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• milena gomez

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Universidad Santiago de Cali ´ sicas Facultad de Ciencias Ba ´ lculo I (CN114) Ca Taller: Integraci´ on por sustituci´ on 1. Determine las antiderivadas siguientes usando una sustituci´on: Z a)

3

4

2

x (x + 1) dx Z

√

x 1 + 3x dx

d)

Z b) Z e)

Z g) k)

x Z

sen(3z + 4) dz Z

(x + 1)

2 − x2 dx (x3 − 6x + 1)5

h) Z m)

2

√

2000

Z dx

c) Z

x3

+ 9 dx

x dx 2 − 3x Z cos x i) dx sen3 x f)

2 sen3 r cos r dr

(t2 + 2t + 1)4 (t + 1) dt √

4x3 sin x4 dx

2. Se estima que el precio p (d´olares) de cada unidad de cierta mercanc´ıa cambia a una tasa de −135x dp =√ dx 9 + x2 donde x (cientos) de unidades es la demanda del consumidor (el n´ umero de unidades compradas a ese precio). Suponga que se demandan 400 unidades cuando el precio es 30 por unidad. a) Determine la funci´on de la demanda p(x). b) ¿A qu´e precio se demandar´an 300 unidades? c) ¿Cu´antas unidades se demandan a un precio de 20 por unidad? dQ de una donaci´on federal de 2 millones de d´olares es proporcional dt al cuadrado de 100 − t. El tiempo t se mide en d´ıas (0 ≤ t ≤ 100) y Q es la cantidad que queda para ser desembolsada. Determinar la cantidad que queda para desembolsarse despu´es de 50 d´ıas. Suponer que todo el dinero se gastar´a en 100 d´ıas.

3. La tasa de desembolso de

dV 4. La tasa de depreciaci´on de una m´aquina es inversamente proporcional al cuadrado de dt t + 1, donde V es el valor de la m´aquina t a˜ nos despu´es de que se compr´o. El valor inicial de la m´aquina fue de 500.000 d´olares, y su valor decreci´o 100.000 d´olares en el primer a˜ no. Estimar su valor despu´es de 4 a˜ nos. 5. Se trasplant´o un a´rbol y, despu´es de t a˜ nos, ´este crec´ıa a una tasa de 1 dh =1+ dt (t + 1)2 metros por a˜ no. Despu´es de 2 a˜ nos, el ´arbol alcanz´o una altura de 5 metros. ¿Qu´e altura ten´ıa cuando se trasplant´o? 6. Un derrame de petr´oleo en el oc´eano tiene una forma aproximadamente circular, con radio R(t) pies, t minutos despu´es del inicio del derrame. El radio crece a una tasa de dR 21 = dt 0,07t + 5

pies/min

a) Determine una expresi´on para el radio R(t), suponiendo que R(0) = 0 b) ¿Cu´al es el a´rea A = π(R(t))2 del derrame despu´es de una hora? 7. La concentraci´on C(t) en miligramos por cent´ımetro c´ ubico (mg/cm3 ) de un medicamento en el torrente sangu´ıneo de un paciente es 0.5 mg/cm3 inmediatamente despu´es de aplicarle una inyecci´on y t minutos m´as tarde disminuye a la tasa de dC −0.01e0.01t = 0.01t dt (e + 1)2

mg/cm3

por minuto. Se aplica una nueva inyecci´on cuando la concentraci´on es menor que 0,05 mg/cm3 . 1

a) Determine una expresi´on para C(t). b) ¿Cu´al es la concentrac´ıon despu´es de una hora? ¿Cu´al es despu´es de tres horas?

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