonamiento. 4. Llene los espacios en blanco. a) En el campo de direcciones de la ecuación diferencial un elemento de recta en

es: _____________

, la pendiente de

b) El tiempo necesario para que una sustancia que decae por radiactividad pase de su cantidad inicial

5.

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10.

a

se denomina su: ____________

c) Si una población inicial de bacterias se duplica en 2h, entonces el número de bacterias presentes en 32h es ____________ d) Si proporciona la población en un entorno en el instante entonces satisface el problema de valor inicial ________ Una solución salina entra a una razón constante de 8 litros/minuto en un tanque de gran tamaño que en un principio contenía 100 litros de solución salina en que se habían disuelto 0.5 kg de sal. La solución dentro del tanque se mantiene bien revuelta y sale del tanque con la misma razón. Si la concentración de sal en la solución que entra al tanque es de 0.05 kg/litro, determine la masa de sal en el tanque después de t minutos. ¿Cuándo llegará la concentración de sal en el tanque a 0.02 kg/litro? Una solución salina entra a una razón constante de 4 litros/minuto en un tanque de gran tamaño que en un principio contenía 100 litros de agua pura. La solución dentro del tanque se mantiene bien revuelta y sale del tanque a razón de 3 litros/minuto. Si la concentración de sal en la solución que entra al tanque es de 0.2 kg/litro, determine la masa de sal en el tanque después de t minutos. ¿Cuándo llegará la concentración de sal en el tanque a 0.1 kg/litro? En 1990, el departamento de recursos naturales liberó 1000 ejemplares de una especie de pez en un lago. En 1997, la población de estos peces en el lago se estimó en 3000. Use la ley de Malthus para el crecimiento de poblaciones y estime la población de estos peces en el lago en el año 2020. Por consideraciones teóricas, se sabe que la luz de cierta estrella debe llegar a la Tierra con una intensidad . Sin embargo, la trayectoria de la luz desde la estrella hasta la Tierra pasa por una nube de polvo, con un coeficiente de absorción de 0.1/año luz. La luz que llega a la Tierra tiene una intensidad 12 . ¿Cuál es el espesor de la nube de polvo? (La razón de cambio de la intensidad de la luz con respecto del espesor es proporcional a la intensidad. Un año luz es la distancia recorrida por la luz en un año). Una bola de nieve se funde de modo que la razón de cambio en su volumen es proporcional al área de su superficie. Si la bola de nieve tenía inicialmente 4 pulgadas de diámetro y 30 minutos después tenía 3 pulgadas de diámetro, ¿en qué momento tendrá un diámetro de 2 pulgadas? Desde el punto de vista matemático, ¿en qué momento desaparecerá la bola de nieve? Con frecuencia, el fechado por carbono se usa para determinar la edad de un fósil. Por ejemplo, en una cueva de Sudáfrica se halló un cráneo humano junto con los restos de una hoguera. Los arqueólogos creen que la edad del cráneo sea igual a la edad de la hoguera. Se ha determinado que sólo queda 2% de la cantidad original de carbono 14 en los restos de madera en la hoguera. Estime la edad del cráneo, si la vida media del carbono 14 es de aproximadamente 5600 años.

11. Un vino tinto se saca de la cava, donde estaba a 10°C y se deja respirar en un cuarto con temperatura de 23°C. Si se necesitan 10 minutos para que el vino llegue a los 15°C, ¿en qué momento llegará la temperatura del vino a los 18°C? 12. Un objeto de masa 8 kg recibe una velocidad inicial hacia arriba de 20 m/s y luego se le permite caer bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza en newtons debida a la resistencia del aire es -16v, donde v es la velocidad del objeto en m/s. Determine la ecuación de movimiento del objeto. Si el objeto está en un principio a 100 m sobre el suelo, determine el momento en que el objeto golpeará el suelo. 13. Una paracaidista cuya masa es de 75 kg se arroja de un helicóptero que vuela a 2000 m sobre el suelo y cae hacia éste bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad de la paracaidista, con la constante de proporcionalidad b1=30 N-s/m cuando el paracaídas está cerrado y b2=90 Ns/m cuando se abre. Si el paracaídas no se abre hasta que la velocidad de la paracaidista es de 20 m/s, ¿después de cuántos segundos llegará ella al suelo? 14. Un circuito RC con una resistencia de 1Ω y un condensador de 0.000001 F tiene un voltaje E(t)= sen (100t) V. Si el voltaje inicial en el condensador es nulo, determine el voltaje en la resistencia, el voltaje en el inductor y la corriente subsecuentes. 15. Un electroimán industrial se puede modelar como un circuito RL, cuando se energiza mediante una fuente de voltaje. Si la inductancia es 10 H y el embobinado contiene 3 Ω de resistencia, ¿cuánto tiempo tarda un voltaje constante aplicado en energizar el electroimán hasta 90% de su valor final (es decir, que la corriente sea igual a 90% de su valor asintótico)? 16. En cierta comunidad, la cantidad N(t) de personas expuestas a una publicidad en particular está regida por una ecuación logística. En un inicio N(0) = 500 y se observa que N(1)=1 000. Resuelva para N(t) si se pronostica que el número limitante de personas que ve el anuncio es de 50 000. 17. Una ecuación diferencial que representa la velocidad de una masa m que cae y está sujeta a la resistencia del aire, la cual es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea, es

, donde k > 0 es una constante de proporcionalidad.

La dirección positiva es hacia abajo. Resuelva esta ecuación sujeta a la condición inicial v(0) = v0. 18. Halle la ecuación diferencial de las familias de circunferencias que pasan por los puntos (1,0) − y (0,1). Además, halle la ecuación diferencial de la familia de curvas ortogonales y las curvas ortogonales. 19. Una tasa hemisférica de radio R está llena de agua. Si hay un pequeño orificio de radio r en el fondo de la superficie convexa, determine el tiempo de vaciado.