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• JHONNY DANIEL SILVA ESCOBAR

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Universidad de Antioquia Ingeniería Industrial - Curso Simulación Discreta Jonathan Antonio Hoyos Chaverra Julián Andrés Castillo Grisales

Yony Fernando Ceballos Deimir Cárdenas David

EJERCICIOS PROPUESTOS PARCIAL 2 1. Para los siguientes generadores congruenciales multiplicativos, calcule 𝑋𝑖 para valores suficientes de i ≥ 1 para cubrir un ciclo completo a. 𝑋𝑖 = (11𝑋𝑖−1) 𝑀𝑜𝑑 16, 𝑋0 = 1 b. 𝑋𝑖 = (11𝑋𝑖−1) 𝑀𝑜𝑑 16, 𝑋0 = 2 c. 𝑋𝑖 = (2𝑋𝑖−1) 𝑀𝑜𝑑 13, 𝑋0 = 1 d. 𝑋𝑖 = (3𝑋𝑖−1) 𝑀𝑜𝑑 13, 𝑋0 = 1 2.

Suponga que Usted ha diseñado un generador que le produce números aleatorios R (en el rango 0,1). Sea p un número entre 0 y 1. Suponga que Usted ha generado una secuencia, dada por R1, R2, ..., Rn. Considere la secuencia formada por: 1−R R' = 1−p a. ¿Considera Usted que la secuencia de números obtenida a partir de R’ puede considerarse como una secuencia de números aleatorios?

3. Analice el comportamiento del siguiente generador de números aleatorios. ¿Lo considera usted adecuado? 𝑋𝑖 = (3 𝑋𝑖−1 + 7) 𝑚𝑜𝑑 1056 4. Demuestre que la suma de dos números aleatorios independientes (0, 1), módulo 1, es de nuevo uniforme (0, 1) 5. Determine con un nivel de confianza del 95% usando varias pruebas si la siguiente lista de números corresponde a una muestra aleatoria (Los números se leen por fila):

6. Considere la siguiente secuencia de números aleatorios que fueron generados mediante un método congruencial. Pruebe que tan adecuado es este generador usando los siguientes parámetros: a. Significancia del 5%. b. 10 intervalos de clase c. Prueba Chi- cuadrado. d. Prueba de rachas ascendentes y descendentes. Los números están amplificados por un factor de 1000. Los números se leen hacia abajo por columnas:

7.

Actualmente el gobierno nacional se encuentra se encuentra realizando el presupuesto para el ministerio de agricultura, el cual históricamente ha tenido un valor cercano a los USD 400 millones con una distribución exponencial. En la actualidad se cree que por las políticas recientes va a requerir ajustes importantes. En particular un grupo de asesores conformado por profesionales del ministerio y una firma consultora externa estiman que el próximo año el presupuesto tendrá una distribución triangular con un valor mínimo igual a USD 175 millones y un valor máximo de USD 600 millones, como valor más probable se tiene el valor histórico.

Diseñe un procedimiento (seudocódigo o flujograma) para encontrar el valor esperado del presupuesto para el próximo año. b. Use los primeros 5 números que se obtienen del generador congruencial con a= 7, c = 31 y M = 9, a.

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con X0 = 7; para estimar el valor esperado del presupuesto para el próximo año.

8. Desarrolle generadores de procesos para las siguientes funciones de densidad

9. Considere la variable aleatoria descrita por la siguiente función de densidad: a.

f

Desarrollar dos procesos empleando métodos diferentes que produzcan variables aleatorias que sigan las distribuciones anteriores. 10. La distribución de la producción diaria de un artículo es normal, con una media de 6.000 artículos y una desviación de 500. Cada día se debe desechar cierto porcentaje (100p) de la producción total. Esto sucede si el porcentaje de deshechos es 100p y si la producción diaria es x, la producción neta será 𝑦 = 𝑥 − 𝑝𝑥. La función de densidad de la fracción defectuosa p está dada por: 𝑔(𝑝) = 99 ∗ (1 − 𝑝)88, 𝑝 ∈ (0,1) a. Desarrolle un generador para la producción neta por día. b. Genere la producción durante 500 días y demuestre, usando la prueba chicuadrado o la Smirnov-Kolmogorov que la producción neta diaria es normal. Use α = 0.05. 11. Se ha diseñado el siguiente sistema de control de calidad para controlar una dimensión particular. Se selecciona una muestra de 9 artículos de un lote de 1.000 unidades. Se mide la dimensión de cada unidad de la muestra y luego se calcula la dimensión media x como:

Siendo 𝑥𝑖 la dimensión del i-ésimo artículo de la muestra y n = 9. Si 𝑥̅ cae entre 4.5 y 5.5 el lote es aceptado; en caso contrario el lote es rechazado. La dimensión deseada es 5. La distribución de la dimensión de cada artículo del lote es normal, con media m y desviación estándar 0.7 La distribución de la media del lote m es normal con media 5 y desviación de 0.1. Simulando la inspección de 1000 lotes determine la probabilidad de rechazar un lote. 12. Dado el generador 𝑿𝒏+𝟏 = (𝟕 ∗ 𝑿𝒏 + 𝟑𝑿𝒏−𝟏) 𝒎𝒐𝒅 𝒎, en el cual Xn+1 hasta Xn son semillas y Xn+1 es el nuevo valor pseudoaleatorio. Asumiendo n=2; X1 = 20, X2 = 2 y m=100, genere los suficientes números para realizar una prueba apropiada para evaluar si los números están distribuidos uniformemente. 13. El departamento de control de calidad ha adoptado un plan de muestreo para lotes que se reciben de un proveedor externo. Las unidades se seleccionan una a una. Si se encuentran dos unidades defectuosas., el lote debe rechazarse. Si el número de defectuosos encontrados después de inspeccionar diez artículos es cero o uno, el lote es aceptado. La fracción defectuosa p sigue la distribución siguiente, con a = 10. 𝑓(𝑝) = (𝑎 + 1)(1 − 𝑝)𝑎,

𝑝 ∈ (0,1)

Cada inspección cuesta $ 10 por artículo. El costo esperado de inspección ha sido estimado en $ 85 por lote inspeccionado. Determine por simulación si este estimativo puede aceptarse. Use α= 0.05. 14. Una compañía proporciona a sus tres empleados un seguro de salud con un plan de grupo. Para cada empleado, la probabilidad de incurrir en gastos médicos es 0.9 (de manera que el número de empleados que incurren en gastos médicos durante el año tiene una distribución binomial). Para un

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médicos durante un año, el monto total para el año tiene la distribución $100 con probabilidad 0.9 o $10,000 con probabilidad 0.1. La compañía tiene una cláusula de deducible de $5,000 de tal forma que cada año la

compañía de seguros paga los gastos médicos totales del grupo que excedan los $5,000. Desarrolle un programa que calcule el monto total que paga la compañía de seguros por año. 15. Genere N datos con el generador de números 𝑋𝑛+1 = (5 ∗ 𝑋𝑛 + 21) 𝑀𝑜𝑑 32 y aplique la siguiente prueba de uniformidad: Prueba de los promedios: Si los datos 𝑟𝑖 son uniformes, entonces su media es:

Esto se prueba con el estadístico:

puede rechazar la hipótesis que los números generados provienen de una distribución uniforme con 𝜇 = . Así mismo, determine si el generador es de periodo completo. 16. A mechanic works if any machine breaks and he takes 10 minutes to repair it (exponential). There are two machines that works with a normal time with mean 30 minutes and standard deviation of 5 minutes. If at start time, both machines are working. How many repairs (average) he will do in one hour? Develop an algorithm for generating this approximation. a.

algorithm constructed in a) and make a test for your algorithm. 17. A casualty insurance company has 1000 policyholders, each of whom will independently present a claim in the next month with probability 0.05. Assuming that the amounts of the claims made are independent normal random variables with mean $800 and standard deviation of $50, use simulation to

estimate the probability that the sum of these claims exceeds $50,000. 18. The representatives of the Colombian Association of Cardiology are planning to go door to door in some neighborhoods requesting contributions. From past experiences it is known that when someone answers the door, 80% of the time is a woman and 20% is a man. They also know that 70% of the women answering the door make a donation, while only 40% of the responding men make the donation. The amount of money that women contribute follows a normal distribution with an average of $ 20 and a standard deviation of $ 3. The amount of money that men contribute follows a normal distribution with an average of $ 10 and a standard deviation of $ 2. a. Develop a simulation model to know what happens when a representative of the association knocks on the door and someone answers. b. Suppose the association plans to visit 300 houses. Also, if in 25% of the cases there is no one at home, or they do not want to answer, what would be the amount of money that the association expects to collect? Find a confidence interval. 19. Generar por el método de la transformada inversa, números al azar que sigan las siguientes distribuciones de probabilidad:

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NOTA: En el numeral a), f(x) es una distribución triangular.

Simule el comportamiento de la demanda a partir del método de la transformada inversa. 23. Un proyecto de inversión tiene 3 actividades que se deben realizar en forma secuencial (A, B y C) y la actividad D se debe realizar al tiempo que inicia la actividad B. Cada actividad tiene la duración que se presenta en la tabla.

20. Por dos métodos, genere números que correspondan a la siguiente distribución. Escriba un pseudocódigo para estimar la duración promedio del proyecto y realice una prueba de escritorio.

21. The historical data on the frequency of stoppages of a certain machine shows that there is a probability of 0.2 that it fails (x = 1) and of 0.8 that it does not fail (x = 0) on a given day. Generate a random sequence that simulates this behavior. (From the probability distribution of the Bernoulli random variable with mean 0.8). 22. En la tabla siguiente se muestra la demanda de cepillos dentales en un supermercado:

24. En una tienda se tienen diariamente N productos para venta. La demanda diaria de productos sigue el siguiente patrón: los clientes compran 25 productos en promedio, asociados a una distribución exponencial. Construya un procedimiento que permita calcular la utilidad promedio de la tienda si cada producto vendido genera un ingreso de $10 y cada producto que demanden y no se tenga genera un costo de $5. 25. Generar por el método de rechazo, números al azar que sigan las siguientes distribuciones de probabilidad:

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Construya un algoritmo que permita generar n variables pseudoaleatorio que se ajusten a esa distribución, empleando el método de aceptación y rechazo. b. Encontrar un conjunto de valores a, b, c y h que permitan que la función dada sea una función de probabilidad y aplicar el algoritmo anterior, para generar 3 observaciones. Detalle el proceso. a.

26. El volumen de líquido de un refresco sigue una distribución normal con media 12 onzas y desviación estándar de 0.4 onzas. Genere 5 variables aleatorias con esta distribución para simular el proceso de llenado. 27. INVIMA performs a process of reviewing imported batches of medicines. Historically it has been found that 2% of them have manufacturing problems. For budgetary reasons, it studies the possibility of changing the current process. The current method is: 60 pieces are checked and the batch is rejected if 2 defects are found, the proposed method is: 30 pieces are checked and rejected if found 1. Determine a pseudo-code that allows comparing both revision policies and define if one is better than another or if there is no difference between them. 28. Al inspeccionar lotes del tamaño N=5, la probabilidad de que una pieza sea defectuosa es de 0.03. Simule el proceso de inspección para determinar el número de piezas defectuosas por lote. (Este proceso sigue una distribución binomial). 29. Para el grafico dado:

30.

Para la función:

a. Construya un algoritmo que permita generar n variables pseudoaleatorias que se ajusten a esa distribución, empleando el método de aceptación y rechazo. b. Encontrar un conjunto de valores a, b que permitan que la función dada sea una función de probabilidad y aplicar el algoritmo anterior, para generar 3 observaciones. Detalle el proceso.

31. Un embalse puede contener 1 millón de 𝑚3 de agua y se vacía a una tasa estable de 10.000 𝑚3/𝑑í𝑎. Las lluvias ocurren según una distribución Poisson a una tasa media de 1 cada 15 días. La cantidad de agua (𝑚3) que cae al tanque en cada lluvia se distribuye de la siguiente manera: 0.4𝑥−0.4 , 𝑥 ∈ [0, ∞) 𝑓(𝑥) = { 0 e.o.c Utilice el método de la transformada inversa para desarrollar una función generadora de la cantidad de agua que cae en cada lluvia. b. Elabore un procedimiento que permita: Determinar el contenido promedio del embalse después de 50 años. Asuma que el embalse a.

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comienza lleno y que el agua que excede la capacidad del embalse se pierde. Determinar la cantidad promedio de agua que se pierde. 32. Suponga que la vida de una lámpara industrial en miles de horas se encuentra distribuida exponencialmente con una razón 𝜆 = (esto es, se produce un fallo cada 3000 horas). Calcular la probabilidad de que la lámpara dure más de 3000 horas. Calcular la probabilidad de que una lámpara dure entre 2000 y 3000 horas. Calcular la probabilidad de que al menos dure otras 1000 horas si ha estado funcionando durante 2500 horas. 33. En un proceso de producción de chips microprocesadores el 2% de los mismos salen defectuosos. Cada día se toma una muestra aleatoria de 50 unidades. Si la muestra contiene más de 2 defectuosos, el proceso debe ser parado. Determinar la probabilidad de que el proceso sea parado por el esquema de muestreo.

34. El profesor de un colegio se va a casa durante el verano, pero desea dejar una luz encendida en el colegio para desanimar a los ladrones. Para ello instala un dispositivo de dos bombillas, de tal modo que se encienda la segunda caso de fallar la primera. La caja en la que vienen las bombillas pone: "vida media de 1000 horas, exponencialmente distribuida". El profesor vuelve al cabo de 90 días. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre una bombilla encendida? 35. Un determinado examen médico es llevado a cabo en tres etapas por un médico. Cada etapa dura un tiempo exponencialmente distribuido con una media de tiempo de servicio de 20 minutos. Encontrar la probabilidad de que el examen dure 50 minutos o menos. Además, determinar la duración media del examen.

36. Se tiene el generador congruencial 𝑋𝑛+1 = (𝑋1 + 𝑋𝑛) 𝑚𝑜𝑑 𝑚, en el cual X1 hasta Xn son semillas y Xn+1 es el nuevo valor pseudoaleatorio. Asumiendo 𝑛 = 5; 𝑋1 = 20, 𝑋2 = 82, 𝑋3 = 42, 𝑋4 = 76, 𝑋5 = 59, 𝑦 𝑚 = 100, genere los suficientes números para realizar una prueba apropiada para evaluar si los números están distribuidos uniformemente. 37. 38. A machine is taken out of production either if it fails or after 4 hours of operation, whichever comes first. By running similar machines until failure, it has been constructed a table with the frequencies (see table) for the time to failure X. Thus, the time until the machine is taken out of production can be represented as Y = min(X, 4).

Develop an algorithm for generating Y. b. Using some random numbers from the table, apply the algorithm constructed in a) and find Y 3 times. a.

38. El precio de los tulipanes holandeses es difícil de estimar; por lo mismo, el gobierno propuso una fórmula para ayudar a los vendedores y compradores en las transacciones del mercado. Así, el precio de un tulipán en un día es una función triangular, cuyo mínimo es el menor valor entre los precios de los insumos (distribución normal con media 3000 y desviación 1200) y el precio de una rosa el cual está intervenido, y actualmente es de 2000 pesos; el otro valor es el límite máximo de la variable, como valor más probable se toma el precio internacional, el cual sigue una distribución uniforme entre el 60 y 70% del valor máximo. Diseñe

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un procedimiento para encontrar el precio promedio mensual de un tulipán.

para x>=0. Muestre cómo se aplica convolución con la distribución exponencial para este caso.

39. Un banco se encuentra presupuestando la provisión de cartera para el próximo año, la cual depende de la cantidad de préstamos realizados y la posibilidad de incumplimiento de los clientes que depende en gran medida del desarrollo de la economía. La población actual es de 2.5 millones de personas. El banco tiene una penetración del mercado del 10%, se espera que el crecimiento para el próximo año se encuentre uniformemente distribuido entre 3% y 6%, y que la cuota de mercado se mantenga. La probabilidad de que alguien tome un préstamo es del 25%. Un indicador de esperanza en la economía sigue la siguiente distribución: 𝑓(𝑥) = 0.5(𝑥 + 1)2, 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1, cuando su valor es negativo se presentan impagos y el banco debe provisionar un porcentaje de los préstamos totales igual al valor absoluto del indicador de esperanza como transacciones en riesgo. Construya un algoritmo para pronosticar las transacciones en riesgo para el próximo año.

42. Un ratón está atrapado en un laberinto y desesperadamente “quiere salir”. Después de perder entre 1 y 4 minutos, uniformemente distribuidos, tratando de salir, existe un 35% de probabilidad de que elija el camino correcto. Si no, vagará sin rumbo durante un tiempo exponencial con media de 3 minutos, y finalmente terminará donde comenzó, sólo para intentar una vez más quedar libre. El ratón puede tratar libremente tantas veces quiera, pero hay un límite para todo. Con tanta energía gastada en intentar y volver a intentar, el ratón seguramente morirá si no sale dentro de un período uniformemente distribuido entre 6 y 18 minutos. a. Escriba un pseudocódigo para estimar por simulación la probabilidad de que el ratón se libere, y el tiempo medio gastado en salir, cuando finalmente logra liberarse. b. Usando los siguientes números aleatorios, simule el proceso para un ratón.

40. Una persona desea elaborar un procedimiento algorítmico que le permita saber cuántas veces k se debe jugar en una apuesta hasta que encuentre el primer éxito. El supone que esta rifa se asocia a una distribución Geométrica con probabilidad de éxito p igual a las dos últimas cifras de su cedula dividido por 100. Si la función de esta distribución es: 𝑃(𝑋 = 𝑘) = (1 − 𝑝)𝑘−1𝑝 Construya un procedimiento algorítmico que permita decidir al jugador. b. ¿Cómo realizaría este procedimiento realizando ensayos Bernoulli? Justifique. a.

41. La distribución de Laplace es también conocida como la distribución doble exponencial, con 𝒇(𝒙) = 𝟎. 𝟓𝒆𝝀𝒙 para 𝒙 < 𝟎 y 𝒇(𝒙) = 𝟎. 𝟓𝒆−𝝀𝒙

43. Dos niños elaboran un juego de azar que consiste en la identificación de las personas que van llegando a una cola, sin que se den cuenta. Los niños cuentan, por turnos, el tiempo entre llegadas de las personas a dicha cola y si en algún caso llegan más de k personas en un turno, este niño gana $100. Las personas llegan asociados con una distribución exponencial con media 𝜇. a. Construya un procedimiento algorítmico que permita representar el juego dado, empleando generación de variables pseudoaleatorias exponenciales.

Universidad de Antioquia Ingeniería Industrial - Curso Simulación Discreta Jonathan Antonio Hoyos Chaverra Julián Andrés Castillo Grisales b. Construya nuevamente

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el juego, pero empleando la distribución Erlang. ¿Qué cambiaría en el modelo? ¿Cuál algoritmo considera más eficiente y por qué? Genere 4 turnos del juego empleando ambos algoritmos y concluya. 44. Describa el proceso general de generación de números aleatorios (aclare si este nombre está bien usado), su papel en la simulación y cómo se relaciona con la modelación de fenómenos. 45. Indique para cada afirmación, si es falsa (F) o verdadera (V). Justifique su respuesta. a. El procedimiento de la transformada inversa no puede usarse en funciones de distribución acotadas___ b. El procedimiento de aceptación y rechazo se puede aplicar para funciones con un dominio indeterminado____ c. El valor esperado de una variable puede calcularse como el promedio de los resultados de múltiples corridas realizadas con una misma semilla en el generador de números aleatorios___

46. Considere

el servicio terminal de una compañía de carga aérea. Los aviones son programados para llegar a la terminal un avión al principio del día, para una posible operación de mantenimiento. Cada avión es inspeccionado cuando llega y la probabilidad de encontrar un avión con necesidad de servicio de mantenimiento es de 0.2 (con distribución Bernoulli). Sí un avión necesita servicio, la operación de mantenimiento puede tomar un tiempo Poisson, con media de un dia. Cada avión en tierra le cuesta a la compañía $5000 por día y si la terminal está ocupada, le cuesta $11000 enviarlo a mantenimiento a otro lugar. Cada instalación le cuesta a la compañía $2500 por día rentarla y operarla. El administrador de la compañía está interesado en investigar el atractivo económico

de utilizar una instalación adicional de servicio en la terminal usando la utilidad mensual promedio. 47. El

responsable de logística de una comercializadora de bienes de consumo masivo debe determinar la cantidad de metros cuadrados a construir en los próximos 3 años por su compañía para los procesos de manejo de mercancías. La función de probabilidad que describe la demanda de productos es la siguiente:

Si por cada unidad demandada se requieren 20 metros cuadrados, y se espera un crecimiento sostenido de la demanda del 5% por año. Construya un procedimiento para determinar el tamaño promedio de la bodega. 48. Dados los siguientes números aleatorios: .

12, .01, .23, .28, .89, .31, .64, .28, .83, .93, .99, .15, . 33, .35, .91, .41, .6, .27, .75, .88, .68, .49, .05, .43, .95, .58, .19, .36, .69, .87 Determine si el 3°, 8°, 13° y los siguientes números en la secuencia están auto correlacionados. Use α=.05. 49. We have the following sequence of numbers: 0.14, 0.25, 0.38, 0.43, 0.21, 0.85, 0.69, 0.36 and 0.68. Use one of the uniformity tests (leaving evidence of which one you used) to check if the series of numbers are evenly distributed in the interval [0,1). 50. ¿Es correcto afirmar que una serie de números aleatorios proceden de la generación de una variable aleatoria? Justifique 51. En una convención de superhéroes están los más poderosos del planeta. Sin embargo, como un requisito para ingresar a la convención se deben llevar registros de cuántas personas han sido

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salvadas en el último año. Sólo puede ingresar a la convención aquel superhéroe que haya salvado más de 1000 personas. Shazam, afirma que él ha salvado diariamente un número de personas con una distribución binomial (n=20, p=0.3) personas/dia; la Mujer Maravilla afirma que diariamente ha salvado personas con distribución triangular con parámetros (2, 6, 7) y Flash afirma que él ha salvado en promedio una persona cada 4 horas (exponencial). a) Empleando generación de variables aleatorias, identifique cuál superhéroe podrá asistir a la convención. b) Suponiendo que haya un ingreso por grupos y que para los tres superhéroes se deban salvar al menos 2500 personas, ¿podrían ir los tres juntos a la convención? c) Describa qué métodos empleó para la generación de las variables anteriores. 52. Una unidad de inteligencia de negocios de una reconocida multinacional ha desarrollado un nuevo algoritmo para gestionar big data de sus clientes y construir informes más confiables. El algoritmo se ejecuta en dos etapas: exploración (primera fase) y explotación (segunda fase). La primera fase determina la cantidad de fuentes a consultar para obtener información y la segunda permite conocer el nivel de profundidad de análisis a realizar en escala porcentual en cada fuente. La variable que determina la cantidad de fuentes a consultar se distribuye normalmente con media 30 y desviación igual al porcentaje de la cuota de mercado actual de la empresa (La cuota de mercado actual de la empresa no se sabe bien, pero según el año pasado, sus valores fueron de 5,4,5,6,7,1,3,4,5,5,7,1); mientras que el nivel de profundidad se distribuye de manera triangular con parámetros (0, 0.7, 1). Si el costo del proceso de análisis es igual a USD 1.500 por fuente consultada por el factor de profundidad, formule un algoritmo que permita conocer el costo promedio del proceso de generación de un informe.

53. You have the following table result of

applying a test (Choose between independence and uniformity) using the Kolmogorov smirnov test (pooled data). What can you say about the numbers? (alfa = 0.1) i

1

2

3

4

5

f(x)

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Oi

15

25

12

30

18

Si Explique de manera breve cuál es la implicación desde el punto de vista de la modelación de fenómenos con variables aleatorias, de aplicar el método de aceptación y rechazo en una función con un dominio naturalmente (antes de aplicar el método) indeterminado. 54.

55. El gerente de una compañía manufacturera

desea estimar el comportamiento de sus utilidades bajo diferentes escenarios de ventas. La empresa al tener sede en diferentes países, tienen precios que pueden ser variables. Él ha solicitado un reporte al ingeniero financiero de sus operaciones para hacer el estudio correspondiente, se tiene que el precio unitario se distribuye triangularmente (18.95; 24.5; 25.95), los costos del producto se distribuyen uniformemente entre 12 y 15. Se proyecta que la cantidad de unidades vendidas por mes se establecen teniendo en cuenta el precio unitario. Él determina que la función es:

f ( u )=10.000−(250∗Precio Unitario)+ f (n) La función f(n) es una distribución normal con media 0 y desviación estándar de 10. Los costos fijos tienen variabilidad, así que después de un análisis se llega que se distribuyen normal con media 30.000 y sd de 5.000. El gerente sabe que este escenario planteado probablemente sea el optimista, el escenario

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Yony Fernando Ceballos Deimir Cárdenas David pesimista dice que se puede dar 58. A Usted hace parte de una unidad de

con un 30% de probabilidad, en ese escenario los costos aumentan uniformemente entre un 2% y 10% y las ventas de las unidades disminuyen con un factor de 0.05. Halle la utilidad promedio de la compañía mensualmente. 56. Un operador logístico está encargado de

establecer las reservas para los partidos de la selección Colombia. El operador incurre en un costo estándar de reserva de 100 por plaza reservada, esta cantidad la elige según su experiencia en el mercado, la cual se distribuye geométricamente con p=0.01 Si el operador elige un número de plazas por debajo de las plazas de personas que llegaron en realidad, incurrirá en un costo por incumplimiento de 160 por plaza. Las reservas se distribuyen exponencialmente con media 16. Halle los costos promedios a los que incurre el operador logístico En una universidad se quiere estimar el número promedio de semestres que un estudiante termina una línea de dos asignaturas. Los estudiantes de esta universidad pueden provenir de colegio público con una distribución Bernoulli con probabilidad p=0,3 y de resto provienen de privado. Un estudiante es expulsado si tiene que ver más de 3 semestres una asignatura. Dependiendo del origen, los datos del tiempo de aprobación de las asignaturas se presentan en la tabla: 57.

Proveniencia

Asignatura

Distribución

P1

P2

P3

Público

Matemáticas 1

Triangular

1

2

5

Privado

Matemáticas 1

Geométrica

0,4

Público

Matemáticas 2

Binomial

n=6

Privado

Matemáticas 2

Poisson

λ= 3

p = 0.2

a) Empleando generación de variables aleatorias, construya un algoritmo que identifique cuál es la probabilidad de ser expulsado de la universidad y el tiempo promedio que tardarán los estudiantes para aprobar matemáticas 2. b) Describa qué métodos utilizó para la generación de las variables anteriores.

investigación del ministerio de agricultura que está encargada de determinar la cantidad de hectáreas de café que deben ser sembradas para la próxima temporada. La demanda a cubrir es de 25000 toneladas distribuidas normalmente, con una desviación de 1400. Producto del beneficio del café se pueden obtener 0,7 toneladas por cada hectárea en condiciones ideales (cultivos sin brotes de broca). No obstante, si hay un brote de broca, lo cual ocurre con una frecuencia de 15 casos por cada 1000 hectáreas sembradas, el rendimiento de cada hectárea afectada se ve reducido en una fracción que sigue una distribución triangular con parámetros a=0,15, b=0,5, c=0,9. Diseñe un algoritmo que permita determinar la cantidad óptima de hectáreas a sembrar para minimizar la demanda insatisfecha. Genere la secuencia de aleatorios del generador congruencial xi+1 = (17 xi) mod (37) con x0=16 y efectúe lo que se indica: a) Identificar la longitud del periodo del generador y el ciclo. b) Verificar si este generador pasa una prueba de independencia y una de uniformidad y concluir. 60. ¿De qué formas posibles se puede emplear el método de convolución para la generación de variables? Describa las diferencias de usarlos para generar variables discretas, la distribución normal y la distribución Erlang. 59.

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Anexos:

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